（机械电子工程专业论文）三自由度齿轮传动系统混沌振动及其智能控制.pdf

摘簦摘要齿轮传动是机械系统中应用最为j 、泛的传动形式，其动力学分析和振动控制一直受到人们的重视。特别是近几年来为满足航空、航天、机器人等工、l k 技术发展的需要，对齿轮传动的精度、振动、噪声和可靠性等提出了更为苛刻的要求。齿轮传动系统实质是个非线性系统，因此只有对它进行非线性的动力学分析和： e 线性振动控制研究，才能满足对齿轮传动系统提出的高精度、小振动和低噪音的要求。本文针对三自由度齿轮传动系统，利用集中质量法建立了齿轮传动系统的非线性动力学模型。并针对现有的增量谐波平衡法在求解周期解时存在收敛速度慢的缺点，将最小二乘法原理与增量过程组合，提出了一种改进的增量谐波平衡算法，并推导了这种算法的计算公式，进行了程序实现。将此方法应用于三自由度齿轮非线性系统中，求出了位于混沌吸引子内部的不稳定周期轨道。通过数值分析，证实了这种改进的增量谐波平衡法的有效性和可靠性。针对b p 神经网络在进行非线性系统控制时存在着跟踪误差较大、收敛速度较慢和需要大量系统先验数据的缺点，本文基于傅里叶级数理论和齿轮非线性振动的特点，提出了一种简化的r b f 网络：并以这种简化的r b f 网络为基础，建立了兰自由度齿轮传动系统的智能控制模型；分别以单周期轨道和多周期轨道为控制目标，对系统的混沌振动控制进行了数字模拟，取得了满意的控制效果。通过对齿轮传动系统的非线性动力学的分析和混沌振动控制的研究，发现齿轮传动系统随系统参数改变会产生复杂的动力学行为，而且借助力矩加载控制器可以达到抑制齿轮传动系统的混沌振动的目的。关键词：齿轮传动系统非线性动力学增量谐波平衡法混沌控制神经网络智能控制第i 页。目北丁业大学顾卜学位论义摘要a b s t r a c ti nt h em e c h a n i c a ls y s t e m s ，g e a rd r i v i n gi so n eo ft h em o s tw i d e l yu s e dd r i v i n gw a y s s ot 1 1 ea n a l y s i sa n dc o n t r o lo fi t sd y n a m i c si st h ef o c u so ft h ec u r r e n tr e s e a r c h i nr e c e n ty e a r s ，t h er e q u i r e m e n to ft h e s ef i e l d s ，s u c ha sa e r o n a u t i c ，a e r o s p a c ea n dr o b o t ，d e m a n d sm o r eo nt h ea c c u r a c y , v i b r a t i o n ，n o i s ea n dr e l i a b i l i t yi nt h eg e a rd r i v i n gs y s t e m i ne s s e n c e ，t h eg e a rd r i v i n gs y s t e mi san o n 。l i n e a rs y s t e mt h e nt om e e tt h er e q u i r e m e n to f h i g hp r e c i s i o n ，s m a l lv i b r a t i o na n dl o wn o i s ei nt h es y s t e m ，t h en o n l i n e a ra n a l y s i sa n dc o n t r o ls h o u l db ea d o p t e d g i v e nt h e3 - d e g r e eg e a rd r i v i n gs y s t e m ，t h en o n - l i n e a rs y s t e mm o d e li sb u i l ti nt h i st h e s i sb yu s i n gn l a s sc e n t r a l i z e dm e t h o db e c a u s et h eg e n e r a li n c r e m e n t a lh a r m o n i cb a l a n c em e t h o dd e a l sw i t hp e r i o d i cs o l u t i o n sa ts l o w e rc o n v e r g e n c er a t e ，a ni m p r o v e di n c r e m e n t a lh a r m o n i cb a l a n c em e t h o dh a sb e e np u tf o r w a r d e dt h i si m p r o v e dm e t h o di sb a s e do nl e a s t - s q u a r em e t h o da n di n c r e m e n t a ld i s p o s a l ac o m p u t i n gf o r m u l a sa n dp r o g r a mo ft h ei m p r o v e di n c r e m e n t a lh a r m o n i cb a l a n c ea r ep e r f o r m e d w h e nt h i sm e t h o di su s e dt od e a lw i t ht h en o n - l i n e a rs y s t e m ，w eo b t a i np e r i o d i cs o l u t i o n si nc h a o sa t t r a c t o nt h en u m e r i c a ls o l u t i o np r o v e st h a tt h i sm e t h o di sv a l i da n dc r e d i b l e w ef i n ds l o wc o n v e r g e n c er a t e ，ag r e a tn u m b e ro fd a t an e e d e dt ot r a i nb pn e u r a ln e t w o r kw h e nt h en e t w o r kd e a l sw i t ht h en o n l i n e a rs y s t e mi d e n t i f i c a t i o n t oa v o i dt h e s ed i s a d v a n t a g e s ，t h i st h e s i sh a sp u tf o r w a r das i m p l i f i e dr b fn e u r a ln e t w o r kb a s e do nf o u r i e r - p r o g r e s s i o n b a s e do nt h i ss i m p l i f i e dr b fn e u r a ln e t w o r k ，t h ei n t e l l e c t u a l i z e dc o n t r o lm o d e lo f3 - d e g r e eg e a rd r i v i n gs y s t e mi ss e tu pw h e nt h es i n g l e - p e r i o d i cs o l u t i o na n dm u l t i p e r i o d i cs o l u t i o ni sr e g a r d e da sc o n t r o lt a r g e t ，t h ed i g i t a ls i m u l a t i o no fc h a o t i cv i b r a t i o nc o n t r o lh a sb e e n d o n ea n dt h ec o n t r o l - r e s u l t sc a ns a t i s f yw i t ho u rr e q u i r e m e n t t h r o u g ht h ea n a l y s i so fn o n - l i n e a rd y n a m i c sa n ds t u d i e so fc o n t r o l l i n gc h a o sv i b r a t i o nf o rt h eg e a rd r i v i n gs y s t e m ，w ef i n dt h a tc o m p l e xa c t i o n sw i l lb eg e tf o l l o w i n gw i t ht h ec h a n g i n go fp a r a m e t e r si nt h i ss y s t e mf u r t h e r m o r e ，w ea l s of i n dt h a tt h ec h a o t i cv i b r a t i o nc a l lb ec o n t r o l l e db yu s i n gt h et o r q u e sl o a d e dc o n t r o l l e r k e yw o r d ：g e a rd r i v i n gs y s t e mm e t h o dc h a o sc o n t r on o n l i n e a rd y n a m i ci n c r e m e n t a lh a l + u l o n i ch a l a n c en e u r a l n e t w o r ki n t e i l e c t u a l i z e dc o n t r o i第i i 页西j r j - 业人学坝j 学位沦，：( =第一章绪论第一章绪论1 1本文的研究意义在广泛应用的机械系统中，齿轮传动是应用最为广泛的传动方式。在实际的齿轮传动系统中，由于润滑的需要以及实际上的制造误差、齿面磨损利受力变形等原因，不可避免的存在齿侧间隙；b e # i - ，轮齿交替接触导致啮合刚度随时间周期变化等剀素，都会使得系统产生强非线性振动。这些振动将导致轮齿分离和对扭转系统的冲击：而由这些冲击造成的振动噪音以及轮齿动载荷，会对机械传动系统的工作性能、稳定性和可靠性等产生很大影响。此外系统非线性因素的存在，有可能使系统进入混沌状态并使系统的振动加剧，从而会对齿轮传动副的寿命、精度和动态性能产生负作用。在现代的高精密机械系统中这种影响是不能被接受的，特别是在航空，航天，及现代机器人领域中，对齿轮传动的精度、振动、噪声和可靠性等工作特性提出了极为苛刻的要求。线性振动理论是对振动现象的近似描述，即在质量不变的情况一卜，弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系，系统动力学被描述为线性常系数常微分方程。虽然线性振动理论对一些弱非线性系统可以较为准确地反映振动的客观规律，但当系统中的非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振动、多频响应、超谐波、亚谐波共振和跳跃现象等本质为非线性的特征做出解释”“1 ，甚至会得出错误的结论。因此，将非线性的齿轮传动系统近似为线性系统并用线性振动分析方法和控制理论进行研究已很难满足高精尖技术领域所提出的要求，只有对齿轮系统进行非线性研究( 包括非线性振动分析和非线性振动控制) ；才可能掌握实际的非线性振动本质，并为获得真正小振动、低噪音的高性能齿轮传动系统奠定基础。混沌现象是非线性系统特有的种振动形式，是产生于确定性系统并对初始条件十分敏感的非周期运动。一旦非线性系统进入混沌状态，系统往往会出现一些人们所不希望的特性( 如对不同的初始状态表现为不同的运动特性，而且i ：f z 具有内在的随机性、局部的不稳定性和不可预测性) 。“3 “，从而使得混沌振动控制成为研究非线性振动的重点。从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说，大部分的研究都是借助数值方法探讨系统分叉、混沌等现象。但对周期响应，一般都需要采取近似解析法来求解，其中增量谐波平衡法是求解非线性微分方程周期解析解的较好方法，具有精度高的特点。但是这种方法对于一些特殊的非线性系统( 如：分段非线性系统) 也存在着收敛速度慢，以及公式推导不直观的缺点。本文针对这些缺第l 页点，将最小二乘法原理和增量过程相结合，提出了一种改进的增量谐波平衡章法。并证实了它的收敛速度确实比现有的增量谐波平衡法快，非常适合求解齿轮传动系统混沌振动的不稳定周期轨道。而这也恰恰是进行混沌控制的目标轨道，这样就为混沌系统的智能控制奠定了坚实的基础。在对混沌振动本身进行分析的同时，更关键的是在出现混沌状态时要对其进行有效的控制。于是就有必要建立一套可行的齿轮传动混沌振动控制模型对这种无序状态加以控制，从而消除已有的混沌运动，或降低其振动幅度。”。因此，非线性系统的混沌振动及其智能控制研究近几年引起了广泛的关注。本文利用一种改进增量谐波平衡法求出的不稳定周期轨道作为控制目标，再利用神经网络的方法对非线性系统出现的混沌现象加以控制，从而将智能控制有效地应用于齿轮传动系统的混沌控制中。本课题是汕头大学重点实验室开放基金“多级齿轮传动系统混沌振动及其智能控制”资助的研究项目。1 2 非线性动力学研究概况非线性振动的理论研究开始于1 9 世纪后期，由庞加莱( h p o i n c a r e ) 最先讨论了奇点的分类，引入了极限环概念，并建立了极限环存在的判据。其后拉格朗日( j l l a g r a n g e ) 建立了保守系统平衡位置的稳定性判据。更有意义的是李亚普诺夫( a m l y a p u n o v ) 给出了系统运动稳定性的严格定义，并提出了研究稳定性问题的直接方法。1 。由于叠加原理不适用于非线性振动系统，故非线性振动分析需建立全新的理论和方法。数学、力学、物理等学科界的科学家经过长期努力，已提出了多种求解非线性振动系统的近似解析方法。1 8 3 0 年泊松( s d p o i s s o n ) 提出了摄动法的基本思想。达芬在研究振动时首先提出了谐波平衡法，并将谐波平衡和逐次迭代结合起来一起使用。平均法最早是使用在天体力学中，1 9 2 0年范德波尔( b v a nd e rp 0 1 ) 将平均法思想应用于研究电子管的非线性振荡。然后克雷洛夫( n m k a - y l o v ) 和包戈留包夫( n n b o g o l i u b o v ) 则将平均法发展为应用于一般弱非线性系统的近似计算方法。此后他们又提出了一种可求任意阶近似解的渐进法，最后米特罗波尔斯基( y a m i t r o p o l s k y ) 将这种方法推广到非定常系统并最终形成了k b m 法。1 9 5 7 年斯特罗克( r a ，s t u r r o c k )在研究电等离子体非线性效应时应用两个不同尺度描述系统的解而提出多尺度法，而奈弗( a h ，n a y f e h ) 等则使多尺度法进一步得到完善化“”。“。以上提到的摄动法、平均法、k b m 法等都是针对弱非线性系统而发展起来的分析方法，无法满足实际中经常出现的强非线性系统的振动分析要求。第2 页两北f q k 犬学顺 学位论迁针对强非线性系统振动系统所建立的分析方法则主要有谐波平衡法、伽辽会法等，但它们又都存在着适用范围小或逼近误差大的问题，也不能够让人们满意。因此，要想对强非线性系统的振动问题得到高精度的分析结果，我们就必须另辟蹊径。l a u 和c h e u n g 在1 9 8 1 年提出了增量谐波平衡法( i h b ) ，该法把n e w t o n - - r a p h s o n 方法的增量过程与谐波平衡法( h b ) 法相结合“j ，它具有公式推导容易，迭代过程中能自如地控制算法收敛精度等优点，是求解强j f线性问题的有效方法“4 “”。但是这种方法对于些特别的非线性系统( 如：分段非线性系统) 也存在着收敛速度慢，收敛范围小，以及推导不直观的缺点。本文针对这些缺点，将最小二乘法原理和增量过程相结合，提出了一种改进的增量谐波平衡算法，推导了它的计算公式，并将它成功的运用到分段线性系统的周期响应求解中。从而证实了它的收敛速度要比一般的增量谐波平衡法快。因此，可以说这种改进的增量谐波平衡法是有较大的优势的，具有较广阔的实际应用价值。由于齿轮传动是一种应用最厂泛的传动方式。在航空，航天，及工业机器人等领域都起着重要的作用。为了获得高精度的齿轮传动，国内外齿轮工作者对齿轮传动系统的动力学十分重视，做了大量的研究工作，并取得了很大的发展，其发展经历了由线性振动模型到非线性振动模型，由定常系统到时变系统的变化”h ”1 ，就其模型而言现在的研究主要有在以下三类：第一类是线性时不变模型；第二类则在线性系统中加入了对时变啮合刚度的考虑，由于同时参与啮合的轮齿数目和啮合位置变化，轮齿的啮合刚度是随时间变化的。因此，系统在受到静态传递误差激励的同时，还受到时变刚度参数变化的激励；第三类则在考虑非线性系统的基础上将啮合刚度视为定刚度，引入了齿轮副间隙。由于计算机技术的发展，运算速度的提高以及非线性理论的不断成熟，齿轮系统的研究模型现集中在线性时变模型和非线性时不变模型上3 。1 3 混沌系统的控制研究现状对混沌现象的认识是目前关于非线性研究的重要成就之一；混沌科学是运用各种现代理论与技术研究混沌的机理、控制及应用的交叉学科。混沌的本质是对初始条件的极端敏感性和长期不可预测性。产生混沌的系统是具有类似随机运动轨迹特点的复杂的非线性系统。混沌现象是普遍存在的，要充分驾驭混沌，就要在明晰混沌产生机理的基础上控制混沌。混沌控制现在一般是指对混沌系统进行控制，以实现理想的行为状态，包括混沌振动、周期振动和静止状态3 ”。“”“。近年来有关混沌系统的控制问题，成了控制界研第3 页酮北t 业大学砸十学位论文第一章绪论究的热点问题之，一些学者将混沌控制与传统及新兴的控制方法结合，形成了独特的控制理论与方法。“5 ”在实现混沌控制时，利用混沌运动本身的特性和优点，对于实现振动形式的改变( 包括从混沌态到周期态以及从一种周期态到另一种周期态) 具确重要意义。首先，混沌振动中系统在混沌吸引子上具有各态遍历性，这样人们就可以在整个混沌吸引子的广大范围内来捕捉不同的周期态，并实行不同的控制操作和选择不同的控制目标，这使得混沌控制具有很大的灵活性：另外，混沌运动具有初值敏感性，任何近邻轨道之削的微小距离随着时间的演化会以指数形式迅速发散。“。”，这方面导致了混沌运动长趋势行为的不可预见性，另一方面又构成了实现混沌控制的有利基础，即对系统施加极小的影响就可使系统运动产生重大变化，使得系统从靠近一种周期态到靠近另一利周期态”。基于不同的控制规律，目前已有的混沌控制目标可以分为两种：一种是基于混沌吸引子内存的无穷多周期轨道进行控制，控制的目标是对其中某个不稳定的周期轨道进行有效的稳定控制；另一种控制目标则不要求必须是原系统中的周期轨道，而只要通过可能的方法和途径，得到所需的周期轨道即可；= 。此外对于混沌控制方法也可以分为两类，即参数微扰法( 以o g y 法为代表) 和智能控制法。o g y 法是荧因马里兰大学的物理学家o t t ，o r e b o g i 和y o r k e 于1 9 9 0 年在他们发表的著名论文“控制混沌”中提出的。它的基本思想是首先确定嵌入混沌吸引子的各种不稳定周期轨道，然后选择其中的一个周期轨道作为目标轨道来进行控制。由于混沌运动轨道的各态遍历性，系统的运动会在一个时问段后进入到目标轨道附近；在这对再对系统参数施加个微小的控制摄动量，这样就可以把系统的运动稳定在一个目标周期轨道上。但o g y 方法也有其不利的一面，主要是系统需要一个可能是较长的等待时间爿能开始真正的控制，而且我们需要事先知道目标周期轨道的各种参数( 包括特征值和特征参数) ，才可进行控制，所以不适于及对的在线控制。在智能控制中，由于神经网络具有本质上的非线性特征，能够很好的模拟非线性系统，并适用于非线性控制，所以成为混沌控制的另一个重要的发展方向和研究热点。在o g y 方法之后a l s i n g 等人率先提出了利用反向传播b p 神经网络控制混沌的策略“。由于这种方法实质也是基于o g y 方法的算法，所以也具有o g y 方法的缺点。o t a w a a r a f a n 提出了另一种控制混沌的神经网络方法。”1 ，它是通过可变的网络参数来近似受控系统并用混沌系统的输出数据来训练前向网络控制系统的小扰动时间序列。他们的缺点在于系统的平衡点第4 页西北丁业大学坝l ：学位论艾第章绪论需要事先确定，或者非线性动力学需要事先被精确分析”“。由于对混沌系统的控制需要在一定时问范围内完成，而不是一次性完成的，因此最好的控制应是不间断的时时控制。从这个角度考虑神经网络混沌控制也是最有前途的控制方法。它首先需要神经网络对非线性系统进行辨识，然后再对此系统进行控制。单就控制而言，既可以在推导出控制律之后采用一般的控制方法，也可以采用神经网络的方法经过一些算法的计算后直接进行控制，但后者显然具有更易操作等优点。1 4本文的研究内容本文研究的对象是某实际单级齿轮振动实验台系统，针对其建立了三自由度非线性振动模型，对其动力学行为进行了研究，求出了它的周期解析解，并在系统处于混沌状态下对其进行了系统辨识和智能控制。其中本文的创新点主要有：提出了改进的增量谐波平衡法和简化的r b f 神经网络，并使用边界参数图来描述混沌状态。具体的研究内容包括：第二章用集中质量法建立系统的间隙非线性动力学模型，对模型方程进行了无量纲化处理，得到系统运动的微分方程，为以后的计算奠定了基础。第三章介绍了一般的增量谐波平衡法的原理，同时指出了其存在的缺点，并针对这些缺点提出了一种经过改进的增量谐波平衡法，进一步推导了它的计算公式。将此方法应用于此前建立的三自由度非线性系统中，并通过与原有增量谐波平衡法对比，证明这种改进方法是可靠的，并且收敛速度较快。第四章对三自由度齿轮传动系统动力学进行了分析和计算，首先介绍了几种用于非线性混沌振动分析的数值方法，然后在外加控制力矩和激励频率改变时，对系统的运动形式及状态的改变进行了计算，并在此计算的基础上研究了非线性系统混沌振动的可控性问题。第五章讨论了混沌振动的控制方法，重点介绍了o g y 方法和本文所采用的r b f 神经网络系统辨识方法以及基于此上的神经网络的模型参考自适应混沌振动控制方法。并将其应用于三自由度齿轮传动系统的数字模拟中，成功的实现了对混沌振动的智能控制。第5 页两北【业大学颂十学位论义第一章三自由度齿轮转了系统i 】勺动力学模型及方程第二章三自由度齿轮转子系统的动力学模型及方程2 1 概述本文讨论的对象是某单级齿轮传动非线性振动实验台系统，它主要包括电动机、主动轴、减速箱( 有主动齿轮和从动齿轮等组成) 、从动轴、负载、转矩控制器和齿侧问隙调节装置等。其组成如图( 2 1 ) 所示：图2 1 齿轮实验台系统示意图建立这种单级齿轮传动系统动力学模型是为了满足进一步动力学特性分析的需要。因为只有对研究对象建立起动力学模型，人们才有可能对其按照数学和物理的方法进行进一步的研究。它主要包括对研究对象的物理模型抽象，数学微分方程的建立和方程参数的确定。2 2 研究对象的动力学参数确定利用集中质量法将单级齿轮传动实验台系统的各个部分的转动惯量进行集中，从而为下一步的建立模型奠定基础。对于整个传动系统，将其等效为四个集中惯性盘，即：电动机、主动齿轮、从动齿轮和负载。为达到系统的平衡，采用力矩分解平衡的方法对各部分的转动惯量进行了分解和集中，获得四个集中惯性盘的转动惯量，即h 厂一，j ，= 二，。，产1 4( 21 )j = 1l其中，。是集中转动惯量前的系统第i 个部分的转动惯量，i 是指质量集中前臼勺第6 页两北i 一业大学硕t 学位论文第1 二章二三白由度齿轮转子系统的动力学模型及方程第i 个部分：j ，是集中转动惯量后的转动惯量，是指第，个集中质量位置l 是处在各个第i 部分两侧的相邻两个集中转动惯量位置之问的长度，l 是集中质量前的系统第i 个部分到集中转动惯量的第，个位置的长度。其中，是电动机处的集中转动惯量，j ：是主动齿轮处的集中转动惯量，| ，、是从动齿轮处2 ) 考虑轴的扭转刚度，利用材料的扭矩公式可以得到轴的扭转刚度的计k ，= 吾= 专z ，其中k 。是扭转刚度；t 是施加在轴( 包括主动轴和从动轴) 上的扭转力矩；，。分别是各个轴的总扭转角和各个分段的扭转角。其中又有：”等旺，2 石亡旺”式中，g 为材料的剪切模量，一般钢材的g 值为8 0 g p a ：f ，是第i 段轴的长度；而厶为截面极惯性矩，其值如式( 2 4 ) 所示：譬眨。，式中，d 是第i 段轴的直径。将式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 代入式( 2 2 ) ，可得：驴瓦t2 磊t一l羔g 务ld 4第7 页! ! ：坐二些查兰塑! ：兰些笙兰第二章二自由度齿轮转了系统的动j 学模型及方程去k = 羔g 刍ds ，。冗- ：、。通过式( 2 5 ) 可以经计算得到各个轴的扭转刚度。3 ) 主动齿轮与从动齿轮的轮齿刚度可以用以式( 2 6 ) 计算：11 2 - h ，1 2 h ；一k g2 g i b _ = s + i 3 e b 专s( 2 t 6 )j。其中，h e 是齿轮的齿根高；s 是齿轮的分度圆齿厚；b 是齿轮的鸯宽；劂样g是剪切模量：e 为材料的弹性模量。实际的齿轮副啮合刚度可以用式( 2 7 ) 来计算：k 。= 0 5 + k g( 2 7 )2 3 系统模型的建立图2 2 所示为所研究的齿轮实验台传动系统的动力学模型：图2 2 单级齿轮传动系统动力学模型在该模型中，主要考虑的是主动齿轮与电动机之问主动轴的扭转方向振动，主动齿轮与从动齿轮之间的切向振动，以及从动齿轮与惯性负载之f b 的从动轴的扭转振动。该模型的非线性特点就主要体现在齿轮沿啮合线方向的分段线性函数上。图中各符号的含义分别为：山代表的是对系统施加主动力矩的电动机的转动惯量：以是齿轮箱中的主动齿轮的转动惯量；加为从动齿轮的转动惯量； 则是负载的转动惯量，它既可以是一般的负载，也可以是一台发电机。此外它还包含可改变输出控制力矩的控制器。c t 是电动机与主动齿轮之间的扭转阻尼，c 2 是从动齿轮与负载之间的扫第8 页西北丁业大学硕i j 学位沦史第二章三自由度齿轮转了系统的动力学模型及方程转阻尼，g 是主动齿轮与从动齿轮之间的啮合线性阻尼；k l 是电动机与主动齿轮之间的扭转刚度，膨是从动齿轮与负载之间的扭转刚度，凰是主动齿轮与从动齿轮之间的啮合刚度；同时，另有乃为电动机所施加的转动力矩：n 为负载上的载荷力矩与控制器输出的可变控制力矩之和；乃则也是施加在主动齿轮上的可变控制力矩，这些控制力矩都是通过一个附加轴与主动齿轮相联系，由于这个附加轴只起传递力矩的作用，不是我们考虑的重点，所以在建立传动系统的模型时，可以不将此轴考虑在内，而认为7 j 、如是直接施加在主动齿轮和负载上的。2 4 系统动力学方程的建立在建立齿轮传动系统的动力学方程时，做以下假设：1齿轮为渐开线直齿圆柱齿轮，齿轮间的啮合力始终作用在啮合线方向上，两啮合轮齿简化为由阻尼和弹簧相连接的圆柱体，阻尼系数为两齿轮啮合时的啮合阻尼，弹簧的刚度系数为齿轮啮合时的啮合刚度。2 啮合点处的摩擦力忽略不计。3 整个系统关于齿轮宽度中心平面对称，系统的轴向运动可以忽略不计。4 ，系统可以用集中质量的方法建立模型，特别是对主动轴和从动轴的质量与转动惯量可以忽略不计或采用质量配平的方法分别分配在电动机、主动齿轮、从动齿轮和负载上。通常的外部激励是由几何偏心、原动机( 电动机、发动机) 负载扭矩波动引起的。前者可以通过提高设计及制造的质量来弥补，但是扭矩波动一般不容易消除。扭矩波动引起激励通常具有较低的频率，一般与输入轴转速频率成小倍数关系。内部激励由与制造相关的齿形误差、齿距误差，以及轴承、轴和轮齿的弹性变形等因素引起。上述原因可组合产生一个总体的运动误差函数称为内部静态传动误差g 。，可用周期谐波激励的形式表示，即e 。= es i n ( o o - f ) 。静态传动误差是指在轮齿啮合过程中，从动齿轮的理论位置与实际位置之间的偏差值，该误差通常表示为齿轮啮合线上的赢线位移。设x 。= r h ：0 ：一，0 ，一e 。，代表主动齿轮与从动齿轮之间的齿侧间隙距离：则可建立齿轮传动系统的微分方程为：第9 页第二章= 自由度齿轮转r 系统的动力。手模型及方器- b + c 1 - ( 岛一岛) + k ( 鼠一旦) = 正以幺一c l 一只) 一k 一b ) = - ：r r e ：- e以皂+ c j - ( 岛一只) + k ( 包一晓) = e只+ g 鸭只) + k 一0 0 = 也( 4 ( 29 )e = c ：( - 岛一岛一8 。) + k f ( 5 ：，谚一r 包一)= g ( x o ) + 吒- 厂( 瓦)式中，口是电动机处的转动角，臼：是主动齿轮处的转动角，0 ，是从动齿轮处的转动角，0 。是负载处的转动角；同时0 - ，0 2 ，0 ，0 4 和口t ，口z ，护s ，臼。则分别代表了臼。，02 ，0 ，0 。的一阶求导项和二阶求导项( 即角速度项和角加速度项) ；x 。是主动齿轮和从动齿轮之问的啮合位移差( 间距) ，它代表的是距离项，x 。则是x 。相应的一阶求导( 速度项) ：0 1 是主动齿轮的分度圆半径，f b ，从动齿轮的分度圆半径：8 。为主动齿轮与从动齿轮之间的加工误差ni 是电动机所施加的转动力矩，l 和瓦为控制器输出的可变控制力矩，但是l 也包含负载上的载荷力矩；l ，l ，以，以，月，c i ，c 2 ，c n ，丘l ，尬，凰所表示的意义则和前面的一致；而只是主动齿轮与从动齿轮之间的啮合冲击力，其中的f ( x 。) 代表齿轮沿啮合线方向的分段线性函数。其变化曲线如图2 3 所示：弹l 生力厂。一相对位：豳2 , 3 齿轮副的间隙非线性函数所以f ( x 。) 的具体表示形式就为：f + b b式中b 是齿侧间隙的一半值。下面对动力学微分方程式( 2 9 ) 进行简化。旃1 0 页； i i 北r 业大学顾士学位论文第一审三自由度齿轮转子东统的动j j 学模型及刀髭将，：与 的乘积减去j l 与 的乘积，可以得到：j 2 - 岛+ 以【c l 【岛一旦) + k ( q 一皂) 卜以以岛+ c l ( q 0 0 + k , ( 舅一b ) = j2 - t l + j l r 2 + ，l 7 2 f 。( 2 1 1 )没：，。，= 等 争，则司以将式( 2 1 1 ) 化为：，。( 0 。l 一0 。：) + c 。( 0 一0 i ) + k 。，( 0 一0 ：) = 二i 1 1 1 = _ 兰j j ；j 专半，。l ( 1 2 ) +l ( i 一2 ) +l ，( 1 2 ) = 二_ 三上= _ 匕_ 1 _ j 旦土一j ( 万一或) + c i - ( 占t 一讲h ( o ，- 0 2 ) 一器e ( 札世m 川，2 i + j 瓦j 2 + j l重新定义振动变量为：k = 鼠一0 2忸2 = x 。( 2 1 2 )i b = 岛一0 4其中，_ c ：是关于齿轮间啮合的位移差( 间距) ，x 1 , 工，分别为电动机与主动轮、从动轮与负载间的相对扭转角。所以式( 2 1 1 ) 可以最终变为：。秕i 坶玉一器瞩乏嘶鹏) 】( 2 1 3 )同样将，。与 的乘积减去j ，与 的乘积，可得：以歪+ 【g ( 怠一反) + k ( 0 3 一0 4 ) 1 一以以巨+ 以【q ( 龟一反) + k ( b 一只) 】= ，3 l + l ，4 h 3 。只( 2 1 4 )设：厶= 糟测可以将式( 2 化为：第1 l 页两1 业大学倾 学位论史第二章二自由度幽轮转了_ 系统的动力学模掣及方程l ，。：，( 贰一舀：) + c ! ( 占，一盛) + k ：，( 8 3 - 0 4 ) = ! i ! 二等“嚣一珏c ：t ( 反一昏( 0 3 - 0 4 ) 一捂e t 坻似。) 而式( 21 4 ) 最终会化为i ，：j3 + j4厶瓤- 批噶一而j 4 f b3 “。m 捌= 篙( 2 ，s )此外对于 和 ，可以进行如下处理j j ：口：一c ，( 臼一0 ：) 一k 。( 口。一0 ：) = 一疋一_ z fi ，3 护) + c 2 ( 0 3 目4 ) + k 2 ( 0 ，一0 4 ) = ，。e将式( 2 1 2 ) 代入上式，可得j j ：0 z c 。x 一k t x - 2 一瓦一r b ：c【j 3 0 3 十c 2 x 3 + k 2 x 3 = 只将上式做简单的变形，得设c 12c ，n 3，( x ：) 】_ 一生r b 2f ( x ：) 】= 0：之，m 。：! 生! ! ，可进一步化简为0 3 卅2 + 珊3卜，反一警i 一警_ 婀卜，嚣+ 警，毫+ 警气将以上两式相减，得第1 2 页ex 2 + k 。m ：) 】：一旦量r b 22 ex 2 + e f ( x 2 ) 】- 0kk+k也ee卜一hb墨一砭一一+一也之之m生：i lm! 型! ! ：兰查兰堡兰兰些丝竺笙= 兰三! 虫些堕堑茎三墨堕塑垫塑竺堡里丝查里”( 臣吨面一旦旦；，一旦旦毫一旦堕一一竺堕喝232矗3+ ( + m 2 ) ，k 乏+ k ，f ( x ：) 】= 一旦吐( 2 1 6 )2最终变形以后的结果为：”鸭，g佩c 1飓k配m ，x ，一o - x i 一：- o 一鼍2 l 一- x l 一_ 二，_ _ = x 、。一( 鸭+ 鸭) ：( + 鸭) ( 鸭+ ) 。25 ( 肌：+ 鸭) 。+ c ”；2 + k n 厂( x ：) = 一燕一，卯r ；：( 2 1 7 )将式( 2 1 3 ) ，( 2 1 5 ) ，( 2 1 7 ) 进行组合后，可得到一个三自由度的非线“i 竹妄嘶葺一捂k 毛吩】= 笔半l”m j c i碍g。m 】k ir n , 嘎一瓦蔬嗡一瓦蒇吗一瓦赢噶l 百；i m 丽2 k 2 ，x ，+ c j 毫+ k ，厂( x z ) 】= 一燕卜妨毛坶屯一格 c 之懈弛：) 】_ 格以2 1 8 )重新设x ：= 皇上鱼二警，其中b 是齿侧间隙的一半值。因为八x ：) 是分段线性函数，如图( 2 4 ) 所示，所以函数内部的常量可以提到函数外边来。将上面的三个式子分别除以j 。m 。- b ，j ，：，则得第1 3 页雾罐一一崤一岍生一划m簪百轴等静蔫器一川疋一帆拇州”桃一训一，雨竹6x，“，n两北r i 业大学颂f 一学位论殳第二帝自由堑齿轮转了系统的动力学模型搜力程；+ + 万k i 一一字，之一半。m 沪等瓣乏+ 誊+ 鲁一击i 一熹。毛一堡嗡一茎l 喝：一i 一鱼 1 9 蹦| i ，r 1肫b r 。聍k 6 兄，b三+ 净+ 分一孚乏一半m 护此时的非线性函数( x ：) 则变为如图24 的形状具体表达式为l l a jl卢。+x2图2 4 齿侧间隙形成的1 f 线性力位移函数工 1令。z ：上k，r ：。，则式( 2 1 9 ) 中的第一个分式就变为坍i + 警i + 上将等式两边同除以珊。2 ，等式即为i gc ik l石1 十：- 上。x 1 + - x以l 甜。j 棚。晕堕乏一丝掣f ( x ：)j 、j 、j ，z + j ，r = = _ l - =j l 3 、筹乏一等j ，m ：，l ，2 n2 珊”第1 4 页+ o一隅隅=)厂西北 2 | 、i k ， _ = 学坝卜学位论义第二章：自由度齿轮转子系统的动力学模型及方程：生：互! ：圣( 2 2 ( ) )，2 j l d 。龄氕= 击：= 糍，“2 去= 警，工= 等0 9，珊。l ，2 】+”则式( 2 2 0 ) 就简化为x l + 2 氧i ) c l + k l l x l 一2 最2 x 2 - - k 1 2 f ( x 2 ) = z需要指出的是原来的x 都是对r 求导的，而从式( 2 2 1 ) 开始都是对无量纲时间r = 印。t 进行求导的。同时式( 2 1 9 ) 中的第二式就变为：( 2 2 1 )所有的x一：+ 警- 乏+ 鲁m 1 ) _ 墨m 2rb2，二一糕m3o 毛”“m 。，。d 7 i 3一丽kl-，一赢k2，x3=x一熹br b 2 一鱼b一一_ 一m 2 6 k 21聊2 6 。3m 2 对于内部传动误差p 。，我们用周期谐波激励的形式表示，即p 。= p s i n ( c o 。f ) ，l y j e 。= 叫2 s i n ( c o 力。此外，设q 5 百c o 。则上式变为2 时j oc n 魄( _ o n 乏+ 鲁舭，一蔫：一舞毫一熹一赢，x 3 = - 一熹抽c o2sinbr bbr bm 2bb ，一二一-x，一二一十一、5 1 ，2 - - 2。m 2 一3吒2将等式两端同除以甜。2 即为乏+去-乏+去弛：)一而c丽1m；。h。e 。脚n 小2 d 如2 h而c2一x，一去噶一志嘣3mbm 2b一，一一。 1 一丁m 3 6 3 。2 2 国。3 珊第l s 页两北一i 。业大学埘卜学位论义第二辛二自由度齿轮转子系统的动力学模掣硬方程龄厶= 去：m 2 b r b 2一南+ 三q2s i n s i n ( 叫t 222mbb= 一_ = _ + 一( 2 - ) ()2 一屹2 。n2、2，k 2 32c ，b 2 。珊。k ，m 2 b r b 3 c o 月2 2 昙，f ：2s i n ( 叭) _ 去则式f 2 2 2 ) 就变为：x 2 + 2 f 2 2 - x 2 + k 2 2 f ( x 2 ) 一2 f 2 l 。x 1 2 f 2 3 x 3再将式( 2 1 9 ) 中的第三式变形。釜+ 旦苎r将等式两端同除以c o 。2 ，可得k 2 l x l k 2 3 x 3 = 六( 2 2 3 )垒! ：呈! ：! ：竺! i 一垒! ：茎! ：!j 、j 、弛! ) = 拿曩+ 去毫击喝一等乏一等，似：，x 3 + 了：_ ；j x 3 + 寿x 3 一莆x 2 一荐x 2 豁如= 去一：= 糍，k 去则式( 2 2 4 ) 简化为，六2 去( 2 2 4 )x 3 + 2 善3 3 x 3 + k 3 3 x 3 2 孝3 2x 2 一k 3 2 。f ( x 2 ) = 兀( 22 5 )所以针对图( 2 3 ) 所建立的三自由度模型而简化的最终无量纲化动力学微分方程就是( 2 2 1 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 5 ) 的组合，即：第1 6 页一，土一优一生厶+b去| |岩=挖西北工业人学颁l 学位诒殳第一章二二自由度齿轮转于系统的动j 学模型及方程i x l + 2 舌1x 】+ 七l l x l 一2 舌2 x 2 - - k 1 2 f ( x 2 ) = 工p 凌矿他卜毪雹x i 氇： 泣：a ，l一庀，一缸，x = ，、l 2 2 0jl x 3 + 2 与3 x 3 + k 3 3 屯一2 毛2 玛一k 3 2 i 厂( x 2 ) = 六其中x 。，x ，和x 2 分别为无量纲化的主、被动轴的扭转相对角位移和轮齿沿啮合线方向的相对线位移；卣，卣：，善：，善。代表无量纲阻尼系数；局，向：进一步将其化为线性项和非线性项相加的形式：醢i 韧1k l l0+ j _ 坞10l00f ：隅甍2 斟斟lo 一南：毒，j x 3lj胁雌帖如) 是( 22 7 )如将式( 2 2 8 ) 化为简化形式的矩阵等式，则有m t 卫+ c x 十足1 戈+ k 2 厂( z ) 】_ f ( r )( 2 2 9 )式中m 表示时不变的质量矩阵，j 表示位移向量。c 为时不变的阻尼矩阵，即不考虑轮齿分离及时变的啮合特性对啮合阻尼的影响。k 为对应的线性位移刚度矩阵，肠为对应的非线性项( 即分段线性项) 刚度矩阵。，( x ) 是对应于齿轮沿啮合线方向的分段线性函数，f ( r ) 为系统的激励力向量。第1 7 页822(、lr，l，=、l“玎fil，ljo刘计。吨k西北t 业夫学硕十学位论文第二章t 自由度齿轮转了系统的动力学模型及方埕对于本文所研究的齿轮传动系统，式( 2 2 9 ) 中各矩阵的具体表达式如下= bfo八柳。1 厂州i10olm = 1010 0o1ll 孝，一善。101c = l 一亭：古：一岛，ilo一：茧，1l七l loolk l = 卜2 l0一女2 3il0o屯，lj0一七1 20ik 2 = 101oilo一足3 2o1即，= 第1 8 页两北t 业大学硕l j 学位论文第三卷增量谐波、严衡法驶# 改进第三章增量谐波平衡法及其改进3 1 概述非线性振动和线性振动之间存在着本质的区别，因此只有利用非线性振动的理沦和方法，才能弄清那些非线性振动问题。国内外的许多科学工作者曾致力于非线性振动理论的研究，力图提出较完善的方法来处理这些非线性振动问题，从而使非线性振动的研究工作得到了较大的发展，特别是由于近3 0 年来计算机技术的迅速发展，使许多非线性振动问题( 包括混沌振动) 都在借助数值计算与数值模拟的方法进行解决，这就使得对非线性振动问题的求解向前推进了一大步。但是对于非线性系统而言，单纯地对系统的周期状态进行数值积分求解只能得到一系列的动力学行为轨迹序列，而无法对系统的非线性动力学行为的本质特征做出有效的刻画和分析。因此就必须借助解析法对非线性系统的周期状态进行求解。l a u 和c h e u n g 在1 9 8 1 年提出了增量谐波平衡法( i h b ) ，该法把n e w t o n 。r a p h s o n 方法的增量过程与谐波平衡法( h b ) 相结合。它具有推导公式容易，迭代过程中能自如地控制算法收敛精度等优点，是求解强非线性问题的有效近似解析方法。而且增量谐波平衡法能够直接给出频域内的精确结果，通过i h b方法对特定参数逐步增量和利用前一步的数据在每一点加快收敛速度，频谱曲线以及其他的参数变化可以很方便的得到。由于能够调节谐波数目，故可以求得以幅值，相位和波形表示的精确结果，因此也可以说增量谐波平衡法就是将系统时问历程的频率域的表达形式以一定的精度和频率组成分量求