（电力系统及其自动化专业论文）基于数学形态学的故障行波测距方法研究.pdf

a b s t r a c t w i t ht h ee n l a r g e m e n to fp o w e rs y s t e m ，u p g r a d eo fv o l t a g ea n dc o m p l e x i t yo f p o w e rs y s t e m ，u l t r ah i g h s p e e dr e l a y sa r en e e d e dt oe n s u r et h es a f e t ya n ds t a b i l i t yo f t h es y s t e m t h er e l a y sb a s e do nt r a v e l l i n gw a v ec a nn o to n l yo p e r a t ea tu l t r ah i g h s p e e d ，b u ta v o i di n f l u e n c eo fs y s t e ms w i n g ，f a u l tg e n e r a t e dr e s i s t a n c e ，f e e d i no f f a r 。t e r m i n a l ，p a r a m e t e ro fl i n e sa n ds oo n t h e r e f o r e ，t h es t u d yo np r o t e c t i o nb a s e d o nt r a v e l i n gw a v ei so fg r e a ts i g n i f i c a n c e h o w e v e r , t h et h e o r ya n dt e c h n o l o g yo fe x i s t i n gp r o t e c t i o nb a s e do nt r a v e l l i n g w a v ei s i m p e r f e c t t h ee x i t i n gs u c c e s s f u la l g o r i t h mo nd e t e c t i n ga n di d e n t i f y i n g w a v e f r o n ti sw a v e l e t s ，b u tt h i sa l g o r i t h mi st i m e - c o n s u m i n g ，c o m p l e xa n dd i f f i c u l t t ou n d e r s t a n d i ti sn o ti nf a v o ro fd e v e l o p i n gf a u l tl o c a t i n gt op r o t e c t i o nb a s e do n t r a v e l i n gw a v e a d d i t i o n a l l yt h ea m p l i t u d ev a l u eo fs i g n a l sd e a l i n gw i t hw a v e l e t s d e c r e a s e sg r e a t l ys o m e t i m e sa n dp h a s ed i s t o r t i o ni sb r o u g h tb yt h i sa l g o r i t h m t h i s c h a r a c t e ri n t e r f e r e ss i g n a ld e t e c t i o na n di d e n t i f i c a t i o nw i t hh a r d w a r e s oe x p l o r i n g f a s t e ra n dm o r ee f f e c t i v ew a v e f r o n td e t e c t i n ga l g o r i t h mi so n eo ft h ek e y st o p r o m o t ed e v e l o p m e n tf a u l tl o c a t i n gt op r o t e c t i o nb a s e do nt r a v e l i n gw a v e i ti sa n u s e f u la t t e m p tt or e p l a c ew a v e l e t sw i t hm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ( m m ) f o rt h i s p r o b l e m t h ec o n t r i b u t i o na r em a d ea sf o l l o w s ： i m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g ya n dw a v e l e t sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l b a s e do n t h es i m p l ec o m p a r i s o ni nt h e o r ya n dc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y ，w ec a n m a k eac o n c l u s i o nt h a tm mi saf a s t e ra n ds i m p l e ra l g o r i t h mf o rw a v e f r o n t d e t e c t i o n ； 2 m mu s e di na ca n dh v d cf a u l td e t e c t i n ga n dl o c a t i n g ；r e s e a r c hd o n eo n t h ee f f e c to fm mf i l t e r ；t h ee f f e c t i v e n e s sa n dr o b u s t n e s s o fm ma r e a p p r o v e da d e q u a t e l y ； 3 b u i l dt h et e s tp l a t f o r mf o rt r a v e l l i n gw a v ed e t e c t i o na p p a r a t u s ；b yd e a l i n g t r a v e l i n gw a v es i g n a l sa c q u i r e dw i t hm m t h ee f f e c t i v e n e s so fm m i st e s t e d w i t ha c t u a lm e a s u r e m e n td e v i c e k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ( m m ) ，w a v e l e t s ，t r a v e l l i n gw a v e - b a s e d 1 1 i 昆明理工大学硕士学位论文 i _ 鼍目曩置一 p r o t e c t i o n ，t r a v e l l i n gw a v e b a s e dl o c a t i n g t h i st h e s i si ss u p p o r t e db ys c i e n t i f i ca n dt e c h n o l o g i c a lp r o j o c to fy u n n a n p r o v i n c e ( 2 0 0 3 g g l o ) i v 昆明理工大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不合 任何其它个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：靠态 日 期：址年6 月b 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其它复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名： 槭砭 日 论文作者签名： 期：锄土年 盗苎 6 月 j ； 日 第一章绪论 1 1 选题意义和背景 第一章绪论 国家正在实旌“西电东送”和全国电网互联战略以解决我国能源不均的问 题，我国电力系统规模不断扩大，输电线路传输功率与电压等级在不断提高， 目前以西北7 5 0 k v 输电线路为龙头的特高压输电线路建设已经正式列入议事日 程【1 , 2 1 ：同时，高效灵活的输电方式一高压直流输电也即将得到大面积的应用。 因此，输电线路故障对社会经济生活造成的影响会越来越大，造成的损失也越 来越大。从现有的恢复运行经验来看，花在设备维护的约一半时间是找出故障 位置【孙，及时修复故障单元的重要前提是准确快速的标定故障位置。电力系统的 绝大多数故障是发生在输电网络里的。输电线路距离长，其走向多为荒山僻野， 山谷地带，环境比较恶劣，随着快速继电保护装霞与断路器的应用，故障切除 时间大大缩短【4 1 ，使得大部分故障没有明显的破坏迹象，因此，故障发生后不论 是驱车或采用直升飞机巡线，工作都十分艰苦困难，并要花费大量时间。故障 测距装置的应用，可以在电网故障后迅速、准确的指示出故障位置，大大地缩 短故障修复时间，减少因停电造成的综合经济损失，节省故障修复的人力物力。 故障测距还可以帮助人们分析故障原因，发现绝缘薄弱点，以及尽早采取措施， 防患于未然。现场的电力运行人员及研究工作者历来都比较重视故障测距问题， 研究开发了很多种故障测距技术或装置，特别是近年来随着微电子技术的发展， 故障测距技术取得了可喜的进展。 另外，对于高压、超高压输电系统来说，基于工频量的传统保护将面临原 理和技术方面新的挑战。如果特高压输电系统故障时，短路过程中的暂态分量 愈加明显、衰减时间更长。而现有的滤波算法无法滤除分数次谐波，这将对工 频量保护产生不利的影响。长线路的分布电容将使线路两侧的电流大小和相位 不一致，在一般高压线路中表现优良的差动保护由于分布电容过大而面临严峻 考验【5 1 。因此特高压输电的关键问题之一就是线路继电保护的选择与配置，而完 善的行波保护可以成为特高压输电线路的一个重要选择。 高压输电线路故障所引起的行波中包含着丰富的故障信息，合理地利用行 波信号中的敌障信息，不仅可以构成超高速动作的行波保护，而且可以形成精 昆明理工大学硕士学位论文 确的行波故障测距和不受中性点运行方式影响的小接地电流系统行波选线方 法。现有行波测距和行波选线方法的正确性和有效性已经被实际运行和现场试 验所证实【p 1 6 】。这既说明了行波故障信息是可以利用的，同时又为行波保护的 研究和实际应用提供了经验和借鉴。实际上，高压直流输电( h v d c ) 已将行波保 护作为直流线路的主保护，但现有的行波保护还存在不少问题，其中行波波头 的检测和辨识对于故障测距及故障判断非常重要。在微机保护大量使用的今天， 节约计算机运算时间的有效算法非常有利于提高行波保护的速动性，这也是行 波测距发展到行波保护的关键技术之一。 1 2 行波测距和保护 1 2 1 行波基本概念 当输电线路上某点f 发生金属性短路，如图1 1 ( a ) 所示： 圈1 i 双端电源的故障线路 此处不考虑故障发生后励磁调节器的作用、发电机受到的扰动、系统出现 的摇摆或振荡以及负荷的变化等因素。在线性网络的假设下，根据叠加原理， 故障状态可等效为在故障点增加两个大小相等、方向相反的电压源，其电源电 压数值等于故障前f 点的电压u 1 ( t ) ；故障后网络( b ) 可等效为非故障状态( c ) 和故 障附加状态网络( d ) 的叠加，其中非故障状态网络就是故障前正常运行网络，故 障附加网络只有在故障后才出现，作用在该网络中的电源就是与故障前该点电 压数值相等方向相反的等效电压源“以) ，称为附加电压源【17 1 。在该电源作用下， 故障附加网络, 1 1 将只包含故障分量的电压和电流v l 、j ，整个故障后网络中各点 的电压和电流是故障后负荷分量的故障分量的和，即 v = v v p i = i i + i p 式中下标，和p 分别表示故障分量和故障前分量( 负荷分量) 。 2 ( 1 1 ) ( 1 2 ) o 一 h t “1_。 i 啪 二 妒科 阜 卑 r萨寸 勺d n 州 n 十 沁 专夺 m 十 m 十 伊 由此可知，当网络分解成正常运行状态和故障附加状态之后，对故障后网 络的分析就变成为对故障附加网络的分析；对故障后电压电流变化规律的研究 转化为对故障分量电压电流的研究。对于继电保护和故障测距来讲，检测的对 象就是故障信息，因此我们只对故障分量感兴趣，即以下分析都是针对故障附 加网络和故障分量进行的。 故障附加网络在故障发生时突然被施加一个电压源一以f ) ，在该电压源的作 用下，故障点将产生向两侧母线运动的行波，在具有分布参数线路中，沿线各 点故障分量的电压电流满足如下的波动方程 一o u 。l 兰+ r i i o 甜x ( 1 3 ) 一旦c 塑+ g f f 卜j 7 缸 缸 j 式中，x 为观察点的位置坐标；f 为观察时刻：l 、c 、r 、g 为线路的参数；h 、 i 为故障分量电压电流。设线路无损，即r = 0 ，g - - 0 ，则波动方程( 1 3 ) 可简化为 一丝l 翌1 缸 缸i (14)oi o ，、uf ”一7 一五。否j 对应方程( 1 4 ) 的通解可写成 峨暑-ii+u(x-tv)+ui(x一端l ( 1 5 ) ，f ) - f + o 一加) + f 一0 + 抑) i 、 7 式中v = l 4 - 瑟为波的传播速度，v 一- c ( 光速) 。从式( 1 5 ) 中可以看出，当观察者 沿工轴正方向以速度v 运动时，“+ 0 i v ) ，f + o i v ) 将保持不变，相当予一个以速 度v 行进的行波，分别称之为正方向电压和电流行波：同理，当沿x 轴负方向以 速度v 运动时，“ 一f v ) ，f ，o - f v ) 将保持不变，称之为反方向电压和电流行波。故 障分量电压和电流是正向行波和反向行波的叠加，因此又称为电压行波和电流 行波。正、反向电压行波和电流行波满足如下关系： “+ o f v ) = z i + o - t v )( 1 6 ) “缸+ f y ) = - z i ( x + f y ) ( 1 7 ) 式( 1 6 ) 、( 1 7 ) t 9 的z 为波阻抗，z - - - 4 l - 7 - 6 。对于具体的系统结构，可根据故障点 的边界条件求出方程( 1 4 ) 的特解。 故障产生的暂态行波过程可以用网络图法表示，图1 2 给出了单相线路上发 生金属性短路故障的时，在故障点与母线间的行波过程。 昆明理工大学硕士学位论文 i i ii i i _ _ 一 图1 2 线路故障行波网格图 设m 点的行波反射系数为七m ，在f 点的行波反射系数为七皿到故障点f 的 波传播时间为f ，故障点的电压口f ( 0 - - 一u l ( o ，则i n 点观测到的电压和电流是多 次入射波和反射波的总和1 17 1 。分别表示为： u m ( f ) = h ，o 一刁+ u f o 一曲一k b 砧f o 一3 f ) 一k 2 m k u f ( f 一3 砷+ ( 1 8 ) i m ( f ) = 卜“，( f 一磅 丘mu f ( f 一刁+ 七m 置，( f 一3 口一七。b h ，( f 一3 z - ) + 】，z( 1 9 ) 1 2 2 行波测距 行波测距或行波距离保护是建立在考虑输电线路的分布参数，直接利用故 障产生的暂态行波信号，并对其进行分析和计算的基础上的。早在1 9 3 1 年就已 提出了架空线路的行波测距法1 1 8 , 1 9 ，其后经过几十年的发展，有了较大进展。 各种行波测距方法主要分为下述a 、b 、c 、d 、e 五种类型：a 型是根据故障点产 生的行波到达母线后反射到故障点，再由故障点反射后到达母线的时间差来测 距：b 型和c 型包括脉冲或信号发生器，是故障后人为施加高频或真流信号，根 据雷达原理制成，其中b 型是双端法，c 型是单端法，d 型根据故障点产生的向 两侧母线运动的行波达到两侧母线的时问差来判断故障位置，e 型则是利用重合 闸产生的暂态电流行波在测量点和故障点之间往返一次的传播时间计算故障距 离。b 型和c 型由于装置复杂，需要外加信号，因此在实际中很少使用。近年来 主要针对a 、d 、e 型研究 1 9 2 2 1 ，并已做成装置，测距效果良好1 2 3 1 。 1 2 2 1 型行波测距法 田1 2 线路故障行设网格圉 设m 点的行波反射系数为k ，在f 点的行波反射系数为七皿到故障点f 的 波传播时间为f 。故障点的电压u f ( f ) = 一“r ) ，则m 点观测到的电压和电流是多 次入射波和反射波的总和，分别表示为： “，( f ) “，( t 一力+ 七朋“，( f 一磅一k b u v ( t 一3 一t 。一母即o 一3 砷+ ( 1 8 ) i 。( f ) ；卜u v ( t 一寸+ b “，( t f ) + k 劬f ( t 一3 f ) 一 2 m 母n f ( t 一3 0 + 】z ( 1 9 ) 1 2 2 行波测距 行波测距或行波距离保护是建立在考虑输电线路的分布参数，直接利用故 障产生的暂态行波信号，井对其进行分析和计算的基础上的。早在1 9 3 1 年就已 提出了架空线路的行波测距法| 18 , 1 9 1 ，其后经过几十年的发展，有了较大进展。 各种行波测距方法主要分为下述a 、1 3 、c 、d 、e 五种类型； 型是根据故障点产 生的行波到达母线后反射到故障点，再由故障点反射后到达母线的时间差来测 距：b 型和c 型包括脉冲或信号发生器，是故障后人为施加高频或直流信号，根 据雷达原理制成其中b 型是般端法，c 型是单端法，1 9 型根据故障点产生的向 两侧母线运动的行波达到两侧母线的时间差来判断故障位置，e 型则是利用重合 闸产生的暂态电流行渡在测量点和故障点之间往返一次的传播时间计算故障距 离。b 型和c 型由于装置复杂，需要外加信号，因此在实际中很少使用。近年来 主要针对a 、d 、e 型研究1 ”2 “，并已做成装置，测距效果良好【2 】l 12 2 1a 型行波测距洁 122 1a 型行渡测距浩 第一章绪论 f l t 2 b ( b ) ( a ) f 点故障时的行波传播；( b ) 线路本端m 处的电流行波波形 图1 3 单端a 型测距原理示意图 利用故障产生的暂态电流或电压行波在测量点和故障点之间往返一次的传 播时间计算故障距离( 如图1 3 所示) ，故障距离可以表示为 x l = v a t l 2 = v ( t 2 一t 1 ) 2 ( 1 - 1 0 ) 式中v 为波速度。 1 2 2 2d 型行波测距法 设故障初始行波波头到达两侧母线的时间分别为t m 和“，如图1 4 所示，装 于线路两端测距装置记录下故障行波波头到达两侧母线的时间，则故障距离可 由下式来算出 品= 【一t n ) v + 工】2 ( 1 1 1 ) 墨= 【( “一f 。) v + 工】2 ( 1 1 2 ) 图1 4 双端d 型测距原理示意图 双端测距法由于只检测故障产生的初始行波波头到达时间，不需要考虑后 昆明理工大学硕士学位论文 _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ - - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ i i _ _ _ _ - _ _ _ _ 续的反射与透射行波，原理简单，测距结果可靠。但是双端法测距的实现要在 线路两端装设测距装置及时间同步装置( g p s 时钟) ，并且两侧要进行通信，交换记 录到的故障初始行波到达的时间信息后才能铡出故障距离来。如果自动通信条 件允许，两端可自动交换数据实现自动测距；或可采用电话拨号方式从地调主 机调取两端变电站的测距数据，进行自动故障测距；如果通讯条件不允许可人 工交换记录到的故障初始行波到达的时问，利用公式( 1 1 2 ) 计算故障距离。 1 2 2 3 e 型行波测距法 利用重合闸产生的暂态电流行波在测量点和故障点之间往返一次的传播时 间计算故障距离( 如图1 5 所示) ，故障距离的计算同公式 ( 2 1 9 ) 6 ( f ) = l a l 畎口f b ) ( 2 2 0 ) 式r 2 1 9 ) 中：a , b e r ，a o 为与频率对应的尺度参数，b 为与时间对应的位移参数， 6 ( f ) 为基小波平移和伸缩生成的小波函数族，一”表示取共轭。如果小波蝴兰l 2 僻) 满足“完全重构”条件c = 上p ( 呐f 2 1 w p wc + 。，信号可由其小波变换重构得到： ，o ) l c e l l o j ( t ) w f ( b , a 渺参 ( 2 2 1 ) 小波函数 ( f ) 是窗函数，它的时频窗表现了小波变换的时频局部化能力。 下面介绍6 ( f ) 的开窗效果和它时频窗的自适应性。记f 为时窗中心，a ，为时窗 半径，w + 为频窗中心，a 。为频窗半径( 这两个值的求取要对b ( f ) 做f o u r i e r 变换) ， 则关于窗函数q a b ( t ) ，有： f = ( t ；+ 6 ) 肠；a f = a d a ；w = 口嵋；a w = a a 审 ( 2 2 2 ) 由上四式可知：当q ( t ) 被压缩1 ，a 和向右移动b 变为6 ( f ) 时，时窗中心由 变为( t ；+ b ) a ，时窗半径& 也相应的被压缩了1 a ，然而对妒( r ) 的平移不会改变 其时窗宽度；频窗半径则被拉宽了a 倍。当a 较大时，频窗中心a 成，自动的调 整到较高的频率中心的位置，且时频窗形状自动的变为“瘦窄”状：因为高频 信号在很短的时域范围内的幅值变化大，频率含量高，所以这种“瘦窄”时频 窗正符合高频信号的局部时频特性，同样，当a 较小时，频窗中心a w ：自动调 整到较低位置，且时频窗的形状自动的变为“扁平”状；因为低频信号在较宽 的时域范围内仅有较低的频率含量，所以这种“扁平”状的时频窗正符合低频 信号的局部时频特性，加窗傅立叶变换( w f r ) 仅具有不变时- 频窗，无论频率中 心处于何处，其时频窗形状不改变，其时频局部分析显得很单一。与之相比， 小波变换的时频窗是灵活可调的，是自适应的。 以上分析了小波窗的时频局部化功能和自适应性，但一维信号，( 0 作连续小 波变换生成二维的w 口) 后，其信息有冗余，加之在实际应用中要由计算机来 实现，我们希望只在一些离散的尺度和位移值下计算小波变换，而又不丢失信 息，因此，必须对尺度参数和位移参数离散化。将尺度参数a 和位移参数b 离 散，可得到离散小波变换。离散的败6 ( f ) 表示为： k ( t ) = 2 m 职2 t - k ) ( 2 2 3 ) 相应的小波交换表示为离散小波变换： w f ( j , = ( m ) ，既t o ) ) ( 2 2 4 ) 离散小波，t ( f ) 是由小波函数，( f ) 经2 j 整数倍放、缩和经整数k 平移所生成 的函数族 巧， ( f ) ) 。j ，k z 。它也是允许小波，也具有时一频局部化表现，掣，t ( w ) 的频窗中心和半径分别为： 第二苹教学形态学和小渡分解的誓态检着i 方法 w = 2 。k ；，= 2 。口 ( 2 2 5 ) 经t ( f ) 作用的小波变换实际上把信号，u ) 的频率范围限制在【w 。一“，w + ，】子频带内，小波变换结果是这个频带内的时域分量。小波既t ( f ) 是一带通函数， 小波交换在频域方面的局部化作用由j 调节，在时域方面的局部化作用由k 调节。 由此可知，小波分析并不像f o u r i e r 分析那样把时域信号表示为若干精确的频率 分量之和，而是将其表示成若干描述子频带的时域分量之和。正是由于这种表 示方式，小波分析才获得了在时频局部化方面的成功，才获得关于对频局部化 方面的丰富多彩的应用。 2 2 2 多分辨逼近 上面提到的三2 僻) 是全体能量有限信号( 函数) 的集合，表示为： 工2 僻) = if ( t ) l 厶i f ( t ) 1 2d t + m ) ( 2 2 6 ) 这是一个无穷维的函数的线性空间，即空间中的元素经线性运算后所获得的 元素仍在此空间中。l 2 职) 中共有( 按自然数排序) 无穷个线性无关向量，极o ) 乜构 成2 ( r ) 的基函数族，于是 己2 职) = s p a n 多( t ) jk = l ，2 ，)( 2 ，2 7 ) ，( f ) 2 薹c t 丸( f ) ，v ( t ) e 2 僻) ( 2 2 8 ) ，( f ) 可以采用不同的尺度来逼近，先将时间轴t ( 一m ，+ 。) 用间隔a j 做等距离离 散分划，节点为 f ) ，节点编号为惫z ，再将基函数九t ( f ) 的整节点平移定义为 关于节点七处的基函数，这样在，尺度下，每个节点k 对应着一个基函数曲 i ( f ) ， 这样便可以构造出j 尺度下的近似函数： 凡) 2 荟。! 啪) ( 2 2 9 ) 4 9 , ( f ) = 妒( 2 j t - k ) ( 2 3 0 ) 定义函数线性空间 巧。 ，( f ) i f j ( f ) 2 乏纸 ( f ) ，( f ) 三2 僻) ，巧c 三2 僻 ( 2 3 1 ) 再变动尺度，所以，j ( f ) 一，( f ) 从函数子空间角度可以描述为 c 巧c 巧+ jc l 2 ( r ) 下面说明多分辨逼近( m u i t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，m r a ) i 拘概念。它是理解和 构造小波的统一框架，无论在理论分析还是在构造、理解和应用小波方面，它 都是十分重要的。m r a 是指一串嵌套式闭子空间逼近序列 v j ) j z ，它满足下列 要求： 1 c 巧c 巧+ j c 三2 ( r ) ，n 巧= o ，uv j = l 2 ( r ) ： f _ zi z 2 v j = s p a n 咖 l ( f ) i 妒 t ( f ) = 2 7 胆妒( 2 1 f 七) ，是z ； 3 多( o = 。( 2 t - n ) ，似) 产； ( 2 3 2 ) 4 妒o d ) 是r i e s z 基。 多( d 生成了m r a ，其中式( 2 3 2 ) 称为双尺度方程，庐( d 称为尺度函数。因为 c 巧+ 1 ，记砀= 巧+ 1 巧，即砀是巧在巧+ 1 中的补子空间，所以有： 巧+ j 2 巧o 其中。表示子空间直和，这种关系传递下去就有： 二2 僻) = o 晰j z 这表明，2 僻) 可以表示为关于子空间晰的直和分解关系。因为w o ( b v o = n ， w o cn ，记的基函数为 缈0 4 ) ) ，则y ( f ) w o 定可由n 中的基函数线性 表示，设表达式为： 缈( f ) = g 。庐( 2 t 一 ) ， 舶) f 2 ( 2 3 3 ) 彪 其中妒( f ) 称为小波函数，则小波子空间砀及它的函数一小波分量w j ( f ) 可以 类似表示为； 研= s p a n 嵫t ( f ) i ( f ) = 2 m 矽( 2 f 础) ，k f _ z ( 2 3 4 ) w ( f ) 2 荟d 7 i ( f ) ( 2 3 5 ) 根据以上分析，任一一个f ( t ) f _ c 2 僻) 可以分解为各个子空间函数wj ( t ) e 嘶 的直和，因此： m 2 荟驴星? 州f ) ， 啪) 科( 2 3 6 ) 2 僻) ：s p a n t ( 0i j f _ _ z ，k f _ z ) ( 2 3 7 ) 至此，对于有限分解层数n ，归纳完整的尺度空间有限分解及数据表征： ，( f ) 叫( f ) + ，。泓( 2 3 8 ) - 2 0 心) 5 荟? ( | ) i j ( t ) v j ( 2 3 9 ) w ( f ) 2 荟d 7 稚) w ( f ) 嘶 妒= 。庐( 2 t - n ) ，矿( f ) v o ； ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) 妒( f ) 2 g 。驴( 2 f n ) ，y ( f ) w o ( 2 4 2 ) 其中， ( 2 4 1 ) 、( 2 4 2 ) 式称为双尺度方程，庐( f ) 为尺度函数，妒( f ) 为小波函 数。， 相当于低通滤波函数，表现了信号的“概况”，w ( 吩则相当于带通滤 波函数，保留了相对高的频带部分，表现了信号的“细节”。根据谤，t o ) 和k ( t ) 的正交性： c ：= o r ( t ) ，氟 o ) )d f = ( 雕) ，i ( f ) )( 2 4 3 ) 二尺度方程阐明了任意两相邻多分辨空间巧1 一巧，啊，空间基函数办j ，i ( f ) 、 氟i ( f ) 和巧，t ( f ) 间的内在联系，由它可以引伸出烈f ) 、职f ) 、 ) 、g ) 的许多有益 的性质： ( 1 ) ( 女) 、g ) 的和 ；“僻) 2 压，；g 肚) 2 0 ( 2 4 4 ) ( 2 ) 频域关系：器( 2 叻。h ( 面( 忉，互妖2 叻。g ( 面( w ) ( 3 ) 频域初值：( o ) = i ，口( o ) = o ( 4 ) 递推关系： 声( w ) 冉阻( 2 叻压】，参【w ) - ( 1 ，_ ) g ( w 2 ) 冉咿( 2 。w ) ，压】 ( 5 ) 能量无损：空间的总能量应等于各嘶空间能量之和，即： i 声( w ) f 2 一妻i 最2 ，w ) 1 2 ( 6 ) 正交小波满足条件： i h ( w ) 1 2 + j h ( w + p ) 1 2 一芝矗 冲g + 2 优) 一乃。， g ( w ) = e - j w h ( w + 刀) g ( 七) i ( 一1 ) 1 一j i i ( 1 一k ) m 舶 m 舶 哪 邡 0 口 2 2 3 正交小波的快速算法 正交小波分解具有很多很好的性质，同时其计算量也可以大大减少，对于正 交小波而言，取 g 一2 ( 一i ) h i - n ( 2 5 1 ) 由以上的分析，只要给定妒( f ) 和k ，原则上是可以构造出小波函数即) 的 及武f ) 的小波分解的。其实现简单描述如下： 一一2 - 1 2 c ：“以。 1 _ 2 m 辜张胁 昭5 2 根据上式，假设h 。仅有6 个元素，则式( 2 5 2 ) 表明由尺度j + 1 向尺度的限 制过程相当于把o 也矗j ，h d ，h j ，h 2 ， 3 ) 当作靠模，如图2 4 所示，其中心点h o 对准 c 0 1 后再做加权平均，即 c ：= 2 - 1 2 ( h 2 c j + 1 2 + | 1 1 j c 盆l + o c 1 + h ic 祟l + | j 1 2 c 基2 + i l j c h j + + 1 3 ) ( 2 5 3 ) d 的计算过程与上式相似，只不过要把权系数( 靠模) 换成翻而已。 | c 勰。c 拳。c 字c 拳。c 拳。c 拳。 | | 心。沙 图2 4 分解算法计算 ) 示意图 2 2 4 信号奇异性的小波变换模极大值理论 在检测一个信号的奇导性时，为了减小噪声影响，常常要先对混杂有噪声的 信号进行平滑去噪，然后对平滑了的信号计算其一阶或二阶导数，进而根据一 阶导数的极大值或二阶导数的零交叉检测其奇异点。多尺度边缘检测则是采用 平滑函数对信号在不同尺度下进行平滑，然后从一阶导数或二阶导致检测其奇 异点。多尺度边缘检测和小波变换检测从思想方法上是一致的，前者先于后者 出现，以下直接从小波变换出发讨论信号奇异性的多尺度检测。 定义2 1 若实函数毋( f ) 满足以下条件 ( 1 ) 户( o a t 一1 ( 2 5 4 ) ( 2 ) 炮口( f ) - 0 ( 2 5 5 ) 则称该函数烈f ) 为平滑函数( s m o o t h i n gf u n c t i o n ) 。 平滑函数可看成低通滤波器的脉冲响应，经常使用的平滑函数是高斯函数。 假定平滑函数拶( f ) 两次可微，其一阶导数和二阶导数分别定义为妒( f ) 、妒( f ) 妒( f ) 一百d o ( t ) ( 2 5 6 ) 嘲一警 ( 2 5 7 ) ! p 。( f ) 、妒( f ) 满足“容许性”条件，所以可以被看作为小波，因为它们的积分为 零。 p ( t ) d t - 0( 2 5 8 ) 尸( t ) d t # 0 ( 2 5 9 ) 根据定义2 1 可知，函数，( f ) 在尺度s 、变量t 处关于小波p o ) 、妒( f ) 的小波变 换为 w ；f ( o 一，( f ) 坪( f )( 2 6 0 ) w ：，( f ) 一，( f ) + 霉( f )( 2 6 1 ) 其中霉( f ) 、瑶( f ) 分别为妒( f ) 、妒( f ) 对于尺度s 的伸缩，“十”表示卷积。据此可 以导出 w ，o ) 一，( f ) 【s 塑a 掣l 卜s 粤a t 【，o ) + p 。( f ) 】 ( 2 6 2 ) w h ( o f ( o 槲i s 警】i s 2 萨d 2 呲朋荆】 ( 2 6 3 ) 因此，小波变换w ；，( f ) 和w ；，( f ) 可分别理解为函数，( r ) 在尺度s 上经平滑后的一 阶导函数和二阶导函数。既然w ；，( f ) 是，( f ) 经平滑后的一阶导数，因此w i ( t ) 取 得极值时，则信号在该处必然取得极值，表示信号在该点变化最强烈；w ：，( f ) 是，( f ) 经平滑后的二阶导数，因此w ：，( f ) 出现零值时，表明一阶导数取得极值， 它代表函数，( f ) 和它的导数同时取得极值，也说明信号在该点变化最强烈。 定义2 2 设w s ，( f ) 是函数m ) 的小波变换，则 ( 1 ) 在尺度s 下，若 w s f ( t ) 在t o 有一过零点，称t o 为小波变换的局部极 “ 值点，w s ，( f ) 称为局部极值； ( 2 ) 在尺度s 下，若在的某一邻域d 内，对一切t e ( t o d ，t o + d ) ，有 w s f ( t ) i w sf ( r o ) j ( 2 6 4 ) 则称t o 为小波变换的模极大值点，称w s ，( f ) 为模极大值。 ，( o ，( f ) 护( ) w ；，( t ) w ；，( f ) 广 a口 i ，一 曩 o： 爪爪。 t o a 。州一 图2 5 小波变换的模极大值和小波变换的零交叉值比较 图2 5 示出了函数，( f ) 、m ) 和“f ) 的卷积、函数，( f ) 关于妒( f ) 、妒( f ) 的小波 变换，由图可见，函数，( f ) 的突变点对应于w s f ( t ) 的极大值点和w g f ( t ) 的零交叉 点a 小波变换w ；，( f ) 的模极大值和小波变换w ；，( f ) 的零交叉值出现在- 1 ( 0 + 口( f ) 或 “f ) 的突变点( 、乃) ，图2 5 只记录了在点和乃点的w ；，( f ) 极大值，它们代 表了，( f ) + 护( f ) 和，( f ) 的突变点，而乃点虽然出现了零交叉，但w ；f ( t ) 取得了极小 值，代表信号变化最平缓的点。 在特殊情况下。当尺度s 较小时，用以o ) 对于函数的平滑作用可略去不计， 此时所检出的奇异点提供了函数，( f ) 变化最尖锐的点；当尺度s 较大时，以( f ) 和 ，( f ) 的卷积移去了徘) 变化比较小的尖锋，只检出函数中变化比较大的奇异点。小 波变换多尺度检测方法对暂态行波信号的检测是有用的，当故障为近距离故障 时，由于行波来回反射的时间很短，高频分量衰减较小，表现在波头上的特征 就是“陡”和波头距离“近”，此时选择小尺度下的小波变换模极大值为奇异点， 当故障为远距离故障时，行波来回返射一次所需时间较长，高频分量衰减较多， 表现在波头上的特征为“缓”和波头距离“远”，此时选择大尺度下的小波变换 模极大值点为奇异点。 零交叉检测和模极大值检测的步骤虽然类似，但后者更具优点，w g f ( t ) 的零 交叉值可以是一阶导数的极大值，也可以是其极小值，一阶导数极大值点是 r t ) 曰( f ) 尖锐变化的点，而极小值是，( r ) + 口( f ) 平缓变化的点。作为二阶导数算子 第二辛数学形态学和小波分解的哲态检测方法 w 淑f ) 难以区分这两种零交叉。相比之下，使用一阶导数，只是检测其极大值， 则容易挑选出尖锐变化的点。此外零交叉点在给出位置信息时，不能去掉小的 波动，无法区别大的信号尖蜂或小的次要的信号波动，因此，在信号的奇异性 检测中，使用更多的是极大值检测。 综上所述，利用平滑函数一阶导数构造的小波，其小波变换的模极大值将 对应于信号的尖锐变化点：检铡其模极大值也就相当于检测出了信号的奇异点。 顺便说明一下，一个信号的小波分解可产生模极大值，而且可以由模极大 值重构原信号，其基本思想是：小波具有快速衰减性，因此可用一具有指数衰 减特性的函数去逼近它，进而重构出它的小波变换来 2 3 两种奇异点检测算法比较 这里对形态学和小波分解分别用于奇异点检测的算法进行简单评估。假设一 维信号，( f ) 是一个周波即0 0 2 s 的数据，采样率5 0 0 k h z ，共有5 0 0 k x 0 0 2 - - - - i 0 0 0 0 个数据点。分别用两种方法处理。 数学形态学多分辨梯度：设结构元素长度为6 个采样点，根据多分辨形态梯 度的( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 、( 2 1 8 ) 三式，f 毋6 + 需要9 9 9 4 6 = 5 9 9 6 4 次加法和比较运算， ，o b + 也需要5 9 9 6 4 次减法和比较运算，因此 + ( n ) 共需5 9 9 6 4 2 - t - 1 0 0 0 0 = 1 2 9 9 2 8 次加法，g r a d 6 白) 需要1 2 9 9 2 8 2 + 1 0 0 0 0 = 2 6 9 8 5 6 次加减法，此时原始 波形奇异点已经可以判断出来。 小波分解算法：采用d b 2 小波做3 层分解，相应的数据窑长度h 。、g 。也为6 ， 首先确定初始展开系数c ：采用最细尺度层上的采样值【8 2 】，即c ：= m ) ，共有1 0 0 0 0 个点，这样的初始值取法是比较合理的。则2 尺度层上的c ：，：和d 0 2 各有1 0 0 0 0 2 = 5 0 0 0 个数据，那么用c ：来计算1 2 m 2 和d ：，：共需2 6 5 0 0 0 = 6 0 0 0 0 次乘法运算 和( 6 1 ) 5 0 0 0 2 = 5 0 0 0 0 次加法运算，依次类推，完成上述小波分解算法需要 1 0 5 0 0 0 次乘法，8 9 5 0 0 次加法。算出的小波系数可以通过模极大值，来确定奇 异点的准确发生时刻。 从总的计算次数来看，小波分解算法要比形态学多分辨梯度少一些，但其中 大部分是乘法运算，对于传统的g p p ( g e n e r a l p u r p o s ep r o c e s s o r ，通用微处理器) 来说，完成一次乘法运算需要多个指令周期，而加减法、比较则只需一个指令 周期即可完成1 8 3 , 8 4 1 ，因此小波分解算法在总的计算时间上来讲，会大大多于形 态学多分辨梯度。另一方面，上例中形态学多分辨梯度采用了6 个采样点的结 昆明理工大学硕士学位论文 _ i ii 置囊_ 构元素，这是为了方便比较，实际上采用2 个采样点长度的结构元索用来进行 奇异点检测已经可以达到很好的效果( 后面章节会有说明) ，长度短的结构元素可 以大大减少形态学多分辨梯度的运行代价。 2 4 本章小结 本章详细阐述了新兴的数学形态学算法和在行波波头检测应用中比较成功 的小波算法，通过上面论述可以看出，小波分解算法要比数学形态学复杂，难 于理解。第三小节通过采用相同长度的结构元素和数据窗函数定量比较了两种 算法的计算量。显而易见，在原理难度及计算速度方面，数学形态学是优于小 波分解算法的。 第三章输电系统故障行波检测定位的形态学方法 i l l l l l l 第三章输电系统故障行波检测定位的形态学方法 本章对数学形态学的滤波、奇异点检测( 交流行波、直流行波) 等方面的性能 做了较全面的阐述，编制程序做了大量的仿真试验，验证数学形态学的有效性 和鲁棒性。为形态学替代小波分解算法进行