（材料物理与化学专业论文）超导磁悬浮系统有限元数值分析及其在小型风力机中的应用.pdf

、( ) 、，t k ，t i 1 d i s s e r t a t i o ni nm a t e r i a lp h y s i c sa n dc h e m i s t r y ! l ii p i ii i i l l l itiij y 18 4 4 4 19 t h ef e mn u m e r i c a la n a l y s i so f s u p e r c o n d u c t i n g l e v i t a t i o ns y s t e ma n di t ，s a p p l i c a t i o ni ns m a l lw i n d - d r a gg e n e r a t o r b yg u o r e n c h u n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw a n gj i n x i n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y 2 0 0 8 7 独创性声明 一啼本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 厂 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 ：亡己 思。 学位论文作者签名：研 务 日 期：泐岳7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年日一年半口两年口 学位论文作者签名：砻 乙筋 导师签名： 签字日期：力加吕，e 签字日期： 跏p 7 7 ，一 东北大学博士学位论文摘要 超导磁悬浮系统有限元数值分析及其在小型风力机中的应用 摘要 第二类高温超导体的“钉扎效应 可以实现永磁铁在超导体之上的稳定悬浮。这种 超导磁悬浮可以被用来制作磁悬浮列车、磁悬浮轴承、反重力场等装置。本论文主要探 讨了y b c o 超导体在磁悬浮轴承方面的应用。 永磁体和超导体相互作用会在超导体内感生出涡旋电流。但由于超导体是非线性材 料，其电导率不是常数，这样就使得超导体内的电流分布计算十分困难。在数值分析过 程中采用k i m 及磁通蠕动流动模型来对超导体的电导率进行迭代。建立满足超导体的本 构方程。 矢量电位法作为电磁场分析的辅助变量适合于分析材料的涡流场分布。在超导体和 永磁铁相互作用的过程中，超导体内产生的感生涡旋电流可以采用矢量电位法，将涡旋 电流场的分布转变为矢量电位的空间分布。在满足一定的边界条件下，建立超导体内所 满足的矢量电位微分方程。 矢量电位微分方程的求解过程采用伽辽金有限元法。首先将矢量电位微分方程转化 为积分方程。连续的积分方程再进行空间和时间的离散才能进行数值分析。根据圆柱体 超导块材的轴对称性，可以将超导体块材的空间网格离散为二维平面的网格。在二维平 面内采用三角单元将超导体截面划分为网格和单元，并对节点和单元进行编号。在每个 单元内部采用线性形函数将单元内部任意点的矢量表达为该单元顶点矢量电位的线性 插值。采用形函数作为加权余量也就是伽辽金法，形成单元内部矢量电位的线性方程组。 将各单元内部的矢量电位线性方程组进行总体合成形成整个剖面的整体线性方程 组，解这个线性方程组就可以得到在某一时间的所有节点的矢量电位值。再将连续时问 进行离散并考虑外磁场的变化速度，就可以得到对各时间点的矢量电位分布。外磁场采 用有限元软件进行计算。 根据各点的矢量电位分布，可以求得各点的电流分布，进而计算出超导体和永磁体 的相互作用力。实验结果表明，数值分析的结果与实验结果基本一致，但存在一定的偏 差，这主要是由于超导体的参数多为未知量。 在零场冷状态下，永磁体下降从无限远处接近超导体，然后再返回到无限远处。这 个过程会出现悬浮力的滞回现象。在同一悬浮位置悬浮力不是固定值，其值的大小与永 磁体的运动历史有关。 在场冷状态下，永磁体会稳定的悬浮在超导体的上方。这个稳定悬浮位置，就成为 整个系统能量的势阱。当永磁体受到外力作用偏移平衡位置时就会受到反向恢复力。这 个恢复力的数值与磁场强度、磁场强度的梯度、悬浮高度、超导体和永磁体相对面积相 i i 东北大学博士学位论文摘_ _ 关。在偏移不是很大的情况下永磁体的运动类似于阻尼振动的弹簧。采用数值分析的方 法可以计算出振动的振幅，周期和衰减特性。 风能作为重要的清洁能源是未来能源的发展趋势。本文提出一种超导磁悬浮风力发 电装置，并制作了实验模型。该实验模型包括由永磁铁、y b c o 超导体构成的磁悬浮系 统和由线圈、永磁铁构成的发电系统。由于轴承的无摩擦性在有风的时候可以采用风轮 带动磁悬浮转子旋转实现风能向机械能的转换。在无风的情况下实现飞轮储能。相比传 统的风力机具有能量利用率高等优点。 影响轴承转速的衰减因素主要由悬浮高度、空气阻力、磁滞阻尼损耗、涡流损耗、 陀螺效应等。 将超导磁悬浮轴承用于风力机上，轴的稳定性是非常重要的因素，本文探讨了影响 轴稳定的因素，并描述了应采取的方法。超导体的摆放方式、悬浮高度、转动速度、安 装精度等都对轴的稳定有重要影响。 本文提出超导磁悬浮风力机大型化的模型。这种结构可以不受超导体尺寸的限制。 对超导磁悬浮系统在小型风力机中的应用将极大提高风能的利用效率，它将成为高 效清洁能源家庭中的重要成员。 关键词：y b c o 超导体；永磁体；超导磁悬浮轴承；矢量电位；伽辽金有限元； 小型风力机 i i i l 东北大学博士学位论文 a b s t r a c t t h ef e mn u m e r i c a la n a l y s i so fs u p e r c o n d u c t i n gl e v i t a t a t i o n s y s t e ma n d i t sa p p l i c a t i o ni ns m a l lw i n d d r a gg e n e r a t o r a bs t r a c t t h ef l u xp i n n i n ge f f e c to ft h et y p e - i is u p e r c o n d u c t o rc a nm a k eap e r m a n e n tm a g n e t s t a b l el e v i t a t e do nt h es u p e r c o n d u c t o r s t h i sl e v i t a t i o ns y s t e mc a nb eu s e di nm a k i n g m a g l e v t r a i n s ，s u s p e n s i o nb e a r i n g s ，a n t i g r a v i t y f i e l de q u i p m e n t sa n de t ，a 1 t h i sp a p e rm a i n l y d e s c r i b e st h ea p p l i c a t i o no f y b c os u p e r c o n d u c t o r si ns u p e r c o n d u c t i n gl e v i t a t i o nb e a r i n g s t h ee d d yc u r r e n t sw i l lb ei n d u c e di nt h es u p e r c o n d u c t o r sw h e nt h ep e r m a n e n tm a g n e ti s m o v e dc l o s et ot h es u p e r c o n d u c t o r s b e c a u s et h es u p e r c o n d u c t o ri sn o nl i n e a rm a t e r i a lw h i c h c o n d u c t i v i t yi sn o tc o n s t a n t ，i t i sv e r yd i f f i c u l tt oc a l c u l a t et h ec u r r e n td i s t r i b u t i o ni nt h e s u p e r c o n d u c t o r s t h ek i mm o d e la n df i e l df l u xc r e e p f l o wm o d e la r ea d o p t e d t oe s t a b l i s ht h e c o n s t r u c t i v ee q u a t i o n so ft h es u p e r c o n d u c t o r t h ec u r r e n tv e c t o rp o t e n t i a li sa ni m p o r t a n ta u x i l i a r yv a r i a b l ei nn u m e r i c a la n a l y s i so f e d d yc u r r e n tf i e l d t h r o u g ht h i sm e t h o d ，t h ec u r r e n tf i e l di sc h a n g e di n t oc u r r e n tp o t e n t i a l v e c t o rf i e l d w h e nt h ec u r r e n tp o t e n t i a lv e c t o r sa r es u b j e c t e dt os o m eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ， t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o ni se s t a b l i s h e di nt h es u p e r c o n d u c t o r - p e r m a n e n tm a g n e ts y s t e m t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ec u r r e n tv e c t o rp o t e n t i a li s s o l v e db yg a l e r k i nf i n i t e e l e m e n tm e t h o d t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sf i r s t l yc h a n g e di n t oi n t e g r a le q u a t i o n t h e c o n t i n u o u si n t e g r a le q u a t i o ni sc h a n g e di n t od i s c r e t ee q u a t i o na tt i m ea n ds p a c e a c c o r d i n gt o a x i a ls y m m e t r y , t h es p a c el a t t i c eo ft h ec y l i n d e rs u p e r c o n d u c t o rc a nb et r a n s f o r m e di n t o2 d p l a n eg d d s t h e2 dp l a n e i sd i v i d e db yt r i a n g u l a re l e m e n t s t h ee l e m e n t sa n dn o d e sa r eg i v e n n u m b e r s a n yc u r r e n tv e c t o rp o t e n t i a lo fap o i n ti na ne l e m e n tc a nb ee x p r e s s e db y t h ev a l u e s o ft h en o d e su s i n gl i n e a ri n t e r p o l a t i o nm e t h o d a d o p t i n gt h eg a l e r k i nm e t h o d ，t h el i n e a r e q u a t i o n sg r o u pi se s t a b l i s h e di ne v e r ye l e m e n t a ni n t e g r a ll i n e a re q u a t i o n sg r o u po fw h o l es u p e r c o n d u c t o ri sf o r m e db ya s s e m b l i n ga l l t h ee l e m e n te q u a t i o n s t h ec u r r e n tv e c t o rp o t e n t i a lo fe v e r yn o d ec a nb ec a l c u l a t e dt h r o u g h s o l v i n gt h i sl i n e a re q u a t i o ng r o u p t h ec u r r e n tp o t e n t i a lv e c t o rd i s t r i b u t i o ni so b t a i n e d t h e e x t e r n a lm a g n e t i cf i e l di sc a l c u l a t e db yf i n i t ee l e m e n tm e t h o ds o f t t h ec u r r e n td e n s i t yd i s t r i b u t i o ni sc a l c u l a t e da c c o r d i n gt ot h ec u r r e n tv e c t o rp o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n t h ei n t e r a c t i o nf o r c eb e t w e e ns u p e r c o n d u c t o ra n dp e r m a n e n tm a g n e tc a nb e k n o w n t h er e s u l t so fn u m e r i c a la n a l y s i sr e s u l t sa r ec o n s t a n tw i 【t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s u n d e rz e r of i e l dc o o l i n gc o n d i t i o n ，t h ep e r m a n e n tm a g n e ti sm o v e dt oa n df r o mt h e i v 东北大学博士学位论文 a b s t r a c t s u p e r c o n d u c t o r sb e t w e e ni n f i n i t ed i s t a n c ea n ds u p e r c o n d u c t o r s i n t h i s p r o c e d u r e ，t h e l e v i t a t i o nf o r c e d i s p l a c e m e n tc u r v ep r e s e n t sh y s t e r e t i cp h e n o m e n o n a tt h es a l n ep o s i t i o n ，t h e l e v i t a t i o nf o r c ev a l u ei sr e l e v a n tt ot h ep e r m a n e n tm o v i n gh i s t o r y u n d e rt h ef i e l dc o o l i n gc o n d i t i o n ，t h ep e r m a n e n tm a g n e tc a ns t a b l ys u s p e n do nt h e s u p e r c o n d u c t o r s t h i ss t a b i l i t yp o s i t i o ni st h el o w e s te n e r g yo ft h ew h o l es y s t e m w h e nt h e e x t e r n a lf o r c ei sa c t e do nt h ep e r m a n e n tm a g n e t ，t h ep e r m a n e n tm a g n e td e v i a t ef r o mt h e b a l a n c i n gp o i n t ，t h er e s t o r i n gf o r c ew i l ld r a gt h ep e r m a n e n tm a g n e tt ot h eo r i g i n a lp o s i t i o n t h ev a l u eo ft h er e s t o r i n gf o r c ei sr e l e v a n tt om a g n e t i cf l u xd e n s i t y , m a g n e t i cf i e l dg r a d i e n t ， l e v i t a t i o nh e i g h ta n dr e l a t i v ea r e ar a t i ob e t w e e ns u p e r c o n d u c t o r sa n dp e r m a n e n tm a g n e t i f t h ed i s p l a c e m e n to ft h ed e v i a t i o ni ss m a l l ，t h ep r o c e s s i n gm a g n e tp r e s e n t sac o m p a r i s o nt ot h e s p r i n g w i t hd a m p i n g u s i n gn u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o d ，t h em a g n i t u d e ，行e q u e n c ya n d d a m p i n gf a c t o rc a nb ec a l c u l a t e d w i n de n e r g ys o u r c ei sat r e n do fp o l l u t i o n - f r e ee n e r g yi nt h ef u t u r e an e wt y p ew i n d d r a gg e n e r a t o rm o d e la n d i t se x p e r i m e n t a li n s t r t u n e n ta l ed i s c r e b e di nt h i sp a p e rt h e s u p e r c o n d u c t i n gl e v i t a t i o ns y s t e mc a nb eu s e di ns m a l lw i n d d r i v e ng e n e r a t o rt og e n e r a t e e l e c t r i c i t y b e c a u s eo fn o n c o n t a c to ft h eb e a r i n g ；s m a l lw i n dc a nd r i v et h eg e n e r a t o rt o 、 目录 目录 独创性声明i 摘要i i a b s t r a c t 1 1 厂 第1 章绪论1 1 1 超导磁悬浮技术的发展概况1 1 2 超导磁悬浮的特性及数值分析2 1 3 超导磁悬浮在小型风力中的应用5 1 3 1 超导磁悬浮飞轮储能技术5 1 3 2 超导磁悬浮系统的类型6 1 3 3 超导磁悬浮系统在小型风力机上的应用7 1 4 本论文的研究内容7 第2 章超导块材的本构方程和矢量电位方程9 2 1 电磁场的基本规律麦克斯韦方程组9 2 2 超导材料的本构方程一k i m 模型9 2 3 超导材料的本构方程一磁通蠕动和流动模型1 0 2 4 矢量电位在超导材料中的应用1 3 2 5 亥姆霍兹定理：1 5 2 6 超导材料矢量电位方程18 2 7 本章小结2 0 第3 章超导涡流场分布的有限元数值分析2 1 3 1 超导磁悬浮装置2l 3 2 实验用高温超导块材：2 3 3 3 超导悬浮系统的物理问题2 4 3 4 伽辽金有限元法简介2 5 3 5 超导块材的有限单元划分2 6 3 6 伽辽金有限元法对剖分单元积分方程的离散3 0 3 7 伽辽金有限元法单元离散方程组的整体合成3 4 3 8 时步法对整体方程组时间离散3 5 3 9 本章小结3 7 第4 章超导磁悬浮的外磁场计算与边界处理3 9 4 1 永磁铁磁场的空间分布3 9 4 2 外磁场在空间中的变化率4 3 v i 东北大学博士学位论文 目 录 4 3 超导涡流场的边界条件处理4 5 4 4 本章小结4 9 第5 章超导涡流场的数值分析及实验结果5 1 5 1 超导有限元程序流程图5 1 5 2 节点和单元的编号5 2 5 3 矩阵 k 】的计算5 4 5 4 矩阵 m 的计算5 5 5 5k i m 模型的数值分析5 7 5 5 1k i m 模型下矢量电位分布的求解5 7 5 5 2k i m 模型超导涡流场的电流分布5 9 5 5 3k i m 模型磁场悬浮力的计算6 1 5 6 磁通蠕动流动模型的数值分析6 3 5 6 1 磁通蠕动流动模型的矢量电位分布的求解。6 3 5 6 2 磁通蠕动流动模型的涡流场分布及悬浮力的计算6 4 5 7 零场冷过程的磁悬浮力实验结果。6 7 5 7 1 实验测试设备6 7 5 7 2 实验测试结果6 8 5 7 3 实验结果和理论分析的对比7 0 5 8 超导悬浮力的磁滞效应7 1 5 8 1 高温超导体的磁化特性7 1 5 8 2y b c o 超导体的钉扎磁场7 2 5 9 本章小结“7 6 第6 章超导磁悬浮系统在小型风力机中的应用7 7 6 1 超导磁悬浮风力发电实验装置7 8 6 2 单块超导体磁悬浮系统的稳定性分析7 9 6 2 1 单块超导体磁悬浮系统的磁场测试结果7 9 6 2 2 超导体悬浮高度对磁场的影响。8 3 6 2 3 外力对单块超导体稳定性的影响8 5 6 3 多块超导磁悬浮的稳定性分析。8 6 6 3 1 多块超导体悬浮系统的磁场测试结果8 6 6 3 2 外力对多块超导体磁悬浮系统稳定性的影响8 7 6 3 - 3 超导悬浮系统的阻尼振动分析8 8 6 3 4 磁场梯度对磁悬浮稳定性的影响9 2 6 4 超导磁悬浮轴承的转速损耗9 2 6 5 磁滞阻尼损耗及陀螺效应9 6 奎! ! 垄堂童主兰堡垒查一 6 5 1 磁滞阻尼损耗9 6 6 5 2 陀螺效应9 7 6 6 悬浮高度对旋转稳定性的影响一 6 7 超导体摆放方式对超导体稳定性的影响- 纠 6 8 径向稳定的小型风力机设计“” 6 9 超导磁悬浮风力机的能量转换1 u 1 6 1 0 本章小结1 0 2 1n j ： 卸砌丽 列c 盯。= 仃删，i f j 以 ( a ) 2 1 2 ( b ) 2 3 超导材料的本构方程一磁通蠕动和流动模型 磁通蠕动流动模型是在1 9 6 2 年由k i m 等人观察超导屏蔽电流衰减发现的。超导所 产生的磁通在热激活状态下会产生蠕动。理论表明在一定温度的临界电流密度下，磁通 - 1 0 - 以百 以 一l i j = 厂一， 弘 型西 东北大学博士学位论文 第2 章超导块材的本构方程和矢量电位方程 的蠕动存在一个活化能。在经典的磁通蠕动流动模型 尸，饭逋越过钊孔努壁垒的儿率口j 以采用阿伦尼乌斯( a r r h e n i u s ) 公式来表达。公式中的指数项e x p ( - - u k a t ) ，其中u 是 钉扎势，k b 是波尔兹曼常数，t 是绝对温度。u o 定义为没有超导电流时的钉扎势，当有 超导电流j 存在时，沿着洛伦兹力的方向钉扎势定义为 卟小丢) 2 m 沿洛伦兹力相反方向的钉扎势定义为 u 一划。 圳 2 州 磁通的热激活频率定义为1 0o d j l j & 磁通的流动速度可以写成 d h 一豺唧( 一剐 2 娟 脚吣x p ( 一剖s i 吐告 2 舶 其中2 d 是两个钉扎中心的距离，临界磁通流阻率p c 定义为 p c = b o o d 以 2 1 7 根据磁通流动得到电场强度为 e = o b = 2 p 。枷p ( 一剖s i 血( 参考 2 棚 一一。、- i 一，“、 d u = j = 0 伽0 _ ，乇 ，；咯j b v d 图2 1 磁通蠕动流动的钥扎势( a ) j = o ( b ) j 0 f i g 2 1 p i n n i n gp o t e n t i a l si ns u p e r c o n d u c t o r sw h e n ：( a ) j20 ，a n d ( b ) j 0 如图2 1 所示是磁通蠕动流动的钉扎势示意图。在没有电流的情况下，钉扎势为u o ， 此时在没有外界干扰的情况下，磁通稳定在钉扎芯上。当有电流通过时，当电流密度达 到一定值，使磁通越过钉扎势而产生磁通流动。 如果永磁体和超导体上下放置，永磁体向超导体移近时，在超导体边缘产生感生电 一1 1 一 东北大学博士学位论文 第2 章超导块材的本构方程和矢量电位方程 流，阻碍永磁体靠近。当永磁体远离超导体时在超导体外层产生电流与原来的电流相反， 这部分电流将阻碍永磁体远离超导体。 lorentz forcesc拜。誓露- i | 名麟 1 z 1r t j j c 0 ( a )( b ) 图2 2 磁通蠕动对电流分布的影响( a ) 磁场穿透深度( b ) h t s c 屏蔽电流 f i g 2 2 i n f l u e n c eo f t h ef l u xc r e e po nt h ed i s t r i b u t i o n so fc u r r e n td e n s i t y ： ( a ) t h ep e n e t r a t e df i e l d s ( b ) t h es h i e l d i n gc u r r e n t si nh t s c 根据毕恩模型在超导体内产生的感生电流为临界电流密度j c ，当外磁场增加时在超 导体边缘感生出临界电流以阻碍超导体内磁场的增加，当超导体为无限长圆柱体时，在 超导体边缘产生的临界电流如图2 2 所示，磁场的穿透深度为l ，此时在超导壁上磁场 强度为外磁场强度b “1 ，磁场向超导体内部逐渐减小，到达l 深度时磁场强度为0 。 三：粤2 - 1 9 t o d c 单位面积受力为 只= 【j ( t ) b 。x l d z 2 2 0 当磁场增加到一定程度然后再减弱，超导体内的磁场会出现滞回性质。当外磁场减 小时，超导体在边缘处感生出反向电流以保持超导体己经捕获的磁场。 在图2 3 中，反向电流为- j c ，将超导体分成i 区和i i 区，随着磁场的继续减弱，i 区 不断扩大，i i 区不断缩小。 卜是，如铣 2 捌 单位面积上的洛仑兹力为 e = 晶一e = 鼽k 出一n 托心肛鲁 2 - 2 2 1 2 东北大学博士学位论文 第2 章超导块材的本构方程和矢量电位方程 j ， ， ， ， ， 一 1 嚏 z ( a ) b b e x l b e ) 2 o j j c 0 - j c 图2 3 磁通密度分布的松弛( a ) 磁通密度( b ) 上升过程的电流分布 f i g 2 3 d i s t r i b u t i o n sa n dr e l a x a t i o n so f t h ef l u xd e n s i t y ( a ) t h ef l u xd e n s i t y ( b ) t h eh y s t e r e s i sc u r r e n to nt h ea s c e n d i n gc h iv e 2 4 矢量电位在超导材料中的应用 在上世纪九十年代出现的矢量电位法，简称“t 方法”，引入矢量电位t 作为电磁 场分析的辅助变量，在分析常导体应用中获得了成功【8 7 。9 0 1 。 作为种新的电磁场求解方法。t 方法解决了外界电磁场变化在材料中感生涡流场 的问题。矢量电位“t 方法 与矢量磁位“a 方法相对应，都是求解电磁场的基本方法。 这两种方法在很多方面具有对偶性。比如在电磁场中，一定要满足v b = 0 也就是磁 感应强度b 所满足的场为无源场。根据场矢量的性质，旋度的散度为零，可以引入辅助 的矢量磁位a ，满足b = v x a ，可以简化电磁场运算。 同样，在涡流场中满足电荷守恒即v j = 0 ，引入新的矢量t 使t ，= v t ，就可 以将求解电流密度分布转化为求解矢量电位t 的空间分布，然后根据t 的值计算出电流 分布，这种方法简称“t 方法 。t 方法在求解材料的涡旋感应电流方面十分方便，得 到了广泛的应用。 一般的材料比如陶瓷，金属等，材料的性质是已知的，就连典型的非线性材料，如 铁磁材料都有b h 曲线等已知参数作为计算依据。但如果要解决超导材料的感应电流分 布，却是非常棘手的一件事情。超导材料微观性质多数都是未知的，只能依据经验来判 断，比如超导材料的临界电流密度j c 。其中最为难点的是超导材料的电导率不是常数， 这给求解带来了很大困难【9 0 1 。 现在的一般做法是将超导材料首先看作是电导率很大的常导体，然后根据常导体计 算出涡流分布，再判断是否满足一定的临界条件，再修改电导率值，重新计算，直到满 _ 1 3 - 东北大学博士学位论文 第2 章超导块材的本构方程和矢量电位方程 足一定的假设条件为止，假设条件可以是k i m 模型或者磁通蠕动- 流动模型。 对于y b c o 超导块材可以认为是磁准静态过程，忽略位移电流。磁导率u = 1 10 = 4 1 0 。7 n a 2 ，uo 为真空磁导率。 由麦克斯韦方程得到 v 日：j 。 2 2 3 vxe ：一望 2 2 4 a t 其中b 是由两部分产生，一部分由外磁场b 。引入，另一部分是超导体感生出来的 涡旋电流产生的磁场b s c 。 b = b e x + b s c 2 - 2 5 如图2 4 所示 图2 4 永磁体和超导体的相互作用 f i g 2 4c o a c t i o n sb e t w e e np e r m a n e n tm a g n e ta n ds u p e r c o n d u c t o r 永磁铁p m 移动产生变化的磁场，在超导体s c 中产生感生涡旋电流，永磁铁p m 自身产生的磁场可以根据等效电流法或有限元软件来计算。超导体中的涡流满足 v j = 0 2 2 6 设l ，= v x t ，t 是引入的辅助变量，称为矢量电位。 根据电磁场的本构方程j = oe ，代入到2 2 4 中，得到 v 三v t ：一生一生 2 2 7 a0 t a t 其中b “为永磁体在没有超导材料时，在无限大空f b j 所产生的外磁场，可以根据 已知条件获得。 b s c 可以根据在超导体内产生的感生电流密度分布j ，利用毕奥- 萨伐尔定律计算得 到，毕奥萨伐尔定律如下 玩= 一鲁p v ( 去卜 2 埘 其中贮| r - r i ，r 为场点，r 为源点，t 为超导材料的体积。 最终得到 一1 4 东北大学博士学位论文 第2 章超导块材的本构方程和矢量电位方程 v l v r 一丝旦内z v f 三b r = 8 b e x 2 - 2 9 盯4；ra t i - lrj 0 t 该方程中t 为未知量，b e x 为已知量。方程左边第二项是关于t 的整个体积的积分， 但每个点的t 都仍然是未知数，出现未知数之间的耦合。因此应对此项继续进行化简。 这要用到亥姆霍兹定理。 2 5 亥姆霍兹定理 一般的矢量场f ( r ) 可以表示成一个无旋场和一个无散场矢量之和。若矢量f ( r ) 在无 限空间区域中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域v 中，当矢量场的散度 和旋度唯一确定后，该矢量可表示为 卿) = 石1 华f 2 一s o 的) = 石1 学f 2 - 3 1 f ( r ) = 一v 西( ，) + v 4 ( ，) 2 3 2 这就县亥姆霍兹定理。 图2 5 矢量场中源和场的相对位置 f i g2 5t h e r e l a t i v ep o s i t i o no ff i e l dp o i n ta n ds o u r c ep o i n ti nv e c t o rf i e l d 此定理的证明如下，当体积f f 其中f 是源的分布，如图2 5 所不，采用狄拉克函 数f ( r ) 可写成 ，( ，) = f ，( ，) 8 ( r - r ) d f 2 3 3 其中狄拉克函数8 ( r 一，) 可以根据恒等式计算 v 2 ( 击) = 4 嘶一， 2 一弘 则一，t ，一石1v 2 ( 南) 2 瑙 东北大学博士学位论文笫2 章超导块材的本构方程和矢量电位方程 肿卜去肌v 2 ( 击p 2 埘 又根据矢量恒等式v v 4 = v v 4 一v 2 4 则2 - 3 6 式可表示为 即卜去v v f 高纠+ 1 4 乃v x v xf 篙删 2 埘 设 卿，= 击v 肇f 2 - s s 的) = 石1v 斧f 。 2 瑚 v 县对场占r 的运笪符而v 刚县对源占r ，的i 云笪符。官们夕间有如- f 的恒等关系 场。则 2 4 0 2 4 1 其中 v 咖( ，) v 彳( f ( r ) = - v 4 ，( r ) + v x a ( r ) 一驯鬻卜丢唾篙，搬 舯去背卜去高删 2 4 3 2 4 4 2 4 5 东北大学博士学位论文第2 章超导块材的本构方程扣矢量电位方程 = 冰甜咖牛+ 钟州纠卜 = 球川卜卅胛纠卜 最终可得 2 6 超导材料矢量电位方程 如果式子2 - 4 8 中的f ( r ) 就是超导材料的矢量电位t ( r ) ，那么矢量电位t ( r ) 的完整表 达式如下 对于没有自由电流的超导材料内部，引入的矢量电位t ，并不是单值函数，也就是 说t 可以取不同的值，使得，= v t 。为使t 是单值函数，引入库仑规范v t = 0 。 这样2 4 9 式中的第一项自动为零。 如果r 点位于区域的表面，由于没有电流流出封闭区域。 即 c j d s = 0 o 2 5 0 j n 是电流在表面上的法向向量。 肛v 灯( ，) 搬= 0 2 5 1 b v x t ( r ) 据= ( i z d = 0 2 5 2 心 由2 5 2 可知t 刀或者说n x t = 0 ，在表面上t 是和表面方向垂直的。所以式2 4 9 的第四项也为零。 1r - 拶 拶、列 、0一、 一- 办p j 卜 l 卜 p ， 只j 1 r d 占 一采嚎 p门小高岛 y 弋 胛 等m vl k ， 一 、 v f 一l一 扣赳 1一锄 。一锄 p f 一叫 棚 卜 一叫 矿 一p 0 r 忆u p 一盯 一 r 一切扩上锄 l 一韧 “ p一叫 、， l 一一 书卜 f 帮眦一 = 一 厂几川l t七 一r扣嗉 东北大学博士学位论文墨! 堇丝兰竺竺望垒塑至兰翌奎兰兰堡：至三 二- 二一一 最后式2 - 4 9 可以化简为 阶去忙附v ( 南p 一丢抄( 南卜 2 一s s 由感生电流所产生的磁感应强度b ( r ) 可以根据毕奥- 萨伐尔定律获得 氐( ，) = 一卷p v ( 去扛鲁妒( ，f ) ) v 呋户f 2 捌 所d i2 5 3 式右沩第一项 去枷m 艚( 南p 叫卅去忸一南卜 最后2 2 7 式可写成 弧l 仃v x t + u a t 鲁争岛卜警= 。 2 5 5 2 5 6 此方程就是超导材料的矢量电位方程，是有限元分析的基本方程。 由于超导材料的层状特性，大部分电流在超导晶格的a b 面流动，沿c 轴的电流分 量很小，本文假设超导体是理想的层状结构，如图2 6 所示。 x y 图2 6 圆柱形超导体的层状结构 f i g2 6t h el a y e r e ds t r u c t u r eo f c y l i n d e rs u p e r c o n d u c t o r 每一层的t 矢量都平行于轴向方向z ，此处z 与材料的c 轴重合，则t 只有z 向分 量。方程2 5 6 可化为只有t z 分量的标量方程。 - 1 9 东北大学博士学位论文第2 章超导块材的本构方程和矢量电4 - 立- 方程 用表面法向量n 点乘方程2 5 6 左边。则方程2 - 5 6 所写成的标