数列知识框架及教学建议.doc

_A、B、C即高考考核档次定位CBA一数列框架B数列的概念及表示认知通项与项的关系：多角度概理解，表达（列表，图像，解析式会简单数列通项表达（递推关系式，通项关系式，和与项的关系式数列数列章节体系B等差数列性质掌握基本方法及原理通项，项和与函数，项项关系及项、和关系，通项，项和与函数，项项关系及项、和关系，纵向：1.通项，求和公式推倒，应用B等比数列性质通项，求和公式推倒，应用通项基本方法与技巧C等差数列通项，求和C等比数列通项，求和求和基本方法与技巧应用解决实际问题数列综合应用方程思想函数思想归纳思想有序可循离散可列方法猜想，假设，建模，实践，调整，再实践-适合数列问题转化为函数问题数学建模数形结合非等差比问题转化为等差比问题等差比问题公式法分类讨论构造法迭代法关系内函思想数列纵向2. 程序框图集合计数实际应用三角函数幂函数对数函数指数函数数列函数横向1.二北京近年高考试题研究年份理科选填文科选填理科解答文科解答20102162020111112202020128，106，8202020131010202020145，12202015620数列分值在18-23之间，所占比重较不稳定，譬如今年理科着重点在函数应用上，数列所占偏少，但解答题一如既往，以数列形式呈现，考察学生猜想，建模能力。命题特点：选填多以等差比常规性质为主，属于容易类型。解答以较高层次的思维建模为主，属于顶峰问题，试题难度悬殊较大。三教学建议课时安排：数列相关概念及表示（0.5-1）等差数列（0.5-1）等比数列（0.5-1）一般数列通项求和（1-1.5）数列综合（1-2）根据学生程度，控制时间教学过程建议1、知识梳理，理解出新我们在数列的定义解读上应尝试多角度融合，而非囿于书本给定的样本：如数列：前后项之间形成固定关系的有序的一列数 自变量仅取正整数，图像呈离散点集的特殊函数 每一项都与其项数，及某定值形成固定关系的一列数 每一项与其对应的该项项和形成固定关系的一列数。 可以通过归纳的方法，完成其固定表达式，并且对于每一项的检验都恒成立的一列数.你还能列举出其它的定义方式吗，言之有理，即可成立。 在研究等差比特殊数列的定义性质公式时，一方面，我们不妨花点时间在其原理的推导上，如等差通项的形成便是用叠加的方法，求和公式既可以用倒序相加的方法获得，也可以用合并同类项的方式整体求和，而非直接给出公式记忆：，这样的讲解方式不仅可以还原知识本元，让学生深层理解公式，利于记忆，也能够传授方法，为学生在以后一般数列的研究提供方法元，避免之后为“方法”而记忆练习“方法”。 教授方法产生的必要性，必由之路，授之以鱼，不如授之以渔，授之以渔，不如授之以源。 另一方面避免知识的单一讲解，我们知道数列即特殊的函数，完全可以在讲解数列时配合函数的图像，进行关联，使学生能够在数列问题研究时并联函数的思维。 更多时候，看待问题的角度改变，问题实质亦随改变。例1在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:若数列满足,则该数列不是比等差数列;若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.其中所有真命题的序号是_ . 解析：由的推导过程可知等比数列都为比等差数列，而对于等差数列我们依然可以根据递推关系式自己亲探一下：这里，我们不能忽略等差比成员中的特殊一员，常数列，它的存在往往颠覆很多我们曾经自以为一定成立或不成立的命题，所以当我们进行数列命题判断时，不妨常用它来考证，会有意想不到得效果。常数列：数列中的每一项恒等，图像表现为平行于x轴（或重合）的一条离散点集链。等差比一族中唯一同时继承等差等比双重属性的成员。我们可以用特殊值代替一般运算，我们所使用的特殊值需具有普遍性，当然不能用常数列去检验，在解题过程中，特殊值法历来备受推崇，因为它能够较明快的给出答案，但我们在使用时也应当小心，把握好特殊与一般的关系，掌握平衡，知识方法应当不断接受调整，提高它们在我们手中的适用广度，即灵活性，而不能一味的蛮用。例2设等差数列的前项和为.在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（ ）（A）当时，取得最大值（B）当时，取得最大值（C）当时，取得最小值（D）当时，取得最小值解析审题：该题设给定的条件极为模糊，那么首先我们应分清模糊点到底是什么，是否是解题的必经环节，如果不是，比如可以设而不求，或出题者有意云遮雾绕，我们大可绕过。经过比量，可知模糊点即图中三个点所在的函数模糊不清，为解题必断环节。题中没有任何迹象表露身份，怎么办？分类讨论！先给分类对象命名A,B,C（ABx轴，不可能在同一函数上）CBA 方案对象1234ABC在分析方案前先回顾下等差与函数的联系，等差通项 类比一次函数，公差的正负对应函数的增减性；等差求和 类比二次函数，过原点，公差正负对应函数开口的上下；方案一：根据B.C点，该二次函数开口应向上，但首项为负，且,那么，暂无矛盾，进入运算;舍方案二：由AC可判断该数列递减，且，则在此之前各项为正，推断为正，与图矛盾，舍；方案三;由BC可知该数列递增，则推断之前各项为负，推断为负，与图矛盾，舍；方案四：由AC可知该数列递减，首项为正，吻合，那么我们可以继续运算，选A2、 重视各类方法形成过程，理解原理，划零归整： 数列的求解技巧之多可算高中数学众章之冠，但我们来历数高考，对于中档题型，它有否考过那些特异，绞手的技巧，高阶构造法，不动点法，错位相减，等等。为什么，让我们回思，数列到底遵循什么规律，它探索方法有哪些， 已知等差比数列，公式，方程，性质作用解决； 形似等差比的数列，可以联想，类比，派生，转化为等差比； 形似函数，应用函数法，同时注意在区别基础上调整应用； 当我们一无所知时，我们该何去何从？ 无非是列举，将基本量一一罗列，归纳，猜想，验证，或归纳，发现，推导，所谓的秒门，玄之又玄，其实是最简单的大道。例3定义在上的函数满足：当时，；.设关于的函数的零点从小到大依次为.若，则_；若，则_14；解析本题条件中最难消化的是哪句？ 像什么，你能联想到什么，除了自己，没有什么可以限制你的想象力，周期函数，如果能联想到它，你离破解之门已不远了，但不完全是，需要调整，每隔3倍的行程，它会增长3倍。绘图吧！I观图可知，并在此基础上，我们可以归纳出关于的规律，。II有了I的结论，稍作调整便会发现此状“等比雏形”，结合等比数列公式可轻易得到93例4 对于数列 ,定义数列如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值 （）设是单调递增数列,若，则_ ； （）若数列的通项公式为，则数列的通项是_ 解析第一问相对于新定义问题来说既是投石问路第二问 题设同样是递增数列，我们可以尝试对所求进行归纳，猜想，验证，总结。3、 问题建模，发展思维，能力提升： 对中难问题的选择，极为重要，不能一味的求难，求特殊方法技巧，那样将会与高考的本意背道而驰。高考的最终目的是选拔“能力潜力股”，体现在数学上是善于提出问题，分析，解决问题，首先在问题的提出上赞赏的依然是“常规中的出新”，即在情理之中，但意料之外；在分析解决问题的道路上依然是重视基本知识，基本思想方法，淡化技巧，即常规方法建模综合-调整-派生-运用。例5数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值（）若，则的峰值为 ；10（）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是 解析I如图n=2,即为所求峰值。本题是典型的函数数列综合问题，注意函数连续性与数列离散性的区别。II此时我们须将数列看成函数，对不不甚了了的函数，我们通常采用求导的方式。，则红色部分图像即为所求。峰值的存在性是以自变量为正整数为前提。下面我们面临一个十字路口，1按照函数法的方案，分析“极值点”满足题设的位置，定轴动区间；2另方案，对数列而言是进行基本量的比对分析，根据方案一，1t即可，但根据数列的特性离散，t1,在某种情形下也成立，如图，t范围可以更宽泛些。，在此基础上，我们可对方法建模，利用函数图像，结合数列基本量，调整离散点的位置，直至找出所有满足题设的情形满足，如图1例6数列的通项公式为，那么满足的整数（ B）（A） 有3个（B）