（电力系统及其自动化专业论文）分形在弧光故障分析和电力电缆在线检测中的应用.pdf

a b s t r a c t f r a e t a lg e o m e t r yi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n td i s c o v e r i e so fm a t h e m a t i c a l s c i e n c e n o w a d a y sf r a c t a lt e c h n i q u e sa r ew i d e l yu s e di nn a t u r a la n ds o c i a ls c i e n c e t h i sp a p e rd i s c u s s e ss o m ea p p l i c a t i o n so ff r a c t a li ne l e c t r i cp o w e rs y s t e m ，w h i c hi s i n c l u d i n gt h r e ea s p e c t s f i r s t l y , s t u d yo fa r c i n gf a u l tw i t hf r a c t a lt o o l s t h es a m p l i n gd a t ao fa r c i n gf a u l t t oe a r t ho ft r a n s m i s s i o nl i n ei sa n a l y z e dw i t hr sa n a l y s i s t h ec h a r a c t e r i s t i c so f p o w e rs p e c m m aa n df r a c t a ld i m e n s i o no ff a u l ts i g n a l sa r ed i s c u s s e d t oac e r t a i n d e g r e e ，t h es p e c t r u mo f t h es a m p l i n gd a t a , w h i c hi ss a m p l e da tm o n i t o r e dp o i n tw h e n af a u l to c c u r sa tap o i n to fat r a n s m i s s i o nl i n e ，e m b o d i e sa ni n t e r n a ld e s c f i p t i o no f t h e f a u l tw a v et ot h ef a u l tp o s i t i o n t h ef r a c t a ld i m e n s i o no ft h e f a u l tw a v ei sa q u a n t i t a t i v er e p r e s e n t a t i o no ft h es a m p l i n gs i g n a lt ot h ef a u l tl o c a t i o n t h ef r a c t a l d i m e n s i o no fs a m p l i n gd a t as h o w st h es p e c t r u mo ft h i ss a m p l i n gs i g n a lw a v e ，w i t h w h i c ha na c i n gf a u l tl o c a t i o nc a nb ee s t i m a t e d t h ef u n c t i o n a lr e l a t i o n s h i pb e t w e e n f a u l tl o c a t i o na n df r a c t a ld i m e n s i o no faf a u l ts i g n a l ，o fw h i c ht h eb a s i cc o m p o n e n ti s f i l t e r e d ，i saq u a d r a t i cc u r v e t h er sm e t h o da n ds p e c t r u ma n a l y s i so fa r c i n gf a u l t s i g n a ii sag o o dc a n d i d a t ef o rp r o t e c t i o na l g o r i t h ma n df a u l tl o c a t i o ne s t i m a t i o no f t r a n s m i s s i o nl i n e s e c o n d l y s t u d yo fh o t - l i n ed i a g n o s t i cm e t h o df o rx l p ep o w e rc a b l e s i nt h i s p a r t ，a na c c u r a t ew a t e rt r e em o d e lh a sb e e nc r e a t e d w es u c c e s s f u l l yd e v e l o pan e w h o t - l i n e d i a g n o s t i cm e t h o dc a l l e d “h j g h 矗e q u e n c ys u p e r p o s i t i o n m e t h o d ”w e s u p e r p o s eav o l t a g ew i t hh i g hf r e q u e n c yb u tl o wa m p l i t u d eo nt h es h i e l d i n gl a y e ro f p o w e rc a b l e st om a k et h el o s sc u r r e n tm o r eo b v i o u s t h e nw eu s ef r a c t a lm e t h o d s t o a n a l y z el o s sc u r r e n ts i g n a l sc o l l e c t e d d e g r a d a t i o no fx l p ec a b l eb yw a t e rt r e e s g i v e sr i s et oh a r m o n i c si nt h el o s sc u r r e n t h a r m o n i cc o m p o n e n t sa r i s ea sar e s u l to f n o n l i n e a rv o l t a g e c u r r e n tc h a r a c t e r i s t i co fw a t e r 虹e e s t h ef f a c t a ld i m e n s i o no fl o s s c u r r e n tw a v e f o r mi n c r e a s e sb e c a u s eo ft h eg r o w t ho fh a r m o n i c s w ec a l c u l a t et h r e e f r a c t a ld i m e n s i o n si n c l u d i n gc a p a c i t y , i n f o r m a t i o na n dc o r r e l a t i o n w ed i s c u s st h e i n t e r r e l a t i o n s h i pb e t w e e nf r a c t a ld i m e n s i o na n dh a r m o n i c s t h ef r a c t a ld i m e n s i o n p r o v i d e sa i le x t r e m e l yg o o di n d i c a t i o no ft h es t a t eo fd e g r a d a t i o n w h i c hc a nb eu s e d a sa j u d g m e n tf o rh o t - l i n ed i e l e c t r i cd e g r a d a t i o n t h i r d l y , s t u d yo fp o w e rc a b l ed i e l e c t r i c sb r e a k d o w na n do n l i n ed i a g n o s t i c m e t h o d t h ef o r k yd i r e c t i o n so f w a t e rt r e ei nx l p ed i e l e c t r i c sh a v eb e e ne s t a b l i s h e d ni saf r a c t a ls t r u c t u r e ，w h i c hi sa t t r i b u t et od l a ( d i f f u s i o n - l i m i t e da g g r e g a t i o n ) m o d e l w ed e v e l o pa l lo n l i n ed i a g n o s t i cm e t h o dc a l l e d “s t a t i ct r a n s i e n td e t e c t i o n i t m a k e su s eo ft h ei n h e r e n ta n df r e q u e n tt r a n s i e n t so fp o w e rs y s t e m sa n dm e a s u r e st h e l o s sc u r r e n tw a v e f o r m a sar e s u l t ，w ec a ne s t i m a t et h ed i e l e c t r i cs t a t eb a s e do nt h e f r a c t a ld i m e n s i o no fl o s sc u r r e n t k e y w o r d s ：f r a c t a ld i m e n s i o n ，f r e q u e n c ys p e c t r u m ，a r c i n gf a u l t ，x l p ec a b l e ，w a t e r t r e e ，o n l i n ed i a g n o s t i c 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨壅盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：压癌磊签字日期： 动一，年，月，。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘洼盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：压；幺磊 导师签名：张灰超 签字日期：知一r 年 1 月，己日签字日期：勘口f 年 ，月，亡日 第一章绪论 1 1 问题的提出 i i 1 架空线电弧 第一章绪论 电力系统发生故障时，若短路电弧长时间延续，电弧局部温度可达三、四千 摄氏度，容易引起短路火灾。因此，准确地判断出弧光故障是否发生具有十分重 要的意义。随着电力系统规模的扩大，高压输电线路日益增多。高压输电线路分 布范围广，穿越地区地形复杂，气候条件多变 1 - 4 1 。容易导致故障的发生，这些 故障大多为电弧性故障，而且以单相电弧故障为主。目前在众多的保护算法中， 大多把故障过渡电阻视为定常电阻未考虑过渡电阻的时变特性，即没有考虑电弧 故障。因此基于这些算法的保护装置很可能发生误动作。同时，系统故障时会产 生一个暂态过程，但是还存在着系统正常的暂态过程，例如电容器分合闸，负荷 的变化等。这两种暂态过程有着很多共同的特点，传统的保护算法往往不能辨别 这两个过程，也使保护装置发生误动作。因此，需要种保护算法能够准确，有 效的将弧光故障识别出来。 弧光接地或经过一个接地物体( 比如：树木，杆塔等) 接地形成一个高阻故障。 高阻故障常常发生在中压电力系统中( 1 0 k v 3 5 k v ) 。在我国3 5 k v 及以下的电力 系统中常采用中性点不按地或经消弧线圈接地的运行方式。当发生故障后，故障 电流小，常规的过电流保护很难检测到。高阻故障常常会给电力系统设备和人身 安全带来严重隐患。因此，开展对弧光非线性高阻接地故障的研究具有重要的理 论意义和实用价值。 近年来，国内外学者提出了检测弧光故障及其高阻故障的方法。总的来说， 故障辨别方法可以划分成三大类：频域法，时域法和人工智能法。时域法和应用 分形理论研究弧光接地故障的保护方法正在起步阶段。 ( 1 ) 频域法 将时域的故障电流信号或电压信号转换到频域，然后根据故障信号频域分量 的特点提出的故障辨别方法称为频域法。文献【5 】利用快速傅里叶变换技术，从 畸变的故障电流波形中提取高次谐波分量。文献【6 】提出了一种利用3 次谐波电 流辨别故障的方法。为了提高弧光接地故障保护的可靠性和灵敏度，文献【7 提 出了一种多判据检测弧光故障的方法。g i r g i s 口1 等提出卡尔曼滤波器从畸形的故 第一章绪论 1 1 问题的提出 1 1 1 架空线电弧 第一章绪论 电力系统发生故障时，若短路电弧长时间延续，电弧局部温度可达三、四千 摄氏度，容易引起短路火灾。因此，准确地判断出弧光故障是否发生具有十分重 要的意义。随着电力系统规模的扩大，高压输电线路日益增多。高压输电线路分 布范围广，穿越地区地形复杂，气候条件多变【1 “。容易导致故障的发生，这些 故障大多为电弧性故障，而且以单相电弧故障为主。目前在众多的保护算法中， 大多把故障过渡电阻视为定常电阻未考虑过渡电阻的时变特性，即没有考虑电弧 故障。因此基于这些算法的保护装置很可能发生误动作。同时，系统故障时会产 生一个暂态过程，但是还存在着系统正常的暂态过程，例如电容器分合闸，负荷 的变化等。这两种暂态过程有着很多共同的特点，传统的保护算法往往不能辨别 这两个过程，也使保护装置发生误动作。因此，需要一种保护算法能够准确，有 效的将弧光故障识别出来。 弧光接地或经过一个接地物体( 比如：树木，杆塔等) 接地形成一个高阻故障。 高阻故障常常发生在中压电力系统0 0 0 k v 一3 5 k v ) 。在我国3 5 k v 及以下的电力 系统中常采用中性点不接地或经消弧线圈接地的运行方式。当发生故障后，故障 电流小，常规的过电流保护很难检测到。高阻故障常常会给电力系统设备和人身 安全带来严重隐患。因此，开展对弧光非线性高阻接地故障的研究具有重要的理 论意义和实用价值。 近年来，国内外学者提出了检测弧光故障及其高阻故障的方法。总的来说， 故障辨别方法可以划分成三大类：频域法，时域法和人工智能法。时域法和应用 分形理论研究弧光接地故障的保护方法正在起步阶段。 ( 1 ) 频域法 将时域的故障电流信号或电压信号转换到频域，然后根据故障信号频域分量 的特点提出的故障辨别方法称为频域法。文献 5 】利用快速傅里叶变换技术，从 畸变的故障电流波形中提取高次谐波分量。文献【6 】提出了一种利用3 次谐波电 流辨别故障的方法。为了提高弧光接地故障保护的可靠性和灵敏度，文献 7 】提 出了一种多判据检测弧光故障的方法。g i f g i s 【8 l 等提出卡尔曼滤波器从畸形的故 出了一种多判据检测弧光故障的方法。g i r g i s 【8 l 等提出卡尔曼滤波器从畸形的故 第一章绪论 障波形中获取各次谐波分量的最佳估计，改进了用传统的f o u r i e r 方法所引起的 误差。 f 2 1 时域法【9 1 1 0 1 文献 1 2 ，1 3 根据零序回路与故障回路的拓扑关系，提出了一种弧光高阻接地 保护和定位的算法。文献【1 4 】利用故障电流的数理统计规律，提出了一种高阻接 地故障保护算法。文献【1 5 】提出一种架空线弧光高阻接地保护的算法。文献【16 利用g p s 时间同步技术提出了一种基于故障瞬时值的电流纵差保护算法。算法 对高阻故障有较强的判别能力。 f 3 1 人工智能方法 e b r o n t ”1 和m o h a m ”1 等提出了利用人工神经网络方法探测高阻故障的算 法。文献 1 9 矛t j 用多层前馈神经网络模型辨别弧光高阻故障。 ( 时频法 小波分析是近年来发展起来的一个分析暂态信号的有力数学工具，被广泛应 用在故障分析，边缘检测，图像处理等领域。文献 2 0 2 2 将小波变换引入电力暂 态分析和配电系统保护等研究中，得到了一些很有意义的研究结果。最近的一些 研究工作将注意力集中在弧光故障和开关事件的辨别问题上。文献 2 3 1 n 用二次 样条小波变换对弧光故障和补偿电容开关暂态过程进行了仿真研究。其主要结论 是：在弧光故障电流小波变换的某一尺度下的弧光点燃和熄灭的时刻能清楚地看 到一个尖锐的脉冲( 模极大值) ；在小波变换下，在补偿电容器开关合闸和分闸瞬 间的电流波形上，也可以看到一个尖锐的脉冲( 模极大值) ；弧光故障信号小波分 析的脉冲周期性的出现在弧光点点燃和熄灭的时间点上，而开关信号的脉冲是非 周期性的，仅在开关合闸和分闸的瞬间出现。但是，该方法存在的问题是在弧光 故障仿真研究中没有考虑噪声干扰对故障辨别可靠性影响。如果信号波形被噪声 干扰，反映弧光故障特性的故障电流小波变换奇异点的模极大值常常淹没在噪声 干扰中。从混有噪声的奇异脉冲峰中辨别周期性的弧光故障脉冲，仍然有许多问 题需要解决。 ( s ) 分形几何理论研究弧光故障 在分形技术中，m a m i s h e v l 2 ”等提出了一种通过计算信号的分形维数来研究 弧光故障的方法。方法的主要结论有：系统的暂态信号波形( 比如负荷扰动) 和弧 光故障信号波形的分形维数在i 2 之间；在通常情况下，弧光故障电流信号波形 的分维数比正常电流信号波形分维数大；由于系统中噪声和其它暂态过程f 电容 器分合闸) 的存在，仅通过计算分维数还不能辨别一个弧光故障是否能够发生。 综上所述，经过国内外学者近几十年的努力，故障保护在原理和方法上取得 了长足的进展，但是仍然存在着许多待解决的问题。各种故障保护算法虽各有特 第一章绪论 点，但都有其不足和缺点。有的算法在电流很小时不能检测到故障；有的算法不 能将故障与系统正常的暂态开关事件或负荷扰动相区别，而给出错误的判断，特 别是一些高阻故障。本研究的目的在于应用分形几何理论寻找一种适用于电弧故 障的有效方法。 1 1 2 电缆故障在线检测 自8 0 年代以来，交联聚乙烯( x l p e ) 电缆在我国逐步得到推广。x l p e 电缆 由于结构简单、性能优良、安装维护方便等特点，在城乡电网改造中，受到电力 部门的青睐。它不仅在中、低压范围内取代了传统的油纸电缆，而且在高压、超 高压等级上可与充油电缆相媲美，成为今后电力电缆行业的主要发展方向【2 6 】。 高压电力电缆是电力输变电中非常重要的设备，它对电力负荷安全、稳定传 输有瓶颈式的制约作用。而电缆投入运行后，由于受到电、热、机械、化学等因 素的作用将发生老化。为了保证电缆的可靠运行，及时发现异常现象，掌握电缆 绝缘的老化状态，以避免事故的发生，迫切需要对运行中的电缆绝缘老化状态进 行检测，如何找到一种切实可行的在线检测方法成为急需研究的问题。x l p e 电 缆最常用的三种检测方法：直流分量法、直流叠加法、t a n 艿在线检测法，将每 种检测方法的优点和实际应用中存在的问题与国外x l p e 电缆在线检测方面的 最新技术进行比较。 ( 1 ) 直流分量法 1 9 8 7 年，k s o n a 和h o o n i s h i 等人对运行后的电缆进行了比较详尽的试验研 究，结果表明直流分量是x l p e 电缆绝缘含有水树的标志，据此提出了通过在线 检测直流电流来判断运行中x l p e 电缆老化的方法，即直流分量法口“。 此方法在现场测量时经常碰到的问题是当电缆屏蔽接地化学电动势较大而 护套绝缘电阻较小时，会在检测回路形成较大干扰电流，使得检测电流被干扰电 流淹没。解决的方法是：( 1 ) 可以采用改接线的方法【2 7 】。用电容阻断接地化学电 动势通过护套绝缘的通路，但改接线可能难以被电力部门的操作规程所允许，故 而在应用中要受到一定限制。( 2 ) 采用补偿电势法来消除干扰电流【2 ”。此方法需 要良好的补偿电势源微调性能和微电流检测仪测量精度，在应用于现场检测时， 有很好的可取性。 电晕对直流分量法的影响是不容忽视的】。电晕是一种极不均匀电场的空 气局部击穿现象，电晕对地放电具有鲜明的极性效应特征及非常宽的放电频谱， 也必然会产生不稳定的整流效应电流及超低频分量，并对直流法在线检测造成影 响。对于电缆之外的电晕对地放电，可采用阻断放电通路的方法消除电晕整流电 流的影响；对电缆端部的电晕放电，可采用漏电屏蔽环将电晕放电电流直接导入 第一章绪论 地下而不流经电缆接地回路从而消除其影响：电缆绝缘表面气隙中的电晕放电无 法从接线方式上加以消除，出现这种情况时，不能应用直流分量法在线检测技术。 ( 2 ) 直流叠加法 直流叠加法是在接地的电压互感器的中性点处加上低压直流电压( 通常为 5 0 ，此直流电压与电缆绝缘上原有的交流相电压叠加，从而测量通过电缆绝缘 层的微弱直流电流或其绝缘电阻。 直流叠加法的特点是抗干扰能力较强。该方法采用分别叠加正、反向直流电 压使之在绝缘中产生直流电流的差值，通过进行数据处理以消除单向杂散干扰电 流对在线检测数据的影响0 0 。但通过研究发现，当电缆护套绝缘电阻减小到一 定程度并且存在电缆铜屏蔽接地化学电动势时，其在检测回路中产生的干扰电流 就可能远远超过叠加电流，造成“淹没”现象。在叠加装置与在线检测装置十分 靠近时，可采用电容阻断干扰电流通路，另外也可采用补偿电动势法来消除干扰 电流。同样，电晕对直流叠加法也会造成很大的影响。由于电晕放电所产生的直 流电流的特点幅值随时间波动较为剧烈，但电流极性保持不变，因而当电晕放电 较弱时，可采用求均值的方法消除其干扰。加大滤波器的电容对减小电晕干扰亦 有一定的效果，但当电晕较严重时，必须采用阻断放电通路的方法及同时加大滤 波电容的方法进行处理。值得一提的是，叠加电压法不适用于中性点直接接地的 电网 3 0 1 。 实现在线检测的另一个关键是要有高灵敏度、高精度的直流互感器。目前此 类传感元件如基于霍尔元件的直流互感器、利用零磁通原理实现的h l d 高精度 直流互感器等，它们的灵敏度和精度都可以满足检测要求。 ( 3 ) t a n 占在线检测法 研究表明介质损耗的大小随水树老化的程度而增加，在o 1 h z 5 0 h z 之间的 损耗因数与水树老化程度有很好的相关性。典型的值在线检测法是检测两个正弦 波过零点的时间差，由频率和时间差来计算相位差的方法。该方法对零点的检测 精度要求高，因此对过零检测器的稳定性( 包括长时间工作的稳定性及温度稳定 性等) 有较高的要求。这种方法对测量信号本身的要求也较高，因为叠加在正弦 波电压上的在零点附近的一些干扰往往会影响过零点检测的准确性，谐波对正确 检测过零点也有举足轻重的影响，因此要使用稳定性很好的滤波器来滤除谐波分 量。常用高阻杆进行分压来取得电压信号，之后与流经电缆绝缘的电流相置进行 相位比较，但事先要对电阻杆溺量时的角差等进行验证。 f 4 ) 交流叠加法 交流叠加法【3 1 l 是在电缆屏蔽层上叠加一个交流电压( 频率= 3 2 频x 2 + 1 h z ) ， 检测出1h z 的特征电流信号，从而判断电缆的老化程度。试验表明，在给老化 第一章绪论 电缆屏蔽层上叠加不同频率的交流电压时，当电压频率为1 0 0 h z 时，会产生一 个比较大的特征电流。进步的研究表明，此特征电流只在老化的电缆上产生， 对于新电缆并不产生特征电流，并且当叠加电压的频率为1 0 1 4 h z 时，特征电流 达到最大值。这样所得出的关系式为( 1 1 ) ： 检测电流频率= 叠加电压频率一工频2( 1 1 ) 与直流叠加法相比，交流叠加法所需电压的幅值较小，通常叠加5 v 的交流 电压就可得到明显的特征电流，这使得交流叠加法能更容易地检测出电缆老化信 号；另外，交流叠加法所测得特征电流的线性化程度要比直流叠加法好得多，因 而交流叠加法是在线检测电缆的一个较好的新方法。 ( 5 ) 谐波分量法 谐波分量法l ”i 的原理是根据由水树枝引起老化的x l p e 电缆会在损耗电流 中产生谐波分量。研究表明，谐波分量能很好地表征电缆的老化程度。谐波分量 是由于水树枝的非线性伏安特性而产生的。随着电缆老化的程度的增加，损耗电 流会越来越畸变，也就是说含有的谐波分量越来越大。这样，谐波分量本身包含 了更多的水树枝老化信息。 水树枝的非线性特征可近似用式( 1 2 ) 表示： 1 i = ( y + k v 3 ) ( 1 2 ) 瓜 如果叠加上一个1 0 0 h z 的电压，则 v = ks i n o q t + 吒s i n d a 2 t( 1 3 ) 式( 1 3 ) 中：q = 2 x f ，哆= 2 7 r f 2 ，则式( 1 2 ) 中有： 1 卜责( v + k v 3 ) = 1 吨s i n c o t t + 1 吨s i n c 0 2 t + 1 3 嘶s i n 3 0 q t + 1 3 赴s i n 3 0 9 1 t + 1 2 讪一qs i n ( 2 0 j l c 0 2 ) t + 厶q + s i n ( 2 a 】l + c 0 2 ) t + 2 s i n ( a h 一2 0 j 2 ) t + + 2 qs i n ( o 喁+ o d 2 ) t 取f = 5 0h z ， = 1 0 0h z ，则可产生1 5 0h z 和2 0 0h z 的谐波。由于以往奇 次谐波通常会给损耗电流测量带来误差，此方法通过调制而产生偶次谐波，可以 避免奇次谐波测量带来的误差问题，并且在很大程度上不受杂散电流的影响，很 值得借鉴。 在线检测x l p e 电缆的绝缘状况意义重大，虽然目前较多采用的直流法切实 可行，但由于直流信号十分微弱，需要提高软、硬件的技术水平。若在直流法的 基础上增加t a n 6 在线检测，可更好地判断电缆的老化，在实际操作中，还需不 断积累经验，完善判据。交流叠加法、谐波分析法是国外检测x l p e 电缆绝缘的 第一章绪论 新方法，操作简单，方法可行，但若叠加电压过高，可能使继电保护误动作，需 在实践中进一步探讨。 1 2 分形理论的引入 分形是非线性科学的主要构成部分之一，是非线性特征的几何表现。人们长 期的研究发现：不论是故障电弧还是x l p e 电缆绝缘中的水树，都具有显著的非 线性性质。 电弧放电是气体放电的一种形式，在正常情况下，气体具有良好的电气绝缘 性能。但在气体间隙的两端加上足够大的电场时，就可以引起电流通过气体。气 体的导电系数不是常数，并且与外界影响和电流强度有关，电流和电压之间的关 系不是简单的成正比。因此，可将电弧间隙看作是一个非线性的导体，基于弧隙 的能量平衡理论的电弧的动态模型，就是在能量平衡的基础上将电弧当作一个圆 柱形的气体通道，而其电导( 电阻) 是随能量变化的。 水树枝的引发和发展受多方面因素制约，其生长过程和形态表现出较强的随 机性和分叉趋势，经典的应变论、电泳与扩散论和空隙论已不能够详尽描述水树 枝的引发和发展机理。特别是对水树枝的形态和分叉趋势无法采用传统的欧氏几 何语言深入描述。试验证实：经甲基蓝染色后的水树枝在不同倍数的光学显微镜 下其局部形态与整体形态基本上相似，剖切平面上的树枝形态实测维数1 7 0 。用 分形理论表述为：水树枝形态具有统计自相似性，其分形维数d ，( = 1 7 0 ) 大于拓 扑维数d r e l 0 ) ，是分形结构。 电弧的非线性性，使得发生电弧故障时，母线监测电压混入高次谐波；水树 的非线性，使损耗电流中产生谐波分量。大量谐波分量的出现使采集信号的分形 维数增加。因此，分形理论的应用成为可能。 1 3 本文主要工作 根据上述国内外的科研情况和存在问题，本文主要完成以下具体工作： 第一，研究电弧自身特征，利用m a t l a b 建立了精确电弧仿真模型。利用r s 方法对输电线路弧光接地故障采样信号进行了研究。分析弧光故障信号的频谱分 布的规律及分形维数的特点。研究故障信号波形的分形维数与其频谱分布的相关 性。提出了r s 分析法在输电线路弧光接地故障定位中应用的可能性。 第二，建立了水树稳态模型，提出一种在线绝缘诊断方法：高频信号叠加法。 在电缆屏蔽层叠加高频低幅电压信号，以凸显损耗电流波形，利用分形方法对采 第一章绪论 集到的损耗电流信号进行分析。计算了容量、信息、关联三种维数，分析了各种 维数和水树劣化之间的内在联系。分形维数很好的反映了电缆中水树劣化的程 度，可作为在线绝缘水树劣化的诊断依据。 第三，建立了含有缺陷点的x l p e 介质击穿模型。指出电缆绝缘层内部及界面 存在空洞、夹杂物和隆凸不平处是缺陷产生的内在因素，且缺陷点的击穿概率较 大。推断x l p e 电缆的水树具有分形结构，属于d l a ( 有限扩散凝聚) 模型。最后， 提出了一种不外加信号的电缆在线检测方法：小干扰法。利用电力系统固有的干 扰作为信号源，直接测量损耗电流，计算其分形维数并判定绝缘状态。 第二章分形理论 第二章分形理论 分形、混沌和弧波构成了非线性科学的主要内容，被誉为非线性科学研究的 前沿。分形理论从上世纪7 0 年代中期由m a n d e l b r o t 创立以来，在许多领域得到 了广泛的应用。这个世界在本质上是非线性的，而分形是非线性特征的几何表现， 因此分形性是大自然的一种基本属性。分形理论承认世界的局部可能在一定的条 件、过程中在某一方面( 形态、结构、功能、信息、时间、能量等) 表现出与整体 相似的特性，它承认空间维数的变化可以使离散的整数也可以是连续的分数，因 而扩展了我们的视野。 2 1 分形理论的产生 2 1 1 分形的发展历程 分形是- - ( - j 几何学，分形几何的概念是由美籍法国数学家m a n d e l b r o t 于1 9 7 5 年提出的，但最早的工作可以追溯到1 8 7 5 年，德国数学家w e i e r s t r a s s 构造了处 处连续但处处不可微的w e i e r s t r a s s 函数。集合论的创始人德国数学家c a n t o r 构 造了许多奇异性质的三分c a n t o r 集。1 8 9 0 年，意大利数学家p e a n o 构造了填充 空间的p e a n o 蓝线。1 9 0 4 年，瑞典科学家k o c h 构造了类似雪花和岛屿边缘的 k o c h 曲线。1 9 1 5 年，波兰数学家s i e r p i n s k i 设计了像地毯和海绵状的几何图形。 这些都是为解决分析拓扑学中的问题而提出的反例，但它们是分形几何思想的源 泉。1 9 1 9 年，德国数学家h a u s d o r f f 开创了奇异性集台质与量的研究，提出了分 形维的概念。1 9 2 8 年，b o u l i g a n d 将m i n k o v s k y 容度应用于非整数维，1 9 3 2 年 p o n t y a g i n 等引入盒维数。1 9 3 4 年，b e s c o v i t c h 更深刻的揭示了h a u s d o r f f 测度的 性质与奇异集合的分形维从而产生了h a u s d o r f f - b e s c o v i t c h 维数。但在当时，这 一领域的工作并没于引起太多的注意。 19 6 0 年，m a n d e l b r o t 在研究棉花价格变化的长期性态时发现了价格在不同 大小时间尺度间的对称性。同年他在研究信号的传输误差时发现误差传输与无误 差传输在时间上按c a n t o r 集合规律排列。后来，m a d e l b r o t 转向河流水位，对尼 罗河的水位记录进行研究，他把水位变化分为诺皿效应和约瑟夫效应。诺亚效应 意味着不连续性，而约瑟夫效应则意味着持续性。他总结自然界中很多现象从标 度变换角度表现出对称性。他将这类集合称为白相似集，其严格定义可由自相似 第二章分形理论 映射给出。他认为欧氏测度不能刻画这类集合的本质，从而转向维数的研究，发 现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻画这类集合。 1 9 7 5 年m a n d e l b r o t 用“分形”一词囊括了他的思想。相继出版了分形对 象：形、机遇和维数、分形：形、机遇和维数、大自然的分形几何学三本 著作。在这些专著中，第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。 这些专著的发表标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生【3 ”。 2 1 2m a d e l b r o t 与分形理论 创建分形理论的代表人物为美国数学家、美国科学院院士m a d e l b r o t 。1 9 6 0 年，m a d e l b r o t 去到哈佛大学去讲课，发现自己研究的经济模式中高低收入的分 布图与塔沃经济中心大厦黑板上棉花的价格变动图是一样的，他不无怨气的开玩 笑说：“我的图怎么能在作报告之前就画出来了呢”。之后，他转向了棉花价格 变化的分析。它采用一种特殊的变换尺度的方式考察棉价变化的内在序列，惊人 的发现：尽管棉价的每一次变化是随机的，但价格的曰变化和月变化的曲线竟然 完全一致! 这就是说，在大量的无序的数据中存在着一种出乎意料的有序。 m a d e l b r o t 又从“英国的海岸线有多长”的问题着手进行研究，提出一个惊 人的论点：任何一段海岸线都是无限长的。虽然一条曲折的海岸线长度不能精确 测量，但它却有某种特征量，那就分形所揭示的分形维数，可以对分形对象内部 的不均匀性、层次结构性的整体数量特征进行刻画。分形的意义在于模拟自相似， 自相似是跨越不同尺度的对称性，图案之中套图案。 2 2 分形的基本概念 分形( f r a c t a l ) - - 词是由分形理论创始人m a d e l b r o t 首先提出的，1 9 7 5 年他出版 了关于分形的第一部专著分形：形状、机遇和维数，在这部专著中他解释说， “f r a c t a l ”这个词源于拉丁语f r a c t u s ，意为“破碎”、“产生不规则碎片”：与英语 “f r a c t i o n a l ”和“f r a g m e n t ”有相同词根，因此，f r a c t a l 有“不规则的”、“破碎 的”、“断裂的”、“分数的”等含义【”】。如前文所述，分形作为一门几何学，其 最初来源于数学中的反例。1 9 世纪的一些数学家凭借想象创造出一些非光滑的、 不规则的集合和函数，如c a n t o r 集、w e i e r s t r a s s 函数、p e a n o 曲线、s i e r p i n s k i 地毯等等，曾经被视为“病态结构”而不予研究。然而这些“病态结构”却再 分形理论中扮演着主要角色，通过仔细的研究，发现它们都具有自相似的性质。 1 9 6 0 年，m a d e l b r o t 在研究棉花价格变化的长期性态时，发现了价格在大小时间尺 度的对称性即自相似性，在对尼罗河水位的和英国海岸线的数学分析中，发现了同 第二章分形理论 样的规律。正是基于对这种自相似性的考虑，才使他萌发了分形的思想【3 ”。 由于分形理论产生的时间不长，现在正处在不断的发展和完善中，因此到目 前为止尚无一个关于分形的严格定义。而今比较容易为人们接受的是m a d e l b r o t 于1 9 7 5 年和1 9 8 6 年给出的定义 3 3 1 “儿3 ”。 定义l 设集合a c e ”，如果4 的豪斯道夫维数d 。严格大于它的拓扑维数 d ，则称爿为分形集。 有许多集合具有分形的一些特征但其d 。= d ，按照定义l ，他们被排除在 分形之外。因此定义l 并不是一个好的定义，连m a d e l b r o t 本人也对这个定义不 很满意，1 9 8 6 年他给出了分形的另一定义： 定义2 设集合a c e “，如果a 的局部以某种方式与整体相似，则称a 为分 形集。 定义2 体现了分形集合的基本特征，这一定义简单、直观，说明自然界很多 现象的形态和组织结构在尺度变换方面具有对称性。但是一个数学定义应该具有 唯一性和确定性，“以某种方式”含有不确定因素，因而定义2 也不是分形集合 的精确定义。 一般认为分形具有以下的几何特征1 ”】： ( 1 ) 自相似性，即它的每一个充分小的局部与整体都是相似的； ( 2 ) 它有“精细结构”，即它包含了任意小比例的细节： ( 3 ) 它是由个简单图形通过迭代过程产生的，它的定义简单明了； ( 4 ) 它的几何性质及局部性质都难以用传统的数学语言描述； ( 5 ) 其勒贝格测度为0 。 分形最重要的特征自相似性。对于一些数学模型，这种自相似性是严格的， 我们称之为有规分形；但在物理学或其它自然界存在的分形，它们的自相似性是 近似的或是统计意义上的，称之为无规分形。 2 3 分形维数 分形理论中最重要的概念是分形维数，因此有必要介绍一下分形维数的概 念。下面从维数的概念的发展来认识分形维数。维数是描述集合几何特征的定量 参数。维数概念是一个古老的概念，最早见于两千多年前欧几里德的几何原理： “曲面有两个量度，曲线有一个量度。点一个量度也没有”，这是对维数的直观 描述，而非严格的定义。后来，人们逐渐将维数概念化、公理化为描述空间中的 个点所需要的独立坐标数目或连续参数的最小数目，这一定义可称为欧氏维 数。1 9 世纪末意大利数学家p e a n o 构造了填充空间的曲线，按照欧氏维数的定 第二章分形理论 义，曲线的维数为1 ，但是它又填充了平面，平面的维数应该为2 。欧氏维数的 定义得出了相互矛盾的结论，已不能描述这类奇异集合的本质。因此在欧氏维数 的基础上发展出了拓扑维数的概念。拓扑维数采用归纳的方法予以定义：如果一 个集合不存在至少包含两个点的连通图形，这个图形就是0 维的；如果已经确定了 n 1 维和更低维的图形，则n 维图形定义为，它不是n 1 维和更低维的图形，且可以 用n - 1 维和更低维的图形把其中的任意点及其邻域同图形的其余部分分割开。 无论是欧氏维数还是拓扑维数，它们都只能取整数，只能刻画图形的突变性。 当曲线由光滑规则经过连续变形而填充平面，其维数从1 直接变为2 ，产生质的 飞跃。但是对于介于光滑曲线与p e a n o 曲线之间的中间状态的曲线，却没有恰当 的维数来准确刻画它的复杂性和占据空间的能力，这类中间状态在客观世界中大 量存在。早在上世纪初数学家h a u s d o r f f 就认识到维数可以取分数，并于1 9 1 9 年提出分数维的概念。随后数学家b e s c o v i t c h 及其学生也曾致力于h a u s d o r f f 维 数的研究。但由于当时人们认识上的局限，它们的工作并没能被大多数人所理解， 也没有引起足够的重视。直到6 0 年代m a d e l b r o t 的工作，才使分形维的概念为 人们所接受口”。 分形维数是描述分形集几何特征的定量参数，围绕h a u s d o r f f 维数，引出了 很多新的维数概念。这些分形维数从不同角度反映了研究对象的属性，这些维数 的共同特点是都可以取分数，且在统计意义下与尺度无关。下面介绍几种常见的 维数1 3 6 1 。 2 3 1 豪斯道夫维数 设集合a c e “，e 4 为n 维欧氏空间， ) 为集合彳的一个覆盖，s 为一非 负实数， u ) 占，对于万 o ，定义域( 爿) = i 葶iu i ，令万斗0 ，其极限日5 0 ) 称为集合爿的s 维测度。若存在一个非负实数d ( 4 ) s o o ，则日5 ( 爿) = 0 。那 么d n ( 4 ) 称为a 的豪斯道夫维数。豪斯道夫维数的定义在数学上是严格的。 ( 1 ) 相似维数 对于一些集合，例如c a n t o r 集，v o nk o c h 曲线，s i e r p i n s k i 点集，其局部的 图形与整体是相似的，只要将局部放大一定倍数总可以得到与整体一致的图形， 称之为自相似集。对自相似集f 来说，定义其自相似维数为： 以( f ) = i l 万n m 两 ( 2 1 ) 其中m 是组成f 的相似子集的个数，c 为相似比例系数。若f 为一直线段， 那么它可看作是由比例系数为c = 的女个直线段构成，于是吐( ，) ：訾：1 。若 k m 席 第二章分形理论 f 是个正方形，那么它可看作是由比例系数c = _ 1 的七2 个与之相似的小正方形构 疗 成，那么d a f ) = 睾等= 2 。若f 是个立方体，它可看作是由比例系数c = 的k 3 u i 厅 个与之相似的小立方体构成那么4 ( f ) ：粤筝：3 。这就是说，相似维数在这种 1 1 1 尤 特例之下与传统维数概念是一致的。 相似维数对具有严格自相似性质的结构是好用的。若生成元固定不变，计算 相似维数十分容易。如果在生成分形的各个阶段( 不同的级) ，生成元的比例不是 常数，或者不可能寻找到恰当的生成元，那么相似维数便失去意义。 2 3 2 盒维数 盒维数也称为容量维数。设，