数学与应用数学毕业论文-整系数多项式的有理根研究.doc

湖南人文科技学院毕业论文elec 学科分类号：_湖南人文科技学院本科生毕业论文题目（中文）： 整系数多项式的有理根研究 （英文）：The Whole Root Of The RationaPolynomial Coefficients 学生姓名： 学号： 系 部： 数学与应用数学系 专业年级： 信息与计算科学2006级 指导教师： 职 称： 副 教 授 湖南人文科技学院教务处制湖南人文科技学院本科毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二 年 月 日目 录摘 要.3关键词.3Abstract.3Key Words.3前言.41 整系数多项式基本内容.41.1 整系数多项式.41.2 本原多项式.41.3 高斯定理.41.4 不可约多项式的艾森斯坦判别法.61.5 多项式的复根与其不可约性.72 整系数多项式有理根的特征.83 整系数多项式的若干性质.93. 1 整系数多项式无整数根的充分性.103. 2 三次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性.103. 3 次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性. 113. 4 有连续整数根的整系数多项式值的估计.11 35 整系数多项式无复重根的充分性.124 整系数多项式是否存在有理根的判定.125 整系数多项式有理根的检验.1551 整系数多项式有理根的检验方法的简化.15 5. 2 整系数多项式有理根的检验范围进行缩小的方法.16结语.18参考文献.18致 谢.18 整系数多项式的有理根研究摘要：整系数多项式在多项式的研究中占有越来越重要的地位，其应用价值也越来越被人们认识。但是整系数多项式的研究工作由于系数的整数性，导致了研究的相对困难，整系数多项式的许多结论也就很难证明，部分整系数多项式的结论有着重要意义，这些结论的成立有利于其它整系多项式相关结论证明。本文就这个问题研究诸多方面：如整系数多项式基本内容；整系数多项式有理根的特征及其若干性质；整系数多项式是否存在有理根的判定；整系数多项式有理根的检验方法的简化及检验范围进行缩小的方法。关键词：多项式 整系数 有理根 The Whole Root Of The Rational Polynomial CoefficientsAbstrct: Integer Polynomial in the study of polynomial occupies an increasingly important position, its value will become more recognition. But the whole research Polynomial coefficients as integers, leading to the relative difficulty of the whole polynomial coefficients would be difficult for many of the conclusions that some of the conclusions of the Integer Polynomial of great significance, these findings The establishment of the whole system is conducive to other conclusions that polynomial.In this paper, many aspects of this study: the basic elements such as Integer Polynomial; Integral Coefficient Polynomials and some properties of root characteristics; Integer Polynomial root determination whether there is reasonable; the whole coefficient of Rational Root test methods and test a simplified method of narrow scope.Keywords: Polynomial; The entire coefficient ; Ration Root 前言：多项式是代数学的基本研究对象之一，是研究许多数学分支的工具。在多项式理论中，关于整系数多项式的有理根的研究，一直是人们有兴趣的问题，整系数多项式在多项式的研究中占有越来越重要的地位，其应用价值也越来越被人们认识,目前人们对整系数多项式的有理根已有很多研究，也有不少结果。如钱展望、朱华伟在奥林匹克数学高三分册一书中阐述了整系数多项式的基本内容，席小忠在整系数多项式的若干性质一文中对其性质进行了整理，罗永超整理出了整系数多项式是否存在有理根的判定方法。邓勇解决了整系数多项式有理根检验法的简化，李庆淮解决了整系数多项式有理根检验范围的压缩，但是整系数多项式的研究工作由于系数的整数性,导致了研究的相对困难,整系数多项式的许多结论也就很难证明。 本文主要有五大部分：第一部分概述了整系数多项式基本内容；第二部分主要讲整系数多项式有理根的特征；第三部分讲述整系数多项式的若干性质；第四部分讲述整系数多项式是否存在有理根的判定；第五部分讲述整系数多项式有理根的检验；但多项式这一传统课题的继续研究，意义重大，尚存在“处女地”可供探索开发。无论是对多项式理论知识的完善，还是对学生对多项式知识的进一步理解深化，都具有一定的意义。1、整系数多项式基本内容本节简要地阐述整系数多项式的基本内容，包括本原多项式及高斯(Gauss)引理，不可约多项式的艾森斯坦(Eisenstein)判别法等。1.1 整系数多项式定义1.1.1 如果一个多项式的所有系数都是整数，就称此多项式为整系数多项式。1.2 本原多项式定义1.1.2 设，且。我们将的最大公约数()称为的容度。容度为1的多项式称为本原多项式。 下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。1.3 高斯引理定理1.3.1 中两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。反证法，设有两个本原多项式 与 ，使得不是本原的，则有素数整除的容度，从而整除的所有系数。因是本原的，故不能整除所有的，设是最小的小标，使不被整除。设是最小的下标，使不被整除。中的系数为：这个和当然是的倍数。但另一方面，因对，有及，故和中除第一项外，其余项都能被整除，所以也有。因是素数，故或，这与我们对的选取相违。证完。中的非零多项式，与中的本原多项式有紧密的联系。定理1.3.2 设，且。则存在一个有理数使是中本原多项式。此外，如果有理数，使也是本原多项式，则。实际上，设，这里都是有理数且。取整数使都是整数，并令，则 便是中本原多项式。此外，如果有理数，使，及都是本原多项式，则，因都是本原的，故必须是整数，并且没有素因子，从而，即。这表明，中非零多项式本质上唯一地对应一个本原多项式。现在，我们简要地谈谈整系数多项式的分解。定理1.3.3 设。如果在Z上仅有平凡的分解，即不能分解为中两个正次数多项式的积，则称为中不可约多项式。否则称在上可约(或可分解)。例如，是不可约的，而在Z上可约。研究在Z上是否可约，显然只需考虑是本原多项式的情形。我们注意到，如果在Z上可分解，因，则它在Q上当然是可约的。下面的结果表明，反过来的结论也成立。因此，中的多项式在Z上不可约，与它(看作)中多项式)在Q上不可约是一回事。定理1.3.4 设是本原多项式，如果在Q上可约，则在Z上也可约。确切地说，设，这里，且，则存在有理数使得：, 且 事实上，由定理1.3.2知，存在有理数，使得和都是本原多项式。于是 由高斯引理，是本原多项式，而也是本原多项式，故必须是整数，且没有素因子，即。因此，和都是(本原的)整系数多项式，证毕。由定理1.3.3及中的唯一分解定理难证明中的唯一分解定理：中任一非常数的多项式可分解为一个整数与有限个(首项系数为正的)本原不可约多项式的积；并且，如不计乘积中因式的次序，这些不可约多项式是唯一确定的。由唯一分解定理，便不难定义两个多项式的最大公因式，并建立其基本性质。由于本文不需要这些内容，因此不作讨论。 1.4不可约多项式的艾森斯坦判别法 判别一个整系数多项式是否不可约，是一件极其困难和复杂的事情。下面的结果，给出了多项式为不可约的一个充分条件，用处相当广泛。定理1.4.1 (艾森斯坦判别法)设是一个整系数多项式，其中n1。如果存在一个素数，使得，但，在Z上不可约(从而在Q上也不可约)。这里的证明类似于(1)中的论证。设有两个(非常数)整系数多项式： 及 使。因被整除，但不被整除，故与中恰有一个被整除，无妨设， 又不被整除。故。现在可取最小的下标r使，显然，又因，而和式中其余项都被整除，故，这与定理中条件矛盾，证毕。由定理1.4.1推出，对任意正整数都是Z上不可约多项式，从而（及QX）中存在任意次数的不可约多项式。设是素数，则在Q不可约。我们不能直接应用(4)，但 满足定理1.4.1的条件，故在Q上不可约。另一方面，在Q上可约显然等价于在Q上可约。因此在Q上不可约。1.5 多项式的复根与其不可约性由代数基本定理，中n次多项式在C中有n个根，通过系数多项式在C上的分解的信息也能帮助判断其不可约性。定理1.5.1 设满足 （1）则在Z上不可约(从而在Q上不可约)论证的基础是，的复根的模均大于1。实际上，设有根满足，则，与（1）矛盾。现在假设有非常数的整系数多项式 及 使得，则。另一方面，记的复根为它们都是的根，故。结合韦达定理得出 ，即。同理，于是 与（1）矛盾，故在Z上不可约。令，则在Z上可约显然等价于在Z上可约。因此定理1.5.1中与是对称的。定理1.5.1表明，只要多项式的首项系数与常数项的绝对值足够大则，它在Z上不可约。 本文简单谈谈在较初级的问题中，用多项式的根的(分布)信息，论证其不可约性的基本精神。 为证明在Z上不可约，通常用反证法。假设有非平凡的分解：，有时从两方面考虑在某个整数处的值，能够产生矛盾。一方面，是整数与的积。另一方面，和的根都是的根，因此，用的根的分布知识，便可由且和在C上的分解式得出及的适用的估计。综合两方面的结果，以导出矛盾。(在定理1.5.1中，我们实际上是从两方面研究诸多项式在又处的值。) 定理1.7.1 设是n次整系数多项式(n1)，是其全部复根，如果存在一个整数，使是素数，则在Z上不可约。实际上，如果在Z上有非平凡的分解,将在上作标准分解其中是非零整数，都是实数。(显然，是的实根，而为虚根的实部。)因的根都是的根，故且。因此；同理。但是素数，而，是大于1的整数矛盾。2、整系数多项式有理根的特征关于整系数多项式 的有理根，众所周知有结论：“如果有理数 (其中)是的有理根，那么仅是是的有理根的必要条件，所以的有理根的范围为有理数集合 。集合中哪些是的有理根，哪些不是的有理根，还必须一一验证。当的因数较多时， 中的元素也会很多，一一检验是非常麻烦的，因此压缩检验范围也是非常必要的，我们有定理2.1 如果有理数(其中)是的有理根，那么和 全为整数。 这一结论将根的检验范围压缩为 对于定理2的结构，我们进行深一步的研究，有如下 推论2.1 如果有理数(其中)是的有理根，则和都是整数，且当与的奇偶性相反时，与的奇偶性必相同。证明：用和分别表示的偶数项系数之和和奇数项系数之和，则有 ，所以 因和都是整数，所以假设 , 则 ； 两式相加减,得 ； 即和都是偶数，如果与的奇偶性相反，则和都为奇数，因此与的奇偶性必相同。3、整系数多项式的若干性质3部分整系数多项式的结论有着重要意义,这些结论的成立有利于其它整系多项式相关结论证明,为此将它们整理出来作为整系数多项式的性质。31 整系数多项式无整数根的充分性定理3.1.1 设为一个整系数多项式,且有一个奇数和一个偶数使得和均为奇数,则无整数根。证明:(反证法)设有一个整数根，则由因式定理知：，即有 ，其中为除的商式,由于为整系数多项式,所以也为整系数多项式,所以由为奇数得为奇数,所以为奇数，又因为为偶数，所以为奇数;而由为奇数得为奇数,即有为奇数，又因为为奇数,所以为偶数,这样即为奇数又为偶数,显然矛盾,所以无整数根。推论3.1.1 设为一个整系数多项式,且有一个整数根,若存在奇数使得为奇数,则对任意偶数必为偶数。推论3.1.2 设为一个整系数多项式,且有一个整数根,若存在偶数使得为奇数,则对任意奇数必为偶数。3.2 三次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性定理3.2.1 设是整系数多项式,若为奇数,则在有理数域上不可约。证明: （反证法） 设在有理数域上不是不可约的多项式,由于，所以在有理数域上可约,即必有一个一次因式和一个二次因式,使得比较两边的常数项得,再由已知条件为奇数知和均为奇数,所以与也为奇数。将代入得为偶数,代入得为奇数,所以矛盾,即在有理数域上不可约。推论3.2.1整系数多项式在有理数域上可约,则必为偶数。3.3 次整系数多项式在有理数域上不可约的充分性定理3.3.1 设为整系数多项式,若有个两两不同的整数根,则在有理数域上不可约。证明: (反证法) 设的个两两不同的整数根为则有，。再设在有理数域上不是不可约多项式,因为所以在有理数域上可约,也即是在整数环上可约,所以存在整系数多项和，使得 其中 ，。所以 ，所以由 ,得 ，因此 ，所以 即有 所以首项系数为负数与1矛盾，所以在有理数域上不可约。3.4 有连续整数根的整系数多项式值的估计 定理3.4.1 设为一个次大于0的整系数多项式,且有三个连续的整数根,则对任意其他整数有和证明: 因为有三个连续的整数根所以 所以 ,显然,为一个整系数多项式,且,所以对任意整数，若 ,有当时, ,当时有而为三个连续的整数, 所以有,所以,结论成立。3.5 整系数多项式无复重根的充分性定理3.5.1 设为一个次数大于2的整系数多项式,若不能分解成两个次数都低于的整系数多项式的乘积,则在复数域上无复重根。证明: (反证法) 若在复数域上有重根，则,其中, 所以是与的公因式,即与在复数域上不互素,而互素关系不随数域扩大而改变,所以与在有理数是也不互素，即与 在有理数有重因式，由为整系数多项式, 得为整系数多项式，所以 ，即可以分解成两次数低于的次数的整系数多项式的乘积,与条件矛盾,所以在复数域上无重根。4、整系数多项式是否存在有理根的判定存在性的判定通常可以用常数项的所有因数逐个地代入多项式去验证,但当常数项较大,因数较多,多项式的次数较高时,计算量之大,没有计算机的帮助是很难实现的. 如果先判别多项式的不可约,或者将多项式分解成几个多项式的积后再作判断. 这在理论上是可行的,但实际要将一个多项式分解因式时却不是一件容易的事情. 所以,研究整系数多项式有理根的存在性问题,明智的选择还是从系数开始。整系数多项式无有理根的判别法：定理4.1 设是一个整系数多项式，若有素数和正整数使得 (1) (2) ,但；(3) (i) 当时，。且；(ii) 当，为正整数时， (注：当时 ，此款与(i)相同) ，那么 ，无有理根 。 证明：引理 设是整系数多项式，且是本原的。如果，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数的。 当时，假设多项式存在有理根，则在有理数域上从而。因为互素，所以是一个本原多项式，根据上述引理知式中都是整数，比较两边系数，即得 （5） 因为是素数，且，由（5）知 ，所以 或 ，同时，因为，所以 且 。 如果，那么由 ，及 (5)中，所以 。即，故。又因为及 ，所以，即。由，依次类推，即得 ，所以 。又因为及 ,所以,即 ,所以,故。与矛盾。必有，则。由于 及由 (5)式中 ，所以 ，但，必有 。 由(5)式依次类推知。 由及，得。又由前面所述知且，为素数。则。矛盾！ 故无有理根。 当是正整数且时， (因为的情况为上述所证明)。此时，在中，令，得 由定理的条件显然知，的系数均为整数 因为，是正整数，且由定理的 (1) (2)知 ， ，但又由定理中 (3) (ii)知， 其中， 及 ，同时由以上证明知无有理根， 故无有理根。 推论4.1 设为定理中的多项式 ，如果有一个素数，使 (1)；或 ()是正整数； (2)； (3)是正整数 ,那么，无有理根。由定理知推论显然成立 。 5、整系数多项式有理根的检验5.1 整系数多项式有理根的检验方法的简化 多项式的求根问题历来是多项式理论的重要内容之一,本文将通过讨论有理根与多项式系数间的关系,得到几个简单结论。进一步提出一种方法,除考虑多项式首项系数及常数项外,再利用次高项和一次项系数作辅助,得到整系数多项式有理根判别的一个必要条件,从而使整系数多项式有理根检验的范围得到缩小。为讨论方便,将定理引述如下:定理5.1.1 设是一个整系数多项式。若有理数是的一个根,这里和是互素的整数,那么（1）整除的最高次项系数,而整除的常数;（2）这里是一个整系数多项式。在定理（2）中令或,不难得到下面的推论:(1) 若是整系数多项式的有理根, 则，, 必全为整数。(2) 若是整系数多项式的有理根,则且。(3) 若整系数多项式各项系数之和为素数,则有理根必满足或。(4) 若整系数多项式的常数项为奇数,而为偶数,则不是的根。定理5.1.2 设是一个整系数多项式。若有理数（其中且）是的一个根,则必有 证明: 因为是的有理根,则将上式两边同乘以 ,并移项整理因为,代入上式整理后得 即 所以 ,又因为 ,所以 ， 从而有 且 (5) 设,若 ,则一定不是的有理根。(6) 设,若，则一定不是的整根。证明: 若为的整根,则。等式两边同除以,得 因为 故 即 而均为整数,故有。这与已知条件矛盾,因此不是的整根。5.2 整系数多项式有理根的检验范围进行缩小的方法关于整系数多项式 （2）的有理根，众所周知有如下结论：“如果有理数 (其中)是（2）的有理根，那么”。这个结果揭示了有理数作为（2）的有理根的必要条件。由于这个条件并不是充分的, 所以这个结果仅给出（2）的有理根所在的范围是由一些有理数组成的集合 （3），集合（3）中的元素究竟哪些是（2）的有理根，哪些不是（2）的有理根，还需用综合除法逐一验证。当的因子个数较多时，集合（3）中的元素也会很多，用综合除法逐一验证是非常麻烦的为了减少麻烦人们探讨出了一些压缩检验范围的方法。方法一：“如果有理数(其中)是（2）的有理根，那么和 全为整数”。并据此给出了一种压缩检验范围的方法为: 只需用综合除法对集合（3）中那些使和同时为整数的进行检验即可。（这里假定; 若或,这说明1或-1是的根, 这时可用或去除, 然后用同样的方法考察所得的商式。方法二： “如果是（2）的因式,那么“” 方法三:本文拟将方法一和方法二加以改进, 从而再给出一种压缩检验范围的方法。定理5.2.1 如果有理数(其中)是（2）的有理根,那么和 全为整数。据此定理便可得到压缩检验范围的第三种方法为: 用综合除法对集合（3）中那些使和 同时为整数的进行检验即可。（这里仍假定; 若或, 则与方法一的处理办法相同。）最后我们指出方法三与方法一是等效的，这是因为: 当方法三中的和 同为整数时, 和当然同为整数,从而方法一中的和也同为整数；反之, 当方法一中的和同为整数时, 和同为整数, 即同时, 由于，所以同时，从而同时, 即方法三中的和 也同为整数。 方法三也就是把方法二同时用到和上. 这样就缩小了检验范围。结语在多项式理论中，关于整系数多项式的有理根的研究，一直是人们有兴趣的问题，目前人们对整系数多项式的有理根已有很多研究，也有不少结果。但多项式这一传统课题的继续研究，意义重大，尚存在“处女地”可供探索开发。本文系统的介绍了整系数多项式有理根方面的诸多问题，但在整系数多项式理论知识的还不够完善，以及整系数多项式是否存在有理根的判定方法比较单一，这些方面都有待再次深入研究。参考文献1. 余红兵 奥数教程 高三年级M.