（材料加工工程专业论文）基于磁场信号的铝合金点焊过程熔核反演成像.pdf

摘要 铝合金点焊以其生产效率高易于实现自动化的优势在汽车、航空航天领域得 于广泛应用。但由于铝合金自身物理化学的特点以及受现阶段焊接装备的先进程 度的制约，铝合金点焊是一个高度非线性、有多变量耦合作用和大量随机不确定 因素相互影响的过程，而且点焊形核过程处于封闭状态，故对熔核形成过程中物 理量的监测有重要的意义。 本研究分析研究了反演理论，计算机断层成像原理及其重建算法并率先把相 关理论引入铝合金电阻点焊领域。根据电磁场基本理论，从比奥萨伐尔定律及 相关理论出发，根据铝合金点焊的特点提出建模参数与简化条件，建立了铝合金 点焊焊接回路空间磁场的正演模型。 设计了基于虚拟仪器l a b v i e w 、d a q 2 0 0 0 系列采集卡及霍尔传感器的磁场 阵列的信号采集系统，并利用科学计算软件m a t l a b 进行了数学建模及数据处理， 实现了焊接过程空间磁场数据采集的高速、有效，保证了数据处理的计算精度。 在正演计算的基础上，利用离散化手段建立了铝合金点焊熔核的面电流密度 与磁感应强度的反演数学模型，并根据计算机断层成像技术的a r t 算法用 m a t l a b 编程实现反演计算，以可视化的手段直观的显示熔核面电流密度分布。最 后通过实验，验证了本研究正反演理论模型的正确性，算法的可行性和有效性， 为监测铝合金点焊熔核形成过程提出了一种新的研究方法及手段。 关键词：点焊；铝合金；熔核：磁场信号；反演；成像 a bs t r a c t a l u m i n u ma l l o ys p o tw e l d i n gi sw i l d l yi m p l e m e n t e di na u t oa n da e r i a li n d u s t r y b e c a u s ei ti saw e l d i n gt e c h n i q u ew h i c hi se a s yt ob ea u t o m a t i z e d o w i n gt o t h e p h y s i c a la n d c h e m i c a lc h a r a c t e r i s t i co fa l u m i n u ma l l o ya n dr e s t r i c t e db yt h ew e l d i n g m a c h i n e s ，a l u m i n u ms p o tw e l d i n gi sap r o c e s sw i t hh i g hn o n - l i n e a r i t y , c o u p l e dw i t h m a n yp a r a m e t e r sa n da f f e c t e db yl o t so fr a n d o mf a c t o r s b e s i d e s ，t h ef o r m i n gp r o c e s s o ft h en u g g e tc a nn o tb ei n s p e c t e dd i r e c t l y t h e r e f o r e ，i th a sv i t a ls i g n i f i c a n c et o i n s p e c tt h ef o r m i n gp r o c e s s t h ei n v e r s e p r o b l e m ，b a s i cp r i n c i p l e s o fc o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y , a n d r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h ma r ea n a l y z e di n t h i sr e s e a r c h t h er e l a t e dt h e o r i e s a r e i m p o r t e d i na l u m i n u ma l l o ys p o tw e l d i n ga tt h e f i r s tt i m e a c c o r d i n gt ot h e b i o t s a v a r tl a wa n dr e l a t e de l e c t r o m a g n e t i ct h e o r y , m o l dp a r a m e t e r sa n dp r e d i g e s t i o n c o n d i t i o n sa l eb r o u g h tf o r w a r db a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i co fa l u m i n u ma l l o ys p o t w e l d i n g af o r w a r dm o d e l o fm a g n e t i cf i l e di na l u m i n u ma l l o yr s wa r es e tu p ad a t as a m p l i n gs y s t e mb a s e do nv i r t u a li n s t r u m e n tl a b v i e w , d a q 2 0 0 0 s e r i e s d a t aa c q u i s i t i o nh a r d w a r ea n dh o l ls e n s o r sa r r a yi sd e s i g n e dt oi n s p e c tt h em a g n e t i c f i e l d t h es c i e n t i f i cc o m p u t i n g s o f t w a r em a t l a bi si m p l e m e n t e dt os e t u p a m a t h e m a t i c a lm o d e la n dm a k ed a t ap r o c e s s i n g t h i sd a t as a m p l i n ga n dp r o c e s s i n g s y s t e ma c t u a l i z e dt h eh i g hs p e e ds a m p l i n ga n dh i g hp r e c i s i o n d a t ap r o c e s s i n g o nt h ef o u n d a t i o no ff o r w a r dm o d e l ，ar e v e r s e dm o d e li s s e tu pb yd i s c r e t e m e t h o d t h er e v e r s e dm o d e le s t a b l i s h e dt h ef u n c t i o nr e l a t i o n s h i pb e t w e e np l a t e c u r r e n ti n t e n s i t yo ft h en u g g e ta n dm a g n e t i ci n t e n s i t yi n3 ds p a c e e v e n t u a l l y , a l lt h e d a t ap r o c e s s i n gw i l lb e a c t u a l i z e dw i t hm a t l a bp r o g r a m i nt h i sr e s e a r c h ，an e w m e t h o dw a sp u tf o r w a r dt oi n s p e c tt h ef o r m i n gp r o c e s so ft h en u g g e t a n dt h e f e a s i b i l i t y o fv a l i d i t yo ft h em o d e la n dr e l a t e da l g o r i t h mw a sc o n f m n e db y e x p e r i m e n t s k e yw o r d s ：s p o tw e l d i n g ，a l u m i n u ma l l o y ，n u g g e t ，m a g n e t i cf i e l d ，i n v e r s e d i m a g i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁盗盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：蔓粤 签字日期： z j 曾7 年月偿日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞鲞态堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤洼盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 签字日期：名j 口7 年月，矿e l签字日期：训7 年月，矿日 第一章绪论 1 1 本课题研究背景 第一章绪论 铝是一种年轻的金属，从诞生到现在也不过近2 0 0 年历史。由于它具有一系 列无可比拟的优点，因此发展十分迅猛。1 9 4 0 年全球的铝产量仅1 m t ，1 9 7 0 年 猛增至1 0 m t ，1 9 8 5 年达2 0 m t ，而现在已超过2 4 m t 【l j 。 铝的比重很小，仅为2 7 9 e m 3 ，大致为钢l 3 。地壳中的蕴藏量却极为丰富， 约占地壳重量的8 1 3 ，为钢铁蕴藏量的一倍多。全球铝的年产量在非铁合金中 居首位，仅次于钢铁。 向铝中加入某种或某几种元素后即构成铝合金，铝合金相对于纯铝可以提高 强度、硬度、疲劳性能等材料综合性能。某些铝合金的强度甚至高于普通结构钢， 现已有抗拉强度超过6 0 0 m p a 的超高强度高韧性铝合金材料。铝合金及其加工件 有一系列优良特性，诸如密度小、比强度和比刚度高、弹性好、抗冲击性能良好、 耐腐蚀、耐磨、高导电、高导热、易表面着色、良好的加工成型性以及高的回收 再生性等。另外，虽然多数铝合金的强度在高温条件下下降很快，然而在低温下， 随着温度的下降，在0 0 c 以下铝及铝合金材料的强度反而会增加，因而成为一种 优良的低温金属材料。 从历史的角度纵观铝的应用：二战前主要应用于军事目标，6 0 年代前主要应 用于建筑结构及门窗，7 0 8 0 年代主要应用于包装业，9 0 年代，由于能源与环保 的要求，交通运输成为铝及铝材的第一大用户，消耗量占全球铝产量的3 0 左右。 特别在国家重要支柱产业的汽车制造业中，自2 0 世纪7 0 年代以来铝合金以它优 良的性能逐渐代替部分钢铁材料，发展迅猛，用量逐年增加。目前，全世界耗铝 量的1 2 - - 1 5 以上用于汽车工业，有些发达国家已超过2 5 。2 0 0 2 年，整个欧 洲汽车工业一年消耗了1 5 0 万吨以上的铝合金，其中大约2 5 万吨用于车身制造， 8 0 万吨用于制造汽车传动系，另有4 2 8 万吨用于制造汽车行驶机构和悬挂机构 可以看出，汽车制造工业已成为最重要的铝材料消费大户【2 】。交通运输工具特别 是汽车的全铝化已经是一种汽车发展的重要趋势。 汽车的轻量化不但可以减轻车身质量、节约能源、降低油耗、减轻污染，也 可以降低成本、提高企业竞争力、增加企业利润【孓5 1 。有关资料显示，美国在8 0 年代，其轿车平均使用铝合金量为5 5 k g ，到9 0 年代就已达13 0 k g ，2 0 0 5 达到 2 7 0 k g g m 公司1 9 7 8 年铝构件重量占3 4 6 ，而1 9 9 5 年增至9 1 2 。日本在铝 第一章绪论 合金材料应用方面进步很快，平均每车使用铝合金达2 5 0 k g ，占整车重量的1 6 4 ； 各种轿车平均使用铝合金量为1 0 1 k g ，平均占车重的8 8 。而每使用l k g 的铝， 可降低汽车重量2 2 5 k g 美国的一份研究报告指出，一辆未采用铝材料、整备质 量为1 4 8 3 6 k g 的轿车，通过采用铝合金材料，在保持其全部性能的前提下，车 身结构重量降低1 2 5 k g ，发动机零部件重量降低5 4 k g ，其它总成和零部件降低质 量的效果也很明显，如悬架系统降低2 9 k g ，传动系统降低1 4 5 k g ，车轮降低1 1 8 k g ， 制动系统降低1 0 9 k g ，燃料系统降低9 k g ，转向机构降低5 k g l 6 j 。使用铝合金最 经典的要属德国奥迪汽车公司1 9 9 9 年推出的新型a u d i a 2 型超轻轿车，该车是 世界上第一款大批生产的全铝轿车，车身采用全铝空间框架车身a s f ( 且p 仪表板 部分由高强度铝结构支撑，空间构架由真空压铸接头的挤压成型段组成，这两者 结合成很轻的铝合金车身) ，整车铝外壳，从前顶柱到行李舱边，包括车门手把 都是用铝冲压成型。该车采用铝材使整车质量比传统钢制车身减轻4 0 以上，仅 有8 9 5 k g ，油耗降到3 l 【7 】。可见汽车的轻量化已经成为汽车发展的必然趋势，铝 的需求也会随着汽车的轻量化进程不断增加，对铝及铝合金的认识程度也亟需提 高。 车身是汽车的基本骨架，也是整车最大的部件，减小汽车整备质量( 轻量化) 对节能的影响最大，约占5 0 。有数据表明，如果整车质量减少1 0 ，燃油经 济性可改善8 ，而车身材料的变化是车身节能的一个重要方面，采用轻质材料 是车身轻量化的重要手段，车身外板部件约占车身总质量的2 0 ，使用铝合金取 代普通结构钢能使一些零件质量平均减小3 0 至4 0 ，在某些情况下甚至可以 减小6 0 t 8 1 。 电阻点焊，是焊件组合后，通过电极施加压力，利用电流通过接头的接触面 及邻近区域产生的电阻热进行焊接的方法，是薄板连接中最常用的方法之一，与 汽车生产中使用的其他金属连接方法如铆接、胶焊等相比具有质量轻，静强度高、 可靠性好、性能稳定、生产效率高易于实现自动化焊接等优点，因此目前在汽车 车身结构上被广泛采用。一般来说，每辆汽车上一般需要3 5 0 0 - 4 5 0 0 个焊点，由 此可见点焊技术在保证汽车质量，特别在车身外型和生产效率中起着相当重要的 作用。 1 2 铝合金点焊质量监控的重要意义 铝及铝合金所具备的特殊的物理化学性能，带来在焊接过程中一系列的问 题，了解铝及铝合金的物理化学性能对焊接过程的监控意义重大。 2 第一章绪论 1 2 1 铝及铝合金的物理化学性能及焊接性分析 1 超强的氧化性能力 铝和氧的亲和力很强，在空气中极易与氧气结合成致密而结实的彳厶d 3 薄膜， 厚度约为o 1l a i n ，熔点高达2 0 5 0 0 c ，远远超过铝及铝合金的熔点，而且密度很 大，约为铝的1 4 倍。在焊接过程中，氧化铝薄膜会阻碍金属之间的良好结合， 并易造成夹渣。氧化膜还会吸附水分，焊接时会促使焊缝形成气孑l 。这些缺陷， 都会降低焊接接头的性能。此外，在电阻点焊时，氧化膜会造成较高的接触电阻， 焊接时瞬时通过的强大焊接电流，会造成局部电流密度过大，产生飞溅，为保证 焊接质量，焊前必须严格清理焊件表面的氧化膜，防止在焊接过程中再氧化。 2 铝的热导率和比热大，导热快 尽管铝及铝合金的熔点远比钢低但是铝及铝合金的导热系数、比热容都很 大，比钢大一倍多，在焊接过程中大量的热能被迅速传导到基体金属内部焊料， 为了获得高质量的焊接接头，必须采用大电流、短时间的规范焊接，通常铝合金 焊接所用焊接电流约为同厚度低碳钢的4 5 倍。为此，要求有大容量的电源，这 在一般交流焊机上往往难以满足。热导率大还致使焊件表面极易过热，使电极与 焊件相互粘结，电极磨损加剧，表面质量下降。 3 铝的线膨胀系数大 铝的线膨胀系数为2 3 5 x l o 舶c ，约比钢大两倍左右，凝固时的体积收缩率可 达6 5 6 6 。这种体积的变化使当焊机加压机构不能及时适应金属体积的变化 时，在加热熔化阶段则可能因焊接区金属膨胀而使熔核的电极力增大，甚至挤破 塑性环而产生飞溅；在冷却结晶阶段，往往因过大的收缩应力而使熔核内部产生 裂纹。 4 铝合金为非铁磁性物质，在电场中受影响很小【9 - 1 1 】。 1 2 2 铝合金点焊监控的意义 由于铝合金自身物理化学的性能特点以及受现阶段焊接装备的水平的制约， 电阻点焊是一个高度非线性、有多变量耦合作用和大量随机不确实因素相互影响 的过程 1 2 , 1 3 1 ，而且点焊形核处于封闭状态而无法直接观测，同时形核时间极短， 焊接条件短时间的波动就会造成较严重的飞溅、虚焊或脱焊，特别对铝及铝合金 更是如此【14 1 。 随着现代电子信息技术和电子计算机技术的迅速发展，用于监控铝合金点焊 的方法不断发展，根据现有监控方法的特点，可将它们分为电参数监控和熔核形 成过程物理量监控和多因素综合质量控制技术三类i l 0 1 。 第一章绪论 其中熔核形成过程物理量的监测是监控方法中的一个重要分支。因为熔核的 大小直接影响接头的强度和焊件的使用寿命，因此生产中把熔核尺寸作为评定质 量的主要指标。但目前熔核尺寸即使用x 射线或其他无损检验方法也不容易准 确测量，所以，人们格外关注熔核大小的检测和控制。 在大批量生产中，常常采用抽样破坏检查的方法，以试样( 或部分焊件) 的熔 核直径及缺陷代表某一批实际产品的熔核质量。由于影响熔核尺寸和内部冶金缺 陷的各种因素多是随机的，即抽样破坏检验存在一定的机率，不能代表同一批全 部产品，白白浪费了大量财力和人力。因此，在焊接过程检测和控制熔核的尺寸、 冶金缺陷和接头强度的稳定性，实现焊点质量的控制是一项十分迫切的任务。 监控熔核信息形成物理量的现代监控技术主要分为以下几类： ( 1 ) 电极位移监控； ( 2 ) 超声发射监控； ( 3 ) 声发射监控； ( 4 ) 红外及温度监控； ( 5 ) 动态电阻监控。 因熔核的形成过程是极其复杂的，现有的监控方法有着个自各的优势与不 足，因此探索新的熔核监控方法与手段有重要的现实意义，目前还没有针对铝合 金电阻点焊的磁场监控方法，因此进行这方面的研究更有必要。 1 3 国内外对成像反演的研究 1 3 1 成像反演的概念 为了说明成像反演的概念，我们首先明确什么是反演，而与反演密不可分的 就是正演，反演是建立在正演的基础上。 在已经掌握了事物的发展规律和事物之间相互作用规律的基础上，便有可能 由已知参数源参数及介质参数，根据物理规律来推测及计算观测( 主要是仪器观 测) 得到的资料与数据，或推测源本身参数的变化，我们称此种情况为正演。由 此可知，正演是由原因推测结果，即由因到果。 反演则正相反，是由结果推测原因，即由果到因。而结果应该是可以观测到 的结果，称之为观测资料。一般由果推测因可分为两种情况：一种是用于建立理 论模型，另一种情况是假定已经建立了一定的理论模型框架，则可以由观测资料 来推测理论模型中的若干个参数。 成像是在其反演过程物理规律的基础上，根据反演计算结果，用可视化的手 4 第一章绪论 段将源或介质的有关特性反映出来。 1 3 2 国内外成像反演的应用 虽然各个学科都有着各自的理论背景，随着各个学科的发展，我们发现了越 来越多共性的规律，这就是反演理论。在看似不相关的科学领域，反演理论在认 知客观规律方面起到了越来越重要的作用。因为在焊接领域中磁信号反演成像方 面没有任何相关资料与参考，故在反演这个本质的前提下，我们试图从其它学科 探索将反演理论在焊接领域的应用。 经过对国内外成像反演应用实例的表明，反演理论及其成像主要应用于医疗 及工业c t 、地质测量等领域。 1 在医疗及工业领域 19 7 2 年英国电气工程师gh o u n s f i e l d 博士和美国物理学家a l l a nm c o m a c k 将计算机技术和x 射线术结合发明了计算机断层成像( 即c t ，c o m p u t e r i z e d t o m o g r a p h y ) 技术并用于医学诊断，获得了人体清晰的断层图象，为此他获得了 1 9 7 9 年医学生物学的诺贝尔奖金【1 6 1 。他们应用的原理正是由1 9 1 7 年r a d o n 发表 了有关一种积分变换和逆变换的数学论文，即雷当变换，反演层析成像理论的理 论基础。 随着c t 在医疗方面的巨大成功，2 0 世纪8 0 年代以来工业c t 发展迅猛，工 业c t 是计算机断层扫描技术在工业中的应用，其物理原理与医用c t 相似，均 是基于射线与物质的相互作用原理。射线( y 和x 射线) 穿越物体时，由于产生光 电效应、康普顿效应及电子对效应等物理过程，射线将被物质吸收，使射线强度 发生衰减。其反演及图像重建算法仍然是雷当变换【1 7 j 9 1 。 2 在地质研究领域 c t 技术在医学界的成功，使该项技术在许多领域得到广泛的应用。这种层 析成像的原理对于地球物理勘探来说，无疑也具有很大的吸引力，因为物探工作 本质上也是一种图象重建的工作。层析成像是反演问题的一个例子，因为它涉及 到通过参数的观测结果来求解参数的空间分布这一问题。因此，可以说在一种效 应可充分地以数据形式得到的地方，层析成像方法均适用。 目前地球物理层析成像方法一般分为地震层析成像、电磁波层析成像和电阻 率层析成像三种。比如在电阻率层板成像方面，基于地质理论建立好理论模型后， 在反演计算时，可以用代数重建法a r t ( a i g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e ) ，阻 尼a r t 法，s v d ( 奇异值分解法) 等，这些都是成像反演理论的重要组成部分与分 支。 通过上面的简要介绍，可见在地球物理、生命科学、材料科学等众多科学技 第章绪论 术问题的背后，由输出反推输入，或由场反推源的这类问题有着广泛的应用背景， 而反演理论正是在现实需求的作用下，得到快速发展。 1 3 3 成像反演与焊接 在焊接领域的x 射线探伤，超声波检测，红外成像在某种意义上属于成像反 演，以x 射线探伤为例，通过x 射线照射焊缝可得到的是一系列黑白底片，通 过黑度仪读取底片上离散点的黑度数据，得到一个记录，例如5 1 2 x 5 1 2 矩阵。 进行密度反演的第一步就是要把记录数据( 黑度值) 转变成照射量，根据粒子输 运方程，经过适当的简化，可以得到每点的照射量和到达这一点的射线所经过的 物质密度的关系，密度反演问题可以归结成r a d o n 变换的求逆问题。这些成像分 别以x 射线相关理论、声学、光学理论建立模型进行反演成像，因与电阻点焊 物理模型的差异，对电磁成像反演模型建立与参数确定可借鉴的意义比较有限， 故不做过多阐述。 在焊接领域中，焊接过程的磁场对焊接的影响有一定范围的研究。 ( 1 ) 主动施加磁场影响焊接熔池流动，把磁液体动力学与材料加工技术相结 合，形成材料电磁加工新技术，研究稳恒磁场及交谈磁场下对液态金属的作用， 并建立起在磁场作用下的熔池流体流动和传热数学模型，实现电磁搅拌作用，从 而改善焊接焊缝成型 2 0 l ，或研究外界强磁场干扰对焊接过程的影响。 ( 2 ) 用外加磁场控制焊接电弧，利用带电粒子在磁场中运动的理论，建立了磁 场作用下电弧的稳态模型和电弧的动态模型，分析了磁场作用下电弧的运动行为 和运动机制，对磁场作用下电弧的运动过程进行了数学描述，从而改善焊接电弧 的特性，提高焊接质量【2 卜2 4 1 。 ( 3 ) 对电磁作用下金属凝固过程、成型及组织性能的研究1 2 5 j 。 这些研究基本是以磁场为影响因素，分析对焊接质量的影响机制，没有从焊 接回路和熔池形成过程的电磁变化为源，以焊接过程磁信号发射为场的角度建立 模型，从成像反演角度看，据查新，在电阻焊领域，基于磁信号的电磁成像反演 在还没有在相关文献中出现。 1 4 本文的研究目的和主要研究内容 在1 2 节已经明确铝合金点焊质量监控的重要意义，由于点焊熔核形成过程 的封闭性，故监控熔核形成过程中的物理量以便进一步认识铝合金点焊熔核，从 面进步提高点焊质量，具有特别重要的意义。 本文旨在把成像反演理论应用到铝合金电阻点焊领域，从电磁场的角度建立 6 第一章绪论 焊接过程中磁场与焊接电流的正演模型，应用反演理论进行参数确定，最终以可 视化的手段将熔核面电流密度直观的表现出来。 本文的研究的主要内容包括： ( 1 ) 分析研究了计算机层析成像的原理、重建算法、收敛原则进行理论； ( 2 ) 磁场的正演计算与理论建模。通过分析焊接机构电流回路，用电磁场基本 规律分析点焊过程磁场分布，提出前提假设与简化条件，基于对称性把三维场问 题转化为二维场，用变上限二重积分计算二维场，最终计算出焊接机构部分对磁 场采集点磁场的有效值； ( 3 ) 设计了基于虚拟仪器l a b v i e w 、d a q 2 0 0 0 系列采集卡及霍尔传感器的磁 场阵列采集系统，并利用科学计算软件m a t l a b 进行了数学建模及数据处理。 ( 4 ) 从正演推导的理论模型入手，建立焊接熔核平面电流密度与采集位置磁感 应强度的关系，通过离散化的手段，得到电流与采集磁感应强度的函数关系矩阵， 分析矩阵性质，采用反演理论中的a r t 算法进行求解； ( 5 ) 相关实验验证及结果分析。 7 第二章反演成像理论 第二章反演成像理论 计算机层析成像技术从理论上讲是个投影重建图像的反问题，有其普遍的 适应性，其原理及算法是由1 9 1 7 年r a d o n 发表的有关一种积分变换和逆变换的 数学论文发展而来，由于计算机层析成像技术是由医学发展起来的，并应用于工 业无损检测，地球物理等领域，故我们从医用及工业计算机层析成像为切入点介 绍反演成像理论，通过对投影基础理论的分析，从而为将计算机层析成像技术原 理及方法，特别是放射型计算机断层照相术原理及代数迭代法引入铝合金电阻点 焊。 2 1 投影原理 计算机层析成像技术的独特之处在于：它是一种无损检测的方法，只需收集 物体“侧面”各个方向的透视x 光强度( 这一过程称之为投影) ，进而计算出物体 的横截面图像，即断层成像。 当x 射线穿过任何物质时，它会与物质的原子相互作用因组份不同的吸收系 数而引起能量衰减差异，反之，通过测量物质对x 射线的吸收系数可以判定物质 的组成成分。当一束x 射线穿过物体时，它所经路径中所有物质对x 射线吸收系 数的总和都将反映在最后对x 射线强度的测量结果中。计算机层析成像的成像原 理正是建立在这个基础上，通过对穿过物体截面的x 射线进行测量和运算，获 取与物体体层空间位置一一对应的吸收系数，从而恢复物体截面的结构信息【2 6 j 。 在医学上，计算机层析成像技术( c t ，c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ) 分为二类， 透射型计算机断层照相术( t c t ，t r a n s m i s s i o nc o m p u t e dt o m o g r a p h y ) 与放射型 计算机断层照相术( e c t ，e m i s s i o nc o m p u t e dt o m o g r a p h y ) l z7 。，分别如图2 一l ， 图2 2 所示。t c t 是通过使一个x 射线源绕人体旋转成像的，在人体的与x 射 线源相对一边，有探测器跟着x 射线源同步旋转，来纪录当射线通过中间的组 织时吸收量的变化。e c t 是利用放射性同位素作为示踪剂，在人体外用探测器 来纪录组织中放射性密度分布的变化，两者均以计算机轴向截面的方式重建成 像。两者除医学上的目的差异外，e c t 试图描述衰变媒质中放射光子源的位置 和强度，而t c t 试图决定衰变媒质的分布；从数学角度看t c t 是试图求解r a d o n 变换的逆过程，而e c t 是试图求解衰减r a d o n 变换的逆变换。 8 第二章反演成像理论 图2 1t c t 示意模型 2 2 投影重建理论 图2 - 2e c t 示意模型 假设有图像f ( c ) = ( x ，y ) ，如果仅知道f ( x ，力的一系列曲线的的积分值， 即知道f ( c ) = i 厂( x ，y ) d s ，而由f ( c ) 来反推f ( x ，y ) ，这就是r a d o n 变换及r a d o n 占 逆变换的基本提法。其中，当c 为平面内的一条直线时，问题有完美的解法， 此问题在实际问题中又有极其重要的应用。r a d o n 变换理论是c t 成像的理论基 础。由于在实际应用中经常使用二维的r a d o n 变换，因此我们给出二维情况下的 r a d o n 变换。 设尺2 为平面区域，函数f ( x ，y ) = ( ，妒) 为密度函数或重建图像。 设直线，r ，其法线方程为： x e o s 0 + y s i n 0 = s 式中s 为直线1 到原点的距离，则函数厂( x ，y ) 的r a d o n 变换定义为： p ( s ，p ) 矽( x ，少) = ，厂( x ，y ) d l = ，夕o ，妒矽 还可表示为： = ! 夕( 甭舢a r c t a n 喜弘 ( 2 - 1 ) ( 2 - 2 ) mm p ( s ，p ) r f ( x ，力= i1 f ( x ，y ) c s ( x c o s o + y s i n 0 一s ) d x d y ( 2 - 3 ) d t - - o oj 9 第二章反演成像理论 ox 图2 3r a d o n 变换所用坐标模型图2 - 4 密度函数及投影函数 0 = r 从式2 2 可以看出，二维时的r a d o n 变换，就是函数沿着某条特定直线( 如 图2 3 中直线l ) 的线积线。当0 固定时，p ( s ，p ) 是关于s 的一维函数，所以经 常把p ( s ，9 ) 写为p o ( s ) ，p ( s ，9 ) 也叫做f ( x ，y ) 的投影函数。 图2 4 给出了从密度函数获得投影函数的过程，图中在( x ，y ) 坐标系中给出了 一个密度函数f ( x ，y ) 。沿着某个投影方向，对每一条投影线计算密度函数f ( x ，y ) 的r a d o n 变换，就得到了该射线上的投影值。计算出该投影方向上的所有投影值， 就得到了该投影方向上的投影函数p a s ) ，其中的0 角是投影函数的坐标轴r 与 x 轴的夹角，它反映了投影的方向；r 是投影p o ( 尺) 函数的维变量，该变量的 坐标原点是( x ，y ) 坐标系原点在该方向上投影的垂足。 r a d o n 逆变换是指从投影p ( s ，0 ) ( - - o o s o o ) 找到f ( x ，y ) ，r a d o n 逆变换在数 学上的精彩之处在于能将f 直接以显式给出，即将f 表述为一个两重积分，而 p ( s ，9 ) 含在被积函数之中【3 0 1 ，即： 服力琉炉( 专) 疆赤警捌9 在放射c t 中，需要确定放射源的分布以及对衰减的补偿，在正电子放射c t 中有公式： 办( ，8 ) 2 e x p 一jj p ( x ，y ) a ( t 一石c o s 0 一y s i n o ) d x d y d 1 f j 厂( x ，y ) 6 ( t x c o s 0 一y s i n 0 ) d x d y ( 2 5 ) d 2 式中，f ( x ，y ) 是正电子发射体的浓度分布；弘( x ，y ) 是衰减系数分布；d l 是p 的 l o 第二章反演成像理论 分布域；d 2 是的分布域。而这个指数衰减因子是由衰减系数在整个射线行程 的线积分决定的。这些数据很容易对衰减进行校正，给出校正的投影数据如式 ( 2 6 ) 所示： p ( s ，p ) = e x p jj p ( x ，y ) 艿( f x c o s 0 一y s i no ) d x d y l p ，c p ，) ， d 1 ( 2 6 ) 、， = ( x ，y ) t s ( t - x c o s 0 - y s i n 0 ) d x d y 2 3 投影重建算法 著名的r a d o n 变换是c t 重建技术重要的数学基础。目前，重建图像的主要 方法分为两类：变换法和级数展开法1 2 8 。 2 3 1 变换法 变换法中有两类典型的重建方法：基于反投影( 或卷积) 方法和不含反投影步 骤的傅里叶( f o u r i e r ) 重建方法。前者要求完全等间隔的采样数据，且伪影较重， 后者在由于插值的原因，误差较大。 变换法的优点是计算量小，重建速度快，对完全投影数据能获得很好的重建 质量，且可借助硬件实现。因此目前实用的c t 系统中广泛采用变换法，变换法 最大的缺点是对投影数据的完备性要求较高。 2 3 2 迭代重建法 迭代重建法，它是一开始就在离散域中进行的。首先把问题离散化，即将成 像目标离散成一个重建图像网格，根据成像的物理过程和相应的数学模型，建立 重建图像和投影数据之间关系的代数方程组，图像重建问题就转化为解该方程 组。迭代重建法能和特定的成像设备及数据采集物理过程的特性相结合，并能利 用某些先验知识，对具有参数的模型进行成像，尤其适合于不能获得完整投影数 据场合的图像重建。除此之外，还有以下优点： ( 1 ) 由于在空域中比较灵活，所以容易调整以适应新的应用，如利用新物理原 理和新数据采集方法的重建问题； ( 2 ) 能重建出较高对比度的图像( 对密度突变的材料) ； ( 3 ) 比变换法更适合于二维重建问题。 迭代重建法中以代数重建法( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e sa r t ) 最具代 第二章反演成像理论 表性。还有联合代数重建法( s l r t ) ，h o u n s f i e l d 的第一台c t 实际上用的就是a r t 算、法【2 9 1 。这两种方法都是通过迭代求得线性方程组的解。因此，这种方法最大的 不足是计算量大，收敛速度慢，对存贮空问要求高，不适合大的图像。 2 3 3 适用模型 通常的重建方法，一是把投影数据看成确定性数据，那么投影过程会形成确 定性线性系统模型。基于连续系统模型下的成像理论称为以r a d o n 变换为基础的 成像理论，包括f o u r i e r 变换成像、滤波反投影成像( f b p ) 。 基于离散线性系统模型的成像理论称为代数法，其中代数重建法( a r t ) 是其 中的典型算法。 r a d o n 逆变换由关于投影数据的导数算子、h i l b e r t 算子以及反投影算子复合 而成，其中h i l b e r t 算子为无限区域上的奇异积分算子，难以直接计算；导数算子 对数据噪声有放大作用，反投影算子可引起伪影。此外实际采集的数据，有时还 是不完全的。因此基于连续模型下的r a d o n 变换不适于在实际层析成像计算中直 接用数值求解，而宜采用离散重建算法。 2 4a r t 算法重建模型 迭代重建法又可分为：a r t ( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e s ) 型及 s i r t ( s i m u l t a n e o u si t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e s ) 型。而a r t 又可分为“加” 型和“乘”型等。 a r t 最初是由k a c z m a r z 于1 9 3 7 年求解相容线性方程组是提出的，在1 9 7 0 年引入由g o r d o n 、b e n d e r 、h e r m a n 等人于1 9 7 0 年引入图像重建领域。h e r m a n 等证明迭代重建法是以“估计理论作为其数学基础的。s l w o o d ( 1 9 7 8 ) 又用随 机滤波理论解释了迭代重建法，并将迭代重建法与变换法作了统一的处理。 如2 3 节所述，迭代算法基于离散型系统，故迭代重建算法与变换法最大的 区别在于首先把连续图像f ( x ，j ，) 离散化，再将像素在每个网格内取平均值或将 其集中在网格中心，经投影可由投影数据建立起一个关于衰减分布的线性方程 组。而在c t 中，衰减是正比例于密度的，因此通过迭代运算及可视化手段，可 以用灰度值表示物质的密度分布，下面我们以迭代重建法的射线模型( 图2 5 ) 分析迭代重建法的数学实现。 1 2 第二章反演成像理论 图2 - 5 迭代法重建射线模型 图2 5 为迭代法重建射线模型，把整个图像区域划分为n = n r l 有限个像素， 并以夕 ，y ) 表示( x ，y ) 的离散值，每个像素内部值为常数，并将像素从l 至进 行编号，定义 f 1 ，( x ，y ) 在j 号像素内部 6 ，( x ，y ) 1 j n ( 2 7 ) l0 ，其它各点 为基本图像集，这可以构成基本图像矢量6 = 【岛，6 2 ，乃，6 r 。任何图像均可 由 屯 经线性组合构成，且l j c x ，y ) ：n 一屯o ，y ) ，式中_ 是厂在第个像素内的 j = l 平均值；夕( x ，少) 可由x = ( 五，五，h ) 丁唯一确定；x 称为图像向量。因此，求解 夕( x ，y ) 的过程转化为寻找一个x 使夕( z ，力尽量接近( x ，力。 由r a d o n 变换，存在线性算子r ， b ：9 t , 兰吼，夕：兰吼，_ l ，y ) ( 2 - 8 ) y = l 令乃= 孵，b j ( x , y ) ，仍代表基本图像吃似力沿第，条射线路径的线积分，在数 值上等于第f 条射线和每j f 个像素相交的长度，我们称之为加权因子。则像素歹对 第f 条射线的投影贡献为岛= j x ，因第，条射线还穿过其它像素，故有： 第二章反演成像理论 nn p i = 鳓= r , j x j i = 1 ，2 ，m ( 2 9 ) = l户l 式中，只为第i 条射线的投影值；m 为穿过物体横界面的投影射线总数。 仍如是测量所得，称之为真射线和( r e a lr a ys u m ) ，右侧因定义和射线宽 度会影响重建精度，称之为伪射线和( p s e u d or a ys u m ) 。 经过一次完整的投影扫描后，可以得到真射线和，利用已知像素布置和射线 的几何结构得到的权因子，上述问题转化为求式( 2 1 0 ) 的方程组：， r l i x l + 巧2 屯+ 1 ，+ + j v h 2 p l r 2 1 x l + 吃2 恐+ 之，+ + 吃 ，h2 仍 r f l x l + ，：2 而+ 勺+ + h2 b l 五+ r m 2 而+ + + ，赫h = p m ( 2 - 1 0 ) 为方便定义，把上述方程组写成矩阵形式： 设p = 【扔，p 2 ，p i ，p m 7 x = 【_ ，x 2 ，薯，x a 丁 r = 吒12 吃l饧吃 ，缸l ，k 2 r m n 即p = r x ( 2 1 1 ) 式中p 为m 阶向量，称之为测量矩阵：x 为待求阶向量，称之为图像矩阵； r 为m n 阶矩阵，我们称之为投影矩阵。 至此，图像重建的问题转化为求解线性方程组的解，因此深入了解这个方程 组的特点至关重要。此方程组有如下特点： ( 1 ) 方程的个数m 并不总等于未知数的个数n ，因此，这个方程组有可能是 超定或欠定的，故方程组有可能无解或解不唯一； 1 4 第二章反演成像理论 ( 2 ) 投影矩阵的条件数往往比较大，也就是病态程度比较严重，故采用一般的 解线性方程组的办法可能会失效； ( 3 ) e h 于推导过程的近似处理及存在测量误差，噪声影响等等，方程组一般是 矛盾的，使方程无解。因此必须计及误差，修正方程组，得p = r x + e ，式中e 为 误差矢量。估计一组解，使它在一定的最优准则下达到收敛。 2 5a r t 算法 a r t 代数重建法是迭代重建法的一种形式。特点是先假设一初始图像x o ，然 后根据x o 求一次近似图像x l ，再根据x 1 求二次近似图像x 2 ，如此继续，直至满 足预订条件后停止。在根据x k 求x k + 1 时需加一校正值a 一。a ! 只考虑一条射线 投影的影响( 假设丘号射线) ，所修正的像素值也限于丘号射线经过的像素，下次 则考虑一下条射线投影的影响，总之每次校正依次考虑一条射线和并校正该射线 经过的像素。图像己被离散化为个像素，即图像向量有个自由度，因此求 解图像向量x 的过程就是在寻找维空间一点，方程组的每一个方程可以看作是 维空间的超平面( h y p e rp l a n e ) ，如果方程组有唯一解，图像向量x 即为各个 超平面的交点。 对于个像素，用数学的语言描述如下： 首先对未知数x ，给定一组初值x ，( o ) ，对每一条射线( 如第i 条) ，经过迭代计 算后，求得一组修正值g ，使之满足方程 j ( x j + c f ，) = b j = l ( 2 - 1 2 ) 式中 g = a t 吐 ，只为第f 射线实测投影值，即真射线和。 ( 勺) 2 = l 式中 f 可有以下公式给出 ，= b p