（机械电子工程专业论文）设备故障诊断中测试信号的分析与处理.pdf

摘要 机械故障信号的分析和处理有多种不同的方法。文章讨论了几种常 用的方法，并在此基础上，提出把新的小波分析方法用于故障信号的分 析，给出小波分析方法优于常规傅里叶方法的分析实例。 在信号分析和处理过程中，有大量数据需要处理，因此作者选用处 理数据及绘图最优秀的软件之一m a t l a b 语言。文章提出了用可视化编程 语言设计界面，来调用m a t l a b 函数，从而实现两者优势互补，达到既能 充分利用m a t l a b 资源，又能设计友好用户界面，并能实现端口操作和实 时控制的功能。 关键词：故障诊断小波分析 m a t l a bv i s u a lb a s i c 6 0 查堕堡：! 壅兰堕芏焦堡塞 a bs t r a c t t h e r ea r es e v e r a l t y p e so fd i f f e r e n t m e t h o d st o a n a l y z e t h ed a t ao f m e c h a n i s mf a u l td i a g n o s i s t h i sa r t i c l ed i s c u s s e ss o m eo f m e t h o d sw h i c ha r e o f t e nu s e da n d p u t sf o r w a r dan e ww a y - - w a v e l e tt oa n a l y z et h ed a t a o nt h i s b a s i s ，i ta l s og i v e ss o m ep r a c t i c a le x a m p l e su s i n gw a v e l e tt oc o n t r a s tw i t ht h e s a m ed a t aa n a l y z i n gw i t hf a s tf o u r i e rt r a n s f o r m d u r i n gt h ep r o c e d u r eo fa n a l y z i n gt h ed a t a ，t h e r ea r eg r e a ta m o u n t so f d a t at ob ed e a l tw i t h s o ，t h ea u t h o rs e l e c tm a t l a b - - o n eo ft h eb e s t s o f t w a r e so f d i s p o s i n gd a t aa n dd r a w i n gc h a r t s t h ea r t i c l eb r i n g sf o r w a r d a f r a m e u s i n g v i s u a lb a s i c 6 0 ( o rc + + b u i l d e r 5 0 ) t od e s i g nf o rt h ei n t e r f a c e a n dt r a n s f e rt h em a t l a bf u n c t i o n s ，t h e r e b y ，v ba n dm a t l a bc a r l r e i n f o r c ee a c ho t h e r t h u s ，w ec a nb o t hm a k eg o o du s eo fm a t l a b r e s o u r c e sa n du t i l i z eac o n v e n i e n c el a n g u a g e ，m o r e o v e r , w ec a na l s or e a l i z e t h ef u n c t i o no f p o r t s s e t t i n g sa n dr e a lt i m e c o n t r o l l i n g k e yw o r d s ： f a u l td i a g n o s i s ，w a v e l e t a n a l y z e ，m a t l a b ，v i s u a l b a s i c 60 1 1 1 a 原理1 人学硕卜学位沦文 第一章概论 故障诊断过程中，依据某实验系统对设备进行测试后，会得到 一系列的实验数据，如何正确有效地处理现场采集的这些数据，从 而使用合适的诊断方法准确确定故障的类型与位置，是故障诊断过 程中不容忽视的问题之一。对实验数据的分析处理，依据所用的实 验方法的不同，有多种不同的方法。本文拟以一般机械设备故障诊 断中常用的振动分析方法来讨论信号的分析与处理。 设备故障诊断技术七十年代初形成于英国，由于其实用性以及 为社会和企业带来的巨大的经济效益，日益受到企业和政府主管部 门的重视。特别是近二十年来，随着科学技术的不断发展，尤其是 计算机和传感器技术的发展，它已逐步形成一门较为完整的新兴边 缘综合工程学科。该学科以状态监测、故障诊断和设备管理为内容， 以建立新的设备维修体制为目标，在英、美、日和欧洲国家以不同 形式得到了推广应用。 机械设备故障诊断学是识别机器或机组运行状态的科学，它研 究的是机器或机组运行状态的变化在诊断信息( 信号) 中的反映。 它的内容包括对机器运行状态的识别、预测和监视三个方面。机械 设备故障诊断学的最基本的任务，就是通过对设备观测所获得的信 息来识别机械设备的有关状态。如果将模式识别的概念加以扩展， 使“知识”不仅包含符号体现的知识，也包含数据体现的知识：使 “推理”不仅包含非计算形式的推理，也包含计算形式的推理，则 设备诊断过程就是运用诊断知识对设备有关状态进行模式识别的 过程。 一台设备从设计、制造到安装、运行有诸多环节，任何缺陷都 可能形成设备的故障隐患。设备运行过程中，可能处于各种各样的 环境之中，其内部零部件必然受到力、热、摩擦等多种物理、化学 一尘堕些土叁堂堡! ：堂丝堡塞 作用，使其性能劣化或出现损伤，乃至出现故障，从而影响正常运 行，甚至引发事故。过去一般只有在机器的运行出现问题时，通过 拆卸检查才知道机器中某部分发生了故障。因此，为了机器能正常 运行，不得不规定定期维修检查制度，这样做既不经济又不合理。 故障诊断技术是依据设备运行过程中，伴随故障必然产生的振动、 噪声、温度、压力等物理参数的变化来判断和识别设备的工作状态 和故障，对故障的危险进行早期预报、识别，防患于未然，做到预 报维修，保证设备安全、稳定运行，避免“过剩维修”造成的不经 济、不合理现象。 机械故障信号的分析和处理也叫机械故障的特征提取，它的任 务主要是：通过滤波、放大( 或衰减) 和各种变换等信号处理方法， 用统计或别的适当的计算方法从大量信号数据中提取出诊断故障 的敏感特征元素。这里的特征元素( 参数) 可以是时域或频域中的 各种统计参数。在时域中应用较多的无量纲统计参数有：均值、峰 值、均方幅值、波形指标、蜂值因子、脉冲指标、峭度系数等；在 频域中常用的参数有：频率和频率下降率、幅值谱、功率谱、频响 函数等。实际工作中可根据各参数对机械故障的敏感性和稳定性组 合使用，从而找到相应设备的故障特征。 机械故障信号的分析和处理中，大量的信息数据需要处理。目 前，随着传感器技术的迅速发展以及计算机在生产过程中的广泛使 用，以前由人工操作和处理的大量工作改由计算机来完成。在工程 应用中，处理信息数据的最优秀的科技应用软件之一就是由美国 m a t h w o r k s 公司推出的m a t l a b 语言，该语言利用其丰富的函数 资源，使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来，在准确方便地绘 制数据图形方面，m a t l a b 语言更具有无可比拟的优势。此外， m a t l a b 还提供功能强大的工具箱。但m a t l a b 的缺点是不能实 现端口操作和实时控制，它的体积也相当庞大。而现在广泛流行的 各种可视化编程语言如b o r l a n dc + + b u i l d e r 和v b 等，在界面交互、 数据采集和端口操作中具有相当的优势。因此，若能将m a t l a b 语言与可视化编程语言两者结合使用，实现优势互补，将获得极大 2 尘堕堡兰叁兰塑：i ：i ：! ! 至堡茎 的效益。本文结合实际介绍了应用b o r l a n dc + + b u i l d e r 5 0 开发的 w i n d o w s 应用程序中，对m a t l a b 的调用方法以及在m i c r o s o f t v i s u a l b a s i c 中调用m a t l a b 函数的方法。 3 第二章机械故障诊断技术的研究 第一节设备诊断技术的发展 诊断这个术语含义非常广泛，它正被应用于许多领域中，除了 医学诊断外，还有以企业为对象的企业诊断，以环境为对象的环境 监测诊断，以及工程领域的以机械设备、电子仪器、工程结构乃至 计算机系统为对象的各种诊断技术。 设备诊断技术最早由美国开始研究，1 9 6 1 年用于阿波罗计划， 二十世纪七十年代初形成于英国，并且在航空、核工业及军事部门 等方面占有领先地位；日本则在某些民用工业，如钢铁、化工、铁 路等部门发展迅速，占有一定的优势；我国的设备诊断技术自二十 世纪八十年代初起步以来，大致经历了三个阶段：第一个阶段是起 步与准备阶段，这一阶段大约用了十年或十年不到的时间；第二个 阶段是发展阶段，或者说是迅速发展阶段，这一阶段中，设备诊断 技术本身，经过二十世纪八十年代的发展，在诊断方法上，诊断手 段上( 仪器与系统) ，特别是诊断效果上，相对来说，比过去要成 熟，取得了十分明显的经济效益与社会效益。这是设备诊断技术在 我国发展史上所处的一个十分重要和关键的时刻；第三个阶段是高 级阶段，或者说是设备诊断技术的完善阶段。近二十年来，随着科 学技术的不断发展，尤其是计算机和传感器技术的迅速发展，设备 诊断技术已形成一门较为完整的新兴边缘综合学科。目前，我国设 备诊断技术正经历从发展阶段向完善阶段过渡的过程。 第二节故障诊断的概念 故障诊断的概念，来源于仿生学。故障这一名称，从设备维修 4 丛堕堡三盔! ：| ! 型! ! 兰! 丝堡塞 角度出发，早在二十世纪三、四十年代就已经提出，但是，形成“故 障诊断”这一概念，却是在二十世纪七十年代，设备诊断技术出现 以后的事。特别是英国的“机械健康监测组织与状态监测协会 ( u k m h m g & c m a ) ”主席柯拉科特博士( r a c o l l a c o t t ) 的著作 机械故障诊断与状态监测f m e c h a n i c a lf a u l t d i a g n o s i s a n d c o n d i t i o nm o n i t o r i n g ) 问世后，“故障诊断”一词很快为国际工程界 所接受。 设备诊断技术从某一角度考虑，可以属于信息技术范畴。它是 利用被诊断对象所提供的一切有用信息，经过分析处理，获得最能 识别设备状态的特征参数，最后作出正确的诊断结论。就象医生石 病一样，一个高明医生的高明之处就在于能抓住一切有用的信息， 运用知识和经验作出恰当的诊断结论。设备诊断，也是如此。 工程领域中的“故障”，是指设备运行功能的失常，一般是指 功能可恢复的而不是失效，更不是损坏。“诊断”一词中，“诊”在 于对客观状态的监测，包括采用各种测量、分析和诊别的方法( 物 理的和化学的) ；“断”则需要确定故障的性质、程度、类别、部位 乃至说明故障产生的原因等，是诊断技术的关键。 第三节机械设备故障诊断的基本 原理、内容和方法 一、基本原理 大量使用和经验证明，大多数产品的故障率是时间的函数。典 型的故障率曲线通常称之为“浴盆”曲线，曲线形状呈两头高，中 间低，具有明显的阶段性，可以划分为三个阶段：即早期故障期、 偶发故障期和严重( 耗损) 故障期。如下图2 1 所示。 曲线沿时间轴t 可以分为三部分： f 一) 磨合期，或称早期故障期，一般出现在产品初始工作时间， 一 堕型! 盔兰塑主堂壁堡皇 其特点是故障率较高，但是随着时间的增加而迅速下降，当下降到 基本持平，不再出现大波动时，表示早期故障已告结束。 围2 1 典型赦障事曲线 ( - - ) 正常使用期，或称偶发故障期，该期段是产品最良好的工 作阶段，也叫有效寿命期。它的特点是故障率低而稳定，近似为常 数。这一阶段，故障是随机性的，与产品新旧无关。偶发故障无法 预测何时将发生，它不能通过延长磨合期来消除，也不能由定期更 换故障件来预防。 ( - - ) 损耗期，或称严重故障期，这是产品使用的后期，一般是 由磨损、腐蚀等造成的，这时的故障率又逐步升高。防止严重故障 发生的唯一方法就是要在产品进入严重故障期前及时进行维修，这 样可以把上升的故障率降下来。 以上三个故障期是就一般情况而言的，并不是所有产品都有这 三个阶段且都具有相同的变化规律，有的产品只有其中一个或两个 故障期。由于机件的工作条件和材质不同，其实际故障规律各不相 同；此外，即使符合典型故障率曲线，但各故障率曲线的变化也不 尽相同。在实际问题中，应根据具体情况绘制相应对象的故障率曲 线。 针对典型故障率曲线，一般现场运行的设备都处于2 、3 阶段， 因此可取典型故障率曲线的后半部分，称为劣化曲线，如图2 2 所 示。 6 期阻芝恻 一 障 专刁 专一 故 一 一 一 一 重 一 一一 一 一 严期一 一一命一 障一 一 一寿一 放一 一 一效一 拨一 一 有一 期堕一一一 障 一 一 一 一 散 孓 一 e?k?一阵 瓣艇撇 一举l i _ 型 谢鞋糍雹徽鞲 叁鉴型! ：叁堂婴! ：堂焦堡塞 时l 刚 围2 - 2 劣化曲线圈 劣化曲线沿纵轴可以分为三个阶段： g r e e n 指典型故障率曲线的正常使用段，即故障率最低的阶 段，它表示机器处于良好状态。 y e l l o w 指典型故障率曲线损耗期的初始阶段，故障率已有抬 高的趋势，它表示机器处于需注意的状态。 r e d 指典型故障率曲线损耗期的故障率已大幅上升的阶段，它 表示机器已处于严重故障或危险状态，要准备随时停机。 对于某台设备，若处于劣化曲线的y ( 黄) 区时，就必须进行 必要的测量和诊断。即提取劣化曲线的y ( 黄) 区的信号特征信息 进行状态分析。 二、基本内容 机械设备故障诊断的基本内容包括以下三个方面： ( 一) 设备运行状态的监测根据机械设备在运行时产生的信 息诊断设备是否运行正常，其目的是为了早期发现设备故障的苗 头。 ( 二) 设备运行状态的趋势预报在状态监测的基础上进一步 对设备运行状态的发展趋势进行预测，其目的是为了预知设备劣化 的速度以便为生产安排和维修计划提前做好准备工作。 ( 三) 故障类型、程度、部位、原因的确定最重要的是故障类 型的确定，它是在状态监测的基础上，当确认机器已处于异常状态 时，所需进一步解决的问题，其目的是为最后的诊断决策提供依据。 a 原目，i 。大学硕卜学仃| 文 三、基本方法 机械设备故障诊断的机理，也就是诊断理论与诊断方法，是设 备诊断技术的核心。故障诊断的实质就是对设备状态的识别，也就 是对待检模式的识别，因此诊断理论与诊断方法的任务就是识别这 个待检模式，而这个待检模式点的位置是通过与标准故障状态空间 ( 标准库) 中的各样板模式比较和分类来确定的。 机械设备的状态有正常、异常和故障之分，而状态本身又是动 态的、发展的，当前的正常往往会在一定时间后转变为异常或故障， 于是诊断理论与诊断方法必须完成状态识别、趋势分析和诊断决策 三方面的任务。 诊断理论和诊断方法是机械设备故障诊断机理的核心和基础， 它决定了一个诊断系统的生命线，决定了诊断过程是否快速、简便 实用，也决定了诊断结果是否精确和是否可靠。 机械设备故障诊断的基本方法可按不同的观点来分类。例如， 可以按诊断的对象进行分类为：旋转机械诊断方法、往复机械诊断 方法、工程结构诊断方法、工艺流程诊断方法、机械零件诊断方法 等：按诊断的目的和要求进行分类为：功能诊断和运行诊断、定期 诊断和连续诊断、直接诊断和间接诊断、常规诊断和特殊诊断、在 线诊断和离线诊断等；按所采用的特征元素的物理性质分类为：振 动诊断、声学诊断、温度诊断、强度诊断、污染诊断、光学诊断、 电参数诊断、压力诊断、表面形貌诊断、性能诊断等；按诊断方法 的完善程度分类为：简易诊断、精密诊断和系统诊断；按照状态识 别的理论和方法，可以把诊断方法分为：统计识别方法、函数识别 方法、逻辑识别方法、模糊识别方法、灰色识别方法和神经网络识 别方法等。 第四节机械故障诊断系统的组成及功能 对机械设备故障的诊断首先需要对机械设备进行状态的监测 一 垒堕些：! 叁堂婴! ：堂垡堡塞 所以机械故障诊断系统实质上就是机械设备的状态监测与诊断系 统。 一、机械故障诊断系统的功能 机械故障诊断系统中，用于诊断的信息由状态监测过程得到。 而在设备状态监测过程中，会有大量背景噪声( 各种与故障无关的 因素产生的信号) 与故障信号混杂在一起输出，因此必须采用信号 处理技术，从输出信号中排除噪声和干扰，提取出有用的故障信号， 以突冉故障特征，在必要时还需要通过信处理构造山某些剥故障 更为敏感的特征参数来提高识别故障的精度。故障诊断系统的关键 部分是“诊断”，也就是通过提取的状态特征信息来识别或估计设 文档建立，一 ( 赦陵棋拟) ( 异常梗拟向量) ( 各种样板梗式) 囝2 - 3 设备敬i 唾诊断 备所处的状态，建立特征信息和状态之间的关系来实现综合判断。 识别就是比较，所以诊断技术的内容就必然包括诊断文档( 故障的 标准库) 的建立和诊断的实施两部分，其模型如图2 3 所示。 所谓诊断或状态识别，是指将待检模式与已知样板模式对比， 将其归属到某己知样板模式中去的过程，严格说来也是一种分类问 题。由图2 3 可见，具体的诊断实施步骤如下： ( 一) 信号检测：按不同诊断目的选定最能表征系统工作状态的 信号一一初始模式。 ( 二1 特征提取：即信号处理，将初始模式向量去掉噪声信息， 进行形式变换，形成待检模式。 9 一 查堡堡兰盔堂塑兰堂堡鲨墨 ( 三) 状态识别：将待检模式与样板模式比较，进行状态分类。 这是诊断的核心部分，需要建立识别的准则和方法，力争使误判率 减到最小，各种常用的识别理论和方法见本章第三节。 ( 四) 诊断决策：根据识别结果采取相应对策，对设备状态进行 预测和干预。干预包括加强监视、临时护理和停机大修等。 以上四步构成一个循环，复杂故障往往需要多次反复循环才能 确诊设备的故障。 二、对被监测系统运行状态的判别 这是对于一个未知系统的识别过程。在多数情况下，对于确定 的系统，已知系统某些特性的参数，通过实验的方法，确定未知的 系统参数，从而确定系统的状态。也就是说，通过参数识别确定系 统状态。其步骤如下： ( 一) 选定敏感参数 选定对系统影响最大和最敏感的参数作为系统的敏感因子，建 立系统的数学模型。这里，可作为基本参数的有：长度、质量、时 间、电流、温度及光强等。由这些参数推导出来的参数有：力、压 力、功、能量、功率、电阻、电容、电感、力矩、单位燃料耗率等。 上述诸参数包括对域、幅值域和频域中的某些参数，还有一些是时 序法中的参数。对这些参数，可进行比较优选确定，并建立选定参 数表征的故障档案库。 ( 二) 信号采集 信号采集就是对监测系统敏感点上的敏感参数的采集。在正常 情况下，需要记录输入与输出，即激励与响应信号，而在某些特定 的情况下，确定系统的状态可以只测取响应值。 ( 三) 状态识别参数 通过敏感因子的识别，或经过必要的推导计算，将待检模式与 样扳模式对比，识别待检系统的运行状态。 ( 四) 决策及其输出 监测与诊断系统对当前设备状态根据判别结果采取相应对策。 o 垒垦些兰奎羔塑主兰堡堡塞 若出现异常情况，及时报警并对设备进行干预，或根据累积差值预 估系统的变化趋势，并将设备状态发展趋势的具体描述，如趋势数 据表、曲线、图谱或寿命估计、维修建议等，以显示、存储、笔绘 的形式输出。 三、监测与诊断系统的组成 ( 一) 简易诊断系统的组成 1 便携式振动分析仪 由于振动监测是比较而言简单有效的方法，所以国内外许多厂 家研制出了各种型号的便携式振动分析仪，它们一般具有以下特 点： a 专用的速度或加速度传感器，连接方便、工作可靠。由于传 感器本身的频率和动态范围局限性，般只按特定目的进行测试， 如进行振动烈度的测试。 b 一般地，仪器上都有指针、液晶或发光二极管显示，能直观 读出振动有效值、均方根值、峰值或振动烈度值等。 c 有的仪器可分几个频率档分别读值，高档仪器可同时进行若 干个频率档分析。 2 声级计 机械运转时会产生振动，同时产生噪声。测量噪声的专用仪器 就是声级计。一般声级计均使用电容式传感器，经放大及计权后可 读出声级计的大小。有的声级计还配有倍频程或1 3 倍频程滤波器。 当然，现场应用声级计进行噪声检测也存在些问题，比如，存在 背景噪声的干扰，以及传输途径复杂，很难确定产生故障的零部件 的部位。 采用精密诊断系统后，可以解决这些问题。 ( 二) 精密诊断系统的组成和功能 监测与诊断系统是以状态辨识为中心的信号处理系统，系统分 为三大部分，即数据采集系统、状态识别系统和诊断输出系统。 1 数据采集系统 一 丛堕! ! ! ! 丛兰婴主! 焦竺壅 数据采集系统又称数据采集器，它能定时周期性地对被监测系 统的那些选定点测量振动、温度、噪声等信号。其组成部分包括传 感器、放大器、滤波器、示波器、磁带记录仪、a d 接口板及微型 计算机等。该系统的工作步骤如下： a 组态。即选定被监测对象，选定测点，确定巡检的路径和周 期，确定各测点的测量参数，并把这些参数输入计算机， b 巡检准备。巡检之前，需把数据采集系统与计算机连接起来， 使用相应的软件使采集系统处“卜准备状态，确定准确的采样时删， 准备就绪后到现场去采集数据。 c 数据采集。根据采集系统显示的测点顺序，逐点监测。 2 状态识别系统 状态识别系统是主要由计算机和谱分析仪组成的数字信号处 理系统。其主要作用是对采集到的信号进行分析，从而对多种运行 特征量进行监视，并通过特征分析，选择对工矿状态反应最敏感的 特征量显示和存储。 3 诊断输出系统 诊断输出系统的作用是把状态识别的结果予以输出。它包括两 部分：一是输出机器状态分析结果，即时间历程曲线及频谱图等， 由计算机打印输出：二是出现故障后对设备干预信号的输出，由 d a 接口板、开关量板及其它执行电器组成。 一查堕堡：! 奎堂堡堂笪堡皇 第三章振动分析方法 各种机械设备都是由许多零部件和各种各样的结构及安装基 础组成。由于某些条件和因素的作用，可能引起这些物体在其平衡 位置附近作微小的往复运动，这种每隔一定时间的往复机械运动， 即称之为机械振动。对这些机械振动信弓进行分析处理仃些丛本 的方法，在m a t l a b 软件中对每种基本方法均有其实现函数。故利 用m a t l a b 软件可以很轻松地对所获取的信号作分析处理，现将振 动诊断主要依据的各种方法分述如下。 第一节幅值分析方法 应用幅值分析的参数有均值、均方根值、最大值、最小值和绝 对平均值等。这些参数计算简单，对故障诊断有一定作用。但它们 会因工作条件( 负载、转速) 的改变而变化，所以又存在对故障不 十分敏感、不好区分的缺点。因此，在此基础上，人们又引入了无 量纲的幅域参数，如波形指标、峰值指标、脉冲指标及峭度指标等。 这些参数对故障有足够的灵敏度，对信号的幅值、频率变化不敏感， 而只取决于概率密度函数的形状，所以在故障诊断中有广泛应用。 在幅值域中应用较多的统计参数有： a 均值 以2 l x ( f ) p ( 石) 出 ( 3 1 ) 其中x ( t ) 为时域信号幅值，p ( x ) 为概率密度函数。 b 峰值j = e m a x ix ( f ) i ( 3 2 ) c 均方值妒：= 1 i m l 工2 ( f ) a t ( 3 3 ) ， 1 d 均方幅值x = 门z ( f ) | p ( z ) 出 i ( 3 4 ) 1 3 叁堕型! ! 叁堂塑! ：堂垡堡塾 e 波形指标= x r = ，u ， ( 3 5 ) f 峰值指标 c = 杉z 一 ( 3 6 ) g 脉冲指标 ，= 纠以 ( 3 7 ) h 峭度指标 k ，= e ( x ( f ) 一，) 4 p ( 工) 出 声4 ( 3 9 ) 中。为标准筹。 第二节相关分析方法 相关分析主要是应用相关系数和相关函数来实现，即通过相关 函数来研究两个信号之间的相关性和依赖性。不同的信号具有不同 的相关函数。自相关函数不含有信号的相位信息，只存在单一的量 值关系。而互相关函数则包含着相位信息。这些特点在分析振动信 号的特性时是很有用的。 一、相关系数 研究两个变量x 和y 之间的关系，可考虑二者之间是否具有线 性性，或线性性程度如何，而评定x 和y 之间的线性关系程度，比 较简单的方法是取 一以) 与( y 一。) 的乘积的均值，当取定样本 数- - - o o 时，该乘积的均值即为x 与y 之间的协方差d 0 ，即： = e ( x - u ) ( y 坞) 】_ 熙专萋( 矿, u x ) ( 圹 ( 3 1 0 ) 一般地，用如下关系表达相关性： p 。= 二生，一1 p 。 l ( 3 1 1 ) o x o y 称p 。为相关系数，用来评定两个随机变量x 与y 之间的线性相关 程度。 1 4 。 查旦型! 叁兰塑! ：堂垃堡塞 图3 1 表示相关系数值和数据点分布的关系( 假 设以= 。= 0 ) 。 ( ) 一1 畸如0 ) 畸= o ( c ) o 时 l( d ) y = “ 副3 1 相关泵数和数据点分布关系 由图31 可见，相关性是从概率分布的角度反映两随机变量之 间的依赖关系。 二、自相关函数 由时间函数x ( t ) 按时间平均计算的各态历经随机过程的自相 关函数为： 1 一 r ，( r ) 2 l i m7 jx ( t ) x ( t + f ) 出 ( 3 1 2 ) 式中，t 为样本长度，t 为时间间隔，单位为秒。 r 。( r ) 是乘积x ( t ) x ( t + r ) 在足够长的观测时间t 内的平均值。它 描述j x ( t ) 与石“+ f ) 之间的相关关系，它是相关性的数量描述。自 相关函数也可以理解为曲线x ( t + 们与在时间轴上向右平移后所得曲 线的相似性的描述，两者之间的相似性取决于t 的大小，r = 0 时，两 曲线完全相似。 自相关函数r ，( t ) 具有如下一系列性质： ( 1 ) r ，( f ) 为实函数； ( 2 ) r ，( f ) 为偶函数，即月。( r ) = r 。( 一r l ( 3 ) r ( o ) = 妒：，伊：是工( f ) 的均方值； ( 4 ) 尺，( r 征f = 0 处取得最大值，即l r ，( r ) l r ，( o ) ； ( 5 ) 当均值，= 0 时，r ，( ) = 0 ； ( 6 ) 尺，( f ) 的范围是，。一盯，r ，( f ) ，。q - 仃， ； ( 7 ) 如果z ( f ) 有一周期分量，则r ，( r ) 有同样的周期分量，其频 率等于r 。( r ) 曲线后半部分的波动频率。 l5 !堕堡叁堂塑j：堂焦堡塞 ! 册蝴姗 r j i m m 。懈邶蒯附俨 ( f ) 。r ( f ， f f 。脚批蜓 。懈雀 图3 2 常见波形的自相关函数 “) 正弦波 ( b ) 正弦波加随机噪声 ( c ) 窄带随机嗓声 【d ) 宽带随机噪声 自相关函数r ，( f ) 曲线收敛快慢在一定程度上反映了随机信号 中所包含各频率成分的多少，反映了波形的平缓和陡峭程度。比如 图3 2 ( a ) 中，虽然正弦波函数z 例是奇函数，但其自相关函数是偶 函数，且对称于纵坐标轴。另外，正弦波自相关图不收敛，它只含单 一频率成分。图3 2 ( b ) 正弦波叠加有窄带随机噪声的自相关图中， 当t 较大时，随机噪声部分的自相关函数己衰减掉，剩下的是正弦 波的自相关函数，因而，可以用较大的时延t 计算信号的自相关函 数，从而将周期成分检测出来。图3 2 ( c ) 窄带随机信号的自相关 图中，带宽越窄，自相关函数衰减越慢。图3 2 ( d ) 宽带随机信号的自 相关图中，( 所谓宽带，即它的频率成分可延展到较多的频率范围) ， 当滞后量t 增大到一定程度时，随机信号的自相关函数将衰减掉。 1 6 丛塑型! = 丛兰塑! 堂丝堡塞 且比较上述四图，宽带随机信号的自相关函数收敛最快，所含频率 成分最多( 无限多) 。 三、互相关函数 若x ( t ) 是随机过程的一个样本函数，而y ( t ) 是另一个随机过 程的样本函数，则这两组随机数据的互相关函数定义为： r 。( r ) = t i m + lx ( t ) y ( t + r ) d t ( 3 1 3 ) 式中，t 为样本长度，t 为时间间隔，单位为秒。 互相关函数r 。( f ) 是t 的函数，它描述两组数据值之间的依赖 关系。某t 值时际。( r ) 也可以理解为图形( f ) 与j 钞( f ) 向右平移 t 后所得图形y “+ r 1 的相似性的描述。互相关函数的大小直接反映 了所研究的两个信号x ( f ) 与y ( f ) 之间的相关性。 互相关函数有如下一系列性质： ( 1 ) 月，。( f ) 是实函数，可正可负，当r 。( f ) 。0 时，称z ( f ) 与，( ，环 相关： ( 2 ) r 。( f ) 的取值范围是： l a y 一盯，仃，r 叫( r ) 。l a ，+ 仃，盯y ( 3 ) 尺。( ) - - + l a ，a ，通常使2 ，= o ，l a y 2 0 ，这是因为，对于 一般随机过程，当；斗0 0 时，工( f ) 与j ，( f 十f ) 不存在相关性。 ( 4 ) 互相关函数r ，。( r ) e e 的下标x 与y 的次序不能颠倒，因 为r 。( f ) = 尺。( 一f ) ，推导如下： r u ( f ) 2 l i m - - 7 1 ix ( t ) y ( t + r ) 出 2 r l i m 。- - _ r i x ( t i r ) y ( t 1 ) d t l 2 r f ( 一f ) 式中t = t + f 。 ( 5 ) 互相关函数不同于自相关函数，它一般不是偶函数。因为 互相关函数r 。( f ) 研究的z ( ，) 和y ( ，) 是两个不相同的信号。 a 蟓理j ：人学硕士学位论文 第三节频域分析方法 频域分析的基础是频谱分析，即分析动态信号的幅值、相位、 功率和能量随频率的变化关系。频谱分析主要包括功率谱密度函数 分析、细化谱分析、倒频谱分析、冲击响应谱分析、最大熵谱分析 以及全息谱分析等。频域分析是机械故障诊断中用的最广泛的信号 处理方法之一。 一、功率谱分析 ( 一) 自功率谱密度函数 从概率密度函数或概率分布函数就可得到随机振动幅值的分 布特征，但进行振动分析往往要知道振动激励信号和振动响应信号 所包含的频率成分。而频谱分析就如光学上的三棱镜一样，当输入 一个随机信号时，就能解析出不同频率成分的正弦波。对随机信号 进行频谱分析，一般都要用到功率谱密度函数。 自功率谱密度函数可由自相关函数推导出来，即： s ( c o ) 2 玄 r 一( ) 8 1 ”d 7 ( 3 1 4 ) 式中，：仃，0 ) 为圆频率，s ( c o ) 为自功率谱密度，是尺，( r ) 的傅 立叶变换。 而s ( ) 的逆变换为：r ，( r ) = f f s ( 6 0 ) e 7 。7 d c o ( 3 1 53 因为尺，( r ) 是t 的偶函数，而e + 衙= c o s ( z z j s i n o r ， s i n o j r是t 的奇函数，故： s ( c o ) = 去e 蹦小0 s r d r ( 31 6 ) 又由于r ，0 ) 是实函数，可知s 向，是的偶函数。 当t = 0 时，s ( ) 的物理意义可描述为： 丛垦望：! ：叁堂丛! ：堂堕堡塞 月z ( o ) 2x 。2 。2 i 。s ( 珊v ( 3 17 ) 由于在工程实际中采用以赫兹( h z ) 为单位f ( f = 州2 a ：，令 g ( f ) = 2 s ( f ) ( f o ) g ( f ) = 0( f 0 ) 1 g ，。( 厂) = 0( f 0 。 ( 4 ) 自相似性：对应不同尺度参数a 和平移参数r 的连续小波 变换之间是自相似的。 ( 5 ) 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。 有关这些性质的证明可参考文献 5 。 与傅里叶基( 正交基) 不同，尺度和位移均连续变化的连续小波 基函数形成了一组非正交的过度完全基。这意味着其任意函数的 小波展开系数之间有一个相关关系。两个基函数之间相关度的大 小，也称为再生核或重建核，它的结构取决于小波函数的选取。 由上面的分析可知，c w t 系数具有很大的冗余量。从节约计算 量来说，这是它的缺点之一，但从另一方面来讲，我们可以利用c w t 的冗余性实现信号降噪和数据恢复的目的，这时，冗余性又成了c w t 不可替代的优势。 第二节离散小波变换 由连续小波变换的概念知道，在连续变化的尺度a 及时间点 t 值下，小波基函数，( f ) 具有很大的相关性，因此信号，( f ) 的连 续小波变换系数吗( a ，f ) 的信息量是冗余的。在很多情况下，我 们需要考虑压缩数据( 如图像数据的压缩) 和节约计算量( 如数值计 算) 等情况。此时，我们希望在不丢失原信号( f ) 信息的前提下， 丛鉴型叁堂丝芏丝堡塞 尽量减小小波变换系数的兀余度。 在理想情况下，离散后的小波基函数。( t ) 满足正交完备性 条件，此时计算的小波变换系数无任何冗余度，可最大限度地压 缩数据并减小计算量。但在小波变换发展的初期，很长一段时问 内，人们都未找到具有一定正则性的可作为l z f r l 空间的标准正交 基。因此，人们就转而去研究非正交的、具有一定冗余度的小波 框架。 虽然现在已经发现了构造正交小波基的方法，而且也出现了许 多标准的正交小波基，但在有些情况下，为了提高小波母函数的 光滑性和对称性、减小小波基函数支集等方面的要求，与小波基 函数正交性的要求相矛盾，而小波基函数支集的减小与光滑性和 对称性的提高等要求在小波应用中往往又起着重要作用。因此， 可设想适当放宽正交的要求以换取较小的支集与较高的光滑性和 对称性等。从这方面看，非正交的离散小波变换d i s c r e tw a v e l e t t r a n s f o f l l l ( d w t ) 具有重要的实用意义。 一、离散小波变换 减小连续小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数，( f ) 的参数a 、t 限定在一些离散点上取值。种最通常的方法就是将 尺度a 按幂级数进行离散化，即取口。= 口；( m 为整数，n 。j ，一 般取a 。= 2 ) 。关于位移的离散化，通常对t 进行均匀离散取值，以 覆盖整个时间轴。为了不丢失信息，一般要求采样间隔1 满足 n y q u i s t 采样定理，即采样频率大于等于该尺度下频率通带的二倍。 每当m 增加1 ，尺度a 增加一倍，对应的频带减小一半，采样频率 即可减低一半，也就是说，采样间隔可以增大一倍。 将c w t 的连续相平面离散化，在尺度一位移相平面上就对应 一些离散的点，这样一来，我们就将连续小波变换转化为离散小波 变换( 由c w t 到d w t ) 。任意函数f ( t ) 的离散小波变换为： w t r ( 卅，n ) = 【厂( f ) y 。( o a t ( 4 1 0 ) 离散小波变换d w t 具有非伸缩和时移共变性，而对于c w t 成立 的尺度变换性质，对d w t 则不满足( 有关证明参见文献 麴) 。此外 离散小波变换仍然具有定的冗余性。 二、小波框架 由正交基与双正交基的概念，若序列e 。( f ) 是空间的一组正 交基，则对v g ( t 1 x ，可按下式展开： g ( t ) = ( g ( f ) ，气( f ) ) 气( t ) ( 4 11 ) 若序列( t ) 是x 空间的一组双正交基，则对v 2 ( f ) x ，可按下 式展开： g ( f ) = ( g ( f ) ，气( f ) ) 啷( f ) ( 4 1 2 ) 如果一个函数序列帆( f ) 是相关的，并且仍然允许空间x 中的元素 按( 4 1 2 ) 式展开，此时，我们称该函数序列y 。( t ) 为框架。 小波框架定义如下： 当由基本小波吵( f ) 经伸缩和平移引出的函数族 y ，t ( t ) = a o - j 2 u ( a o - ：t k r ) ， k z ( 4 1 3 ) 具有以下性质时： a i v i 2 。) 卜占w ，0 口 6 。 ( 4 1 4 ) 便称杪卅( f ) l 。：，构成了- + d 、波框架，称上式( 4 1 4 ) 为小波 框架条件，当, 4 = 时，称为紧框架。其频域表示为： 口蔓p ( 2 w ) 7 f 2 ，o ( 口( 卢( 。0 ( 4 1 5 ) 小波框架具有以下两条性质： ( 1 ) 满足小波框架条件的y n ( t ) 其基本小波妒( f ) 必定满足容 许性条件； ( 2 ) 小波函数的对偶函数q j ( f ) = 1 肛妒( 2 - 一) 也构成一个框 架，其框架的上、下界是 n()框,k架上2、下界的tqt倒数： 曰。l i ，0 2 ，。厂，y 肚) l 。4 4 i i ，0 2 ( 4 1 6 ) 由于c w t 的过度冗余性需要大量的计算时间及存储量，在某些 情况下限制了这类小波的应用。有了小波框架的理论，我们可以将 尺度和位移进行适当离散化，以最大可能地减少冗余度，节约计算 资源。另一方面，还可以基于连续小波变换的再生核性质，通过合 一叁丝型! 叁兰墼! 丝堡兰 适的插值方法，从小波系数的一个离散于集，重新恢复出连续小波 系数的全集。 因此，小波框架的理论使我们能够将连续小波变换的冗余性i j 离散小波变换的经济性结合起来。这正是小波框架的优势所稿：。 三、二进小波变换 对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取离散的动态采样 网格面誓，ar = 口，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制 离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波为二进小波，表示为： ，( f ) _ 2j y ( 了t - r ) ( 4 17 ) 二进小波介于连续小波和离散小波之间。它只是对尺度参量进 行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小 波变化仍具有连续小波变化的时移共变性，这是它较之离散小波变 化所具有连续的独特特点。二进小波对信号的分析具有变焦距的作 用。假定有一放大倍数2 一，它对应为观测到信号的某部分内容。 如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大倍数，即减小 j 值：反之，若想了解信号更粗的内容，则可以减小放大倍数，即 加大j 值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。也正以为 此，它在奇异性检测、图像处理方面十分有用。 第三节多分辨分析及二尺度方程 一、多分辨分析 多分辨分析又称多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理 论。若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化 时，就相当于将照相机镜头由远及近地接近目标。在大尺度空间里， 对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标的大致概貌；在小尺度 空间里，对应近镜头下观察目标，可观测到目标的细微部分。因此， 一一 丛竖些! ：盔兰塑! 竺笪堡塞 随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观察目标。 这就是多尺度( 即多分辨率) 的思想。 定义 多分辨分析是指满足下述性质的一系列闭子窄 间帆i j ez ： ( 1 ) 一致单调性：c cv t c v o _ 。c 眨2c ( 4 1 8 ) ( 2 ) 渐近完全性：n 矿，= o i u y ，= l 2 ( r ) ( 4 1 9 ) ( 3 ) 伸缩规则性：厂( f ) 矿，f ( 2 一t ) e o ，j z ( 4 2 0 ) ( 4 ) 平移不变性：厂( f ) v oj f ( t h ) v o ，对v h z ( 42 1 ) ( 5 ) 正交基存在性：存在v o t 使得移( f h ) 。是v 。的 正交基，即 v o = s p 口n ( f n ) ) ，【矿( f n ) ( f m ) d x = 6 。，。 ( 4 2 2 ) 由多分辨分析的痞义，多分辨分析的一系列尺度空间是由同一 尺度函数在不同尺度下张成的，也即一个多分辨分析 ，对应一 个尺度函数。虽然有u _ = r ( r ) ，但由式( 4 1 8 ) 知，杉j 。空间相 互包含，不具有正交性。因此，它们的基妒m ( f ) = 2 一2 妒( 2 ，t k ) 在 不同尺度间不具有正交性，也即渺( f ) h 。不能作为l 2 俐空间的 正交基。 为了寻找一组r 俐空间的正交基， 我们定义尺度空间杉j 。 的补空间如下： 吃一l = o 睨，帆上 ( 4 2 3 a ) 显然，任意子空间舷和孵是正交的( 空间不相交) ，并且 上。由式( 4 1 8 ) 和式( 4 1 9 ) 可知： r ( r ) = o 形，z ( 4 2 4 ) 因此，眈j 。构成了l 2 俐的系列正交子空间。并且由式( 4 2 3 a ) 得： ，= 一i 一 ( 4 2 3 b ) 若厂( r ) w o ，则厂( ，) l v o ，由式