（应用数学专业论文）几类差分系统正周期解的存在性.pdf

硕十学位论文 摘要 本文利用锥上的不动点理论，讨论了几类非自治的时滞差分系统正周期解的存 在性全文分四章，主要内容如下： 第一章介绍了本文研究的背景与意义、主要工作、预备知识以及本文用到的一 些符号 第二章利用锥上不动点指数定理，讨论了一类带有参数的差分系统依赖参数下 正周期解的存在性 第三章利用不动点定理讨论了一类二维的时滞差分系统多个正周期解的存在 性，得出两个定理，并举出两个例子验证定理的有效性 第四章利用锥上全连续算子的特征值问题，讨论了一类n 一维的带参数时滞差 分系统正周期解的存在性 所研究的这几类差分系统，都可以通过变形构造出锥，利用锥上的不动点定理来 研究它们周期解的存在性本文的主要特点就是如何巧妙地构造锥上的全连续算 子，通过全连续算子不动点的存在性来证明差分系统周期解的存在性；其难点是如 何利用不等式和极限值问题找到满足不动点理论条件所需的开子集通过结论后的 例子，可看出所得结论是简洁而有效的 关键词：差分系统；时滞；锥；参数；不动点定理；正周期解 i i 硕十学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，b ye m p l o y i n gf i x e dp o i n tt h e o r e m si nc o n e ，w eh a v es t u d i e dt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs e v e r a lk i n d so fn o n a u t o n o m o u sd e l a y e d d i s c r e t es y s t e m s t h ep a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s m a i nc o n t e n t sa r ea s f o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n ds i g n i f i c a n c eo fo u rs t u d i e s ， m a i nw o r ko ft h i sp a p e r ，p r e p a r i n gk n o w l e d g ea n ds o m en o t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w eh a v es t u d i e dac l a s so fd i s c r e t em o d e lw i t hap a r a m e t e r b ye m p l o y i n gf i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e mi nc o n e ，w eg e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sw h e nt h ep a r a m e t e rc h a n g e s i nc h a p t e rt h r e e w eh a v ed e a l tw i t has y s t e mo ft w o - d i m e n s i o n a ld e l a y e d d i s c r e t es y s t e m b yf i x e d - p o i n tt h e o r e mi nc o n e ，w eg e tt w ot h e o r e ma b o u tt h e e x i s t e n c eo fs e v e r a lp e r i o d i cs o l u t i o n st ot h es y s t e ma n dg i v et w oe x a m p l e st o a n s w e rt h et h e o r e m s i nc h a p t e rf o u r w eh a v es t u d i e dac l a s so fn d i m e n s i o n a ld e l a y e dd i s c r e t e m o d e lw i t hap a r a m e t e r b ya p p l y i n ga n o t h e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ，w eg e tt h e s h 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sw h e nt h ep a r a m e t e r c h a n g e s a l lt h e s em o d e l ss t u d i e di np a p e r ，c a nb eb u i l tc o n et h r o u g hs o m ec h a n g e s a n dw ec a ns t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h e s em o d e l sb y e m p l o y i n gd i f f e r e n tk i n d so ff i xp o i n tt h e o r e m si nc o n e t h em a i nf e a t u r ei np a p e r i sh o wt oc o n s t r u c tc o m p l e t e l yo p e r a t o ri nc o n e ，t h e nw ek n o wt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so fd i s c r e t es y s t e m st h r o u g hp r o v i n gt h ee x i s t e n c eo ff i x p o i n to fc o m p l e t e l yo p e r a t o r s ；a n dt h ed i f f i c u l t y i sh o wt of o u n dt h ec o n d i t i o n w h i c hs a t i s f i e dt h ef i xp o i n tt h e o r e mb yu s i n gt h ei n e q u a l i t y l i m i t e dv a l u ep r o b l e m t h r o u g ht h ee x a m p l ea f t e rt h ec o n c l u s i o n ，w ec a ns e et h eo b t a i n e dc o n c l u s i o ni s s u c c i n c ta n de f f e c t i v e k e yw o r d s ：d i s c r e t es y s t e m ；d e l a y e d ；c o n e ；p a r a m e t e r ；f i xp o i n tt h e o r e m ； p e r i o d i cs o l u t i o n i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：语臻棼 日期：加呷年6 月 f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印：缩印或扫捕等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密嘣 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：豫并势、日期：2 叫年6 月1 日 刷磁各蜘球醐。叫叫日 硕十学位论文 第1 章绪论 1 1问题的研究背景与意义 微分方程以及近来兴起的差分方程是现代数学的一个重要分支，在众多的科学 领域中，尤其是在现代生物学、人工网络动力学、物理学、医学和经济学中有着非 常广泛的应用随着人们对生命现象和物种迁移规律认识和研究的不断深入，越来越 多的数学工作者投身于现代生物数学研究，考虑了具有周期性、时滞、阶段结构等 大量现实因素的各类生物数学模型，并得到了许多很好的的结论由于生态系统和 个体生命活动受季节，昼夜等周期性环境因素变化的影响非常突出，人们很重视研 究生物模型的周期性对于微分方程周期解的研究，得到了很多好的结论，见文【1 - 1 3 】。 从中可看到不动点理论在研究微分方程周期解的存在性及探索解的其他性态时发 挥了巨大的作用通过利用各种彳 o )( 1 1 ) 周期解的存在性及全局吸引性g l i u a 3 】研究了l a s o t a - w a z e w k a 模型 z ( ) = 一a ( t ) x ( t ) + p i ( 芒) e 刊蝴_ r ( 啪， ( 1 2 ) i = 1 唯一正周期解的存在性及全局吸引性在文【1 6 - 1 7 , 2 0 】中，n i c h o l s o n sb l o w f l i e s 模型 可7 ( ) = 一a ( t ) y ( t ) + b ( t ) y ( t 一丁( ) ) e 一卢( ) 3 ，( 。一r ( 。) ( 1 3 ) 周期解的存在性、全局吸引性、一致持久性及渐近稳定性都得到了研究和证明通 过利用不动点理论，构造出简单的条件就保证了周期解的存在性。 在上述研究的基础上，吴【1 9 i 利用锥上的不动点指数定理研究了以上模型的一般 形式 y 。( t ) = 一o ( ) ，( 可( ) ) 可( ) + a g ( t ，y ( t 一7 _ ( 亡) ) ) ( 1 4 ) 详尽地讨论了方程( 1 4 ) 存在一个、多个及不存在周期解的情况这类模型具有广泛 的代表意义，除包括上述模型外，还可以用来描述很多生理学问题，如细胞造血、呼 一1 一 几类差分系统正周期解的存科：十牛 吸、心脏心律失常、归巢能力、泌尿等生理过程，见文【1 4 , 1 5 , 1 8 , 2 0 - 2 2 1 人们通过分析方 程的周期解的存在性、解的性态，来认识生理活动规律，有很大的理论和现实意义 类似上述模型的一般形式，王在文【1 1 】中也应用锥上的不动点理论讨论了下列带参数 微分方程 z ( t ) = o ( t ) 厂( z ( ) ) z ( t ) 一入6 ( t ) 厂( z ( 亡一丁1 ( t ) ) ) ， 正周期解的存在性 刘和李【1 0 】利用全连续算子的特征值问题建立起了下列方程 z ( t ) = - a ( t ) x ( t ) + a 九( t ) 厂( z ( t 一丁( ) ) ) ，( 1 5 ) 周期解存在的条件 而关于常见的h e m a t o p o i e s i s 模型 z 。) - _ m 卅姜揣 ( 1 6 ) 郭 2 7 1 利用不动点定理研究了它唯一正周期解的存在性和全局吸引性利用k r a s n o s e l s k i i 不 动点定理，刘【2 4 则研究- 了h e m a t o p o i e s i s 模型的一般形式一一具有多重时滞的泛函微 分方程 z 7 ( ) = 一a ( t ) x ( t ) + f ( t ，x ( t n ( ) ) ，x ( t 一丁2 ( t ) ) ，x ( t 一( t ) ) ) ， 周期解的存在性 另外还出现了关于二维及高维微分系统周期解存在性的研究周正【2 5 】应用不 动点理论研究了一类二维状态依赖的时滞微分系统 iz ( t ) = - a l ( t ，z ( t ) ) z ( ) + f l ( t ，x ( t 一丁1 ( ，z ( ) ) ) ，v ( t 一死( t ，可( ) ) ) ) ，叭 1 秒( t ) = 一a 2 ( t ，可( ) ) 可( ) + 厶( 亡，z ( t 一7 1 ( t ，z ( t ) ) ) ，y ( t 一乃( t ，可( t ) ) ) ) ， 、。 、i 工， 多个正周期解的存在性 张娜等【2 6 1 应用全连续算子的特征值问题讨论了一类n 一维的带参数时滞微分 系统 z 7 ( t ) = a ( t ，z ( 亡) ) z ( ) + 入，( t ，x t ) ，( 1 8 ) 周期解的存在性，得出了此类系统依赖参数时多个正周期解存在的条件 有趣的是在上述的微分方程模型中，由于方程自身的特点，几乎都可以通过变形 构造出b a n a c h 空间上的锥，通过应用锥上各类不动点理论【4 1 | 来研究他们周期解的存 一2 硕十学位论文 在性，事实证明所得结论是简洁而有效的可见不动点理论在探求微分方程周期解 存在性问题上的有效性不过这些研究大都是基于连续的泛函微分方程模型，对于离 散模型周期解的研究却很少见而人们在研究生物的活动时，往往是采取一定的时 间点，统计其数量，进行分析判断，此做法与连续型模型相比较，更接近差分模型同 时生物种群在没有迭代的情况下，差分方程更适合描述生物界的动力系统另外由 于数值模拟的需要，又常常需要把连续的微分方程加以离散化因此差分方程的应 用也是非常广泛的这促使人们寻找研究差分方程的理论工具试想用不动点理论来 研究差分方程，是不是也非常管用呢? 近米出现了这方面的研究，周正【2 7 】利用不动点 理论研究了l a s o t a - w a z e w k a 模型的离散形式 可( 忌+ 1 ) 一可( 尼) = 一a ( k ) y ( k ) + p l ( 忌) e 一吼( 七) 掣( 七一( 七) ) ， ( 1 9 ) 得出了方程周期解存在的条件，并分析了周期解的全局吸引性胡道伟【2 8 1 也应用不 动点理论讨论- y h e m a t o p o i e s i s 模型的离散形式 m “h 一m m 卅喜而警， ( 1 1 0 ) 得出了方程存在唯一正周期解及正周期解具有全局吸引性的结果 而据我们所知，对于更一般的差分系统的研究还没有基于以上的考虑，本文尝 试利用几类不动点理论来研究上述模型中更一般的差分系统 在本文第二章中通过对方程( 1 4 的离散化，得到了一类带参数的时滞差分系统 y ( k + 1 ) 一y ( k ) = - a ( k ) y ( k ) + a g ( k ，y ( k 一7 - ( 七) ) ) ， ( 1 1 1 ) 并利用不动点指数定理对方程( 1 1 1 ) 存在一个、多个及不存在周期解的情况进行 了详尽的分析和讨论最后给出一个例子验证所得结论的有效性 考虑到关于此类带参数的高维差分系统还没有人研究过，于是第四章在文【2 6 】的 基础上，尝试利用锥上的全连续算子的特征值问题研究了带有参数的佗一维时滞差 分系统 x ( k + 1 ) 一x ( k ) = - a ( k ，z ( 忌) ) z ( 七) + a f ( k ，x ( k 一7 - ( 忌) ) ) ，( 1 1 2 ) ( 其中a 为n 阶矩阵，z x n ) 止周期解的存在性，得出了方程( 1 1 2 ) 依赖参数下周 期解存在的情况 第三章是在文【2 5 】研究的基础上，研究它的离散形式，得到一类二维的时滞差分 系统 z ( n + 1 ) 一。( n ) = 一n 1n ) z ( n ) + ( 礼，z ( 礼一n ( n ) ，可( n 一亿( n ) ) ) ，( 1 1 3 ) 【可( 礼+ 1 ) 一秒( 孔) = - a 2 ( n ) y ( n ) + 厶( 礼，x ( n 一丁1 ( 几) ) ，可( 他一记( n ) ) ) 。 一3 一 几类差分系统正蒯期解的存柏：件 利用不动点定理研究成功地得到了系统( 1 1 3 ) 多个正周期解存在的条件 可看出本文的研究把几类微分系统的一般形式推广到了离散化的形式，得到了 三类一般性的差分系统多个正周期解存在的条件与前人的工作相比我们更多地 考虑了参数对一维及高维差分系统周期解存在性的影响，同时本文也说明了不动点 理论也是研究差分系统的一个有力的理论工具 1 2预备知识 为证明结论，我们给出如下概念和定理： 定义1 2 1设x 为b a n a c h 空问，p 为x 上的非空子集，称尸为锥假如它满 足下列的条件： ( i )对任意z ，y p 和入，卢0 ，有妇+ f l y 尸； ( i i ) 如果x p ，且一z p ，那么x = 9 同时由p 诱导出的半序用 ”表示，是指x y 成立当且仅当y x p 定义1 2 2 假如存在盯，对任意的x ，y p ) i i x l i = l l y l i = 1 ，都有i i x + y l l o r 成立，则称x 上的锥尸是正规的 定义1 2 3 设x 为b a n a c h 空间，dnx ，0 d ，算子l ：d _ x 满足 l 0 = 0 如果l x = , x x 入就称x a 为算子三关于特征值入的特征向量 引理1 2 1 1 2 9 , 3 0 】x 为b a n a c h 空间，k 为x 上的锥，对于r 0 ，定义群= u l u k 且l | ui l r ) ，假设t ：瓦_ k 是全连续算子，对于u o k , = 让 k l iui i = r ) ，有t u 札成立，则 ( 1 )对于u o k , ，若l it 乱l i l iui l ，那么i ( t ，坼，k ) = o ； ( 2 ) 对于u o k , ，若i it uf f | i ul l ，那么i ( t ，群，k ) = 1 引理1 2 2 【2 9 】 设x = ( x ，l i ) 为b a n a c h 空间，k 为x 上的锥，并设r 1 和 r 2 为常数，0 r 1 r 2 假定m ：瓦，。nk k 为满足下列条件的全连续算子( 其 中q ，。= x l x x ，i ixi l r 2 ) ) ( 1 ) 对于z kna q ，和入 0 ，1 】，z a o x 成立； ( 2 )对于z kna q ，：和叩0 ，存在k o 使得z 圣z + 叩皿成立， 那么圣在kn z xr 1 l lzl i r 2 ) 上有一不动点 引理1 2 3 【3 1 】算子圣在k n z x r x 0 使得f x o = # o x o 下面介绍本文将用到的一些符号( 下表左端表示符号，右端表示符号含义) 口证毕， l o ，1 ，u 一1 ) ， ：右端是左端的定义， ：左端是右端的定义， r + z i z 0 ，z 兄) ， 凰 z l z 0 ，z r 】- 一5 一 几类差分系统正周期解的存在惟 第2 章一类带参数的差分系统正周期解的存 在性 2 1引言 对于一般性的带参数非自治泛函微分方程 y 。( t ) = - a ( t ) f ( y ( t ) ) y ( t ) + 的( t ，y ( t 一7 - ( t ) ) ) ，( 2 1 ) 吴 1 9 】利用锥上的不动点指数定理，研究了它周期解的存在性这类模型具有广泛的 代表意义，被应用于研究各种生理学现象，如细胞造血、呼吸、心脏心律失常等，见 文【1 4 1 5 ，1 8 ，2 0 一2 2 1 它的特殊模型有很多，如： 文【1 4 ，1 5 】讨论了造血模型 7 ( t ) = 一n ( ) 可( t ) + 6 ( t 再南， ( n o ) ，( 2 2 ) 周期解的存在性及全局吸引性 文【1 7 - 1 9 1 中n i c h o l s o n sb l o w f l i e s 模型 7 ( ) = 一a ( t ) y ( t ) + b ( t ) y ( t 一7 - ( ) ) e p ( 。) 掣( 。一下( 。”，( 2 3 ) 周期解的存在性、全局吸引性、一致持久性及渐近稳定性都得到了研究和证明 不过这些研究都是基于连续的微分模型，对于差分方程的研究却很少见在生物 界，当种群无代际交替繁殖时，由差分方程描述的离散模型比连续型模型更合适并 且，离散模型可以方便地应用计算机进行计算模拟基于这些考虑，本章来研究下述 模型 y 。( t ) = - a ( t ) y ( t ) + 幻( t ，v ( t 一7 - ( ) ) )( 2 4 ) 的离散形式下面采用文 3 2 】中的半离散化方法对方程( 2 4 ) 进行离散 对于t k h ，( k + 1 ) 九) ，k 磊我们有 一n ( t ) 可( t ) + 入9 ( t ，可( 亡一丁( ) ) ) 一。( 瓦t ，h ，。、。 t h ) + 入9 ( 丢】 ，u ( - 去 h - - t ( 丢 ) ) ) ，( 2 5 ) 这里 q 】表示q 的整数部分，h 0 是一个固定的常数，表示离散化的步长注意 嘲t = 惫，所以上式可写为 一n ( ) ( t ) + a g ( t ，v ( t 一7 - ( t ) ) ) - a ( k h ) y ( k h ) + 入u ( k h ，y ( k h 一7 ( 七九) ) ) ( 2 6 ) 一6 硕十学位论文 用下面的微分系统来近似于原式( 2 4 ) 可7 ( t ) = - a ( k h ) x ( k h ) + a g ( k h ，y ( k h 一7 i ( 七危) ) ) ，( 2 7 ) 这里t k h ，( k + 1 ) 危) ，k z o 现在区间【k h ，t ) 上积分得 y ( 亡) 一y ( k h ) = - a ( k h ) y ( k h ) + 入9 ( 后忍，y ( k h 一7 ( 七 ) ) ) ( 亡一k h ) ，( 2 8 ) 令t 一( k + 1 ) h 得 ( ( 庇+ 1 ) h ) 一y ( k h ) = - y ( k h ) x ( k h ) + a g ( k h ，y ( k h 一丁( 后九) ) ) 】 ，( 2 9 ) 再令【k h 】= k 得 y ( k + 1 ) 一y ( k ) = - a ( k ) y ( k ) + a 夕( 忌，y ( k 一7 ( 南) ) ) ( 2 1 0 ) 现做如下假设： ( h 1 ) a ( k ) ：z _ ( o ，1 ) 是u 一周期函数，即a ( k + u ) = o ( 忌) ，其中是正常数； r ( 忌) 为非负的整数序列，也是u 一周期函数 ( h 2 ) g ( k ，让) c ( z 0 ，) ， 0 ，。) ) ，对于每一个缸 0 ，g ( k ，珏) 关于k 是 u 一周期函数 2 2 预备知识 令x = y ( 忌) ：y ( k + u ) = 可( 尼) ) ，i iyi i = 掣謦 0 使得g ( k ，y ( 南) ) 叫( 忌) ，对于y k ，k l ，则有 i i t a y ( k ) h 0 ，定义： m ( r ) = m i n g ( k ，u ) ：k l ，盯r u 7 ) ， m ( r ) = m a x g ( k ，u ) ：k l ，0 us7 - 看下面的不等式证明 引理2 2 4 假设( h 1 ) ，( 2 ) 成立，r 0 ，若y a q ，= y ki iyi l = r ) 那 么 入u 击m ( r ) 1 l 乃可怪入u 1 _ - - 1 m ( r ) 一9 一 几类著分系统正周期解的存存十牛 证明：因为 又因为 所以 口 死可( 尼) t x y ( k ) s ) 9 ( s ，y ( s 一7 ( s ) ) ) 击a 薹9 ( s 州s _ 7 ( s ) ) ) 击a u m ( r ) ， a u 击m ( r ) l lt 可1 1 _ 1 一口 盯u m ( r ) ) ) 弘_ 1 罂+ s u pm 刚a 。xt 十“1 u 口= n m i n r a i n 芝 u 一十。k e l “ g ( k ，t t ) g ( k ，u ) i 。= 集合 虱，弘) 中无穷大的个数； j o 。= 集合 岛，) 中无穷大的个数 方程( 2 1 0 ) 至少有i o 个的u 一正周期解； 1 0 硕十学位论文 ( 6 ) 若j o o = 1 或2 ，对于0 入。有 i i 瓦秒l i 1 ly | i 若y o = 0 ，取0 r 2 r l ，当0 0 满足入u e i 1 因此对于可a q ，：和k l ，有a ( k ，可( 南) ) 叼( 尼) 由引理2 2 3 得 1 i l 乃( 秒) i i 0 及e o ，当扎曰时，g ( k ，乱) e 扎，且常数e 0 满 足a u e 击 岔由 引理2 2 3 有 1 l i 乃( 夕) i i a o 时，方程至少有i o 个 u 一正周期解 ( b )取r 1 = 1 ，由引理2 2 4 ，可知存在入o = 丽1 - 5 使得对于y a 孵，和0 a a o ，有 1 i | t xl i 1 ， 因此，对于yea q ，。和k l ，有9 ( k ，( 七) ) 删( 忌) 根据引理2 2 3 知 i i 乃y 则击秒( 尼) a 7 7 u 鲁i i 1 1 1 1 可i i ， 再根据引理1 2 1 知 i ( a ，q k ) = 1 ，t ( a ，q k ) = 0 ， 由不动点指数的可加性知 i ( a ，q ，q k ) = 1 ， 从而乃在q ，瓦上有一不动点，此不动点为方程( 2 1 0 ) 关于0 0 满足 灿e 啬 l 取 一 驴协。，各 因此，对于y 0 1 2 ，。和k l ，有可( 七) 仃i iyi i h ，由引理2 2 2 知 可) i i u e 告 1 1 可 根据引理1 2 1 知 i ( 乃，q k ) = 1 ，t ( 以，q k ) = 0 由不动点指数的可加性知： i ( 瓦，q ，。q 1 ，k ) = 一1 一1 2 硕+ 学位论文 因此a 在q 他面上有一不动点，它是方程( 2 1 0 ) 关于入 的一u 一正周期解 可见当鳊= 及夕。= o o 时，算子a 在q ，。面上有一不动点u l ；在 q r 。面上有一不动点u 2 ，易见u l 钆2 所以，方程( 2 1 0 ) 在0 o ，存在正数7 7 1 ，7 2 ，r l ，r 2 ( r l 0 且 ：k l ，r l g ( k ，u ) c 1 秕 u r 2 假设秒( 南) 是方程的一u 一正周期解，则有a 可( 后) = u ( 后) 由引理2 2 3 知，对于 a a o 全孑1 石- a ， | | = | l 乃钉恰入亡帅恻i ， 上一u 矛盾 若i = o ，那么y o o o ，虿o 。 o 。，则存在正实数e 1 ，e 2 ，r 1 ，r 2 ( r l 0 和 k l ，r l u r 2 ) ) 夕( 庇，u ) 5c 2 u 假设口( 后) 是方程的一u 一正周期解，则有乃u ( 忽) = 口( 七) 由引理2 2 3 知，对于0 a 知全鲁有 i = i i 乃u 临a 而1 u c 2i iul i i iui i ， 1 3 几类差分系统正周期解的存祚：件 这是一个矛盾口 定理2 3 2 假定研，飓成立且i o = i o 。= j o = i o 。= 0 ( n ) 若虿o 乳，对于 1 一盯1、 1 一仃 i 一 a = 一， 0 3 0 2 致 u 夕。 方程( 2 1 0 ) 至少有一个u 一正周期解； ( 6 ) 若野 虿。，对于 1 一仃1， 1 一仃 i 一 a _ = _ ， u 盯鳊 u 9 。o 方程( 2 1 0 ) 至少有一个u 一正周期解 证明：我们只证明情况( a ) ，情况( b ) 的证明类似于( a ) 的证明，略去假设玑 0 使得 1 一盯1 h ，g ( k ，可( 南) ) ( 夕。一e ) 可( 尼) 由引理2 2 3 可得 ，r 2 l ia 怆入u ( 一e ) 南i iyl i l lyi i ， 其中y a q r 2 ，k l 根据引理1 2 1 得 i ( 以，q k ) = 1 ， i ( 乃，qr 2 k ) = 0 由不动点指数的可加性得： i ( 乃，q ，。q l ，k ) = 一1 一1 4 一 寄 a 0 1 = ( 1 + z 佗( 七一7 - ( 忌) ) ) 乱 ( 1 + x n ( 七一7 - ( 忍) ) ) “ ( 1 + x n ( 七一7 - ( 七) ) ) u ( 1 + z n ( 七一7 - ( 尼) ) ) u = 。o ： = 0 ： = o 。： = 0 ：k l ，r 盯u r ：k l ，0 乱r ) 6 1 、 两， 入0 22 1 一盯 a w m ( 1 ) 理2 3 1 方程( 2 1 3 ) 至少有两个周期为4 的正解 一1 5 1 一盯6 1 w m ( 1 ) 1 0 2 4 或0 a a 0 2 = 而1 - - 丽o ，根据定 竺2 n吼 + 3 r l 觚 4 几类差分系统正周期解的存在性 第3 章一类二维的时滞差分系统多个正周期 解的存在性 3 1引言 最近，通过利用各类不动点理论，一些状态依赖的时滞泛函微分方程周期解的存 在性得n - y 研究，见文f 2 0 2 4 1 王【1 1 】利用锥上的不动点定理讨论了下列带参数微分方 程存 z 印) = - a ( t ) f ( x ( t ) ) x ( t ) 一a b ( t ) f ( t ，x ( t 一7 1 ( t ) ) ) ， 在一个，多个及不存在周期解的情况 刘【2 4 l $ 1 j 厍 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究了下列多重时滞非自治微分系统 z 7 ( 亡) = - a ( t ) x ( t ) + f ( t ，x ( t 一丁1 ( t ) ) ，x ( t 一琵( ) ) ，x ( t 一( ) ) ) 周期解的存在性 而周正【2 , 51 研究了方程组的形式：一类二维的状态依赖时滞微分系统 iz ( t ) = 一n 1 ( 亡，z ( t ) ) z ( ) + ( t ，x ( t 一丁1 ( t ，z ( t ) ) ) ，y ( t 一亿( ，可( 亡) ) ) ) ，。 【y ( t ) = - a 2 ( t ，可( t ) ) ! ，( ) + ，2 ( t ，z ( 一n ( ，z ( t ) ) ) ，y ( t 一亿( t ，可( ) ) ) ) ， 、7 多个正周期解的存在性不过这些都是基于连续的泛函微分方程的研究，对差分系 统的研究却很少见，特别是二维的差分系统，本章即来研究类似上述二维微分模型 的离散形式： z ( 咒+ 1 ) 一z ( 佗) = 一。1 ( 死) z ( 咒) + f l ( n , x ( 佗一n ( 佗) ，y ( 佗一死( n ) ) ) ，( 3 2 ) 【可( n + 1 ) 一可( 佗) = - a 2 ( n ) y ( n ) + ，2 ( n ，x ( n 一丁1 ( 佗) ) ，y ( n n ( 佗) ) ) 、7 其中 ( n ) ) 为正的叫一周期序列0 a i ( n ) l ； 兀( n ) ) 为非负整数的u 一周期 序列；六c ( z r + 】2 ，兄+ ) 关于第二个及第三个变量是连续的，且f i ( n + w ，z ，y ) = ( 礼，z ，y ) 成立，其中佗z ，i = 1 ，2 3 2 预备知识 下面介绍一些概念和几个引理： 一1 6 一 硕十学位论文 设x 2 = ( z ，y ) l x x ，y x ) ，i l ( z ，y ) 1 1 2 = 1 lz | l + i i 可l l ，其中x = 乱i 让( n + u ) = u ( n ) ，佗r ) ，i | 札l i = 磐xi 乱( 礼) i ，牡x ，那么x 2 就是以i l 1 1 2 为范 n 数的b a n a c h 空间 引理3 2 1( z ，y ) 是方程组( 3 2 ) 的0 3 - - 正周期解当且仅当( x ，y ) 是如下方程 x ( n ) y ( n ) 竹+ o d - - 1 g 1 ( 佗，s ) ( s ，z ( s 一丁1 ( s ) ) ，y ( s 一他( s ) ) ) ， s = 凡 r l + u 一1 f 的u 一正周期解其中 s = ：n g i ( n ，s ) = g 2 ( n ，s ) 厶( s ，z ( s 一7 1 ( s ) ) ，y ( s 一见( s ) ) ) ， u 一1 n ( 1 r = s + 1 o i ( r ) ) u 一1 1 一兀( 1 一a i ( r ) ) 7 , - - - _ _ 8 + 1 证明：假设( x ，y ) 是方程( 3 2 ) 的周期解，首先用 第一个方程的左右两边，可得 n 一1 南) - 删i if 而 ( 1 一n 1 ( s ) ) 7 。一n ( 1 一n 1 ( s ) ) 将上面的方程从t t 加到n + u 一1 ，可以得到 同理可得 i = 1 2 s = 0 ( 3 3 ) ( 1 一0 1 ( s ) ) _ 1 去乘( 3 2 ) 的 f i ( s ，x ( s 一丁1 ( s ) ) ，可( s 一丁2 ( s ) ) ) ， n - 4 - w - - 1 z ( 佗) = g ，s ) ( s ，z ( s 一丁1 ( s ) ) ，可( s 一丁2 ( s ) ) ) 可( 钆) n + u 一1 = g 2 ( n ，s ) 尼( 叩( s 一7 1 ( s ) ) ，( s 一死( s ) ) ) 因此( x ，y ) 是方程( 3 3 ) 的周期解 反过来，如果( z ，y ) 是方程( 3 3 ) 的解，那么对方程( 3 3 ) 的第一个方程，我们有 由此可得 z ( n + 1 ) = g 1 ( t t ，s ) ( s ，z ( s 一7 1 ( s ) ) ，( s 一丁2 ( s ) ) ) ， n + “，一1 z ( n ) = g ( n ，s ) ( s ，z ( s 一丁1 ( s ) ) ，可( s 一丁2 ( s ) ) ) z ( n4 - 1 ) 一x ( n ) =一n 1 ( n ) z ( n ) 4 - ( 佗，z ( 礼一7 1 ( n ) ，y ( n 一吃( 礼) ) ) 一1 7 一 ( 3 4 ) n n n 鲫 、l ，p 几类差分系统正刷期解的存存性 可见 z ( n ) ) 满足方程( 3 2 ) 的第一个方程，同理 可( 礼) ) 满足方程( 3 2 ) 的第二个方 程因此( z ，y ) 是方程( 3 2 ) 的周期解 口 记 u 一1 n ( 1 一a l ( r ) ) 尬= j 罢丁一， u l 1 一兀( 1 一0 1 ( r ) ) r = 0 n 1 = u 一1 ， 兀( 1 一n 2 ( r ) ) 尬= j 号丁一， _ u l 1 一兀( 1 一o z ( r )