（材料加工工程专业论文）塑性成形有限元方法中数学工具的开发.pdf

摘要 金属塑性成形过程数值模拟，是一个非常活跃的研究领域，同时也是一个 蕴藏着巨大经济效益的领域。它可以缩短新产品设计周期，降低生产成本和提 升产品质量，对机械制造行业的发展具有重大意义。近年来，计算机软硬件技 术、人工智能技术和有限元理论的发展使得计算机有限元模拟在金属塑性成形 过程中扮演着越来越重要的角色。因此，开发专用的塑性成形有限元模拟系统 很有必要。 。本文首先介绍了有限元软件开发的过程，明确了本文是解决求解器中数学 工具的开发问题。运用面向对象语言：c + + 开发了单元计算的矩阵类库。该矩 阵类库实现了单元刚度矩阵中的矩阵计算，可适用于任何单元类型，实现了软 件的重用，降低了开发成本。在此类库的开发中，引用变量的使用，内存动态 分配函数c a l l o c 的使用和内联函数的使用，提高了程序的执行效率。通过一个算 例，验证了该矩阵类库的高效性。 由于整体刚度矩阵具有对称性、稀疏性、带状性和奇异性的特性，通过几 种整体刚度矩阵存储方法的比较得出变带宽存储是一种比较理想的存储方法。 在变带宽存储的基础上，通过算法的改进，使整体刚度矩阵中更多的零元素不 必存储，节约了内存，提高了效率。 通过节点荷载的等效和位移边界条件的处理，使整体平衡方程得到简化。 通过几种整体平衡方程求解方法的比较可知，使用d s s 对称分解法所消耗的机 时是最少的，所需内存单元数也相对较少，综合看来，它是一种比较理想的大 型方程组求解方法。通过算例的演示，证明了该大型整体平衡方程框架建立的 正确性。 关键字：有限元面向对象单元刚度矩阵整体刚度矩阵存储方法整体 平衡方程 a b s t r a c t t h ef i e l do fn u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o rm e t a lp l a s t i cf o r m i n gn o w a d a y si sm o r e a c t i v ea n dm o r ea t t r a c t i v eb e c a u s eo fi t se n o r m o u si m p o r t a n c et ot h ee c o n o m i e so f t h ei n d u s t r i a l i z e dc o u n t r i e s w i t ht h ea p p l i c a t i o no fn u m e r i c a ls i m u l a t i o nt e c h n i q u ei n p r o d u c td e v e l o p m e n t ，d e s i g np e r i o d i c i t yi ss h o r t e n e d ，c o s ti sr e d u c e d a n dq u a l i t yi s p r o m o t e d t h e r ei sg r e a ts i g n i f i c a n c et ot h ed e v e l o p m e n to fm e c h a n i c a lm a n u f a c t u r e i n d u s t r y w i t ht h ed e v e l o p m e n to ff i n i t ee l e m e n tt e c h n i q u e ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o nh a s g r a d u a l l yb e e nt h ep o w e r f u lt o o lf o rp r o c e s sa n a l y s i s a n do p t i m a ld e s i g n i nr e c e n t y e a r s ，t h ed e v e l o p m e n t so fc o m p u t e rh a r d w a r ea sw e l la st h et h e o r yo ff i n i t ee l e m e n t h a v em a d ei tp o s s i b l et h a tf i n i t ee l e m e n ts i m u l a t i o np l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h e p r o c e s so fm e t a lp l a s t i cf o r m i n g t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt od e v e l o ps p e c i a lp l a s t i c f o r m i n gf e ms y s t e m t h ep a p e rf i r s ti n t r o d u c e st h ep r o c e s sf o rt h ee x p l o i t a t i o no ff i n i t ee l e m e n t s o f t w a r ea n dh a sb e e nt h ec l e a rt a r g e tt h a te x p l o i t i n gt h em a t h e m a t i c a li n s t r u m e n tf o r s o l v e r s t h em a t r i xc l a s sl i b r a r yw h i c hh a sb e e ne x p l o i t e dt ou t i l i z et h eo b j e c t o r i e n t e dl a n g u a g e ( c + + ) h a sr e a l i z e dm a t r i xc a l c u l a t i o na n dr e u s ef o re l e m e n t s t i f f n e s sm a t r i x ( t h ee l e m e n tf o r mi so p t i o n a l ) a n dr e d u c e de x p l o i t a t i o nc o s t s u s i n g r e f e r e n c ev a r i a b l e ，d y n a m i cm e m o r ya l l o c a t i o nf u n c t i o n c a l l o cf u n c t i o na n di n l i n e f u n c t i o nc a ni n c r e a s et h ee f f i c i e n c yo fe l e m e n tm a t r i xc a l c u l a t i o n t h ep a p e r i l l u s t r a t e st h eh i g he f f i c i e n c yo ft h i sk i n do fm a t r i xt h r o u g ht h eu s eo fc o m p a r a t i v e e x a m p l e s t h r o u g hc o m p a r i n gs e v e r a lk i n d so fs t o r a g es c h e m e so fg l o b a ls t i f f n e s sm a t r i x ， i tc a no b t a i nt h ec o n c l u s i o nt h a ti ti so n ei d e a ls t o r a g es c h e m et oo n e d i m e n s i o n c o m p r e s s e df o r m a to fc h a n g i n gt h eb a n dw i d t h ，b e c a u s eo ft h ec h a r a c t e r ：s y m m e t r y ， s p a r s e ，b a n d i n ga n ds i n g u l a r i t yi ng l o b a ls t i f f n e s sm a t r i x i m p r o v i n gs t o r a g es c h e m e o fc h a n g i n gt h eb a n dw i d t hm a k e sm o r en u l le l e m e n t sn o tt on e e dt os a v e ，w h i c h s a v e st h em e m o r ya n de n h a n c e st h ee f f i c i e n c y e q u a l i n gn o d el o a da n dd i s p o s i n go f f s e tb o u n d a r yc o n d i t i o nc a ns i m p l i f yg l o b a l b a l a n c ee q u a t i o n t h r o u g hc o m p a r i n gs e v e r a lk i n d so fs o l u t i o nm e t h o d so fg l o b a l 1 1 b a l a n c ee q u a t i o n ，i tc a no b t a i nt h ec o n c l u s i o nt h a ti ti so n ei d e a lm e t h o dt ot h ed s s s y m m e t r i c a lr e s o l v i n gm e t h o df o rs o l v i n gl a r g e - s c a l ee q u a t i o n s ， b e c a u s et h i s s o l u t i o nm e t h o dc o n s u m e st h el e a s tm a c h i n e - h o u ra n dm e m o r y t h ep a p e ri l l u s t r a t e s t h a ti ti sc o r r e c tt oc r e a t et h i sk i n do fl a r g e - s c a l eg l o b a lb a l a n c ee q u a t i o nf r a m e t h r o u g ht h eu s eo fc o m p a r a t i v ee x a m p l e s k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n t ，o b j e c t - o r i e n t e d ， e l e m e n ts t i f f n e s sm a t r i x ， g l o b a l s t i f f n e s sm a t r i x ， s t o r a g es c h e m e ，g l o b a lb a l a n c ee q u a t i o n i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究性工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武 汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 研究生签名：涵 日期 2 0 0 8 0 4 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 研究生签名：洹丝鍪导师签名：二靴日期：2 q q 墨：q 垒 武汉理工大学硕十论文 1 1 引言 第1 章绪论 有限元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 是从应用电子计算机进行结构力学中的 矩阵法计算而发展起来的卜1 。现代有限元方法的发展依赖于计算机科学的发展， 自从第一台计算机投入运行后，人们惊喜地发现结构力学的矩阵表达方法特别适 用于编写计算机程序。为适用于计算机求解问题特点的需要，在有限元方法中广 泛地采用了矩阵方法、矩阵运算和有限元法产生的大量代数方程的求解依赖于电 子计算机。如果没有计算机，要进行高阶的矩阵运算和求解大量的线性方程组是 十分困难的，甚至是不可能的。如果说有限元理论的推导是以矩阵方法为基础的， 那么计算机的出现为有限元方法的发展提供了强有力的保证。 随着计算机的迅速发展，有限元法已成为能处理几乎所有连续介质和场问题 的一种强有力的数值计算方法。该方法的基本思想是卜- ： ( 1 ) 把变形体离散成有限数目的单元体，单元之间只在指定节点处相联系， 再无任何关联，通过这些节点传递单元之间的相互作用。如此离散的变形体，即 为实际变形体的计算模型； ( 2 ) 分片近似，即对每一个单元选择一个由相关节点量确定的函数来近似描 述其场变量( 如位移或速度) ，并依据一定的原理建立各物理量之间的关系式； ( 3 ) 将各个单元所建立的关系式加以集成，得到一个与有限个节点相关的总 体方程。解此总体方程，即可求得有限个节点的未知量( 一般为位移或速度) ， 进而求得整个问题的近似解，如应力，应变等。所以有限元的实质，就是将具有 无限个自由度的连续体，简化成只有有限个自由度的单元集合体，并用一个简单 问题的解法去逼近复杂问题的解。 有限元方法经历了产生、发展和不断完善的阶段，有限元理论与计算机科学 的完美结合成为现代力学的重要标志r 1 。1 9 4 3 年，可朗持限c o u r a n t ) 提出的圣 维南扭转问题的近似解法是第一次用有限元方法处理连续体问题。1 9 5 6 年，特 纳( m j t u r n e r ) 、克劳夫( r w c l o u g h ) 、马丁( r j m a r t i n ) 和托普( lj t o p ) 等人将求解杆系结构的位移法应用于飞机结构的平面应力计算。1 9 6 0 年，克劳 夫正式引用了“有限元方法”这一名称，以区别于有限差分法。从此，有限元方 法开始成为连续体离散化的一种标准研究方法，有越来越多的研究和应用成果在 科学和技术刊物上发表，把有限元理论的研究和应用水平推向了新的高度。我国 武汉理- 大学硕十论文 数学以及力学工作者也为有限元方法的初期发展做出过首创性的贡献，并得到国 际学术界的公认。他们中的杰出代表是陈伯屏( 结构矩阵方法) 、钱令希( 余能 原理) 、钱伟长( 广义变分原理) 、胡海昌( 广义变分原理) 、冯康( 有限元法理 论) 等。1 9 6 3 年以后，人们对有限元法实质的认识有了一个很大的进步。卞学 璜( t h p i a n ) 、贝塞林( j eb e s s e l i n g ) 等人在内的一批科学家开始认识到， 有限元方法实际上是弹性力学变分原理中瑞莱一里兹法的一种形式，从而在理论 上为有限元方法奠定了数学基础。2 0 世纪7 0 年代以后，随着计算机和软件技术 的发展，进入了有限元方法的鼎盛时期。期间对有限元方法进行了全面而深入的 研究，涉及内容有在数学和力学领域所依据的理论，单元的划分原则，形状函数 的选取，各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性，计算机程序涉及技术向 其他领域的推广。由于理论的不断完善和方法的不断改进，作为离散化数值分析 有限元法已成为一门成熟的学科j 并已扩大到其他研究领域并在实际工程中得到 广泛的应用。 经过4 0 多年的发展，有限元法在工程问题的很多领域中得到广泛应用，成 为目前最流行的、卓有成效的解决非线性问题的数值计算方法。它起源于结构力 学，现已广泛应用于传热学、流体力学、生物力学、电磁学、声学等其它数学物 理领域，其软件已成为人们解决复杂工程问题的有力工具。有限元方法的应用已 从结构静力分析发展到动力问题、稳定性问题，从平面问题发展到空间问题、板 壳问题。研究的对象从线弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性、热粘弹性、热 粘弹塑性和复合材料；从小变形的弹性问题发展到大变形的非线性问题；从结构 计算分析、校核问题扩展到结构优化设计问题。可以预计，随着计算机技术的发 展，有限元方法作为一个具有坚实理论基础的数值分析工具，必将在科学技术发 展和经济建设中发挥更大作用。 1 2 塑性成形有限元软件的研究现状及存在的问题 塑性成形是指金属材料在一定外力作用下，利用其塑性而使其成形并获得一 定力学性能的加工方法，即塑性成形一般是在屈服以后断裂以前这一变形范围内 完成【5 吒j 。金属塑性成形方法多种多样，具有各自的特点。大致可以分为两类： 块料成形( 靠体积转移和分配来实现的塑性成形方法，也可以称为体积成形) 和 板料成形( 使用成形设备通过模具对金属板料加压以获得所需形状和尺寸零件的 成形方法，习惯上也称为冲压) 。在金属成形过程中，工件会发生很大的塑性变 形，在位移与应变的关系中存在着几何非线性，在材料的本构关系( 应力应变 关系) 中存在着材料非线性，即物理非线性。成形时所用模具型面的几何形状往 往比较复杂，工件与模具的接触状态不断改变，摩擦规律也难以准确地描述，存 7 武汉理t 大学硕士论文 在着状态非线性。由于以上这些原因，金属塑性成形问题难于求得精确解。金属 塑性成形的分析方法主要有：实验方法，近似或经典的理论分析方法和数值计算 分析方法【7 曲j 。 ( 一) 实验方法 实验研究是最基础的研究方法，即通过系统的物理实验来发现金属塑性成形 过程中的普遍规律，或直接对生产过程进行物理模拟以提供用于设计的经验数 据，以及检验理论计算的结果，评价金属塑性成形的性能。实验方法在应用上存 在两个主要问题，一是实验分析只能在模具力n - t - _ 完成后方可进行，因此，要想进 行系统的实验要消耗大量的人力、物力和时间；二是影响金属塑性成形的因素很 多，诸如摩擦条件，材料性质及几何参数等都对金属塑性成形过程中的金属流动 有影响，在实验分析中很难控制实验条件。因此，实验分析方法在应用范围上受 到了一定的限制。 ( 二) 近似或经典理论分析方法 近似或经典理论分析方法主要是基于金属塑性成形理论及塑性力学理论，对 成形对象建立适当简化的力学模型，求解其内部的应力和应变分布。它主要包括 以下几种方法： ( 1 ) 主应力法；( 2 ) 滑移线法；( 3 ) 上限法； 经典的分析方法在金属成形理论的发展过程中起着一定的作用，为金属成形 模具的设计提供了理论分析的手段，它们可以预测成形载荷，定性地描述金属的 流动模式。但这些方法都有一个共同的缺陷，就是只能分析几何形状简单的零件， 缺乏分析了解诸如接触、摩擦条件，材料性质及工件形状等参数对金属流动特性 的影响。 ( 三) 有限元法 随着计算机技术和塑性理论的发展，有限元法在金属塑性成形领域逐渐得到 应用，极大地促进了金属塑性成形理论的发展。它首先将整个复杂的系统分解成 有限个单元，在单元上作必要的简化，建立所需的数学模型，然后由这些单元重 建原来的系统，在整体上逼近原来的复杂系统。目前，有限元法已成为分析和研 究材料加工中金属塑性成形问题的最主要的数值分析方法之一，因为有限元法有 以下的优点： ( 1 ) 由于单元形状的灵活性，有限元法能适用于任何的材料模型，任意的边 界条件，任意的结构形状。金属材料的各种塑性成形过程，均可利用有限元法进 行分析。 ( 2 ) 有限元法能够较好地处理诸如摩擦接触边界问题，这是其他方法无法相 比的。 3 武汉理工大学硕士论文 ( 3 ) 有限元法能够提供金属塑性成形过程中的详细信息，包括应力场，应变 场，速度场，等效应变分布等。 ( 4 ) 有限元法能够与计算机辅助设计技术相结合，为优化成形工艺参数以及 模具结构设计提供可靠的依据。 ( 5 ) 由于计算过程完全计算机化，可以求解大型复杂制件问题。 正因为有限元法有以上显著优点，有限元方法是目前进行非线性分析的最强 有力的工具，因此也成为金属塑性成形过程模拟的最为流行的方法。 1 2 1 塑性成形有限元模拟软件发展的现状 现今，汽车工业和模具工业都面临着激烈的市场竞争。对于企业来说，一方 面要不断缩短新产品设计研发周期，另一方面又要降低生产成本，提升产品质量。 因此，传统的凭借经验的试错法已经无法满足现代汽车工业的高速发展需要，市 场迫切需要一种新的技术来解决冲压成形中遇到的这些问题。正是在这样的背景 下，数值模拟方法开始引入到金属板料成形的产品研发和模具设计中。目前，日 本汽车工业的新车型开发周期已经缩短到了2 2 个月，而在欧美各大汽车公司， 新车型的丌发周期则缩短到了大约1 8 个月左右。开发周期的缩短在很大程度上 应归功于他们采用了先进的c a d c a m 系统和数值模拟技术( c a e ) 。据保守估 计，在产品研发和模具设计过程中引入数值模拟技术之后，可使模具设计和制造 周期缩短2 5 ，模具生产成本降低1 3 ，进而大大降低整车成本，增强市场的竞争 力。因此，在西方发达工业国家，这项新的技术已经成为提升汽车工业产品开发 能力的关键，成为缩短模具产品研制周期、提高产品质量、降低产品生产成本必 不可少的工具。 国际上早在2 0 世纪5 0 年代术、6 0 年代初就投入大量的人力和物力开发具 有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局( n a s a ) 在1 9 6 5 年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的n a s t r a n 有限元 分析软件。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强 的有限元分析系统。进入2 0 世纪8 0 年代以来，有限元模拟技术及其在板料成形 和体积成形模拟中的应用取得了很大的进展，出现了很多商业化有限元模拟软 件，其中在国际上应用比较广泛的有a b a q u s 、a n s y s 、m a r c 、a u t o f o r m 、 d y n a f o r m 、p a m s t a m p 、d e f o r m 、a u t o f o r g e 等。这些软件绝大部分 都具有完整直观的前、后置处理系统，可以直观地在计算机屏幕上观察材料变形 和流动的详细过程，了解材料的应力应变分布、板厚变化、破裂及皱曲的形成经 过，获得成形所需载荷及零件成形后的回弹和残余应力分布。其中在金属板料冲 压成形模拟领域著名的专业软件有瑞士的a u t o f o r mr ，美国的 4 武汉理。t = 大学硕+ 论文 d y n a f o r m 卜“，法国的p a m s t a m pr 叫等；体积成形模拟领域著名的专业软 件有美国的d e f o r m 和a u t o f o r g e 。它们大多没有很强的几何造型功能，仅 有图形显示、图形操作和简单的图形编辑功能，主要利用图形输入接口来完成模 型设计工作。但一般都提供了强大的前置和后置处理功能，针对性高，使用很方 便，工作效率高，价格也比大型通用软件低廉。 国内高校和研究机构也在有限元模拟软件的研究开发方面做了大量的工作， 通过国家自然科学基金、国家科委、国家8 6 3 计划等项目或部门的大力支持下， 经过十几年的共同努力，在板材成形数值模拟领域的基础研究和软件开发方面都 取得长足的进步，已经有部分高校开发出了具有独立知识产权，初步达到工业化 应用水平的模拟软件。主要包括华中科技大学塑性成形模拟与模具技术国家重点 实验室开发的f a s t e m p 系统r “、吉林大学的k m a s 系统卜叫和北京航空航天 大学开发出的s h e e t f o r m 软件包卜。1 。 f a s t e m p 系统得到国家自然基金、国家十五科技攻关等项目的资助，经过 十几年的研究和积累，已经应用到实际工程问题分析。该系统集动力显式算法、 静力隐式算法、逆算法于一体的板材冲压成形模拟系统，含有弹塑性、粘塑性、 晶体塑性、各项异性屈服理论等材料模型。具有独立的前后处理系统，可以模拟 起皱、破裂、回弹等成形缺陷。逆算法可以应用于模具工艺设计阶段，进行精确 的坯料形状模拟、工艺参数优化、粗略的成形性分析等。 k m a s 系统是在国家自然基金重点项目、国家九五科技攻关重点项目等资 助下，历经近十年的研究开发所完成的汽车覆盖件成形模拟与模具设计系统。它 含有动力显式算法、静力显式算法和逆算法，可以实现复杂冲压件从坯料夹持、 压料面约束、拉深筋设置、冲压加载、卸载回弹及切边回弹的全过程模拟，而且 精度很高。通过独特的数学模型和算法对金属薄板的弹性和塑性变形过程进行定 量分析，准确预示出破裂、起皱、鼓动、回弹等成形缺陷。具有丰富的单元模型、 合理的材料本构模型、准确的各项异性屈服准则，以及完善的前后处理系统 2 0 1 。 s h e e t f o r m 软件包是在国家自然基金和国家8 6 3 计划的支持下，由北京航 空航天大学机械工程及自动化学院飞行器制造工程系与第一汽车集团进行长期 的合作，开发出的静力显式算法成形模拟软件。s h e e t f o r m 集c a d 模型输入、 网格剖分等前处理技术、分析计算和后处理于一体的专门模拟系统。可以模拟弯 曲效应与拉深成形，模拟失稳起皱、材料破裂，可以进行多工步成形模拟。 1 2 2 有限元软件开发的过程和问题 有限元分析过程一般包括3 个阶段：有限元模型建立和数据输入阶段( 又称前 5 武汉理工大学硕十论文 处理) ，有限元分析计算阶段( 求解器) 和有限元分析结果的输出与评估阶段( 又称 后处理) 【17 | 。其中，求解器又分为三个部分，见图1 - - 1 ： 有限 元分 析 前处理 求解器 单元矩阵计算 组装整体刚度矩阵，计算整刚矩 “ 求解线性方程组 后处理 图1 - 1 有限元分析关系图 所以有限元软件的开发过程包括前置处理、求解器和后置处理三个部分。其 中，求解器是有限元软件的一个关键环节，模拟软件的模拟速度主要是受求解器 的制约。所以，求解器的开发至关重要。国内当前的有限元模拟软件都还不够完 善，通常是在别的造型系统上做的二次开发，可移植性较差，影响了软件的实用 性和商业化。所以，增加系统的独立性，是我们今后研究的一个方面。另一方面， 现有的模拟软件求解速度不一，提高有限元软件的运算速度可缩短产品开发周 期，提高劳动生产率，意义重大。 1 3 本文研究的内容及意义 现有的塑性成形有限元模拟系统尽管已经比较完善，有的已经商品化，如 d y n a f o r m 、a u t o f o r m 、f a s t e m p 和k m a s 等可以应用于金属板料成形 领域；d e f o r m 、a u t o f o r g e 等都可以应用于金属体积成形领域。在某些具 体的塑性成形问题( 如环件轧制等) 上，他们并没有优势。例如，现今还没有专 用的有限元模拟软件对环件轧制问题进行模拟。虽然d e f o r m 一3 d 能够进行环 件轧制的模拟，但精度并不高。因此，有必要在已有的研究基础上，开发一套具 有自主知识版权的塑性成形专用有限元模拟系统。以解决诸如环件轧制等的具体 塑性成形问题。如果拥有自己的系统，就可以很方便地作进一步的开发，不断地 完善功能，在这一领域占有一席之地。本文依托华中科技大学塑性成形模拟及模 具技术国家重点实验室的开放课题：“基于逆算多步法的拼焊板冲压模具设计关 键技术研究 ( 编号0 5 - 4 ) ，针对现有有限元软件存在的问题，着力进行求解器 中数学工具的开发。这些数学工具的开发为将要开发的专用塑性成形有限元模拟 6 武汉理：l = 人学硕士论文 系统提供了一个主体框架和平台，为该有限元系统开发做出了基础性的工作。本 文的工作主要内容包括以下方面： ( 1 ) 利用面向对象语言，实现单元刚度矩阵的计算； ( 2 ) 优化整体刚度矩阵存储方式，减少零元素的存储； ( 3 ) 实现整体平衡方程组的求解。 1 4 本章小结 本章首先介绍了塑性成形有限元模拟软件的现状，分析了有限元的发展过程 和最新研究成果，并提出了塑性成形有限元软件需要解决的问题。国内当前的有 限元模拟软件大多是在别的造型系统上做的二次开发，可移植性较差，影响了软 件的实用性和商业化，并且现有的塑性成形有限元模拟软件在某些具体的塑性成 形问题( 如环件轧制等) 上，精度不高。另一方面，现有的模拟软件求解速度不 一，有限元软件的运算速度急需提高，以便缩短产品开发周期，提高劳动生产率。 通过对这些问题的研究一，明确了论文的研究目的：为专用塑性成形有限元模拟系 统开发进行数学工具的开发。 研究内容： ( 1 ) 利用面向对象语言，实现单元矩阵的计算； ( 2 ) 优化整体刚度矩阵存储方式，减少零元素的存储； ( 3 ) 实现整体平衡方程组的求解。 7 武汉理t 大学硕士论文 2 1 引言 第2 章单元刚度矩阵计算的实现 在有限元软件开发中，求解器中单元刚度矩阵计算程序的实现是关键的一 环。单元有很多类型，如：三节点三角形单元、六节点三角形单元、四边形单元、 等参数单元和壳单元等。现今的绝大多数有限元分析软件的单刚矩阵计算都是用 传统的面向过程语言，如f o r t r a n 编写，在将三角形单元的程序变换到四边形单 元时，以前所编制的程序基本上都得重新编写，程序编写效率大大降低。所以， 程序模块的重用是单元刚度矩阵计算程序的一个关键问题。另外，程序执行效率 是影响软件性能的另一个关键伺题。运用面向对象语言开发有限元软件中的单元 刚度矩阵计算程序，可有效解决其重用问题；运用引用变量、内存动态分配函数 c a l l o c 函数和内联函数，可有效地提高单元矩阵计算效率，从而提高有限 元软件执行效率。本章介绍的单元刚度矩阵计算程序是用面向对象( c + + ) 语：言 编写。与传统的面向过程语言编制的有限元程序相比，该法编制的程序执行速度 快、重用性好，易于实现多种类型单元共存的情况，是解决大型有限元程序编制 的有效方法。 2 2 面向对象技术简介 面向对象方法的基本出发点是尽可能按照人类认识世界的方法和思维方式 来分析和解决问题，它与现实世界之间有着自然而直接的对应关系，能很好的仿 真人工系统，模拟现实世界，因此被广泛地引入到很多领域。面向对象方法所强 调的基本原则，就是直接面对客观存在的事物来进行软件开发，将人们在日常生 活中习惯的思维方式和表达方式应用在软件开发中，使软件开发从过分专业化的 方法、规则和技巧中回到客观世界，回到人们通常的思维方式t l s - 2 0 j 。将现实世 界分成不同的对象类( c l a s s ) 如：人、植物、机器等，不同的对象的组合及其相 互作用构成了我们要研究分析和构造的客观世界。 2 2 1 对象 从概念上讲，对象表示正在创建的系统中的一个实体。例如，有限元法中的 节点、单元、荷载等都是对象。这些对象对于实现系统的完整功能都是必不可少 的。从实现形式上讲，对象是状态和操作( 或方法) 的封装体。状态是由对象的 8 武汉理 人学硕士论文 数据结构的内容和值定义的。方法是一系列的实现步骤，它是由若干操作构成的。 对象实现了信息隐藏，对象与外部是通过操作接口联系的。方法的具体实现 对外部是不可见的。封装的目的就是阻止非法的访问，操作接口提供了这个对象 的功能。 对象是通过消息与另一个对象传递信息的。每当一个操作被调用，就有一条 消息被发送到这个对象上。消息带来了将被执行的这个操作的详细内容。一般来 讲，消息传递的语法随系统不同而不同。其组成部分包括：目标对象，所请求的 方法和参数。 2 2 2 类 类是创建对象的模板。它包括着所创建对象的状态描述和方法的定义。类的 完整描述包含了外部接口和内部算法以及数据结构的形式。由一个特定的类所创 建的对象被称为这个类的实例，因此类是对象的抽象及描述，它是具有共同行为 的若干对象的统一描述体。类中包含生成对象的具体方法。 类是抽象数据类型的实现。一个类的所有对象都有相同的数据结构，并且共 享相同的实现操作的代码，而各个对象有着各自不同的状态。因此，类是所有对 象的共同的行为和不同状态的集合体。 2 2 3 面向对象的基本特点 面向对象的基本特点如下【2 1 2 3 ： 1 1 封装性( e n c a p s u l a t i o n ) 封装是描述把对象的属性数据值和功能操作包装在一起构成一个具有类类 型的对象的术语。封装的类有一个类名，程序中由类名说明对象实例。封装和消 息封装将数据结构及其处理操作的描述连接一个根下，对象状态的描述以及状态 的转移只能通过这个对象内部定义的各种操作访问和改变。这样，对象的数据避 免了暴露在对象之外，数据的存储和实现对于其它对象来说是透明的。其他对象 毋需知道其具体实现细节，而只需知道它能做什么。对象与对象之间只能通过消 息进行通讯，而且，这种通讯必须建立一种协议机制。所谓协议，是一个对象对 外服务的说明，它告知一个对象可以为外界做什么，外界对象能够并且只能够利 用该对象发送协议中所提供的消息，请求该对象服务。这种封装与消息机制，将 对象的使用者和对象的设计者分开，实现了信息隐蔽，提高了系统的重用性、可 维护性和灵活性等。 2 1 继承性( i n h e r i t a n c e ) 在现实世界中，许多实体或概念不是孤立的。它们具有共同的特征，但也有 q 武汉理t 大学硕士论文 细微的差别。人们使用层次分类的方法来描述这些实体或概念之间的相似点和不 同点。例如，汽车小轿车丰田，在对象类的关系中，继承类似于上述汽 车的分类关系。只是它是针对类而言的，类可以从另一个类中继承特征，从而实 现已有功能模块的可重用性。一个类从另一个类继承特征，称为派生一个类。所 派生的类称为派生类或子类( s u b c l a s s ) 。其上一层的那个类称为基类或父类 ( s u p e r c l a s s ) 。类的派生过程可以无限下去，派生类在继承基类的特征和功能的 同时，加入其自身的特征和功能，从而实现功能模块的可扩充性。比如，我们可 以通过建立一个单元类( 基类) 来派生出各种具体的单元类( 子类) 如平面单元 类、梁单元类等等而平面单元类( 这时是基类) 又可以派生出三节点平面单元 类、四节点平面单元类等子类。继承机制大大提高了系统的可重用性，派生类可 以继承多个基类，它使得派生类的实例具备更加灵活的、功能更完善的特征，面 向对象系统可以通过继承机制不断扩充功能，而不影响原有系统的运行。 3 、) 多态性( p o l y m o r p h i s m ) 所谓多态，即一个名字可具有多种语义。继承使得新的子类不但自然取得其 父类的所有方法，而且可以定义本身所特有状态和方法，并且可以用同一名字的 不同方法或属性来抑制它的父类中的方法或属性，即称为多态性 ( p o l y m o r p h i s m ) 。多态性就是同种操作具有多种形态。在c + + 中，多态性又被直 观的称为“一个名字，多个函数 。例如，常用的加法，整数相加得到整数，复 数相加得到复数，矩阵相加得到矩阵，同样是加法操作，针对不同的对象可有不 同的操作形态而产生不同的执行结果。这一种多态性在c + + 编程中称为操作符 重载( o v e r l o a d i n g ) ，从同一基类派生而来的子类，具有名称相同但内容不完全 相同的某种操作( 函数) ，则是另一种多态性。例如，对于从同一个基类图形类 派生出来的两个子类，三角形类和圆形类有名称相同的操作( 函数) 求面积，但 三角形和圆形要采用各自的计算公式。 在c + + 中，多态性的实现与联编这一概念相关。将一个操作函数调用连接上 相应函数体的代码这一过程被称为函数联编( 简称联编) 。c + + 中，有两种联编 形式：静态联编和动态联编。静态联编对应于上述的前一种多态，动态联编则对 应于上述的后一种多态。静态联编在程序被编译时进行，而动态联编直到程序运 行时才能确定调用哪个函数。 静态联编所支持的多态性称为编译时多态。对调用重载函数的代码进行编译 时，编译器根据调用重载函数所使用的实参类型，在编译时就确定下来应该调用 哪个函数。动态联编所支持的多态性称为运行时多态性，这需要通过继承和虚函 数来支持。程序运行中将根据不同的子类来确定应该调用哪个操作函数。对象的 功能执行是在消息传递时确定的，即在运行时( 而不在编译时) 才按照具体数据类 1 0 武汉理工人学硕士论文 型和参量确定选用哪一个操作，实现动态连接，这样可以提高程序设计的灵活性。 上述这些概念在后面的有限元程序设计时将得以具体体现。 4 ) 模块性( m o d u l a r i t y ) 一个对象是可以独立存在的实体，其内部状态不受或少受外界的影响，以便 能够根据需要自由的为各个不同的软件系统所复用。 2 2 4 面向对象方法和面向过程方法的比较 面向过程和面向对象是两种相反的编程方法。传统的面向过程编程方法，如 f o r t r a n 、c 语言等，它们对问题域的认识和描述不是以问题域中的固有的事物作 为基本单位，并保持它们的原貌，而是打破了各项事物之间的界限，在全局范围 内以功能、数据为中心进行分析i 矧。以有限元分析为例，面向过程程序把有限 元分析过程看作一些功能和子功能的组合，将数据流的加工和处理作为考虑重 点。这样的分析结果不能直接反映实际情况，容易隐藏一些对问题域的理解偏差， 与后续开发阶段的衔接就比较困难。在进行大型有限元分析时，由于数据量巨大， 这种采用数据流为对象的编程思想，使得前面程序的一点小错误就可导致后面所 有程序的崩溃，不利于程序的扩充。而且用此法编制的程序很不利于代码的重用， 不利于在此基础上进行再次开发。例如，在单元计算中，将三角形膜单元的程序 变换到四边形单元时，以前所编制的程序基本上都得重新编写，代码的可重用率 太低，这将是程序员的一个沉重负担。 下表是两种编程方法的语义比较： 表2 1 面向过程方法编程与面向对象方法编程的比较 面向过程方法面向对象方法 数据结构+ 算法= 程序设计以对象为中心组织数据与操作 数据 对象的属性 操作对象的服务 类型与变量类与对象实例 函数( 过程) 调用 消息传递 类型与子类型一般类与特殊类，继承 构造类型整体部分结构 指针关联 可见，编程语义提升带来了解决问题的思想观念的提升：从数据与操作紧密 结合的对象出发，认识问题域，并以对象作为构成系统的基本单位。而这种面向 对象思想是通过支持封装、继承、多态的机制来保证实现。 使用面向对象的方法构建软件系统具有以下优点【2 5 嗡】： 武汉理一 人学硕士论文 1 ) 充分运用人类惯常的思维方法，强调运用人类在日常的逻辑思维中经常 采用的思想方法与原则，例如抽象、分类、继承、聚合、封装、关联等等。这使 得软件开发者能更有效地思考问题，并以其他人也能看得懂的方式把自己的认识 表达出来。 2 ) 用类和对象作为系统的基本构成单位，对象对应于问题域中的事物，其 属性与服务刻划了事物的静态特征和动态特征；它们之间的继承关系、聚合关系、 消息和关联如实地表达了问题域中事物之间实际存在的各种关系。因此，无论系 统的构成成分，还是通过这些成分之间的关系而体现的系统结构，都可直接地映 射问题域。 3 ) 通过把易变的数据结构和部分功能封装在对象内并加以隐藏，一是保证 了对象行为的可靠性；二是对它们的修改并不会影响其他的对象，有利于软件的 维护，对需求变化有较强的适应性。 4 ) 把对象的属性和操作捆绑在一起，提高了对象( 作为模块) 的内聚性，减 少了与其他对象的耦合，这为复用对象提高了可能性和方便性。 2 2 5 面向对象的程序设计 1 ) 算法与数据结构 面向对象的程序设计的本质是把数据和处理数据的过程当成一个整体对象。 因此，面向对象的程序设计的基础是类。类是c + + 的基本单元，它是由结构型数 据演化而来的。结构型数据是将事物用几种基本数据类型作为整体来描述某一事 物。如人的结构型数据可描述为 s t r u c tp e r s o n c h a rn a m e 2 0 ；i n ta g e ；f l o a tw e i g h t ；f l o a th i g h t ； 结构型数据比用基本的实数、整数来描述事物要先进一步，这是一般结构化 语言对事物的描述方式。类是结构型数据的进一步演化。类结构是将描述事物的 数据和处理数据的函数作为整体来描述事物。类结构是软件方法的发展必然，较 早的软件开发用结构化设计方法。程序的定律是：程序= ( 算法) + ( 数据结构) ， 即算法是程序的独立体。数据结构也是一个独立的整体。两者分开设计，以算法 为主。随着时间的流逝，软件工程师越来越注重于系统整体关系的表示和数据模 型技术。即把数据结构与算法作为一个独立功能模块程序定律被重新认识为： 程序= ( 算法+ 数据结构) ，即算法与数据结构是一个整体。算法总是离不丌数 据结构，算法含有对数据结构的访问，算法只能适用于特定的数据结构。这是面 向对象的程序设计的基础，在面向对象中算法与数据结构被捆绑成一个类。从这 1 2 武汉理工大学硕+ 论文 样的角度看问题，就不用为如何实现通盘的程序功能费尽心机。现实世界本身就 是一个对象的世界，任何对象都具有一定的属性与操作。也就总是能用数据结构 与算法两者合一地来描述。这时候，程序被视为：对象= ( 算法+ 数据结构) ，程序 = ( 对象+ 对象+ ) 。即程序就是许多的对象的组合，而对象又是一个个程序实 体。人们不再静止的去看待数据，而把它看成是程序的单位，一个程序的分子或 对象。它本身不但包含算法而且包含数据结构，对象中可以包含小的对象，它也 可能含于其它对象之中。 2 ) 面向对象分析和设计 面向对象分析的目的是完成对问题空间的分析和建立系统模型。其具体任务 是确定和描述系统中的对象、对象的静态特性和动态特性，对象间的关系及对象 的行为约束等。其主要内容归结为静态结构分析和动态行