（计算数学专业论文）光子晶体器件数值模拟的dirichlettoneumann方法.pdf

摘要 摘要 光子晶体是近年来被广泛研究和应用的新型周期性人造材料。由于介电 常数的周期性，光子晶体存在不寻常的散射性质和频率隙，也就是说某些频 率的光不能够穿过光子晶体，这使得它拥有了非同凡响的控制和操纵光的特 殊能力。这些性质已经被用来设计和制造光子晶体器件，例如波导管弯曲，波 导管分支，频率滤波器，波导管连接，m a c h z e h n d e r 干涉计，等等。有很大机 会这些器件都将会成为集成光路的基本组成部分，从而被希望在未来的某一 天能够取代集成电子线路。 在设计和优化光子晶体器件的过程中，数值方法是非常重要的，它被刚来 有效地分析光子晶体的基本性质以及模拟光子晶体器件的特性。传统的数仇 方法有着各种局限性，比如时间域下模拟的时域有限差分方法，它对脉冲的 传播这类问题很有效，但是对传输和反射光谱这样在频率域下能被更自然模 拟的问题，就不方便了；标准的频率域下模拟的数值方法，例如有限元方法， 它又常常导致要解一个巨大的，复的，非h e m i t i a i l 的，不定的但是稀疏的线性 问题。直接解是非常不划算的。迭代法又收敛得很慢而且常常刁、= 收敛。现有的 预处理技术对不定的问题又不是很有效。 在这篇论文中，基于d i r i c h l e t t o n e u m a n n ( d t n ) 映射，我们发展出一种新 的高效数值方法来精确模拟二维光子晶体器件。在这里，我们利用了频率域 下模拟的一个重要优势，就是容许利用结构的几何特征。光子晶体器件往往 是由光子晶体上的缺陷构成的，这使得结构中有很多相同的单元品格，很多 时候，常常只有两种不同的单元品格：规则的和有缺陷的。我们就使用单元 晶格的d t n 映射来利用这个特点，从而发展出我们的算法。单元品格的d t n 映 射就是一个算子，这个算子把晶格边界上的波动场映射成它自己的法向导数， 并且d t n 映射可以很容易地用一个矩阵来近似。有了d t n 算子，我们避免了计 算晶格内部的波动场，只需要计算晶格边界上的波动场，这使得未知数数量 极大地减少，只需要在每个单元晶格上使用1 0 到1 5 个未知数就够了，而为了得 到相同的精度，标准的有限元，有限差分方法需要在同样尺寸的单元品格上 选取几百个未知数。 摘要 针对特别大型的光子晶体器件，我们还引入了算子推进( o p e r a t o rm a r c h i n g ) 方法和b l o c h 模展开技术来加速我们的运算。算子推进方法用在至少有部 分结构的主传播方向能确定的情况下，b 1 0 c h 模展开方法用在沿主传播方向部 分结构有周期性的情况下。在含有几千个单元晶格的大型结构上，标准的有 限元和有限差分方法已经无能为力了，而我们通过对主传播方向能确定的器 件并入算子推进( o m ) 方法，对沿主传播方向的局部周期性的结构并入b l o c k 模展开技术，使得d i r i c h l e t t o n e u m a 皿方法的高效性能更加突出。 有了光子晶体器件，把光有效地输入和导出光子晶体器件也是重要的课 题。在如何设计光子晶体波导管和普通波导管的连接或光子晶体波导管与均 匀介质的连接上，我们的d i r i c h l e t - t o n e u m a n n 方法继续有着出色的发挥。最后 我们还用d t n 方法成功展示了光子晶体独特的和反常的折射性质。 关键词：光予晶体，数值方法，d i r i c h l e t t o n e u m a n n 映射，算子推进，b l o c h m o d e 展开 i i a b s t r a c t a b s t r a c t p h o t o n i cc r y s t a l s ( p h c s ) a r ei m p o r t a n ta n i f i c i a lm a t e r j a l s i nr e c e n ty e a r s ，m c y h a sb e e ne x t e n s i v l ys t u d i e db o m t h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l i y ，d u et ot h e i ru n u s u a l d b i l i 妙t oc o n n o la n dm a n i p u l a t el i g h t b e c a u s eo ft h ep e r i o d i c i t yo ft h ed i e l e c t r i cc o n s t a n t ，p h c se x h i b i tu n u s u a ld i s p e r s i o np r o p e n i e sa n df t e q u e n c yg a p si nw h i c hp r o p a g a t i n gb l o c hw a _ v e sd on o te x i s t t h e s ep r o p e n i e sh a v eb e e nw i d e l yu s e dt od c s i g n p h o t o n i cc 巧s t a ld e v i c e s ，s u c ha sw a v e g u i d eb e n d s ，b r a n c h e s ，f r e q u e n c yf i l t e r s ，w a v e g u i d ec o u p l e r s ，m a c h - z e h n d e ri n t e r f e r o m e t e r s ，e t c t h e ya r ei m p o r t a n tb u i l d i n g b l o c k s o fi n t e g r a t e do p t i c a lc i r c u i t s n u m e r i c a lm e 山o d sa r ee s s e n t i a jt 0 柚a j y z eb a s i cp r o p e n i e so fp h o t o n i cc r y s t a ls a n dt od e s 追na n d o p t i m i z ep h o t o n i cc r y s t a ld e v i c e s m a n yp h cd e v i c e sa r es i m u l a t c ( 1 i nt i m ed o m a i n ，f o re x a m p l e ，b yt l l ef i n i t ed i f 伦r e n c et i m ed o m a i n ( f d t d ) m c t h o d f o rs o m ep r o b l e m s ，s u c ha s 山ep r o p a g a t i o no fap u l s e ，t i l et i m ed o m a i nm e t h o d sa 1 c e s s e n t i a l o t h e rp r o b l e m s ，s u c ha st h et r a n s m i s s i o na n dr e f l e c t j o ns p e c t r a ，a 1 en 1 ( ) r c n a t u r a l l yf o 哪u l a t e di nm ef 沱q u e n c yd o m a i n h o w e v e r e v e nf o rt w o d i m e n s i o n a l ( 2 d ) p r o b l e m s ，s t a n d a r dn u m e r i c a lm e t h o d sf o rf r e q u e n c yd o m a i nf o m u l a t i o n s ，s u c h a st h ef i n j t ee l e m e n tm e t h o d ，o f 记ng i v er i s et ol a 唱el i n e a rs y s t e m st h a ta r ec o m p l c x ， n o n h e m l i t i a n i n d e f i n i t eb u ts p a r s e t h e s es y s t e m sa r ee x p e n s i v et os 0 1 v eb yd i r c c t m e t h o d s i t e r a t i v em e m o d so f t e nh a v eav e 巧s l o wc o n v e 唱e n c ea j l de v e nf a i j t oc o n v e r g e ，s i n c ee x i s t i n gp r e c o n d i t i o n i n gt e c h n i q u e sf o ri n d e 行n i t e1 i n e a rs y s t e m sa r en 1 l v e 巧e 胞c t i v e i nt h i st h e s i s a ne f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o db a s e do nt h ed i r i c h l e t t o n e u m a nn ( d t n ) m a p so ft h eu n i tc e l l si sd e v e l o p e df o ra c c u m t es i m u l a t i o n so ft w o d i m e n s i o n a i p h o t o n i cc 巧s t a l ( p h c ) d e v i c e si nt h e 觚q u e n c yd o m a i n w 色u s i n gt h ei m p o r t a n t a d v a n t a g eo ff b q u e n c yd o m a i nf o m u l a t i o n s ：t h e ya l l o wu st ot a k ea d v a n t a g eo ft h c g e o m e t r i cf e a t u r e so ft 1 1 es t r u c t u r e c o n s i d e ra2 dp h cc o m p o s e do fal a t t i c eo fi n - f i n i t e l yl o n ga n dp a r a l l e lc y l i n d e r si nah o m o g e n e o u sb a c k g r o u n d ，s u c ha sa j 卜h 0 1 e sin ad i e l e c t r i cm e d i u mo rd i e l e c t r i cr o d si na ir f b rf 琵q u e n c i e si na b a n d g a p ，m i c r o c a v i i i a b s t r a c t i t i e sa n dw a v e g u i d e sc a j lb ed e v e l o p e db yi n 仃0 d u c i n gp o i n ta 1 1 d1 i n ed e f e c t s 卸dt 1 1 e y c a nb ef u n l l e rc o m b i n e dt op r o d u c e l r i o u sc o m p 伽e n t sa 1 1 dd e v i c e sw i 山m a n yd i f f 酐 e n tf u n c t i o n s w h e nc a v i t i e sa n dw a v e g u i d e sa r ei n t r o d u c e da sp o i n ta n dl i n ed e f 色c t s ， t h es t i u c t u r el o s e si t sp 舐o d i c i t y ，b u ti ts t i l lh a sm a n yi d e n t i c a lu n i tc e l l s v e d ，o f t e n ， t h e r ea r eo n l yt w od i f f e r e n tt y p e so fu 血tc e u s ：m er e g u l a u ru n i tc e l la n d 山ed e f e c tu 1 1 i t c c l l o fc o u r s e ，t h ew a v ef i e l d sa r ed i f 艳r e n to nd i f f 色r e n tc e l l s ，b u ti ti sp o s s i b l et ot a k e a d v a n t a g eo ft h em a n yi d e n t i c a 】c e l j sb yu s i n gt h e i rd i r i c h l e t t o n e u m a n n ( d t n ) m a p s t h ed t nm a po fau n i tc e l li sa no p e r a t o rt h a tm a p st h ew a v ef i e l do nt h eb o u n d a r yo f t h ec e ut oi t sn o m a ld e r i v a t i v e ，a n di tc a nb ea p p r o x i m a t e db yas m a l lm a t r i x u s i n g t h ed t nm a p so ft h er e g u l a ra n dd e f e c tu n i tc e l l s ，w ec a na v o i dc o m p u t a t i o n si nt 1 1 e i n t c r i o r so ft h eu n i tc e l l sa n dc a l c u l a t et h ew a v ef i e l do n l yo nt h ee d g e s t h i sg i v e sr i s e oas i g n j f i c a n cr e d u c t i o ni nm et o t a ln u m b e ro fu n k n o w n s r e a s o n a b l ya c c u r a t es 0 1 u - t i o n sc a nb eo b t a i n e du s i n g1 0t o1 5u n k n o w n sf b re a c hu n i tc e l l i nc o n t r a s t ，s t a n d 删 n n i t ee l e m e n t ，6 n i t ed i f f 色r e n c eo rp l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d sm a y r e q u i r eaf e w h u n d r e d su n k n o w n sf o re a c hu n i tc e l ja tt 1 1 es 锄el e v e lo fa c c u r a c y f o rm o r ec o m p l i c a t e dp h o t o i l i cc r y s t a ld e v i c e s ，m e r ec a nb es e v e r a lt 1 1 0 u s a n d s o fu n i tc e l l si nt h et r u n c a t e dd o m a i n w - ed e v e l 叩a i li m p r o v e dd i r i c h l e t - t o n e u m a i l n m a pm e t h o db yi n c o 印o r a t i n ga no p e r a t o rm a r c h i n g ( o m ) m e m o df o rd e v i c e sw h e r e a1 1 1 a i np r o p a g a t i o nd i r e c t i o nc a nb ei d e n t i 右e di na tl e a s tp a r to ft h ed e v i c ea n db 1 0 c h m o d ee x p a n s i o n sf o rs t r l 】c t u r e sw i t l lp a n i a lp e r i o d i c i 哆a l o n gt 1 1 em a i np r o p a g a t i o n d i r e c t i o n i nt h es i m u l a t i o no fm u c hl a 唱es t r u c t u r e s ，s t a n d a r df i n i t ee l e m e n t0 rf i n i t e d i f 俺r e n c em e t h o da r ep r o h i b i t i v e j ye x p e n s i v e b u to u rd t n m a p m e t j l o di n c o 叩o r a t i n g a no p e r a t o rm a r c h i n gm e t h o da n db l o c hm o d e e x p a n s i o n si ss t i l le 伍c i e n ta n df l e x i b l e t br e a “z em a n ya p p l i c a t i o n so fp h o t o n i cc d ，s t a l s ，i ti si m p o n a n tt 0h a v ee 伯c i e n t c o u p l i n go fl i g h tb e t w e e nap h cw a v e g u i d ea n dad i 能r e n ts t 九l c t u r es u c ha s 丘e es p a c e ， ac o n v e n t i o n a lw a v e g u i d ea n dad i f ! f e r e n tp h cw a v e g u i d e o u rd i r i c h l e t t o n e u m a n n m a pm e t h o d si sa l s oe 所c i e n tt oa n a l y z et h e s ec o u p l e r s i nt h ef i n a lp a r to ft h i st h e s i s ， w es i m u l a t et h ea b n o m l a lr e f a c t i o np h e n o m e n o no fp h o t o n i cc d ，s t a l s i ( c y w o r d s ：p h o t o n i cc d r s t a l ，n u m e r i c a lm e t l l o d ，d i r i c h l e t t o - n e u m 猢m a p ，o p e r a t o rm a r c h i n g ，b l o c hm o d ee x p a n s i o n 插图 插图 l ，l 从左到右：1 维，2 维，3 维光子晶体的简单例子 1 2 多层胶片 1 3 2 维光子晶体 1 4 w o o d p i l e 1 5 周期性电介质波导管 1 6 光子晶体厚片 1 7 光子晶体纤维 2 1 正方形单元晶格 13 2 2 两个相邻的正方形单元晶格1 6 2 3 线缺陷波导管的一个周期 18 2 4 线缺陷三角形栅格光子晶体波导管的一个周期 2 3 2 5 9 0 。光子晶体波导管弯曲的计算域。 2 5 2 69 0 。光子晶体波导管弯曲的传输和反射光谱。2 6 2 7 9 0 。光子晶体波导管弯曲在叫口( 2 7 r c ) = 0 3 5 3 时的电场图 2 7 2 8 9 0 。子晶体波导管弯曲在u o ( 2 7 r c ) = 0 4 2 时的电场图 2 7 2 9 连接波导管的微型空腔 2 8 2 1 0 连接波导管的微型空腔的传输谱 2 8 2 1 1 连接波导管的微型空腔在u o 2 7 r c = 0 3 8 6 7 2 时的电场量图 2 9 2 1 2 连接波导管的双微孔 3 0 2 1 3 连接波导管的双微孔结构的传输谱 3 0 2 1 4 连接波导管的双微孔结构的传输谱在叫口2 丌c = 0 3 8 4 1 5 时的电 场量图 3l 2 1 5 接波导管的双微孔结构的传输谱在u o 2 7 r c = 0 3 8 9 4 5 时的电场 量图 3l 2 1 6 光子晶体波导管y 分支，左侧和右侧波导管分别对应端口l ，2 ，3 3 2 2 1 7y 分支的传输和反射光谱 3 2 v i i i 插图 2 1 8y - 分支在u q 2 7 r c = 0 4 2 时的电场量图3 3 2 1 9 光子晶体波导管t 分支，左侧和右侧波导管分别对应端口l ，2 ，3 3 4 2 2 0t - 分支的传输和反射光谱3 5 2 2 lt - 分支在u o 2 丌c = 0 4 0 时的电场量图 3 6 2 2 2 含有一个短桩的光子晶体波导管，短桩中有两根半径为的介 质棒 3 7 2 2 3 含有一个短桩的光子晶体波导管在不同时的传输光谱 3 7 2 2 4 含有一个短桩的光子晶体波导管在u 口2 7 r c = 0 3 5 6 ，n ，= 0 5 时 的电场量图 3 8 2 2 5 含有一个短桩的光子晶体波导管在u 口2 7 r c = 0 3 1 1 ，亿r = 0 5 时 的电场量图 3 9 2 2 6 含有两个短桩的光子晶体波导管，短桩中有两根半径为n 的介 质棒，两个短桩之间的三根介质棒的半径为7 。 3 9 2 2 7 含有两个短桩的光子晶体波导管在不同7 。时的传输光谱 4 0 2 2 8 含有两个短桩的光子晶体波导管在u 口2 丌c = 0 3 7 2 ，n r = 0 4 5 ，r e 打= 1 2 时的电场量图 4 0 2 2 9 含有两个短桩的光子晶体波导管在u o 2 7 r c = 0 3 6 5 6 ，n r = 0 4 5 ，r = 1 2 时的电场量图 4 l 2 3 0 有一个空腔或特殊介质棒在中心的6 0 。波导管弯曲的计算域 4 l 2 3 l 有一个特殊介质棒在中心的6 0 。波导管弯曲取不同e 。的传输光谱 4 2 2 3 26 0 。波导管弯曲( 有一个空腔) 在共振频率下的电场量图4 2 3 1 算子推进方法的几何图示 4 7 3 2 基于三角形栅格中光子晶体波导管的m a c h z e h n d e r 干涉计，由 文章 1 0 】提出 5 2 3 3 m a c h z e h n d e r 干涉计( f i g 3 2 中所示) 的4 个端口的标准化输出 功率 5 6 3 4 基于方点阵中光子晶体波导管的m a c h z e h n d e r 干涉计，由文 章【i o 】提出 5 6 3 5 m a c h z e h n d e r 干涉计( f i g 3 4 中所示) 的4 个端口的标准化输出 功率 5 7 插图 4 1 光子晶体波导管和其它不同结构的连接示意图 5 8 4 2 间断附近的网格点 6 0 4 3 线缺陷光子晶体波导管的一个周期( 基于方点阵排列的光子晶 体) 6 5 4 4 普通介质波导管和光子晶体波导管的连接 6 8 4 5 传输和反射光谱 6 8 4 6 光子晶体波导管和自由空间之间的7 层长，宽w d 的锥形结构 6 9 4 7 不同以及没有锥形结构的光子晶体波导管的传输光谱 7 l 5 1 光子晶体材料 7 5 5 2 光子晶体材料的超折射现象 7 5 5 3 光子晶体材料的超折射现象 7 6 x 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：蛳 2 0 9 7 年午月3 d 日 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1光子晶体 光子晶体是一种低损耗的周期的电介质，它能够广泛用来控制和操纵光 的传播。 j o a n n o p o u l o s 等在他的书【2 】中对光子晶体有详细的描述。以已经成功利川 的电子材料为例，在电子材料中，晶体是原子或分子的周期性排列，原子或分 子重复出现形成的图形就叫做晶体点阵( 或品格) ，其中晶体对电子在它内部 的传播呈现出周期势，而晶体的成分和点阵的几何形状决定了品体的传导性 质。点阵可以阻止某一些某一些波的传播，这样在晶体的能带结构中就可能 会存在间隙，这意味着某些能量的电子在某些方向上不能传播。如果点阵的 位势足够强，间隙可以覆盖所有可能的传播方向的话，就形成了完全能带隙。 例如，半导体就有一个完全能带隙。 在光学上，电子材料的相似物就是光子晶体。其中的原子和分子被不i 卅介 屯常数的肉眼可见的材料代替，周期势被周期的电介质函数( 或称周期的折 射率) 取代。如果晶体中原料的介电常数差别充分大，并且原料对光的吸收很 小，那么各个边界面上光的折射和反射将表现出和光子一样的现象。因此，光 子晶体，这种低损耗的周期性电介质，就可以作为控制和操纵光的一种材料。 我们可以设计和建造存在能带隙的光子晶体，它能阻止一些特殊频率的光在 某些方向上的传播。如果在一些频率域上，一种光子晶体能在所有方向队i 匕 任何源发出的电磁波的传播，我们就说这个晶体存在完全光子能带隙。一个 存在完全能带隙的晶体肯定是一面全方向反射镜，反之则不一定。 举最简单的例子，如f i g 1 1 所示，从左到右分别是l 维，2 维，3 维的光予i 讯 体。 1 1 1 一维光子晶体 最简单的光子晶体，如f i g 1 2 所示，是由不同介电常数的材料交互叠j j i l 行 成的多层胶片，这个概念最早由l o r dr a y l e i g h ( 1 8 8 7 ) 提出。对一个特别域内的 频率，这利- 光子晶体可以起到反射镜的作刚( b r a g gm i r r o r ) ，并且当结构- i 有任 第】章绪论 移向醪 图1 1 从左到右：l 维2 维3 维光子品体的简卟例子 十的献陷时，它能使光停留在那个地方。 图12 多层腔片 1 12 二维光于晶体 二维的光子品体是在两个方向卜周期，而在第= 个方向上同质。典型的例 f 如f 1 2 】3 所示： 厅g i3 中的光了晶体由介质棒的方点阵构成，我们想像介质棒有无穷长。 、介质捧之间的间距取某蝗值时，品体在x v 平面e 就能存在光子能带隙。在 这个能带隙中，入射光将被反射，不能在品体中传播。与多层胶片不同，2 维 光r 品体能阻止光在任竹方向t 的传播。因此，我们可以用2 维光于晶体设计 第l 章绪论 国1 j2 维光了晶体 出很多的光学器件，如波导管弯曲，分支，干涉计，滤波片，等等。如何订敛 模拟这些2 维光子晶体器件将是这篇论文的主要内容。 113 三维光子晶体器件 三维光子晶体是在3 个轴向上都是周期的电介质结构。与维和二绯j tr 品体相比，在能带隙，块陷模，表面状态上，二三维结构有很多新奇的性赝。i 中f 填i4 中表不的是具有完拿能带隙的2 种结枷w o o d p l l e 。 图14w o o d 口】1 c 三维的光予品体能在所柯的3 个方向| 二限制光，合适的村料能够把光求删 3 帮l 章绪论 礼卟单宅腔附近，或者引导它沿着一条特别的导管前进菩等。 1 14 周期性电介质波导管 前嘶我们介绍了三维的光子晶体。然而事实上制作在3 个方向上都是周期 的结构是， 毫舄琶固憩憩岛 图1 s 周期性f h 舟质波导管 f l g i5 所示的是在传播方向上周期，但是厚度和宽度有限的周期性电 介质波导营。它通过传播方向上的光于能带隙以及另两个方向上的m d c x 出j 1 d l n 2 原理米限制光传播。 115 光子晶体片 业近一步，在两个方向上周期，而厚度有限的结构就是光予品体片。 如j 1 21l5 所h i ： 遵 图1 6 光子晶体厚片 他们不是前面的2 维光子晶体但是有类似之处。z 方向上的有限厚度导 投产生了很多新的性质。光子品体厚片上的缺陷能够用米形成波导管和空腔。 柯了这蝗摹本结构，利用基于2 维图形的乎板印刷技术，很多有趣的器件在实 验室中被制造出来。 第1 章绪论 116 光子晶体纤维 现代通讯技术中垃重要的管道就是光纤，引导光传播的一根长长的玻璃 丝。典型的光纤由t 1 ，央核心和介电常数稍微低一些的覆层构成。覆层包班鼾 核心，通过m d e xg u l d l n g 米限制光。 利用光子晶体，我们可以找到新的纤维工作方式更进一步的减少能艟缸i 耗，鄢就是在覆层中井入周期性的结构，叫做：光了晶体纤维，如f i 2 lj6 国 围1 7 光了晶体纤维 12 麦克斯韦方程组 12 1 麦克斯韦方程组 我们考虑线性电磁波( 包括光波) 在各向同性，非色散，非磁性，不化泞 无电流和电荷的介质中传播。则电场占和磁场形满足下晰的麦克斯市力，自【： v 。筹 “， v 货= ：蓑 “! ， 可f ! 引= 0 ， 3 j v ( 饼) = 0 4 l 电场占和磁场钟是依桢空间变量。m 。和时问的3 维向量a 参数：和p 酃址 拙述介质的特性。特别的，我们假定介质是非磁性的，刚有 第1 章绪论 这是真空中的磁导率。另一方面，e 是介质的电容率，我们有 = e o e r = o n 2 其中 e o = 8 8 5 4 1 9 1 0 1 2 c 2 m 2 是真空电容率，岛是介质的电容率，佗是介质的折射率，定义为： c o 印e e dd ，z i 夕 亡t nu 口c u u 7 7 i n2i 2 顽嘉万面赢丽石而 c s p e e 口dr z 口凡cz nc 凡er n e d z t 工竹l 真卒中的光速c 0 与卢。和o 有关， c 0 = _ 三兰= = 2 9 9 7 9 2 5 1 0 8 m s 、p o o 在国际单位制中，有一些基本的单位：m 表示长度中的米，幻表示质 紧中的千克，s 表示时间中的秒，4 表示电流中的安培，等等。用这些基 木单位可以表示很多的导出单位，比如在这里，表示力中的牛顿，并 且= 幻m s 2 ，c 表示电荷中的库仑，并且c = s a 。 。般说来，折射率n 是空问变量z ，y ，z 的函数，因此，( 1 3 ) 和( 1 4 ) 可以改写 成： v ( n 2 矽) = o ， ( 1 5 ) v 形= 0 ，( 1 。6 ) 1 2 2 频率域麦克斯韦方程组 很多情况下，我们考虑时间谐波，也就把时间变量分离出来，如下所示： 夕= 觑 e e 一如。) ，澎= r e 日e 一妇0 ，其中u 是角频率并且u = 2 丌，是频率，用赫兹表示。这样麦克斯韦方程组就 6 第1 章绪论 变成： v e = z u p o 日， v 日= 一o 礼2 e ， v ( n 2 e ) = 0 ， v 日= 0 ， 上面的方程组就叫做频率域麦克斯韦方程组。 ( 1 7 ) ( i 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 1 2 3 均匀介质下的简化 在这一小节中，我们首先考虑麦克斯韦方程组在最简单的均匀介质巾的 简化，那就是说n = 佗( z ，z ) 仅仅是一个常数。在这种情况下，条件v ( n 2 e ) ：二 0 可以写成v e = 0 ，如果我们取e q ( 1 7 ) 的旋度，可以得到： v ( v e ) = v ( v e ) 一e = 一e = i u p o v 日= 一i u p o z u o n 2 e = u 2 ，0 e o n 2 仃 这意味着e 满足下面的三维h e l n 山o l t z 方程： e + 瑶佗2 e = o 其中 = 善= u 以丽 c 0 是自由空间波数。类似地，在均匀介质中，磁场也满足三维h e l m h o l t z 方程： 日+ 后；n 2 日= o ( 1 1 2 ) 实际上，e 和日都是向量。因此，e 和日的每一个分量都满足三维h e i m h o l t z 方 程。但是这仅仅是对均匀介质成立。 1 2 4 二维和一维介质中的简化 我们假设折射率n = n ( z ，z ) 是两个空间变量z 和z 的函数，这就是说介质 在可方向上是不变的。在这个截面上，我们寻找不依赖于y 的解，那就是： 娑扎娑0 ( 1 1 3 ) 瓦= 0 ，苛0 ( 1 1 3 7 。蔓! 至笙堡 在这种情况下，我们能导出简化的方程。在t e ( t r a n s v e r s ee l e c t r i c ) 偏振的 情况下，我们有 e = 0 e v 0 日= h 。 0 h z 其中岛表不e 的y 分量，等等。由方程v e = l p o 月司以导出： 尝：加也， a z 一刑一“ 挚：幻伽吼 由方程v h = 一讪e o 礼2 e 导出： 一尝+ 豢：也郇。马 如。a 名 一1 矿 因此，我们得到： 鲁+ 等+ 七揪即) 马- 0 ( 1 1 4 ) a z 2a z 2 。“o ”4 ，“v 一。 、1 1 - r 7 这就是t e 偏振下的二维h e l n 山o l t z 方程。 在t m ( 1 r a n s v e r s em a g n e t i c ) 偏振的情况下，我们有： e = 尾 0 e z 日= o h v 0 这时频率域麦克斯韦方程组能归纳为下面的关于风的方程： 乏( 去等) + 麦( 去警) + 瑶巩= o ( 1 - 5 ) 这就是t m 偏振下的2 维h e l l l l o l t z 方程。 对一维的介质，我们可以进行更进一步的简化。假设n = n ( z ) 只是z 的函 数，也就是说，介质在z 和y 方向上都没有变化，然后我们寻找不依赖z 和可的 解，因而： 筹= 筹= o ，筹= 筹= o 6 ， 8 第l 章绪论 在这种情况下，e 和日的z ，分量通常都是0 ，并且t e 和t m 情况没有真止的不同。 我们有： 鲁+ 彬日_ o ( 1 1 7 ) 和 曼( 熹簪) + 瑶凰- 0 ( 1 1 8 ) d z 、n 2 ( z ) d z 7 。“0 1 | ， 。、”7 同时，既和也分别满足与毛和也一样的方程。 1 3 论文大纲 在这篇论文中，我们针对二维光子晶体的特点，利用d i r i c h l e t t o n e u m a n n 映 射方法发展出一套有效的模拟二维光子晶体器件的数值方法。在设计和优 化光子晶体器件的过程中，数值方法是非常重要的，它被用来有效地分 析光子晶体的基本性质以及模拟光子晶体器件的特性。现有的模拟方法， 例如时域有限差分方法，有限元方法等等，在模拟二维光子晶体时，存在 着各种不足，而我们的新算法速度更快，效率更高，灵活性更强。其核心 是d i r i c h l e t t o n e u m a n n 映射方法，并结合算子推进方法以及b l o c h 模展开技 术。 全文共分6 章，结构安排如下： 第一章作为绪论，我们将首先介绍光子晶体以及它的j “泛应用，然 后介绍与之相关的麦克斯韦方程组，最后阐述研究的动机，背景及 基本思想，展现论文的概貌。 在第二章中，我们将详细讨论用d i r i c h l e t t o n e u m a n n 方法来模拟2 维 光子晶体器件的完整过程。首先介绍什么是d i r i c h l e t t o n e u m a n n 算 子，以及如何对所有不同的单元品格构造d i d c h i e t t o n e u m a n n 算 子：然后说明如何通过合并单元晶格来构造超级晶格的d i r i c h l e t t o n e u m a n n 算子，并通过它来求出光子晶体波导管的b l o c h 模，最后 利用b l o c h 模来建立边界条件以便把问题转换为边值问题米解决。 在第三章中，针对大型的或者局部结构特殊的二维光子晶体 器件，我们引入了o p e r t o 卜m a r c h i n g 模式和b l o c h 模展开方法来改 9 第l 章绪论 进d i r i c h l e t t o n e u m a n n 方法，从而使我们算法的运算效率和通用性 大大提高。当光子晶体器件的一部分区域可以确定主传播方向时， 我们就可以利用算子推进( o m ) 模式，而当光子晶体器件沿着主传 播方向具有部分周期性的结构时，我们就可以利用b l o c h 模展开方 法。 在实际应用巾，如何有效把光引入和导出光子晶体是非常重要的 课题，在第四章里，我们将讨论光子晶体波导管和普通波导管或均 匀介质的连接问题。在引入四阶有限差分格式来构造普通波导管 的边界条件后，利用连续性条件和光子晶体波导管的边界条件，就 可以有效地分析这个问题。 第五章中，我们将用d i r i c h l e t t o n e u m a n n 映射方法，四阶有限差分 格式，以及算子推进方法来展示光子晶体独特，反常的折射性质， 这些物理特性将会有广阔的应用前景 最后一章，第六章中，我们将对整个论文的主要成果作一个总结， 并说明今后更进一步的研究方向。 l o 第2 章基本的d 取i c h l e t t o n e u m 舢州方法模拟光子晶体器件 第2 章基本的d c h i e t - t o - n e u m a n n 方法模拟光子晶体 器件葫仟 2 1介绍 近年来，光子晶体【纠】由于它控制和操纵光的特殊能力，无论在理论卜 还是实验中都被广泛地研究。因为介电常数的周期性，光子晶体存在不寻 常的散射性质和频率隙( 其中不存在传播的b l o c h 波) 。这些性质已经被用米 设计光子晶体器件，例如波导管弯曲