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华中科技大学硕士学位论文 摘要 物体周围粘性流场的研究一直是水动力学的主要研究领域。分析粘性流动问题可 以估算和预报总阻力,预报流场压力、速度分布等信息,这些研究在实际工程中有重 大的应用价值,因为这些信息与水动力噪声有关,与航行体的总阻力有关,在尾流场 与螺旋桨的工作性能密切相关。 本项工作是研究航行体三维边界层理论计算的一个组成部分,着重探讨厚边界层 的理论计算模型和计算方法,为了简化暂时不考虑三维横向流动影响,以回转体的厚 边界层计算来作为分析对象。 文中,第二部分详细介绍了通过简化n s 方程而获得的边界层方程、回转体的层 流边界层方程、薄湍流边界层方程和厚湍流边界层方程的基本理论。第三部分介绍了 回转体薄边界层的主要算法:积分法和微分法。本文着重于积分方法的处理,编制了 计算软件,完成数值实例计算。第四部分详细的推导了回转体厚边界层的理论计算公 式,在薄湍流边界层计算的基础上,进一步开展了厚边界层的计算研究,编制了计算 软件,完成了数值实例计算。 本项工作的完成对水下回转体的总阻力分析和尾流场分析有重要的理论和计算 参考价值,也是进一步开展三维边界层理论计算的基础之一。 关键词:粘性回转体边界层湍流 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t v i s c o u sf l o wa r o u n da no b j e c ti st h em a i nr e s e a r c ha r e ao ft h eh y d r o d y n a m i c s i tc a l l p r e d i c tt h et o t a lr e s i s t a n c e ,p r e s s u r ed i s t r i b u t i o no f f l o wf i e l d ,v e l o c i t yd i s t r i b u t i o n ,c t c a l l t h e s ei n f o r m a t i o na r er e l a t e dt ot h eh y d r o d y n a m i cn o i s e ,t h et o t a lr e s i s t a n c eo fs a i l i n g o b j e c t a n dt h e p r o p e l l e r i nt h e s h i p s t e r nf l o wf i e l d ,t h e r e f o r ei ti s i m p o r t a n t t ot h e e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n t h ec o m p u t a t i o n a lm o d e la n dn u m e r i c a lm e t h o do ft h et h i c k - l a y e ra r ed i s c u s s e di n t h i s p a p e r , w h i c hi s ap a r to ft h ec a l c u l a t i o no nt h r e e d i m e n s i o n a lb o u n d a r yl a y e ro fa s a i l i n gb o d y t h et h i c k - l a y e r o fa b o d y o fr e v o l u t i o n i s a n a l y z e d ;t h e r e f o r e t h e t h r e e - d i m e n s i o n a lt r a n s v e r s ef l o wc a nb e i g n o r e d t h eb o u n d a r yl a y e r e q u a t i o n d e r i v e df r o mn s e q u a t i o n ,l a m i n a rb o u n d a r yl a y e r e q u a t i o no far e v o l v i n go b j e c t ,t h i n t u r b u l e n tf l o wb o u n d a r yl a y e r e q u a t i o n a n dt h i c k t u r b u l e n tf l o wb o u n d a r y l a y e re q u a t i o na t ed i s c u s s e di nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e lw h i l e t h en u m e r i c a lm e t h o d so ft h et h i nb o u n d a r yl a y e ro fa r e v o l v i n go b j e c ti sp r e s e n t e di nt h e t h i r d p a r t ,w h i c ha r ei n t e g r a lm e t h o da n dd i f f e r e n t i a lm e t h o d ;t h en u m e r i c a lp r o g r a mi s p r o v i d e da n d s o m ee x a m p l ec a s ea r ec a l c u l a t e d t h ef o u r t hp a r td i s c u s s e dt h ed e d u c t i o no f t h ec o m p u t a t i o nm o d e lf o rt h i c kb o u n d a r yl a y er t h ec o m p u t a t i o n a ls o f t w a r ea n ds o m e e x a m p l e sa r ed i s c u s s e da c c o r d i n g t ot h em o d e l t h ew o r ko ft h i sp a p e ri si m p o r t a n tt ot h ea n a l y s i so nt h et o t a lr e s i s t a n c eo fab o d yo f r e v o l u t i o n ,t h ec a l c u l a t i o no ft h es t e r nf l o wf i e l da n dt h ee x t e n s i o no ft h ec a l c u l a t i o no f t h e t h r e e d i m e n s i o n a lb o u n d a r y l a y e r k e yw o r d :v i s c o u s ,b o d yo fr e v o l u t i o n ,b o u n d a r yl a y er t u r b u l e n tf l o w 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知,除文中已经标明引用的内容外,本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出 贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名:潭谨 日期:9 ¥年明孕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,即: 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许 论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 保密口,在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名:埤澎 日期:伽l f 年f 月q 日 指导教师签名:例0 留毫 嘣即年厂月7 日 华中科技大学硕士学位论文 1 1 边界层理论的历史与发展 1 绪论 在实际船舶工程中,如粘性流体绕过物体的流动中,常常需要计算物体表面的摩 擦阻力;粘性流体在管道进口段中流动,也常需要计算流动阻力,用n s 方程式一 般求解是很困难的。为此,提出了边界层概念,对于计算表面摩擦阻力问题,提供了 有效的计算方法。 船舶在水中航行时会受到阻力,为了使船舶维持一定的速度航行,必须对其提供 推力以克服阻力。船舶快速性就是用来表征船舶航行速度快慢的。快速性是船舶的重 要性能,快速性的优劣与船舶航行过程中的阻力性能密切相关。因此,计算船舶阻力 有助于研究阻力随航速、船型和外晃条件的变化规律,研究减小阻力的方法寻求设 计低阻力的优良船型。 1 8 2 7 年纳维尔在欧拉运动微分方程中加上粘性项,第一个得到粘性流体运动微分 方程,1 8 4 6 年斯托克斯严格地导出了这个方程,称为纳维尔斯托克斯方程,简称n s 方程。虽然n s 方程对粘性流体流动问题的研究分析有所帮助,但对这个方程 数学上的求解是十分复杂和困难的。1 8 5 1 年斯托克斯对n s 方程作了某些简化,略 去方程中的惯性项,即在非常缓慢的流体流动条件下,计算出球体在流动的粘性流体 中所受到的阻力【1 1 。 到2 0 世纪初,航空工业的发展需要解决粘性流体中较大速度的物体运动问题, 促使粘性流体运动的理论大大地向前推进,1 9 0 4 年普朗特在德国海德尔堡第三届国际 数学家学会上宣读题为“关于摩擦极小的流体运动”的论文,建立了边界层理论。他 根据对水槽中水流实验的观测分析,提出了边界层的概念:粘性极小的流体绕物体流 动时,在紧靠物体附近存在着一层极薄的边界层,其中粘性起着很大的影响。而在边 界层外,流体中的粘性可以忽略不计,可认为是理想流体。由于边界层极薄,经简化 n s 方程,得出普朗特边界层方程,从而使方程能够求解f 引。 伴随着电子计算机的广泛应用,1 9 7 0 年以来边界层理论发展异常迅猛。近年来边 华中科技大学硕士学位论文 界层基本方程向纵深发展的方向有两个方面:一方面由平面、轴对称流动等二元问题 向三元问题发展、并从采用直角坐标系向采用任意正交曲线坐标系、或甚而至于用非 正交曲线坐标系发展;另一方面逐步深入的考虑了边界层的高阶效应,从古典的“薄” 边界层理论向“厚”边界层理论、“部分抛物线”边界层理论等发展 3 】。 薄边界层方程用比较量阶法将n s 方程的某些项略去,而导出最后的形式。薄 边界层理论也称为“薄剪切层”理论( t h i ns h e a rl a y e r ) 。当边界层厚度6 与物体特 征长度l 同一量阶时,即6 l 一0 ( 1 ) ,需要考虑高阶效应,称为厚边界层理论( t h i n k b o u n d a r yl a y e r t h e o r y ) 池称为相当薄剪切层近似( f a i r l y t h j ns h e a r a p p r o x i m a t i o n ) 。 近年来s p a l d i n g 所提出的“部分抛物型”( p a r t i a l l y - p a r a b o l i c ) 边界层理论在计算三元 船体边界层中得到较为广泛的应用。从教学的观点来说,部分抛物型介于“完全抛物 型”的n s 方程和“完全抛物型”的p r a n d t l 方程之间。对于后者,在流向下方的扰 动对上流没有影响,因此在进行数值计算时,可以从前往后,逐点计算,一次完成。 而对于前者,由于下方的扰动对上流有影响,因此需要反复迭代,直到满足精度的要 求为止。 近年来,有众多学者对边界层理论和应用进行了研究,取得了很多研究成果。郭 宏伟等对p r a n d t l 边界层方程进行了分析,提出了望:肛2 的新假设,并对过渡方 妙砂。 程进行了假设,提出了适用于从小r e 直到充分湍流的边界层控制方程【4 1 。严承华等 对平板在自由来流情况下的层流边界层用伪谱方法进行了数值模拟,直接用伪谱矩阵 方法对边界层方程进行了离散计算【5 1 。潘卫国等运用数值计算方法探讨了管内湍流边 界层结构与流动阻力特性【6 】。邓志群利用d a n t e c 三维激光多普勒测速仪对水槽壁 面边界层的湍流参数进行了测量和分析,并与经典实验曲线做了比较( 7 j 。荣深涛提出 了种新的有压力梯度的层流平面边界层理论,可称为机械能耗损积分法,结合了微 分法和积分法的优点吼王培光和王振东以摄动法来建立边界层方程,用严格的数学 推导来代替一般的叙述,使人更易接受f 9 j 。由于船尾流动的复杂特性,致使许多薄边 界层假定失效,必须对其作改进。因此,b r a d s h a w 、k l i n e 运用了复杂剪切流动模型【1 0 l 。 p a t e l 、h u a n g 等人对厚边界层进行了详细测量,并利用轴对称厚边界层方程作了计算, 华中科技大学硕士学位论文 这些方程考虑了物体表面纵向和横向曲率,穿过边界层的压力变化和湍流模型,且显 示了计算结果和测量数据吻合良好。但计算舭涡和尾部区域以后的尾流来说,厚边 界层近似是几乎无能为力的,s p a l d i n g 提出了部分抛物型流动概念,对围绕船艏流动 他建议应用这个概念于湍流的k e 模式,部分抛物型流动概念表述为:存在一个主 流方向;主流方向的动量扩散可以忽略;压j - j 是下游影响的主要传导物。k e n j i m u r a o k a 应用此方法计算过船型边界层【1 3 l 。 计算船体表面的边界层的数值方法已经有了积分法和微分法。在积分法方面, u b e r o i 假定边界层的发展仅依赖于流线方向的压力梯度,没有考虑横向流和流线收 缩,用二维方法进行了计算【1 4 】。g a d d 粗略考虑了流线收缩效应,仍然忽略了横向流, 运用等价回转体边界层积分方程求解。w e b s t e r h u n a n g 用c o o k 方法,考虑了小 横向流,对s e r i e s 6 0 的两条船进行了计算,但没与试验比较【”1 。h i m e n o t a n a k a 把 横向流影响计入动量方法,对船体表面边界层进行了有意义的计算【”1 。l a r s s o n 对当 时的鼢体表面边界层计算作了较全面的综述,用积分方法对s s p a 7 2 0 船型作了计算, 并与试验结果作了比较【1 8 】。而s o e j i m a y a m a z a k 、r a v e n 都用微分法作过汁算f 1 9 - 2 0 ) 。 综上所述,许多学者对边界层理论和计算怍了许多研究,提出了不少关于边界层 的理论思想和计算方法,但几乎都不涉及厚边界层的计算,而随着边界层理论的发展, 人们越来越重视船舶尾部边界层增厚的问题对边界层计算的影响。 1 2 粘性流动数值计算的研究和发展概况 在求解n s 方程的过程中,为了使问题得到简化,方程都作了一些必要的理想 化假定,对于那些流道形:扶复杂或者必须考虑物性剧烈变化的非线性问题,分忻求解 和近似解的寻求都变得难以进行,甚至根本不可能。计算机技术和数值计算方法的发 展,给我们提供了求解这类问题的可能性。旺何类型的流动只要其物理模型能够确 定,并能以明确的数学式加以表示,则无需借助任河简化假设,利用数值计算方法均 可得到所研究域内一些代表性地点( 结点) 的近似值,而且计算精度能达到所希望的 任何精度要求。因此,数值计算方法,正如现有的大量成功的算例所表明的那样,确 实已成为一种研究和解决复杂的实际流动的强有力工具。 华中科技大学硕士学位论文 数值计算方法也被运用于解边界层方程,主要有有限差分法、有限元法、边界元 法和有限分析法等。 1 2 1 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 有限差分法从数学的角度用差分代替微分,将力学中的微分方程转化为代数 方程,从而大大拓宽了力学学科的应用范围。 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 的基本思想是将求解区域划分为网络,然 后在网络的结点上用差分方程近似代替微分方程,直接求解得出基本方程和相应的定 解条件的近似解。当结点数较多时,近似解的精度能够得到保证。它具有易操作性和 较大的灵活性,主要用于区域形状较为规则的问题,在区域几何形状复杂时计算精度 往往有所降低,但对于某些问题,有限差分法有其独到的优势。有限差分法在流体力 学等领域占有重要地位【2 ”。 有限差分法的理论和算法较完善,可以采用不同的差分格式来提高计算精度。传 统的差分格式包括前差格式、后差格式、中心差格式、l a x 格式、迎风格式、 l a x w e n d r o f f 格式、c r a n k - n i e o l s o n 格式、蛙跳格式、m a c c o r m a r k 格式、d u f o r t f r a n k e l 格式等,只具有一阶或二阶精度。数值计算方法的精度不够高,不仅使有限差分法在 对一些经典的流体力学模型方程进行数值计算时达不到所需精度要求,而且在精确模 拟各种复杂流动( 如以湍流为代表的大范围复杂流场) 时受到限制。随着计算机技术 的发展,提高数值模拟流场的计算精度已成为计算流体力学的重要课题。苏莫明等提 出了一种新的针对n a v i e r - s t o k e s 方程等含有梯度项的对流扩散方程的梯度加权局部 分析解的有限差分格式( g w l a d ) ,具有较高的精度和很快的收敛速度并且能够得到 很好的压力场和速度场【2 2 】。i ,r o g e r 和k w a k 采用多步差分方法构造来了对流扩散 方程的五阶精度差分格式。d e n n i s 和h u n d s o n 提出了对流扩散方程的四阶紧致格式。 以h a r t e n 为首提出的总变差减小法( t v d 格式) 及其各种变种摹本上解决了高阶精 度差分解在激波附近的非物理振荡问尉2 3 】。 然而有限差分法也有局限性,它在处理非规则物理域的问题时,采用常规的网格 划分使得求解非常复杂,且使精度下降;同时,为保证计算精度,所需的离散网格尺 度很小,计算工作量大。单纯的差分法对求解随时间变化的自由表面波动问题及处理 4 华中科技大学硕士学位论文 复杂边界情况是很困难的。它必须借助一些其他手段来解决。目前解自由表面问题最 常用也最有效的两种方法为m a c 法和v o f 法。 m a c 法即标记点法,是由h a r l o w 和w e l c h 提出的,其基本特点是在自由面上设 置一组无质量的标记点,这些标记点随流体运动,凭借这些标记点,不同介质之间的 界面可以明显的表示出来。m a c 法适用于求解不可压缩、粘性流体带自由液面运动 的问题,特别适用于用数值计算方法来模拟波浪外形,具有其它方法无可比拟的优点。 由于它随流体一起运动,所以能有效地描述自由表面的变化。为了提高计算精度, m a c 法还采用交错网格,即流体主变量中的压力离散在网格中心点上,而速度点则 布置在网格边界的中点上陟2 7 1 。 三十多年来,m a c 法也在学者们的探索、研究下得到改进和广泛的应用。沈国 光利用m a c 法模拟了矩形容器内一层和两层流体由水平激振所引发的晃动。易淑 群采用m a c 法模拟了高速冲头有界入水初始阶段的过程【2 5 】。 m a c 法在模拟具有自由液面的流体运动时具有独到的优点,它的不足之处是除 了计算存储量大之外,作用于自由液面的表面张力和接触角,难以表达。稳定性问题 难以检测也影响到m a c 法的应用。 在8 0 年代,h i r t 和n i c h o l s l 2 s l 提出的v o f 法,其基本思想来源于m a c 法,但引 入了流体体积函数f 的概念。定义函数f = f ( x ,y ,z ,t ) 表示计算区域内流体体积 占计算区域体积的相对比率。特别地,f = i 表示该单元充满流体,f = 0 表示该单元没 有流体,0 f i 表示该单元被流体部分地充满,这又有两种可能情况:要么该单元含 有自由液面,要么在该单元中存在小于该单元体积地空隙或气泡。f 的梯度可用来决 定自由液面的法线方向,依据计算单元的值及其梯度,就可以在各单元中确定自由边 界的近似位置。 v o f 法主要被水工、海洋工程等问题所利用,如邹志利等用v o f 法模拟了波浪 槽中二维非线性波【2 9 】;w a n g y x 用v o f 法计算了波在海滩上的破碎【3 0 】。 与m a c 法相比,v o f 方法由于无需在自由面上设置标记点,从而计算容量大大 减少,特别适合运用于三维计算,另外,改进后的v o f 法由于引入了部分单元参数 概念,可以处理不规则形状的边界问题。不过,在e u l e r 网格中v o f 法需精确计算随 华中科技大学硕士学位论文 流体穿过单元的f 流量,否则将失去液面位置的准确性。 1 2 2 有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 2 0 世纪6 0 年代初出现的有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 是计算力学诞生的标 志。有限元法就是采用变分原理或拟变分原理将连续体( 流场) 分割成一些连续小区 域( 单元) ,在每个单元上满足定的平衡关系,然后组合所有单元满足相应的关系 进而求解的一种方法。有限元法实现了统一的计算模型、离散方法、数值求解和程序 设计方法,从而能广泛地适应求解复杂结构的力学问题。所以,该方法自问世至今已 得到了迅猛发展。并且,有限元法从最初的用于结构和固体力学的计算分析开始向其 他领域扩展,现已用于流体力学等领域的分析。 相对于有限差分法来说,有限元法使用的是灵活的网格,便于处理曲线边界和放 稀、加密结点。用有限元法生成的结点方程对所有结点高度统一,而有限差分法则要 为二类边界结点设计专用的方程。有限元法生成的导水系数矩阵( 刚度矩降、热导率 矩阵) 对称、正定便于用平方根法求解。有限元法便于处理各向异性,而有限差分 法则不很方便。但在流体力学中,有限元法仍不能达到有限差分法所取得的成就,原 因在于通常的有限元法在求解流体力学问题时产生下列困难:( 1 ) 在流体力学中,对 流算子是非对称的,求解n a v i e r - s t o k e s 方程时,对流算子还是非线性的,而在固体和 结构力学中只包含对称算子,求解固体和结构力学中的有限元法在许多情况下不能直 接搬到流体力学中来,在流体力学中必须发展种有效的办法来处理这种对流项。在 有限差分中,对流项处理得不好往往会引起伪振荡和数值耗散,甚至于不稳定,非线 性问题更是如此。( 2 ) 流体力学中,如不可压条件等,在近似方法中很难精确满足, 有限元法在处理这些条件时,往往搞得很复杂,而且难以理解,实行起来很困难,近 年来为了解决这些问题发展了有限分步法,迎风有限元法,集中质量法和罚函数法等。 在用n a v i e r - s t o k e s 方程求解流体力学问题时,如果直接对其进行有限元空间离散, 插值函数的类型对于求解的精度有着密切的关系,计算表明阻3 2 i :若速度插值函数和 压力插值函数采取同一阶次,虽然可获得较准确的速度值,但压力值将产生较大的误 差,从而出现伪振荡现象,如果速度插值函数比压力插值函数高一阶次则可获得较好 的结果,这种数值方法称为混合插值方法。但如果采用混合插值方法,则求解公式编 华中科技大学硕士学位论文 制,计算机程序以及输入数据等将是非常复杂的,以致对于三维问题的求解产生极大 的困难。 分步法( f r a c t i o n a ls t e 口m c t l l o d ) 是一种半隐式格式,最早是由c h o f i n 田】在有限 差分中提出的,d o n e a 等把这种方法用于有限元法求解e u l e r 描述的n a v i e r - s t o k e s 方 程,h a y a s h j 等用这种方法求解了l a g r a n g e 描述的n a v i e r - s t o k e s 方程。其基本思想是 把一个时间增量步分为两步或更多步,第一步在动量方程中略去压力项或压力增量 项,然后求解一个近似的中间速度值,它般不满足连续方程;第二步由中间速度 值求出相应的压力值,最后根据质量守恒来修正速度值。 这种分步f e m 法的特点是先对时间增量分步,然后建立相应的有限元方程。在 提出适当的压力梯度条件后,这种方法的速度和压力可用同阶线性插值函数,这就使 得有限元方程在算法上结构简单,尤其是集中质量法,可以得到求解速度的显式格式。 分步法的另一特点是可以推广到三维问题的求解中【3 4 0 引。 a l e 方法最初由n o h 以及h i r t 等人以混合e u l e r - l a g r a n g e 描述的名称在有限差 分里提出的,之后有不少人进一步发展札e 方法并把它用于有限元分析中,最早是 为了满足核反应堆结构安全分析中的非线性数值模拟技术的需要【3 7 。3 9 j 。a l e 有限元法 将拉格朗日和欧拉描述有机地结合,充分吸收了二者地优点,克服二者的缺点,解决 了一大批只用纯拉格朗日和纯欧拉描述所解决不了的问题。该方法最初的工作是解决 非粘性可压流体问题。而h u g h e s 等人研究了不可压粘性流体流动问题和带有自由液 面流体流动问题,并首先建立了a l e 描述的一般运动学理论4 0 4 ”。b e l y t s c h k 0 1 4 2 4 3 l 等人数值模拟了流体内部液泡的膨胀过程,给出了一种既灵活方便又简单易行的网格 更新方案:边界上的单元结点采用拉格朗日描述,内部的网格结点速度可根据边界上 的结点速度线性插值得到脚4 3 】。目前,a l e 有限元法已被广泛应用于解决大范围移动 边界问题,特别是在液体大幅晃动问题、流一固耦合、加工成型、接触、大变形等领 域获得极大成功【4 9 5 2 】。 1 2 3 边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 是继有限元法之后发展起来的一种求解力 学问题的数值方法。其构成包含如下三个主要部分:( 1 ) 基本解的特性及其选用。大 7 华中科技大学硕士学位论文 多数基本解是前人已经得出的带奇异性的某个特殊问题的解。例如,在无限大弹性介 质中的某点沿某方向受一集中力作用时的开尔文解;在无限大弹性介质中沿某个带状 平面的两侧有一定量的相对位移时的克劳奇解等,边界元法的发展有赖于基本解的深 入研究。( 2 ) 离散化及边界单元的选取。通过b c t t i 互换定理为基础的s o m i g l i a n a 公 式将问题转化为边界积分方程,再通过边界离散手段,将边界划分为有限个边界单元, 将边界积分方程化为代数方程组求解。( 3 ) 叠加法与求解技术。当单元划分之后,剩 下的主要问题就是将有限个奇异解叠加起来,使其在结点处的结果等于结点上已知的 边界值,并由此得出基本方程,求出奇异解的待定量【2 1 1 。 边界元法的优点是应用g u a s s 定理使问题降阶,将三维问题化为二维问题,将二 维问题化为维问题,大大减少了计算工作量,并保持了较高的精度。边界元法本质 上是求解边界积分方程的一种数值方法,它与有限元法有某些相似之处,通过形函数 对单元进行等参变换,其基本未知量是边界单元上的函数值。边界元法的缺点是必须 求问题的基本解,尤其对于非线性问题,基本解的求出十分困难 5 3 - 5 6 1 。 1 3 本文的研究内容 本文从n s 方程出发,推导得出轴对称厚边界层的微分方程,根据处理二维流 动方面的经验,对速度剖面作出适当的假设,获得轴对称厚边界层的速度剖面模型, 利用此模型和积分方法可以由边界层微分方程计算平面形状因子h 和平面动量损失厚 度o 。等边界层特征参数。主要内容是: ( 1 ) 介绍p r a n d t l 边界层理论,然后从最原始的定常不可压缩流体的连续方程和 n s 方程出发,推导出最简单的p r a n d t l 边界层平板上的二维流动;在推导出轴对 称层流边界层微分方程之后,介绍了二维边界层流动与轴对称边界层流动之间普遍存 在的种关系m a l l g l e r 变换;同时还分别介绍了薄湍流边界层方程和厚湍流边界 层方程。 ( 2 ) 基于二维边界层方程与轴对称边界层之间存在的联系,介绍二维湍流边界 层的几种算法,包括积分法中的简单k a r m a n 法、h e a d 方法和a l b e r 方法,以及微 分法中的c e b e c i s m i t h 方法和b r a d s h a w - f e r r e s 方法。对于各种积分法而言,都是依 华中科技大学硕士学位论文 托于动量积分方程,然后增加几个补充方程得到一个封闭方程组,最后逐站求解;而 微分法则要求直接求解湍流边界层微分方程,加上连续方程后构成一个包含“、u 和r 三个未知量的方程组,方程组封闭的关键在于如何处理湍流剪应力。最后详细介绍轴 对称的c e b e c i s m i t h 微分法和推广的h e a d 动量积分方程解法,包括p a t e l 的简单算法。 ( 3 ) 给出一种积分法求解轴对称厚边界层的数值方法,并建立模型对具体的算 例进行计算,将有关数据同以往已经公布的实验数据进行对比,充分说明厚边界层与 薄边界层的计算有明显差别。此方法所计算的结果与文献中的实验数据符合较好,说 明该方法是计算轴对称厚边界层的有效方法。 华中科技大学硕士学位论文 2 1 p r a n d t l 边界层理论 2 边界层理论 2 1 - 1 n a v i e r - s t o k e s 方程 对于不可压缩流动,流场中的连续方程是 堕;o o w : 对于定常不可压缩流动的动量方程,n s 方程是 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) 式实际上是关于u ( i = 1 ,2 ,3 ) 三个分量的三个方程,加上压力p ,共 有四个未知量,将( 2 1 ) 式和连续方程( 2 2 ) 联立求解,正好可以解决粘性不可压 缩流动的速度场和压力场问题。 2 1 2 p r a n d t l 边界层理论 由于缺乏有效的非线性边值问题分析手段,只能找到n s 方程的一些简单特解, 对于流体力学中关于浸没物体的绕流问题很难得到严格的理论解。 因此,对于浸没绕流问题,把n s 方程按雷诺数可以分为两类:( 1 ) 雷诺数r e l 的边界层 流动,这是p r a n d t l ( 1 9 0 4 ) 提出的近代流体力学的全新的概念。工程上关一心的多半是 大雷诺数下物体的绕流问题,因此,需要对p r a n d t l 边界层理论有个比较深刻的了 解。 ( 1 ) 边界层流动 我们以被绕流物体的特征尺度l 、远前方来流速度u 。来定义如下无量纲变量: 垫酊 y+ 印一舄上p i 峨一蠹、 u 华中科技大学硕士学位论文 j :x l = u u 。 p = p p u :* ( 2 3 ) 于是得到( 2 2 ) 式的无量纲方程: 玎等一熹+ 去毒c 导, 晓a , 式中,霄诺数尺。定义为: r “;丛 ( 2 5 ) 式( 2 4 ) 中左边是惯性项,右边第二项是粘性项,这两项比值的量级和r 。相当, 所以说,雷诺数的物理意义是: 器 s , 它表示了两种力学过程的相对重要性。 从方程( 2 4 ) 式可以看出,随着雷诺数增加,最后一项将越来越小;在极限情况 下,完全忽略粘性的影响,整个流场将变成无粘的。但是,按这种模式,物体受到的 阻力为零( 此即d a l e m b e r t 佯缪) 。无疑,这和实际经验相悖。因此,不能完全忽 略粘性的影响,至少在物面上流体因粘性必须满足无滑移条件。另外,经验还表明, 一般情况下,物体受到的阻力将随其运动速度加快而增加。根据牛顿内摩擦定律,在 “基本为常数的情况下,这就意味着运动速度的加快将使物面上沿外法线方向的速度 梯度加大。因而,随着雷诺数增加,粘性的影响范围将更靠近被绕流物体的表面:在 高雷诺数下,紧靠物面将形成一个速度梯度很大的薄减切层。这就是所谓的边界层。 边界层流动在物体后面形成尾流:在边界层和尾流以外的流动称为外流、外部势流或 者外部自由流( 见图2 ,1 ) 。 华中科技大学硕士学位论文 图2 1 边界层、尾流和外流 边界层和外部势流之间实际上没有严格的分界线,在物面外法线方向上,流场的速度 分布是连续的。不过,可以人为的将边界层厚度6 定义为:边界层内沿物面法线向外 到与外界当地自由流速度u 相差1 的流线间的距离。因此 在y = 6 处,“= 0 9 9 u ( 2 7 ) 式中,u 又称为外部势流速度。这个厚度的定义是人为约定的故称为边界层约 定厚度,以便和其它的边界层厚度定义相区别。 现在从量级上对边界层厚度6 作一个估计。用l 作为特征长度,用u 。作为特征 速度因此可以用l 【,。表示特征时间。在这个时间里,流体运动的距离是 ;u 。( l u 。) ;与此同时,物面对流体的滞止作用通过粘性向外扩散的距离为6 , 其量级为v ( l u 。) 。因此 鱼业些! 竺! ! ;占( 2 8 ) 一署;一 、z 6j l u ;q | u 。) q r “ 由此可见,当尺。 l 时,6 r o ,所以,上述假设条件中最值得注意的是占 r 0 , a ( r o u ) + 塑业:o( 2 1 8 a ) 抛a u “u “+ u + = 教 印 r a ua u“ h 一+ u = 玉 砂 r 一土窭+ y 晏( 娶一娑) p 盘印卵积 一上窭+ v 晏( 挈一_ o u ) + y ( 罢一_ o “广1i d r 0 po y a 3 co x a y 。x o yr o 积 ( 2 1 8 b ) 将上面的连续方程展开后可知, ) 丸t d x 的量级为o ( 1 ) 。设u 的量级为o ( 1 ) ,粘 性系数y 的量级为o ( e 2 ) ;那么( t r o ) d 吒d x 的量级为0 0 ) ,因而n s 方程第二式中 华中科技大学硕士学位论文 右边最后一项只有0 ( 6 ) 的量级。其他各项的量级估计和二维的完全一样,故可把上 面的连续方程和n s 方程简化为如下方程组: a ( r o u ) 旦盟:0 融砂 。塑仙丝:一土尘+ 土立 赫 o yp d x pa y 0 :望 砂 2 2 2 轴对称层流边界层的m a n g l e r 变换 ( 2 1 9 ) 辋对称午口= 维的层流边界层流动之i 刚,存在看一种等价日可m a n g i e r 变抉关系。上 面得出的轴对称层流边界层方程( 2 1 9 ) 式可写成: o ( r q u ) 4 - 掣:0 ( 2 2 0 a ) 盘洲 “挈+ u 婴;一掣v 垂(220u 4 -22 0 b ) “一+ u = v l j 缸却出 却2 根据连续方程( 2 2 0 a ) 式可以定义出流函数v ,即 。:三掣,u ;一三掣 ( 2 2 1 ) 厂0c 岁,0 d 譬 式中,l 是任选的特征长度。于是,方程( 2 2 0 b ) 式可用流函数妒写成: a va 三砂2 融 如果令 a u , 量印 a v 旦i 盟 缸z r 砂三印 划孝w 声 簖= ( 2 苏,万= 主劫,矿= y a 三砂 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 a ) 华中科技大学硕士学位论文 巧;c ,厅。罂,疗;一亚,伊:1 , d yd x ( 2 2 3 b ) 则( 2 2 2 ) 式可写成: 芳去f 警) - 警专f 芳卜巧筹+ 伊睾 c :甜, 西故毋1旅西毋1 d i 西5 j 或者 堡+ 盟:o a #a 可 口罢+等=。罢+伊窘(225b)i,i u “一+ 一+ y r 眦 州锻d v 。 可见,通过( 2 2 3 ) 式的变换,轴对称的方程可以转换成等价的二维方程。不难推导 出该变换的常用形式。m a n g l e r 变换的一般引用形式为: 2 3 轴对称薄湍流边界层方程 ( 2 2 6 ) 2 2 节中介绍的轴对称层流边界层微分方程是利用边界层近似简化n s 方程得来 得。在湍流情况下,同样可以简化平均值的n s 方程,从而导出湍流边界层方程。以 二维为例,层流边界层方程式可写成: 矾忑 出 二 : 、_ 号 y ,一r bll一u y 岂 l = i 1 年 一x v, m u vy 华中科技大学硕士学位论文 “罢+ 嚣吉罢w 褰 a r矾口a ra v : 将它作为湍流瞬时值满足的方程,取平均值后即得 万里+ 万堕:一三至+ y 堡一o u u 堑 ( 2 2 8 ) 缸 o ypo x印j印 o x 式中与湍流应力有关的只有两项,看这两项的数量级是否相等,如果量级不等,就可 以简化。简化的依据是试验结果。图2 _ 3 所示的是k l e b a n o f f ( 1 9 5 4 ) 对零攻角光滑平 板湍流边界层进行测量的结果。 根据该图数据曲线可得 图2 3 零攻角光滑平板湍流边界层测量 嘶 铴 _ _ m m 启 尼 厅 庐 华中科技大学硕士学位论文 f 届珈j 。s m “ 弦动。l * 。 现在分析下上述数据的数量级。先对其中的一个数的数量级作如下定义:假若 n 一土h + 1 1 02 a 1 0 2 式中,n 为整数,则数a 的数量级为l o “。因此,如果有另外一个数b ,它的数量级 也是1 0 “,那么a 和b 就是同一个数量级的。将上面不等式中的1 0 “换成b ,即得 喜 a 而口 1 0 这就是两个数同一数量级的判别式。据此查核,u “,u “,“和孑了都属于同一量 级。但是,边界层中0 d x a 印,所以 a 万a i 可 赢 勿 即( 2 2 8 ) 式中最后一项可以忽略,于是得到定常不可压二维湍流边界层的动量方程: 一旃一面 1 历1a r 瓠 o y p0 xpo y 0 玎* f2 _ 一, o u 。0 。 o y 式中,r 是总剪应力。 同样,对( 2 1 9 ) 式取平均即可得出轴对称薄湍流边界层方程 旦盟+ 塑显:o 盘 砂 一蕊一而 1 a p 1d 瓠 却p 越dd y 0 1 望 p 卸 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 1 9 华中科技大学硕士学位论文 2 4 轴对称厚湍流边界层方程 2 4 1 轴对称厚湍流边界层方程 在轴对称回转体尾部的流动中,由于物体半径r o 不断变小,要满足连续流动条件, 边界层厚度6 必须迅速增厚,所以终究满足不了6c cr o 的条件。这时,轴对称薄湍流 边界层方程( 2 3 1 ) 不能再用,必须考虑尾部横向曲率( r 0 是横截面圆的曲率半 径) 的影响,重新推导轴对称边界层方程。 仍然采用图2 2 的坐标系,在6c cr 的条件下,三个度量系数为: h 】;( 尺+ y ) r 一1 ,h := 1 ,h 3 = r 考虑到= 0 ,a a 口:0 ,以及如下几何关系: ,2 ,0 + y c o s a r o y - c o s a d r o d x s i n a 、| rt d a f d x o r a x = ( 1 + y r ) s i n a 湍流平均运动的连续方程和动量方程可以写成 亟型+ 巫型,o 缸 砂 。堕+ 塑。一旦岸+ 万) d x o y魄d 一吾防p 而m t n a 矿一雨 一糖,专c r 争s i n ,= a “一警1 “罢+ u 罢一兰( 旦+ ) d x d yd y 口 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 华中科技大学硕士学位论文 一号陆p 刀) + c o s 口一) 一糟r 专c ,争警一c o s ,2u ( 2 3 4 b ) 对其进行边界层近似处理。假定 在6 c 的条件下有0 o xc to l o y 湍流应力量级关系和平板情况相同。 在这些条件下,按2 2 节中轴对称层流边界层微分方程推导中的方法,对方程 ( 2 3 4 ) 式中的各项作量级分析,保留一阶量,略去高阶小量,得 ( 2 3 5 ) 这就是考虑到横向曲率影响的轴对称边界层动量方程,它和连续方程( 2 3 3 ) 式构成 轴对称厚湍流边界层的基本方程组。如果6 cr 0 ,则r 一,0 ,这组方程即即可简化成 ( 2 3 1 ) 式。在方程( 2 3 5 ) 中 o u 一一 。5 一+ t 。p 万一p “u 当t = 0 时,即为层流。 2 4 2 动量积分方程 利用连续方程( 2 3 3 ) 消去( 2 3 5 ) 式中的u ,考虑到 ! 生。u 型 p 出 出 从y = o 到y = 6 积分( 2 3 5 ) 式,得动量积分方程: 挈土南p 2 船 胁一砂 妇+ 若卫妙 华中科技大学硕士学位论文 等郴l + 2 - 三u 盟a x + 警;圭c , ( 2 3 6 ) 式中,6 。和6 :是按轴对称流动定义的边界层积分厚度。因为根据排挤作用和动量损失 得概念,此时应有: 2 r c r 0 6 l p u = f p ( u 一“) z a y ( 2 3 7 a ) 2 m 0 6 :p u 2 - f p u ( w 一“) z - 口d y ( 2 3 7 b ) 所以有如下定义: 排挤厚度 动量损失厚度 2 5 小结 a 。r 。( 一号) 寺咖 。:2 f 。号c

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