（系统工程专业论文）一类新的混沌系统的动力学分析、混沌控制及混沌同步研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文提出并研究了一类新的混沌系统的动力学行为、混沌控制及混沌同步问题。 首先，提出了一类新的混沌系统( 包括两个系统) ，该类系统是类l o r e n z 系统，但 是它们与l o r e n z 混沌系统，c h e l a 系统和n 系统都不是拓扑等价的：文中分析了它们的 基本性质、平衡点及其稳定性、l y a p u n o v 指数和l y a p u n o v 维数、时域波形图、频谱图 等，理论上的动力学分析和数值仿真都验证了系统的混沌特性；然后设计了第一个新混 沌系统的实现电路，电路实验结果与动力学特性分析、数值仿真完全相同，这就进一步 验证了系统的混沌行为。 其次，研究了该类新的混沌系统的自适应控制问题。根据l y a p u n o v 稳定性理论， 基于b a c k s t e p p i n g 自适应控制方法设计控制器，给出了单一控制器及未知参数的自适应 律解析式，使得未知参数识别和系统的控制同时取得，并利用m a t l a b 软件进行仿真实 验，数值结果表明了该方法的有效性。 最后，研究了新的混沌系统的混沌同步问题。基于非线性控制理论，分别讨论了第 一个新的混沌系统的自同步，第一个新混沌系统和第二个新混沌系统以及和l i u 系统之 间的异结构同步，数值仿真证明了方法的有效性。 关键词：新混沌系统，动力学分析，混沌控制，自适应控制，非线性控制，自同步， 异结构同步 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ed y n a m i c a la n a l y s i so fan e wc l a s so fc h a o t i cs y s t e ma n dt h e i rc h a o s c o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o na l es t u d i e d f i r s t l y , an e wc l a s so fc h a o t i cs y s t e mi sp r o p o s e d i ti ss i m i l a rt ol o r e n zc h a o t i ca t t r a c t o r , b u ti sn o ta ne q m v a l e mc h a o t i ca t t r a c t o ri nt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r e s o m eb a s i cp r o p e r t i e so f t h en e ws y s t e m s ，e q u i l i b r i aa n ds t a b i l i t y ，t h el y a p u n o ve x p o n e n t sa n dt h el y a p u n o v d i m e n s i o n , w a v e f o r m ，s p e c t r u ma n dp o i n c a r 6m a p p i n ga les t u d i e d a ne l e c t r o n i cc i r c u i t r e a l i z a t i o no ft h ef i r s tn e ws y s t e mi sd e s c r i b e d e x p e r i m e n t a lc h a o t i cb e h a v i o r so ft h en e w s y s t e ma r ef o u n dt ob ei d e n t i c a lt ot h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e sp r e d i c t e db yt h e o r e t i c a la n a l y s i s a n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h e n ，t h ea d a p t i v ec o n t r o l so ft h en e wc l a s so fc h a o t i cs y s t e ma r es t u d i e d b yt h e l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , a d a p t i v ec o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e da n dt h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o no f c o n t r o l l e r sa n da d a p t i v el a wo fu n k n o w np a r a m e t e r sa r eg i v e n w i t ht h eb a c k s t e p p i n g a d a p t i v ec o n t r o lm e t h o d ，p a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o na n dc h a o sc o n t r o lc a nb ea c h i e v e d s i m u l t a n e o u s l yw i t ho n ec o n t r o l l e r t h em a t l a bs o f t w a r ei su s e dt op r o v et h ee f f e c t i v e n e s so f t h i sm e t h o d f i n a l l y , t h ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o no ft h ef i r s tn e w c h a o t i cs y s t e mv i an o n l i n e a rc o n t r o li s s t u d i e d b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , u s i n gan o n l i n e a rc o n t r o l l e rc a ns y n c h r o n i z et w o i d e n t i c a ls y s t e m s b yt h el i n e a rc o n t r o lt h e o r y , n o n l i n e a rc o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e dt o s y n c h r o n i z et w od i f f e r e n tc h a o t i cs y s t e m s n u m e r i c a ls t i m u l a t i o n sa r ep r o v i d e dt os h o wt h e e f f e c t i v e n e s sa n df e a s i b i l i t yo ft h i sm e t h o d k e y w o r d s ：n e wc h a o t i cs y s t e m ；d y n a m i c a la n a l y s i s ；c h a o sc o n t r o l ；a d a p t i v ec o n t r o l ； n o n l i n e a rc o n t r o l ；s y n c h r o n i z a t i o no ft w oi d e n t i c a lc h a o t i cs y s t e m s ，s y n c h r o n i z a t i o n o ft w od i f f e r e n tc h a o t i cs y s t e m s i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密吖 学位论文作者签名：擎振构 指导教师签名： 砷年1 7 , 月f 罗日以刁年仁月修日 独创性：声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：谭振捧 日期：1 叼年2 月箩日 江苏大学硕士学位论文 1 1本课题的研究背景 第一章绪论 作为非线性科学中最重要的成就之一，动力学系统中复杂现象的发现以及混沌学的 创立和发展，开创了非线性科学的新纪元，被誉为2 0 世纪物理学上继相对论和量子力 学之后的第三次革命。 所谓混沌是指在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性 动力学系统所特有的一种运动形式，它广泛地存在于自然界诸如物理、化学、生物学、 地质学以及技术科学、社会科学等各种科学领域。一般而言，混沌现象隶属于确定性系 统而难以预测，隐含于复杂系统但又不可分解，以及呈现多种“混乱无序”却又颇有规 则的图像。从数学上讲，对于确定的初始值，由动力系统就可以推知该系统长期行为甚 至追溯其过去形态。但在2 0 世纪6 0 年代，美国气象学家l o r e n z 在研究大气时发现， 当选取一定参数的时候，一个由确定的三阶常微分方程组描述的大气对流模型，变得不 可预测了，这就是有趣的“蝴蝶效应”【1 1 。在研究的过程中，l o r e n z 观察到了这个确定 性系统的规则行为，同时也发现了同一系统出现的非周期无规则行为。通过长期反复地 数值试验和理论思考，l o r e n z 揭示了该结果的真实意义，并在耗散系统中首先发现了混 沌运动，这为以后的混沌研究开辟了道路。 2 0 世纪7 0 年代，特别是1 9 7 5 年以后，是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。在这 一时期，作为一门新兴的科学混沌学诞生了。1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l e 和荷兰学者f t a k e n s 一起发表了论湍流的本质 2 1 ，在学术界首次提出用混沌来描述 湍流形成机理的新观点，并且为耗散系统引入了“奇怪吸引子 这一概念。1 9 7 5 年，李 天岩( t y “) 和j a y o r k e 在他们著名的论文“周期3 意味着混沌 中【引，给出了闭区 间上连续自映射的混沌定义，在文中首先提出c h a o s ( 混沌) 这个名词，并为后来的学 者所接受。1 9 7 7 年夏，物理学家j f o r d 和c t c a s a t i 在意大利组织了关于混沌研究的第一 次国际性科学会议，标志着混沌研究在国际科学界的正式起步。1 9 7 8 年，美国物理学家 m j f e i g e n b a u m 在统计物理学杂志上发表了“一类非线性变换的定量普适性”的文 章【4 】，轰动世界。1 9 8 0 年，美国数学家b m a n d e l b r o t 用计算机绘出了第一张m a n d e l b r o t 集的混沌图形【5 1 。1 9 8 1 年，美国麻省理工学院的p s l i n s a y 第一次用实验证明了 江苏大学硕士学位论文 f e i g e n b a u m 常数。1 9 8 3 年，加拿大物理学家l g l a s s 在物理学杂志上发表了“计算 奇怪吸引子的奇异程度 的著名文章，并开创了全世界计算时间序列维数的热潮。1 9 9 0 年，在德国专门召开了分岔与混沌研讨会。在我国，1 9 8 4 年著名混沌学家郝柏林院士编 著出版的( c h a o s ) ) 一书1 6 1 ，阐述了混沌研究的一些理论结果；1 9 8 6 年，在桂林召开了 第一届混沌会议，促进了混沌研究的广泛开展；1 9 9 0 年徐京华在世界上第一个提出了三 种神经细胞的复合网络中存在的混沌现象。混沌学的创立，将在确定论和概率论这两大 科学体系之间架起桥梁，它将揭开物理学、数学乃至整个现代科学发展的新篇章。 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，特别是对初始条件 极其微小变化的高度敏感性及不稳定性，使得混沌控制举步维艰，长期以来人们觉得混 沌是不可预测、不可控制的。但是1 9 8 9 年，h u b l e r a 发表了控制混沌的第篇文章【7 】。 1 9 9 0 年，e o t t ，g g r e b o g i 和j y o r k e 提出控制混沌的思想，并基于混沌轨道是有无穷 多不稳定周期轨道构成的基本性质，提出了一种参数微扰控制混沌运动的具体实施办 法，即现在称之为o g y 方法f 8 】，很快他们提出的控制混沌的思想和方法被w l d i t t o 和 r r o y 等人在实验中证实，之后，混沌控制的理论与应用研究蓬勃发展。 从总体上来说，混沌同步属于混沌控制的范畴。在自然界及实验室里存在着大量的 同步现象，并有相当大的普遍性。所谓同步，通俗地说就是指动态系统中步调一致的现 象。但混沌系统又有一特点，即在两个完全相同的混沌系统中，当它们的初始条件有一 微小差异时，两系统的运动轨迹在同一相空闯将会变得毫不相关。因此，许多人认为混 沌系统要想达到同步似乎是完全不可能的。在科学史上，最早观察到的同步现象是在 1 6 6 5 年由荷兰物理学家、钟摆的发明者惠更斯( ch h u y g n s ) 发现的，他偶然看到两 个并排的钟摆的原来并不相同时刻的振荡居然达到了完全同步，正是这一发现开辟了数 理科学中的一个分支耦合振( 荡) 子理论，揭示了自然界中相当普遍的同步现象及 其机理，尤其是生物体内外的同步现象，例如：心脏中的起博细胞，操纵人体节律动作 的神经网络，无数萤火虫的同步发光与同步熄灭以及众蟋蟀齐声呜叫等等。为了弄清楚 这些现象同步的机理，科学家经历了漫长的道路，一直到上世纪八十年代末才取得了突 破性的进展：应用物理学中的对称破缺理论，对相同的表面上对称的振荡子相互耦合时 所出现的一般模式进行了分类。同步现象是耦合振荡子的最为人们所熟悉的一种组织形 式，同步是通过它们之间的合作而实现的。但这些自然界及实验室里的同步现象，无论 是从对象、方法到同步的概念，都无一不是建立在周期运动的基础上。关于混沌系统的 同步现象【9 1 ，却是在二十世纪九十年代初发现的，1 9 9 0 年美国海军实验室的学者p e c o r a 2 江苏大学硕士学位论文 和c a r r o l l 在电子学线路的设计实验中首次观察到了混沌同步的现象h o 】。他们发现一个 混沌系统的某些相同的子系统在特定的条件下可以做到相互同步，这里的两个系统同 步，是指一个系统的轨道将收敛于另一个系统轨道的同一值，它们之间始终保持步调一 致，并且这种同步是结构稳定的。这既是令人吃惊的，又是引入入胜的发现，因为混沌 行为的最大特点就是，运动轨线对初始条件具有高度的敏感性，所以以前认为在实验室 内重构相同的完全同步的混沌系统简直是不可能的事情，但是混沌同步的发现冲破了这 个禁锢，打开了新的天地，具有诱人的应用发展前景。 1 2 本课题的研究现状和发展前景 自从混沌作为一个新的科学名词出现在科技文献中以来，关于混沌的研究已迅速发 展为一个内容丰富、应用广泛的研究领域，混沌动力学的许多概念和方法逐步应用到自 然科学、工程技术和社会科学的许多领域，它已经对自然界许多复杂现象( 如水利、气 候、地震、经济、生命现象等) 的研究产生了极大的影响作用。近年来对于混沌的研究 已经取得了一定的进展【1 1 之0 1 ，混沌的应用已经相当广泛，并且在天气预报、地震观测、 生命现象等方面混沌理论的应用已经取得了令人瞩目的研究成果。 经过近几十年的发展，尤其是最近十多年的迅猛发展，混沌控制与同步及应用研究 已获得了重大的突破性进展，人们已逐渐改变了对混沌运动的不稳定性，不可控制的陈 见，并开始利用混沌，应用混沌。目前国内外已经提出了许多不同的控制混沌的方法， 如：o g y 方法、偶然正比反馈技术( o c c a s i o n a lp r o p o r t i o n a lf e e d b a c k ，简称o p f 技术) 、 自适应控制、线性反馈控制、自适应反馈控制等方法【2 1 2 引。混沌控制目标由最初的不动 点、低周期轨道的镇定发展到高周期轨道或准周期轨道的镇定；被控制的对象也由最初 的低维系统发展到高维系统乃至无穷维系统( 时空混沌的控制) 。混沌控制正在日渐形 成系统化的理论体系。同时，混沌控制在光学、等离子体、化学反应、流体、电子回路、 人工神经网络、生物系统等大量实验和应用中得到验证【2 9 。3 3 1 。人们对混沌控制的广义认 识是：人为并有效地影响混沌系统，使之发展到实践需要的状态，这包括：( 1 ) 在混沌 运动有害时，成功地抑制混沌；( 2 ) 在混沌有用时，产生所需要的具有某些特定性质的 混沌运动，甚至产生出特定的混沌轨道：( 3 ) 当系统处于混沌状态时，通过控制产生出 入们需要的各种输出。总之，尽可能利用混沌运动自身的各种特性来达到控制目的，是 所有混沌控制的共同特点。因此，混沌控制的主要目的是消除已有的混沌运动，或降低 混沌运动的程度。 3 江苏大学硕士学位论文 需要指出的是：目前虽然控制混沌的理论主要应用于少数几个变量定义的混沌动力 学中，高自由度的系统( 例如大气和高雷诺数的运动流体) 不易控制，然而在高维( 或 无穷维) 系统情况下其吸引子可能是低维的，所以低维混沌系统的控制问题仍具有一定 的普遍意义。在混沌控制的研究中，时空混沌控制占有独特的位置。一方面，实际系统 绝大多数同时具有时间和空间变量，只有研究时空系统才能真正解决大量的实际混沌应 用问题，另一方面，对高维时空混沌及其控制的研究要比低维混沌复杂得多，人们对它 的认识还远不如低维混沌那么清楚。因此，这一领域研究的未知空间广阔，具有很大的 理论价值和应用潜力。 混沌同步从总体上来说属于混沌控制的范畴，根据目前的文献报道，在混沌同步中 应用较多的有如下几种类型【9 j ：第一种类型是1 9 9 0 年p e c o r a - c a r r o l l 提出的驱动一响应同 步方案；第二种类型是耦合同步方案；第三种类型是由k p y r a g a s 提出的连续变量微扰 反馈方案；第四种类型为h u b e r m a n 和l u m e r 在1 9 9 0 年提出的自适应控制方案。另外 还有噪声感应同步，主动被动同步等。 近年来竞争最激烈的应用研究是将混沌同步用于保密通信中。已经发现，当秘密通 讯的双方都有完全相同的混沌电路时，在特定的条件下可以实现秘密信号从发射机的编 码到接收机的解码的全过程信息解密，即达到了两个系统的混沌同步。这里两个系统的 同步，是指一个系统的轨道将完全收敛于另一个系统轨道的同一值，它们之间将始终保 持步调一致，并且这种步调是结构稳定的。为此，p e c o r a 和c a r r o l l 研制了一种能产生 混沌的非线性电路，并可以分成个稳定的子系统和一个不稳定的子系统，然后，把具 有负的l y a p u n o v 指数的稳定部分复制成一个响应系统，而原系统称为驱动系统，这样 响应系统是稳定的而且是驱动系统的复制品，其轨道就不受初始条件微小波动的影响， 而将与驱动系统收敛于同一轨道。这样将非线性映射所产生的混沌序列作为载波，把有 用的信号作为调制信号并混合在混沌信号中发射出去；在接收端，利用混沌序列的发生 规则从接收信号中提取混沌载波，再经过简单的信号处理恢复出有用的信号。 混沌控制和同步不仅在保密通信、信息处理等领域，而且在生物医学等方面，都 具有巨大的应用潜力和发展前景，目前已经提出了许多实现混沌控制和同步的一些可能 应用方案，主要是通过电子线路、激光系统、神经网络和计算机系统等来实现。总之， 充分利用混沌的固有特性，在混沌系统控制和同步的基础上开发其应用的潜力，这是在 混沌研究中重要而又具有长远意义的课题。在理论和实验研究不断取得进展的同时，人 们也正在不断开拓新的应用领域。众多的控制和利用混沌的例子：对混沌激光器、混沌 4 江苏大学硕士学位论文 二极管电路实现了控制；在通信、生理学、化学反应工程等方面不断地产生了新的技术 构想，并有希望很快地成为现实。更深信地说，人的思维与活动实际上是有控制的混沌 活动，其意义与规律远没有被人们认识并利用。我们有理由相信，控制和利用混沌的前 景必定是十分广阔和无比美好的。 1 3 本课题的研究内容及意义 自混沌理论在2 0 世纪6 0 年代出现以来，混沌动力学分析及混沌控制与同步一直是 其研究的中心课题，目前对于混沌控制与同步的研究已经遍及许多学科领域，成为富有 挑战性的研究课题之一。本课题主要研究一类新的混沌系统的动力学行为、混沌控制和 混沌同步问题。本文共分五章，论文内容安排如下： 第一章为绪论。论述了本文选题的背景和研究的意义，在此基础上回顾了混沌的发 展进程，通过对混沌、混沌控制以及混沌同步的研究现状进行综述，给出了本文的研究 内容及章节安排。 第二章主要介绍了本文中涉及的基本概念和基础理论。在参考大量文献的基础上， 给出了几个关于混沌的定义，阐述了混沌运动的基本特征，介绍了系统混沌性的判定方 法及混沌控制和同步一些基本概念理论和主要研究方法，从而形成较为完整的理论体 系，为以后几章的应用研究提供了理论依据。 第三章提出了一类新的混沌系统，并研究了它们的动力学分析问题。基于第二章的 理论基础，研究了新系统的基本性质和基本动力学特性，主要包括：不变性和对称性、 耗散性及吸引子的存在性、微分同胚和拓扑等价、平衡点的稳定性、l y a p u n o v 指数、 l y a p u n o v 维数、时域波形图、功率谱以及p o i n c a r 6 截面等。 第四章研究了一类新的混沌系统的混沌控制问题。利用b a c k s t e p p i n g 自适应控制方 法控制参数未知的新系统。基于l y a p u n o v 稳定性理论方法，构造新的自适应控制器， 给出了控制器及未知参数自适应律解析式，使得未知参数识别和系统的控制能同时取 得，方法简单，控制效果好。数值模拟证明了该方法的可行性和有效性。 第五章研究了一类新的混沌系统的同步问题。基于非线性控制理论，分别讨论了第 一个新的混沌系统的自同步、两个新系统的异结构同步以及第一个新系统与l i u 系统的 异结构同步问题，数值仿真证实了方法的可行性和有效性，能在较短时间内达到同步。 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念和基本理论 2 1混沌 2 1 1 混沌的定义及基本特征 所谓混沌，粗略地说是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动的动力 学行为。由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，迄今，学术界对“混 沌 尚缺乏统一的普遍接受的一般定义，如下四种定义具有互补的效果，较好地概括了 混沌的定性行为3 4 1 。 第一种定义：基于混沌的“蝴蝶效应”，即倘若一个非线性系统的行为对初始条件 的微小变化具有高度敏感的依赖性，则称为混沌运动。这种对初值的高度敏感依赖，使 系统的行为表现出极端的不稳定性在相空间内初始值及其邻近的两条轨道，随时间 的推进两条轨道的距离彼此以指数形式迅速分离而永不相遇。但是系统的混沌奇异吸引 子的整体是稳定的，系统的长期行为显示出混乱性和不可预测性。 第二种定义：基于l i - y o r k e 定理，从数学上严格定义。 第三种定义：除了通常已知的三种典型运动类型，即平衡点( 静点) 、周期及准周 期运动以外一种类似随机的运动形态，就是混沌运动，它的特点是局部极不稳定而整体 稳定。 第四种定义：来源于确定性运动的无规则运动，由哈肯提出。 以上几种定义主要是从非线性动力学角度、数学、物理的观点提出来的。这里详细 介绍第二种定义。 l i y o r k e 的混沌定义 l i y o r k e 定义【3 1 是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行定义的， 该定义可描述如下： 定理2 1 ( l i y o r k e 定理) ：设厂( x ) 是【口，6 】上的连续映射，若厂( x ) 有3 周期点，则 对任何正整数n ，f ( x ) 有n 周期点。 定义2 1 ( l i - y o r k e 混沌定义) ：设( m ，p ) 为一度量空间，f ：m m 为m 上的连 续自映射，称离散动力系统( m ，f ) 为l i y o r k e 意义下的混沌，如果： 6 江苏大学硕士学位论文 ( 1 ) f 的周期点的周期无上界： ( 2 ) 存在膨中的不可数子集s q ( 厂) p ( f ) 满足 l i m s u p p ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) 0 l i m i n fp ( f “( x ) ，f ”( 力) = 0 l i m s u p p ( f ”( x ) ，f ”( p ) ) 0 v x ，y s ，z y v x ，y s v x s ，v p p ( 厂) 其中q ( 厂) 为厂的非游荡集，p ( f ) 为厂的所有周期点集合，则称厂为l i y o r k 意义下的 混沌。 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数厂( x ) ，如果存在一个周期为3 的周 期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话来说， 只要有周期3 就“乱七八糟”的，什么周期都有。 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形式。与其他复杂现象相区别，混 沌运动有着自己独有的特征，概括地说，混沌系统的复杂动力学具有如下基本特性： ( 1 ) 对初始条件的微小变化具有高度的敏感依赖性； ( 2 ) 用最大的l y a p u n o v 指数大于零表征； ( 3 ) 混沌吸引子在相空间内整体上是有界的，但是在吸引子内相轨迹具有高度不 稳定性，除了最大的李雅普诺夫指数大于零外，还具有有限值的拓扑熵与测度熵； ( 4 ) 混沌吸引子的几何特征是具有分形( 分数维数) 和自相似嵌套结构；具有连 续功率谱： ( 5 ) 混沌吸引子具有遍历性； ( 6 ) 经常与分岔、分形和多种奇怪吸引子甚至排斥子等复杂动力现象共存。 一般来说，混沌运动具有下面的特征： ( 1 ) 长期运动对初值的敏感依赖性，即长期运动的不可预测性； ( 2 ) 运动轨线的无规则性； ( 3 ) 宽的f o u r i e r 功率谱； ( 4 ) 有分形结构的奇怪点集，对耗散系统具有分数维的奇怪吸引子出现；对保守系 统也有奇怪的混沌区域( 胖分形) 。 7 江苏大学硕士学位论文 2 1 2 系统混沌性的判定方法 在对非线性系统进行研究时，首要的问题是对系统是否混沌的判断，然后根据实际 需要对系统进行控制研究、稳定性分析研究或者分岔分析等等。下面介绍几种判断或者 预测系统是否出现混沌的有效方法。 ( 1 ) l y a p u n o v 指数 混沌运动的基本特点是运动对初始条件的极端敏感性，也即两个极靠近的初值产生 的轨道，随时间的推移按指数方式分离。l y a p u n o v 指数是定量描述这现象的量。 对于平衡点和周期运动，人们常用系统在平衡点的j a c o b i 矩阵的特征值实部以及周 期运动微扰方程的特征指数实部来判断其稳定性。l y a p u n o v 指数是对上述特征值及特征 指数的一种推广，给出了对系统任意相邻轨线平均发散程度或平均收敛程度的一种度 量。因此，它可以用于包括平衡点、周期运动、拟周期运动乃至混沌运动的稳定性描述， 是目前判断混沌最可靠的一种定量方法。 1 ) 连续动力系统的l y a p u n o v 指数 设有连续动力系统 西= f ( u ，) u r ”，f r 1 其相轨线为g ( t ) ，研究相邻轨线u ( t ) 与万) 的距离随时间延迟的发散程度。记 以f ) = 甜o ) 一万9 )w o = 群( 0 ) 一蟊( o ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 对于充分小f 拘l l w ( t ) l | ，w ( f ) 满足线性常微分方程 影二、鳅玩d w ( 2 3 ) 【w ( o ) = w o 、7 定义历( f ) 与有初始距离w o 的相邻轨线u ( t ) 间的l y a p u n o v 指数为 砸= 熙吾n 错= 熙掣 仁4 ， 其实对于线性定常系统已经证明：l y a p u n o v 指数就是系统矩阵特征值的实部，对于 具有周期系数的线性系统，l y a p u n o v 指数与系统特征指数实部也相同，由此也说明 l y a p u n o v 指数是对系统特征值和特征指数的一种推广。 l y a p u n o v 指数与吸引子之间的关系 ( a ) 一般来讲，l y a p u n o v 指数的个数等于相空i b - j 的维数。在l y a p u n o v 指数小于零的 江苏大学硕士学位论文 方向相体积收缩，运动稳定，对初值不敏感；在l y a p u n o v 指数大于零的方向轨道以指 数率分离，对初值敏感，运动呈现混沌状态：l y a p u n o v 指数等于零对应稳定的边界点。 ( b ) l y a p u n o v 指数的定义包含了，斗o o 的情形，所以可以用其对吸引子进行分类： 如果吼( 历) o ，k = 1 , 2 ，刀，则吸引子是渐进稳定的平衡点； 如果盯。( 万) = 0 ，吒( 万) o ，k = 2 ，3 ，则吸引子是渐进稳定的极限环； 如果q ( 历) = 0 ，c r 2 ( 订) = 0 ，吼( 万) o ，盯2 ( 历) 0 ，c r k ( 历) 0 ，k = 3 , 4 刀，则吸引子是超混沌吸引子。 2 ) 离散动力系统的l y a p u n o v 指数 考察映射序列 u j + l = p ( u ) 甜r ”，= 0 ，l ，2 ( 2 5 ) 记 一= u 一乃 = 0 , 1 ，2 ( 2 6 ) 定义乃与有初始距离w o 的映射点的l y a p t m o v 指数为 咂川= 熙乡，n 锚= l i ml n ，w , i i 对于充分小的0 叶| | ，有 ( 2 7 ) + l = d p ( 万j ) w j = 兀d p ( 万i ) w o = a ( j ) w o ，= 0 , 1 ，2 ( 2 8 ) i = 0 将矩阵彳( ，) 的特征值以( 歹) 按实部由大到小排列为 ，如，以，记相应的特征向量为 仍，仍，o 定义映射 u + l = p ( u ) 9 ( 2 9 ) 江苏大学硕士学位论文 则沿特征向量纯的l y a p u n o v 指数为 吼：l i m 掣 j + 1 ( 2 1 0 ) 与连续动力系统类似可知，如果离散动力系统的最大l y a p u n o v 指数大于零，则该 系统也是混沌的。 l y a p u n o v 指数是用来度量运动对初值的敏感程度的量；通常系统的l y a p u n o v 指数 的个数等于相空间的维数。最大的l y a p u n o v 指数大于零是混沌存在的一个重要判据。 ( 2 ) 分维数 点为零维，线段为一维，面积为二维，体积为三维，等等，通常维数总是整数。但 在奇怪吸引子的结构中，可以看到无穷层次的自相似几何结构，他们通常具有非整数的 空间维数。一般可以这样来理解吸引子的分数维：设相空间为m 维，以边长为s 的m 维 立方体来覆盖给定的吸引子，若最少需要( s ) 个立方体，则该吸引子的维数为 d ：l i 婴訾警 ( 2 1 1 ) h ol g ( 形) 。 通常把吸引子的维数是非整数看成混沌出现的一个表征。但是必须注意到：奇怪吸 引子与具有分数维结构的吸引子之间没有必然的联系，也即奇怪吸引子可能有分数维， 但也不一定；反之。具有分数维的吸引子也不一定是奇怪吸引子。 ( 3 ) m e l n i k o v 方法 m e l n i k o v 方法实质上是通过测定过双曲不动点的稳定流形与不稳定流形是否存在 横截相交的同宿点来判断是否存在s m a l e 马蹄意义下的混沌的有效方法。 考虑方程 量= 厂( x ) + 曙( x ，) ，0 0 ，w “n 形5 矽，如果m ( f o ) 总不为零，则w 。n 形5 = 妒。 2 2 l y a p u n o v 第二法和l y a p u n o v 函数 数望竺，便可以确定系统平衡点的稳定性，这就是l y a p u n o v 第二法的思想。 冬：，( x ) ( 2 1 4 ) 其中x = 三f c 功= 二三? ：二： ，假设f c 。，= 。，且f c x ，在区域 g = ( x l ，一，x 。) ：0x | l 0 ，那么方程( 2 1 4 ) 的零解是不稳定的。 定理2 6 如果存在一个定正的函数v ( x ) ，其关于方程( 2 1 4 ) 的全导数i d v 为常负， 但使华：o 的点x 的集合中，除零解工：o 外，并不包含方程( 2 1 4 ) 的其它解，则方程( 2 1 4 ) a t 的零解渐近稳定。 l y a p u n o v 第二方法将稳定性的问题转化为l y a p u n o v 函数的构造问题，寻找和建立 满足上述诸定理的函数y ) ，实质上需要高度的技巧。l y a p u n o v 和他的后继者也已经 提供了某些建立l y a p u n o v 函数的方法，他们可以成功的解决许多具体问题，归集起来， 有类比法、能量函数法、变量分离法、变梯度法、广义能量法、首次积分线性组合与加 权法等。 2 3 混沌控制 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一，对这个问题的研究具有 重要的理论和实际意义。控制混沌的主要目标是消除已有的混沌运动，或降低混沌运动 的程度。 1 2 江苏大学硕士学位论文 2 3 1 混沌控制的定义 定义2 3 考虑一个非线性系统：x = f ( x ，) + u 其中x = ( x l ，x 2 ，以) ， f = ( e ，e ，只) ，u 为控制函数。假设当u = 0 时，系统是混沌的。当输入合适的控 制器u 使得系统能够从混沌态到达稳定态，则系统得以控制。 2 。3 2 混沌控制的目标及主要方法分类 非线性系统的混沌控制的主要任务归结为：根据不同学科、工程及各种领域中的实 际需要，从理论和实践( 实验和工程) 两方面，研究如何从多种多样的非线性系统产生 的混沌奇异吸引子中，按照人们的意愿，获取或转换所需的动力学行为，为众多领域提 供应用的原理、方法和技术基础。混沌控制迄今尚无统一的理论框架，但有一个基本的 物理本质，就是将原来正的l y a p u n o v 指数改变为负值，从而实现由不稳定到稳定的转 变。混沌控制的目标主要有【3 5 】： ( 1 )抑制或消除某些类型的混沌； ( 2 )稳定控制在混沌吸引子中所期望的不稳定的周期态； ( 3 )通过控制达到新的动力学行为； ( 4 )消除多重的混沌吸引子； ( 5 )实现两个或多个相同动力系统的周期同步、混沌同步及其控制； ( 6 )控制混沌吸引子中的非周期态、周期态及其同步的可能应用。 针对不同的任务目标，发展不同的控制策略和方法，迄今已经提出各种控制方法。 图2 1 中示出混沌控制与混沌同步的主要方法及类型。从图可得出混沌控制与混沌同步 方法的多样性迅猛发展的势头。这里强调了线性控制与非线性控制两大类型，也可以划 分为反馈控制与非反馈控制两大类型。 1 3 江苏大学硕士学位论文 方法与策略 线性控制法非线性控制法 i 最小能量法 参数( 变量)传输，迁变量反馈 自适应法 外部 微扰法 移法 ( 耦合) 法 噪声法 时间空间 偶然币比l i 单向 微扰法 r1 微扰法 变量反馈广1 耦合法 外部周期延时双向 微扰法反馈法r1耦合法 脉冲( 离散) ii 连续变量 反馈法r - 1 反馈法 2 4 混沌同步 2 4 1 混沌同步的定义 图2 1 混沌控制的主要方法及类型 所为混沌同步，指的是对于从不同初始条件出发的两个混沌系统，随着时间的推移， 它们的轨线逐渐一致。 考虑两个系统，一个混沌系统为： 戈= f ( x ，t ) ( 2 1 5 ) 该系统可以称为驱动系统，或者在通讯中称为发射系统。 另一个混沌系统为： - = f 口，r ) + g ( 2 1 6 ) 其中g 为任意一个控制器，通常该系统称为响应系统，或者在通讯中称为接收系统。这 里，为时间，矢量x ，y r “，它们分别具有，2 维分量g ，x ：，x 。) 及执，y ：，y 。) 。上面 两个系统可以是完全相同的p 伍，f ) = f ( y 3 f ) ) ，也可以是不同的，但是它们的初始条件 都不同。 如果两个系统通过控制器g 的某种方式联系，令x ( f ；气；k ) 和】，( f ；t o ；y o ) 分别为 1 4 江苏大学硕士学位论文 ( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 的解，并满足函数光滑条件，当存在尺”的一个子集d o 。) 时，使得初值 k ，虼d ( f 。) ，当，专o o 时，若存在： f - = l i mx ( t ；t o ；x o ) 一】，o ；岛；k ) 0 专o( 2 1 7 ) 则称响应系统( 2 1 6 ) 与驱动系统( 2 1 5 ) 达到同步。显然，控制器g 起关键作用，人们可以 设计各种不同的控制器g ，于是就有各种同步方法。 2 4 2 混沌同步的类型 混沌同步可以分为两大类型： ( 1 ) 恒等同步( i s ) ：对于参数和变量完全相同的两个或多个非线性混沌系统， 即f ( ， ) = f ( y ，f ) ，当它们系统相应的信号不仅幅度大小而且相位大小都完全相同时， 这时达到了混沌同步，称为恒等同步。 ( 2 ) 广义同步( g s ) - 对于两个或多个完全不同的混沌系统，即，伍，) f p ，f ) ， 当它们相应的信号或者只是相位同步，或者只是频率同步，或者只是它们的幅度之间或 者两个系统变量之间存在一定的函数关系，这种同步则称为广义同步。 江苏太拳硕士学位论文 第三章一类新的混沌系统的动力学分析 本章提出了两个新的混沌系统，并基于第二章的理论基础，研究了新系统的基本性 质和动力学特性- 主要包括：平衡点的稳定性分析、耗散性及吸引子的存在性分析、 l y a p u n o v 指数分析、l y a p u n o v 维数分析、时域波形图分析、功率游分析以及p o i n c a r 截面分析等；井设计了第一个新的馄沌系统的实现电路，电路实验结果与动力学特性分 析、数值仿真完全相等从而进一步验证了该系统的混沌行为。 31 一个新的混沌系统 本章提出的第一个新的非线性混沌系统，其动力学方程为 1 i = a ( y n = h + c y n( 3 1 ) l j = f 1 一h z 当a = 2 0 ，b f f i l 4 ，c = l o 6 ，械8 ，选取初值( 2 0 2 0 ，2 0 ) 时，新系统有一个混沌吸引 子，如国3 1 所示。 斜曲 目，l 幕辄3 1 ) 的祝沌嚷引班i 终空间栅幽忙) 廿平埘相幽忙m 早删相幽御弦平面相哪 1 6 江苏大学硕士学位论文 注意到系统( 3 1 ) 在变换 ，y ，z ) j ( 吱，- 3 , ，力下具有不变性，即系统( 3 1 ) 关于z 轴 v v = 瓦o f t + 瓦o p + 鬈= 一口十c 一厅= 一6 1 5 所以系统( 3 1 ) 是耗散的，并以指数形式孚：p - ( 6 v 收敛。也就是说，一个初始体积 为坎0 ) 的体积元在时间t 时收缩为体积元p ( 6 1 巧) f 。故当卜 o 。时，包含系统轨线的每个 ( 3 微分同胚和拓扑等价 由于系统( 3 1 ) 与l o r e n z 系统、c h e n 系统和l n 系统均不存在同胚变换，故系统( 3 1 ) ( 1 ) 平衡点及其稳定性 令戈= 夕=