（船舶与海洋结构物设计制造专业论文）船体外板展开的保形映射法研究.pdf

摘要 水火弯板加工工艺有着成形后不易反弹，而且便于多次加工修正等优点，从而引起 了整个造船行业的关注，近年来国内外对船体复杂曲面钢板自动水火加工成形课题都 进行了大量的研究，目的就是为了实现该加工过程的自动化。通过前人的努力，水火 弯板技术及其自动化已经得到了很大的发展。但在目前的条件下，还不能使钢板在加 工中达到一次成形，这就涉及n - - - 次加工的问题。如果能为二次加工提供准确有效的 数据，将可以起到提高加工精度、保证曲板成形质量的目的。为解决这一问题，本文 在前人工作的基础上在以下几个方面进行了研究： l 、对曲面表达的研究。由于生产和试验所用的板材大都是不可展的复杂曲面，因此， 本文应用非均匀b 样条的知识，并运用反箅控制顶点的方法将不可展曲面用四边 形网格表示出来，从而实现船体外板的三维表达。 2 、对曲面展开的研究。在完成曲面表达的基础上，运用保形映射的方法，以保持曲 面展开前后形状不变为原则，将表达好的复杂网格曲面展开到平面上，实现由三 维向二维的映射。 3 、对展开裂缝的研究。在实现曲面展开的时候，通常会在平面上出现裂缝。此处， 裂缝宽度即为水火加工船体外板时所需要的收缩量。本文将计算出各裂缝的宽度 值，为二次加工提供数据。 4 、对运用方法的验证。以船厂实船板为例子，对该板进行表达和展开，并计算其展 开裂缝宽度，以验证本文所运用方法的可行性。 关键词：船体外板；非均匀b 样条；曲面表达；保形映射法；曲面展开：裂缝 a b s t r a c t l i n e h e a t i n gi sc a u s e dt h ec o n c e r no f t h ew h o l es h i p b u i l d i n gp r o f e s s i o nb e c a u s eo fi t s m a n yv i r t u e s ，s u c ha st h ec r a f th a v eg o t t os p r u n gn o t e a s i l ya f t e rt a k i n gs h a p ea n d i ti se a s yt o p r o c e s st h ec o r r e c t i o nm a n yt i m e s a sar e s u l to ft h i s ，m a n ya t t e m p t sh a v eb e e nt r y i n gt o a n a l y z et h el i n e h e a t i n gp r o c e s st h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l l ya n dm a k i n g i ta na u t o m a t i c p r o c e s si st h eg o a lo f t h e r e s e a r o h a st h ee f f o r tb e f o r e ，t h ec r a f tg e t sav e r yb i gd e v e l o p m e n t b u tu n d e rt h ec u r r e n tc o n d i t i o n ，玳c a n td oo n c ei np r o c e s st om a k et h eh u l lp l a t et a k es h a p e ， s oi ti n v o l v e st h ep r o b l e mt o p r o c e s sa g a i n s o i fw ec a ns u p p l yt h ec o r r e c td a t at o c o n t i n u a t i v ep r o c e s s 。w c 湖i n c r e a s et h ep r e c i s i o no ft h ep r o c e s sa n dg u a r a n t e et h eq u a n t i t y o ft a k i n gs h a p e t or e s o l v et h ep r o b l e m ，i nt h i s p a p e r ，e x p e r i m e n ts t u d ya n dn u m e r i c a l s i m u l a t i o na 脚t e d ： 1 t h ee x t 嘲i m n a u as t u d yo nt h ee x p r e s s i o no f u n d e v e l o p a b l es u r f a c e ，b e c a u s et h ep l a t e s w eu s = ii ni z 嫂i u c t i o na n de x p e r i m e n tb e l o n gt ot h ec o m p l e xc l l v v e sw h i c hc a nn o tb e d e v e l o l 娥l , a oi nt h i sp a p e r t h ek n o w l e d g eo fn o n - u n i f o r mb s p l i n ea n dd eb o o ra l g o r i t h m s a 糟侧t o c x p r e s s t h ec o m p l e xc u r v e sw i m q u a d r a n g l e dg r i d d i n g 2 t h ee x p e r i m e n t a ls t u d yo nt h ed e v e l o p m e n to ft h eu n d e v e l o p a b l es u r f a c e t h i sp a p e r p r e s e n t st h ef u n d a m e n t a ld e v e l o p m e n tp r i n c i p l eo fs h a p e - p r e s e r v i n g ，w h i c ha p p r o x i m a t e l y d e v e l o p t h eu n d e v e l o p a b l es u r f a c e 3 t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h es p l i t t h e r ew i l lb es o m es p l i t sw h e nas u l f a c ci s d e v e l o p e d a n d t h ew i d t ho f t h e s p l i t si st h ew i d t ho f s h r i n k i n g w h e nh u l li sp r o c e s s e d s ot h e n u m e r i c a lv a l u eo f t h es p l i tw i d t hw i l lb ec a l c u l a t e d ，a n dw ec a n s u p p l y t h ec o r r e c td a t at ot h e c o n t i n u a t i v ep r o c e s s 4 t h ev a l i d a t i n go ft h em e t h o d i nt h i sp a p e rw ew i l lt a k et h es h i ph u l lf o re x a m p l e ，i t a d v a n c e st h es u r f a c e d e v e l o p m e n tm e t h o do ft h e w h o l eh u l l f u r t h e r m o r e ，t h r o u g ht h e a n a l y s i sb a s e do nd a t a ，w h i c hi so b t a i n e df r o m t h es h a p e p r e s e r v i n gm a p p i n gd e v e l o p m e n to f t h ef u l l s c a l e s h i p h u l li n s h i py a r d ，t h ep a p e rt h e nd e m o n s t r a t e st h e c o r r e c t n e s so ft h e m e t h o d k e yw o r d ：iin o h e a l l n g s u r f a c ee x p r e s s io n s u r f a c ed e v e l o p m e n t ，s h iph u s h a p e p r e s e r v in gm a p pi n gm e t h o d s p i it 船体外板展开的保形映射法研究 0 前言 0 1 课题的意义 水火弯板是造船生产中技术性难度较大的板材加工工艺。主要用于船体双向曲度的 外板曲面成型。因为这种工艺设备简单，成型后不易反弹，而且便于多次加工修正。因 此大多数船厂在进行这类加工时都采用水火弯板工艺方法。但是由于目前对水火弯板工 艺的加工成型的机理还没有一个清楚的认识，还不能对其加工参数和成型参数阃的关系 作一准确的定量描述，因此该工艺目前主要还是凭工人的经验来完成。而这种经验的学 习周期长，技术难掌握。同时由于水火弯板加工是在高温、高压、易燃等恶劣环境中进 行的一项复杂、繁重的劳动，容易使作业工人疲劳和产生厌倦。因此各造船大国都对此 进行了大量研究工作，争取实现水火弯板工艺的自动化。 赵洪福等跚在实验的基础上，根据不同的钢板厚度，回归出试验板的不同相关参数 的数学模型，确定部分工艺参数的选择区间。戴寅生等n ”运用有限元法和李兹法计算 了帆型板自重弯曲时的纵向变形量，并与实船板测试结果进行了比较，提出了模型的修 正方法；应用软件工程理论，设计了水火弯板专家系统的基本模块、定义了结构和功能， 并给出了数据流程。董守富等对帆型板加工成型计算机模拟方法开始了研究，提出了 计算船体曲板辊轧线和见通线的近似方法，分析了水火弯板计算机模拟程序的软件结构 和分层数据流程。刘玉君等n ”通过实验板测量分析，确定了部分板厚角变形量与火焰 移动速度的最佳配合，并细化了水冷的不同方式。同时通过对实船板加工数据的测量， 定性地分析了加热线顺序，边界支撑条件及二次加热对成型效果的影响等。在实验分析 和理论研究的基础之上，刘玉君等啪1 研制开发了一个船体帆形外板水火加工成型工艺参 数预报系统，并给出了帆型板水火成型的应用实例。在国外，1 w a m u r a 等人采用了二维 梁模型进行过线状加热过程的有限差分分析呻1 。m o s h a i o v 等人解决了加热炬在平板上 移动情况下的温度分布问题1 ，而后又首次对线状加热的机理进行了严密的研究，并提 出了一种修正后的切片模型。s h i n 等人对水火弯板过程进行了三维有限元模拟”“。 纵观前人对水火弯板的研究工作可以看出大致分为三个阶段f 9 l ： 第一阶段属于对水火弯板加工方法的定性研究阶段。主要研究方面有：根据金属板 的材质和强度要求，限定金属板表面最高温度；根据不同加热线形状，确定较好的冷却 方法；研究主要工艺参数对成型效果的影响规律等。此阶段是以在实验室中试验为主要 的方法来开展研究的。通过对实验结果的分析，定性地找出不同的加工方法对变形的影 响规律，在此基础之上制定了工艺规程规定了某些工艺参数的应用范围。 第二阶段是对水火弯板加工过程中工艺参数影响变形参数的定量分析阶段。主要研 究方面有：水火弯板数学模型的建立和完善；不可展曲板的最佳展开方法；水火弯板计 算机模拟方法等。在这个阶段中，需要探讨并制定对水火弯板作定量分析的研究方法， 同时还要积累足够多的实船板的加工数据。在此基础上，通过对水火弯板变形机理和模 拟方法的研究，找出工艺参数对变形参数的定量的影响 关系，建立一套比较完整的数学模型，完成计算机辅助水火弯板工艺参数的软件系统。 本文就属于这阶段的研究。 第三阶段是对水火弯板数控系统的研究阶段。主要研究方面有：水火弯板专家系统；水 船体外板展开的保形映射法研究 火弯板人机交互控制系统；水火弯板自动控制系统。 通过前人的努力，水火弯板自动化已经得到了很大的发展，但在目前的条件下，还 不能使钢板在a n _ t _ 中达到一次成型。这就涉及到二次加工的问题。而二次加工的好坏， 取决于二次加工的数据是否准确有效。如果给的数据比较准确，那就可以减少加工次数。 本文就是运用计算机辅助几何设计( c a g d ) 的知识，通过对曲面展开的研究来为二次加 工提供有效的数据。 0 2 船体外板曲面表达的方展”“ 对船体曲面进行设计、相关性能分析与计算以及后续c a m 的实现都需要将船体曲 面在计算机上表示出来。而船体曲面是具有双曲度的相当复杂的空间曲面，不能用规则 的解析曲面进行描述。它由许多子曲面衔接而成，尤其是首尾部，均为复杂的自由曲面， 曲面曲率变化剧烈。那么如何更加合理地运用数学方法来表达船体曲面形状，便成为造 船界追求的关键目标之一。随着计算机技术和曲面造型技术的发展而逐步发展，这个目 标也逐步得以实现。尤其是计算机辅助几何设计和自由曲面造型技术的不断完善与实用 化为船体曲面表达提供了坚实的理论基础。 船体曲面几何表示方法通常分为两类l ： ( 1 )曲线表示方法：它是由一组按某种规律变化的平行的平面曲线，构成船体 曲面，由曲线方程表示。 ( 2 ) 曲面表示方法：直接用曲面方程来描述船体曲面。需要根据所采用的数学 曲面造型工具，确定船体曲面的分片。如利用b e z i e r 曲面，则需要将船体曲面分成几块 曲面片，然后按照位置连续、切平砸连续条件拼接而得到船体曲面。如果采用b 样条方 法，则船体曲面不需要分片 从8 0 年代初开始，我国开始运用计算机来设计船体曲面，表示方法是曲线法。1 9 8 1 年上海交通大学的周超俊和复旦大学的刘鼎元开始用b e z i e r 曲面构造船体曲面，1 9 8 5 年他们又首次运用曰样条曲面法于船体曲面中，并指出船体曲面不需要分片。这是由三 次b 样条基函数的c 2 连续得到保证的。所以说，双三次b 样条曲面相当简单地解决了 曲面片之间的拼合问题。后来这方面比较主要的是大连理工大学的林焰和纪卓尚等对船 体曲面造型的研究，给出了船体曲面几何造型的b 样条曲面控制网格生成思想与方法， 以及从几何角度给出曲面边界条件处理方法。进入9 0 年代中期，随着n u r b s 技术的 发展及它的优良特性，n u r b s 方法开始被应用于船体曲面造型。其中国内外文献介绍 了各种曲面n u r b s 生成方法，然后给出了一些船体曲面的n u r b s 造型国内大连理 工大学对这方面的研究比较多，杜广东比较详细研究了一些基本算法，仵大伟主要对基 于a r x 的n u r b s 船体曲面的光顺处理及参数化特征造型进行了研究。 0 3 曲面展开方法的发展与现状1 t 2 - 2 5 】 0 3 1 曲面展开技术的重要性 在制造工程中，有大量等厚度或变厚度并具有曲面外形的工件，是先制成具有相应 厚度的平板件，再塑性加工成相应的曲面形状。此时，曲面的展开问题往往成为决定工 件质量和工件效率的关键。 船体外板展开的保形映射法研究 尤其在飞机、汽车、造船和服装等设计及制造领域中，复杂曲面的展开是普遍关注 的问题。很长时间以来，益面的展开问题，特别是复杂曲面的展开问题，一直是计算机 辅助几何设计领域研究的难点和热点。 0 3 2 几种常见的曲面展开方法 从可否展开的意义上讲，曲面可分为两类，即可展曲面与不可展曲面。可展曲面是 高斯曲率处处为零的曲面，包括柱面、锥面和切线平面等，其它的曲面为不可展曲面。 曲面的展开是指在不改变内在性质的前提下映射成平面。在可展曲面与平面之间，由于 存在着等距对应关系，其展开是精确的。方法也相对简单，而不可展曲面的展开相对可 展曲面的展开来说要复杂得多，目前应用比较多的方法大都是用近似的方法来展开，这 样就使展开的曲面还原后不能与原来的曲面完全吻合，而存在一定的误差。因此这就要 求我们在展开的时候要尽量的减少误差，使其尽可能的满足工程的要求。 根据近年来的研究成果，已有三种展开方法【6 1 ：几何展开法、力学展开法和几何展 开力学修正法。 ( 1 ) 几何展开法 p a ：r u d a 等提出了一种三角平面网格法，将蓝面离散三角片逐一变换到指定的平面 上：但是该算法在曲面展开的过程中容易产生较大的累计误差和较多的裂纹。s h i m a d a 等提出了使用有限元法计算曲面展开，该算法基于曲面离散的表达式，运用分区域曲面 的展开思想进行曲面展开，但其所使用的曲面分区域算法过于简单。无法处理复杂的曲 面展开问题。c h a k i b 等利用曲面自身的几何特征一测地曲率展开曲面，其基本算法是将 曲面划分为等参数网格，沿着一个方向，根据曲线的测地曲率，将这些曲线展开到一张 平面上，同样也会产生较大的累计误差和较多的裂纹。 结合以前的科研成果和现代先进的计算机应用技术，席平等提出了新方法。把三维 曲面分为平面、直纹面和复杂曲面，前两者的可展性比较容易解决，后者则是研究的焦 点。新方法的步骤是：( 1 ) 将复杂曲面先分割成若干条状区域，每一区域用一个直纹面 逼近。( 2 ) 然后将直纹面用三角形网格划分。( 3 ) 把每个直纹面展开到同一个平面上， 从而得到该曲面的展开面。与前面的方法相比，这个方法有着计算简单，网格划分合理， 并反映了曲面的几何特征等优点。但对于复杂的零件，它的展开图形是不封闭的，并且 随着所取展开方向不一样，同一零件的展开面不是唯一的。 在飞机制造领域中，飞机翼面多数是不可展的直纹面，而且曲率不是很大，机身上 也有小曲率的双曲面。这些零件由平板状变形为所需的外形，其厚度变化不大，因此， 零件变形前后的质量不变可以认为是面积不变。在这个基础上，康小明等提出了四边形 网格等面积法的近似展开的数值方法。这种方法是将曲面离散化，把离散后的曲面片展 开到一个平面上，从而得到蛆面片的展开后的形状和尺寸，再进一步确定出定义于曲面 上的结构信息在展开平面上的形状与位置。 主要步骤是：( 1 ) 曲面离散和网格化。( 2 ) 展开中心的确定。( 3 ) 网格的展开和零 件结构信息的展开。该方法在小曲率壁板类零件制造( 如飞机，汽车和船舶等) 具有广 泛的应用前景，以提高制造精度、缩短生产周期的目的，可是对大曲率的曲面零件就不 适应了。 ( 2 ) 力学展开法 船体外板展开的保形殃射法研究 有一种是基于能量模型的曲面展开方法，在这个方法中，首先由平面三角化网格建 立一个弹簧质点系统，系统中的物理量和几何量相对应。所建立的网格位置和展开后二 维片形状之间的差别，可以认为是一种存储在弹簧质点系统中的弹性形能。也就是说， 两质点间的联接为弹簧，在变形过程中，如果平面上的两质点之间的距离大于对应的原 始曲面上的问距，那么两质点之间有拉力，反之为压力。因此，有变形并产生了变形能。 这个方法的步骤是：( 1 ) 建立能量模型，确定弹力、变形能、位置及相关的精度控制的 数学表达式。( 2 ) 将曲面初始展开，如果不释放能量，无约束地将三角片展贴到平面上 去。对不可展曲面来说，三角片的边不会重合，会形成裂缝。( 3 ) 将变形能量释放，建 立一个含有所有已经展平的三角片的弹簧质点系统。在展平一个三角片t 后，进行调整， 将三角片t 加入到系统中。然后弹簧质点系统将被激活，以释放三角片中的弹性能量。 通过计算就可以得到展开面。 对曲面不同的部位定义不同的弹簧弹性系统，来控制曲面展开的精度。通过使弹簧 质点系统变形，就可由初始平面映射到盘面展开的最终形状。 它的优点是：能展开一般的复杂曲面，容易控制精度，计算简单，应用也较广。 ( 3 ) 几何展开力学修正法 这种方法是先将成形零件几何展开，把曲面划分成一系列条形区域，再用若干直 纹面分别逼近每个条装区域，展开每个直纹面，然后每个直纹面的展开面转到同一平面 上。 第二步是力学修正，由于没有考虑工程因素，零件的几何初始展开面图形不是唯一 的，不封闭，有缝隙和重叠。因此需要修正，其过程是，在初始展开面上的缝隙中增加 若干条状面，将零件的材料特性赋予初始展开面，设定连接缝隙的条状材料 e = 旯= a = 0 。给定边界条件。对初始展开面进行有限元网格划分，施加载荷，使缝隙 封闭。用样条曲线逼近展开后的轮廓外形，从而得到零件的最终展开形状 0 4 本文研究的主要内容 在数学上，大多研究是把平面看成是具有弹性的，即可以自由拉伸和收缩。但在工 程应用中，曲面板往往被看成是冈性的，因此，在将空间曲面板展成平面板的时候，通 常会出现裂缝。通过裂缝的宽度，可以看出板的一些基本信息，也可以通过裂缝宽度的 比较来判断不同曲面板之间的差距。因此，结合本实验室的实际需要，本文进行了以下 几方面的研究： 一、对复杂曲面表达的研究。 水火弯板加工将钢板加工成复杂的不可展曲面。本文将用德布尔反算控制顶点的方 法将复杂的不可展曲面用四边形网格表示出来。 二、对复杂曲面展开的研究。 用以保持曲面展开前后形状不变为原则的保形映射法将表达好的不可展曲面展开 到平面上，实现由三维向二维的转换。 三、展开裂缝的计算 本文将计算出展开平面上各裂缝的宽度值，从而为二次加工提供有效的数据依据。 四、误差计算 船体外板展开的保形映射法研究 由于复杂曲面的展开方法基本都是近似的方法，因此，展开结果也都是近似的，这 就不可避免的存在一定的误差。本文将通过曲面展开的误差计算公式给出用此种算法进 行展开所产生的误差。 船体外板展开的保形映射法研究 1 系统的构成及功能 1 1 系统功能 本系统具有自动读入板的数据、曲面网格自动划分、曲面近似展开、展开裂缝计算、 展开误差计算等主要功能。 1 2 系统构成 本系统主要包括以下几个模块：输入模块、网格划分模块、曲面展开模块、裂缝计 算模块、误差计算模块等功能模块。 1 2 i 输入模块 输入模块的主要功能是，将所给的板上点的数据读入到系统中，从而让系统得到板 的信息。 1 2 2 网格划分模块 网格划分模块的作用是，首先对输入模块所得到的板上点的数据进行参数化，再分 别沿两个参数方向迸行曲面反算，得到控制顶点，然后对所得到的控制顶点进行插值计 算，从而得到一组网格点，最后将所得到的网格点在a u t o c a d 中连接起来，便得到一张 用四边形网格表达的曲面板。本模块由以下几个模块组成： 计算模块：将读入的数据参数化，并依据德布尔反算控制顶点的方法计算出网格的 控制顶点。 插值模块：将计算出来的控制顶点数据进彳亍搔值，得到一组新的数据点 接口模块m j ：通过这个模块使本系统直接连接到a u t o c a d 上，并将得到的插值点用 样条曲线连接起来，将生成的空间网格图在a u t o c a d 中显示出来。 1 2 3 曲面展开模块 曲面展开模块的作用是，将空间网格曲面用保形映射的方法近似展开成平面图。其 中包括以下几个模块： 保形计算模块：运用保形映射算法将板上的空间数据点映射到平面上，实现从三维 向二维的转换。 接口模块：通过这个模块使本系统直接连接到a u t o c a d 上，将展开后的数据点连接 起来，从而将平面网格图在a u t o c a d 中显示出来。 i 2 4 裂缝计算模块 裂缝计算模块的作用是，计算出展开平面上的裂缝的宽度。 1 2 5 误差计算模块 误差计算模块的作用是，计算出此种算法在展开过程中所产生的误差，从而得到 此种算法的精度。 船体外扳展开的保形映射法研究 2 曲面表达1 1 0 瑚。t 2 1 b 样条 2 1 1 b 样条的发展 工业产品的形状大致上可分为两类：类是仅由初等解析曲面组成，大多数机械零 件属于这一类，可以用画法几何与机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形 状信息；第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由交化的曲线曲面即所谓 自由型曲面组成，例如船舶的外形零件。显然，后一类形状单纯用画法几何与机械制图 是不能表达清楚的。 在船厂里，传统上采用模线样板法表示和传递自由型曲线曲面的形状。模线员用 均匀的带弹性的细木条或金属条通过一系列点绘制所需要的曲线即模线，依此制成样板 作为生产与检验的依据。在曲面上没有模线控制的部分取成光滑过渡。这种采用模拟量 传递信息的设计制造方法所表示与传递的几何形状因人而异，要求设计与制造人员付出 繁重的体力劳动，设计制造周期长，制造精度低。互换协调性差，不适应现代造船工业 的发展。随着计算机的出现，采用数学方法定义自由型曲线曲面达到了实际应用的地步。 这导致了c a g e ) ( 计算机辅助几何设计) 的产生和发展。依据定义形状的几何信息，j 应 用本学科所提供的方法，就可建立相应的曲线曲面方程，即数学模型，并通过在计算机 上执行计算和处理程序，计算出曲线曲面上大量的点及其他信息。期间，通过分析与综 合就可了解所定义形状具有的局部和整体的几何特征，这里实时显示与交互修改工作几 乎同步进行。形状的几何定义为所有后置处理提供了必要的先决条件。 自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，成为工程师们首先 要解决的问题。像美国波音飞机公司的弗格森首先提出了将曲线曲面表示为参数的矢函 数方法：美国麻省理工学院的孔斯发表了一个具有一般性的曲面描述方法，给定围成封 闭曲线的四条边界就可定义一块曲面片；法国雷诺汽车公司的贝齐尔发表了一种由控制 多边形定义曲线的方法，设计员只要移动控制顶点就可方便的修改曲线的形状，而且形 状的变化完全在预料之中i 德布尔给出了关于b 样条的一套标准算法，等等。 上述各种方法尤其是b 样条方法较成功的解决了自由型曲线曲面形状的描述问 题。 2 1 2 b 样条的定义及性质 b 样条方法是在保留贝齐尔方法的优点，同时克服其由于整体表示带来不具有局部 性质的缺点，及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的。 b 样条具有三种定义： ( 1 ) c l a r k 提出的定义，其特点是从几何概念出发，形象直观，易为初学者接受。 设三维空间有一点列( v i ，v 2 ，) 被一蓝线段序列p l ( f ) ，i = l ，2 ，n ， 0 ，1 】逼近，我 们要求每段曲线的形状仅由点列( v ，v 2 ，) 中若干个顺序排列的点所控制，且具有如 船体外板展开的保形映射法研究 f 形式： p i = b o ) 弦o ) z ，( f ) 】：万p ) m + ( 2 1 ) 卢o 式中烈f ) 为对应于顶点k + ，的基函数。 又设每个函数f ( t ) 是参数t 的r 次多项式，且具有形式： 万= a j k t 。 k = o f e f o ，1 】1 ( 2 2 ) 式中鳅为多项式的系数 ( 2 ) 用截尾幂函数的差商定义b 样条 七次b 样条为： 肱，i ( z ) = 扛i ，】“+ i ，弛+ l + l 】( f x ) ： ( 2 3 ) 七次规范b 样条为： m ，= ( 褂+ + l x 0 膨，( x ) ( 2 4 ) ( 3 ) b 样条的递推定义：以德布尔一考克斯递推公式作为标准算法。它采用阶数( 等 于次数加1 ) 给出： 岫) _ 豁“ ( 2 - s ) j ( “) = ：；二等m 川( “) + _ 竺世l 二生f 坩1 ) ( 2 6 ) 蟹“一砖 坼柑“一m “ 规定昙：0 其中，f 。( “) 的双下标中第二下标七表示次数，第一个下标f 表示序号。该递推公式表 明： ( a ) 任意七阶曰样条可由两个相邻的七一l 阶占样条线组合而成； ( b ) 欲确定第f 个b 样条m i ( 甜) ，需用到撕，撕+ 1 ，胁+ 女十l 共七+ 2 个节点。 区间【“f + + 1 】称为m ，i ( f ) 的支撑区间。丑样条基是多项式样条空间具有最小 支撑的一组基。 式中为幂次：撕( i = 0 , 1 ，t ? 1 ) 为节点，由其形成节点矢量u ： u = k o 瑚，j 当节点数为( m + 1 ) ，幂次为七，控制顶点数为+ 1 ) 时，m ，k 和阼三者之间的关 系为掰= n + + l 。对于非周期的b 样条，节点矢量为 船体外扳展开的保形映射法研究 u = i o ，o ，o ，k + 1 ，o 如一i 一、，1 1 ，l l 亦即节点矢量两端各有k + 1 个相同的节点，以便使蓝线通过控制多边形首、末端点并与 首、末两边相切。 b 样条的性质 b 样条本身是一种样条。在计算机辅助几何设计领域内，口样条又是构造口样条曲 线的基函数。口样条的特性直接影响口样条曲线的特性。丑样条具有如下性质： ( 1 ) 递推性：由上式定义表明； ( 2 ) 规范性：m t ( “) = 1 ； ( 3 ) 局部支撑性质： 岫) p 笔：) 嚣m 1 它包矧愀； ( 4 ) 可微性：在节点区间内部它是无限次可微的，在节点处是k 一，次可微的，即 是c “的，这里的，是节点的重复度。 2 2 b 样条曲线 2 2 1 曰样条曲线的定义域 给定月+ 1 个控制顶点d 。，i = o ，1 ，胆，相应要求n + 1 个b 样条基函数 ( “) ， i = o ，1 ，以以定义一条k 次日样条曲线。这以+ 1 个丑样条由节点矢量u = k o ，“i ，j 所 决定。其中两端各k 个节点区间不能作为曰样条曲线的定义区间。因而，k 次b 样条曲 线的定义域为：“【，“。】，共含有n k + 1 个节点区间( 包括零长度的节点区间) 。 若其中不含重节点。则对应b 样条曲线包含月一k + 1 段。 2 2 28 样条曲线方程 给定控制顶点列d 。，f = 0 , 1 ，甩，欲定义一条k 次日样条曲线。由节点矢量的确定方 法，可以得到该曲线的节点矢量为u = 函叫l ，】。由德布尔考克斯递推公式，从而得 到所有的b 样条基函数。( “) ，f = o ，1 ，h 。则b 样条曲线方程可写为： p ( “) = 哦u ( “) “s “ ( 2 7 ) o 其中，z ( f = 0 1 一，以) 为控制顶点，又称德布尔点。顺序连成的折线成为b 样条控制多 边形，又常称为控制多边形。 由于b 样条曲线具有局部性质，因而，可将上面的k 次b 样条曲线方程改写为分段 表示形式： f p ( “) = d j ( “) “【“，”。l 】c 心，+ i 】 ( 2 8 ) j i - k 2 2 3 b 样条曲线的性质 船体外板展开的保形映射法研究 ( 1 ) 局部性质：局部性质是对占样条曲线行为占支配地位的重要性质之一。其完整 表述为：k 次b 样条曲线上的参数为u e 心，“。 的一点p ( “) 至多与k + 1 个控制顶点d ， j = i k ，i k + 1 ，f 有关，与其他控制顶点无关：移动该曲线的第i 个控制顶点d 。至多 将影响到定义在区间( “。，u j + k + 。) 上的那部分曲线的形状，对其余部分不发生影响。 ( 2 ) 可微性或参数连续性：k 次b 样条曲线在其定义域内的非零节点区间内部或 在每一曲线段内部是无限次可微的即是c 。，或者说具有无穷阶参数连续性；在定义域 内重复度为r 的节点处则是k r 次可微的即是c “的，或者说具有k 一，阶参数连续性。 ( 3 ) 凸包性质：b 样条曲线的凸包是定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集。b 样条曲线恒位于它的凸包内。凸包性质导致：顺序k + 1 个顶点重合时，由该k + 1 个顶 点定义的k 次丑样条曲线段退化到这一重合点：顺序k + 1 个顶点共线时，由该k + 1 个顶 点定义的k 次占样条曲线段为一直线段。 口样条的其它眭质还有交差减少性质( d v 性质) 、磨光性质、几何不变性与仿射不 变性等。 2 2 4 各种类型的b 样条曲线 b 样条曲线按节点矢量中节点的分布情况不同可分为四种类型：均匀b 样条曲线， 准均匀b 样条曲线，分段贝齐尔曲线和一般非均匀b 样条曲线。 ( 1 ) 均匀b 样条曲线 均匀b 样条曲线是四种类型中最简单的一种。节点矢量中沿参数轴均匀( 等距) 分 布，所有节点区间长度a 。= 虬。一= 常数 0 ，i = 0 ，l ，n + k 。这样的节点矢量通常取成 整数序列，于是有矢量： u = u 0 ，u 1 ，“+ l 】= 卜_ j ，1 一k ，l + l 】 相应的曲线定义域为u ，u n + i 】= 【o ，n - k + l 】a 这种类型的b 样条基在定义域内各个节点区间上都具有相同的图形，因此，可将定 义在每个节点区间上用整体参数“表示的b 样条基变换成用局部参数f e 【o ，1 1 表示。 令，= i k 作为曲线段的段序号，即把定义在整数参数区间 “j u t ，“。】- f k ，f k + l 】- - t ，1 + 1 】上那一曲线段称为第，段。我们得到在局部参数下k 次均匀b 样条曲线方程： 西( f ) = p ( “( f ) ) = 【1 r r 2 ，】 以 码 碡+ 。 d t + t 一1 d l t k 0 t s l ，z = 0 ，1 ，”一k ( 2 - 9 ) ( 2 ) 准均匀b 样条曲线 均匀b 样条曲线没有保留贝齐尔曲线的端点几何性质，但准均匀b 样条曲线解决 了这个问题。它保留了贝齐尔曲线的端点性质，而使我们容易控制曲线的端点。 船体外板展开的保形映射法研究 七次准均匀b 样条曲线的节点矢量中两端节点具有重复度七+ l ，即u o = 一一轧， “。= “。一一。，所有内节点成均匀分布，具有重复度i 。定义域“ ，“。】，内 节点区间长度a ，= 札一“，= 常数 o ，i = k ，k + l ，n ，与均匀b 样条曲线定义域内节点 分布相同，差别仅在于两端节点。由此定义的准均匀b 样条曲线就具有贝齐尔曲线的端 点几何性质。在曲线定义域内，除两端各七个节点区间外，七次准均匀b 样条基在其他 节点区间上有与k 次均匀b 样条基相同的图形，但由于具有重复度七+ 1 的两端节点的影 响，两端各七个节点区间的准均匀b 样条基有着与七次均匀b 样条基不同的图形。 ( 3 ) 分段贝齐尔曲线 分段贝齐尔曲线是b 样条曲线的一种特殊类型，它是一组顺序首尾相接且同为七次 的贝齐尔曲线曲线的末段由k + 1 个控制顶点即它的贝齐尔点定义。在进行曲线设计时， 分段贝齐尔曲线类型实际上并不直接使用，而是直接地定义分段贝齐尔曲线。 ( 4 ) 非均匀b 样条曲线 非均匀b 样条曲线的节点矢量中的节点是可以任意分布的，因此，确定节点矢量是 定义非均匀b 样条曲线的关键。 非均匀b 样条曲线的节点矢量u = u 。，“l i ，u + 。 中的节点虽然可以任意分布，但 要求节点序列是非递减的，且两端节点重复度小于等于k + 1 ，内节点重复度小于等于 即可。非均匀b 样条曲线节点矢量的取法：首先，定义域起始节点的参数值与其他三种 类型相同，取成参数轴原点，即虬= 0 。通常将曲线的定义域取成规范参数域，即使 “e u k “。】_ o ，l 】，为使其具有同次贝齐尔曲线的端点性质，两端节点取成重复度k + 1 。 于是，= m = 一心= 0 ，u n + i = “一一“卅“= 1 ，需要确定的就只有心+ l + 2 ，那 些节点了。 2 2 5 占样条曲线的计算 2 2 5 1 占样条基及其导数计算 在c a g d 的实际应用中，经常用到的是计算在某个非零节点区间“h ，u i + 。】上的 一组七次b 样条基及其导数，而无需用到整条b 样条的计算。由b 样条的局部支承性质 可知，在这组基中只有七+ 1 个非零的基函数： k j 0 ) ，h 。j ( ”) ，m j ( 材) 。 它们由如下节点序列完全确定： u i - k ，i a i _ k + i ，“f ，“l + 1 ，“，+ 1 于是由节点序列及区间 1 , 1 i “。】上的零次b 样条 m ，。( f ) = f 【。l , ，u 冥i _ 它u “，+ 1 ( 2 一l 。) 就可以由德布尔一考克斯递推公式，递推计算出该区间上的一组七次日样条基。 船体外扳展开的傈形映射法研究 其递推过程可用图2 1 所示的阵列给出： 图2 1 u - ，u t * 1 上七次日样条基的递推计算过程 f i g 2 1r e c u r r e mc a l c u l a t i o np r o c e s s o f b - s p l i n e ( o r d e f k ) b e t w e e n i l ia n du j + i 其中每列首末基函数在恤，“。】上都为零去掉后正好是一个三角形阵列。最后一 列非零基函数即为所求 ，+ 。】上的一组女次b 样条基。 由德布尔给出的b 样条的导数公式 要m ( 驴七【丝堂一避 ( 2 一i i ) “l m l + k 一弘u i * k * l 一d i + 1 其中规定兰= 0 ，可计算节点区间眦，虬+ l 】上的占样条基的导数。在该式的基础上， 可进一步计算昱样条的高阶导数。 2 ，2 5 2 计算丑样条曲线上点的德布尔算法 给定控制顶点卅。f _ o ，l ，珂，次数k 及确定的节点矢量u = 【u 0 ) “l i ，u n 。+ ，】后，就 定义了一条k 次日样条曲线。如给出曲线定义域内一参数值u ，“。】c u k ，u n + 。】，欲 计算该占样条曲线上对应一点p c u ) ，可以递推计算出对应b 样条基，再利用嚣样条曲线 方程式求出该点值。更快捷的方法，是采用德布尔算法递推公式 fi k - q p ( “) = 办m ( “) = d ，1 1 1 n j k - i ) 一= d ，g s 吩“ ( 2 一i 2 ) 鼽弘融咖蚪，= m ? 一卜j f - 1 ：，七 ( 2 - 1 3 ) 船体外板展开的保形映射法研究 a ，t 瓦u ：i - - u y i 求出口样条曲线上的点p ( u ) 。利用德布尔算法计算b 样条曲线上的点，避免了占样 条基的计算，减少了计算量。算法表明，每求一个中间顶点都是前一级有关两个顶点的 线性内插，算法是很稳定的。 2 2 5 3 德布尔算法求b 样条曲线的导矢 k 次日样条曲线上一点处的r 阶导矢p 7 ( “) ，“【u i “。l 】c ，+ 1 】，可按如下递 推公式计算： f nj ，月t-r ( “) = 号d s n j t ( “) = 彤m 加( ) e “m 】c “】 ( 2 1 4 ) 彰= t ( k - l + 1 ) 熟j + k11 + 1 嚣叫， 彰2 j ! 基丝，j 二：一i i ，一七+ l ， l “ + 一“ 。 由其中第一式可见，七次丑样条曲线的r 阶导矢可以表示成一，次b 样条曲线， 后者的控制顶点按第二式递推确定，其节点矢量是： u 7 = 嘣，“1 。- ，呔m + 。】= 9 一，? ，“，! ，2 3 1 】 k 。+ 。l 、- r 一个k 。+ t ”- r 因此，在具体计算时，可先按第二式由原始顶点d 。，t 。l ，一，吐经过，级递推，计算出 第r 级的k r + 1 个中间顶点d c j = i 一七，f k + l ，i 一，) 。然后，计算由这些顶点与节 点矢量u 定义的k 一，次b 样条曲线上参数值为“的那一点，就是所要求的，阶导矢 p ( “) 。计算k 一，次占样条曲线p ( “) ，“e 眦，坼+ i 】，所涉及的节点取成 u h i ，珥m m ，u l + k - r 共2 ( k r ) 个节点。 对于具有k + l 重端节点的k 次非均匀丑样条曲线，则有如下的端点导矢： 声( ) ：七盟 “ 卅一h i p ( u n + 1 ) ：七烛 生二鱼一丝( 2 1 6 ) j ；( 呶) ：k ( k 1 ) 塾_ l 地 + i 一“2 当= 生= l 一生= l 二生= 2 ) = k ( k - 1 ) 监告u n + k 兰盥 一i“ 除确定节点矢量外，非均匀口样条曲线的上述所有算法同样都适用于均匀、准均匀 船体外板展开的保形映射法研究 与分段贝齐尔这三种类型的b 样条曲线，它们都不过是非均匀类型的不同特殊情况罢 了。 2 25 4 节点插入算法 节点插入算法是8 样条方法配套技术中最重要的技术之一。它既有重要的理论价 值，又在曲线曲面设计中有着广泛用途。通过插入节点：( a ) 能很简单地证明b 样条曲 线的变差减少性质；( b ) 可以进一步改善b 样条曲线的局部性质，提高对b 样条曲线 形状控制的潜在灵活性：( c ) 可以求出b 样条曲线上的点；( d ) 可以生成曲线的贝齐尔 点，得到b 样条曲线的分段贝齐尔表示：( e ) 可以实现对曲线的分割；( f ) 在生成曲面 时，可以使不相同的节点矢量统一起来。 ( 1 ) 插入一个节点 给定一条七次曰样条曲线： p ( “) = 嘭( “) j 柚 其中口样条基由节点矢量： u = “o ，嵋，“。+ “l 】 完全决定，当在曲线定义域某个节点区间内插入一个节点“，“。】c u k + 。】， 可