（材料加工工程专业论文）挤压过程无网格数值模拟技术研究.pdf

山东大学硕士学位论文 ! ! ! ! ! ! 皇目! ! ! ! 量! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 自! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! | ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! s 詈ii q 摘要 随着计算机技术的发展和数值计算方法的日益完善，有限元方法在工程实际 中得到了广泛的应用。但是，当工件变形到一定程度时，有限元网格将产生畸变 现象。无网格方法基于离散节点的近似，避免了有限元方法对于网格的依赖，在 涉及到网格畸变的大变形问题分析中具有一定的优势。非稳态大变形金属塑性成 形问题，由于成形过程的复杂性，许多关键应用技术还有待于研究。尤其当金属 流动比较剧烈或变形比较复杂时由于节点分布的非均匀性增强和变形域形状更加 复杂，速度场的近似精度和变形域的积分精度会有所下降，进而导致数值模拟出 现错误。因此，本文针对非稳态大变形成形过程，主要研究了基于刚( 粘) 塑性 材料假设的无网格伽辽金方法、关键处理技术及其在挤压成形过程分析中的应用。 基于无网格近似方案，结合伽辽金离散方法，将无网格伽辽金方法引入金属 塑性成形过程分析，主要对金属塑性成形过程刚( 粘) 塑性无网格伽辽金方法进 行了研究。将无网格伽辽金方法与刚( 粘) 塑性理论相结合，采用罚函数法施加 体积不变条件，采用反正切摩擦模型描述工件一模具摩擦接触边界，在局部坐标系 下施加摩擦边界条件，从而建立了基于刚( 粘) 塑性流动理论的无网格伽辽金方 法，并给出了基于刚( 粘) 塑性流动理论的无网格伽辽金方法数值模拟的算法流 程。 针对非稳态金属塑性成形过程的复杂性、数学处理上的困难性和在成形过程 模拟分析模型建立以及分析程序的通用化方面存在的不足，研究了刚( 粘) 塑性 无网格伽辽金方法应用于金属塑性成形过程分析的关键处理技术。对于任意边界 形状的二维金属塑性成形过程的无网格伽辽金方法分析，建立了诸如任意形状模 具描述方法、迭代收敛判据、接触脱离判断等问题的处理方法，实现了非稳态任 意模具形状塑性成形过程的无网格伽辽金方法分析，提高了分析程序的通用化程 度。重点研究了应用无网格方法分析金属塑性成形问题时所面临的体积闭锁问题 的缓解算法，采用体积应变率映射方法，对能量速率泛函中的体积应变率进行修 正处理，通过将速度场计算的体积应变率映射到低维空间，降低独立约束方程数 目，从而建立了体积闭锁现象的缓解算法。 当金属流动比较剧烈或变形比较复杂时，近似精度和积分精度会有所下降， 为了保证分析精度和提高效率需要进行一定的人为的干涉，所以自动化程度比较 低。为此，本文建立了若干自适应分析处理方法，提高了分析的自动化程度。无 网格伽辽金方法基于紧支试函数加权残量法，所以权函数影响域的确定会影响近 n 山东大学硕士学位论文 似的精度，本文提出了修正的权函数影响域的确定方法以提高近似的精度。无网 格伽辽金方法的分析精度依赖于变形域的积分精度。积分时，背景网格的疏密和 网格内的高斯积分规则对计算精度有一定的影响，尤其在轴对称非稳态金属塑性 成形过程模拟中，如果以固定的背景网格来获得高斯点时，可能会造成高斯点减 少，导致精度损失。文中提出了自适应的积分背景网格的动态划分方法，通过控 制高斯积分节点数目，使其保持在一定高斯积分节点数量，以保证积分的精度。 在大变形的成形过程分析中，一部分摩擦接触边界上的边界节点密度会随着变形 的累积而逐渐变小，从而边界条件约束能力下降，导致误差的产生，累积到一定 程度会出现内部节点穿透边界的现象。因此通过动态控制边界节点分布密度来增 强边界条件的约束能力，以保证分析的精度。 对挤压成形过程进行了无网格伽辽金方法分析，通过与实验数据和刚( 粘) 塑性有限元分析软件分析结果的对照，验证了文中建立的理论与方法的正确性。 关键词：数值模拟；挤压成形：刚( 粘) 塑性；无网格伽辽金法 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g ya n dc o m p u t a t i o n a lm e t h o d s ，t h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) g a i n e dg r e a ta c h i e v e m e n ta n dw a sa p p l i e dw i l d l yi nm a n y e n g i n e e r i n gf i e l d s a l t h o u g hg r e a ts u c c e s si nt h em e t a lf o r m i n gp r o c e s sn u m e r i c a l s i m u l a t i o ni sa c h i e v e db yf e m , t h em e s hd i s t o r t i o nw i l lb ei n e v i t a b l ef o rt h e a c c u m u l a t i o no ft h em e t a l d e f o r m a t i o n c o m p a r e d w i t l lf e m t h em e s h l e s s a p p r o x i m a t i o nb a s e do nd i s c r e t ep o i n ti n f o r m a t i o nh a sa d v a n t a g e si nt h es i m u l a t i o no f l a r g ed e f o r m a t i o np r o b l e m sw i t hm e s hd i s t o r t i o nf o rg e t t i n gr i do ft h er e l i a n c eo nt h e m e s h b u tt h e r e a r es t i l lm a n yk e yt e c h n i q u e s ，w h i c hn e e dm o r ea t t e n t i o nf o rt h e c o m p l e x i t yo ft h em e t a ld e f o r m a t i o ni nu n s t e a d ym e t a lf o r m i n gp r o c e s s e s p e c i a l l y w h e nt h ed e f o r m a t i o ni sm o r es e v e r eo rm e t a lf l o wi sm o r ec o m p l e x ，t h ea p p r o x i m a t i o n p r e c i s i o no ft h ev e l o c i t yf i e l da n di n t e g r a t i o np r e c i s i o no fd e f o r m a t i o nd o m a i nw i l lb e d e t e r i o r a t e df o rt h es e v e r ea n - u n i f o r t u i t yo ft h em e t a lf l o wa n dc o m p l e x i t yo ft h e d e f o r m a t i o nz o n e t h u ss i m u l a t i o ne 玎o rw i l lb eo c c u r r e d s o t h es t u d yf o c u s e do nt h e d e v e l o p m e n to ft h er i g i d v i s c op l a s t i cm e s h l e s sg a l e r k i nm e t h o da n di t sk e yt e c h n i q u e s f o ru n s t e a d yl a r g ed e f o r m a t i o nm e t a lf o r m i n gp r o c e s s u n d e rt h eh y p o t h e s i so ft h er i g l d - v i s c op l a s t i cm a t e r i a l ，ar i g i d v i s c op l a s t i c m e s h l e s sg a l e r k i nm e t h o di sd e v e l o p e d a na r c t a n g e n tf r i c t i o n a lm o d e li su s e dt o d e s c r i b et h ef r i c t i o n a lb o u n d a r yc o n d i t i o n f o rt h em e t a lf o r m i n gp r o c e s s e sw i t h a r b i t r a r i l ys h a p e dd i e s ，t h ef r i c t i o n a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ei m p o s e du n d e rt h el o c a l c o o r d i n a t es y s t e mi no r d e rt o i m p o s e m i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n s d i r e c t l y t h e c 0 0 r d i n a t et r a n s f o n nm a t r i xi sg i v e nf o rt h et r a n s f o r m a t i o no ft h es t i f f n e s sm a t r i x e q u a t i o nf r o mt h eg l o b a lc o o r d i n a t es y s t e mt ot h el o c a lc o o r d i n a t es y s t e m t h e r e f o r e ， t h es t i f f n e s sm a t r i xe q u a t i o ni se s t a b l i s h e d 1 1 1 ed i r e c ti t e r a t i o nm e t h o di su s e dt og e tt h e i n i t i a lv e l o c i t yf i e l df o rt h es i m u l a t i o n , t h en e w t o n r a p h s o ni t e r a t i o nm e t h o di su s e dt o s o l v et h es t i f f n e s sm a t r i xe q u a t i o ni no r d e rt oa c h i e v eaf a s t e rc o n v e r g e n c e ，a n dt h e p r o c e d u r e sa r eg i v e nf o rt h es i m u l a t i o no f t h ei s o t h e r m a lm e t a lf o r m i n gp r o b l e m s f o rn o n - s t e a d yp l a s t i cp r o c e s s e s ，s p e c i f i ce f f o r t sa r ep l a c e do nt h em o d i f i c a t i o n so f s i m u l a t i o nm o d e la n dd e v e l o p m e n t st h ek e ys i m u l a t i o nt e c h n i q u e sf o rt h em e s h l e s s g a l e r k i nm e t h o db a s e do nr i g i d v i s c op l a s t i cm a t e r i a lh y p o t h e s i sf o rt h ec o m p l e x i t yo f t h ed e f o r m a t i o np r o c e s s d i m c u l t i e so fm a t h e m a t i ct r e a t m e n t sa n dt h ed e f i c i e n c i e si n 1 1 1 山东大学硕士学位论文 i t h ee s t a b l i s h m e n to ft h e s i m u l a t i o nm o d e ia n dt h eg e n e r a l i t yo ft h es i m u l a t i o n p r o c e d u r e s t h ep r o b l e m s ，s u c ha st h ed e s c r i p t i o no fd i e so rw o r k p i e c e sw i t ha r b i t r a r i l y s h a p e db o u n d a r y , i t e r a t i o nc o n v e r g e n c e c r i t e r i o n sa n dd e t a c h m e n ta n dc o n t a c tc r i t e r i o n ， a r es o l v e d ，t h em e s h l e s sa n a l y s i so ft h en o n s t e a d yp l a s t i cd e f o r m a t i o np r o c e s s e sw i t h a r b i t r a r i l ys h a p e dd i e si sr e a l i z e d ，t h eg e n e r a l i t yo ft h ea n a l y s i sp r o g r a m si si m p r o v e d t h er e l e a s i n go ft h ev o l u m el o c k i n gp r o b l e m se n c o u n t e r e di nt h ea n a l y s i so ft h em e t a l p l a s t i cf o r m i n gp r o b l e m si sf o c u s e d ar e l e a s i n ga l g o r i t h mi se s t a b l i s h e db ym o d i 母i n g t h ev o l u m e t r i cs t m i nr a t ei nt h ef u n c t i o n a le q u a t i o n t h ev o l u m e t r i cs t r a i nr a t e c a l c u l a t e da c c o r d i n gt ov e l o c i t yf i e l di sm a p p e do n t oal o w e r - o r d e rs p a c et or e d u c et h e n u m b e ro f i n d e p e n d e n tc o n s t r a i n te q u a t i o n s t h ea u t o m a t i o no ft h em e s h l e s sa n a l y s i sp r o g r a mi sl o wf o rn e c e s s a r ya r t i f i c i a l m o d i f i c a t i o no f t h es i m u l a t i o nc o e f f i c i e n ti nm e s h l e s ss i m u l a t i o nf o rt h ed e t e r i o r a t i o no f a n a l y s i sp r e c i s i o na n de f f i c i e n c yi nm e t a lf o r m i n gp r o c e s s e sw i t l ls e v e r ed e f o r m a t i o n o r c o m p l e xm e t a lf l o w t h e r e f o r eav a r i e t yo fa d a p t i v em e s h l e s sa n a l y s i sp r o c e s s i n g m e t h o d sa r ee s t a b l i s h e dw h i c he n h a n c et h ea u t o m a t i o no fa n a l y s i s t h ev e l o c i t yf i e l di s a p p r o x i m a t e db yc o m p a c t l ys u p p o s e df u n c t i o n ss u c ha sm l sa n dr k p m ，s ot h e i n f l u e n c ed o m a i no f t h ew e i g h t e df u n c t i o no rk e r n e lf u n c t i o nh a si m p o r t a n ti n f l u e n c eo n t h ea p p r o x i m a t i o np r e c i s i o n s oam o d i f i e da d a p t i v ei n f l u e n c ed o m a i ni si n u o d u c e di n t h ea p p r o x i m a t i o no fv e l o c i t yf i l e di no r d e rt oi m p r o v ea p p r o x i m a t i o np r e c i s i o n a r t a d a p t i v eb a c k g r o u n dc e l lp a r t i t i o nm e t h o di s e s t a b l i s h e di no r d e rt oi m p r o v et h e i n t e g r a t i o np r e c i s i o nb ym a i n t a i n i n gt h ea m o u n to ft h eg u a s si n t e g r a t i o np o i n t s s o ，a n a d a p t i v eb o u n d a r yp o i n t sc o n t r o lm e t h o di sa d o p t e dt oe n h a n c et h ef r i c t i o n a lb o u n d a r y c o n d i t i o nc o n s t r a i nb ya d a p t i v ei n p u t t i n gp o i n t st ot h ep l a c ew i t hl e s sb o u n d a r yp o i n t s t h r o u g hd e t a i lc o m p a r i s o n so fs i m u l a t i o nd a t aw i t ht h o s eo b t a i n e db yu s i n g c o r r e s p o n d i n gr i g i dv i s c o p l a s t i c f i n i t ee l e m e n tm e t h o da n de x p e r i m e n t a ld a t a , t h e d i s t r i b u t i o nl a w sa n dn u m e r i c a lv a l u e so ft h ev e l o c i t yf i e l d ，t e m p e r a t u r ef i l e da n ds t r e s s a n ds t r a i nd i s t r i b u t i o n so b t a i n e db yu s i n gt h e s et w om e t h o d sa r ei ng o o da g r e e m e n t s ， t h u st h ee f f e c t i v e n e s so f t h em a t h e m a t i cm o d e la n dr e l a t e dk e yt e c h n i q u e se s t a b l i s h e di n t h i sp a p e ra r ed e m o n s t r a t e d k e y w o r d s ：n u m e r i c a lm e t h o d ；b u l kf o r m i n g ；r i g i d v i s c op l a s t i c ；m e s h l e s sg a l e r k i nm e t h o d i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：】盎，! 虱圣 日期：型生：圭：2 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：魁：! 虱圣导师签 日期：孕：! ：丫 山东大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 有限元法是在六七十年代发展起来的一种数值分析方法。近几十年来，随着 计算机技术的迅速发展和数值计算方法的日益完善，有限元数值模拟技术在塑性 加工领域中的应用蓬勃发展，应用范围也越来越广。从板料成形到体积成形，从 正向模拟对成形结果的预测到反向模拟对预成形件的设计，从同时考虑变形和热 传导的热力耦合分析到对工件微观组织的预测，都显示了该技术在塑性加工领域 中的重要地位和作用。 有限元法是基于网格的数值方法，当工件变形到一定程度时，有限元网格将 产生畸变现象，此时，这种以单元作为基本概念的方法面临着许多难以处理的问 题。在有限元法中，处理网格畸变的最有效的方法是进行网格再划分。尽管网格 再划分技术已经取得了巨大的进步，但网格再划分不仅计算费时、计算精度受到 影响，而且复杂三维金属体积成形问题中的网格再划分问题依然有待于进一步的 研究。 无网格方法是近年来发展起来的一种新的数值计算方法。它将连续体离散为 有限数目的节点或质点，场函数在没有明显网格的情况下通过这些节点或质点的 离散集合插值得到。由于该方法仅仅采用基于点的近似，而不需要节点的连接信 息，因此，不仅避免了繁琐的单元网格生成，而且提供了连续性好、形式灵活的 场函数，在处理弹塑性、裂纹扩展、移动界面、高速碰撞以及具有大变形特征的 工业成形问题时具有巨大的优越性。 1 2 无网格方法的研究现状 无网格法基于离散点的近似，不需要借助网格，克服了有限元法对网格的依 赖。在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出了明显的优势，另外无网格法在 前后处理上也较有限元法简便。 对无网格法的研究可以追溯到2 0 世纪7 0 年代对非规则网格有限差分法的研 究。l i s z k a 和p e r r o n e0 1 最早采用任意网格技术将传统有限差分法进行扩展，提出 了广义有限差分法。1 9 7 7 i z l u c y 0 1 牙l m o n a g h a n “1 等分别提出了基于拉格朗只的光滑 质点流体动力学方法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) ，并应用于天体物 理领域有关i - j 题的分析。s w e g l e ”3 和d y k a ”1 等提出了s p h 方法不稳定的起因及稳 山东大学硕士学位论文 定化方案，v i g n j e v i c 等”1 提出了克服零能模态的具体方案。s p h 法广泛应用于高速 碰撞。1 ，流体动力学。1 ，材料的动态响应问题“等领域的分析。 1 9 9 2 年n a y r o l e s 等“”将移动最小二乘近似( m o v i n gl e a s ts q u a r e ，m l s ) 引入伽 辽金( g a l e r k i n ) 法中，提出了散射元法( d i f f u s e e l e m e n t m e t h o d ，d e m ) 。b e l y t s c h k o 年1 1 0 r g a n “4 提出了耦合有限元一无网格伽辽金方法，以提高无网格分析方法的计算 效率。 o d e n 和d u a r t e 等“”利用移动最小二乘法建立单位分解函数，由此构造权函数和 试函数，再通过伽辽金法建立离散格式，提出7 h p 云团( c l o u d s ) 法。l i s z k a 等 “”改用配点格式，避免了伽辽金形式中用于积分计算的背景网格，提出了h p 无网 格云团法( h pm e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ) 。 径向基函数( r a d i a lb a s i sf t m c t i o n s ，r b f ) 具有形式简单、各向同性等优点， 数学界对其进行了大量的研究。张雄等“”将径向基函数应用于配点法，建立了相 应的无网格方法，并用于固体力学问题的求解。曾清红“”提出耦合径向基函数与 多项式基函数的无网格方法，其近似函数对散乱分布的离散数据点进行逼近时， 只需节点信息，不需要划分网格。孔亮等“7 1 对紧支径向基函数进行完备性修正， 然后用完备性修正的紧支径向基函数代替多项式来形成插值函数，建立了紧支径 向基函数点插值方法。d u a n “8 1 结合影射领域分解和径向基函数，进行了伽辽金和 配点法分析。 a l u m “”基于重构核函数近似和配点法，提出了无网格配点法( m e s h l e s sp o i n t c o l l o c a t i o nm e t h o d ，p c m ) 。史宝军啪1 基于核重构思想，应用配点法和最小二乘 原理，提出了一种基于核重构思想的最小二乘配点型无网格方法，并以一维问题 为例，研究了配点型无网格方法，对该方法构造过程中的近似函数及其导数的计 算、修正函数的计算及方法的实现等问题进行了探讨。并结合若干典型算例，检 验了其计算精度与收敛性。”。j i n 等衄1 采用正条件数来描述配点法的健壮性，通过 调整权函数获得较好的正条件数以提高配点法分析的健壮性。为了结合伽辽金弱 形式的优势，l i u 等1 提出了无网格弱一强耦合方法，并对不可压缩流动问题进行了 分析。 再生核质点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，r k p m ) 是在光滑粒子法 的基础上发展起来的。l i u 等。“针对光滑粒子法的不足，对核近似的再生能力进行 研究，对s p h 的核函数迸行修正以满足高阶一致性条件，提出了再生核质点法。 a t l u r i 等提出了无网格局部彼得罗夫一伽辽金方法( t h em e s h l e s sl o c a l p e t r o v g a l e r k i nm e t h o d ，m l p g ) ，它不仅具有无网格伽辽金法的优点，而且不需 要背景网格，处理问题更显灵活和方便，被誉为一种真正的无网格方法。该方法 2 山东大学硕士学位论文 在处理二维静态问题时得到了很好的效果4 1 ，在处理非线性问题时比通常的有限 元法、边界元法、无网格伽辽金方法更灵活方便，具有研究和用于解决复杂工程 实际问题的前景。 自然单元法是一种基于自然临近插值的无网格方法，由于自然临近插值近似 函数具有插值特性，自然单元法可以方便的处理本质边界条件。s u k u m a r 。7 1 把自然 单元法应用于弹塑性力学问题，b u e c h e 汹1 采用自然单元法研究了动力学问题。 s u k u m a r 通过在自然单元法中使用n o n - s i b s o n i a n 插值，进一步提高了自然单元法 的计算效率，并把这种方法称为自然临近伽辽金法。由于自然临近插值形函数不 再具有多项式形式，采用高斯积分会产生积分误差，o o n z a l e z 啪1 与y o o o ”同时提 出了采用稳定一致节点积分来处理自然单元法中的区域积分，提高了自然临近伽 辽金法的计算精度。 z h u ，z h a n g 并l a t l u r i 啪1 提出了基于局部边界积分方程的l b i e ( l o c a lb o u n d a r y i n t e g r a le q u a t i o n ) 法，并用于解决线性和非线性边值问题。l b i e 法不需要域单元 和边界单元，在其求解表达式中仅涉及到非常规则的子域及边界上的积分。该方 法集中了伽辽金有限元法、边界元法和无网格伽辽金方法的优点，是一种效果比 较好的无网格方法。但是，这种方法是在借鉴了边界元理论的思想上提出来的，因 此具有局限性：只有在基本解己知的情况下，才能更好地应用这种方法。 从上面的分析可以看出，近似方案以及离散方法是无网格方法研究及应用的 两个重要内容。目前，比较成功的无网格近似方案主要有：移动最小二乘近似、 再生核质点近似、核函数近似、单位分解近似、径向基函数近似和自然临近插值 近似等等。离散方案主要分为基于偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) 弱形 式、基于偏微分方程强形式以及最小二乘型无网格方法三类。 1 3 无网格方法在塑性成形过程模拟中的应用现状 随着计算科学及软件技术的发展，有限元法己成为解决工程问题的主要数值 计算方法，并对工程、物理学科的各个分支产生了深远的影响。由于有限元方法 是一种基于单元的数值分析方法，其在分析涉及大变形和裂纹动态扩展等问题时 遇到了许多困难。例如，在锻造、挤压等大变形问题的分析中，有限元网格随变 形的加剧而发生畸变，导致计算精度下降，而网格再划分不仅费时而且还会影响 分析的精度。同时，复杂三维结构的网格生成和再划分也相当困难和费时。 无网格方法经过二十余年的发展，开始应用于各种工程领域，其中在塑性成 形领域中也取得了一定的进展。b o n e t 等呻针对s p h 法的缺点，通过对核函数迸 山东大学硕士学位论文 行修正以满足一致性条件，利用罚函数法施加本质边界条件，将s p h 法用于理想 塑性材料的平面应变镦粗和锻造等金属成形过程。l i 等1 对金属成形过程的接触 问题提出了新的算法，分析了非线性问题中高斯积分和节点积分的缺陷，提出了 “应力点积分”，并用e f g 方法模拟了弹塑性材料的平面应变镦粗过程和挤压过 程。x i o n g 等”采用r k p m 方法模拟求解刚塑性微压缩材料的轧制过程，并将计 算结果与刚塑性有限元结果和实验数据比较，验证了r k p m 法用于刚塑性可压缩 材料的可行性。g u o 等汹。7 1 采用无网格配点法对刚塑性微压缩材料的平面应变镦粗 和反挤压过程进行了分析。a l f a r o 汹“1 等采用口s h a p e 自然单元法对于金属塑性成 形过程进行了分析，进而对于三维反向挤压进行了分析。娄路亮“0 1 将e f g 方法用 于模拟金属镦粗过程，显示了无网格方法在解决需要网格重划的大变形问题上的 优越性。赵国群等“”基于刚塑性材料假设，采用变换法施加本质边界条件，反正 切摩擦力模型处理摩擦力边界条件对典型镦粗过程进行了分析。李长生等“”利用 s p h 法分析了平面应变情况下微压缩材料的金属塑性变形问题，利用不同的研究 域的附加节点方法得到了应变速率场和应力场的分布。崔青玲等”1 采用再生核质 点法模拟了金属镦粗过程、三维稳态板坯立轧过程、平板轧制过程。 1 4 课题的研究意义以及主要研究内容 无网格方法作为一种新型的数值分析方法，其本身的分析能力以及相应的应 用领域还需要进一步的研究。数值方法发展的根本目的就是应用于工程实际问题 的分析，为实际生产提供相应的辅助指导作用。本文选择挤压过程刚( 粘) 塑性 无网格伽辽金方法数值模拟技术作为研究对象。重点研究边界形状任意、金属流 动复杂的成形过程的无网格伽辽金方法；研究基于刚( 粘) 塑性材料假设的无网 格伽辽金方法应用于金属塑性成形过程分析中模型的改善和关键处理技术；针对 变形剧烈时模拟精度下降的问题，分析揭示模拟精度损失的原因，提出相应的精 度提高方案。本文的研究内容安排如下： 第一章，绪论。综述无网格方法的发展及研究现状，分析无网格方法在金属 塑性成形过程分析中的应用现状以及存在的主要问题和论文拟研究的内容。 第二章，刚( 粘) 塑性无网格伽辽金方法。结合刚( 粘) 塑性材料假设，基 于移动最d , - - 乘近似、再生核近似和径向基函数近似方案，建立金属塑性成形过 程刚( 粘) 塑性无网格伽辽金方法。 第三章，刚( 粘) 塑性无网格伽辽金方法关键技术研究。针对成形过程模拟 分析模型的建立以及分析程序的通用化等方面的不足，研究基于刚( 粘) 塑性材 4 山东大学硕士学位论文 料假设的无网格伽辽金方法应用于金属塑性成形过程分析中模型的改善和关键处 理技术。 第四章，挤压过程刚( 粘) 塑性无网格伽辽金方法数值模拟。通过对挤压过 程的刚( 粘) 塑性无网格伽辽金方法数值模拟，与刚塑性有限元分析软件d e f o r m 分析结果进行了比较，证明了方法的有效性和分析结果的准确性。 第五章，总结与展望。总结论文研究的内容及创新，对进一步的研究进行展 望。 山东大学硕士学位论文 第二章刚( 粘) 塑性无网格伽辽金方法基本原理 2 1 移动最小二乘近似 在无网格方法中，函数甜( x ) 的移动最小二乘近似矿( x ) 为 矿( x ) = b ( x ) 口，( x ) = p 7 ( x ) a ( x ) ( 2 - 1 ) i - l 式中，a ( x ) 为待定的系数向量，m 为基向量的维数，p ( x ) 为完备多项式函数向量 在二维问题中，线性基函数为p ( x ) = 【1 ，x ，y 1 7 ( 所= 3 ) ；二次基函数为 p ( x ) = 【l ，x ，y ，x 2 , x - y ，y 2 】t (所= 6)；三次基函数为 p ( x ) = 1 ，工，y ，工2 ，砂，y 2 , ，x 2 y ，x y 2 , y 3 】t ( 肌= 1 0 ) 。 系数向量a ( x ) 由加权最小二乘拟合得到，即对任一点x ，a ( x ) 的选择总是使下 列离散三2 模取极小值。 r = w a x ) ( p 7 ( x ，) a ( x ) “，) 2 ，；l ( 2 2 ) 式中，n 为节点数目，w a x ) 为与节点x ，有关的权函数，是一个具有紧支撑的非负 偶函数，权函数坼( x ) 的紧支撑区域称为节点x ，的影响区域r z f ，为与节点x ，有关 的函数。 式( 2 - 2 ) 可以表示为下列形式 r = ( p a u ) 7 w ( p a u ) ( 2 - 3 ) 式中 n = ，群2 ，】7 ( 2 - 4 a ) p ：咕，( x ) p t ( x ：) ，( x 。) 】r ( 2 4 b ) 6 山东大学硕七学位论文 式中 h ( x x ，) w ：l； 【 o ( 2 4 c ) 为得到r 的极值，将( 2 3 ) 式的两边分别对a 求偏导数，得 = a ( x ) a ( x ) 一b ( x ) u ( 2 - 5 ) a ：p 7 w p b ：p 1 w 在方程( 2 - 5 ) 中，令a 多乞= 0 ，得 a ( x ) = a 。( x ) b ( x ) t t 于是，近似函数u “( x ) 可表示为 n 甜6 ( x ) = 巾舡) 甜，= 西( x ) u 式中，中，( x ) 称为移动最小二乘形函数，其表达式为 中，( x ) = p t ( x ) a 。( x ) b ，( x ) 式中，b ，为矩阵b 的第，列。 形函数巾，( x ) 的导数为 ( 2 6 a ) ( 2 6 b ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 a ) m ，( x ) = p y ( x ) a 。( x ) b ，( x ) + p 7 ( x ) a - l ( x ) b ，( x ) + p r ( x ) a 。1 ( x ) b ，( x ) ( 2 9 b ) 式中，a ：1 ( x ) = - a 。( x ) a ，( x ) a - 1 ( x ) ，下标”，i ”表示对空间坐标一的导数。 2 2 再生核质点近似 由万函数的性质，局部域q 。内一点x 的函数“的近似值矿为 “6 ( x ) = ，材( x 眵( x i ) d q ； ( 2 1 0 ) 1lijh o ；卜 山东大学硕十学位论文 式中，u ( x ) 为连续函数，6 ( x i ) 为j 函数。其定义如下： 砸，= 三x 删, o ，c 妒， 沼t 。 万函数在数值计算中难以实现，需要用其它连续函数来近似。如采用任一函数 w ( x 一- ) 代替，则近似不再严格成立，即函数可以近似为： “( x ) z 6 ( x ) = 丘甜( 孓砂( x i ) d n t ( 2 - 1 2 ) 式中，w ( x x - ) 称为核函数，它应满足以下条件嘞1 ： ( 1 ) 半正定性，即在紧支子域内满足w ( x 一熏) 0 ； ( 2 ) 紧支性，即在紧支子域外满足w ( x i ) = 0 ； ( 3 ) 归一性，即f w ( x i ) d f 2 j = 1 ； 。疽 ( 4 ) w ( x - i ) 黝d = 肚一到的单调递减函数； ( 5 ) 当支撑域大小h 寸。时，w ( x 一- ) - , a ( 1 l , 一邓。 其中条件( 2 ) 使得近似条件是局部的，即近似函数矿仅仅取决于位于权函数 w ( x 一勋不为零的区域中的节点。条件( 5 ) 使得当h _ 0 时有“6 专 。可以看出， w ( x 一- ) 基本类似于m l s q b 的权函数。 常用的核函数有高斯指数函数、三次样条函数和四次样条函数等，与最小二 乘近似中的权函数的不同之处在于需对这些权函数进行归一化处理。常用的b 样条 函数如下： w ( ，) = 式中，r = l l , , - i l l h ，d 是空间的维数，g 为归一化常数，其大小与分析问题的维 8 )2 j【 - 2 (2 1 r r 一 一 r 1 2 、 ， r 3 4 + 2 ，r 3 2 一 一 一 ，、q g一g一o 山东大学硕士学位论文 数有关，一维问题为2 3 ，二维问题1 0 7 x ，三维问题1 d r 。 核函数近似函数构造简单，但是不满足零阶和一阶一致性要求，因而不能保 证收敛性3 。 2 3 径向基函数近似 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，r b f ) 是一类以点x 到节点x ，的距离 砖= j j x x ，0 为自变量的函数。径向基函数插值在多变量逼近理论中己成为一种强 有力的工具，它具有形式简单、与空间维数无关、各向同性的特点。 矿( x ) = 办( x ) 唧= 9 7 ( x ) a ( 2 1 4 ) = l 式中，a = k ，色，】r 为待定系数向量。p ( x ) = 弘( x ) ，欢( x ) ，九( x ) r 为径向基 函数。 式( 2 - 1 4 ) 中有个未知数，令近似函数“6 ( x ) 在节点x ，处的值等于函数 在该节点处的值砷，即矿( x ，) = 甜，可得到个线性方程 a a = u( 2 1 5 ) 式中 r 甲7 ( x 。) a ：h x z ) l ： h 7 ( h )燃c a x c a x 臻l 亿 西( x 2 )2 ) 九( x 2 ) l ，。 识( x 。)，) 丸( x 。) j h = k ，j r ( 2 一1 7 ) 由式( 2 1 5 ) 解出系数列阵a ，代入式( 2 1 4 ) 得 “6 ( x ) = q 7 ( x ) a u = m ( x