（核技术及应用专业论文）γ能谱的蒙特卡罗计算方法探讨与模拟软件设计.pdf

摘要 y 能谱的蒙特卡罗计算方法探讨与模拟软件设计 作者简介：郭生良，男，1 9 8 1 年1 0 月生，师从成都理工大学葛良全教授， 2 0 0 8 年6 月毕业于成都理工大学核技术及应用专业，获得工学硕士学位。 摘要 y 能谱的蒙特卡罗模拟问题，是核技术应用领域中的一个重要研究方面。利 用蒙特卡罗方法模拟n a i ( t 1 ) 闪烁探测器对y 射线的响应函数( 能谱) 是解决 y 射线能谱学问题的一个有效方法。 本文来源于国家8 6 3 计划资源环境技术领域重大项目“航空伽玛能谱勘查系 统研发”课题( 编号2 0 0 6 a a 0 6 a 2 0 7 ) 、国家自然科学基金项目“核地球物理学 天然伽玛场的研究”( 编号4 0 7 7 4 0 6 3 ) 和成都理工大学科技立项“y 能谱的蒙特 卡罗模拟及其软件开发”( 编号2 0 0 7 0 4 3 k ) 项目。本文探讨了用蒙特卡罗方法对 n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中y 射线能谱响应函数的数值模拟；开发了蒙特卡罗模拟 软件。该研究在资源环境技术领域中核资源勘查及辐射环境监测方面具有重要的 实用价值和指导作用。主要研究内容与成果表现在： ( 1 ) 论述了蒙特卡罗方法的基本原理和y 射线与物质的作用机制。 ( 2 ) 从y 射线在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中响应函数形成机理的基础上，论 述了n a i ( t 1 ) 闪烁计数器谱仪的y 能谱和y 能谱的蒙特卡罗数值模拟计算方法。 ( 3 ) 在v i s u a lc + + 平台下开发y 能谱蒙特卡罗模拟软件，应用蒙特卡罗模 拟软件模拟光子在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中的y 光子能量沉积谱和y 能谱。 ( 4 ) 利用设计的蒙特卡罗模拟软件，分别模拟天然能量范围内较低和较高 能量的y 射线在n “( t 1 ) 闪烁探测器中的响应函数，以检验模拟方法的正确性和 通用性。通过数字化多道谱仪系统( n a i ( t 1 ) 晶体7 5 m m 7 5 m m ) 实测的点源 y 射线能谱与蒙特卡罗模拟软件模拟谱相比较。对天然y 射线能量范围内较低能 量如m 7 c s 源放出的y 射线模拟结果较好，模拟谱与实测谱相比，峰康比和能量 分辨率相对误差分别为1 8 7 9 和5 5 8 5 ，对能量较高如6 0 c o 源放出y 射线的模 拟结果，双峰面积比的相对误差为0 7 5 0 5 ，也能得到满意的效果。用v i s u a lc + + 开发的蒙特卡罗模拟软件，可模拟出整个光子的输运过程。软件抽样次数在2 0 0 0 万次以上，界面友好，功能较强。可调整放射源能量( 即选用不同放射源) 、源 与探测器距离、探测器尺寸等，同时可显示并保存模拟结果。 关键词：y 能谱蒙特卡罗模拟 响应函数n a i ( t 1 ) 晶体 成都理i ：人学硕+ 学位论文 m o n t ec a r l os i m u l a t i o nf o rys p e c t r u ma n ds i m u l a t i o ns o f t w a r e d e s i g n i m r o d u c t i o no fm ea u t h o r ：g u o s h e n g l i a n g ，m a l e ，w a sb o mi no c t o b e r ，19 81 w h o s et u t o rw a sp r o f e s s o rg e l i a l l g q u a n h eg r a d u a t e df r o mc h e n g d uu n i v e r s i t yo f t e c | 1 1 1 0 l o g yi n n u c l e a rt e c h n 。l 。g ym 句o ra n dw a sg r a l l t e dt h em a s t e rd e g r e ei n j u n e ，2 0 0 8 a b s t r a c t t h ei s s u eo fm o n t ec a r l os i m u l a t i o nf o r 丫s p e c t r u mi sa i li m p o n a j l ta r e ao f r e s e a hi nt h e 印p l i c a t i o n so fn u c l e a rt e c h n o l o g y u s e dm o n t ec a r l os i m u l a t i o nf o r 丫r a yr e s p o n s e 劬c t i o n s ( s p e c t m m ) o f n a i ( t 1 ) d e t e c t o ri sa ne 虢c t i v ew a y t os o l v et h e p r o b l e mo f 丫- r a ye n e 唱ys p e c n l n t m st h e s i si sb a s eo nt h es t a t e8 6 3p l a n s ，t h ei s s u eo fr e s o u r c e sa n d e n v i r o m e m a lt e c l l i l o l o g ym 萄o rp r o j e c t s“a e r o n a u t i c g a m m ae n e 培ys p e c t m m e x p l o r a t i o ns y s t e m sr e s e a r c ha 1 1 dd e v e l o p m e n t ，( n o ：2 0 0 6 a a 0 6 a 2 0 7 ) ，t h ep r o je c to f “t h es t u d yo fn a t u r a lg a m m ai nf i e l do fn u c l e a rg e o p h y s i c s ”f i n a n c e db yn a t i o n a l n a _ t l 】r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc 1 1 i n a ( n o ：4 0 7 7 4 0 6 3 ) a n dt h ep r o j e c to f “m o n t ec a r l o s i m u l a t i o nf o r丫 s p e c t m ma n ds o 觚a r ed e v e l o p m e n t ” f i n a n c e db y c h e n g d u u n i v e r s i t yo ft e c l l i l 0 1 0 9 ys c i e n c ea j l dt e c l l l l o l o g yp r o j e c t ( n o ：2 0 0 7 0 4 3k ) t l l i s a r t i c l ee x p l o r e sm en 啪e r i c a ls i m u l a t i o no nr e s p o n s e6 m c t i o no f 丫- r a yn a i ( t 1 ) d e t e c t o rb ym o n t ec a r l om e m o da n dd e v e l o p m e n tt h em o n t ec a r l os i m u l a t i o n s o f h v a r e t h es t u d yh a si m p o r t a n tp r a c t i c a lv a l u ea n dg u i d i n gr o l ef o r 姗c l e a r t e c l u l 0 1 0 9 ) ，r e s o u r c e sp r o s p e c t i n ga n de n v i r o m e n t a lr a d i a t i o nm o n i t o r i n gi nt h ef i e l d o ft h ee n v i r o i m l e n t a lr e s o u r c e s m a i nr e s e a r c hr e s u l t sa n dp e r f b m l a n c ei nt h e f o l l o 谢n g ： ( 1 ) 1 l l i sm e s i si n t r o d u c e st h eb a s i cp r i r i c i p l e so ft h em o n t ec a r l om e t h o da 1 1 dt h e m e c h a l l i s mo ft h ey r a ya n dp h y s i c a la t o m ( 2 ) t h i st l l e s i si n t r o d u c e st 1 1 e 丫e n e 略ys p e c t n l mo fn a i ( t 1 ) d e t e c t o ra i l dt h e m o n t ec a u r l oc a l c u l a t i o nb a s i so nt h ef o n n a t i o np r o c e s so f 丫- r a yr e s p o n s er m c t i o ni n n a i ( t 1 ) d e t e c t o r ( 3 ) i n s u a lc 十+ p l a t f o md e v e l o p m e n t 丫s p e c t 】n j mm o n t ec a r l os i m u l a t i o n s o r w a r e u s em o n t ec a r l os i m u l a t i o ns o r w a u r et os i m u l a t et h e 丫p h o t o ne n e r g y d e p o s i t i o ns p e c t n 肛na n d 丫s p e c t r u mi nn a i ( t 1 ) d e t e c t o r a b s t t ：a c t ( 4 ) t bt e s tt h ea c c u r a c ya i l dt h eu i l i v e r s a lo ft h es i m u l a t i o nm e t h o d ，c a i lu s en l e s o f h a r et os i m u l a t em el o 、托ra i l dh i 曲e re n e r g y 丫一r a yw h j c he n e r g yw i t h i nt h e 台锄e w o r ko fn a n 聃l 丫- r a yr e s p o n s e 如n c t i o ni nn a i ( t 1 ) d e t e c t o r s c a i lc o m p a r e dt o7 e n e 唱ys p e c t r i 姗o f p o i n t - s o u r c ew 1 1 i c hm e a s u r e db yd i g i t a lm u l t i c h 锄e ls p e c t r o m e t e r s y s t e m ( n a i ( t 1 ) c 叫s t a l 7 5m m 7 5 m m ) a n da n a l o gs p e c t m m n l er e s u l t so f t h e s i m u l a t i o nf o rt 1 1 el o w e re n e 唱ys o u r c e ss u c ha st h e 丫r a yr e l e a s e db y 7c sa r ea c c u r a c y t bc o m p a r em es i m u l a t i o ns p e c 饥mw i t hm ee x p e r i m e n t a ls p e c t 九肛n ，t h er e l a t i v ee n d r o ft h ep e a k t o c o m p t o nr a t i o1 e s st h a n l 9p e r c e n ta n dt h er e l a t i v ee r r o ro ft h ee n e 唱y r e s o l u t i o nl e s sm a l l5 58p e r c e n t ，f o rt h eh i 曲e re n e 唱ys o u r c e ss u c ha st h e 丫r a yr e l e a s e d b v 6 0c o c a i la l s 0b es a t i s f i e d 诹mt h es i m u l a t i o nr e s u l t s 1 1 l es o f 嘛a r ew b i c hh a su s e r 衔e n d l ya i l dm g l l l y 缸l c t i o n a lc a i ls 锄p l em o r et h a n 2 0m i l l i o n nc a na d j u s tt h ee n e 唱y o ft h es o u r c e s 油a ti s ，c h o o s ed i 虢r e n ts o u r c e s ) ，t h ed i s t a i l c eb e 铆e e ns o u r c ea n d d e t e c t o r ，d e t e c t o rs i z e i ta l s oc a i ld i s p l a y 觚ds a v es i m u l a t i o nr e s u l t s 1 哂啊o r d s ：丫e n e r j g ys p e c 仇m m o m ec 砌os i m u l a t i o n r e s p o n s en m c t i o n n a i ( t 1 ) c r y s t a l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛都堡王太堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：享f 兰再 工 c 年f 其 ；r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛都垄王盔堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：喜产生匙 学位论文作者导师签名： 2 一年 月 日 第l 章引言 1 1 选题目的及意义 第1 章引言 y 能谱的蒙特卡罗模拟问题，是核技术应用领域中的一个重要研究方面，随 着计算机技术的发展，该方法能比较逼真地描述粒子的输运过程，解决一些数值 方法难以解决的问题，可广泛应用于核分析、核勘查、核测井、辐射防护等领域。 随着蒙特卡罗方法研究的深入和应用范围的扩大及计算机的发展，对蒙特卡 罗应用软件的要求不断提高，因此，发展蒙特卡罗方法和建立完善的蒙特卡罗方 法应用软件成为两个相辅相成的重要研究方面【l 捌。 本文以n a i ( t 1 ) 闪烁探测器探测天然能量范围内的y 射线为研究对象，主 要利用蒙特卡罗方法解决y 射线的响应函数问题，同时设计蒙特卡罗模拟软件模 拟y 射线的响应函数。 本研究的意义主要有： ( 1 ) 本文模拟了地学中数字化多道谱仪系统对天然能量范围内y 射线的响应 函数( 能谱) ，可为资源环境技术领域中核资源勘查及辐射环境监测提供有意义 的指导。研究中模拟软件的开发，对蒙特卡罗方法在核技术应用领域中m c 软件 的国产化有一定的启发和推动作用。 ( 2 ) 本研究是一次对虚拟仪器研究的延伸，尝试将数值模拟引入实际测量中， 能从理论上分析仪器的性能，可为y 能谱的探测器设计提供指导。 ( 3 ) 利用计算机模拟粒子输运过程，可为实验室放射源屏蔽设计等问题提供 参数，也可减少做实验的次数甚至无需做实验，因而能减少核辐射对工作人员的 损伤及降低实验成本。 本文来源于国家8 6 3 计划资源环境技术领域重大项目“航空伽玛能谱勘查系 统研发”课题( 编号2 0 0 6 a a 0 6 a 2 0 7 ) 、国家自然科学基金项目“核地球物理学天 然伽玛场的研究”( 编号4 0 7 7 4 0 6 3 ) 和成都理工大学科技立项“y 能谱的蒙特卡 罗模拟及其软件开发”( 编号2 0 0 7 0 4 3 k ) 项目。研究目的是为了实现用设计的蒙 特卡罗模拟软件对天然能量范围内的y 射线在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中的响应函 数( 能谱) 进行有效的模拟。 1 2 国内外研究现状 蒙特卡罗( m o n t ec 砌。简写为m c ) 方法，或称计算机随机模拟方法，是 一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于第二次世界大战时美国洛斯阿拉莫 成都理1 ：人学硕+ 学何论文 斯国家实验室( l a n l ) 的“曼哈顿计划”中用于核武器设计的统计计算方法。该 计划的主持人之一、数学家冯诺伊曼( j o h l lv 0 nn e u m a n n ) 用驰名世界的赌城摩 纳哥的m o n t ec a r l o 来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。其实，蒙特卡 罗方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。 早在1 7 世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。1 9 世 纪人们用投针试验的方法来决定圆周率。2 0 世纪4 0 年代电子计算机的出现，特 别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模 拟这样的试验成为可能。 蒙特卡罗方法属于计算数学的一个分支，它是在2 0 世纪4 0 年代中期为了适 应当时原子能事业的发展而发展起来的，但它与一般计算方法有很大区别，一般 计算方法解决多维或多因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法解决这方面的 问题却比较简单，因而蒙特卡罗方法在近几十年来发展很快，已经成为计算数学 中不可缺少的部分【l 2 3 j 。 核物理及核工程中的粒子反应和输运系统，其问题的本身就是一个随机过 程，而这些随机系统、数学方程或物理过程非常复杂，以至难以或无法用解析或 数值方法来理解或控制它们，而蒙特卡罗方法却能很好的做到这一点，从而使以 前那些本是无法计算的问题现在也能够用该方法计算。 蒙特卡罗方法由于其简单、灵活和普遍性而获得广泛应用。尤其在核物理上 更是得到很大应用，2 0 世纪8 0 年代，s c h l u m b e r g e r 、l a n l 和美国北卡罗来纳 州立大学( n c s u ) 开始将蒙特卡罗方法用于核测井的模拟，取得了很大的成功。 以后的发展里，随着计算机技术的不断进步，现代计算机技术使随机采样成 为解决复杂问题的实用方法。到了2 0 世纪9 0 年代，蒙特卡罗模拟已经成为核测 井科研和生产中的重要工具。 目前在核技术领域中常用的蒙特卡罗模拟软件主要有，美国橡树岭国家实验 室从2 0 世纪6 0 年代开始研制的大型、多功能、多群中子一光子偶合输运的 m o r s e 程序。该程序是较早开发的通用蒙特卡罗程序，可以解决中子、光子、 中子一光子的联合输运问题。采用组合几何结构，使用群截面数据，程序中包括 了几种重要抽样技巧，如俄国轮盘赌和分裂技巧，指数变换技巧，统计估计技巧 和能量偏移抽样等。程序提供用户程序，用户可根据需要编写源分布以及记录程 序。由美国s 锄怕r dl i n e a r a c c e l e r a t o rc e n t e r 提供的e g s 程序，是一个用蒙特卡 罗方法模拟在任意几何中，能量从几个k e v 到几个t e v 的电子一光子簇射过程的 通用程序包。e g s 于1 9 7 9 年第一次公开发表，提供使用。e g s 4 是1 9 8 6 年发表 的e g s 程序的最新版本。e g s 程序具有元素和介质材料齐全、模拟光子能量范 围大、反应类型齐全等特点。美国圣地亚国家实验室在2 0 世纪7 0 年代发表的三 维电子一光子偶合蒙特卡罗方法程序s a n d y l 和2 0 世纪8 0 年初开发的t i g e r 2 第1 章引言 程序也具有齐全的模拟功能。由美国洛斯阿拉莫斯国家实验室开发的大型多功能 通用蒙特卡罗程序m c n p ，可以计算中子、光子和电子的联合输运问题以及临界 问题，中子能量范围从1 0 1 1 m e v 至2 0 m e v ，光子和电子的能量范围从l k e v 至 1 0 0 0 m e v 。程序采用独特的曲面组合几何结构，使用点截面数据，程序通用性较 强，与其它程序相比，m c n p 程序中的减方差技巧是比较多而全的。该程序目前 得到了广泛的使用。还有欧洲核子研究中心( c e r n ) 发行的主要应用于高能物 理探测器响应和粒子径迹模拟的g e a n t 程序、英国的m c b e n d 程序、法国的 t r j p o l i 程序等也都有较好的模拟效果。 上述蒙特卡罗程序虽然在粒子输运方程求解中发挥了重要作用，但这些程序 一般为通用程序且操作复杂不便于计算核探测问题。因而，研究核探测问题的 m c 计算方法及软件成为当今辐射输运领域的热门课题【4 】。同时，在一些特殊的 核探测问题上编写m c 程序解决具体问题成为必要。 在应用蒙特卡罗方法模拟n a i ( t 1 ) 闪烁探测器y 射线响应函数( 能谱) 问 题方面。h v n g u y e n 【5 】等利用n g r c 程序、f a y e zh h 【6 】等利用e g s 4 程序，模拟了 n a i ( t 1 ) 闪烁探测器对y 射线的响应函数。清华大学的h u x i as h i l 7 j 等人利用 m c n p 模拟了n a i ( t 1 ) 探测器的y 射线响应函数得到了满意的效果。向东瞵j 等 采用m c n p 4 c 模拟了n a i ( t 1 ) 晶体探测y 射线的能量沉积谱。 以上都是利用已有的蒙特卡罗模拟软件进行模拟。林旭升【9 】自编程序模拟了 点源y 射线在n a i ( t 1 ) 晶体中的能量沉积谱，李婧【lo 】等用蒙特卡罗方法对n a i ( t 1 ) 探测天然y 能谱的软件设计方法及应用做了研究，用自行编制的软件模拟了地空 界面上天然放射性y 射线在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中的能量沉积谱。但他们都没有 模拟出n a i ( t 1 ) 闪烁探测器对y 射线的响应函数，因此，模拟结果与实测谱在 全能峰处差异较大，不能反映出放射性和仪器统计涨落对模拟结果的影响。 许淑艳f 1 3 】等采用光子和电子耦合输运的方法做了n a i ( t 1 ) 晶体对光子的响 应函数计算方面的研究，所得结果与实验测谱较接近。张引娣、梅立泉【l 驯利用 数值计算方法也得出了n a i ( t 1 ) 晶体对光子的响应函数。 目前国外许多m c 程序如m c n p 、e g s 等均可对y 射线在诸如n a i ( t 1 ) 、 g e ( l i ) 、h p g e 等探测器中的响应函数做有效的模拟，但这些程序使用较复杂并 且未公开模拟响应函数的代码。此外，国内利用自编程序模拟n a i ( t 1 ) 闪烁探 测器对y 射线响应函数的相关文献也不多见，特别是在地学领域中，利用自编程 序模拟天然能量范围内的y 射线在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中的响应函数更是少见。 1 3 研究内容 本文探讨用蒙特卡罗方法计算y 射线在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中响应函数的计 成都理f ：人学硕+ 学位论文 算方法。该方法将能量沉积谱各全能峰做高斯扩展，引入y 能谱能量分辨率的实 验参考值作为光子落入各能量道的响应系数，分段计算出光子落在每一能量段内 的概率，依此概率对光子做落入能量道的抽样，从而使谱线得到拓展形成符合高 斯分布的全能峰。 以点源放出的y 射线在n a i ( t 1 ) 探测器中的响应函数为研究对象。分析光子 从放射源出射直到在探测器中经过反应被探测器记录的整个输运过程。依据建立 的蒙特卡罗物理模型，用计算机编程产生随机数来模拟单个或多个光子的反应轨 迹使粒子输运的统计规律得以重现。最后设计软件模拟出整个光子的输运过程， 并显示出探测器记录到的y 能谱。研究内容有以下几个方面： ( 1 ) 论述了蒙特卡罗方法的基本原理及解决粒子输运问题的主要步骤； ( 2 ) 阐明了y 射线与物质的作用机制及相关角度能量分布，同时分析了y 射线在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中响应函数的形成机理； ( 3 ) 重点研究了天然能量范围内的y 射线响应函数的蒙特卡罗计算方法。 以点源放出的y 射线在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中的响应函数为研究对象，探讨了一 种新的利用蒙特卡罗方法计算y 射线在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中响应函数的计算方 法。 ( 4 ) 建立点源放出的y 射线对圆柱型n a i ( t 1 ) 闪烁探测器响应函数的蒙特 卡罗模型，利用所建模型及文中提出的响应函数计算方法，在v i s u a lc + + 平台 下开发蒙特卡罗模拟软件，模拟出整个光子的运动过程； ( 5 ) 利用开发的蒙特卡罗模拟软件分别模拟天然能量范围内较低能量如 1 3 7 c s 源和较高能量如6 0 c o 源放出的y 射线在n a i ( t 1 ) 闪烁探测器中的响应函数， 同时将模拟结果与n a i ( t 1 ) 闪烁探测器实测谱做对比，从而分析、检验模拟方法 的正确性和蒙特卡罗模拟软件的通用性。 4 第2 章蒙特卡罗方法概述 第2 章蒙特卡罗方法的基本原理 蒙特卡罗方法是以概率统计理论为基础的具有独特风格的一种数值计算方 法，它既能求解确定性的数学问题和随机性问题，也能够比较逼真地描述事物的 特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领 域同趋广泛。从蒙特卡罗方法诞生至今已有了很多年的历史，随着科学技术发展 的需要以及电子计算机的不断进步，使得蒙特卡罗方法在计算数学中的地位也越 来越重要i l 2 ，1z 。 2 1 基本原理1 1 ，2 ，1 2 l 蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加 以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型 所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。 可以把蒙特卡罗方法解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现 从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 ( 1 ) 构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是j 下确描述和模拟 这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须 事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不 具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 ( 2 ) 实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分 布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量( 或随机向量) ，就成为实现蒙特 卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。 最简单、最基本、最重要的一个概率分布是( 0 ，1 ) 上的均匀分布( 或称矩形 分布) 。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分 布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序 列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。 在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不 便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真j 下的随机数序列 不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它 与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数 来使用。 由已知分布随机抽样有各种方法，与从( 0 ，1 ) 上均匀分布抽样不同，这些方 成都理i ：人学硕十学位论文 法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此 可见，随机数是实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 ( 3 ) 建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并从中抽样后，即实现模拟实验后，就要确定一 个随机变量，作为所要求的问题的解，称它为无偏估计。建立各种估计量，相当 于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值 时，它们可以通过某种“试验 的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个 随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 当随机变量的耿值仅为l 或0 时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说， 某种事件的概率也是随机变量( 仅取值为1 或o ) 的数学期望。 简言之，蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学 方法来加以模拟，是一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个 模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。在求解数学、物 理、工程技术以及生产管理等方面的问题的解时，具体做法是，首先建立一个概 率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或 抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。而解的精确度 可用估计值的标准误差来表示。 假设所要求的量x 是随机变量善的数学期望e ( 善) ，那么近似确定x 的方法是 对孝进行v 次重复抽样，产生相互独立的孝值的序列螽，色，厶并计算其算术平 均值： ， 瓦= 专色 门= l 根据柯尔莫哥罗夫加强大数定理，有： 因此，当充分大时，式： p ( h m 孝= x ) = l ，v 孝e ( f ) = x 6 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 第2 章蒙特卡罗方法概述 成立的概率等于1 。亦即可以用孝作为所求量x 的估计值。 2 2 蒙特卡罗方法的收敛性及误差1 1 2 l ( 1 ) 收敛性 蒙特卡罗方法是由随机变量x 的简单子样五，尼，墨的算术平均值： 又n ：蕞x i ￥堵l ( 2 4 ) 作为所求解的近似值。由大数定律可知，如五，尼，瓜独立同分布，且具有 有限期望值( e ( 劢 ) ，则n 3 p ( 够叫柳) = t ( 2 5 ) 这表明，随机变量x 的简单子样的算术平均值牙，当子样数充分大时，以概 率l 收敛于它的期望值f ( 劢。 ( 2 ) 误差 蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，由概率论的中心极限定理可知， 如果随机变量序列咒，尼，凰独立同分布，且具有有限非零的方差仃，即 o 盯2 = f ( x e ( x ) ) 2 ( x ) 出 o 。 ( 2 6 ) 厂( 工) 是x 的分布密度函数。 舛( 孚肾酬 x = 去p 坨衍 7 ， 当充分大时，有如下的近似式n 1 尸旧咽柳i 篝) 去p 锄搁一口 8 ， 7 成都理l ：人学硕十学位论文 其中，a 称为置信度，卜a 称为置信水平。 这表明，不等式 耻酗) i 等 近似地以概率卜a 成立，且误差收敛速度的阶为d ( 。1 彪) 。 蒙特卡罗方法的误差定义为 九，o s = 等= 0n ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 上式中丸与置信度a 是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后查 标准正态分布表，就可以确定出以，也就可以得到近似值与真值的误差。 蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的，由于 误差中的均方差仃是未知的，所以需要使用其估计值n 1 ( 2 1 1 ) 来代替，在计算所求量的同时，可计算出口。 从上述可知，蒙特卡罗方法的误差为概率误差。且误差与样本容量点数有关， 而与问题的维数无关。也就是说问题的维数改变，除了引起抽样时间和计算估计 量的时间有改变外，不影响问题的误差。这样，要达到同一精度，用蒙特卡罗方 法选取的点数与维数无关，计算的时间仅与维数成比例。而对于确定性的数值计 算方法，为达到同一精度所取点数与维数的幂次方成比例，即计算量要随着维数 的幂次方增加。这是蒙特卡罗方法优于其它数值方法的显著之处。 2 3 随机数 由具有已知分布的总体中抽取简单子样，在蒙特卡罗方法中占有非常重要的 地位。总体和子样的关系，属于一般和个别的关系，或者说属于共性和个性的关 8 第2 章蒙特卡罗方法概述 系。由具有已知分布的总体中产生简单子样，就是出简单子样中若干个性近似地 反映总体的共性。 随机数是实现由已知分布抽样的基本量，在由已知分布的抽样过程中，将 随机数作为已知量，用适当的数学方法可以由它产生具有任意己知分布的简单子 样n 引。在连续型随机变量的分布中，抽取的简单子样称随机数序列，其中每一 个体称为随机数。 随机数分为三类：真随机数、伪随机数和准随机数。真随机数是不能被计算 机产生的，只能由物理随机源( 电子噪音、放射性衰变) 产生，无法应用于程序 中。伪随机数是由数学递推方法产生的数列，看似相互独立和分布均匀且应用最 广。准随机数由数学方法产生的优化数列，分布高度均匀但不相互独立，应用有 限。 介于随机数的这些特点，在整个模拟过程中引用伪随机数进行操作。由随机 数产生函数来随机产生模拟中所需要的0 到1 之间均匀分布的随机数。 随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置，本文中随机数用符号毛表 示。由随机数序列的定义可知，随机数是相互独立且具有相同单位均匀分布的随 机数序列。独立性、均匀性是随机数必备的两个特点。 2 4 解决粒子输运问题的主要步骤 粒子的输运问题带有明显的随机性质，粒子的输运过程是一个随机过程。粒 子的运动规律是根据大量粒子的运动状况总结出来的，是一种统计规律。蒙特卡 罗模拟，是利用数值方法和技巧，即利用随机数来模拟相当数量的粒子在介质中 运动的状况，使粒子运动的统计规律得以重现。 用蒙特卡罗方法求解粒子输运问题时，通常分为以下四个步骤n 2 1 。 ( 1 ) 要弄清楚输运的全部物理过程。就是要考虑系统的形状；系统中介质的 原子核组成；粒子的源分布；粒子由源出发后，输运到下一个碰撞点的分布；粒 子在碰撞点发生碰撞时，与每一个原子核碰撞的概率；粒子与每一种原子核发生 各种反应的概率；粒子发生每一种反应后其能量分布和角分布；粒子运动历史结 束的条件等粒子输运的全过程。 对于非随机性的问题，用蒙特卡罗方法求解时，必须人为地构造一个概率空 间，将非随机性的问题化为随机性问题。 ( 2 ) 确定所用的蒙特卡罗技巧。选用适当的蒙特卡罗技巧可使计算结果稳定 变快，方差( 或误差) 减小，效率提高，也能使计算结果的统计涨落变小，稳定性 增强。 ( 3 ) 确定粒子的状态参数与状态序列。粒子在介质种的运动状态可用一组参 9 成都理1 ：人学硕十学何论文 数描述，这些参数称为状态参数。它通常包括：粒子的空间位置r ，能量e 和运 动方向q ，以s = ( ，e ，q ) 表示。有时还需要其他的参数，如粒子的寿命f ，权重 缈。状态参数的确定与所考虑的问题及系统有关，要根据所求问题的类型和所 用的方法来确定，在选择状态参数时，要恰如其分。粒子第m 次碰撞后的状态参 数为： 瓯= ( ，厶，q 。) ( 2 1 2 ) 或者， s 。= ( ，毛，q ，乙，) ( 2 1 3 ) 它表示一个由源出发的粒子，在介质中经过m 次碰撞后的状态，其中为粒子在 第m 次碰撞点的位置；乜为粒子第m 次碰撞后的运动能量；q 所为粒子第朋次 碰撞后的运动方向；r 。为粒子第珊次碰撞后的运动寿命；为粒子第珑次碰撞 后的运动权重。 一个由源发出的粒子在介质中运动，经过若干次碰撞后，其运动历史结束( 如 逃出系统或被吸收等) 。假定( 不带电) 粒子在两次碰撞之间按直线运动，其运动 方向与能量均不改变，则粒子在介质中的运动过程可用以下状态序列描述： 或者更详细表示为： s q ，s 2 ，s m _ 、m ， 巨， 岛， ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 来描述。这里& 为粒子由源出发的状态，称为初态，为粒子的终止状态。m 称为粒子运动的链长。这样的序列称为粒子随机运动的历史，模拟一个粒子的运 动过程，也就变成确定状态序列的过程了。 ( 4 ) 确定粒子输运过程中相关分布的抽样方法。模拟粒子运动的过程，其核 心是一个由已知分布抽样的问题。由已知的粒子源分布中抽取粒子的初态， & = ( ，晶，q 。) 。由已知状态& 确定& + l 朋= 0 ，1 ，m 一1 时，要从己知的分布 1 0 第2 章蒙特卡罗方法概述 中抽取输运长度，确定碰撞点的位置，抽样确定碰撞核的种类及反应类型，如果 粒子不被吸收还要从已知能量分布和角分布中抽样确定碰撞后的能量和散射角， 进而转换成碰撞后的运动方向等。由己知分布的抽样，要选取适当的抽样方法。 选取抽样方法以容易实现，所用时间少为标准。 成都理! l ：人学硕十学何论文 第3 章y 射线的探测与能谱分析 3 1y 射线与物质的作用机制 y 射线是能量很高的电磁波具有波粒二象性，y 光子不带电，它与电子或原 子核存在电磁相互作用，在一次作用中损失全部能量或大部分能量。y 射线与物 质的相互作用是探测y 射线的物理基础，其主要作用形式有：光电效应、康普顿 效应和电子对效应。 y 光子与原子发生作用的概率用反应原子截面来描述。上述三种效应的截面 主要与y 光子的能量和物质的原子序数有关。 3 1 1 光电效应 当y 光子与原子壳层轨道上的内层电子碰撞时，光子把全部能量转移给壳层 的一个内层电子，电子克服了电离能，脱离原子而运动，产生了光电子，而y 光 子被完全吸收，这种作用称为光电效应。 图3 一l 光电效应示意图 一般认为，光电效应把整个原子看成一个统一的体系与入射光子发生作用， 吸收能量，发射光电子。 要产生光电效应，入射光子能量必须大于轨道电子的结合能。因为光量子的 能量被吸收后消耗在核反冲能、电子结合能和光电子动能上。而入射光量子的能 量必须大于它们的总和。没有足够的能量克服轨道电子的结合能，电子就不可能 脱离原子的束缚而成为自由电子。 ( 1 ) 光电效应截面 光电效应截面通常简称为光电截面。它表示一个入射光量子与单位面 第3 章y 射线的探测与能谱分析 积上一个靶物质原子发生光电效应的几率，用表示。 当枷 c 2 ， = 厄4 加玩 = 等( 寿) 22 了【孑j 略“5 口4 警z 5 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 式中，z 为靶物质的原子序数；j 2 z d 为电子质量；c 为光速；a = 1 1 3 7 为精细 结构常数。 总光电截面： = 略+ 略+ 吆+ - ( 3 4 ) 光电效应主要发生在k 壳层上： r4 略2 ； ( 3 5 ) 由以上各式可以看出，光电截面与靶物质原子序数的5 次方成正比， 即对于重元素产生光电效应的机率比轻元素要高得多。猫大，电子受到 原子的束缚就越紧，更有利于原子作为一个整体吸收能量，并使原子核作 为第三者参与光电效应作用过程，满足能量与动量守恒定律的要求。因而 产生光电效应的机率就越大。 光电截面仃曲与入射光子能量力y 的3 5 次方成反比。这可以解释为相对 于低能的入射光子，电子被束缚得紧一些，容易产生光电效应。而相对于 高能的入射光子，电子的结合能可以忽略，而接近于“自由电子”，产生 成都理i ：人学硕十学位论文 光电效应的几率就低。 ( 2 ) 光电子的角分布 光电子的运动方向与光子运动方向的夹角称为光电子的散射极角，用 日表示。光电子的散射极角日的分布为： 簪 燮需筹业一并 + 型篙学 嚣一等篙茅锄( 等) 】 ( 3 - 6 ) 4 ( 1 一2 )。l 一( 1 一c o s 臼) 2 、p 其中，： 1 - c 2 ( e 一巨+ 肌。c 2 ) 2 ) ( 3 7 ) 是电子速度与光速之比。式中，e ，既分别为光子能量、腥电子结合能。 由实验知，随着入射y 光子能量的增加，最大截面向小角度方向移 动，在口= o o 和口= 1 8 0 0 方向上没有观察到光电子。 相对于光子的入射方向而言，不同角度光电子的产额是不一样的。可 以用微分截面幽dq 表示进入平均角度为。方向的单位立体角q 内的光电 子数目力。 实验和理论证明，光电子的角分布具有其明显的特点。在与光子入射 方向成0 。和1 8 0 0 方向不会产生光电子，而在某一角度光电子出现几率最大。 当入射y 光子能量很低时，光电子在垂直于入射y 射线方向上发射，当y 光子能量增加时，逐渐朝前向角发射。 3 1 2 康普顿效应 当入射的y 光子与一个自由电子发生一次碰撞时，y 光子将部分能量 传给电子，使它与y 光子的初始运动方向呈西角射出，而y 光子则与初始 运动方向呈口角散射。 将入射光子看成是具有一定能量巴= 是y 和动量贮 y c 的粒子与电子发 生弹性碰撞。在这一碰撞过程中，入射光子将一部分能量传递给电子。而 光子发生能量和方向的改变，形成能量为是v 。，动量为庇v e 的光量子，称 为散射光子，散射角为口。电子在获得一定能量之后，克服结合能，沿咖 方向出射。称为反冲电子或康普顿电子。其动能e 。取决于电子获得能量与 电子结合能之差；并