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摘要 f c t 最佳差分法在正演模拟中的应用 作者简介：杨宁，男，1 9 8 1 年1 2 月生，师从成都理工大学丁照字教授，2 0 0 8 牟5 月毕业于成都理工大学计算机应用专业，获得工学硕士学位。 摘要 近2 0 年以来，随着国家经济的飞速发展，对能源的需求月益俱增。从而对 各种勘探与解释方法要求也越来越高。特别是对石油勘探中的主要手段地震勘探 要求更高。地震数值模拟技术是模拟地震波在介质中传播的一种数值分析技术。 它在地震勘探各工作阶段都占有重要作用。高精度，高速度，低消耗的数值模拟 尤其受到各个油田、研究院的欢迎。针对此问题，本文研究了f c t 最佳差分方 法，并将其应用到弹性波的正演模拟中。 最佳差分方法是一种快速差分方法，它在有限差分的基础上引入最佳差分算 子。不同于传统差分算子用泰勒展开近似求得，最佳差分则是通过使群速度相对 误差最小求得。 本文在分析最佳差分方法频散问题的基础上，提出了利用通量传输校正方法 ( f c t l 处理数值频散，在实际正演模拟中效果良好。并且系统的推导出优化的通 量传输校正方法，其方法计算耗时少，精确度高。过程主要过程包括：1 计算方 程的解。带入最佳差分方法，并计算出结果，然后对自由表面与边界以及边角进 行处理。2 ，平滑方程的解。首先计算漫反射通量，通过漫射通量来修改差分方程 的解( 即平滑方程的解) 。由于这种平滑处理是对计算区域内的每一个网格点实施 的，从而一定程度地压制了真实的波动，造成振幅精度的部分损失。3 反漫射处 理。由于漫射是以守恒方式实现的，即任何时候在任一点去掉一部分波场时，导 致能量的下降，就必须有相同能量加回到同一位置。因此，一旦发生漫射，就必 须在任何不需要漫射的地方引入反漫射以抵消漫射，以使真实波场得以恢复。因 此对解作反漫射修正，比漫射计算更复杂，通常是通过非线性局部搜索来实现。 同时文中还对震源以及边界吸收条件进行了分析。 并且详细的讨论了f c t 最佳差分方法在弹性波正演模拟中的应用。差分是 在位移一应力弹性动力学方程上进行的。用该方法实现弹性波正演模拟只要算子 半长度取到4 6 ，每波长取3 个采样点即可获得精度很高的波场值。在求解时 使用类似r i e u ) 【所用的那种交错网格技术，在不同的网格点上计算不同的波场 量。而由于模型尺寸有限，所产生的干扰波场使用h i g d o n 边界吸收条件。这种 边界条件是用一些算子组合将边界反射吸收，同时解决了四个角点的问题，并且 摘要 同一个公式在解决不同维数问题时不需要做修改。 最后在进行二维地质建模和f c t 最佳差分法正演方法理论研究的基础上， 本文设计了以三层架构为基础，以网络数据库为中心的分布式二维地质建模及 f c t 最佳差分法正演软件体系结构，并基于q t 实现了完全自主知识产权的软件 产品，通过多个模型试算表明该软件功能完备、运行稳定具有很好应用和推广前 景。 关键词：最佳差分优化通量校正正演模拟交错网格 a b s 廿a c t o p t i m a l d i f f e r e n c em e t h o dr e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o n i n 订o d u c t i o no f m ea u t h o r ：y a n gn i n & m a l e ，w a sb o mi nd e c e n l b 盯，1 9 8 1w h o s e t u t o rw a sp r o f e s s o rd i n gz h a o y u h eg r a d u a t e df b mc h e n g d uu n i v e r s i t yo f t e c 王l n 0 1 0 9 yi nc o m p u t e rs c i e n c em a j o ra n dh 邵g r 肌t e dt h em a s t e rd e g r e ei nj u n e ， 2 0 0 8 a b s t r a c t s i l l c en e a r2 0y e a r s ，a l o n g 谢t hs 协t ee c o n o i n y ss 谢rd e v e l o p m e n t ，a l lh a v e i n c r e a s e dd a yb yd a yt ot h ee n e r g yd e m a l l d t h u si sa l s og e n i n gh i g h e ra i l d1 1 i 曲e rt o e a c h 虹n do fe x p l o r a t i o na dt h ee x p l a n a t i o nm 劬o dr e q u e s t i ss p e c i 出l yh i 曲e rt o p e t m l e u mp r o s p e c t i n sp r i n c i p a lm e a n ss e i s m i cs u e yr e q u e s t t h ee m q u a l 【e n u m e r i c a ls i m u l a t i o nt c c h n o l o g yi ss i m u l a t e st h e e a n h q u a k e 、v a v eo n ek i n do f n 啪e r i c a la n a l y s i st e c 王1 n o l o g yw l l i c hd i s s e r n i n a t e s 血t h em e d i 哪nh o l d sm e i 1 1 n u e r n i a lr 0 1 ei nt h es e i s 血cs u n ，e ye a c hw o r k j n gs t a g e t h eh i 曲a c c u r a c y ，t h eh i 曲 v e l o c i 白t h e1 0 wc o n s u r n p t i o nn 啪e r i c a ls i m u l a t i o nr c c e i v e se a c ho i lf i e l d ，r e s e a r c h i n s t i t u t e s 、v c l c o m ee s p e c i a l l yi nv i e wo ft h i sq u e s t i o n ，t h i sa n i c l eh a ss m d i e dt l l e f c tb e s td i f r e r e n c em e t h o d ，a n d a p p l i e s i t 也ee l a s t i cw a v et o d e v e l o pi n t l l e s i m u l a t i o n 1 1 1 eo p t i m a l - d i 腧r e n c ei sa 缸td i 仃e r e n c e nn r o d u c e s 也eo p t i m a ld i 艉r e n c e o p e m t o ri nt h ef m “e d i 疗e r e n c ef o u n d a t i o n s t h eo p t i m a l o p e r a t o ri sd e s i g n e db y i n i i l i 面z i n gm ec o r r e s p o n d i n gp e a kr e l a t i v ee r r o ri ng r o u pv e l o c i 吼 t l l i sa n i c l emt h e a n a l y s i s b e s td i 腩r e n c em e m o d 舶q u e n c yd i s p e r s i o n q u e s t i o n sf o u i l d a t i o n ，p r o p o s e dm eu s ef l u xt r a n s r n i s s i o na d j u s t n l c n tm e m o d ( f c t ) p r o c e s s i n gv a l u e 仔e q u e n c yd i s p e r s i o n ，i ni sp r a c t i c a li sd e v e l o p 抽gi i lt h es i m u l a t i o n 也ee f f e c tt 0b e g o o d a r l ds y g t e m 。s 血f e r e m i a lr e a s o n i n go p t 证d z a t i o n n u x 台a n s m i s s i o na d j u s t m e mm e t h o d ，i t sm e t h o dc o m p u t a t i o nt i m e c o n s 啪m gf c w ，t h e p r e c i s i o ni sh i g h t h ep r o c e s sm a i np r o c e s si n c l u d e s ：1 c o m p u t a d o ne q u a t i o ns o l u t i o n l e a d sm eb e s td i 行e r e n c em e m o d ，a n dc a l c u l a t e st h er e s u l t ，t h e nc 删e so np r o c e s s i n g t ot h e 丘e es u r f h c ea n dt h eb o u l l d a r ya sw e l la st h cc o m e l2 s m o o t he q u a t i o ns o l u t i o n f 搬c a l c u l a t e st h ed i 仟u s er e n e c t i o nn u x ，r e v i s e st h ed i 艉r e n c ee q u a t i o nt h r o u 曲t l l e d i m l s i o nn u xt h es 0 1 u t i o n ( i e s 1 0 0 me q u a t i o ns o l m i o n ) b e c a u s em i sk m do f i s m o o t hp r o c e s s i n gi st oc a l c u l a t e si 1 1t h er e g i o ne a c hm e s hp o i n ti m p l e m e n t a t i o n ，t 1 1 u s t l l ec e r t a i ne x t c n ts u p p r e s s e dm er e a ln u c t u a t i o n ，c r e a t c st l l eo s c i l l a t i o n 锄p l i t u d e p r e c i s i o n 血ep a n i a ll o s s e s 3 c o u n t e r d i 丘h s i o np r o c e s s i n g b e c a u s e 血ed i f m s i o ni s r e a l i z e sb yt h cc o n s e r v a t i o nw a y ，n a m e l ya ta i l yt i m ew h e na 1 1 ys p o tr e m o v e sp a no f w a v ef i e l d s ，c a u s e st h ee n e r g yt h ed r o p ，m u s th a v es a m ee n e r g yc a n a d at or e 胁t o n l ei d e n t i c mp o s “i o n t h e r e f o r e ，o n c eh a st h ed i 纳s i o n ，m u s ti nt h ep l a c ew h i c ha n y d o e sn o tn e e dt od i f f h s ei n t r o d u c em ec o u n t e r - d i 丘 u s i o nt oc o u n t e 卜b a l a n c et h e d i f h s i o e n a b l e st h er e a lw a v ef i e l dt or e s t o r c t h e r c f o r ed i 丘b e st ox i ez u o 胁 r e v i s e s i sm o r ec o m p l e x 廿l a n 也ed i 矗u s i o nc o m p u t a t i o n ，u s u a l l yi sr e a l i z e s l r o u 血 t h cm i s a l i g m e n tp a n i a ls e a r c h s i m u l t a n e o u s l vi nt h ea r t i c l ea l s oh a sc 枷e do nt b ea n a l y s i st o l cc e n t c ro f o r i g i na sw e l la st h eb o u n d a r ya b s o r p t i o nc o n d i t i o n a i l dd e t a i l e dd i s c u s s i o nf c t b e s t d i 彘r c n c em e t h o d ，i nm ee l a s t i cw a v ei sd e v e l 叩i n gi nm es i m u l a t i o nt h e 印p l i c a t i o n t h ed i f f 音r e n c ei sc a r r i e so nt 1 1 ed i s p l a c e m e n t s 仃e s se l a s t i cd y n a i i l i ce q u a t i o n r e a l i z c st l l ee l a s t i cw a v e 谢mt h i sm e m o dt od e v e l o pt h es i 舢l a t i o n ，s ol o n ga st l l e o p e r a t o rh a l fl e n g t l lt a k e s4 6 ，e a c hw a v el c n 垂ht a k e s3s 锄p l i n gp o i m sm c nt o o b t a i nt h ep r e c i s i o nv e n rl l i 吐w a v ef i e l dv a l u c w h e ns o l u t i o nu s e sm a tk i n do f s t a g g e r e d m e s ht e c l l i l o l o g yw h i c hs i l n i l a r r i e u ) 【u s e s ，c a l c u l a t e sm ed i 彘r e mw a v e f i e l dq u a n t i t yo n 血ed i 脏r e n tm e s hp o i m b u tb e c a u s et h em o d e ls i z ei sl i l n i t e d ， p r o d u c e st h ed i s t u r b a n c ew a v ef i e l du s e st h eh i g d o nb o u n d a r yt oa b s o r bt h ec o n d i t i o n t h i s 虹n do fb o l l i l d a r yc o n d i t i o ni s 州ms o m eo p e r a t o rc o m b i l l a t i o nt h eb o u n d a r y r e n e c t i o na b s o r d t i o n ，s i m u l t a n e o u s l yh a ss o l v e df o 叮v e r t c xp r o b l e m s ，a i l di d e n t i c a l f o n l l u l ai ns o l u t i o nd i 丘b r e n td i m e n s i o nq u e s t i o n 血n ed o e sn o tn e e dt 0m a k en l e r e v i s i o n f i n a l l yi nc a r r i e so nm e 御o d i m e n s i o n a lg e o l o g i c a lm o d e l l i r 培a n dt h ef c t b e s t m e t h o do fd i 毹r e n c ei sd e v e l o p i i l gm em e t h o df u n d a m c n t a l r e s e a r c hi nt h e f o u n d a t i o l l ，t l l i sa n i c l eh a sd e s i g n e dt a k et h r e ec o n s 仇l c t i o n sa saf o u n d a t i o n ，i s d e v e l o p i n gm es o f t 、a r ea r c l l i t e c t u r et a k e 廿l en e t w o r k d a t a b a s ea s 血ec e m r a l d i s t r i b u t i o n a lt 、；l ，o d i m e n s i o n a l g e o l o g i c a lm o d e i l i n ga n d 廿l e f c tb e s tm e m o do f d i 丘b r e n c e ，a n dh a sr e a l i z e dt h ec o m p l e t e l yp r o p r i e t a r yi m e l l e c t t l a lp r o p e r t yd g h t s s o f t w a r ep r o d u “b a s e do n ( m ，t h r o u g hm 卸ym o d e lp i l o tc a l c u l a t i o n si i l d i c a t e dt h a t t h i ss o r w a r e 劬c t i o ni sc o m p l e t e ，t h em o v e m e n th a s 廿l ev e r yg o o d 印p l i c a t i o na 1 1 d t h ep r o m o t e dp r o s p e c ts t a b l y b ym e 曲d yo f t w o - d i m e n s i o n a lg e o l o g i c a lm o d e l i n g k q w o r d s ：o p t i m a l - d i 旋r e n c e f c tf o 九a r ds i m u l a t i o ns 诅g g e r e d 。m e s h 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑堡兰盍堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 物孚 瑚君年3 月z 7 日 | 学位论文版权使用授权书 淼巍：掣沙青 学位论文作者导师签名：，气一1 砸二豸 己 箩年s月7 ，日 第l 章引盲 第1 章引言 近2 0 年以来，随着国家经济的飞速发展。对能源的需求日益俱增。从而对 各种勘探与解释方法要求也越来越高特别是对石油勘探巾的主要手段地震勘探 要求更高。地震数值模拟技术是模拟地震波在介质中传播的一种数值分析技术。 它在地震勘探备工作阶段都占有重耍作用高精度，高速度低消耗的数值模拟 尤其受到各个油田、研究院的欢迎。 地震波场数值模拟的主要方法有两大类，即几何射线法和波动方程法 这两种方法各有优劣，但波动方程数值模拟方法不仅能保持地震波的运动学 特征，而且还能保持地震波的动力学特征，尤其受到各国地球物理学家的重视 目前对波动法的研究就数值计算角度来说，基本上多采用有限元法( f 脚) 、边 界元法( b 蹦) 、伪谱法( t 哩潮) 、有限差分法( f 咖) 。或是对这几种方法进行改进。 有限元法可处理复杂形状地表和不规则介质界面的情况，但是此方法需要巨 大的计算机内存，而且计算量相当大所以实际应用的比较少。 边界元法【7 删也可处理复杂形状地表和不规则介质界面的情况并且把所讨 论问题的维数降低了一维。所用节点数比有限无法少，但是边界元法得到的代数 方程组所对应的矩阵一般是非稀疏的因此对同一问题的处理所需的存储量和计 算量比有限差分法多。 伪谱法是g a d 昭和x d d a 廿等人发展起来的一种算法i 训。它通过对空间坐 标的偏微分实施快速傅氏变换。避免了对空间坐标的差分运算。只在时间上作差 分计算，从而大大加快了计算速度并节省了大量的计算机内存但它通过引入映 射茵数使其在计算中考虑地表形状的变化，但当需同时考虑地表形状和其他边界 或内部界面时，映射函数的选择非常困难。 有限差分方法是能够准确的描述地下介质的分布状况及波在各种介质中的 传播规律，是一种非均匀介质中弹性波数值模拟的有效方法因为就其有内存占 用少。运算速度快等优点，所以大部分地震波场数值模拟软件均采用此方法但 由于该方法使用规则网格，使得在处理复杂形状地表和不规则介质界面时出现困 难。需要埘模型做过分精细地采样。从而使计算时问增加并且传统的有限差分 方法在求解波动方程时，会产生不期望的数值频敝或称网格频散。导致了数值模 拟结果分辨率的降低 成都瑾t 大学颈士学位论文 1 2 本文研究的内容 最佳差分法应用于正演模拟【l j 于上世纪9 0 年代由周家纪教授提出，并在小 型机上成功实现。其方法是在有限差分的基础上引入最佳差分算予，以达到快速 差分的目的并将该方法与位移应力弹性波动方程相结合，使用类似v i r i e u x 所用的交错网格技术网【姗，在小同的网格点上讣算不同的波场量。由于使用位移 肫力表达式，很容易处理自由表面边界条件，并在模拟中引入了边界吸收条件 来处理其它几个边界。使用最佳差分格式对所有泊松比值都是稳定的，对介质内 部的液体一周体界面不需要附加额外重要条件就可得到精确的结果。虽然对频散 起了一定的抑制作用，但是其频散还是比较严重。 1 9 7 3 年b 0 r i s 和b k 1 5 】等在流体动力学连续方程的求解中，发展了一种通量 校正传输方法( f c t ) 嘲，并将他们的f c t 方法应用于声波方程的求解中，有效地 压制了在粗网格情况下差分计算产生的数值频散。 本文将这种f ( 玎技术与求解波动方程组的最佳差分方法相结合，获得了一 种适用于求解二阶弹性波方程的f c t 最佳差分算法。其过程丰要包括。 1 计算方程的解。带入最佳差分方法，并计算出结果，然后对自山表面与边 界以及边角进行处理。 2 平滑方程的解首先计算漫反射通量，通过漫射通量来修改差分方程的解 ( 即平滑方程的解) 由于这种平滑处理是对计算区域内的每一个网格点实施的， 从而一定程度地雎制了真实的波动，造成振幅精度的部分损失。 3 反漫射处理。由于漫射是以守恒方式实现的，即任何时候在任一点去掉一 部分波场时，导致能量的下降，就必须有相同能量加回到同一位置。因此，一旦 发生漫射，就必须在任何不需要漫射的地方引入反漫射以抵消漫射，以使真实波 场得以恢复。因此对解作反漫射修正，比漫射计算更复杂，通常是通过非线性局 部搜索来实现 2 第2 章p c t 最佳差分缓 2 1 最佳差分法 第2 章f c t 最佳差分法 最佳差分法是一种结合最佳算予的快速差分方法。最佳差分法与传统的差分 法相比较区别在于差分算子的选取。传统差分算子构造的基本原理没有物理意 义，只要使高阶导数的截断误差达到最小即可，而最佳差分算子的设计则不然， 它丰要是使数值模拟的不合理影响达到最小为目的。 在最佳差分法中用的差分公式( h o l b e r g ，1 9 8 7 尸1 如下： 吒+ = 击喜柏( 矿叫一心母峨】 m 毒嘶+ 争 畋一= 专喜啦伽眄+ ( ，一1 ) q 卜h ( _ 一f 钙) z 毒甜一争 ( 2 1 ) 在上式中，u ( x i ) 袭示的是位移函数，差分公式是其阶近似导数。其中， 锄，l = l 2 ，l 为要选择的最佳系数，l 是差分算子的半长度。对传统差分来说， 2 l 是差分的近似阶数，通常是用泰勒级数展丌近似求得；最佳差分则是通过使 群速度相对误差最小求得。术文所采用的判定方法1 引附b e 曙的略有不同。着空 间差分算予的频率响应用d 幻( k j ) 表示，相速度p 与群速度u 。分别为： 见( 一) = 嘭a + 巳( 屯) ) 3 ( 2 2 ) 成都理下人学确b 学位论文 ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 其中b 表示x j 方向的空间频率或波数。e ，吗) 是频率响应得相对误差，l 【c 是 算子的空间带宽 e j 表示相速度的相对误差，其表达式为： 。一豫，) 弓2 1 f 则群速度的相对误差的可以写成： ( 2 - 5 ) = 等笋= 掣， = 脚& ) ( 2 7 ) 使e 曩达到极小，可求出最佳差分系数a 。我们可以用曲线图表示最佳差分 半算子长度l 与每最短波长采样点之间的关系，如图( 2 i ) 。其中，曲线分别对 应的群速度相对误差分别为e = 0 1 和 e _ = o 0 1 。 用此方法求出的差分系数则可以使得群速度的相对误差达到最小。这个最小 有两层意义：一是保证数值模拟的频散最小，这一点将在第二节进行分析。二是 保证相速度的相对误差为最小，对于这点h ，l b e 娼曾进行过数学分析，认为相速 度相对误差通常小于群速度相对误差。 4 。 鼠 半鸣 髓卜 p ，_， 脚 塑呜 l 乞 腑 叩 “ = 。 胪 筇2 幸f c l 最佳笔分法 疑 兰 嵌 星 立 终 牛 詹 5l o1 5 算子半长度 田纠差分算子半长度与量短波长样点数之间的关系 从图中我们可以看到，半算长度取4 6 ，每个波长只要3 个采样点就可以保 证群速度相对误差在1 以内。 2 2 最佳差分法频散分析 在用有限差分方程进行正演模拟或偏移成像时，当差分的空间网格倒距和时 问采样不合适或震源模拟不够精确都会引起波形畸变或重影。尤其是在用低角度 的有限差分方程进行陡倾角成像或速度横向变化剧烈是也会造成波场的严重畸 变。波在传播过程中，波前形状发生变化，并且逐渐散开。这是因为波传播相速 度和群速度不一起所引起的，这种现象称为数值频敌现象。地震波在传播过程中 存在物理耗散与物理频散现象物理耗散是由于物理介质的原因，波传播的相速度 随着波数发生变化的现象。用差分方程逼近微分方程时引入了误差项，有时这些 误差项使计算结果振幅值衰减和栩速度发生变化，其作用相当予物理耗散和频 散，这种虚假的物理效应称为数值耗散和数值频散。数值频散实质上是一种因离 散化求解波动方程而产乍的伪波动。这种频散不同于波动方程本身引起的物理频 散，而足差分方程所固有的奉质特征，是不町避免的，因为对时间的离散化就意 味着有散射的近似。 有限差分法巾的数值频散包括空闻频敏和时闻频敌两部分。而空闻频散是主 ) 5 2 o 7 5 4 3 2 2 2 成都理工大学硕士学位论文 要方面。对空间网格离散化，在运算中，使得介质的弹性参数缩小，进而影响波 传播的相速度变小，数值频散作为正常波形的尾巴出现。对时问进行离散化，使 得介质的弹性参数放大，从而波传播的相速度变大，数值频散出现在正常波形之 前，而且频率越高其超前越多。对于相同频率的子波，空间网格间距越大，数值 频散越严重。固定空间网格间距，子波频率越高，数值频散越严重。只要空间网 格间距和时间网格间距均满足采样定理，不产生时间和空间假频，随着差分方程 阶数提高，对物性参数改变就越小，进而数值频散越少。所以，可以通过提高差 分方程阶数的方法来提高波场模拟精度，压制数值频散。同时，作为经验的规律， 为了令人满意地限制网格频散，在震源函数频谱极值上1 2 频率处，每个波长 所包含的网格点数应不小于1 0 。但是随着方程阶数的增加，必然会增大计算量 与存储量。 最佳差分法引入了使群速度相对误差最小的差分算子，比传统的有限差分法 更加有效的压制了数值频散( 见图2 2 ) 。 3 。o 2 o 1 o d 1 6 _ 8 o2 0 4 0 6 0 8 0 l 图a o o 田。o l 旬0 2 e l o o o l ，0 2 o2 0 4 0 6 0 8 0 i o o 图b o2 0 肆0 6 0 8 0 l o o 图c 标准频率( 空间n y q u is t 频率) 图2 - 2 传统差分法一阶导的2 ，4 ，6 级以及它们的相对误差和群速度相对误差 6 第2 章f c t 最佳差分法 由图c 可知群速度相对误差所对应的空间n y q u i s t 频率百分比最小。在数值 仿真技术中，要估算出导致频散的最大算子长度，也及时如何为所给定的算子长 度找到最大的带宽。如果要找到最大带宽k c ，就意味着满足e ，e ，这个条件。 估算k 过程如下：首先给定算子长度，然后按一定步长增加k 。值，不断的求解 方程( 2 - 8 ) j = 擘。 i 8 s i a k i + s i 丫d k i ( 2 8 ) 直到找到满足特定精度需要的最大k 。值。从而确定最大空间带宽以及对应的算子 长度，可在产生频散处加密网格，压制数值频散。 由于其差分近似的本身缺陷，以及最佳差分所求得的半算子长度与采样点数 之问的关系，在高阶差分的情况下频散还是比较严重。 2 3f c t 差分法 将f c t 技术与差分法结合，获得了求解二阶各向异性波动方程组的通量校正 传输差分方法。f c t 校正假设所有的极值点都是由数值频散引起的，然后对所有 网格点进行扩散通量校正处理，再对非局部极值点进行补偿的逆扩散通量校正。 f c t 方法用于高阶差分既具有较高的计算精度，又因适应采样间隔较大的情况而 节省了计算量，从而具有较高的计算速度。其实现过程主要由三步组成，即最佳 差分方程迭代、平滑差分方程的解和反漫射校正。其中差分方程迭代过程可实现 地震波的向外传输；平滑过程用于消除网格频散( 数值频散) ，提高分辨率；反漫 射过程可实现修正被平滑了的方程的解，从而使任何不需要漫射之处的真实波场 得以恢复，其具体的过程如下： ( 1 ) 定初始值u ，。o 。 ( 2 ) 利用差分公式计算u 。“。 ( 3 ) 漫射计算： 第一步计算第n 时间层的漫射通量为 鬈：，。锄( 吆”一吧t 一嘱t + 吲) o 叩1 ( 2 - 9 ) 包2 仇( 一哆岫一吲十嘱t ) o 町1 ( 2 。1 0 ) 7 成都理工大学硕士学位论文 。+ ；2 仍( “一嵋t 一嗡- + 吲) o 即s 1 ( 2 。1 1 ) 。一；2 碣( 曜t 一雌“一吲+ ) o 叩1 ( 2 。1 2 ) 其中n 为一个参数，可以为一个常数，也可以为一个算子。当作为一常数 时可根据经验而定，在数值试验中，我们发现取o 0 0 8 r l o 0 5 时能得到较好 的结果。 第二步为了压制伪波动，利用漫反射通量p ，q 来平滑最佳差分方程( 2 1 ) 的解。 嘞= 吲+ ( 厂户+ ( ；一嚷；) 3 ) ( 1 ) 反漫射的计算过程： 第一步算第n + l 时间层的漫射通量，即 ，。2 砚( 一吲一吆蛐+ ) o 镌1 4 ) 2 仇( 嗡一吲一+ ) o 吼1 ( 2 。1 5 ) 其中参数r l ：的选取与r 1 类似。 第二步利用被修改后的解舀”1 和差分方程的解矿来计算反漫射通量，即 。= 蝌t 一一( 唰一) ( 2 - 1 6 ) ，+ ；2 嘞t 一吒“一( 唰一) ( 2 - 1 7 ) 第三步利用反漫射通量再修正平滑解移”1 ，即可获得消除网格频散后的正 第2 章f c t 最佳差分法 确解： 其中： 吲= 唰一( t + 扩心n 一。一；) ( 2 1 8 ) t + ；，。2 ( + m a ) 【 o ，m m + 匕i ， ，。，i 篡0 ；，。i ，+ 匕；。】) ) z 一- ( 2 - 1 9 ) 一一；。( + m a x o ，疵n + 叶；，。，i 芦囊，。l ，+ o 卜；，。】) ) ：一， ( 2 - 2 0 ) ，一i 驯+ = ，p“l j = ，m 一= ， t ，咕2 ( + m a x o ，m i n + 匕m 。一一锰。 i ，+ 匕弓】) ) ：一， ( 2 - 2 1 ) 弓卜；2 ( m a x o ，“证【+ 匕。；，l 髫。一； ，。一；】 ) n ， 0 为衰减系数， 为子波主频，o 为初相位。 文中震源子波的波形曲线如图( 3 2 ) 所示，主频为3 0 ，子波长度为1 0 0 个采 样点，采样间隔时间是1 m s 。 鞭 瞄 、 |八7 、 7 聚棒点 围3 - 2 震源子波波形 在正演模拟的震源设置中，分别对6 。，或6 ：二分量做不同设置，可构成不同 的定向力震源和纵波源。 i 盯；，= g ( x ，2 ) 厂( f ) 【盯：= g ( x ，z ) 厂( f ) 1 9 成都理工大学硕+ 学位论文 在水平和垂直方向都加上定向力震源即为p 波震源，如果其中6 ，。= o 或6 ：= o 分别为水平定向力震源或垂直定向力震源。 3 4 边界吸收处理 在进行数值模拟的过程中，我们总是对一个有限的空间区域进行计算，这样 就自然地引入了人为边界，从而会产生无实际意义的人为边界反射，严重地干扰 了我们对正常的波场的认识。为了减弱甚至消除人工边界的影响，人们提出了各 种方法。主要的方法有扩展边界法，即将模拟区域选的足够大，减少边界反射对 所需结果的影响。衰减边界法，即在人工边界附近设置衰减区，以削弱边界反射。 吸收边界法，即先导出边界条件方程，再与模拟区域内的波动方程结合求解，达 到消除边界反射的目的。 边界条件包括自由表面边界条件，吸收边界条件，界面边界条件。在实际模 型中则集中于模型的左右边界、底边界以及模型的四个角点。由于模型的尺寸有 限，这些边界将产生反射，这种无意义的反射严重干扰了合成记录的有效波场， 通常采用吸收方法可以将它们去掉，本文所采用的是声波边界条件组合技术 ( h i g d o n ) 将边界反射吸收，同时解决了四个角点问题。 3 4 1h ig d o n 边界吸收条件 h i g d o n 边界吸收条件【2 】研究的是弹性波在二维或者三维空间传播时的边界 吸收处理。h i g d o n 边界吸收条件是用一些算子组合将边界反射吸收，同时解决了 四个角点的问题，并且同一个公式