（光学工程专业论文）基于小波变换的边缘提取对复杂背景目标的探测识别.pdf

摘要 小波变换在光学信息领域具有广泛的应用。而把它应用到联合相关变换器是 一项非常有效的新技术。它可以实现目标的探测、识别以及定位。联合相关器不 仅识别速度快，而且定位精度高。但实际上，由图像处理器采集的目标图像信息 含有很多背景噪声，所以联合相关器很难识别目标，所以我们在这里就得借助数 字图像处理技术，实现目标的相关探测与识别。 在数字图像处理中，边缘代表着图像的最基本特征，边缘检测是图像分析与 处理的一种重要手段，而对边缘提取的好坏将直接影响整个图像处理和分析的效 果。长期以来，人们提出了各种边缘检测算法，传统边缘检测方法有r o b e r t 、 s o b e l 、p r e w i t t 和k i r s h 等算子，它们在进行边缘检测时计算量小，但由于边缘 检测问题固有的复杂性，使这些方法在抗噪性能和边缘定位方面往往得不到满意 的效果，这主要是因为边缘和噪声都是高频信号，很难在噪声和边缘中作取舍。 本文主要讨论了运用高斯小波函数识别复杂背景下目标的应用技术。小波变 换具有多分辨率特性，可以极大地增强图像的信息。在参考大量文献的基础上， 得出在图像边缘提取中高斯函数是一种常见的且较有效的小波函数。计算机模拟 结果显示本文提出的方法可以有效地增强相关点的强度，尤其在复杂的背景下可 以准确地对物体进行定位。同时光学实验结果也显示我们提出的图像特征提取方 法是有效的，并且要优于其它传统图像处理的方法。 关键字：联合相关器；小波变换：多分辨率分析；特征提取；习标探测；目标定 位；目标识别；功率谱；相关峰；原始图像；特征提取图像 a b s t r a c t t h ew a v e l e tt r a n s f o r m h a sal o to fu s e si nt h ef i e l do fo p t i c a li n f o r m a t i o np r o c e s s i n g i t sa n e f f e c t i v et e c h n o l o g ya p p l i e dt o j o i n tt r a o s f o me o r r e l a t o rs y s t e m i tr e a l i z e st h ed e t e c t i o n i d e n t i f i c a t i o n a n dp o s i t i o n i n go f t a r g e t ，j o i n tt r a n s f o r mc o r r e l a t o rh a sn o to n l yh i g hs p e e df o ri d e n t i f i c a t i o nb u ta l s o h i g ha c c u r a c yf o rp o s i t i o n i n g a c t u a l l y , i ti s d i f f i c u l tf o rj o i n tt r a n s f o r mc o r r e l a t o rt oi d e n t i 母t a r g e t b e c a u s et h et a r g e ti m a g ei n f o r m a t i o nw h i c hi sc o l l e c t e db yt h ei m a g i n gs e n s o rh a sal o to fb a c k g r o u n d n o i s e s s ow es h o u l dd e p e n do nt h et e c h n o l o g yo fd i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g ，r e a l i z et h ec o r r e l a t i o n d e t e c t i o na n di d e n t i f i c a t i o no f t h et a r g e t i nt h ep r o c e s s i n go fd i g i t a li m a g e ，t h ee d g er e p r e s e n t st h ee l e m e n t a r yc h a r a c t e ro fi m a g e i m a g e e x t r a c t i o ni so b em a i nr e s o r to l li m a g em a n a g e m e n ta n da n a l y s i s ，a n di m a g ee x t r a c t e dg o o do rn o tt h a t w i l la f f e c tt h ep u r p o s eo fi t f o r m e r l y , t h e r ew e r ean u m b e ro fc o n v e n t i o n a lm e t h o d s ，f o ri n s t a n c e ， r u b e n 、s o b e l 、p r e w i t ta n dk i r s h t h e ya r ea l lp r o n et oo p e r a t i o n ，b e c a u s eo f t h ec o m p l e x i t yo f i m a g e e d g ee x t r a c t i o n ，t h e yc o u l dn o tg e tt h eb a l a n c eb e t w e e nn o i s e - p r o o ff e a t u r ea n de d g ep o s i t i o n i n g b e c a u s eb o t ht h ee d g ea n dn o i s ea r eh i 曲f r e q u e n c ys i g n a l ，i tc o n d u c e dt h a tw em a k ec h o i c ed i f f i c u l t b e t w e e nn o i s ea n de d g e 1 i h i sp a p e rh a sd i s c u s s e dt h ea p p l i c a t i o no f g a u s sw a v e l e tf u n c t i o no i li d e n t i f y i n gt a r g e ti nc l u t t e r b a c k g r o u n d w a v e l e tt r a n s f o r mi sb a s e do ni t sm u l t i - r e s o l u t i o nc h a r a c t e rw h i c hc a nl a r g e l ye n h a n c et h e i n f o r m a t i o no f a ni m a g e o nt h eb a s i co f am a s so f r e f e r e n c e di i t e r a t u r e w ek n o wt h a tg a u s sw a v e l e t f u n c t i o ni sf a m i l i a ra n de f f e c t i v eo ni m a g ee x t r a c t i o n c o m p u t e rs i m u l m i o nr e s u l t ss h o w e dt h a tt h e p r o p o s e dm e t h o di n c r e a s e st h ei n t e n s i t yo ft h ec o r r e l a t i o np o i n tw h i c hc a nd e t e r m i n et h eo b j e c t p o s i t i o na c c u r a t e l y , e s p e c i a l l yu n d e rn o i s ye n v i r o n m e n t s 0 p t i c a le x p e r i m e n t a lr e s u l t sa l s os h o w e dt h a t t h ei m a g ef e a t u r e - e x t r a c t i o np e r f o r m a n c eo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h mi se f f e c t i v ea n dc o m p e t i t i v et o o t h e ri m a g ep r o c e s s i n ga l g o r i t h mr e p o r t e di nt h el i t e r a t u r e k e yw o r d s ：j o i n tt r a n s f o r mc o r r ej a t o r ；w a v e l e tt r a n s f o r m ；m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；f e a t u r ee x t r a c t i o n t a r g e td e t e c t i o n ；t a r g e tp o s i t i o n ；t a r g e ti d e n t i f i c a t i o n ；p o w e rs p e c t r u m ；c o r r e l a t i o np e a k ；o r i g i n a l i m a g e ；f e a t u r ee x t r a c t e di m a g e 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所里交的硕士学位论文，基于小波变换的边缘提取对复杂 背景目标的探测识别是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得 的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经 发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签夤：盔翌：2 1 作三月旦日 作者签名：叠翌：2 1 作三月旦日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：耋茎 垄! 生年土月址日 指导导师签名：互厶缕鲨! 年三月盟只 第一章绪论 1 1 引言 光电模式识别通过光实现互连和运算，其并行运输特性及高空间带宽积，使得人 们对其很感兴趣。光电模式识别的基础与光学相关，是基于傅里叶变换系统和滤波函 数概念的一种方法，已被应用于导弹、火箭的导航系统上。在实现结构方面则侧重可 编程的联合变换相关器的研究。因为这种结构适合于实时处理。联合变换相关器己广 泛应用于诸多领域，如图像的识别、图形的检测分析等。此外，各种新方法也被不断 地应用到光电相关模式识别的研究中。比如小波变换方法、数学形态学方法等。所以 光学信息处理技术和小波变换技术也正是这一要求发展下的产物，使其应用范围变得 更加广阔。 1 2 光学相关探测概述 光学信息处理是现代信息科学的重要组成部分，是现代光学的前沿。它在快速、 大容量、二维并行、多通道运算以及设备投资低等方面具有突出的优势。以前，光学 信息处理在综合孔径雷达数据处理，位相物体的观测，医疗层析诊断，波前再现以及 光谱分光等方面做出了重要的贡献；现今，随着我们的深入研究，它将在人工智能、 环境科学、资源考察、国土规划、军事侦查和制导、空间科学、天文观测、工程自动 控制、试验数据处理、精密计量、档案资料的存储和阅读以及新型光学仪器的产生和 智能化等方面得到广泛的应用并起着技术革新的作用。 光学信息处理是在经典的衍射成像理论的基础上，用无线电电子学的通讯理论和方 法来研究光场在光学系统中个空间之间的变换关系。它深刻阐明了物和像是两次衍射 构成的，在物与像之间普遍存在着一个频谱分布；并且提出了利用对频谱的调制和滤 波来对光场施以加、减、乘、除、相关、卷积、消卷积、编码、存储假彩色化以及三 维显示等运算的理论和相应技术。它把光学成像和无线电通讯直接联系在起，突出 了光学系统的数学运算功能。而光学相关探测是光学信息处理的重要分支之一。 光学探测是光学模式识别中近年来最为活跃的一个研究领域，它可以大致分为匹 配滤波相关和联合变换相关。匹配滤波与联合交换相关技术的出现，促进了光学相关 技术的研究与迅速发展。早期的光学相关处理是纯光学处理，方法是用胶片制造匹配 滤波器或记录联合变换功率谱，需要对胶片进行冲洗，因此不能实现快速实时操作， 致使光学相关处理无法在要求快速实时操作的场合中应用，严重地限制了光学相关处 理的应用范围。后来，各种电寻址空间光调制器和光寻址空间光调制器相继研制成功， 主要包括液晶光阀、液晶电视、光折变晶体等空间光调制器，空间光调制器的研制成 功和同一时期集成电路、c c d 探测器件的发展，推动了光学相关技术向着光电混合、快 速实时的方向发展。光电混合相关处理充分体现了光学的宽频带、大容量、高速并行 运算的优点和电子计算机的通用性、灵活性和可编程控制性的优点，目前已成为光计 算的一个重要组成部分“1 。进入八十年代后，基于各种空间光调制器以目标识别跟踪为 主要目的的系统结构，滤波器设计和光电混合相关算法得到了广泛的研究。总的来说， 光电混合相关处理系统可以分为两类，即光电混合匹配滤波相关器( 简称光电匹配滤 波相关器) ”1 和光电实时联合变换相关器”。 匹配滤波相关的主要特征是在第一级傅里叶变换频谱面上放置一个匹配滤波器， 输入目标图像的傅里叶频谱经滤波器滤波后，再进行第二次傅里叶变换，得到相关输 出。它在解决某些特殊相关问题时，表现出非常好的性能，包括分辨率、光能利用效 率、信号质量等，但不易实现快速实时相关，原因在于计算制作匹配滤波器所需要的 数据的计算量非常大，现有的处理速度不能满足实时应用或准实时应用的要求，这一 问题目前还得不到很好的解决。 而在光电联合变换相关中，参考图像与目标图像同时输入光学系统进行变换，用 参考图像与目标图像进行匹配，不需要专门制作匹配滤波器。光学实时联合变换相关 器是利用电寻址空间光调制器( e a l c d ) 代替透明胶片或干板，构成紧凑的实时联合变 换相关识别系统。这一光电混合相关探测系统具有实时、灵活、结构紧凑、识别精度 高等优点。因此，光电联合变换相关技术与光电匹配滤波相关技术相比，具有明显的 优点： ( 1 ) 在光电联合变换相关中不需要匹配滤波器，因而不存在制作匹配滤波器和精 确复位的复杂问题； ( 2 ) 在傅里叶变换平面上不需要高分辨率的空间光调制器： ( 3 ) 参考图像可以实时输入，而且当参考图像数据中无目标图像时，能够自动地 把目标图像作为参考图像存入参考图像数据库中； ( 4 ) 光电实时联合变换相关器可以实现结构上的紧凑设计。在图像的联合变换相 关处理中，傅里叶变换是主要的数学工具。因此，为了能实时完成图像的联合变换相 关运算，我们必须选择适当的傅里叶变换方法。 近年来发展的小波变换技术正是这一高要求下的产物。小波变换技术是目前国际 上公认的最新的时一频分析工具，由于其具有自适应性、数学显微镜特性以及多分辨率 特性等诸多良好特性，使得其在许多工程领域中得到了广泛的应用，并取得良好的实 际效果。 1 3 小波变换技术的发展及其应用 小波变换起源于信号分析领域，是从f o u r i e r 变换发展和演变而来的。f o u r i e r 变换一直是信号处理领域中应用最广泛的一种分析手段。但f o u r i e r 变换只是一种纯 频域的分析方法，它在频域的定位是完全准确的( 即频域分辨率最高) ，而在时域无任 2 何定位( 或分辨能力) ，也就是说f o u r i e r 变换反映的是整个信号全部时间的整体频域 特征，而不能提供任何局部时间段上的频域信息。相反，当一个函数占展开时，它在时 间域的定位是完全准确的，而在频域却无任何定位，也就是说6 函数分析反映的只是信 号在全频域上的整体时频特征，而不能提供任何频段所对应的时间信息。实际中，对 于一些常见的非平稳信号，它们的频域特性随时间而变化。对于这一类时变信号进行 分析，通常需要提取某一时间段( 或瞬间) 的频域信息或某一频域段所对应的时间信 息。 为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1 9 4 6 年g a b o r 提出著名的g a b o r 变换， 之后又进一步发展出短时傅立叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ，简记s t f t ，又 称为加窗傅立叶变换) 。目前，s t f t 已在许多领域获得了很广泛的应用，但由于s t f t 定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频域无关，其保持固定不变，这说明它 不能用于分析时变信号。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，因 此，对于高频信号我们采用小时间窗，对于低频则采用大的时间窗进行分析。小波变 换不仅继承和发展了s t f t 的局部化的思想，而且克服了窗口大小不随频域变化，缺乏 离散正交基等缺点。 小波变换是一种信号的时间尺度( 时间频域) 分析方法，它具有多分辨 率分析的特点，且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。它不仅具有傅立叶变 换的全部优点，而且具有处理短暂和时变信号的独特能力。 小波变换作为一种数学理论和方法在科学界引起了越来越多的关注。基于小波变 换的小波分析技术是泛函分析、调和分析、数值分析等半个世纪以来发展最完美的结 晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程应用领域，特别是在信号处理、图像处理、 模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探、流体力学、c t 成像、机器视觉等领域， 它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。 本文所讨论的是基于小波变换的图像处理技术。图像处理的目的，就是对数字化后 的图像信息进行某些运算或处理，以提高图像的质量或达到人们所要求的预期结果。 例如：对被噪声污染的图像去除噪声，恢复图像本来面目；对信息微弱的图像进行增 强处理；将图像中有意义的特征，或者需要应用特征提取出来实现图像分割；用一组 数量或符号( 描述算子) 来表征图像中被描述物体的某些特征，或者图像中几个组成 部分的性质描述，用于图像数据库检索；以及利用物体截面投影来重建截面图像。因 此，图像处理任务是对未加工的图像进行一定处理而成为所需的图像。小波被看作是 一种用于多层次分解函数的数学工具。图像信号( 数据) 经过小波变换后用小波系数 来描述，小波系数体现原图像信息( 数据) 性质，图像信息( 数据) 的局部特征可以 通过处理小波系数而改变。小波在图像处理上的应用思路主要采用将空间或者时问域 上的图像信号( 数据) 变换到小波域上，成为多层次的小波系数，根据小波基的特性， 分析小波系数特点，针对不同需求，结合常规的图像处理方法( 算法) 或提出更符合 小波分析的新方法( 算法) 来处理小波系数，再对处理后的小波系数进行反变换( 逆 变换) ，将得到所需的目标图像。王冕同学针对图像对比度较低的问题，经过基于小波 系数的图像增强处理改善了图像的清晰度。针对图像目标与模板大小以及角度发生变 化的，运用基于软阈值的小波增强方法，在一定的范围内得到了增强。”7 1 孙晓明同学 运用的是图像自适应阈值边缘的方法。”1 而本文采用不同的方法，把小波变换以及生 态学算子结合起来对物体进行边缘提取预处理。在处理常规目标的基础上，针对动目 标也进行了一些初步的实验研究工作。 1 4 课题研究的内容、意义及国内外发展现状 本课题属于光学模式识别，应用联合变换相关器( j o i n tt r a n s f o r mc o r r e l a t o r ， 简称j t c ) 进行光学图像识别，它原理简单，操作方便，而且可以实现图像的实时检测。 通常j t c 的相关峰不强且宽度较大，中央直流项强度和宽度很大，而且在光学实验中常 有杂散光和图像本身的噪声存在，所以识别力不高，相关峰不易判别，容易造成误判。小 波变换是目前一种十分重要而且非常有效的信号分析工具，应用于图像分析和处理，可 提取图像的特征，降低噪声对信号的影响。光电混合实验系统将光学实验与计算机处理 相结合，可同时发挥光学j t c 对信号的并行、大容量、高速度处理特点以及计算机的灵 活性、可编程性和准确性的特点。小波变换方法与实时联合变换相关器结合，可使相 关识别结果得到不同程度的改善。 小波变换是一新兴的数学工具，它突破了传统的傅立叶变换的限制，并克服了傅 立叶的缺点，特别适用于处理局部或暂态信号，充分体现了对信号不同区域、不同分 辨率的分析特点，在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，正因为如此，小波 变换誉为分析信号的数学“显微镜”。我们将小波变换引入联合相关器，可以克服传统 联合相关器的固有缺陷，提高相关探测的识别度。随着电寻址空间光调制器等实时光电 器件的不断发展，结合小波进行联合相关器的模式识别，将具有十分广阔的前景。 到目前为止，光电混合实时联合变换相关器的研究还停留在实验阶段，主要局限 于通过计算机实现数字图像相关。光电混合实时联合变换相关器是用光学运算和光学 处理技术取代部分计算机运算和处理。光学相关模式匹配方法能利用图像中的所有信 息，所以区分不同对象的能力强，精度高，特别是它能在十分复杂的图像环境下有效 的工作，而这时很难甚至不可能使用基于特征的匹配方法。在图像处理方面，光学相 关器具有很大的优越性，如以光速处理的并行性，速度快，容量大等，可以直接对图 像采集、处理、存储和显示等，无须一些中间光电、电光转换处理过程。因此大大提 高了目标识别的准确度和速率。 而在外国，美国军方一直感兴趣，并致力于该方面的研究工作。从6 0 年代中期， 美国m i c h i g a n 雷达实验室就开始这方面的研究工作。1 9 8 3 年，m i c h i g a n 环境研究所 为美军导弹司令部研制了第一台多通道滤波光学相关器。 美军导弹司令部的光学相关制导精密远程攻击导弹系统o p d a m s 的测试导弹就是光 学相关图像匹配制导。研制实用小型光学相关器已进行了很长时间，最成功的是1 9 9 0 4 年美国飞机推力实验室和p e r k i n - e l m e r 公司协作，研制成固态光学相关器，高4 5 m m ， 长8 8 m m ，用于远程导弹制导。1 9 9 9 年，美国飞机推力实验室在美国弹道导弹防御部、 海军水面战斗中心、国家航空局和国家航天航空空间科学部等多方的支持下，又研究 成功目标自动识别的灰阶光学相关器，性能更强、体积更小( 8 4 4 英寸) ，据2 0 0 2 年国际光学工程学会会议报道，该项技术仍在进一步研究中。 世界各军事强国正在利用红外光电耦合器件( c c d ) 及电寻址液晶( e a l c d ) 研制各 种红外制导，白光图像识别等高科技技术。对于各种红外系统，怎样提高探测距离及 目标识别定位精度，仍然是研究重点。 1 5 本论文要解决的问题以及任务 本论文主要解决了复杂背景下的目标探测以及识别问题。就此问题，我们主要有 以下五个任务： ( 1 ) 利用小波变换原理研究对物面预处理的方法。 ( 2 ) 基于小波变换边缘提取的数学模型的建立。 ( 3 ) 利用m a t l a b 软件编制程序， ( 4 ) 进行计算机模拟实验。 ( 5 ) 进行实时联合相关器的实验装置的调试并进行了光学实验研究，对结果进行了分 析与总结。 第二章实时联合变换相关器的原理及装置 2 1 光学相关探测原理 光学相关探测技术是在傅立叶变换理论基础上发展起来的。 2 1 1 傅里叶变换 在光学信息处理领域里，一个最重要的理论就是傅立叶变换效应。它可以表示如 下： g ( 厂) = f 。g ( x ) e 一1 2 咖d x ( 2 1 ) g ( 工) = f 。g ( f ) p ，2 咖d f ( 2 2 ) 此两式表示的就是傅立叶积分，其中o ( ) 称为g ( x ) 的傅立叶变换或频谱。如果 g ( x ) 表示某空间域的物理量，那么g ( f ) 就是该物理量在频率域下的表示形式，并且 g ( x ) 和g ( f ) 构成一对傅立叶变换。 而二维傅立叶变换是一维傅立叶变换的推广，它可以表示为： g ( 正，乃) 2 胎( x ，y ) e x p 一j 2 z ( f ，x + f y y ) d x d y ( 2 3 ) g ( z ，y ) = i i g ( 六， ) e x p j 2 z r ( f , , 工+ l y ) l d f , d f , ( 2 4 ) 2 1 2 相关器的分类及原理 在光学相关识别领域中，两个重要的光学相关器分别为匹配滤波相关器( 范德卢 格特v a n d e rl u g t 相关器v l c ) 和联合变换相关器( j t c ) 。 当我们用匹配滤波相关器进行图像识别时，需要预先用全息图来产生一个参考图 像厅( x ，y ) 的一个复数函数滤波器h ( x ，y ) 。将其放在图2 1 所示的4 ，系统的傅里叶变 换平面上，再将函数( x ，y ) 置于输入平面，在傅里叶平面上将产生s ( x ，y ) 的谱f g ，y ) ， 经过h ( x ，j ，) 滤波作用，离开傅里叶平面后变为f h ，再经过傅里叶变换透镜，在输出 面上就可以得到了s ( x ，y ) 和h ( x ，y ) 的相关与卷积。 ，l ：镜1 j了0 z ，1” 透竞2 4凼t v 乡 j ，p p j 以 以 ， 一一 l 一n 。 一一 ， 一 - 图2 i4 f 系统 f i g 2 14fs y s t e m 而联合变换相关是利用透镜的两次傅里叶变换来实现的，把待识别的目标图像和 参考图像一起并列放置在透镜的前焦面上，然后用相干光照射，在透镜的后焦面上得 到联合变换频谱，如果用功率记录仪器记录，得到的将是联合变换功率谱( 简称j p s ) 。 把这个联合变换功率谱放在透镜的前焦面上，用相干光照射，在透镜的后焦面上就能 得到待识别图像和参考图像的零级自相关和一级互相关峰。我们可以通过对相关峰的 分析来判断待识别图像和参考图像之间的关系以及相关程度。 2 2 联合变换相关器原理 联合变换相关的主要特点是参考图像与e l 标图像同时输入光学运算系统，在第一 个傅立叶变换平面上记录联合变换功率谱，联合变换功率谱经过第二次傅立叶变换后， 获得一对相关输出。 将准直的相干单位振幅光入射到物体w ( x ，y ) 上，同时物体被写入光空间调制器， 6 设输入图像为： w ( x ，y ) = t ( x ，y ) + h ( x ，y ) ( 2 5 ) ，( t ( x ，y ) h ( x ，y ) ) 其中r ( z ，j ，) 是目标图像，h ( x ，j ，) 是复杂背景图像，另设参考模板为r ( x ，y ) ，这样，我们 就可以通过目标r ( x ，y ) 与参考模板r ( x ，y ) 的光学相关得到的相关峰函数r t 或者 f 圆r ，由此确定目标t ( x ，y ) 在输入图像w ( x ，y ) 中的确切位置。对目标与参考模板的联 合图像进行傅里叶变换，如图2 2 所示。 l yij j 多x( ) 厂岳 一 f 图2 2 联合变换功率谱的记录 f i g ，2 2r e c o r do f j o i n tt r a n s f o r mp o w e rs p e c t r u m v 图中的工为傅里叶变换透镜，待识别图像( 已经二值化) t ( x ，y ) 置于输入平面的一 侧，其中心位置0 ，0 ) ，参考图像，g ，y ) ( 二值化的) 置于输入平面的另一侧，中心位 于( 6 ，0 ) 。用准直的激光光束照明，并通过透镜进行傅里叶变换。在透镜的后焦面上的 振幅分布为： 盹v ) = + i + j 叫_ y ) + r g - 6 ，y ) 】叫一等( 删+ ) l 蚴( 2 6 ) 式中五是照明激光的波长，厂是傅立叶变换透镜的焦距。 若将一个平方律探测器c c d 放在傅立叶变换透镜( f t l ) 的后焦平面上，则其记录的 联合变换功率谱( j t p s ) 为： i ( u ，v ) = l f ( u ，v ) 1 2 = i e x p ( - i 2 n u a ) t ( u ，v ) + e x p ( 一i 2 n u b ) r ( u ，v ) r = t ( u ，v ) t + ( “，v ) + e x p ( - i 2 n u ( a - b ) ) t ( u ，v ) r ( “，d + e x p ( - i 2 z c u ( 一a + 6 ) r ( “，v ) a ( u ，v ) + r ( u ，v ) r ( “，v ) ( 2 7 ) 在透镜上的前焦面上放置联合变换功率谱，然后用准直的激光光束照明，这样就 在透镜的后焦面上就可以得到两个图像的零级自相关和一级互相关峰。对联合变换功 率谱( j t p s ) 进行逆傅里叶变换，如图2 3 所示。 7 f ( u ，v ) i 2 反毒a jlu l 厂身vn厂身 杉 ( 厂善彭毛f 图2 3 联合功率谱的傅里叶变换 f i g 2 3f o u r i e rt r a n s f o r mo f j o i n tp o w e rs p e c t r u m 对联合变换功率谱进行逆傅里叶变换后得到如下的结果： 皑班业v ) e x p l ，芳 + ) j 姗 旺s ， 将式( 2 7 ) 代入式( 2 8 ) 得到： o g ，f ) = ，皓，f ) o ，g ，f ) + ，g ，f ) 9 ，g ，f ) + f g ，f ) ，皓，f ) 占皓一b + a ) + f g ， 0 是尺度因子；r 反映位移，其值可正可负；符号( x ，y 代表内积，其含义是( 上 角标代表取共轭) ( x ( f ) ，y ( f ) ) = x ( f ) 少+ ( t ) d t ( 3 1 8 ) 妒。，( f ) = 矿( 尘兰) 是基本小波的位移与尺度伸缩。式中不但，是连续变量，而且口和 、口 a f 也是连续变量，因此称为连续的小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ，简记 c w t ) 。 对于( 3 1 7 ) 式，有以下几点说明： ( 1 ) 基本小波妒( f ) 可能是复数信号，特别是解析信号。 ( 2 ) 尺度因子口的作用是将基本小波妒( f ) 作伸缩，口愈大9 ( t a ) 愈宽，对于一个 持续时间有限的小波，妒( f ) 与仍，( r ) 之间的关系如图3 1 所示，可见在不同尺度下小波 的持续时间( 即分析时段) 随口的加大而加宽，幅度则与疗成反比减小，但波的形状 保持不变，图3 2 表示不同口值下小波分析区间的变化。 ( 3 ) 伊。，( f ) 前加因子丰的目的是使不同口值下伊。，( f ) 的能量保持相等。即设 s = f l c p ( t ) 1 2 出是基本小波的能量，则妒。，( f ) 的能量是 如惦刊2 衍= 三c t 帕降占 ( 4 ) 式( 3 1 7 ) 的内积往往被不严格地解释成卷积。 ( 5 ) 有些学者主张对小波函数采用如下定义； 吼，( f ) ：三9 ( 竺) 一 致。即，设妒( f ) 的傅里叶变换是 ) ，则! 妒( r ) 的傅里叶变换是丝功) ：y 。) aa 可见与y ) 相比，只有频轴比例尺变化，没有幅度变化。 3 3 1 小波变换的等效频域表示 小波变换式的等效频域表示如下： 一 w t ，( 叩) = 尝f x ( c o 妙( 口c o ) e g 。, t d c o ( 3 2 0 ) 二刀 从式中可见，1 、若泐) 是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表 征待分析信号频域上局部性质的能力。 2 、采用不同口值作处理时，各g j ( a c o ) 的中心频率和带宽都不一样， 但品质因数( 中心频率带宽) 却不变。图3 3 表示在不同口值下小 波变换在尺度上频率分析的范围。 r 。1 。1 。_ h 。眩羟 l ： ：巨殛一 总之，从频域上看，用不同尺度作小波变换大致相当于用一组带通滤波器对信号 进行处理，带通的目的既可能是分解，也可能是检测( 此时它相当于一组匹配滤波器) 。 3 3 2 小波变换的特点 由上图可见，小波变换有以下特点： ( 1 ) 具有多分辨率也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号。 ( 2 ) 也可以看成用基本频率特性为洄) 的带通滤波器在不同尺度口下对信号作滤 波，这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽( 带宽与中心频率之比) 恒定的特点 4 ( 注意：口愈大相当于频率愈低) 。 ( 3 ) 适当地选择基本小波，使妒( r ) 在时域上为有限支撑，v ( c o ) 在频域上也比较集 中，便可以使w t 在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，因此有利于检测信号 瞬态或奇异点。 基于上述特性，故而小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。 3 3 3 与短时傅立叶变换的比较 一 以往工程技术在时域作局部分析时常用短时傅里叶变换( s h o r tt i m ef t ，简记 s t f t ) ，那么s t f t 和c w t 在作局部分析时性质有何不同。 s t f t 的处理方法是对信号x ( f ) 施加一个滑动窗c o ( t r ) ( 其中r 反映滑动窗的位置) 后，再作傅里叶变换，即 s 觋( 功，f ) = l x ( t ) c o ( t r ) p 一7 酬沈 ( 3 2 1 ) 也可以看作是x ( r ) 和g ( t ) = c o ( t f ) p ”“的内积，f 是移位因子， ( a )( b ) 图 3 4 珊是频率。 s t f t 基本分析单元的分析特点如图3 4 ( a ) 所示，图3 4 ( b ) 则体现的是小波 变换在时一频平面上的基本分析单元特点。 可见在图3 4 ( a ) 中，不同位置处分析单元的形状保持不变，既不具有分析频率 降低时视野自动放宽的特点，也不具有频率特性品质因数恒定的特点；而在图3 4 ( b ) 中，当a 值小时( 中心频率增高) ，时轴上观察范围小( 空间窗宽度变小) ，而在频域 上相当于用较高频率作分辨率较高的分析( 频率窗宽度增大) ，即用高频小波作细致观 察，当a 值较大时( 中心频率降低) ，时轴上考察范围大( 空间窗宽度增大) ，而在频 域上相当于用低频小波作概貌观察( 频率窗宽度变小) ，分析频率有高有低，而在各分 析频段内分析的品质因数却保持一致，从而更符合实际工作需要的特点。 短时傅里叶变换的局部性，其特征在于处理过程限制在空间一频率窗内进行，且窗 的位置是可变的，然而窗函数的宽度却不会随信号中心频率的变化而变化，这使短时 傅里叶变换在处理些奇异的信号时显得无力，而小波变换则具备比短时傅里时变换 更强的功能。 3 3 4 连续小波变换的一些性质 小波变换具有以下性质： 1 、叠加性 如果x ( r ) 的c w t 是幔( 口，f ) ，y ( f ) 的c w t 是呱( 口，f ) ，则： z ( t ) = k l x ( t ) + k 2 y ( t ) 的c w t 是k l 阡t ( 口，f ) + k z 阡l ( 口，f ) 2 、时移性质 如果x ( f ) 的c w t 是阡正( 口，r ) ，则： z o 一“) 的c w t 是呢( d ，r t o ) ，即z ( r ) 的时移对应子w t 的f 移。 3 、尺度转换如果x ( r ) 的c w t 是呢( 口，f ) ，则： x ( ；) 的c w t 是扔f - w t ，( 导， ) ；五 o l 此定理表明，当信号x ( f ) 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在口，柙眄轴上作同一比 例的伸缩，但是不发生失真变形，这是使小波变换成为“数学显微镜”的重要依据。 4 、交叉项的性质由于c v t 是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项。但 是由它引伸出的能量分布函数l 陟( 口，r ) 1 2 却仍有交叉项表现： 设x ( t ) = z l ( ，) + 工2 ( ，) ，贝0 式中以，只，分别是啊( 口，r ) ，嘿( 口，r ) 的幅角。 由上式可见，小波变换的交叉项只出现在吧和呢，同时不为零的( 口，f ) 处，也就 是两者互相交叠的区域中，而不像维格纳分布的交叉项，即使粕。和w d 。不重叠也会 出现。 5 、小波变换的内积定理 以基本小波c o ( t ) 分别对置( ，) ，工：( f ) 作小波变换。设 _ ( f ) 的c w t 是：暇，( a ，r ) = ( x l ( f ) ，纯，( f ) ) 1 6 脚。 州畹” ，+ 卜 叫力 嘿嘿 i l 力听鬻 工：( f ) 的c w t 是：阡z ：( 口，f ) = ( 工2 ( f ) ，纯，( f ) ) 其中优，( f ) ：1 1 ：妒( ! ) ，则有 吖a “ ( w t x ( t 7 1 ，r ) ，w t x i ( 口，_ f ) ) = c ，( z 。( f ) ，z ：o ) ) ( 3 2 3 ) 舯= f 譬如 这就是小波变换的内积定理( m o y a l 定理) 。 3 4 离散小波变换 对于连续小波变换来说，尺度a 、时间t 和与时间有关的偏移b 都是连续的。如果 利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。 在连续小波中，考虑函数： ( f ) = l a l 圳2 妒( 三兰) ( 3 2 4 ) 这里，b r ，a r + ，且a 0 ，妒是容许的，为了方便起见，在离散化中，总限制a 取 正值，这样相容性条件就变为 q = f 挚巧 1 ( 由于m 可取正也可取负，所以这个 假定无关紧要) 。所以对应的离散小波函数妒时( ，) 即可写作 = a o - 气o ( 笔挚) = 嘞- j 砀( a o - j t _ 蛾) ( 3 2 6 ) 而离散化小波变换系数则可表示为 q ，。= 厂( f ) 缈弘f ) 衍= ( 厂，缈灿) ( 3 2 7 ) 其重构公式为： 儿) = c c j t ( f ) ( 3 2 8 ) c 是一个与信号无关的常数。 离散小波变换具有以下的特性：1 、妒。( f ) 是小波函数妒( f ) 在尺度上的伸缩和时域 上的平移得到的。随着j 的变化，仍j ( ，) 在频域上处于不同的频段，随k 的变化，竹 ( f ) 在时域处于不同的时段，所以离散小波变换是一种信号的时间一频率分析。2 、尺度j 增大时，妒，。( f ) 在时域上伸展，在频域上收缩，中心频率降低，变换的时域分辨率降 低，频域分辨率提高；尺度j 减小时，妒，。( f ) 在时域上收缩，在频域上伸展，中心频 率升高，变换的时域分辨率提高，频域分辨率降低。由离散小波变换的特性可知，离 散小波变换是一种较好的多分辨率时一频域分析工具。 3 5 小波函数举例 下面介绍几种常用的小波函数： 1 莫莱特小波( m o r l e t 小波) 莫莱特小波变换有效地克服了盖伯变换中窗口尺寸不能变动的缺点，增强了对信号 的局部处理功能。若令盯为一常量，莫莱特小波函数可表示为 五( f ) ：e x p ( 2 确f ) e x p f 一了t 2 ( 3 2 9 ) - 其实部是余弦一高斯函数。莫莱特小波的傅立叶频谱是平移至u 。和一处的两个高斯函 数，即 日( “) = 2 万 e x p 一2 2 2 - u o ) 2 + e x p 一2 2 2 ( “+ “。) 2 ) c s s 。， 显然h f u ) 是实偶函数，如下图所示，图中以h 表示小波，以h 表示其傅立叶频谱。 露 栉 h 八 ， 一、f 一v ，腿v 一；八 ( a )( b ) 图3 5 莫莱特小波( a ) ，及其傅立叶频谱( b ) f i g 3 5m o r l e tw a v e l e ta n di t ss p e c t r u m 2 哈尔小波( h a r r 小波) 哈尔小波是双极性阶跃函数 妒c ，= 坨c ， 2 ( r 一 ) 一坨c r 2 ( r 一；) c s s ， 它是以t = 1 2 为中心的奇对称实函数，满足小波存在条件，哈尔小波的傅立叶变换为 m ) 叫e x p ( 叩州生浮型 ( 3 3 2 ) ；i ：r ( a )( b ) 图3 6 哈尔小波( a ) 及其傅里叶变换( b ) f i g 3 6h a a rw a v e l e ta n di t ss p e c t r u m 它的模是正的偶函数，以= 0 为对称轴。相位因子e x p ( - j 2 z u ) 是由于妒( f ) 是以 t = 1 2 为中心的奇对称引起的，哈尔小波及其傅立叶变换示于图3 6 中。 哈尔变换是紧支、二进制、正交归- - + 波变换。