（电力系统及其自动化专业论文）频谱分析理论在谐波及间谐波检测中的应用研究.pdf

a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，a l o n gw i t ht h ee x t e n s i v e l ya p p l i c a t i o no ft h ep o w e re l e c t r o n i c t e c h n o l o g y ，t h ep o l l u t i o no ft h eh a r m o n i c sb e c o m e sm o r ea n dm o r es e r i o u s l ya n di t i n f l u e n c e s t h ee l e c t r i c p o w e rq u a l i t ys e r i o u s l y a s ar e s u l t ，h a r m o n i c sa n d i n t e r h a r m o n i c sp r o b l e m sh a v ea t t r a c t e dw i d e s p r e a da t t e n t i o n f i r s t l y ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ed e r i v e ，h a r ma n dl o t so fd e t e c t i o na l g o r i t h m so f h a r m o n i c sa n di n t e r h a r m o n i c s ，a n a l y s e st h ea d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo fe v e r y a l g o r i t h m ，a n dt h e n d e t a i l st h ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o nt h e o r ya n dt h et h e o r yo f m o d e r ns p e c t r a le s t i m a t e s ，w h i c he l u c i d a t e st h er e s e a r c hb a e k g r o u n d s e c o n d l y ，t h i sp a p e rd e t a i l st h eb a s i ct h e o r yo ff o u r i e rt r a n s f o r m ，a n dt h e p r o b l e m sw h i c hm u s tb ep a i da t t e n t i o nt oi nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n t h er e a s o n so f t h ee r r o rc a u s e db yt h et r a d i t i o n a le l e c t r i cs i g n a ld e t e c t i o nm e t h o d sb a s e do nt h e w i n d o w e dd f ta r e t h o r o u g h l ya n a l y z e d b e s i d e s ，m a n y c o s i n ew i n d o w sa r e i n t r o d u c e d b a s e do nt h es p e c t r u mc o r r e c t i o nt h e o r y ，w ep r o p o s ea na l g o r i t h mw h i c hi s s u i t a b l ef o rh a r m o n i c sa n di n t e r h a r m o n i c sm e a s u r i n g t h es i m u l a t i o no ft h em a t l a b p r o v e st h a tt h ea l g o r i t h mc a nm e e tt h ed e m a n do fh a r m o n i c sa n di n t e r h a r m o n i c s d e t e c t i o nw h e nc h o o s i n gs u i t a b l el e n g t ho fd a t aw i n d o w ，s a m p l i n gf r e q u e n c y ，a n d c o r r e s p o n d i n gw i n d o w s h o w e v e r ，t h i sa l g o r i t h mi s n o tf i tf o rt h ed e t e c t i o no ft h e s i g n a l sw h o s ef r e q u e n c i e sa r ev e r yc l o s et oe a c ho t h e r ， t h e r e f o r e ，u s i n g t h ea rm o d e la n dt h e p r o n ym o d e l t om e a s u r et h e i n t e r - h a r m o n i c s ，a ni n t e r - h a r m o n i c sm e a s u r i n ga l g o r i t h mw h i c hi sb a s e do na d v a n c e d s p e c t r a le s t i m a t i o ni sp r e s e n t e d b e c a u s eo ft h es p e c t r a ll i n es p l i t t i n go ft h eb u r g a l g o r i t h m ，t h e r e c u r s i v ea l g o r i t h mo ft h ea rm o d e l ，w ec h o i c et h eh a m m i n g w e i g h t e db u r ga l g o r i t h mi nt h i sp a p e r t h em o d i f i e db u r ga l g o r i t h mc a nw e a k e nt h e s p e c t r a ll i n es p l i t t i n ge f f e c t i v e l y h o w e v e r ，t h ea rm o d e lc a n tg a i nt h ep h a s eo ft h e i n t e r - h a r m o n i c s s ot h ep r o n ym o d e li sa d o p t e dt od e t e c tt h ei n t e r h a r m o n i c s a l t h o u g ht h ep r o n ym o d e lc a na c h i e v eh i g hp r e c i s i o n ，i ti sm u c hm o r es e n s i t i v et o n o i s ea n dc a nb ea p p l i e do n l yu n d e rt h eh i g h e rs n rc i r c u m s t a n c e ，t h es t u d y i n gr e s u l t s s h o wt h a tt h ea d v a n c e ds p e c t r a le s t i m a t i o ni sm o r ep r e d o m i n a n tt h a nd f ta l g o r i t h m a n di t sc o r r e c t e da l g o r i t h m si nt h ef i e l do fi n t e r - h a r m o n i c sm e a s u r i n g ，e s p e c i a l l yf o r t h ei n t e r h a r m o n i c sw h i c hi st o oc l o s et oh a r m o n i c s h e n c e ，i ti se f f e c t i v ea n df e a s i b l e t oi n t r o d u c et h ea d v a n c e ds p e c t r a le s t i m a t i o ni n t oi n t e r h a r m o n i c sm e a s u r i n g i i f i n a l l y ，t h es u m m a r i z e ro ft h er e s e a r c hw o r ki nt h i sp a p e r ，t h ep o s s i b l en e w t e c h n i q u e sf o ri m p r o v i n gi n t e r h a r m o n i c sm e a s u r i n gp r e c i s i o n ，a n dt h ep r o s p e c t so f i n t e r h a r m o n i c sm e a s u r i n gt e c h n o l o g y ，a r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：h a r m o n i c s ；i n t e r h a r m o n i c s ；d f t ；w i n d o wf u n c t i o n ；s p e c t r u ma n a l y s i s ； a d v a n c e ds p e c t r a l ；a rm o d e l ；p r o n ym o d e l i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本 声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 试拖华 日期：6 年当月1 1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 试抱华 辰观 日期：c r d 6 年岁月f f 日 日期：珈年r 月，z 日 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 理想状态下的电网稳态供电电压和电流波形均为工频的正弦波形，但实际上 电网中的电压和电流波形往往偏离正弦波形而发生畸变。一个畸变的波形是由不 同频率的正弦波形组成，即一个基本频率下的基波波形加上一系列的频率为基波 频率整数倍的整数次谐波分量和频率为基波分数倍的非整数次谐波分量( 间谐波) 组成。电力系统谐波是电能质量的重要指标之一。 电力系统谐波的主要起因是大量非线性设备的使用。所谓非线性设备就是在 正弦供电电压下产生非正弦电流或者在正弦供电电流下产生非正弦电压的设各。 作为谐波源，非线性设备主要有电磁饱和装置、电子开关型设备、电力机车、电 弧型设备及家用电器几种【2 ，3 l 。电磁饱和装置主要包括各种铁心设备，如变压器、 电抗器等，其铁磁饱和特性呈现非线性；电子开关型主要为各种交直流换流设备 ( 整流器、逆变器) 以及双向晶闸管可控开关设备等；电气铁道的电力机车牵引 负荷，是波动性很大的大功率单相整流负荷，具有不对称、非线性、波动性和功 率大的特点，将产生高次谐波和基波负序电流；各种炼钢电弧炉在高温融化期间 以及交流电弧焊机在高温焊接期间，其电弧的点燃和剧烈变动形成的高度非线性， 导致电流幅值、相位、波形发生或快或慢的不规则波动，于是产生连续和离散成 分的谐波；随着城市供电系统的发展和人民生活水平的提高，家用电器对供电系 统的负面影响已经变得不容忽视，有不少家用电器中含有非线性元件，也会产生 谐波电流。 谐波电流和电压的出现，是对公用电网的一种污染。它恶化供用电环境，对 周围的通信设备以及公用电网以外的设备都是一种危害。谐波会导致损耗增加和 电力设备寿命缩短，其引起的谐振也可能损坏设备，另外，谐波对于保护和控制 装置、测量设备、通信电路和电子负载均有一定的破坏和影响，使保护系统和控 制电路误动作，引起测量仪表的不精确工作，损坏电子设备，缩短白炽灯的寿命 和引起荧光灯故障等【4 】。 目前对谐波的研究侧重于整数次谐波，而对间谐波，即非整数倍基波频率的 谐波，较少涉及。然而，由波动负载、变频调速装置、同步串级调速装置、感应 电动机等引起的间谐波在实际电力系统中广泛存在。间谐波可引起电压闪变和多 种电磁干扰，可引起感应电动机噪声和振动，也能使低频继电器误动作，造成c t 饱和，干扰电力线路载波，或者使传统滤波装置失效甚至损坏等，其影响不容忽 视。 近年来，随着我国经济的发展，电力系统中非线性负载日益增多，由此带来 的谐波及间谐波问题也日趋严重，降低了供电质量。另一方面，现代工业的发展 对供电的可靠性和电能质量的要求越来越高，任何电能质量的恶化都可能会造成 重大经济损失。谐波污染对电力系统安全、稳定、经济运行构成潜在的威胁，给 周围的电气环境带来了极大影响。准确提取电力信号中的谐波及间谐波分量是治 理日益严重的电网谐波污染，提高电能质量，保证系统安全、稳定、经济运行的 前提条件。因此，对电力系统谐波及间谐波进行准确和可靠的测量有着重要的实 际意义和科研价值。 1 2 谐波及间谐波检测的理论及方法 根据测量的原理不同，目前常用的谐波及间谐波的测量方法可以分为以下几 类酗i ： 1 2 1 基于傅立叶变换理论的检测方法 对连续的谐波信号进行采样，再通过离散傅立叶变换( d f t ) 进行频谱分析后 求得该谐波各项参数，是目前谐波检测中应用的最多也是最广泛的一种方法，它 是一种典型的交流采样计算式微机测量方法。它的理论基础是假定输入信号是周 期信号，可以分解为恒定直流分量与整数倍基频周期分量之和，因此利用正交三 角函数基或正交指数基把时域信号变换成频域信号，分离出电参量信号的基波及 各次谐波分量，从而可得到信号各分量的幅值、频率和相位，然后再由相应公式 可以很方便的求出其余的参数值。在短时傅立叶变换、小波变换、现代谱估计和 二次变换等检测理论和方法还没有得到充分完善之前，基于d f t 的谐波检测方法 在谐波测量领域中仍将发挥其重要的作用【7 1 。 - 1 由离散傅立叶变换的推导可知， 对任一周期信号x ( f ) = a ；c o s ( 2 顽f + 竹) 在 i = 0 n - 1 o ，t 内等间隔采样，其离散傅立叶变换为f ( j o j 。) = x ( 1 。弦1 毗，通过以上变换 = i 可求得x ( o 的各项傅立叶系数的估计值。不过，这些估计值与真值是有差别的， 误差来源有以下几个方面：其一，当x ( f ) 中含有频率超过f 2 的分量时，采样定 理不满足将造成混叠误差；其二，对信号频谱进行频域等间隔采样时，采样点之 间的频谱分量被漏掉，存在栅栏效应；其三，若采样频率与信号基频不同步时， 截取x ( o 并周期延拓而成的信号将不等于原信号，会造成波形间断，这样必然会 使变换结果偏离真实值，出现频谱泄漏现象。由于这些误差存在，使得应用d f t 方法计算出来的信号参数难以满足高测量精度的要求，尤其是次数较高的谐波和 间谐波，计算出来的值将没有可信度。针对混叠误差，常使用抗混叠滤波器来滤 出高频分量，或适当提高采样频率使采样定理得到满足。针对频谱泄漏和栅栏效 应带来的误差，国内外有比较多的算法可以对这两项误差进行有效的抑制，目前 较常见的主要有以下几种悼9 1 。 1 修正理想采样频率法 这种方法的主要思想是对原始采样序列的每个采样点进行修正后得到理想采 样频率下的采样值，再进行分析。该修正方法简单，计算量小，实时性较好，易 于实现在线测量，但只能减少5 0 的频谱泄漏【l “。 2 准同步采样算法 准同步采样算法即多次平均算法。这种方法通过适当增加采样数据量和迭代 次数来提高测量的准确度，它无需测定基波频率，对采样电路也不要求严格同步 【1 1 】，而且允许被测信号的频率在一定的范围内变化。但这种方法所需数据较多， 并且采用多次平均算法的递推来得到被测参量的值，它受短暂突发性干扰影响的 可能性要比同步采样大，计算量大，不适合多回路、多参量且实时性要求高的在 线测量系统【1 2 ”j 。 3 非整周期采样法 非整周期采样法所需数据可以在一个周期内获得，从而有可能跟踪信号的波 动，而不管实际采样是否同步 1 4 , 1 5 】。它适合于快速测量，算法实时性较好。但采 样保持误差、a d 转换器误差、外部或内部随机干扰以及计算机舍入误差对非整 周期采样的信号分析方法有一定影响。 4 加窗插值法 加窗插值法把时域被测函数与某种低旁瓣特性的窗函数相乘之后，再进行 d f t 和其它数据运算或处理 1 6 】。通过采用性能优良的窗函数来降低旁瓣幅值，有 效抑制频谱泄漏；应用插值算法可获得近似同步采样的数据，可以有效的抑制栅 栏效应以及杂波和噪声的干扰，从而能够精确的测量信号的幅值和相位等参数， 是改善测量精度的一种有效手段1 1 7 】。这种方法不要求采样周期与被测信号周期严 格同步，但计算量大，实时性较差，同时需构造窗函数，使频谱分析变得复杂。 5 离散频谱分析与校正方法 在加窗插值d f t 算法的基础上，近年来，多国学者对频谱校正理论进行了进 一步研究，提出了多种新的实现方法，从目前国内外学者所进行的大量研究来看， 频谱校正理论已经能准确地识别出离散频谱中的单频成分和间隔较远的多频成 分，并自动校正其频率、幅值和相位，对多频成分谱线干涉中的单频成分能自动 判定，且能用参数识别法对两个密集频谱进行校正。目前国内外比较典型的校正 方法有四种：f f t + f t 谱连续细化分析傅立叶变换法、能量重心校正法、对幅值 进行校正的比值法、相位差校正法。 近年来，频谱校正理论在机械振动信号分析及故障诊断等领域已经得到了广 泛应用，但在电力系统中的应用还比较少。 1 2 2 基于瞬时无功功率理论的检测方法 基于瞬时无功功率理论【1 8 ，1 9 3 是日本学者h a k a g i 于1 9 8 4 年提出的，并在此基 础上提出了两种谐波电流的检测方法：p q 法和i 。i 。法。当电网电压波形没有畸 变时，无论是对称或不对称三相三线制电路，这两种方法都能准确得出检测结果。 但是，当电网电压波形畸变时，p q 法检测结果将出现很大误差。这两种方法的 优点是当电网电压对称且无畸变时，测量电路比较简单，并且时延小，具有很好 的实时性；其缺点是硬件多，花费大。另外，由于瞬时无功功率谐波测量理论是 基于三相三线制电路，单相电路的谐波测量较麻烦，必须首先将三相电路分解， 然后构造基于瞬时无功功率理论的单相电路谐波测量框图。在电力系统中，瞬时 无功功率理论主要应用于谐波电流的瞬时测量或无功补偿等谐波治理领域。 1 2 3 基于小波变换理论的检测方法 电网谐波是由各种频率成分合成的、随机的、出现和消失都非常突然的信号， 对谐波采样离散后，可以利用小波变换对数字信号进行处理，从而实现对谐波的 精确测定 2 0 , 2 1 】。小波变换是针对f f t 在分析非稳态信号方面的局限性形成和发展 起来的一种十分有效的时频分析工具，它克服了f f t 的缺点，采用不同尺度的分 析方法，能在信号的不同部位得到最佳的时域分辨率和频域分辨率，为非稳态信 号的分析提供了一条新的途径，对于波动谐波和快速变化的谐波的检测有着很大 的优越性。但小波函数在频域存在混频现象，频率分辨率低，小波分析计算量大， 且从小波分析结果一般还不能直接得到谐波和问谐波的参数。 1 2 4 基于神经网络理论的检测方法 神经网络应用于电力系统谐波检测0 2 2 , 2 3 1 尚属于起步阶段，主要应用于谐波源 辨识、谐波检测和谐波预测三个方面。对于谐波分析来说，所得到的高次谐波取 决于输入模式向量权向量的次数，向量越多，得到的谐波次数越多，但是，该算 法的性能与算法的计算时间有很大关系，计算时间越长，神经网络对基波电流的 跟踪在一个周期内能达到的效果越好，因此，很难满足实时性的要求。 1 2 5 基于现代谱估计理论的检测方法 现代谱估计技术的研究和应用主要始于二十世纪六十年代。1 9 7 6 年b u r g 在 地震学研究中受到线性预测滤波的启发，提出了最大熵谱估计方法。1 9 6 8 年p a z e n 正式提出自回归谱估计方法。1 9 7 1 年v a n d e r b o s 证明了一维最大熵谱估计与自回 归谱估计等效。以自回归模型为基础的现代谱估计技术在实际中受到越来越多的 应用和重视1 2 舢，已经被广泛应用于语音、雷达、声纳及地震等信号处理中2 5 也”。 目前，有很多国内外学者，已经在现代谱估计检测谐波及间谐波的应用中迈出了 第一步 2 3 - 3 1 1 。现代谱分析方法利用一些有关信号本身的知识，对被窗函数所截取 的有限信号以外进行某种预测或外推，从而提高了谱估计的质量，其突出的优点 是提高了谱的分辨率和谱的真实程度，在电力系统谐波检测中有着很好的应用前 景。目前这种方法主要用来分析非整数倍谐波，并且在短数据窗下的谐波分析效 果也不错。 现代谱估计方法是以随机过程的参数模型为基础的，大致可以分为参数模型 法和非参数模型法两大类。参数模型法包括有理参数模型和特殊参数模型。有理 参数模型可以用有理系统函数来表示，它包括自回归( a r ) 模型、滑动平均( m a ) 模型、自回归滑动平均( a r m a ) 模型。特殊参数模型假定信号为一些指数信号的 线性组合，又称为指数模型，主要包括p r o n y 法和扩充p r o n y 法。非参数模型法 由观测数据直接计算功率谱。典型的有c a p o n 提出的最小方差法、k a y 提出的迭 代滤波法、以及m u s i c 方法等 3 2 】。 1 3 本文的主要工作和组织结构 本文应用频谱分析理论研究谐波及间谐波的检测方法。论文分为5 章，具体 安排为： ( 1 ) 第一章简单介绍谐波的产生、危害以及各种谐波检测算法，分析比较了 各种算法的优缺点，对其中的基于傅立叶变换的理论和现代谱估计理论进行了较 为详细的介绍，阐述了本文的学术背景和实际意义。 ( 2 ) 第二章介绍了傅立叶变换的基本理论、形式以及频谱分析的局限性，在 此基础上，详细阐述了频谱校正理论的各种方法和现代谱估计的基本参数模型。 ( 3 ) 第三章在d f t 校正理论的基础上，给出了一种基于频谱校正的谐波检 测算法。通过仿真证明，与常规d f t 算法相比，新算法无需对信号进行严格的整 周期采样，可有效抑制d f t 算法的频谱泄漏现象，算法简单，计算速度快，通用 性好，抗噪声能力较强。算法不仅可以精确地测量整数次谐波分量的各项参数， 而且当间谐波与谐波相隔较远时，通过选用合适的窗函数和样本长度，- 算法依然 可以达到比较高的测量精度。但是算法无法彻底消除谱线干涉带来的影响，只适 用于频率间隔较大的离散频谱成分的校正，当间谐波与谐波相隔很近时，算法的 校正精度就会有很大下降，甚至无法测量。 ( 4 ) 第四章提出了一种基于现代谱估计的问谐波检测算法，算法主要应用了 现代谱估计中的a r 模型和基于谐波恢复的扩充p r o n y 模型来进行间谐波的检测。 由于b u r g 算法存在谱线分裂现象，在含有噪声时，谱线分裂现象更加严重，而且 间谐波分量通常远远小于基波分量，在含有噪声时，使用b u r g 算法就很难分辨出 其中的间谐波成分，因此，b u r g 算法不能直接应用于间谐波的检测，为了提高其 抗噪声能力，必须对其进行修正。为了不增加算法的计算量，文中选择使用 h a m m i n g 窗加权的b u r g 算法，通过仿真证明，修正后的b u r g 算法可以有效的抑 制谱线分裂现象，具有较好的谱线性能和分辨率。由于a r 模型无法检测到间谐波 信号的相位信息，文中还使用了基于谐波恢复的扩充p r o n y 模型来进行间谐波的 检测，仿真证明，算法测量精度高，但是p r o n y 模型受噪声的影响比较大，不适 用于信噪比较低的情况下。综合所有仿真说明，在间谐波检测领域，现代谱估计 理论有着d f t 算法及其校正算法不可比拟的优越性，将其引入电力系统间谐波检 测中是有效可行的。 ( 5 ) 最后在结论部分对全文工作做了总结，指出了本文研究的不足，对进一 步研究做了展望。 第2 章频谱分析理论基础 离散傅立叶变换d f t ( 或其快速算法f f t ) 是频谱分析的主要工具，目前在谐 波检测领域应用最为广泛。d f t 和f f t 对非e 弦周期信号的时间连续信号用采样 装置进行等间隔采样，并把采样值依次转化成数字序列，然后借助计算机进行计 算。作为经典的信号分析方法，傅立叶变换具有正交、完备等许多优点。在采样 频率和数据窗选择合适的情况下，该方法能够准确地求出信号的参数，精度和稳 定度好，计算量较小，计算速度快。但由于电网基波频率总是不断波动的，被测 信号中除了含有基波和整数次谐波之外还可能含有非整数次的谐波，因此难以做 到同步采样。即使能保证同步采样条件，由于d f t 方法具有内在的时域加窗和频 域采样特性，对信号的周期延拓会产生频谱泄漏和栅栏效应，也难以保证准确的 测定各次谐波及问谐波分量。所以使用传统d f t 算法在频谱分析时得到的离散频 谱其幅值、相位和频率都可能产生较大误差，特别是相位误差和高次谐波及间谐 波检测误差，无法满足检测精度的要求，因此需要对传统d f t 算法进行改进。 本章首先介- 绍了d f t 的基本原理、实际应用中应注意的问题及常见的余弦窗 函数，在此基础上，对几种常见的频谱校正算法进行了深入分析，并对功率谱估 计及常见现代谱估计模型进行了简要阐述。 2 1 傅立叶变换 2 1 1 傅立叶变换与离散傅立叶变换 对于一个非周期信号，我们可以把它看成一个周期r 趋于无穷大的周期信号， 这种信号的基频厶、谱线间隔，0 都将变成无穷小而趋近于零。显然，这时组成 频谱的谱线越来越密集，从而使离散谱线过渡到连续谱线，由此可以引出傅立叶 变换对的概念。 傅立叶正变换的定义： x ( ，) = 亡工( f ) p 叫卵d t 傅立叶逆变换的定义是： z ( r ) = 互1 ，。f 2 x ( f ) e j 2 目”够 ( 2 2 ) 傅立叶m 变换和逆变换构成一个傅立叶变换对。 对信号工( f ) 进行傅立叶变换或者傅立叶逆变换运算时，计算机不可能对无限 长的连续信号进行分析，而首先必须对信号采样离散化变成有限长的离散时间序 列( x ( n ) 月= o ，l ，一1 ) ，离散傅立叶变换对为： 正变换： z ( 七) ：艺工( 竹) p 1 ( n ，k ：0 , 1 ，n 一1 ) ( 2 3 ) 函 反变换： z ( ”) ：i 1n 2 - t 爿【”p j 2 x ( h ，：0 ，l ，一) (24kn1) z ( ”) = i 乞爿【”p ”( h ，= ，l ，一) ( 2 ) 式中，k 为谱线号，n 为时域序列长度。 x ( n ) 和x ( k ) 是一个有限长序列的离散傅立叶变换对。已知其中一个序列，就 能唯一地确定另一序列，原因是x ( n ) 和x ( k ) 都是长度为的序列，都有个独立 值，两者携带的信息量是相等的【”】。 2 1 2o f t 离散频谱误差分析 用计算机对时间上连续的模拟信号进行基于d f t 算法的频谱分析，因微机只 能对有限长度离散数据进行计算，d f t 和谱分析也只能在有限区间内进行，这就 必然要对连续信号在时域和频域作有限化和离散化处理，即用一有限长抽样序列 的d f t 来近似无限长连续信号的频谱，其结果必然产生误差，主要的误差包括： 混叠误差、频谱泄漏、栅栏效应【”l 。 1 混叠误差 产生混叠失真的原因是用离散信号的频谱来近似连续信号频谱的结果。信号 的离散化是通过采样来实现的，而采样频率再高也总是有限的，如果是非带限信 号，信号的最高频率q 。_ 0 0 ，则信号的最高频率q 。将超过采样角频率q ，的一半。 因此各次谐波的调制频谱就会相互交叠起来，出现混叠失真，导致有些频率部分 的幅值就和原始情况不同，因而不能分开和恢复这些部分，这时采样造成了信息 的损失【34 1 。 为了避免产生混叠现象，在对连续信号采样时必须使采样频率大于或者等于 信号中含有的最高频率的两倍。同时也可以在信号采样前旌加抗混叠滤波器，将 可能产生影响的高次谐波和噪声过滤掉，然后进行采样。 2 频谱泄漏 频谱泄漏是因为输入信号的截断造成的。用来处理的采样信号总是有一个长 度j v 的，这就相当于将序列乘以一个矩形窗口。例如余弦信号x ( f ) 与矩形窗函数 “f ) 相乘，得到一个截断信号： 坼( ，) = x ( r ) w ( t ) ( 2 5 ) 根据频域卷积定理，截断信号x ，( 1 ) 的谱，( ，) 为： ，x ，( ) = x ( ，) + ( ，) ( 2 6 ) 截断信号的谱是由两端幅值衰减振荡的连续谱组成，这表明信号被截断后， 其频谱发生了畸变，原来集中在_ ，：i 处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这 种现象就是频谱泄漏现象 ” 。实际计算表明，频谱泄漏产生的误差远大于混叠误 差( 在正常的采样频率下) ，因此必须减少泄漏误差。减少频谱泄漏的方法一般 有两种1 3 6 1 ： ( 1 ) 增加采样时间，即加宽窗长度。但这样会使数据增多，运算量和存储量 都增加，此外，对频率随时问变化的信号，增加采样时间会得到不准确的结果； ( 2 ) 改变窗的形状。要减少泄漏误差，则窗函数的频谱主瓣或旁瓣应缩小， 使实际频谱更接近原频谱。 同时应注意到，不管是增加采样长度还是加任何窗函数都只可能在一定程度 上抑制泄漏误差，而不能完全消除。 3 栅栏效应 连续的信号在时域截断后，变成非周期信号，理论上应具有连续频谱，但用 d f t 计算信号的频谱，结果将是离散的，即只能给出连续频谱的离散抽样值，而 得不到连续频率函数。这就如同通过“栅栏”观看景物一样，只能观察到有限个 频谱值，而每个间隔中的频谱就看不到了，把这种现象称为“栅栏效应” 3 4 1 。 这一效应对于周期信号尤为严重，因周期信号频谱是离散的，如果信号的频率不 能对准频域采样点，将会造成信号频率和幅值误差。 减少栅栏效应的方法一般有两种1 3 4 1 ： ( 1 ) 加长数据的长度，即增加时域采样数据点数； ( 2 ) 使频域抽样更密，即增加频域抽样点数j v 。 2 1 3 窗函数及其应用 加窗是改善d f t 分析的一种重要手段，选择合适的窗能够有效抑制频谱泄漏， 提高精度i ”】。加窗的实质就是对被分析信号在不同时刻加不同的权值，以使信号 截断的影响尽可能的小。为了改善分析信号的频谱特性，许多从事数字信号处理 的学者设计了各种不同特性的窗函数。窗的形状和宽度决定了窗函数的特征，不 同的窗函数的频谱的主瓣和旁瓣是不同的，在一般情况下对窗函数的雯求是： ( 1 ) 尽量减少窗函数频谱的旁瓣高度，也就是使能量集中在主瓣中； ( 2 ) 主瓣的宽度尽量窄，并且旁瓣衰减地越快越好。 但是以上两个标准是互相矛盾的，因为增加主瓣的宽度，旁瓣才能降低，反 之，若使主瓣能变高变窄，旁瓣也将增高。 电网信号一般主要含有基波分量和整数次谐波分量，非整数次谐波的含量很 少，因而我们重点研究基于余弦窗的组合窗，它具有这样的特点：只要选取观测 较小3 8 】。这类窗函数在时域一般可表示为 3 9 1 ： 嗥( 竹) = ( 一1 ) c o s ( 等k n ) ”= 0 , 1 ，2 n 一1 ( 2 7 ) 设幅值为l 的矩形窗为( ，z ) = 1 ，”= 0 , 1 ，n 一1 ，它的离散傅立叶变换d f t 称为 哪= d ( ，) = 面s i n ( a f 丽a f ) s i n e 小等 ( 2 8 ) i 刃v 凸， 当余弦窗系数满足( 一1 ) “a h = o ( h 2 1 ) 时，具有线性相位特性，其频谱 呦= 墨一1 ，等d ( ，可一 ) + d ( f z s f + 明 i 争罐薷 旺 表2 1 余弦窗参数及特性 窗项数 日l 口2q 主瓣宽度 矩形窗 1l2 a f h a r m i n g 20 50 54 a f h a m m i n g 20 5 40 4 64 鹭 b l a c k m a n3o 4 20 50 0 86 厂 2 2 频谱校正 2 2 1d f t 校正原理 设电气信号x ( r ) 为单频周期信号，不含谐波分量，其频率为工，相角为0 ， 幅值为爿，该信号表示为 x ( t ) = a c o s ( 2 7 吮，+ 臼) ( 2 1 2 ) 取采样频率六满足采样定理，以采样周期e = l 六将式( 2 1 2 ) 信号离散化为序 列x ( 珂) ，再对序列z ( 胛) 加长度为n 的窗序列w 。( 胛) 进行加权截断，得到序列x 。( n ) 序列h ( 聍) 的频谱为： 工。( f ) = x ( f ) t ( ，) ( 2 1 3 ) 式中“ ”表示卷积，x ( ，) 和( 厂) 分别为连续信号x ( r ) 和离散信号w 。( ”) 的 频谱。 y ( 厂) 2 罢e 1 9 j ( 厂+ f o ) + 罢e 归j ( ，一f o ) f 2 1 4 1 ( ，) = w 。( 挖) e 哪助4 = w o ( f ) e ( 2 15 ) 式中，w o ( f ) 一实函数，频率分辨率v = 专= 丙1 f x 。( ，) = ( ，) + h 0 ( ，) = a e - ：f ( f + f o ) + 拿e ：f i ( f - f o ) m 伽等 亿 ：导( ，一0 ) 。一j 学一日 + 导( ，+ 胁7 学+ 1 ( 其中“ ”表示卷积) ，上式等号右边两项分别对应于窗函数的频谱( ，) 沿频率 轴右移五和左移五得到正频率分量罢( ，一f o ) e - j i ”( 产 ) 一】和负频率分量 ：a ( ，+ f o ) e - j 回( ，+ ) 卅组成。满足一定的条件，可使负频率分量对正频率分量的 影响很小，仅考虑f 0 时 x 。( 舻昙( 厂一膳丛笋一1( 2 1 7 ) 用d f t 对序列h ( ”) 作谱分析，得到j 。( t ) 。它是。( 厂) 以v = 六n 抽样的结 果，即 瓦( t ) = x n ( 力b ( = 0 , 1 2 ，n 一1 ) ( 2 1 8 ) 假设采样非同步， 将处于两根相邻的离散谱线之间。设 距第；根谱线的 频率k a f 最近，即 f o = ( k + 口) a u( 一0 5 口0 5 )( 2 1 9 ) 式中口称为频率校正量。 若用第k 根谱线( 0 估计原信号的频谱，则 x ( ) = 芸( 一a a f ) p ，一。 ( 2 2 0 ) l x 。( ) l = 4 w o ( 一鹕， ) ( 2 2 1 ) a r g ( 圳= 触+ 0 r 99 9 、 若知口，则可求得z “) 的真实频率、幅值和相位： ，扣( + ) 兮 r 9 ，r 、 4 22 i 一”( t ) i w o ( 一删) ( 2 2 4 ) 0 = a r g x ( t ) 】一蒯 r 99 e 、 上面的推导过程没有具体指定利用哪一种窗函数，只假设窗函数满足为实偶 函数，具有线性相位谱且满足傅立叶变换时移特性的条件，故本方法适用于满足 上述条件的对称窗函数。 根据求解口的方法不同，频谱校正的方法也有许多种，目f i 常见的频谱校f 方法有：f f t + f t 细化分析法、能量重心校正法、比值公式法、相位差校证法等。 2 2 2 频谱校正方法 上世纪7 0 年代中期，有关学者就开始致力于离散频谱校正理论的研究以期解 决离散频谱误差较大的问题，并提出了一些校币频谱分析误差的方法，以满足实 际应用中对频谱分析精度的要求。 1 9 7 5 年，j o h ncb u r g e s 等采用插值法对加矩形窗的离散化频谱进行了校正 4 0 , 4 1 】，解决了电学中的离散高次谐波参数的精确测量问题：1 9 8 3 年t h o m a s g r a n d k e 提出了加h a n n i n g 窗的内插法对频谱进行校正【42 1 ，进一步提高了离散高 次谐波参数的分析精度，随后大量文献在窗函数选择和插值算法实现等方面进行 了研究。加窗插值算法将时域被测函数与某种低旁瓣特性的窗函数进行相乘，有 效抑制了频谱泄漏，同时应用插值算法消除了栅栏效应对测量结果的影响，从而 可以精确地测量电气信号的参数。算法不要求采样周期与被测信号严格同步，但 需要构造窗函数，使频谱分析变得复杂，而且需要较长的测量时间和较大的计算 量，检测结果的实时性也较差。 在加窗插值d f t 算法的基础上，近年来，各国学者对频谱校正进行了进一步 研究，提出了多种新的实现方法 4 3 , 4 4 】。下面对国内外常见的一些频谱校正方法进 行了简要介绍。 2 2 2 1f f t + f t 细化分析法 f f t + f t 细化分析法4 5 4 7 1 其实质是先用f f t 作全景谱，再针对要细化的部分 用傅立叶变换分析，得到局部细化精度极高的精确频谱。虽然对指定谱区间细化， 但是不增加采样长度，仍采用原来的采样数据，其原理是把用f f t 得到的离散的 频域曲线，变成连续的曲线，这样离散谱变成了连续谱，就可以克服频率分辨率 的限制。而且随着计算机技术的发展，对一个厂间隔内，进行指定密度的细化， 是完全可行的。 2 2 2 2 能量重心校正法 对于矩形窗、h a n n i n g 窗、h a m m i n g 窗等常用的窗函数而言，当疗足够大时， 离散窗谱的能量重心都在原点附近 4 8 - 5 1 】。根据这一特点，利用窗函数频谱的主瓣 图形及主瓣的谱线用重心法求出离散窗谱函数的能量重心坐标，该坐标就是频谱 峰顶对应的主瓣中心，即校正出的准确频率。再根据该准确频率对信号的幅值和 相位进行校正可得到其相应的准确值。该方法的校正精度与窗函数即参与校正的 点数有关，点数越多，对单频成分的校正精度越高。该方法可大大提高离散频谱 的分析精度，且算法简单，计算速度快，负频率成分和间隔较近的多频率成分产 生的干涉现象所带来的误差对精度的影响小，但不适合频率过于密集的分析场合 或连续谱。 2 2 2 3 比值公式法 比值校正法【5 2 。5 1 是利用归一化后差值为1 的主瓣峰顶附近二条谱线的窗谱函 数的比值，建立一个以校正频率量a k 为变量的方程，解出校正频率a k ，然后再 进行幅值和相位的校正。该校正方法有较高的测量精度，但该方法不适合用于过 于密集的频率分析和非离散谱的分析场合。 2 2 2 4 相位差校正法 相位差校正法0 5 6 。8 l 是利用两段时间序列f f t 变换后的相位之差进行频谱校 正，即构造一个与测量信号同频率的信号，在做f f t 求出相角后，再与原测量信 号谱分析的相角结果求差来推出口，进而对幅值和相位进行校正。根据采用的两 段序列的不同，这种方法有三种不同的做法。第一种对原始时域信号采两段连续 样本，每段采样点数为，然后分别对这两段信号加相同的窗函数再进行| v 点的 f f t ，再利用其对应离散谱线的相位差求出频率校f 量，进而校正出谱峰处的准确 频率、幅值和相位。第二种将原序列x ( ”) 分成两段，然后将后一段置为0 ，得到 新的序列x 。( ，2 ) ，对( 胛) 作点的离散傅立叶变换后，再利用两次f f t 频谱中对 应离散谱线的相位差求出t 2 ，然后校正出谱峰处的准确频率、幅值和相位。最后 一种是将原时间序列x ( n ) 前2 点向右平移4 ，将序列的前后4 点置零，构 造另一时间序列( ”) ，再对这两段时间序列作f f t 分析后求出两者的相位差， 在使用同样的方法进行频率、幅值和相位的校正。 2 3 功率谱估计 所谓的功率谱估计 5 9 1 就是用已观测到的一定数量的样本数据估计一个平稳 随机信号的功率谱。目前，功率谱估计的发展大体可以分为两个阶段：第一个阶 段的功率谱估计是以傅立叶变换作为理论基础的线性方法，我们称之为传统( 或经 典) 功率谱估计；第二个阶段的功率谱估计是根据各种估计准则提出的，以随机信 号的参数模型为基础的参量估计法和用于正弦频率估计及功率谱估计的非参量估 计方法，我们称之为现代功率谱估计。 2 3 1 传统的功率谱分析法 传统的功率谱估计【59 】有两种方法：一种是直接利用傅立叶级数去拟合某类信 号的周期图法，在f f t 算法出现后，这种方法在谱估计中得到了应用；另一种是 运用平稳随机过程的维纳一辛钦定理，由采样数据序列间接得到的功率谱估计法， 又称为间接法( 或称b t 法) 。该方法先求出平稳过程的自相关函数，然后再将自 相关函数做傅立叶变