（电力系统及其自动化专业论文）高压架空输电线电磁参数与电磁环境分析.pdf

华北电力大学s程硕士学位论文 摘要 高压架空输电线周围的电场是一种开域场。 根据这种开域场的分布特性， 本论文提 出采用二维边界元法计算输电线下电场分布和导线表面电场分布。 本论文首先推导了已 知边界上电位分布求解边界上电荷分布的二维边界积分方程。 将边界积分方程离散化得 到二维边界元方程。 边界元的奇异积分采用解析方法以提高计算精度。 根据架空输电 线 的 特点，在二维边界元方程中用镜像单元考虑了大地的影响。利用本论文方法对5 0 0 k v 三相输电线不同分裂导线情况下的电 场进行计算， 得出了地面附近电场分布规律和导体 表面电 场分布规律以及电容参数变化规律。 本文所提计算方法和所得结论可供电力设计 和运行部门参考。 关键词:架空输电线，二维电场，边界元 abs tract t h e e l e c t r i c f i e l d a b o u t h i g h v o l t a g e o v e r h e a d p o w e r l i n e i s a n o p e n b o u n d a r y e l e c t r i c f i e l d . t h i s k i n d o f f i e l d c a n b e c o m p u t e d b y b o u n d a r y e l e m e n t m e t h o d . 2 - d e l e c t r i c f i e l d i n t e g r a l e q u a t i o n a n d b o u n d a r y e l e m e n t e q u a t i o n s a r e d e r i v e d c a r e f u l l y . i n o r d e r t o i m p r o v e t h e i n t e g r a l p r e c i s i o n , t h e s i n g u l a r i n t e g r a l i s c a l c u l a t e d b y a n a l y t i c a l m e t h o d . a c c o r d i n g t o t h e c h a r a c t e r i s t i c o f t h e o v e r h e a d p o w e r l i n e , t h e i m a g e b o u n d a r y e l e me n t s a r e p u t t e d i n t h e p o s i t i o n u n d e r g r o u n d t o c o n s i d e r t h e e f f e c t o f t h e e a r t h . b y u s e o f t h e b o u n d a r y e l e m e n t m e t h o d , w e c o m p u t e t h e e l e c t r i c f i e l d a b o v e g r o u n d , o n s u r f a c e o f c o n d u c t i n g l i n e a n d e l e c t r i c c h a r g e a b o u t 3 p h a s e p o w e r l i n e s w i t h d i f f e r e n t k i n d s o f m u l t i p l e c o n d u c t o r s . t h e c o n c l u s i o n s o b t a i n e d i n t h i s t h e s i s c a n b e c o n s u l t i n g i n e l e c t r i c p o w e r d e s i g n a n d o p e r a t i o n d e p a r t m e n t . t a n g s h e n g ( e l e c t r i c p o w e r s y s t e m a n d a u t o m a t i o n ) d i r e c t e d b y p r o f . wa n g z e z h o n g ke y wor d s : o v e r h e a d p o w e r l i n e , 2 - d e l e c t r i c f i e l d , b o u n d a r y e l e m e n t 华北电力大学工程硕士学位论文 第一章 绪 论 1 t 高压架空输电线电场计算的意义 随着技术的进步和人民生活水平的提高， 人们对电磁环境的要求受到重视。 就 广泛的意义来说，国家正在酝酿制定电磁辐射限值的标准。该标准将覆盖整个非粒 子性电磁辐射频谱。工频电磁环境是其中的重要部分。就电力系统来说，目前己经 执行的电力建设项目 环境评价标准己经规定了工频电场和磁场的限值， 成为环境评 价的依据。因此对电力系统电磁环境的分析计算具有重要意义。工频电磁环境指的 是地面附近的电场和磁场， 而电磁环境评价中无线电干扰，其源头是输电线路上的 金具表面和导线表面的电晕。因此，有必要对导线表面及其周围电场进行精确的计 算和分析，以便寻找规律，提出改进措施。 1 . 2 传统计算方法存在的主要问题 高压架空输电线路往往采用各种形式的分裂导线。 传统的分析方法主要是等效 电荷法。 这种方法是将导线表面分布的电荷看做集中在导线中心，根据各导线表面 电位的给定值， 通过列方程的方法求解出个导线的等效电荷。 这种方法的优点是物 理概念清晰， 在导线半径比导线之间距离小得多的情况下计算精度可以满足工程需 要。对于三相不分裂导线情况，导线相间距比导线半径大得多， 传统方法计算结果 可以达到较高的精度。而对于采用分裂导线的高压、超高压和特高压输电线路，同 相分裂导线之间得线间距与导线半径相比就不显得特别大， 因此不能完全满足传统 方法得计算条件，会导致一定的误差。即使在计算地面附近电场分布时，计算误差 勉强可以接受，在计算导线表面电场强度时也会出现不能接受得误差。 因此需要寻 求更精确的计算方法。 1 . 3边界元法的优势 目前电场数值计算中的主要方法可以归结为两大类即微分方程法和积分方程 法。其中微分方程法主要代表是有限元法( f e m ) ，积分方程法主要代表是边界元法 ( b e m ) 。 有限元法目前在众多的数值计算方法中居于主导地位。 有限元法需要对整 个场域进行网格剖分，因而便于处理非线性及各向异性媒质中的电磁场。采用 有限元法得到的代数方程组的系数矩阵是对称稀疏的矩阵，因此可以方便地编 华北电力大学工程硕士学位论文 第一章 绪 论 1 t 高压架空输电线电场计算的意义 随着技术的进步和人民生活水平的提高， 人们对电磁环境的要求受到重视。 就 广泛的意义来说，国家正在酝酿制定电磁辐射限值的标准。该标准将覆盖整个非粒 子性电磁辐射频谱。工频电磁环境是其中的重要部分。就电力系统来说，目前己经 执行的电力建设项目 环境评价标准己经规定了工频电场和磁场的限值， 成为环境评 价的依据。因此对电力系统电磁环境的分析计算具有重要意义。工频电磁环境指的 是地面附近的电场和磁场， 而电磁环境评价中无线电干扰，其源头是输电线路上的 金具表面和导线表面的电晕。因此，有必要对导线表面及其周围电场进行精确的计 算和分析，以便寻找规律，提出改进措施。 1 . 2 传统计算方法存在的主要问题 高压架空输电线路往往采用各种形式的分裂导线。 传统的分析方法主要是等效 电荷法。 这种方法是将导线表面分布的电荷看做集中在导线中心，根据各导线表面 电位的给定值， 通过列方程的方法求解出个导线的等效电荷。 这种方法的优点是物 理概念清晰， 在导线半径比导线之间距离小得多的情况下计算精度可以满足工程需 要。对于三相不分裂导线情况，导线相间距比导线半径大得多， 传统方法计算结果 可以达到较高的精度。而对于采用分裂导线的高压、超高压和特高压输电线路，同 相分裂导线之间得线间距与导线半径相比就不显得特别大， 因此不能完全满足传统 方法得计算条件，会导致一定的误差。即使在计算地面附近电场分布时，计算误差 勉强可以接受，在计算导线表面电场强度时也会出现不能接受得误差。 因此需要寻 求更精确的计算方法。 1 . 3边界元法的优势 目前电场数值计算中的主要方法可以归结为两大类即微分方程法和积分方程 法。其中微分方程法主要代表是有限元法( f e m ) ，积分方程法主要代表是边界元法 ( b e m ) 。 有限元法目前在众多的数值计算方法中居于主导地位。 有限元法需要对整 个场域进行网格剖分，因而便于处理非线性及各向异性媒质中的电磁场。采用 有限元法得到的代数方程组的系数矩阵是对称稀疏的矩阵，因此可以方便地编 华北电力大学工程硕士学位论文 写通用计算程序，进而组合成各种高效能的计算软件。其计算精度的提高可以 通过调整单元的剖分密度和单元插值函数等措施来实现。 有限元法的缺点是不能直接处理开域场问题。 边界元法是2 0 世纪7 0 年代发展起来的一种数值计算方法。 该方法的工程应用起始 于弹性力学，进而应用于流体力学、热力学、电磁学等诸多领域。 边界元法是把场的边值问题等价地转化为边界积分方程问题，然后利用有 限元离散技术所构造的一种方法，其主要特点有: ( 1 ) 降低问题求解的空间维数。 本方法将给定空间区域的边值问题通过包围区域边 界面上的边界积分方程来表示， 从而降低了问 题求解的空间维数。 也就是说， 三维问题 可利用边界表面积分降维为二维问题;而二维问题则利用边界的线积分降维为一维问 题。 因此， 有限元离散仅对应于二维曲面单元或一维曲线单元， 使方法的构造大为简化。 2 ) 方程组阶数降低， 输入数据量减少。 待求量将仅限于边界节点上的变量， 这不 仅简化了问题的前处理过程，而且大幅度降低了待求离散方程组的阶数。 ( 3 ) 计算精度高。 边界元法直接求解的是边界上“ 广义场源”的分布。 根据不同的 问题， 广义场源可以是位势或场强。 场域中任一点的场量将通过各离散的广义场源的作 用线性叠加而求得， 毋需对离散的位函 数微分运算。 此外，由于只对边界离散，离散化 误差仅仅来源于边界。所以边界元法较之有限元法，可望有较高的计算精度。 ( 4 ) 易于处理开域问题。 边界元法只对有限场域或无限场域的有限边界进行离散化 处理并求解，故特别适合于开域问题。 但是边界元也有它的缺点和不足: ( 1 ) 形成的系数矩阵为非对称性的满阵。因而求解大型离散方程组就很困 难，而且边界元方程的阶数不能太高。 ( 2 ) 系数矩阵的各元素值均需要采用数值积分，因此系数矩阵的建立需要较 多的计算机时。 ( 3 ) 不易处理多种媒质共存的问题。 对于本论文所关心的架空输电线的电场问题，导体数目 有限而且导体之间距离较 大， 考虑大地影响， 为二维半开域场。 这种电场最适合用边界元法求解。 与传统的等效 电荷法相比， 边界元法相当于在导体表面设置若干等效电荷，因此更接近实际， 计算精 度更高。 与有限元法相比， 边界元适用于开域， 不存在有限元法中引入的无限单元误差。 导体尺寸与导体之间 距离之间尺度上的巨 大差别， 对有限 元法来说是一个比 较难以 处理 华北电力大学工程硕士学位论文 的问题 ( 单元大小过渡) 。而在边界元法中，这一困难并不明显。 1 . 4 本文的主要研究内容 本论文首先在前人工作基础上推导二维电场边界积分方程和边界元计算格式。 采用解析解法处理边界元中的奇异积分，以 提高计算精度。 在不增加求解变量的前 提下， 在边界元离散化计算格式中引入镜像边界元积分项处理大地影响因素。改进 二维边界元程序，以适应已知边界电位求解边界电场强度的第一类边值问题。 利用 场域内电位积分表达式推导出电场强度的积分表达式，用以计算地面附近的电场。 针对不分裂、二分裂和四分裂导线以及有无架空避雷线的几种情况，分别计算地面 附近电场、导体表面电场和导体表面电荷量以及工作电容参数，寻找规律并得出相 应的结论。 华北电力大学工程硕士学位论文 的问题 ( 单元大小过渡) 。而在边界元法中，这一困难并不明显。 1 . 4 本文的主要研究内容 本论文首先在前人工作基础上推导二维电场边界积分方程和边界元计算格式。 采用解析解法处理边界元中的奇异积分，以 提高计算精度。 在不增加求解变量的前 提下， 在边界元离散化计算格式中引入镜像边界元积分项处理大地影响因素。改进 二维边界元程序，以适应已知边界电位求解边界电场强度的第一类边值问题。 利用 场域内电位积分表达式推导出电场强度的积分表达式，用以计算地面附近的电场。 针对不分裂、二分裂和四分裂导线以及有无架空避雷线的几种情况，分别计算地面 附近电场、导体表面电场和导体表面电荷量以及工作电容参数，寻找规律并得出相 应的结论。 华北电力大学工程硕士学位论文 第二章二维边界元法的原理 2 . 1 2 . 1 . 1 二维静电场的积分方程 静电场的基本方程 架空输电线周围的电场实际上是一种交变电场。由于导线上的电压随时间 正弦变化，导线周围的电场也随时间正弦变化。沿导线轴线方向，在一定的空 间范围内，将导线看成是等电位体，只考虑导线表面变化的电荷引起的库仑电 场，忽略磁场变化引起的感应电场，则导线周围的电场将取决于同一时刻导线 上的电荷进而取决于这一时刻各导体对地电压。因此虽然输电线周围的电场是 正弦交变电场，但就某一时刻看，与静电场性质相同。据此，我们采用静电场 方法计算输电线电场的瞬时值。由于输电线轴线方向较长， 忽略一些次要因素， 可以将 电场简化 为二维 电场 。 静电场的基本方程 vxe =0 v. d=p ( 2 一 1 ) ( 2 - 2 ) 将d= 和e二 一 v (p 代入方程( 2 - 2 ) ，得 一 v( e v w 卜 p( 2 - 3 ) 这就是静电 场电位的泊松方程。在本论文研究的问 题中电 荷密度p 等于。 。所以 要求解得方程为如 ( 2 - 4 )的拉普拉斯方程。 一 v ( # o (p ) = 0 2 - 4 ) 2 . 1 . 2格林公式 设v 为空间某一闭 域， 其 表面为s 。 若有两 个标量函 数砂 和v ， 它 们在v 域内 及s 面上分别有连续的一阶和二阶偏导数，则所构成的向 量卢0 满足高 斯散度定理 ( v . (v 0 o )d 。 一 (giv o ) - e d s 一 i v 黝 甲心们口月 ( 2 - 5 ) 式中，。 。 为s 面的外法线方向的单位向 量 a o 口 n 为法向导数。根据向量恒等式 华北电力大学工程硕士学位论文 第二章二维边界元法的原理 2 . 1 2 . 1 . 1 二维静电场的积分方程 静电场的基本方程 架空输电线周围的电场实际上是一种交变电场。由于导线上的电压随时间 正弦变化，导线周围的电场也随时间正弦变化。沿导线轴线方向，在一定的空 间范围内，将导线看成是等电位体，只考虑导线表面变化的电荷引起的库仑电 场，忽略磁场变化引起的感应电场，则导线周围的电场将取决于同一时刻导线 上的电荷进而取决于这一时刻各导体对地电压。因此虽然输电线周围的电场是 正弦交变电场，但就某一时刻看，与静电场性质相同。据此，我们采用静电场 方法计算输电线电场的瞬时值。由于输电线轴线方向较长， 忽略一些次要因素， 可以将 电场简化 为二维 电场 。 静电场的基本方程 vxe =0 v. d=p ( 2 一 1 ) ( 2 - 2 ) 将d= 和e二 一 v (p 代入方程( 2 - 2 ) ，得 一 v( e v w 卜 p( 2 - 3 ) 这就是静电 场电位的泊松方程。在本论文研究的问 题中电 荷密度p 等于。 。所以 要求解得方程为如 ( 2 - 4 )的拉普拉斯方程。 一 v ( # o (p ) = 0 2 - 4 ) 2 . 1 . 2格林公式 设v 为空间某一闭 域， 其 表面为s 。 若有两 个标量函 数砂 和v ， 它 们在v 域内 及s 面上分别有连续的一阶和二阶偏导数，则所构成的向 量卢0 满足高 斯散度定理 ( v . (v 0 o )d 。 一 (giv o ) - e d s 一 i v 黝 甲心们口月 ( 2 - 5 ) 式中，。 。 为s 面的外法线方向的单位向 量 a o 口 n 为法向导数。根据向量恒等式 华北电力大学s程硕士学位论文 v - ( y/ v 司= v v / - v o 十 v v 2 o 将式 ( 2 - 6 )代入 ( 2 - 5 )可得 ( 2 - 6 ) 工 v v/ v qd v + 工 vrv 2od v 一 vr -a asa n ( 2 - 7 ) 上式 称为 格林第一公式。 若将y/ 和0 交换位置，即 对向 量卢 v/ 进行同 样的 处理， 便得 工 v o - 以式 ( 2 - 7 )减去式 2 - 8 ) , v vrd v 、 0 v z v d v 一 和 李绍 甲吧 ) 月 ( 2 - 8 ) 则有 仁 (w v 2， 一 o v l v v = w a1 一 ， a v l d s 甲心又口 月a n ) ( 2 - 9 ) 上式称为格林第二公式，亦称为格林定理。 对于二维 ( 平行平面) 场， 格林定理中的体积分应为面积分，闭合面积分应为闭合 线积分。 2 . 1 . 3 场域积分公式 二维静电场的基本方程为 s v 2 p = p ( 2 一1 0 ) 求解区域为s ，求解区域边界为r . 假定求解区域内 充满同 一种均匀介质。 在二维情况下，取自由空间的格林函数为 g _ 上 in 2 ) r s ir 一 r i ( 2 一1 1 ) 此格林函数相当于电 荷量为 1的 点电荷产生的电位。 因此除r - r 二 0 点 之外，整个区域满足 一 e v 2 g= 0( 2 一1 2 ) 在， 一 ， ， = 0 处，g为无穷大。 对于求解区域s 及其边界面r，应用格林定理 场点附近的源点 j (g v z， 一 (pv 2g * = 手 i g 8n 图2 - 1 日 g、 . _ 一w - a 1 a n ( 2 一1 3 ) 华北电力大学s程硕士学位论文 v - ( y/ v 司= v v / - v o 十 v v 2 o 将式 ( 2 - 6 )代入 ( 2 - 5 )可得 ( 2 - 6 ) 工 v v/ v qd v + 工 vrv 2od v 一 vr -a asa n ( 2 - 7 ) 上式 称为 格林第一公式。 若将y/ 和0 交换位置，即 对向 量卢 v/ 进行同 样的 处理， 便得 工 v o - 以式 ( 2 - 7 )减去式 2 - 8 ) , v vrd v 、 0 v z v d v 一 和 李绍 甲吧 ) 月 ( 2 - 8 ) 则有 仁 (w v 2， 一 o v l v v = w a1 一 ， a v l d s 甲心又口 月a n ) ( 2 - 9 ) 上式称为格林第二公式，亦称为格林定理。 对于二维 ( 平行平面) 场， 格林定理中的体积分应为面积分，闭合面积分应为闭合 线积分。 2 . 1 . 3 场域积分公式 二维静电场的基本方程为 s v 2 p = p ( 2 一1 0 ) 求解区域为s ，求解区域边界为r . 假定求解区域内 充满同 一种均匀介质。 在二维情况下，取自由空间的格林函数为 g _ 上 in 2 ) r s ir 一 r i ( 2 一1 1 ) 此格林函数相当于电 荷量为 1的 点电荷产生的电位。 因此除r - r 二 0 点 之外，整个区域满足 一 e v 2 g= 0( 2 一1 2 ) 在， 一 ， ， = 0 处，g为无穷大。 对于求解区域s 及其边界面r，应用格林定理 场点附近的源点 j (g v z， 一 (pv 2g * = 手 i g 8n 图2 - 1 日 g、 . _ 一w - a 1 a n ( 2 一1 3 ) 华北电力大学工程硕士学位论文 如图2 - 1 ，在求解区域内部，以场点为中心挖掉一半径为r的小圆，小圆的面积为 小圆的圆周为r . ， 应用格林定理， 得 仁 (g c v 2。 一 (p e v 2g s = ( g e a 一 ， e ag r + j 。 g ap 一 e o g r (2 一 j “喊气a n a n了月 11 口 n a n/ z - r。 在 小 圆 周 上 ， s a z-an 有 界 e aw ) 27gan ) * 一 。 一1 4 ) 当r- -+0， 1一r n 在小圆周上， g= 2 z s 有 :_ 一 二 _ a (p 、 二 。 _ ,:- ( 1 . w . 叨 i v 匕哪。 一 l ul 期 r - o 又伽)r - o i 2 r c r- 0 ( 2 一1 5 ) ln1r 当r 今。 ， 在小圆 周上v 为 常数， 可从积分号中 提出 1 .了 a g ) , - n m y _ 一( p u - imo =- c p a , : o ir 一r lm; ir 一ro n / n e o n in i 1 ,i)d i ir一r ( 2 一1 8 ) 撤除人为的边界面，求解区域之外的电位积分公式应为 ， 、 r p ( r ) ，1， 。 。 p ( r ) ，1， _ 中( r) = i -in - 一 一 一 万压1)十 i 1 n- 一 一 了0 亡 2 7 c e p ir 一 y s 2 n f o ir 一 r 1 ( 2 一1 9 ) 对比( 2 -1 9 ) 和( 2 -1 8 ) ，可得 r p ( r ) ， l 百甲 了 - i n u 兀 s o 一匕d s 二 r一r i 1， _ 1 8 p ( r ) 0 ， 在小半圆 周上尹 为常数，可从积分号中 提出 。 a g、 一1_1 1 7 m几 一 ( p c -阵 =- ( p e -7 l r= 一 -w 代 冲 甘 勺又a n了 忱 找 ( 2 一2 5 ) 将式( 2 一1 0 )、( 2 一1 2 ) 、 ( 2 一2 4 )和( 2 一2 5 ) 代入式( 2 一2 3 ) ，得 1、 r p ( r ) 。1 . _ r , 1。 育 叭r ) =l 声 万 二- i n - 一 一 丫 劝+ t 仁 - to “l 7 c ; jr 一r “l 7 c 1 a cp ( r ) cp ( r ) r 一 r ! a n a .1、_ m ;州 一 一 -) d 1 a n it 一 r 1 ( 2 一2 6 ) 此式左边含有边界上的电位， 右边含有边界上的电 位和边界上电 位的法向导数。这 就构成了边界电位及其法向导数的积分方程， 简称边界积分方程。 如图2 -3 ， 在边 界积分方程中， 口， -, n d or一r 日， ， 二 t i n ca n 与= (v in 工 ) . 。 ” r r 1 - - - e , e ,r _ _ 上 c o s b ( 2 一2 7 ) 图7 - 3 - 3 边界面上源点与场点的关系 0是e ， 和边界面法线方向e ， 之间的夹角。因 此边界积分方程又可表述为 1 _ / _ 、 r p ( r ) ，_1 。. 1 ， 1; _1 娜( r ) cp ( r ) c o s 0 , a - 百 wv7= 1 . - 一 一 “ i - u . i * ll -i u- -一一 t- 一一一 -q ua 的 兀e k 乙兀尤do g7 k ( 2 一2 8 ) 华北电力大学工程硕士学位论文 2 . 2加权余量法 用算子l 表示一种运算， 它既可表示微分运算， 又可表示积分运算: 用f 表示算子 的 运算对象， 即未知函 数; 而用g 表示方 程的 非齐次项即 右端项。 这样， 无 论微 分方 程 还是积分方程，都可用一个统一的算子方程予以描述，即有 l ( rp ) =g ( 2 - 2 9 ) 式中f 是建立在连续域上的 连续函数。 如果将连续域离散成剖分单元的总和， 则意味 着 将连续函数离散成一系列节点上的函数值， 即将无限多个自由度的问题离散成有限个自 田度的问题。 非节点处的函数值用节点处的函数值展开，其数学表达式为 式中n 为 离 散节点 数的 总 量; 。 场点坐标的函数。由于n 是有限值， 达，记作u ( r ) 。将u 替代式 2 - 3 0 ) p ( r ) , u ( r ) 一 艺n , ( r ) u ; ( 2 - 3 0 ) 为 节点处的函 数 值; 而n称为i 点的 基函 数， 它 是 所以由此表达的函数只能是原来连续函数的近似表 中的f ，则该式必将出现余数r，其值为 r二l ( u ) 一 g r = l ( 艺n i ( r ) u ) 一 g 若l为线性算子，则上式可写成 r = 叉 l ( n , ) u 一 g ( 2 - 3 1 ) 加 权 余 量 法 中 ， 令 式( 星 3 1 ) 中 的 r 在 如 下 加 权 平 均 意 义 下 得 零 值 ， 即 有 工 w .r d q 一 工 w ; (y, l ( n ,) 、 一 g )d q = 0 ( 2 - 3 2) 上式中的0表示算子l的定义域。它可以是三维空间， 空间曲面，也可以是平面或平面 的 周 界 线 等 。 式 中 嗽( j = 1 ,2 ,a , n ) 称 为 权 函 数 本 文 边 界 元 法 采 用 伽 辽 金 法 ， 即 加 权 函 数与近似解展开中所用的基函数相同。 由于“ 是节点值不是坐标的函数，所以 式 ( 2 - 3 2 ) 可改写成 郭.h w , l (n ; )dk2 一 l w j g d q j = 1 , 2 , a , n( 2 - 3 3 ) 为了书写方便，令 工 w , l (n )“二 ( w ;, l (n ) 华北电力大学工程硕士学位论文 工 w , g d q 二 ( w ， 、 ) 这样 ，式2 - 3 3 )便可简写成 、 w , , l (n ) 一 (w , , g ) (2-月艺间 1 = 1 ,2 , a， 若用矩阵表示，则有 l u =9 这样， 通过加权余量法便将算子方程转化成如式( 2 - 3 5 ) n ， 和 权函 数w , 确定以 后， 系 数 阵1 和 右 端 项9 即 被 确 定 点上的未知数。 ( 2 - 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) 所示的代数方程组。当基函数 ，从而可计算出定义域中各节 2 . 3边界元算法 2 . 3 . 1单元类型选择 在未知函数的展开式中需要用形状函数， 而在坐标的变换式中也要用形状函数。 这 两种函数的性质相同， 但是所起的作用却不同。 对前者，形状函数的阶数愈高， 截断误 差愈小， 而对后者， 应根据场域的边界形状的不同， 选用相应阶数的形状函数，以使场 域拟合得更好。 在实际使用中根据坐标变换式中形状函数与未知函数展开式中形状函数 的不同选取，有限元法可分为等参元、亚参元和超参元三种。 如果供坐标变换用的形状函数与未知函数展开式中的形状函数的阶数相等，称为 等参元。 为了能以 较少的剖分单元获得较高的计算精度， 为了 使剖分能与场域边界较理 想地拟合，同时也为了计算简便起见，本论文采用线性等参元有限元单元。 1 一一 龙 图2 - 2二维线性等 参元单元 图2 - 3一维线性 等参元单元 二维线性等参元单元如图2 - 2 所示，其形状函数为 n , = 1 一 者 一 77 n z 古 1 0 华北电力大学工程硕士学位论文 工 w , g d q 二 ( w ， 、 ) 这样 ，式2 - 3 3 )便可简写成 、 w , , l (n ) 一 (w , , g ) (2-月艺间 1 = 1 ,2 , a， 若用矩阵表示，则有 l u =9 这样， 通过加权余量法便将算子方程转化成如式( 2 - 3 5 ) n ， 和 权函 数w , 确定以 后， 系 数 阵1 和 右 端 项9 即 被 确 定 点上的未知数。 ( 2 - 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) 所示的代数方程组。当基函数 ，从而可计算出定义域中各节 2 . 3边界元算法 2 . 3 . 1单元类型选择 在未知函数的展开式中需要用形状函数， 而在坐标的变换式中也要用形状函数。 这 两种函数的性质相同， 但是所起的作用却不同。 对前者，形状函数的阶数愈高， 截断误 差愈小， 而对后者， 应根据场域的边界形状的不同， 选用相应阶数的形状函数，以使场 域拟合得更好。 在实际使用中根据坐标变换式中形状函数与未知函数展开式中形状函数 的不同选取，有限元法可分为等参元、亚参元和超参元三种。 如果供坐标变换用的形状函数与未知函数展开式中的形状函数的阶数相等，称为 等参元。 为了能以 较少的剖分单元获得较高的计算精度， 为了 使剖分能与场域边界较理 想地拟合，同时也为了计算简便起见，本论文采用线性等参元有限元单元。 1 一一 龙 图2 - 2二维线性等 参元单元 图2 - 3一维线性 等参元单元 二维线性等参元单元如图2 - 2 所示，其形状函数为 n , = 1 一 者 一 77 n z 古 1 0 华北电力大学工程硕士学位论文 n , =r7 边界线上边界单元也为一次单元，如图2 - 3 所示，其形状函数为 .n , = ( i 一 ) / 2 n z = ( i + ) / 2 ( 2 - 3 6 ) ( 2 一3 7 ) 2 . 3 . 2边界元法离散积分公式 用边界元法求解微分方程: 一 ev 29 = 0 s a u l 1 a - =q la n l r 对二维场，应用格林公式: ( (g . 6 v 2 ， 一 ， . e v 2 g )a s 一 i (g s l p 叼 on一 (0 6 篇) dr . 日 g 二 4 代入格林公式，假设用u 表示电 au-山 占 n口 -一 其 中 格 林 函 数 为 : g 二 土in 上 ， 令 : 沪 。 2 7 c产 浩_ 6 h : g ) n i ls z _ 主二_ a p (j , : g 6 n i 4 a j j * 用-h n -h 7早p - i r k fk 已但 !丛 w 目 j 声 叼 二少 野脸十、 口 - c c , t屯， 口 j j 亡 山1纳廿 ,j k l ij on sn 丈 n ,.y n ,u上 n ,. y f 6 1nrdidco + s y ko n ,. 伍 n ) .j 缨d dr o ( 2 - 3 8 ) 式中， e 。 表 示与i 有 关的 边界 单 元， 。 表 示所 有 边界 单元， ; 为i 点 到目 标点的 距 离， c o s a 是r上 点的 外 法 线向 量 与 从几上 点 指向r 上点 的向 量 之间 夹 角的 余弦 19 。 边界线单元中 线单元各节点坐标为:c x ; , y)i = 1 , 2 线 单 元 内 任 一 点 的 坐 标 为 : 二 二 艺 =v ix i , y =l , n ,y , 1 1 一 万 x l 十 百 x , 1 1 一 2 y i + 2 y 2 一- 击-衬即-叮 华北电力大学工程硕士学位论文 d i = 附; 一 _ (鱼) z 十 ( 鱼 ) : 、 ; v d e a 单位外法线方向为: 厂ay_. a x _ 入i_ 厂a y _ a x _ 、 i = 1一 一e_ t -e. . i -二 二 二 二 二 二 二 二 = 二 二 二 二一 c_ t -c. . 1 - 又 。“ 。 少 vca )2 + (a l2 l a a 夕iil = k 二左 门 ; 书田 l a h ; 书w n ,d r o = ic e 工 ;n ,n , ji l d c 2 - 3 9 7 c = ， i n r d l d i , =一 艺 , n 工 1(v u e ) in jj ld ij id 已 、己 .1.之 艺。 n 户1咋 = - 卫 n 启 、 _ a u : ) n, - e 廿a x 十 y- n , a u、 a y . “ ， 一 e 二 n x( li j 警 .自 、 mid ld -jj jd 与已 ( 2 - 4 0 ) 一 y j n ,y i n s c d .n k 一 事 f n ; y f in ,f争 价马叭 j价 . . jj j d - j ( 2 - 4 1 ) 又p 因此 ，故 几刘 筑 二 p i n r d s d r , = 0 ( 2 - 4 2 ) ( 2 - 3 8 )可表示:a u =c十 d u 也就是:( a 一 d ) u = c ( 2 - 4 3 ) 解线性代数方程组 ( 2 - 4 3 )即可得边界上的电位。 2 ) 当已知边界上的“ ， 令: ， _ 、 _ a u ， 、 ，、 _ ， 水 q盯 ， 用 b 衣 不 ?-1 t刀 木 k u 夏 咖 a 。 二 二 手 工 .n ,n ,d r a = 咚 f , n戈j j d ( 2 - 4 4 ) d o = 菩 , n , l . f n i 全 擎渝d r , r = ，p n ,s p n , r 丫 月 丫 , . , r ij i d 价 ，气 1 w 华北电力大学工程硕士学位论文 c 。 o n , y f en , 。 r d i d i7, = 一 i 上 n ,艺 工 1 n , ( 2 - 4 5 ) in * .ij id ij ld “ 。己 ( 2 - 4 6 ) 又p= 0 ，故 j n 万 a p in r d s d r , 一 。 ( 2 - 4 7 ) 因 此 ( 2 - 3 8 ) 可 表示为:a u = c e + d u 即:c e = ( a 一 d ) u = b ( 2 - 4 8 ) 解线性代数方程组 ( 2 - 4 8 )即可得边界上的法向电场强度。 2 . 4奇异积分的解析处理 当源点单元与场点单元重合时， 源点单元上得积分会出现奇异。用数值积分方法 计算奇异积分， 首先必须以奇异点 场点)为分界点将单元分开两段， 在两段上分别积 分。 但即使如此， 数值解仍难以取得较高精度。 在分成两段得基础上， 若在每段上用解 析积分公式进行积分，则可以消去积分误差。 在长度为l 单元上，令 、 ， 一 巫: ， 二 2 r l 上 1n , in rd x 具 有 解 析 解 ， 可 以 算 出 高 斯 点 上 准 确 的 积 分 值 。 根 据 积 分 运 算 规 贝 “ 有 f in r d r 一 r * in r 一 介 d ln r 一 ; (in r 一 ) 了 r * in r d ; 一 0 .5 ， r - ， in ， 一 扣 .5 r d ln ， 一 0 .5 * r (in r 一 0 .5 ) 形 状函 数 n , = 0 .5 ( 1 一 x ) ;n , = 0 .5 * ( 1 + x ) 可 写 成n一 。 .5 * (1 一 乌; n , = 0 .5 * (1 十 琴 ) l一l 场点单元加权余量积分 ( 即双重线积分的外层线积分) 采用二点高斯积分，设场 点与源单元两个高斯积分点中左边的一个重合，令a = 0 .5 7 7 3 5 0 2 6 9 2 a 当x - a 时，r = x 一 卜 a ) 二 x + a ，则丫= ; ， 一 a 这时 n : = 0 . 5 * ( 1 一 r + a ) :n z = 0 . 5 * ( 1 + r ， 一 a ) r ._ _.r . l r i mr*刀, a x= i t n- jjz . l 二 * 0 . 5* ( 1 一r +“) 一d r 2 华北电力大学工程硕士学位论文 c 。 o n , y f en , 。 r d i d i7, = 一 i 上 n ,艺 工 1 n , ( 2 - 4 5 ) in * .ij id ij ld “ 。己 ( 2 - 4 6 ) 又p= 0 ，故 j n 万 a p in r d s d r , 一 。 ( 2 - 4 7 ) 因 此 ( 2 - 3 8 ) 可 表示为:a u = c e + d u 即:c e = ( a 一 d ) u = b ( 2 - 4 8 ) 解线性代数方程组 ( 2 - 4 8 )即可得边界上的法向电场强度。 2 . 4奇异积分的解析处理 当源点单元与场点单元重合时， 源点单元上得积分会出现奇异。用数值积分方法 计算奇异积分， 首先必须以奇异点 场点)为分界点将单元分开两段， 在两段上分别积 分。 但即使如此， 数值解仍难以取得较高精度。 在分成两段得基础上， 若在每段上用解 析积分公式进行积分，则可以消去积分误差。 在长度为l 单元上，令 、 ， 一 巫: ， 二 2 r l 上 1n , in rd x 具 有 解 析 解 ， 可 以 算 出 高 斯 点 上 准 确 的 积 分 值 。 根 据 积 分 运 算 规 贝 “ 有 f in r d r 一 r * in r 一 介 d ln r 一 ; (in r 一 ) 了 r * in r d ; 一 0 .5 ， r - ， in ， 一 扣 .5 r d ln ， 一 0 .5 * r (in r 一 0 .5 ) 形 状函 数 n , = 0 .5 ( 1 一 x ) ;n , = 0 .5 * ( 1 + x ) 可 写 成