（光学工程专业论文）复宗量光束的传输特性研究.pdf

西南交通大学硕士学位论文第1 页 摘要 本文首先简要的介绍几种复宗量光束的场分布形式，阐述了广义的惠更斯一 # 涅耳衍射积分法( c o l l i n s 公式) 、光束的特征参数及其定义。在此基础上对复宗 光束的传输特性作了深入的研究。 主要工作包括： 从广义惠更斯一菲涅耳衍射积分方程( c o l l i n s 公式) 出发，推导了复宗量厄米一 曲余弦一高斯光束在自由空间传输时的场分布解析式，分析了该光束在自由空间 输时的光强分布特性；基于二阶矩定义，研究了复宗量厄米一双曲余弦一高斯光 隹在自由空间传输时的光斑尺寸、束腰位置和束腰宽度。 详细研究了复宗量双曲余弦平方一高斯光束和双曲正弦平方一高斯光束通过薄透 时的聚焦特性，分析了光束的轴上光强分布和聚焦场的光强分布，讨论了双曲 e 弦平方一高斯光束的焦移。基于二阶矩定义，分别推导了复宗量双曲余弦平方一 e 斯光束和双曲正弦平方一高斯光束的光斑尺寸、束腰宽度及其位置，并对结果作 r 详细的分析和讨论。最后对双曲正弦平方一高斯光束的实际焦点和束腰位置作了 较。 由c o l l i n s 公式，研究了复宗量正弦一高斯光束和复宗量双曲余弦一高斯光束光强 | 布特性。以复宗量正弦一高斯光束和复宗量双曲余弦一高斯光束为典型例，分别 扫二阶矩法和环围功率法计算了光束的束宽，详细地研究了光束通过薄透镜系统 寸的束宽特性，并对两种方法得到的结果作了详细的分析和比较。 挺键词：复宗量光束聚焦特性束宽焦移二阶矩定义环围功率法 ；皇鱼查墨查堂墨圭兰竺垒查墨翌至 a b s t r a c t t h e p r e s e n t t h e s i si s m a i n l y c o n c e m e dw i t ht h e e l e g a n t b e a m p r o p a g a t i o n t a r a c t e r i z a t i o n f i r s t l yi n t e n s i t yd i s t r i b u t i n go fs e v e r a lk i n d so fe l e g a n tb e a m si s l r o d u c e d 。a 1 s oc o n d u c t e di sar e v i e wo nt h eg e n e r a l i z e dh u y g e n s f r e s n e ld i f f r a c t i o n t e g r a l ( c o l l i n sf o r m u l a ) ，b e a mc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r sa n dt h e i rd e f i n i t i o n s o n i c hb a s i s t h ee l e g a n tb e a m sp r o p a g a t i o ni ss t u d i e di nd e t a i l t h em a i nw o r ko ft h i s i s s e r t a t i o ni ss u m m a r i z e da sf o l l o w s ： s t a r t i n gf r o m t h eg e n e r a l i z e d h u y g e n s - f r e s n e l d i f f r a c t i o ni n t e g r a l ( c o l l i n sf o r m u l a ) ，t h e o s e d - f o r mf i l e dd i s t r i b u t i o no f e l e g a n th e r m i t ec o s h g a n s s i a nb e a m si nt h ef r e es p a c ei sd e r i v e d n di n t e n s i t yd i s t r i b u f i o ni ss t u d i e di nt h ef r e es d a c e t h e nb a s e do nt h es e c o n d - o r d e rm o m e n t e t h o d ，t h ed o s e d - f o r me x p r e s s i o no ft h eb e a mw i d t hi so b t a i n e d ，a n dt h eb e a mw a i s tw i d l ha n d a i s t1 0 c a t i o nf o re l e g a n th e r m i t ec o s h g a u s s i a nb e a m s8 r ea l s od e d u c e di nt h ef r e es p a c e f o c u s i n gp r o p s r r i e so fe l e g a n tc u s hs q u a r eg a u s s i a na n ds i n hs q u a r eg a n s s i a nb e a m st h r o u g ha l i ni e n sa r es t u d i e di nd e t a i l a n di n t e n s i t yd i s t r i b u t i o no nt h ea x i sa n df o c u s i n gi n t e n s i t y i s t r i b u t i o na r ea n a l y z e d a l s of o c a ls h i f to fs i n hs q u a r eg a u s s i a nb e a h l sa r es t u d i e d t h e nb a s e d 仰 l es e o o n d - o r d e rm o m e n tm e t h o d ，t h ec l o s e d - f o r me x p r e s s i o no ft h eb e a mw i d t hi so b t a i n e d 。a n d l eb e a mw a i s tw i d t ha n dw a i s t1 0 c a t i o nf o re l e g a n tc o s hs q u a r eg a u s s i a na n ds i a hs q u a r eg a u s s i a n g a i n sa r ea l s od e d u c e d a c o m p a r a t i v es 饥d y o ft h ew a i s tl o c a t i o na n dt h er e a lf o c a l p o i n t ( t h ep o i n t ft h em a x i m u m i n t e n s i t yo u t h ea x i s ) i sm a d e 。s t a r t i n g f r o mt h ec o l l i n s f o r m u l a , i n t e n s i t y d i s t r i b u t i o n p r o p e r t i e s o f e l e g a n t i n g a u s s i a na n de l e g a n tc o s h - g a u s s i a nb e a m sa r es t u d i e d i nt h i sp a d e rb e a mw i d t h s e l e g a n ts i n - g a u s s i a na n de l e g a n tc o s h - g a u s s i a nb e a m st h r o u 曲t h et h i nl e n sa r e a k e na sat y p i c a le x a m p l e ，ad e t a i l e de o m p a r a t i v es t u d yo f 山es e c o n d - o r d e rm o m e n t n e t h o da n dt h ee n c i r c l e d - p o w e rm e t h o di sm a d ea n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sr e s u l t sa r e l l u s t r a t e d t h ec o n c l u s i o nm a d ei nt h i sp a p e ri su s e f u if o rs o m e p r a c t i c a l 叩p l i c a t i o n s t e yw o r d s ：e l e g a n tb e a m sf o c u s i n gp r o p e r t y b e a mw i d t hf o c a ls h i f ts e c o n d - o r d e r u o m e n tm e t h o de n c i r c l e d - p o w e r n e t h o d 西南交通大掌司f 士掌位论文 第一章绪论 在激光技术的应用中，激光光束的传输变换以及光束质量的研究是一个重要 的基础问题。1 9 6 0 年第一台红宝石激光器的阀世极大地推动了激光科学技术的发 展，其中也包括以研究激光束传输变换和光束质量控制为主题的激光光学【卜3 瑚】的 发展。强激光的研究与应用又是激光技术领域的一个重要的发展方向，强激光技 术属于当今世界光学领域的研究前沿之一，是一些与国家利益攸关的重大前沿项 目的推动下发展起来的，有重要的应用背景和深远的科学意义。因此，世界各先 进国家竟相投入大量的人力、物力和财力进行强激光技术的研究，其中强激光的 传输与控制技术是各国激光科学家和研究者们极为感兴趣的研究内容之一。 1 1 复宗量光束 上世纪末，c a s p c r s o n 等人引入了所谓的厄米一正弦类一高斯光束【年6 】，同时 他们证明了这类光束仍是波动方程在旁轴近似下的特解。这类光束代表着广泛的 一类光束，如双盟正弦类一高斯光束、正弦类高斯光束、及其复宗量形式均为其 特例，并己做了广泛的研究。下面简要的介绍一下其中的几种复宗量光束。 1 1 1 复宗量厄米一双曲余弦一高斯光束 在z - - - o 入射面上，复宗量厄米双曲余弦高斯光束的场分布： ，y 2 、 一t e 0 ) 一e x p l 一二 1 日，( 2 ：0 c o s h ( a + 妒扛】 ( 1 1 1 ) k w o 其中，为基模高斯光束z 方向上的束腰宽度，日。仁) 为m 阶厄米函数，c o s h 为双曲余弦函数，口，卢是与双曲余弦项有关的参数。厄米双曲余弦一高斯光束是 近轴近似波动方城在直角坐标系下的解，对该光束的很多特性都做了详细的研究， 而未见关于复宗量厄米- 双曲余弦高斯光束的报道。在本文的第二章中，对复宗量 厄米一双曲余弦- 高斯光束在自由空间的传输特性做了详细的研究，重点分析了复宗 量厄米- 双曲余弦高斯光束在自由空间传输时的光斑尺寸、柬骚宽度及其位置的特 性。 1 1 2 复宗量双曲余弦一高斯光束 若( 1 1 1 ) 式中，阶数m = o ，复宗量厄米双曲余弦高斯光束退化为复宗量 双曲余弦一高斯光束。在z = o 在入射面上，复宗量双曲余弦高斯光束的场分布： 荆一p ( - 剥啪删z ， 江地， 1w o 西南交通大掌硕士掌位论文 其中，w 。为基模高斯光束x 方向上的柬腰宽度，口，芦是与双曲余弦项有关的参数。 复宗量双曲余弦高斯光束的光束参数选择适当时在入射面可获得近平顶的光强 分布，且当复宗量双曲余弦通过薄透镜传输时通过改变光束参数a 、b 在聚焦场 中一段范围内也可以得到近平顶的光强分布，从而有望在某些领域得到应用。 1 ，1 。3 复宗量双曲余弦平方一高斯光束 在z = 0 入射面上，复宗量双曲余弦平方一高斯光束的场分布函数为： 2 、 一一 e ( x ) 一e x p l 一三了i c o s h 2 盼+ 卢b 】 ( 1 1 3 ) ， 其中，是基模高斯光束x 方向上的束腰宽度，口，卢是与复宗量双曲余弦平方 ( c o s h 2 ) 因子相关的参数。复宗量双曲余弦平方。高斯光束可以由高斯光束和复 宗量双曲余弦高斯光束按一定的比例叠加得到，所以复宗量双曲余弦平方高斯光 束也是近轴近似下波动方城在直角坐标系下的解。并且复宗量双曲余弦平方，高斯 光束在入射面的光强分布比复宗量双曲余弦高斯光束在入射面的光强分布有更 好的平顶效果【1 9 】。 1 1 4 双曲正弦平方一高斯光束 在z = 0 入射面上双曲正弦平方高斯光束的场分布函数为： ，v 2 、， e 0 ) ；e x p | - 与l s i n 9 2 k j ( 1 1 4 ) ， 其中，w 0 是基模高斯光束x 方向上的束腰宽度，a 是与双曲正弦平方( s i n h ：) 因 子相关的参数。双曲正弦平方一高斯光束可以由高斯光束和双曲余弦高斯光束叠加 得到，所以双曲正弦平方一高斯光束也是波动方城在旁轴近似下的解。双曲正弦平 方高斯光束在入射面由中心凹陷，即，( o ) ；l e ( o ) 1 2 。 1 1 5 复宗量正弦一高斯光束 在z = o 入射面上，复宗量正弦高斯光束的场分布： 粥一p ( - 之w 0 卜c 川例 ， ij 其中，w o 为基模高斯场光束x 方向上的束腰宽度，a ，口是与正弦项有关的参数。 正弦高斯光束和双曲正弦- 高斯光束可视为复宗量i e 弦高斯光束的特例。 1 2 激光光束传输变换的研究方法 基于麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组的经典电磁理论是激光传输变换研究的主 要理论基础，在数学上归结为如何求解波动方程或衍射积分方程。可以用多种方 法研究光束的传输交换特性，比较常用的有1 1 3 1 ：几何光学方法、矩阵光学方法、 西南交通大学司陆学位 l 二乏 波动方程方法、衍射积分方法、傅里叶光学方法、w i g n e r 分布函数方法、算子光 学方法等。在本论文中是应用衍射积分方法来研究光束传输变换，这里我们只阐 述衍射积分方法。 1 2 1 经典标量衍射理论的基本公式 经典标量衍射理论中的基本公式是菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式 驰：m ) = 皇胪。y ，) 型等等竺，咖。 ( 1 2 1 ) 式中e ，0 ，y 。) 、e ：o ：，y ：) 分别是光场在源点和场点的复振幅。p 是源点与场 点间距离( 1 + c o s o ) 2 为倾斜因子，0 为s 面上源点处0 。，y 。) 的法线与p 的夹角， 是波长，k 一幼a 是波数。 当满足菲涅耳近似条件：衍射面与观察面间距离l 远大于衍射孔径和观察区的 线度，即 p - l ，c o s o 一1 ，l i x 2 工1i , i y 2 一y li( 1 2 2 ) 则( 1 2 1 ) 式可化简为惠更斯一菲涅耳( h u y g e n s - f r e s n e l ) 衍射积分公式( 简称菲涅 耳衍射积分) ： e ：。：，y ：) 一去e x p ( _ 跹l 俨瓴，y ；) e x p 一瓦i k r ：2 一工：) + ( y ；一y ? ) 耳出。方， ( 1 2 3 ) 若进一步增大，使之满足夫朗禾费条件 b ，鲁孵+ y ；) 一 ( 1 2 4 ) 则( 1 2 ，3 ) 式化简为夫朗禾费衍射积分公式 吲b 蚴。e x p 一址卜毫笋) 妒舭，叶差l ( x , x z + y , y 2 ) d x l d y ， ( 1 2 5 ) ( 1 2 1 ) ，( 1 2 3 ) 和( 1 2 5 ) 是经典标量衍射理论中的基本公式。但当衍射面和观 察面之间不再是自由空闻而是复杂光学系统时，惠更斯一菲涅耳衍射积分公式 f 1 2 3 ) 不再适用，而需要推广。 1 2 2 柯林斯公式 柯林斯( c o l l i n s ) 对经典衍射理论进行了有方法性意义的推广，他证明：当任 一相干光场通过一个a b c d 矩阵表征的复杂光学系统时，惠更斯一菲涅耳衍射积 分公式应推广为 _ e z y 2 ) 2 志e x p ( f 西南交通犬掌硕士掌位论文 x e ：( x i , y i ) e x p 虮e 州- 1 a 矧北咖，2 固 式中l 是轴上光程。上式就是广义惠更斯一菲涅耳衍射积分公式，也称柯林斯公 式。如果光学系统具有轴对称性，则柯林斯公式可化简为 e z 。z y 2 ) 2 壶e x p j p ， ，) ，。) e x p 一尝b 。；+ y ：) 一2 。l x 2 + y x y 2 ) + d 。；+ y ；) 斗出，咖。 ( 1 2 7 ) 在直角坐标系中，若入射光束的场分布为e 。0 ) ，该光束通过a b c d 矩阵表 征的无光阑光学系统传输时，c o l l i n s 公式又可迸一步简化为 e 。翻。去妒。) e x p ( 一啬k ；一獗。+ m 2 ) 卜。 c 2 8 ， 1 3 激光光束特征参数 在激光的实际应用中，除了对输出功率( 能量) 、效率和稳定性等有要求外， 光束质量也是一个重要的指标，实际上，对光束传输变换的研究是以光束质量【3 5 4 7 】 控制为主要目的。在激光的发展史中，曾针对不同的应用目的选用不同的评价参 数，例如远场发散角、聚焦光斑尺寸、斯特列尔( s t r e h l ) 比、光束传输因子( 严 因子) 、桶中功率( p i b ) ( 或桶中能量) 等，作为评价光束质量的标准。此外，激 光光斑尺寸和激光束腰宽度也是衡量激光束的重要参数。因为激光加工的质量与 激光功率、光束的模结构及聚焦光斑形态等密切相关。在本论文中，我们选用了 激光光斑尺寸、激光束腰宽度【1 7 - ”】作为评价光束质量的参数。 1 3 1 聚焦光斑尺寸 用聚焦光斑尺寸作为衡量光束质量的标准是一种较为直观而简便的方法。设 聚焦光学系统的焦距为，光阑孔径为d ，在理想情况下均匀平面波聚焦后爱里斑 ( a i r y ) 的宽度为： 口。1 2 2 丛 d 即可以聚焦到波长的两级。若实际激光束 聚焦光斑尺寸为a 的倍，则称为倍 衍射极限。 一般而言，焦斑的大小除与聚焦激光 束本身特性有关外，还与所选的聚焦光学 ( 1 3 1 ) 西南变通大掣硕士掌位论文 系统有关。并且，焦斑尺寸越小，光束的图1 3 ，1 远场发散角就越大，准值距离也越短，因此只用聚焦光斑尺寸一个参数作为光束 质量判据是不够的。 1 3 2 远场发散角一，口值 激光远场发散角0 的大小决定激光束可传输多远的距离而不明显发散开来， 它也与可聚焦多少能量( 功率) 有关，是激光许多实际应用中常作为判断光束质 量的参数。设激光束沿着z 轴传输，束宽为w ( z 1 ，定义远场发散角为 0 ：l i m w ( z ) ( 1 3 2 ) 除0 外，有些文献上还用卢值来作为光束质量的判据 卢= 嚣糟糕 。 理想光束的远场发散角 7 卢值一般大于1 ，卢越接近1 ，光束质量越好，卢= 1 为衍射极限。 1 3 3 斯特列尔比 在大气光学中常用斯特列尔比s 。作为评价光束质量参数，s 。定义为： 。 实际光束焦斑处峰值功率 ，、 o 。面田际焉面蕊疆砑萃 。1 - 3 4 式中s 。s 1 ，s 。越大，则光束质量越高。 1 3 4 束宽 在空间域中，光斑尺寸的常用定义有三种，即去定义、8 6 5 环围功率( 能 量) 和二阶矩定义。 1 1 3 4 1 定义 e 对于旋转对称光束，在光强分布曲线，( ，) 上( r 为径向坐标) ，最大值j 。的 处二点间距离之半定义为束宽m ， j ( m ) = i 笋 ( 1 3 5 ) 1 3 4 2 8 6 5 环围功率( 能量) 也称为8 6 5 环围桶中功率( 能量) ，即把光强分布曲线，( r ) 上占总功率( 能量) 8 6 5 处的二点间距离之半定义为束宽w 。，。 f 肿) r d r = 8 6 5 吲。，( r ) r d r ( 1 3 6 ) 0 西南交通大掌硕士学位论文 1 3 4 3 二阶矩定义 直角坐标系下，在z 处x ，y 方向的光斑尺寸k 、w y 按二阶矩公式定义为： 虬：4 盯：一4 ；* ；。* ( x 。- x - ) 2 l ( x , y , z ) d x d y ( 1 3 7 ) l 一；，y ，z ) , u a y w ，：舶；：生唑2 竺型竺 。m 。 工。l l ( x ，y ，z ) d x d y 一阶矩( “重心”位置坐标) i ，y - 夏：上点兰堕：丝 ( 1 3 9 ) l j = 。l ( x ，y , z ) a x a y f ：f _ ：y t ( x , y , z ) d x d y ( 1 3 1 0 ) l 工。t ( x ，y ，z ) a x a y 对于基模高斯光束，上述三种定义完全一致。但对于高阶高斯光束和其它光 束，用不同的定义式可能会得到不同的结果。其中以束宽的二阶矩定义在理论上 最为严格，而实际应用中以8 6 5 桶中功率( 能量) 测量束宽较为方便。 1 3 5 2 因子 严也叫光束传输因子，是由s i e g m a n 教授明确提出的常作为评价激光光束 质量的重要参数之一。可以证明，光束通过近轴a b c d 光学系统时m 2 因子是一 个传输不变量，而且基于二阶矩定义的光斑尺寸在自由空间按双曲线规律传输。 在实际应用中，对追求以基模高斯光束为理想光束著作为比较标准的情况下，铲 因子可以作为“光束质量因子”，用以衡量激光光束质量。在近轴近似下m ：1 。 吖2 因子越大，则光束质量越差。 ，因子定义为： 。，： 实际光束的空间束宽积 ，。 理想光束的空间束宽积 “ 空间束宽积是指光束在空间域中的宽度( 光腰束宽) 和在空间频率域中的角谱宽 度( 远场发散角) 即： 。，： 实际光束的束腰宽度和远场发散角的乘积， 、 一 理想光束的束腰宽度和远场发散角的乘积 “ 由上式可以看出 矿因子同时考虑了束宽和远场发散角的变化对激光束的影响。一 般情况下，激光束在通过理想的无衍射、无相差光学系统时，光束参数乘积是一 个不变量，避免了只用聚焦光斑尺寸或远场发散角作为光束质量判据带来的不确 定性。 西南空通大学硕士擎位论文 1 4 论文的选题和论文内容安排 强激光是指高功率、高能量的激光，强激光的研究与应用是当今激光高科技 发展的一个重要的方向。世界各先进国家竞相发展高功率、高能量激光系统。这 给光束的在激光系统中的传输变换特性研究提供了一个继续发展的平台。 在强激光技术研究领域，需要处理高功率、高能量激光光束的各类传输变换、 光束的控制以及实际强激光光束质量的评价和测量等问题。这些问题具有相当的 复杂性，是国际专家们正在努力研究的前沿课题。这些问题的研究不仅有重要而 深远的学术意义，后具有重要的应用背景和实际的应用价值，它会影响激光工程 设计的质量和效费比。在一些与国家攸关的重大前沿项目的推动下，世界上许多 国家竟相投入大量的人力、物力、财力进行光束传输的理论和实验研究。 光束的聚焦是获得更高功率密度、更小光斑的重要手段之一，因此在实际应 用中的重要性引起了人们的极大兴趣。本文对复宗量- 厄米双曲余弦高斯光束、复 宗量双曲余弦高斯光束、复宗量双曲余弦平方高斯光束、双曲正弦平方高斯光 束和复宗量正弦高斯光束在不同光学系统中传输时的光强分布、传输过程中光斑 尺寸的变化、束腰宽度以及束腰位置都作了详细的研究；分析了复宗量双曲余弦 平方高斯光束和双曲正弦平方高斯光束通过透镜系统后轴上光强最大点位置和 束腰位置的关系；对复宗量正弦高斯光束和复宗量双曲余弦高斯光束都分别利用 二阶矩定义法和环围功率法进行理论推导和数值计算了光束的柬宽，比较了两种 方法得到束腰宽度和束腰位置的差异。 本论文内容安排如下： 第一章：绪论，简要介绍了几种复宗量光束在入射面的场分布形式；阐述了 强激光的研究方法，介绍了光束质量的定义以及研究方法；最后介绍了复宗量光 束传输特性研究的目的、意义和发展。 第二章：复宗量厄米双曲余弦高斯光束的传输特性，由c o l l i n s 公式出发， 推导出了复宗量厄米双曲余弦高斯光束的在自由空间传输时的场分布解析式，研 究了该光束在自由空间传输时的光强分布特性，基于二阶矩定义，详细研究了复 宗量厄米- 双曲余弦高斯光束在自由空间传输时的光斑尺寸、柬腰位置以及束腰宽 度，分析了光束参数对束宽和束腰位置的影响。 第三章：复宗量双曲余弦平方。高斯光束和双曲正弦平方一高斯光束的聚焦特 性，对复宗量双曲余弦平方高斯光束和双曲正弦平方高斯光束通过薄透镜系统的 聚焦光强分布、光斑尺寸、束腰宽度及其位置进行了分析研究，通过定量计算比 较了束腰位置和光强最大点位置差异。 西南交通大掌硕士掌位论文第8 页 第四章：用二阶矩法和环围功率法计算光束柬宽的比较，以复宗量正弦一高斯 光束( 轴上光强为零) 和复宗量双曲余弦高斯光束( 轴上光强不为零) 为典型例， 分别利用环围功率法和二阶矩定义法对两光束通过薄透镜时的束宽进行了详细的 研究，通过定量计算对处理束宽的两种方法进行了详细的比较。 最后对本文得到的主要结果进行了总结。 西南交通太掌硕士掌位论文第9 页 第二章复宗量厄米一双曲余弦一高 斯光束的传输特性 本章主要研究了复宗量厄米双曲余弦高斯光束( c o m p l e x a r g u m e n t h e r m i t e c o s h g a u s s i a nb e a m ) 的些基本特性，其中复宗量是指与双曲余弦有关 的参数为复数。从c o l l i n s 公式出发，导出了复宗量厄米双曲余弦高斯光束在自 由空间传输时场分布的解析表达式；基于二阶矩定义，推导了复宗量厄米双曲余 弦高斯光束的光斑尺寸表达式，同时得到了束腰宽度及其位置的解析式，作为特 例给出了厄米- 双曲余弦( 余弦) 高斯光束、双曲余弦( 余弦) 高斯光束、厄米 高斯光束、高斯光束和复宗量双曲余弦高斯光束在自由空闰传输时的光斑尺寸、 束腰宽度和束腰位置的解析式。 2 1 复宗量厄米一双曲余弦一高斯光束的光强分布特性 2 1 ，1 复宗量厄米一双曲余弦一高斯光束的传输解析式 在直角坐标系中z ；o 平面上，复宗量厄米双曲余弦高斯光束的场分布为： e 0 ) 一以( 在意) e x p ( - 嚣) c o s h 【( 泸瑚 c 2 j 其中，w 0 为基模高斯光束工方向的束腰宽度，h 。o ) 为m 阶厄米函数，c o s h 为双 曲余弦函数，口、声是与双曲余弦函数有关的参数。 则，入射面的光强分布为： ，。，o ) = 丢卜，( 压百xj j 2 e 冲( - 等) b s h ( 2 唧) + c o s ( 2 肛) c 2 工z ， 依据光束传输理论，复宗量厄米双曲余弦一高斯光束通过a b c d 矩阵表征的 一阶光学系统传输时，其衍射场分布由c o l l i n s 公式给出 e 。力3 1 去p 。o ) e x p _ 去k ；一搬。+ m 2 ) 卜 2 l 3 ) 其中，e 0 。，0 ) 为入射面上的场分布，k 为波数，九为波长。a 、b 和d 是a b c d 光 学系统的变换矩阵元素。 若光束在自由空间传输时有： 西南交通大尊蜢受士掌位论文，书1 0 页 ( 三州 眨， 将( 2 1 1 ) 和( 2 1 4 ) 式代入( 2 1 3 ) 式经过复杂的运算得 刚一贰导厂压唧 号筹著忖南z “ h 攀i + z 石) 日。【2 x 剧 - i z m ( a + ，2 j i b ) 一( _ 等z 川锵 ( 2 1 5 ) 其中，：x ，帆和z 。z z 。为归一化坐标，a ，w 。g ，b ：w 8 为光素参数， z 。，单。 复宗量厄米双曲余弦高斯光束的光强为： j g ，z ) = e 似，z ) e ，z ) ( 2 1 6 ) 其中，e 0 ，z ) 是e ，z ) 的复共轭，e 瓴z ) 由( 2 1 5 ) 给出。 2 1 2 数值计算 图2 - 1 1 为复宗量厄米双曲余弦高斯光束在入射面上的光强分布图，由图 2 1 1 ( a ) 可以看出光束的阶数越大( m ，1 ) ，两主瓣间距离越大，能量越不集中， 光斑尺寸也会越大。由图2 - 1 1 ( b ) 可看出，当参数4 和光束的阶数m ( m ；3 ) 相同的情况下，参数口越大，光强的两主瓣间距越大。由图2 1 1 ( c ) 和( 2 1 1 ) 式可以看出，厄米双曲余弦高斯光束的光强分布( 复宗量厄米双曲余弦高斯光 束中b t 0 ) 是复宗囊厄米双曲余弦一高斯函数的包络。 图2 1 2 为复宗量厄米双曲余弦一高斯光束在自由空间传输时，z 轴上的相对 光强分布图。由( 2 1 5 ) 式可知，g n 为奇数时，轴上光强为零，因此这里我们只 考虑m 为偶数时的情况。图2 - 1 。2 ( a ) 为厄米余弦高斯光束在z 轴上的光强分布， 由图可以看出，参数b 越大，轴上光强分布就越复杂，轴上光强极值点越多，当b ( b ；5 ) 较大时，轴上光强的最大值不在z 一0 处。 西南交通太掌硕士掌位论文第1 1 页 羹 量 砒 ( a ) 誉 喜 毒 x w o ( b ) x w o ( c ) 图2 1 - 1 复宗量厄米- 双曲余弦高斯光束在入射面上的光强分布图 ( a ) 4 1 ，6 ；1 ( b ) m = 3 ，6 = 1 ( c ) 吐；1 ，7 = 2 目月er一笱5r 答萋o誓 l|l萄苎r蘑星百兽 西南交通大掌硕士掌位论文第1 2 贾 孚 罴 兽 耷 霎 8 s 董 耳 鼍 图2 - 1 2 复宗量厄米双曲余弦一高斯光束在z 轴上的光强分布图a 一1 ，卅= 2 2 2 复宗量厄米一双曲余弦一高斯光束在自由空间传输时光束的束 腰宽度及其位置 2 2 1 理论推导 由空间域的二阶矩定义 以2 。譬 ( 2 2 1 ) 其中， i ；乓娄皇兰坐为空间域的一阶矩，。e ( 薯：皿+ 。，：) ，e + ，：) 是 工。，o ，2 ) d x e ( x ，z ) 的复共轭。由复宗量厄米一双曲余弦高斯光束的对称性知： 牙= 0 ( 2 2 2 ) 露鲁霄9r 西南交通大学硕士学位论文第1 3 页 将( 2 1 6 ) 式代人( 2 2 1 ) 式，经过复杂的运算得 。2 一 一 1 “l o m ( _ 口2 ) e x ，( 譬) + b 0 2 ) e x 一i 5 2 ) 要 ( 1 + zr 2 k + 1 ) 工：+ 。( _ a2 ) + 2 0 _ z r 2 k ：e 一，( - a2 ) 一2 a 6 z 蛾( _ a2 ) 砌嘁t1 一。+ 2 ) ，z 如“2 ( 6 2 卧n 2 晒 一2 ( 1 _ zr 2 b 2 工。2 ( 6 2 ) 一2 n 如e ( 6 2 ) 一2 a k j - i 。( 6 2 ) + ( 1 + z t 2 k ：一。( 6 2 ) b z t 2 每2 一n2 溉g 2 ( 2 2 3 ) 其中，圮表示拉盖尔多项式。 利用光斑尺寸w ( z ) 与二阶矩的关系： w 2 0 ) - 4 0 ，2 ( 2 2 4 ) 将( 2 2 3 ) 式代入( 2 2 4 ) 式得光斑尺寸的解析式： 吮m + 嚎 2 m 其中， p 一+ 2 k 。+ ( 1 + 帆扣) 也2 e 。唧 + k h 2 ) + ( 1 + 帆肌犹k 啡冲 ( 2 2 m 栌一而碍手瓦两 。 z 。a 匠：一，( 一n 2 ) + ：( 一n 2 ) e x p ( 譬) + z n e 院- ( 6 2 ) + 工：( 。2 ) e x p ( 一譬) c 2 z ， 西南交遣大掌硕士学位论文 h 而两手两相 p 一m 帆) 化2 靠- 唧( 譬) + 陋。g ：) + l 。0 z ) + m l 。0 z ) 一2 3 z e 。g z ) 】e x p f - 譬1 ( 2 _ 2 8 2 ) 二j 由( 2 2 6 ) 式一( 2 2 8 ) 式可知，p 、口和，只和光束阶数m 和光束参数乳b 有关，和传输距离孑无关。( 2 2 5 ) 式即为复宗量厄米双曲余弦高斯光束在自由 空间传输时光班尺寸平方的解析表达式，它是传输距离的二次函数。由( 2 2 5 ) 式可以看出复宗量厄米双曲余弦高斯光束的光斑尺寸与厄米函数的阶数m 、参 数a 、b 及传输距离z 有关。 令 d 眇0 ) 出一0 得柬腰位置 ( 2 2 9 ) z w 。毒z 。 q 2 j 分析( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 和( 2 2 1 0 ) 式可知，当a b = 0 时，束腰位置z 。= 0 ，即， 束腰位于z = 0 平面上；若a b # 0 ，其束腰不再位于z = o 平面上，复宗量厄米双 曲余弦一高斯光束的束腰位置是厄米函数的阶数m 和参数n ，b 的函数。 将( 2 2 1 0 ) 式代入( 2 2 5 ) 式得复宗量厄米双曲余弦高斯光束的柬腰宽度 为 一w o 厩 ( 2 2 1 1 ) 2 2 ，2 特例 2 2 2 2 月= 1 时，复宗量厄米一双曲余弦一高斯光束的束腰宽度及其位置 2 2 5 ) 、( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 1 1 ) 式分别给出的是具有广泛意义的复宗量厄米一 双曲余弦一高斯光束的光斑尺寸、束腰位置和柬腰宽度，当力= 1 时，由( 2 2 5 ) 、 ( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 1 1 ) 式可以分别得到其具体的复宗量厄米一双曲余弦一高斯光束 的光斑尺寸、束腰位置和束腰宽度为： 西南交通大掌硕士掌位论文第1 5 页 其中，p 一 ( 1 + a 2 ) e x p ( 譬) + ( 1 6 2 ) e x 。( 一譬) ( 2 2 1 2 ) 即m n2 州讣乩a 2 m 。2 州孚) ( 2 2 1 3 ) 日_ 一 2 a b ! + a 2 1 e x p + 2 a b ! - b 21 e x p - ( 1 + 口2 ) c ：x p ( 譬) + ( 1 6 2 ) c ：x p ( 一譬) ! ：! ：型兰出! 尘= ( ：室 束腰位置为： z 。= 1 + o e ：x p ( 譬) + ( 1 6 2 ) e x p ( 一譬) ：怔竺：型兰) s 。n 3 + b + a 2 ( 1 ) 】e x p ( 华) 一阶复宗量厄米双曲余弦高斯光束的束腰宽度为： 咖污 ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) z o ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 其中，p 、q 和r 分别由( 2 2 1 3 ) 、( 2 2 1 4 ) 和( 2 2 1 5 ) 式给出。 2 2 2 2 复宗量双曲余弦一高斯光束的束腰宽度及其位置 若所= 0 ，复宗量厄米双曲余弦高斯光束退化为复宗量双曲余弦高斯 ( e l e g a n tc o s h - g a u s s i a n - - e c h g ) 光束，由( 2 2 5 ) 式得复宗量双曲余弦一高斯光 束的光斑尺寸表示为： r+ 三瓦 g + 2 l 三 = 酽 西南交通大学硕士学位论文第1 6 页 竿2 十 而篇南惭一面嚣丽 +1+62一j_(22181e x p ( a b ) + 2 + 2 ) 2 则复宗量双曲余弦高斯光束的束腰位置为： z c g e h g ) w2 而可五卷赢而i ( 2 2 1 9 ) 将( 2 2 1 9 ) 式代入( 2 2 1 8 ) 式得束腰宽度为： l j r ( e c h g ) o m w 0 1 ( 1 + a1 + + b 6 2 2 - 一f f ) ( 1 - f ) ( 2 2 2 0 ) 其中， 2 2 2 3 双曲余弦( 余弦) 一高斯光束的束腰宽度及其位置 若b = 0 、m = 0 ，复宗量厄米一双曲余弦高斯光束退化为双曲余弦高斯 ( c o s h g a u s s i a n - - c h g ) 光束，由( 2 2 1 5 ) 式得双曲余弦高斯光束的光斑尺寸 表示为： 警十 高小去泣2 m ， 双曲余弦高斯光束的束腰位置： z f “g h = 0 ( 2 2 2 2 ) 将( 2 2 2 2 ) 式代入( 2 2 2 1 ) 式得双曲余弦高斯光束得束腰宽度： 鳖w 0 一卜斋 眩2 ， 在( 2 2 2 1 ) 式( 2 2 2 3 ) 式中如果令a = i b ，可以得到余弦一高斯光束的光斑尺寸、 束腰位置和束腰宽度的解析式，与文献【1 8 】中一致。 2 2 2 4 厄米一双曲余弦( 余弦) 一高斯光束的束腰宽度及其位置 若b = 0 ，复宗量厄米- 双曲余弦高斯光束退化为厄米双曲余弦高斯( h e r m i t e c o s h g a u s s i a n - - h c h g ) 光束，由( 2 2 5 ) 式得厄米双曲余弦一高斯光束的光斑尺 西南交通大掌硕士学位论文第1 7 页 寸表示为： 砰么 g 。( z ) 1 w 0 21 + e ( 一a2 ) e x p ( a2 2 ) 恤一a2 + 2 m + k ：一。- a ) _ a2 l i ( - a2 ) + ( i + 卅蜮+ ，- a ) 一2 a2 上：一。- a ) j e x p ( i a2 小引2 + ，+ 拥+ 陋_ ( 。) + ( 1 + m 域, t ( - a z ) + 2 a 2 l 乙( 。) e x ，( 譬) ( 2 2 2 4 ) 由( 2 。2 1 0 ) 式得柬疆位置： z ( m g = 0 ( 2 2 2 5 ) 将( 2 2 2 5 ) 式代入( 2 2 2 4 ) 式得束腰宽度为： 鳖： w o ( 2 2 2 6 ) 在( 2 2 2 4 ) 式一( 2 2 2 6 ) 式中若令aa b ，可以得到厄米余弦高斯光束的光斑 尺寸、束腰位置和束腰宽度的解析式，与文献【1 8 】中一致。 2 2 2 5 厄米一高斯光束的束腰宽度及其位置 若a = 0 ，b = 0 复宗量厄米- 双曲余弦高斯光束退化为厄米高斯( h e r m i t e g a u s s i a n - - h g ) 光束，由( 2 2 5 ) 式得厄米高斯光束的光斑尺寸表示为： 警= ( 1 + z ，z ) 小锄 2 刀， 厄米高斯光束的束腰位置： z f 1 。= 0 ( 2 2 2 8 ) 厄米高斯光束的束腰宽度： 鳖；瓜丽( 2 2 2 9 ) w 0 若坍= 0 ，( 2 2 2 9 ) 式即为基模高斯光束的束腰宽度一w 。，与文献【1 】完全相同。 西南交通夫掌硕士掌位- 玲文第1 8 页 2 2 3 数值计算与分析 图2 2 1 为复宗量厄米双曲余弦高斯光束的相对束腰位置随光束参数的变化 曲线。其中，图2 2 1 ( a ) 为相对束腰位置随参数b 的变化曲线，图2 - 2 1 ( b ) 为 相对束腰位置随参数a 的变化曲线。由图2 2 1 ( a ) 可以看出复宗量厄米双曲余 弦高斯光束的相对束疆位置随b 变化是非单调的，束腰位置随b 的增大先增大而 后减小，即b 增大时，束腰先远离入射面而后又向入射面靠近。当m 一0 时，复宗 量厄米双曲余弦高斯光束退化为厄米高斯光束，在b = 0 8 时束腰与入射面的距 离最远，束腰位置为z 晌。n 一0 7 z o ；当m = 3 时，b = 1 9 5 ，z 。( 。日一o 9 1 2 0 ；当m ；6 时，b 一2 2 2 ，z 。( 。) 一1 0 8 z o ；当m = 9 时，b 一2 4 ，z 。如。x 】一1 1 9 z o a 由图2 _ 2 1 ( a ) 还可以看出阶数m 越大，束腰位置的晟大值就越大。由图2 2 1 ( b ) 可以看 出，复宗量厄米双曲余弦高斯光束的相对束腰位置随着光束参数a 的增大而增 大，即4 越大柬硬越远离入射面。 图2 2 2 为复宗量厄米双曲余弦高斯光束的相对束腰宽度随光束参数b 的 变化曲线。由图可以看出，光束参数4 、b 相同时，光束的阶数m 越大柬腰宽度 就越大，束腰宽度随参数b 的变化情况与参数露的值有关。如图2 2 2 ( a ) 所示， 复宗量双曲余弦高斯光束( 加= 0 ) 的束腰宽度在b 较小( 如b 2 时，相对束腰宽度随参数a 值的增大丽增大，丽当a 5 “，p 1 4 。 4 3 4 e x p 02 2 ) + e x p ( 2 d2 ) 。 1 利用光斑尺寸w (