（电子科学与技术专业论文）beamlet变换理论分析与实用算法研究.pdf

国防科学技术人学研究生院学能论文 a b s t r a c t i nt h ep a s td e c a d e ，an u m b e ro fi n d e p e n d e n td e v e l o p m e n t si nm a t h e m a t i c a la n a l y s i s ，i n c o m p u t e rv i s i o n ，i np a t t e r nr e c o g n i t i o n ，a n di ns t a t i s t i c a la n a l y s i sh a v ei n d e p e n d e n t l yd e v e l o p e d t o o l sa n dt h e o r i e sw h i c hc a nn o wb es e e nt ob ec l o s e l yr e l a t e d ，a sp a r t so fa na r e aw h i c hs h o u l d b ec a l l e dm u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i sh a sb e e ns h o w nt ob ea u s e f u lm a t h e m a t i c a lt o o l f o rm a n yp r a c t i c a la p p l i c a t i o n sa n db e c o m et oaf o c u so fa t t e n t i o n r e c e n t l y t h ea i mo fm u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i si st of i n dak i n do f o p t i m a lr e p r e s e n t a t i o no f h i 曲 d i m e n s i o nf u n c t i o ni nt h es e n s eo fn o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o n b a s e d o nt h en o n l i n e a r a p p r o x i m a t i o no f2 - df u n c t i o n ，t h em a t h e m a t i c a la n dn e u r o p h y s i o l o g i cb a c k g r o u n d so fi m a g e m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i sa l es t u d i e do nt h i sp a p e r , a n di t sd e v e l o p m e n t h i s t o r y , c u r r e n ta n d f u t u r ec h a l l e n g e sa r er e v i e w e di nd e t a i l s t h e r ei se n o r m o u sd i f f i c u l t yw h i l ed e t e c t i n gl i n ei nt h ei m a g e sp o l l u t e ds e r i o u s l yb yt h e n o i s ei nt h et r a d i t i o n a lm e t h o d t h e s ep r o b l e m sb e c o m em o r es e r i o u sw h e nt h ei m a g ei sp o l l u t e d s e r i o u s l yb yt h en o i s e b e a m l e tt r a n s f o r mi so n ek i n do fm u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ( m g a ) d e v e l o p e df a s ti nr e c e n ty e a r s ，e s p e c i a l l ys u i t e dt ot h el i n ed e t e c t i o ni nt h ei m a g e s b e a m l e t sa r e as p e c i a ld y n a m i c a l l yo r g a n i z e dc o l l e c t i o no fl i n e s e g m e n t s ，e x h i b i t i n gar a n g eo fl e n g t h s ， p o s i t i o n sa n do r i e n t a t i o n s t h i sp a p e rd e s c r i b eaf r a m e w o r kf o rm u l t i s c a l ei m a g ea n a l y s i si n w h i c hl i n es e g m e n t sp l a yar o l ea n a l o g o u st ot h er o l ep l a y e db yp o i n t si nw a v e l e ta n a l y s i s t h e s t u d yo nb e a m l e tt h e o r yo ft h i sp a p e rs t i l lb e l o n g st ot h ef i r s tt i m ea th o m e i m p l e m e n t a t i o no f b e a m l e tt r a n s f o r mh a sb e e ns t u d i e di nt h i sp a p e ra n di ti sa p p l i e di nl i n ed e t e c t i o ni nt h ei m a g e s p o l l u t e ds e r i o u s l yb yt h en o i s e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h ep o w e ro f t h i sa p p r o a c h n l ep r a c t i c a la l g o r i t h mo fb e a m l e tt r a n s f o r mi ss t u d i e d s o m ee x p e r i m e n t sa r ed o n et o d e t e c tl i n e i ni m a g e sp o l l u t e ds e r i o u s l yb yt h en o i s e ，s u c ha ss y n t h e t i ca p e r t u r er a d a r ( s a r ) i m a g e ，t ot e s tt h eq u a l i t yo ft h en e wt h e o r y a n ds o m en e wi d e a sa r eb r o u g h ti n t ot h eb e a m l e t m e t h o d t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h eg o o dp e r f o r m a n c eo f t h en e wm e t h o d k e y w o r d s ：i m a g ep r o c e s s i n g ，m u i t i s e a l eg e o m e t r i ca n a l y s e s ，b e a m l e tt r a n s f o r m 第n 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 豳2 1 幽2 2 幽2 3 图2 - 4 图2 5 图2 - 6 图2 7 图2 - 8 图2 - 9 闰2 - 1 0 图2 1 1 图2 1 2 幽2 1 3 图2 1 4 图2 1 5 幽2 1 6 图2 1 7 图2 1 8 图3 1 圈3 - 2 图3 3 图3 - 4 蹦3 5 幽3 - 6 图4 1 图4 2 幽4 3 幽4 - 4 图4 5 圈4 - 6 图5 - l 圈5 - 2 图5 3 幽5 - 4 翻5 5 闰5 - 6 | j f j5 7 圈5 8 蹦5 - 9 幽5 1 0 | j | 5 1 l 图目录 具有光滑边缘的幽像模璎1 0 州张量小波逼近奇异曲线11 用x 1 e t 逼近奇异曲线11 不同比特率下b a n d e l e t 和w a v e l e t 编码器的信噪比1 2 用b a n d e l c l ( 左) 和w a v e l e t ( 2 1 ) 进行幽像压缩1 3 去q 自实验1 3 r i d g e l e t 函数的几种标准变换1 5 r i d g e l e t 变抉流程时1 6 均匀功制17 儿种方法去噪结果比较18 c u r v e l e t 变换示意图】9 十星图像增强结果2 1 c a r v e l e t 变换对遥感豳像增强后的结果2 2 各种多尺度方法对l e n n a 图像去噪后的结果2 4 并种多尺度方法对l e n n a 图像去噪后帽檐矗上角处的局部比较2 4 几种多尺度方法对带噪声的士吊环 璺l 像去噪示的结果2 5 利川w a v e l e t 和c o n t o u r l e t 变换非线性逼近( n l a ) 图像2 8 c o n t o u r l e t 击噪实验2 8 位于不同尺度、位置和方向的b e a m l e t 3 3 h ；| b e a r n l e t 链逼近一条线段3 3 一个数字图像的分段常量插值及它的b e a m l e t 变换。3 4 一个b e a m l e t 在更精细尺度上分解为三个b e a m l e t 3 5 在b e a m l e t 图中不同顶点对应的不同连通性。3 5 用b e a m l e t 图和最近邻豳逼近一条线段3 6 噪声l 璺l 像中检溯线段的存在3 8 毕加索原幽3 8 对毕加索图像在儿个尺度上进行简单的闽值处理并委构圈像3 9 一个完整的递归二进分割利它的树结构3 9 一个不完籀的递5 i q - - 进分削和它的树结构4 0 一个b e a m l e t 修饰的不完糍递归二进分割( b d - r d p ) 和与它相芙联的树结构4 l 料序流捍图4 4 对三角形图像进行b e a m l e t 抽取4 5 边缘检测结果4 6 对= 角形原削像进行h o u g h 变换结果4 6 对三角形加噪图像进行h o u g h 变换结果4 7 关国新墨西哥州阿尔伯克基城附近的一个农舍4 7 s a r 图像中道路提取结果4 8 r a d o n 变换域空间4 8 对戮s - c a ) 进行h o u g h 变换结果4 8 美国弧利桑那州非尼克斯城附近的马利柯帕农业中心4 9 s a r 图像中道路提取结果4 9 第页 曼堕型璺垫查点堂婴窒生些堂堡堡苎 豳5 - 1 2 对| 鳌l5 lk a ) 进行h o u g h 变换结果5 0 酗5 1 3 原始s a r 图像5 0 幽5 1 4 处理结果幽。b c a m l e t 个数为7 0 5 0 表目录 表2 1l e n n a 图像去噪结果对比2 3 第l v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包台为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材_ 料与我一同工作的同惑对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目： 堡垒鲤! 璺i 塞燕翌诠佥拯盏塞团簋洼噩盔 学位论文作者签名：盘盔庞 日期：肼年，月，五日 本人完全了解国防科举技术大学有关保留，使用学位论文曲规定本人授权 国防科学技术大学可以保留并向围索有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容蝙入有关散据 库进行检索。可以采用影印、缩印或扫描莽复翻手段保存，汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目：曼垒曼里! 曼! 盔基墨i 捡蕴盏塞厦差洼登窥 学位论文作者签名：叁叠己农一一一 日期：力刮眸，月瞳日 作者指导教师签名：绽缓整 甘期：2 竹年i t 月矽日 里堕型竺丝查叁兰竺壅生坚兰堡笙苎 第一章绪论 1 1 研究的内容与意义 数字图像处理即利用计算机对模拟量图像进行数字化、滤波、去噪声、分析和判断等 处理过程，是以计算机为基础的信息技术中的一门新兴科学。由于视觉是人类最重要的感 知手段，图像又是视觉的基础，因而数字图像处理成为研究军事、遥感、气象及医学影像 等视觉感知领域的重要手段。 图像在生成和传输过程中经常受到各种噪声源的干扰和影响而使图像质量变差，为了 抑制噪声，改善图像质量，必须对图像进行处理。在平滑噪声的同时，要注意保持边界的 清晰。 传统的目标图像分割方法在噪声比较弱的情况下还可以较完整的分割出目标区域，但 在噪声严重的情况下。往往无能为力。在大噪声，复杂背景下，轮廓断断续续或者残缺。 很难分割出目标区域，导致后续特征提取与识别的失败。 d a v i d l d o n o h o 和x i a o m i n g h u o ( 霍晓明) 在2 0 0 0 年提出了一种新的多分辨率图像分 析框架，在这个框架下，线段扮演的角色类似于点在小波分析中扮演的角色，称之为b e a m l e t 分析。 b e a m l e t 扮演了一个基本的理论逼进角色。b e a m l e t 链提供了对平面上精密曲线的稀 疏逼进表示，在一定意义上最优的稀疏。b e a m l e t 理论对于含噪声的细丝检测和边界寻找 问题提供了正确的数据结构。b e a m l e t 金字塔包含图像在所有尺度和位置上对线段的积 分。在某些信号检测问题中，通常的基于像素级滤波的探测器有很差的信噪比，因此有较 低的检测概率。然而隐藏在p y r a m i d 中的信息可以以较高的信噪比积分，完成用普通滤波 或者普通边缘检测所不能完成的任务。 b e a m l e t 分析在处理图像目标的边缘或纹理的不连续( 也称为奇异性) 特征较小波变换具 有明显的优越性，在图像处理中渐渐成为人们研究的热点。 1 2 本文的主要研究成果 本文的主要研究成果主要有以下三个方面： i 在研究傅里叶分析和小波分析的基础上，综合研究了最近几年刚刚发展起来的各 种图像多尺度几何分析方法，并进行了实际比较； 2 重点研究了b e a m l e t 变换，进行了理论分析，并对b e a m l e t 理论进行了优化； 3 对于实际的情况，设计出实用的算法对s a r 图像进行处理，取得了较满意的效果。 1 3 本文的内容安排 论文分六章对本文的研究内容进行介绍。 第一章是绪论部分，介绍了本课题的研究背景、意义及主要研究成果。 第二章简要介绍了几种图像的多尺度几何分析方法，b a n d e l e t ，r i d g e l e t ，c u r v e l e t ， 第1 页 国防科学技术火学研究生院学位论文 c o n t o u r l c t 等，指出了它们各自的优缺点，并提供实验图像。 第三章对b e a m l e t 变换进行了理论上的分析。 第四章研究了b c a m l c t 变换的实用算法。 第五章给出了本文研究算法的实现方法，给出实验结果，并与传统的处理方法做比较。 第六章是结束语。 第2 页 国防科学技术人学研究生院学何论文 2 1 1 傅里叶变换 第二章图像的多尺度几何分析 2 1 概述 傅里叶变换( f o u r i e r t r a n s f o r m ) ”j 是近代分析数学的中心内容，它也是众多科学领域( 特 别是信号和图像处理。量子物理等1 里的重要的应用工具之一。傅里叶分析的思想在于将一 般的函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加，从而将对原来的函数( 在时域里) 的 研究转化为对这个叠加的权系数，即傅里叶变换( 在频域里) 的研究。 大约在1 8 2 2 年。法国著名数学、物理学家傅里叶( f o u r i e r , 1 7 8 6 1 8 3 0 ) 从热力学的角度 提出一种新的理论即“热的解析理论”，这种理论以一种全新的观点对当时的分析领域产生 了极为重要的影响，使数学、物理等学科发生了很大的变化，并引起众多科学家的广泛关 注，后被誉为傅里叶分析方法。但傅晕叶提出的这种方法仅仅是一种理论，尚不能具体进 行应用。1 8 6 5 年，美国贝尔实验室的c o o l e y 、t u k e y 两位工程师综合前人的研究成果，在 大量计算机模拟的基础上。提出了影响深远的快速傅里叶变换即f f t 。从此，傅里叶分析 方法从理论走向实践。十分自然地将许多学科统一起来，很难发现一f - j 自然科学或工程技 术不与傅里叶方法发生联系。 傅里叶变换为 f ( ) = s f ( t ) e “d t 傅晕叶逆交换为：+ ，( r ) = 去! f ( 脚) e d 甜 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 且傅晕叶变换是互逆的，即：，( ，) f ( c o ) 傅里叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1 8 0 7 年开始直到1 9 6 6 年 ( 1 8 0 7 年傅里叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅罩叶级数的结论是有误的，直到 1 9 6 6 年才证明了r 可积的周期函数才能表示为傅里叶级数) ，整整用了一个半世纪多，才 发展成熟。它在各个领域产生了深刻的影响，得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。 其原因是，傅晕叶分析不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅里叶变换或傅里 叶积分得到的频谱信息具有物理意义。 遗憾的是，这种理论具有一定的局限性： ( 1 ) 为了用从模拟信号f ( t ) 中提取频谱信息f ( r o ) ，就要取无限的时j 、日j 量，使用过去的 和将来的信号信息只为计算单个频率的频谱； ( 2 ) 在以外空问，变换系数不能刻画出f ( t ) 或f ( x ) 所在的空间； ( 3 ) 傅罩叶变换的三种形式中的傅里叶系数都是常数，不随时自j ，变化，因而只能处理 第3 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会带来很大误差，甚至与实际情 况大相径庭。( 举例：无阻尼与有阻尼的单自由度的自出振动、打秋千、座钟、讨论会与 大合唱等) 。 在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间i 日j 隔内，高频信号衰减了而低 频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。一定要用傅翠叶变换找 出所有时刻的频谱成分，把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅罩叶系数有误 差，低频的傅晕叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。 ( 4 ) 求傅景叶系数是全时间域上的加权平均，局部突变信息被平均掉了，局部突变信 息的作用很难反映出来。差别很大的信号，如方波、三角波、f 弦波，都可以得到相同的 频率，所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。处理、捕捉突变信号应使用 能反映局部信息的变换。 为了克服以上的局限性，这就要求： ( 1 ) 将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。 ( 2 ) 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用有所谓 紧支撑的函数即加窗傅里叶变换的窗函数或“小波函数”。 2 1 2 短时傅里叶变换 短时傅里叶变换也叫窗口傅罩叶变换( g a b o r 变换是它的特例) ，它实际上是一种在所谓 的广义滤波器下进行的分析，由g a b o r 首先系统地使用。其基本思想是：为了达到时域上 的局部化，在傅晕叶变换的基本变换函数前乘上一个时间局部化的函数g ( t ) ，然后用它来 做分析工具。这样，c x p ( - i 国t ) 起频限作用，g ( r ) 起时限作用，合在一起，就可起到时频双 限作用。其基本变换方式为：g ， ，f ) = c f ( t ) g ( t - r ) e 一“击，其中g a b o r1 7 汉g ( t ) 一个 高斯函数，而参数r 用来平移窗口，以便覆盖整个时域。随着f 的变化，g ( t ) 所确定的“时 白j 窗”在f 轴上移动，使，( f ) “逐步”进入被分析的状态，因此g ( f ) 往往被称为窗函数。g ( 出，f ) 大致反映了f ( t ) 在时刻f 时频率为m 的“信号成分”的相对含量。 函数在时域与频域上的局部性要从概率分布的意义去理解。从数学上来说，设 g ( ，) t g ( t ) r ( r ) ，则称g ( t ) 是一个窗函数，其中心和半径分别定义为： e ( g ) = e t l g ( g ) 1 2d t l l g l l ；，( g ) = e ( 卜e ( g ) ) 2i g ( t ) 1 2d t l l g l l ； 选定窗函数g ( ，) 使其傅里叶变换g ( 彩) 也满足窗函数的条件，则( ，) 的窗口傅晕叶变换 g ，( c o ，f ) 同时给出了信号在时域【e ( g ) + r 一( g ) ，e ( g ) + f + ( g ) 】和频域 e ( g ) + 一( g ) ，e ( g ) + + ( g ) 】的局部时频信息。 相平面是以“时间”为横坐标，“频率”为纵坐标的欧氏平面，相平面中的有限区域被称 第4 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 为窗口，相平面用来刻画一定的物理状态，有着很强的工程背景。 楣平面中以( e ( g ) ，e ( g ) ) 为中心，以2 a ( g ) 为长，以2 ( g ) 为宽的矩形区域叫做出g 所 确定的时频窗口。实际应用中我们可通过对窗函数g 进行标准化使得时频窗口的中心位于 ( o ，o ) ，这样，当r 和固定的时候，窗口傅晕叶变换g ，( c o ，r ) 就给出了中心平移到( r ，c o ) 的 时频窗口【r 一( g ) ，f + ( g ) 】陋- a ( g ) ，甜+ ( g ) 】中的局部时频信息。 显然，a ( g ) 和a ( g ) 越小，g 在时域上和频域上的局部化程度就越高，时频分析的效 果也就越好。然而，h e i s e n b e r g 测不准原理( u n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ) 却指出，a ( g ) 和( g ) 是 相互制约的，两者不可能同时都任意小，事实上，( 譬) ( g ) l 2 ，当且仅当g 为高斯函 数时等号成立。测不准原理说明了一个基本事实，即g a b o r 变换是具有最小时频窗口面积 的窗口傅里叶变换，这体现了g a b o r 变换的某种最优性。 短时傅里叶变换发展了傅墨叶变换，在一定程度上克服了傅罩叶变换不具有局部分析 的能力，能够满足信号处理的某些特殊需要。但是进一步的研究发现，短时傅晕叶变换没 有离散正交基，这决定了它在进行数值计算的时候不像离散傅里叶变换那样有快速算法， 使其应用受到了限制。另一方面，当窗函数g 确定后，矩形窗口的形状是固定的( f ，甜只 能改变时频窗口在相平面上的位置，不能改变窗口的形状) ，不能随着待分析的信号成分 是高频信息或是低频信息而作相应变化。由于非平稳信号包含丰富的频率信息，短时傅里 叶变换对非平稳信号的分析能力是有限制的。 短时傅里叶变换实质上是单一分辨率的分析，要改变分辨率，则必须重新选取窗函数。 小波变换发展了短时傅里叶变换的局部化思想，在信号的低频部分具有较高的频率分辨率 和较低的时间分辨率，在信号的高频部分具有较高的时问分辨率和较低的频率分辨率，是 一种窗口大小( 面积) 固定但其形状可以改变的时频局部化分析方法。 2 1 3 小波分析 由前面的分析可以得出，傅里叶分析有三个不足： 1 傅里叶级数的正弦与余弦系数为常数不能反映振幅变化的情况； 2 求傅景叶系数需要所考虑的时间域上所有信息，不能反映局部信息的特征； 3 窗口傅里叶变换时间窗是固定不变的，高频与低频的时间局部化不能同时满足。 出于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。 将函数f ( t ) 表示为下面的小波级数： 巾) = r a ”( ，) = t 。，。( f ) j k - - - , o ，m k - - - ” 妒坩= y ( 2 f k ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 第5 页 璺堕型竺垫查盔兰婴塞竺堕堂竺笙苎 其中，( ，) 是小波函数，t 。是小波系数，且 t 。 = ( 2 5 ) 由公式( 2 3 ) 到( 2 5 ) 可以看到，小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指 标j ，而且还有时间的指标七。也就是说，小波系数不仅像傅罩叶系数那样，是随频率不 同而变化的，而且对于同一个频率指标_ ，在不同时刻k ，小波系数也是不同的。这样就 克服了上面所述的第一个不足。 由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区白j 外为零。这样在求各频率水平不同时刻 的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，从而克服了上面所述的第二个不足。 通过与窗口傅里叶变换的“时间一频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间一频率 窗”的笛卡儿积是 【6 + 讲+ 叫吣讲彻m | 等一1 口a 矿，等+ 1 口a 护l ( 2 s ) 其中a = 2 ，时间窗的宽度为2 a a 。，随着频率的增大( 即的增大) 而变窄，随着频 率的减小( 即，的减小) 而变宽，之所以有这样的结果，关键在于公式( 2 4 ) 中时间变量t 前面乘了个“膨胀系数”2 一。 小波变换的“时间一频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这 f 是时| - 自j 一频率分析所希望的。 根据小波变换的“时问一频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足， 只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。如，选择从高频到低频的检测次序， 首先选择最窄的时问窗，检测到最高频率信息，并将其分离。然后适当放宽时间窗，再 检测剩余信息中的次高频信息。再分离，再放宽时问窗再检测次次高频信息，依次类推。 为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要 选好小波函数。 选择小波函数的“四项原则”。 在求小波系数公式( 2 5 ) 中，如果o k ) 是l 2 ( i r ) 空间的正交基，则的驴m 为妒m 的复 共轭。小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相 位至少具有广义线性相位。小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使 用函数的导数，小波函数至少是c 连续。由前面分析可知，小波函数必须具有紧支撑的性 质。所以，e 交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。 数学家们已经证明，具有正交、线性相位、紧支撑的小波函数只有h a r r 函数，而h a r r 函数是问断函数，对于工程应用来说，是不理想的。 为了进行小波分解与重构，“四合一”的小波函数不存在，数学家们“一分为四”，选 择了四个函数，巧妙地解决了这些问题。这四个函数是：尺度函数，小波函数妒，对偶 第6 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 尺度函数对偶小波函数矿。 由前面小波变换的“时间一频率窗”分析可知，小波变换的“时间一频率窗”的宽度，当 检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。为了检测到所有频率信号，“时阿一频率窗” 的宽度必须按一定的次序变化，不失一般性，从窄到宽，检测频率信号从高频到低频的次 序进行实际上也正是这样的次序。 在最高频率水平( 即根据实测数据的时间测量间隔f ，最高能检测到的频率为 n y q u i s t 频率，= 1 1 2 a t ) ，选择最窄的“时一频窗”宽度，检测到原始信号中的最高频率信 号，并将这些信号从原始信号中剥离，存放在降，空间，而将剥离后的剩余低频信号的总 合，存放在另一空间。然后，增大“时一频窗”的宽度，再检测一，空间中的高频信息， 将这些信号从一空间中剥离，存放在玎0 ：空问丽将剥离后的剩余低频信号的总合，存 放在另一空间，。依次类推。 傅里叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反应了信号在“整个”时脚范围内的“全 部”频谱成分，是研究周期现象不可缺少的工具。傅幂叶变换虽然有很强的频域局域化能力， 但并不具有时间局域化能力，而后一点，对于很多信号处理工作而言，特别是对于涉及非 平稳信号处理的任务而言，是至关重要的。 小波分析理论和方法是从傅里叶分析演变而来的。小波变换以牺牲部分频域定位性能 来取得时频局部性的折衷，其不仅能提供较精确的时域定位，也能提供较精确的频域定位。 我们所面对的真实物理信号，更多的表现出非平稳的特性，而小波变换恰恰是处理非平稳 信号的有力工具。 小波理论的兴起，得益于其对信号的时、频局域分析能力及其对一维有界变差函数类 的最优逼近性能，也得益于s t 6 p b a n em a l l a t 和y v e sm e y e r 等人引入的多分辨分析概念， 以及m a l l a t 提出的快速小波变换实现方法。 设b = g 胛) 。是h i l b e r t 空间h 的一组标准正交基，则v f h 可分解为： 厂= g m ，称厶= 岛为，的非线性逼近，其中l u 为对应于最大系 数幅值l i 的m - 卞- 向t 1 1 。非线性逼近误差为：岛 m 】- | | ，一厶1 1 2 = i j 2 。 m e ， 逼近误差体现了用基b 表示函数，时的“稀疏程度”或者分解系数的能量集中程度。 定义全变差范数o ，= f l 厂，( ，) i 撕，如j l l ：l l f l l ，s 佃，我们称厂是有界变差的，记为 f b v o ，l 】。大多数一维信号，如连续可导的光滑信号和具有有限不连续点的不连续信号 都属于有界变差函数范畴。 囡防科学技术人学研究生院学何论文 非线性傅里叶逼近 傅晕叶基2 ”) 。；是l 2 o ，i 】的一组标准正交基，b ，l 2 o ，1 】可分解为傅里叶级数 巾) ； p ”“ 若函数，是有界变差的，傅尾叶基对函数，的非线性逼近误差为 m 】_ o m 。】，即 【肼】有时“级的衰减速度。 非线性小波逼近 式【 妒r 。 。- ，谚。) “。：，】定义了r 【o ，l 】中逼近空间u t 的一组规范f 交基a 记 = 妒w 贝j j f e 研o ，1 】非线性小波逼近：硝= 。逼近误差： ( ，n ) c ” e 嚣 m - - 1 1 ，一硝1 1 2 = i | 2 ( 月) | k 假设。小波属于c 9 具有可阶消失矩，对于一维分段光滑函数，设厂在 o ，l 】上具有有 限个不连续点。且在这些不连续点之间是一致l i p s c h i t z 口( 口 o ，“s “) 及记号”：口一v 2 ( 竺三兰) ， 其中参数组，= ( 口，“，b ) 中，a 表示r i d g e l e t 的尺度；“和b 分别对应r i d g e l e t 的方向和位需。 参数空间r 上的测度卢办定义为d ，= 熹盯a d u d b ，其中是d 维空间中单位球面s “的 表面积幽是s “上的一致概率测度。用厂表示函数厂的连续傅罩叶变换： f = f f ( x ) e - t m x d t 。这里均考虑自变量x r dd 2 的情形，并假设：r - + r 是s c h w a r t z 空 间s ( r ) 中的函数。 定义2 1 若函数：r 斗r 满足 = 帮妇锄， ( 2 1 0 ) 则称是d 维空间中的容许神经激励函数( a d m i s s i b l en e u r a la c t i v a t i o nf u n c t i o n ) 。由满足 容许条件( 2 1 0 ) 的函数y 生成的脊函数”= a - i 2 i c ，( 芝三二旦) 就称为r i d g e l e t 。 a 根据定义知，脊函数的支撑集是带状区域：妇r 。：i h x b i 0 ，k ik 2 为整数，用g 表示剖分尺度为s 时全体= 进正方形集 合在每个剖分块q 上进行r i d g e l e t 变换即单尺度r i d g e l e t 变换。单尺度r i d g e l e t 变换可表 示为： 九：= 峋如q q ，t 2 r ) ，其中f 为r i d g e l e t 变换参数空间t 峋为适当的窗函数。 对于模型( 2 7 ) 中含曲线奇异的函数厂，单尺度r i d g e l e t 变换非线性逼近误差的衰减速度 为：f u r t m - - i i f 一1 1 2 s cr n a x ( m - - 8 ，m 。“) ，其中s 表示函数，中奇异曲线s 阶可微：即， 当1 ss s3 2 ，其逼近误差的衰减速度为o ( m ”) 阶；当3 2 s s 2 时其逼近阶为o ( m “2 ) 。 注意到此时小波变换对于函数厂的非线性逼近误差只能达到肘。的衰减级，可知单尺度 r i d g e l e t 对于具有曲线奇异的多变量函数的逼近性能无疑比小波有明显的提高。 2 3 4 处理实例 原始图像是淹没在严重的白噪声中有一定宽度的竖直带。带宽为2 0 个蒙素，信噪比 为0 1 d b 。注意到原图中的噪声非常严重，人眼根本无法辨识其中包含的信号特征。对各 列积分得到的信号序列中确有一个宽度为2 0 左右的波峰，但是并不明显，在没有先验信 息的前提下很难确认。用小波方法不能恢复出真实信号的特征，这也证实了小波对各向异 性的特征表示能力很弱。而r i d g e l e t 变换的结果则非常好，与前两种方法相比几乎“令人 震惊”，噪声中的原信号被非常好的恢复出来了。这个例子展示了r i d g e l e t 在表示图像线型 奇异边缘时独到的优越性。 第1 7 页 国防科学技术人学研究生院学位论文 ( a ) 淹没在白噪声中的原始数据，其中包含一个竖直方向的带状区域；( b ) 对原始图像的各歹q 积分得到的信号 ( c ) 用冗棠小波变换得到的重构图像； ( d ) 用r i d g e l e t 变抉得到的重构图像 图2 1 0 几种方法去噪结果比较 r i d g