（电子科学与技术专业论文）任意形状二维介质光子晶体特性研究.pdf

a b s t r a c t a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r st h e r eh a sb e e naf a s td e v e l o p m e n ti nt h er e s e a r c ho fp h o t o n i c c r y s t a l s ， a n dm u c hw o r kh a sd o n eb o t ht h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l l y p h o t o n i c c r y s t a l sh a v et h ep r o p e r t i e so fp h o t o n i cb a n dg a p sa n dp h o t a n i cl o c a l i z a t i o n ， a n dm a n y p o t e n t i a la p p l i c a t i o n si nc o m m u n i c a t i o n sc a nb ee x p e c t e d t of i n dap h o t o n i cc r y s t a l s t r u c t u r ew i t hal a r g e ra b s o l u t eg a pi ss t i l lo n eo ft h er e s e a r c hd i r e c t i o n si nt h i s f i e l d t h i sp a p e rd i s c u s s e dt w ok i n dg e o m e t r ys t r u c t u r eo fm e d i u mp b gt r i a n g l el a t t i c e a n ds q u a r el a t t i c eu s i n gt h ep l a n e - w a v ee x p a n d e dm e t h o d iu s e dm a t l a bt o p r o g r a m m ea n dc a l c u l a t et w o d i m e n s i o n a lm e d i u mp h o t o n i cc r y s t a lt r i a n g l el a t t i c ea n d s q u a r el a t t i c et w ok i n d so fa r r a n g e m e n t s b a n dg a ps t r u c t u r e s t h r o u g hc a l c u l a t e db a n d g a ps t r u c t u r e sm a n yt i m e s ，id r e wt h eg l o b a lp b g - b a n d so ft w o - d i m e n s i o n a lm e d i u m p h o t o n i ca n df o u n dt h eq u i t eo b v i o u sb a n dg a pf r o mt h ec h a r t ，a n ds e v e r a lv a l u a b l e a c h i e v e m e n t sa r el i s t e da st h ef o l l o w i n g s ： 1 f i r s t ，w ec a l c u l a t e dt h ee x p a n d e df o u r i e re x p a n s i o nc o e f f i c i e n to fd i e l e c t r i c d i s t r i b u t e df u n c t o i o nb ym e t h o d so fn u m e r i c a li n t e g r a t i o na n dm o n t ec a r l o a sm e t h o d o fn u m e r i c a li n t e g r a t i o n ， w ed i v i d e dt h er e g i o no f i n t e g r a t i o ni n t os o m et r i a n g l e sa n d a d d e dt h e s er e s u l t st h a ti n t e g r a t i o ni ne a c ht r i a n g l e m o n t ec a r l oi sas t a t i s t i c a lm e t h o d a n dj u d g et h er e l a t i o n s h i po fp o i n t sa n dt h er e g i o no fi n t e g r a t i o nt ob eac o m m i t t e ds t e p w h e nt h er e g i o no fi n t e g r a t i o nh a sm u c hm o r ep o i n t s ，t h er e s u l ti sv e r ya c c u r a t e 2 w i t hd i e l e c t r i cc o n s t a n td i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ff o u r i e rt o e m c i e n t sa sa ， f o u n d a i o n ， w ec a l c u l a t e dt h ea r b i t r a r ys h a p et w o d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s b a n d g a ps t r u c t u r e sb yp w m ( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ) t h em a i nm e t h o do f s o l v i n gb a n d g a ps t r u c t u r ei st oc a l c u l a t et h ee i g e n v a l u e so f t h ei n t r i n s i ce q u a t i o n 。 3 t h er e s u l t sb yt h em e t h o d so ft h i sp a p e rw e r ea c c o r d e dw i t ht h er e s u l t so fc s t ( c o m p u t e rs i m u l a t i o nt e c h n o l o g y ) a n dr e t l 3 9 】v e r yw e l la n da n a l y s e dp b g - b a n d s s o m er e g u l a rr u l e sw h e np h o t o n i cc r y s t a l s ss t r u c t u r e ， f i l l i n g r a t i oa n dd i e l e c t r i c c o n s t a n tw e r ec h a n g e d 4 t h r o u g h t h e o r e t i c a l a n a l y s i s a n dn u m e r i c a lc a l c u a t i o n ，t h eo b t m n e d b a n d - s t r u c t u r e so fp h o t o n i cc r y s t a l ss t r u c t u r e si nt h i sp a p e rd e m o n s t r a t e ds o m er u l e s i i a b s t r a c t w h e nt h ed i e l e c t r i cc o n s t a n to ff i l l i n ga r e ai ss m a l la n dt h ed i e l e c t r i cc o n s t a n to f b a c k g r o u n da r e ai sl a r g e ，t h ep b g b a n d so ft h ehp o l a r i z a t i o na ree x t r a o r d i n a r yw i d e w h e nt h ef i l l i n gr a t i oi so 6 5 w h e nt h ed i e l e c t r i cc o n s t a n to ff i l l i n ga r e ai sl a r g ea n dt h e d i e l e c t r i cc o n s t a n to fb a c k g r o u n da r e ai ss a m l l ，t h eo b t a i n e dp b g b a n d so ft h ee p o l a r i z a t i o na r ec o m p a r a t i v e l yw i d ew h e nf i l l i n gr a t i oi ss m a l l 5 w ea p p l y e dp h o t o n i cc r y s t a l st os l o w w a v es t r u c t u r ea n du s e dc s t ( c o m p u t e r s i m u l a t i o nt e c h n o l o g y ) t oe m u l a t ep h o t o n i cc r y s t a ld i e l e c t r i cp i l l a r sh e l i x t h e n ，w e a n a l y s e dt h e i rd i s p e r s i o nc h a r a c t e r i s t i c sa n dt h ec o u p l i n gi m p e d a n c e k e yw o r d s ：p h o t o n i ec r y s t a l ，d i e l e c t r i cc o n s t a n t ，m o n t ec a r l o ，f o r b i d d e nb a n d ， i n t r i n s i ce q u a t i o n ，s l o w - w a v es t r u c t u r e t h i sw o r kw a ss u p p o r t e db yt h en a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o n ( 6 0 4 010 0 5 ， 6 0 6 0 1 0 0 5 ) o f e r c h i n a i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：圭碗 一 石 日期：2 口口占年莎月，2e l 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：王犰 导师签名：孑亥尾季云 日期：2 口口l j l 年莎月纠日 第一章绪论 第一章绪论 对于新材料的探索一直是人类的奋斗目标和进步手段，如本世纪对半导体材 料的研制导致了场轰轰烈烈的电子工业革命，我们的科技和生活水平有了一个 突飞猛进的跨越，并由此进入了计算机和高速公路为标志的信息时代。 1 1 光子晶体的概念 光子晶体即光子禁带材料这一概念是19 8 7 年分别由j o h n i l j 和y a b l o n o v i t c h 2 j 提出来的。光子晶体是一种介电常数周期性排列的有序结构，具有光子带隙的周 期性介电结构就是光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) ，或叫做光子带隙材料( p h o t o n i c b a n d g a pm a t e r i a l s ) ，也有人把它叫做电磁晶体( e l e c t r o m a g n e t i cc r y s t a l s ) 。光子晶体 的空间结构如图1 1 。从材料结构上看，光子晶体是一类在光学尺度上具有周期性 介电结构的人工设计和制造的晶体。与半导体晶格对电子波函数的调制相类似， 光子带隙材料能够调制具有相应波长的电磁波，当电磁波在光子带隙材料中传播 时，由于存在布拉格散射而受到调制，电磁波能量形成能带结构。能带与能带之 间出现带隙，即光子带隙( p h o t o n i cb a n d g a p ， 简称p b g ) 。所具能量处在光子带隙 内的光子，不能进入该晶体。光子晶体和半导体在基本模型和研究思路上有许多 相似之处，原则上人们可以通过设计和制造光子晶体及其器件，达到控制光子运 动的目的。光子晶体的m 现使人们操纵和控制光子的梦想成为可能。 空 图1 1 光子晶体结构空间示意图 电子科技大学硕士学位论文 1 2 光子晶体的特性 光子晶体的最基本特征是具有光子禁带，在具有完全禁带的光子晶体中，落 在禁带中的光子是被禁止传播的。y a b l o n o v i t c h 指出光子晶体可以抑制自发辐射。 我们知道自发辐射的几率是与光子态的数目成正比，当原子被放在一个光子晶体 里，且它的自发辐射频率正好落在光子禁带中时，由于该频率光子的态数目为零， 因此自发辐射几率为零，原子的自发辐射也被完全抑制；反之，只要增加该频率 的光子态数目，比如在禁带中引入相应的缺陷态，便可增强原子的自发辐射。光 子禁带的出现依赖于光子晶体的结构和介电常数的配比。一般来说，光子晶体中 两种介质的介电常数比越大，越有可能出现光子禁带，影响禁带的存在还有两个 重要因数：光子晶体的几何构形和填充比。 光子晶体另一个主要特征是具有光子局域。j o h n 于1 9 8 7 年提出：在一种经过 精心设计的无序介电材料组成的超晶格( 相当于现在所称的光子晶体) 中，光子呈 现出很强的a n d e r s o n 局域。当光子晶体没有缺陷时，根据其边界条件的周期性要 求，不存在光的衰减模式。但是一旦晶体的原有对称性遭到破坏，就会出现缺陷 态，在光子晶体的禁带中就有可能出现频带极窄的缺陷态或局域态，如果在光子 晶体中掺入杂质，光子禁带中就会出现品质因子极高的杂质态，具有很大的态密 度，这样便可以增强光子晶体中原子的自发辐射，局域态的性质将由缺陷的参数 决定，局域态光子的强度以缺陷中心为最大，随着与缺陷中心距离的增大而迅速 衰减。 光子晶体还具有点缺陷和线缺陷。点缺陷仿佛是被全反射墙完全包裹起来的。 利用点缺陷可以将光“俘获 在某一特定的位置，光就无法从任何一个方向向外 传播，这就相当于一个微腔。在垂直于线缺陷的的平面上光被局域在线缺陷的位 置时就只能沿线缺陷方向传播。 1 3 光子晶体的理论研究 由于光子带隙的形成是布拉格散射和m i e 散射之间复杂的相互作用的结果， 数值计算就成为大多数理论分析的重要方法。光子晶体的数值计算主要有以下几 种方法。 2 第一章绪论 1 3 1 平面波方法( p w e ) 平面波法【3 4 巧巧】是在光子晶体能带研究中用得比较早和用得最多的一种方法。 它将电磁场在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开，可以将m a x w e l l 方程组化成 本征方程，然后求解本征方程便可得到传播光子的本征频率，本征频率的集合即 为光子能带。但是，这种方法有一明显的缺点：计算精度和计算量与平面波数有 很大的关系，几乎f 比于所用波数的立方，因此会受到较严格的约束，对某些情 况显得无能为力，如当光子晶体结构复杂或处理有一缺陷的体系时，需要大量平 面波数，会因为计算能力的限制而不能计算或者难以准确计算。如果介电常数不 是恒值，而是随频率变化，就没有一个确定的本征方程形式，而有可能在展开中 出现发散，导致根本无法求解。 平面波法常用的有一紧束缚法 7 1 ，缀加平面波法【8 】修正平面波法【9 1 。 1 3 2 传输矩阵法( t m m ) 传输矩阵法【1 0 】由磁场在实空间格点位置展开，将麦克斯韦方程组转化成转移 矩阵形式，同样变成本征值求解问题。转移矩阵表示一层( 面) 格点的场强与邻近的 另一层( 面) 格点场强的关系，已假设在构成空间中在同一个格点层( 面) 上有相同的 态和相同的频率，这样可以利用麦克斯韦方程组将场从一个位置外推到整个晶体 空间。这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效，由于转移矩阵小， 计算量较平面波方法大大降低，只与实空间格点数的平方成正比，精确度也非常 好，而且还可以计算反射系数和透射系数。 1 3 3 时域有限差分法( f d t d ) 时域有限差分法【l l ，1 2 】是求解电磁场m a x w e l l 方程的通用方法，也是近几年来 相当热门的数值计算方法。具体方法是：将m a x w e l l 方程组在坐标系中展开成标 量场分量的方程组，然后用二阶精度的中心差商代替微商，将连续的空间和时间 问题离散化，得到标量场分量的迭代差分方程组：由数值稳定性条件和计算所考 虑的光波长范围确定空间离散步长的大小，根据空间离散步长将光子晶体沿坐标 轴向方向分成很多y e e 氏网格单元：求出每个网格点的有效介电常数，再由空间 步长和时间步长所满足的数值稳定性条件，得出相应的时间步长。以上参数确定 后，加入边界条件后，就可以将迭代方程组在划分好的y e e 氏网格空间中迭代， 计算出光子晶体中在任意时刻场的分布情况，并通过傅立叶变换，计算出包含很 3 电子科技大学硕+ 学位论文 大频率范围的透射谱。 1 3 4n 阶法( o r d e r n ) n 阶法【1 3 】是引自电子能带理论的紧束缚近似的一种方法，是由y e e 在1 9 6 6 年 提出的时域有限差分法( f d t d ) 发展来的。基木思想是：我们从定义的初始时间的 一组场强出发，根据布里渊区的边界条件，利用麦克斯韦方程组可以求得场强随 时间的变化，从而最终解得系统的能带结构。具体作法：通过傅里叶变换先将麦 克斯韦方程组变换到倒格子空间，用差分形式约简方程组，然后再作傅里叶变换， 又将其变换回到实空间，得到一组被简化了的时间域的有限差分方程，这样，原 方程可以通过一系列在空间和时间上都离散的格点之间的关系来描述，计算量大 大降低，只与组成系统的独立分量的数目n 成正比。但是在处理a n d e r s o n 局域和 光子禁带中的缺陷态等问题时，计算量剧增。 1 4 光子晶体的应用 通过上述对光子晶体重要特征的阐述可以看出，光子晶体的应用范围是非常 广泛的【1 4 ，1 5 1 6 1 7 1 8 ，1 9 t2 0 2 1 1 。 利用光子晶体具有光子禁带这一基本性质，当一束在光子频率禁带范围内的 光入射到光子晶体上时，这束光将会被全反射回去，由此可以将其用作光子晶体 全反射镜和三维光子晶体天线。特别是在短波长区域，金属对光波的损耗很大， 而介质则对光波的吸收损耗非常小，因此用介质材料所作成的光子晶体反射镜具 有极小的损耗。 利用光子禁带对原子自发辐射的抑制作用，可以大大降低因自发跃迁而导致 复合的几率，设计出无阈值激光器和光子晶体激光二极管。实验表明，采用光子 晶体后，发光二极管的效率会有十分大的提高。在激光器中引人光子晶体还可以 实现低阈值激光振荡。这是因为光子晶体对位于其光子频率禁带范围内的电磁波 具有抑制作用，所以当光子晶体的光子禁带频率与激光器工作物质的自发辐射频 率一致时，激光器中的自发辐射就会被抑制。这样一来激光器中因自发辐射引起 的损耗会大大降低，从而会使激光振荡的阈值变得很低甚至为零。 通过在光子晶体中引入缺陷，使得光子禁带中产生频率极窄的缺陷态，可以 制造高性能的光子晶体光过滤器、单频率光全反射镜和光子晶体光波导。如果引 入的是点缺陷，则可以制作成高品质因子的光子晶体谐振腔。微谐振腔的制作对 4 第一章绪论 光集成有着重要的意义，但由于其尺寸特别小，用传统的谐振腔制作方法来制造 微谐振腔是相当困难的。而且在光波波段，传统的金属谐振腔的损耗相当大，品 质因数值很小。而光子晶体微谐振腔的品质因数可以做得很高，是采用其它材料 制作的谐振腔所无法达到的。 二维光子晶体对入射电场方向不同的t e ，t m 偏振模式的光具有不同的带隙 结构，可以据此设计二维光子晶体偏振片，只要这两种偏振模式的禁带完全错开 就可以获得单一模式的出射光，这种偏振光具有很高的偏振度和透射率。 传统的介质波导在大角度弯折时，散射损耗迅速增大。而光子晶体带隙波导 理论上可以无损的使光波9 0 0 弯折。大规模光子集成要求光子器件的尺寸必须做到 和传统集成电路中半导体器件一样小，当前各种光子器件通过常规技术很难做到 如此小的尺度，而利用光子晶体制作的光子器件，如波导、复用和解复用器、滤 波器等，与常规波导器件相比可以缩小1 0 0 1 0 0 0 倍，无疑将成为大规模光子集成 的首选设计方式。 光子晶体的超大时间色散及角色散特性尤其使人关注。光子晶体中通过引入 缺陷可使群折射率达到1 0 0 ，光速降到真空中光速的百分之一。1m m 长的光子晶 体色散补偿器能补偿8 0 k m 传输光纤色散。当然也可以用在偏振模色散的补偿以及 光延迟线等方面。 另外利用角色散特性制作的复用解复用器，由于光子晶体的强角色散特性， 可使器件尺寸减小几百倍，这些特点使其适合于大规模硅工艺，有利于大幅度降 低成本。当然，有人提出插入损耗偏大的问题，但由于尺寸较常规波导器件有2 3 个数量级的下降，总损耗应该是相当的。 综合利用光子晶体的各种性能，还可以有其他更广泛的应用，如对基于s o i 的各种形状波导，分插复用器、波分复用器和解复用器、光开关、光放大器、光 聚焦器等。另外光子晶体在光子存储，光子计算等方面也将有所作为。 总而言之，由于光子晶体的特点决定了其优越的性能，因此它极有可能取代大 多数传统的光学产品，对急需发展的光电集成技术而言，无疑具有极其重大的意 义，对经济、对社会发展产生的影响是不可限量的。 j o a n n o p o u l o s 曾经在他的文章瞄】中设想过一个“p h o t o n i cm e t r o p o l i s ”的光子传 输模型( 图1 2 ) ，二维光子晶体波导、光子晶体光纤以及三维光子晶体都被放入集 成光路中，用于光波的传输，充分表明了光子晶体在里面所扮演的十分重要的角 色，也是未来光子晶体努力发展的目标。 5 电子科技大学硕士学位论文 图1 - 2j o a n n o p o u l o s 的光子传输模型“p h o t o n i cm e t r o p o l i s ” 1 5 学位论文的工作与贡献 光子晶体具有奇特调节电磁波传播状态的特性，使它有希望成为未来光子产 业的基础材料，实验室对光子晶体的研究主要在以下三方面展开：1 、理论上设计 具有更大完全带隙的光子晶体结构；2 、探讨光子晶体带隙所产生的新物理效应和 新现象；3 、开发光子晶体的实际应用。本文研究的目的是：通过改变材料的形状、 参数、排列，以期得到更大完全带隙的光子晶体，探索一些新方法，为实验上应 用光子晶体的禁带提供参数，依据。 本论文主要对光子晶体三角形排列、矩形排列的带结构做了大量计算，分析 了光子晶体禁带出现的规律，找出了影响禁带较大的因素。主要特色和创新如下： 1 在平面波展开法理论的基础上，用数值积分和蒙特卡罗的方法求解了任意 形状光子晶体介电常数分布函数的傅立叶展开系数。 2 计算了多种形状二维介质光子晶体的带结构，比较优化找出了带隙较大的 光子晶体结构；并为实验室提供了一套计算任意形状二维介质光子晶体带结构的 程序，此程序可以计算矩形排列、三角形排列h 、e 极化波。 3 将光子晶体应用于螺旋线中，用c s t 仿真软件计算了加载光子晶体介质柱 螺旋线的色散特性和耦合阻抗。 6 第二章光子晶体带结构计算方法 第二章光子晶体带结构计算方法 这些年来，光子晶体的理论研究也取得了令人嘱目的进展。很多传统的数学 方法进行适当改造都能用于光子晶体的研究，几种用得比较广泛的基本计算方法 是：平面波展开法、转移矩阵法、有限差分法，o r d e rn 法，时域有限差分法、格 林函数求解法、平均场分析法、紧束缚法、多重散射法等，各适合不同的情况， 也各有优缺点。本论文主要用平面波展开法计算、分析，并用c s t 仿真求解了二 维介质光子晶体的带隙。 2 1 平面波展开法公式推导 平面波展开法【2 3 t2 4 ，2 5 2 6 2 7 1 是基于对周期性介质、电场、磁场在倒格矢空间的 展开，然后计算电磁场的本征方程，以求出本征频率。 h 极化波时电场、磁场有以下形式： h ( x ，f ) = ( o ，0 ，皿( x ，y1w ) ) e x p ( - i w t ) ( 2 - 1 ) e ( x ，f ) = ( e x ( y ，yw ) ，e 。( 石，yw ) ，o ) e x p ( - i w t ) ( 2 2 ) m a x w e l l 方程组对于三个非零场( e x ，b h ：) 有以下关系： 堡一堡：一i w h ( 2 3 ) o x 砂 c _ o h ：一i w ( 勃) e ，( 2 - 4 ) 孕：一型s ( 嘞) e ( 2 - 5 ) 通过以上方程我们消去e x 和e y ，得到一个关于h ：的方程： 昙c 志。警，+ 昙c 志+ 等，+ 詈必 仁6 ， 为了求解这个方程我们将占。1 ( 勘) 和4 ( 勃1w ) 用下面两个公式( 2 7 ，2 - 8 ) , i 畏j t ： 7 电子科技大学硕士学位论文 丽12 荟鸠a 矽 皿( 勤1w ) = 彳( 锄ig ) p 偏蚓却 ( 2 。7 ) ( 2 - 8 ) 根据以上公式可得到h 极化波的本征方程： 萋g ( 乃，+ g ) 。( 锄+ g ，) 乏( g ，一g ) 彳( 向_ g ”) = 等爿( 一f g ，) ( 2 9 ) - e 极化波时电场、磁场有以下形式： e ( x ，t ) = ( o ，0 ，互( x ，ylw ) ) e x p ( 一i w t ) h ( x ，f ) = ( 皿“ylw ) ，q ( x ，yi 们，o ) e x p ( - i w t ) m a x w e l l 方程组对于三个非零场( h ；，h y ，e ：) 有以下关系： ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 通过以上方程我们消去h 。和h y ，得到一个关于e ：的方程： 志c 昙+ 吾卧等删 协脚 为了求解这个方程我们用公式( 2 7 ) ，将巨( 嘞1w ) 写成如下公式： e ( 勃1w ) = b ( 锄ig , ) e 撕+ 嘞锄 ( 2 1 6 ) 根据以上公式可得到e 极化波的本征方程： 萎l 锄+ g ，i 会( g ，- g ，) i 锄+ g ，ic ( 锄i g ，) = 等c ( 锄i g ，) ( 2 1 7 ) g o 其中锄= 屯巳+ 砖勺，g ，= 孚巳+ 孚巳， 8 g i ，= 业a 巳+ 警勺，会( g ，- g ，) d = h ， 号弘 生舐坠锄鲥砂 第二章光子晶体带结构计算方法 为傅立叶展丌系数，彳( 岛，i gw 1 1 ) ，c ( k , , i aw , ) 为列向量，向，为波矢。本征方程的左 边为一个关于对角线对称的正定矩阵，因此它的所有特征根全部是正数，可以将 w z c z 看成是左边矩阵的特征根兄，所以w ：厉。 通过h 、e 极化波的本征方程，求解本征频率，可以画出带结构图。对不同的 结构和介质，其介电常数的傅立叶展开系数是不同的，平面波的展开形式也是不 同的。 2 2 用c s t 仿真求解二维介质光子晶体的带结构 求e 极化波的禁带把边界条件设为电壁，分别对相位做3 次扫描，然后识别 模式，找出疋、以、一存在的模式，并记录下对应的频率，如图2 - 1 ，2 - 2 ，2 3 。 t y p e= e - f i e l d ( p e e k ) n o n i t o t 11 1 0 d ei c o m p o n e n t lz m a x i m u m 一3 d z z 5 z z e + 0 0 9v ma t0 - 8 7 4 z z 7 3 e e g s z l 7 4 f r e q u e n c y5 5 7 1 8 6 p h a s e i6 7 sd e 9 r e e s 图2 - 1e z 存在的模式 t p o二h fj o l d 【p 2 0 k ) m o n j f o r 11 1 0 d el c o m p o n e n t i ix m a x i m u m - 3 d11 3 2 7 6 l e + 0 9 7a i ma t0 z 5 0 3 7 1 2 5 8 1 8 3 8 4 3 f r e q u e n c y 。s s 7 1 6 8 p h a s e- 6 7 5d e g r e e s 图2 - 2h x 存在的模式 9 电子科技大学硕士学位论文 i y p e i t a r t i t a r 曩 c o _ d o n e n to 1 l a xi m u m - 3 di f r e q u e n c y 。 p h a s e 。 h f i e l d ( p e a k ) m o d e1 y 1 3 2 7 6 l e + 0 0 7a i ma t0 z 5 ，0 3 7 1 z s 8 1 6 3 e 4 3 s 5 7 i 6 6 6 7 sr l e g r e t - s 图2 - 3h y 存在的模式 求h 极化波的禁带把边界条件设为磁壁，分别对相位做3 次扫描，然后识别 模式，找出皿、e 、e ，存在的模式，并记录下对应的频率，如图2 - 4 ，2 - 5 ，2 - 6 。 t y p e i i n o n i t o r l m c o m p o n e n ti 1 1 q x i - u - - 3 d1 f r e q u e n c y 1 b p h a s e 1 h - r e i dt p e a k 一o d ea z 1 4 7 3 9 9 e + 8 8 7a i ma t - 8 5 0 6 8 e 3 9 7 5 8 8 8 4 s e 1 9 5 8 7 6 7 5d e s r e e s 图2 - 4 h z 存在的模式 i y p e i i i i l o n i t a r 1 c o m p o n e n t1 n a xi l u l - 3 d1 r r e q u e f l c ， 1 p h a a e 1 e - f i e l dc p e a k 1 1 0 d e3 x z 8 1 8 e + e e 9v ma t8 e 8 8 e 3 9 7 s 5 1 9 8 8 7 6 7 sj e s r e e s 图2 5e x 存在的模式 第二章光予晶体带结构计算方法 t y p e ie - i f i e l dt p e a k ) r o n i t o t - o 如a c o m p o n e n ti ， h a i u - 一3 d - z 8 1 4 8 e + s e 9v ma t0 0 g b 8 3 9 7 6 f r e q u e n c yi6 1 9 6 8 7 p h 8 5 e - 6 7 5c l e g r e t s 图2 石e y 存在的模式 根据记录下的频率画出带结构图，用c s t 仿真求解光子晶体的带结构需要识 别大量的模式，仿真计算时间比较长。因此我们用平面波展开法，通过 v l 久t l a b 编程求解光子晶体的带结构，其核心问题是计算出介电常数分布函数的f o u r i e r 展 开系数。 2 3 用m a t l a b 编程求解二维介质光子晶体的带结构 2 3 1 介电常数分布函数的f o u r i e r 展开系数公式推导 对斜格子二维光子晶体【2 8 2 9 】( 当口= 6 0 。时为正三角格子光子晶体) ，如图2 - 7 所示： 图2 7 斜方格子 1 1 电子科技大学硕+ 学位论文 基矢为： 倒格矢为： g ，= 6 l + 6 2 把基矢、倒格矢写成公式( 2 2 0 ) 一( 2 2 3 ) ， a i2 口气 a 2 = ( b c o s o ) e ，+ ( b s i n o ) e y b l 。b l x e x + b l y e y 6 2 = 包，巳+ 6 2 y 勺 根据基矢、倒格矢的关系呸岛= 2 刀岛得， 由公式( 2 - 2 4 ) 可以计算出岛。= 2 口n ，6 2 ，= o ，6 l ，= 一等噌臼，6 2 ，= 彘n ， 口 ” 口 。 d s l 倒格基矢为： 倒格矢为： 百：丝巳一丝呕阮， aa 夏 2 - 渊2 ；n r r 万勺 ( 2 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 瓦= m i + ，z 瓦= 等嗽+ ( 意，z 一等c 留锄磅 ( 2 彩) 介电常数分布函数傅立叶展开系数的公式为： 1 2 一社一删一删一归一印一q一吒一 第二章光子晶体带结构计算方法 一 尼( g ) = 土厂+ 三( 卜厂) ，u ，- 6 ：0 d b 当一】土i d 2 x e i g ，一，_ ，o s o s ba c ( 2 - 2 8 ) 为了使介电常分布函数的傅立叶展开系数公式相对简单一些，在推导公式时 先省去( 1 乞一1 毛) 这个常数项，在计算带结构时，在乘上( 1 乞一1 s b ) 。 当0 = 9 0 0 时，光子晶体为矩形排列，将倒格矢的公式( 2 2 7 ) 带入介电常分布 函数傅立叶展开系数公式( 2 2 8 ) 得，矩形排列的傅立叶系数积分公式为： ，玎= 去撇咖j ( 2 m ；r x a + 2 n t r y b ) d s ( 2 - 2 9 ) 其中a 为光子晶体x 方向上的周期，b 为光子晶体y 方向上的周期。 令s ( x ，y ) 为介电常数分布函数，在光子晶体填充区域s 似y ) = 1 ，其它区域为 0 。其矩形排列光子晶体的傅立叶级数表达式为： 舷y ) = e e k ，1 刀p 一脚胍4 + 2 ，z 则6 ) m 咒 ( 2 - 3 0 ) 当0 = 6 0 0 时，a = b ，光子晶体为正三角形排列，带入公式( 2 2 7 ) 得正三角形排列 的傅立叶系数积分公式为： 1 j(一舢+面玎y一面mya ba)1、，33 k 加，刀2 j j s ( ) p 。 。ds c ( 2 - 3 1 ) 其中a 为元胞的面积， ： ：2。ca c , s a 令s ( 工，) ，) 为介电常数分布函数，在光子晶体填充区域s ( x ，少) = 1 ，其它区域为0 。 其三角形排列光子晶体的傅立叶级数表达式为： 一，(一撇+面ny一瓦my)a3 b3 a 、 s ( x ，y ) = ，z p ( 2 3 2 ) 由斜格子二维光子晶体的倒格矢公式可以画图求出三角形排列、矩形排列光 子晶体的第一布里渊区【3 0 3 1 1 ，如图2 - 8 ，图2 - 9 1 3 电子科技火学硕士学位论文 曩 图2 8 矩形排列的布里渊区图2 - 9 三角形排列的布里渊区 2 3 2 编程求解介电常数分布函数的f o u r i e r 展开系数一算法实现 根据平面波展开法推导出的本征方程，用m a t l a b 编程求解光子晶体的禁带。 平面波展开法是一种计算光子晶体带隙完全解析的方法，然而在利用平面波展开 法的时候我们需要对介电常数分布函数做f o u r i e r 展开，对于结构简单的光子晶体， 不难直接求得f o u r i e r 系数的解析表达式。但对于形状复杂的光子晶体，这就成为 一个很棘手的问题。对此，我们分别采用两种方法求解了介电常数分布函数的 f o u r i e r 展开系数。 计算傅立叶系数的时候，在图2 1 0 的坐标系中，采用先对y 积分再对工积分 的方法。因为先对y 积分，积分的上限、下限是三角形其中两条边的直线方程，无 论三角形位于平面中任何位置，与积分上限、下限有联系的那两条直线的函数表 达式总是存在的。在计算第一重积分时，上限、下限是关于x 的表达式，求出这两 条直线的直线方程就可以确定对y 积分的上限、下限了。 首先将一个任意多边形a b c d e ( 边数为行= 5 ) ，按顺时针或逆时针方向分割 成，1 2 个三角形【3 2 3 3 - 3 4 - 3 5 1 ，如：z m b c ，鲋c d ，i k 4 d e ，点彳，b ，c ，d ，e 的坐标表示 为：a ( x a ，y a ) ，b ( ，y b ) ，c ( x c ，虼) ，d ( 而，) ，e ( x e ，y e ) ，先排序找到划分以后的三角 形：m b c ，a a c d ，a , 4 d e 横坐标居中的那三个点( c 、a 、d ) ，再分别过这三个 点做三条平行于y 轴的直线c f 、a g 、d h 交直线a b 、c d 、a e 于点f 、g 、日， 这样所得到的6 个小三角形、，它们在数学上都是直接可 积的。 1 4 第二章光子晶体带结构计算方法 图2 - 1 0 积分区域的剖分不恿图、二： 根据图2 8 求得直线a b 、b c 、a c 的直线方程以及点，的纵坐标： 直线a b ，b c ，a c 的方程分别为： 儿口= ( y a - y 日) ( x a 一p + 儿- ( y 一一) ( 而一) 而 ( 2 - 3 3 ) y b c - - ( 少口一儿) ( x 占一) x + y b 一( 儿一y c ) ( x 一x c ) x ( 2 3 4 ) y a c = ( 儿一) ( 一毪h + 儿一( 儿一儿) ( 一) ( 2 3 5 ) 点f 的纵坐标可以表示为： y j , = ( 儿一儿) “一) + 儿一( 儿一儿) ( 一一) ( 2 3 6 ) 首先对z k , t b c 的顶点彳、b 、c 按横坐标排序，得 c，时，如果b，与e相等，说明此时没有左半三角形，积分结果为，v 0 如果鼠与e 不相等，对y 积分时，积分上下限是从直线b c 到直线a b ，对x 积分 时，积分限从鼠到e ；如果4 与e 相等，说明此时没有右半三角形，积分结果 为0 ，如果4 与c r 不相等，对y 积分时，积分限是从直线a c 到直线a b ，对x 积 分时，积分限从e 到4 ；将两次积分结果相加，得到对a a b c 的积分结果。当f v c v 时，如果置与e 相等，说明此时没有左半三角形，积分结果为0 ，如果b ，与c r 不 相等，对y 积分时，积分限是从直线a b 到直线b c ，对x 积分时，积分限从曰，到c r ； 如果彳，与e 相等，说明此时没有右半三角形，积分结果为0 ；如果彳，与e 不相等， 1s 电子科技大学硕士学位论文 对y 积分时，积分限是从直线a b 到直线a c ，对工积分时，积分限从c 、到彳一将 两次积分结果相加，得到对a a b c 的积分结果。接着在a a c d 区域上积分时，需要 注意的是必须先对a a c d 的顶点彳、c 、d 按横坐标排序，横坐标最小的那个点相 当与第一个三角形的b 点，横坐标居中的那个点相当与第一个三角形的c 点，横 坐标最大的那个点相当与第一个三角形的彳点，再按上述过程对a a c d 做同样处 理，直到在所有的三角形区域上积分完成。 对于由曲线围成的积分区域可以用尽量多的点去逼近曲线，点越多越精确从 而可以把一个曲线区域表示成一个n 边形，计算过程与上述计算过程相同。把所有 三角形的积分结果相加，就得到在积分区域上的积分结果，对于积分区域是凹形 区域时，需要多次积分结果进行加减，计算离散区域时，应在同一坐标系下将各 个离散区域的积分结果相加。 蒙特卡罗( m o n t ec a l l o ) 方法【3 6 1 ，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机 数”的计算方法。设f ( x ，y ) 在区域q 上是有界函数，用一般随机数的方法计算 i l i ( x ，y ) d