（应用数学专业论文）混沌离散神经网络的动力学行为.pdf

摘要 本文首先介绍了a i h a r a 的混沌神经网络模型和具有广义输入输出函数 的离散神经网络模型，并且回顾了前人工作的主要结果。利用s c h a u d e r 不动 点原理证明了具有广义输入输出函数的离散神经网络模型平衡点的存在性， 利用l y a p u n o v 函数方法研究了具有广义输入输出函数的离散神经网络模型 的渐近稳定性，并且对于具有非对称连接权矩阵的具有广义输入输出函数的 离散神经网络模型给出了充分条件，推广了w a n gs d c h e n 的结果。其次，本 文又利用差分方程理论中的一些结论，在第二部分结论的基础上，研究了时 变瞬时混沌神经网络的渐近稳定性，并给出了其渐近稳定性的充分条件。晟 后，为了说明我们的结论，我们还给出了一些例子和数值模拟的结果。 关键词：离散神经网络，广义输入输出函数，渐近稳定性，李雅诺 诺夫函数泣姆刖”一平衡点哪沌神经网络 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c en o to n l yt h em o d e lo ft h ed i s c r e t e t i m e n c u r a ln e t w o r k sa n dt h ed i s c r e t e t i m en e u r a ln e t w o r k sw i t hg e n e r a l i z e di n p u t 一 。u t p u tf u n c t i o n b u ta l s ot h em a i nr e s u l t so ft h ep r e v i o u sw o r k s w ep r e s e n t ap r o o fo ft h ee x i s t e n c eo fa ne q u i l i b r i u mp o i n tb ys c h a u d e rf i x e d p o i n tp r i n c i p l ea n dag e m 、r a l i z e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tg u a r a w , t e e st h es t a b i l i t yo fi t 1 1 1d i s c r e t e t i m en e u r a ln c t w o lk sw i t hg e n e r m i z e di n p u t o u t p u tf u n c t i o nb y u s i n gt h el y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d o u rt h e o r i e sw o r ko u tf o rt h ed i s c r e t e 。 t i m en e u r a ln e t w o r k sw i t hb o t hs y m m e t r i ca n da s y m m e t r i cc o n n e c t i o n sa n d t h e s ea r ee x t e n d e dr e s u l t so fw a n g & c h e n 1 1 0a l s os t u d 3t h es t a b i l i t yo f t i m e _ 、r a r y i n gd i s c r e t e t i m en e u r a ln e t w o r k sa n dg i v eas u f h m e n tc o n d i t i o nt h a t , g u a r a n t e e st h es t a b i l i t yo fi t f i n a l l y ，s e v e r a le x a m p l e sa n dn u m e r i c ms i m u l a t i o na r cs h o w nt oi l l u s t r a t ea n dr e i n f o r c eo u rt h e o r y k e yw o r d s ：d i s c r e t e t i m en e u r a ln e t w o r k s ，g e n e r a l i z e di n p u t o u t p u t f u n c t i o n ，a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t ) l y a p u n o vf u n c t i o n ，e q u i l i b r i u mp o i n t ，t i m e v a r y i n gd i s c r e t e t i m en e u r a ln e t w o r k s 3 引言 人工神经网络是一门高度综合的交叉学科，它的研究与应用涉及计 算机与人工智能，神经生理学，认知科学，信息科学，非线性动力学等众 多科学领域。在人工神经网络的发展过程中，提出或用及的网络模型有近 百种，其中较为重要的模型有：4 0 年代初，m c c i f l l o c h p i t t s 的神经元的数 学模型；1 9 4 9 年h e b b 从条件反射的研究中提出t h e b b 学习规则；5 0 年代 末，以fr o s e n b l a t t 提出的知觉器为代表形成了人工神经网络的第一次高 潮；1 9 6 9 年，m i n s k y 和p a p e r t 的“p e c e p t i o n ”一书出版，在大量数学分析 的基础上，提出了知觉器的局限性，从而导致了神经网络的降温，到2 0 世 纪7 0 年代，仅有少数数学家致力于神经网络的研究；1 9 8 2 年，h o p f i e l d 提 出了h o p f i e l d o 经网络模型，使人工神经网络的研究有了突破性进展，他把 神经网络看作非线性动力系统，引进t l y a p u n o v 函数，使网络的收敛性 和稳定性研究有了明确的判据。h o p f i e l d 运用这种模型成功地解决了旅行 商( t s p l 问题，这一成果使人工神经网络的研究又活跃起来，并取得了一 大批引入注目的成果：8 0 年代中，r u m e l h a r t 和m c c e l l a n d 提出的前馈网络 的b p 算法，a d d e y 等人的波尔兹机；9 0 年代初，a i h a r a 等在前人推导和实 验的基础上提出了混沌神经网络模型。这些网络模型已经在模式识别，决策 优化，联想记忆，自适应控制和计算机视觉，信号处理，目标跟踪，网络系 统等众多领域的应用中取得了引入注目的成果。然而，由于目前人类对真实 神经系统只了解非常有限的一部分，对于自身脑结构及其活动机理的认识还 十分肤浅，当今的神经网络模型实际上是较为简单和粗糙的，并且是常用某 种“先验”的。例如，b o l t z m a n 机引入随机扰动来避免局部最小，有其优 越之处，然而，缺乏必要的脑生理学基础。毫无疑问，人工神经网络的完善 与发展有待于神经生理学，神经解剖学的研究给出更加详细的信息和证据。 近年来，人们从两个方面都发现，脑中存在混沌现象一是对脑电波 的研究，即用表面电极铡定脑活动的宏观空问平均量，二是用微小电极测 4 定微观的单个神经元的膜电位。前者是通过脑电波数据的相关维数的分析 来表明混沌的存在，而后者则通过一些直接的分析来表明在。定条件下神 经元会产生混沌现象。事实上神经网络是高度非线性动力系统， 一般可 定义为由确定的微分方程或差分方程描述的一个系统在时间轴上的状态演 变。所以可以用动力系统中的有关方法来研究神经网络。而在动力系统中， 吸目i 于是个十分重要的概念，当某一时刻系统状态确定后，其后的状态 将按动力学方程转移，靠近某一稳定状态，这样的状态就是吸引予。吸引 子有很多种，包括点吸引子，周期吸引子，奇异吸引子( 混沌是其典型例 予) 。通常，神经网络有多个吸引子，吸引子对应的初值集合叫做吸引域。 神经网络研究的关键是吸引域。对于吸引域的研究最困难的是混沌吸引子 的吸引域。而混沌是不含外加随机因素的完全确定性系统所表现出的内秉 随机性行为。对于混沌判别，从数学上讲还没有统一的定义，比较常用的 有l i y o r k e ，d c x a n e y ，m a r o t t o 意义下的混沌。在实际中为了刻划混沌动力 学性质往往用l y a p u n o v 指数。而对于一维离散动力系统较常用的有如下判 别法在1 9 7 5 年，l i 和y o r k e 得出一个相当简单的混沌存在的条件，即：周 期3 意味着混沌7 1 。而在1 9 8 2 年，“和m i s i u r e w i c z 推广了l i 和y 。r k e 的条件， 目| j ：不可分意味着混沌f 6 。对于高维离散动力系统，一般使用m a r o t t o 定理， 即：互斥子意味着混沌f 2 3 1 。然而，gc h e n 在2 0 中指出了m a r o t t o 定理本身 有一个错误，同时，gc h e n 所给的互斥子的定义已改变了m a r o t t o 的原来 定义。事实上，m a r o t t o 原定理的正确性至今还没有人证明，也没有人能举 反例说明其不正确性。因此，虽然lc h e n * n ka i h a r a 在f 5 1 中用m a r o t t o 定 理理论上证明高维t c n n 模型具有混沌结构，但是实际上可以认为t c n n 模型中具有混沌还没有理论证明。而对于一维的情况jr u a n 等在4 1 中应 用l i n i m i s i u r e w i c z 的定理从理论上证明一维的t c n n 具有混沌结构，并且给 出了一维离散神经网络具有混沌结构的充分条件。因此，尽管t c n n 模型中 存在混沌已经在数值模拟中得到验证，但对高维的情况还没有理论证明。 5 另 方面，对于神经网络平衡点的渐近稳定性的研究也是神经网络 研究的另个热点。在过去儿十年里，由于混沌研究的困难所在，而在应 用中，又希望设计的神经网络具有尽可能多的平衡点用来提供尽可能多的 信息，这就使得许多人研究神经网络的稳定性，产生了大量的有关神经网 络全局稳定性的文献。例如，c h e n 和a i h a r a 等【5 利用l a s a l k 不变原理，找 出了一类离散神经网络的平衡点全局稳定的充分条件。l i um i c h e lf 1 4 1 利 用l y a p u no 、 函数方法得到了另一类离散神经网络的平衡点全局稳定的一些 结果。g u a n 和c h e n 【1 1 推出了连续的h o p f i e l d 神经网络平衡点存在性，唯 一陛和稳定性的一些条件。 全文安排如下：第一部分介绍a i h a r a 的混沌神经网络模型和具有广义 输入输出函数的离散神经网络模型：第二部分研究具有广义输入输出函数的 离散神经网络模型的渐近稳定性：第三部分研究时变混沌瞬时神经网络的渐 近稳定性；第四部分是总结及工作展望。 1 ，混沌神经网络模型 首先，我们介绍混沌神经网络模型中具有代表性的模型：a i h a r a 的混 沌神经网络模犁。 1 1a i h a r a 的混沌神经网络模型的提出 为了介绍a i h a r a 的混沌神经网络模型，我们先介绍a i h a r a 的混沌神 经元模型。 1 1 1a i h a r a 的混沌神经元模型 在历史上，最重要的神经元数学模型有m a c u l l o c h p i t t s 模型( 1 9 4 3 年) d c a i a n i e l l o 模型( 1 9 6 1 年) 。前者是后者的一个特例。c a i a n i e l l o 模型的数学 方程是： 目 一 r 一 z p 灯 甜 。m o 。一 u | j i+ z 其中，z d t + 1 ) 是第t 个神经元在离散时间t + i u jl ￥j 输出值，2 2 i 的取值为1 ( 激 发) 或o ( 非激发) 。“为单位阶函数，即 u ( 9 ) = 1 可o 。 io 口 05 h ( z ) = 一 10 - z o ) ； u 。 自连接权值，且w ：，= u 。：( ) ： 卢 衰减因子( 0 1 ) ： a o 。第i 个神经元的自偏差。 在这篇文章中，我们首先考虑u 。是常数的情形。我们假设输入输出 函数z ：( ) = ，( 弘( ) ) 单调递增，而且满足下列条件： ( 1 ) ，( g ) c 1 ，0 ，( 口) 且肘= s 叩 ，( 目) ff r 是有限数， ( 2 ) ( ) = q o + 。( ；) ( y 一一o 。) 且，( ) = 岛+ o ( ：) ( g 一+ ) ， 很明显，q o 一a 。 f 3 ) l ，8 e 一a 。 那么，若【1 3 ) 采用的是同步更新时，则离散系统( 1 3 ) 的解x ( t ) ，当t 一 。酬趋向于一个不动点1 。 wz h a o 等在f 1 2 1 中进一步完善和发展了lc h e n 和ka i h a r a 的关 十t c n n 模型渐近稳定性的研究，给出了下面的定理。 定理12 圳假设存在对角正定矩阵d = d i a g d ，d 2 ，如) ，使 得d 是对称矩阵并且矩阵d w 十4 ( k + i ) c d 正定，k 0 ，那么，离散系 统( 1 3 ) 的解x ( ) 当一o 。时，趋向于一个平衡点集。 2 具有广义输入输出函数的离散神经网络的渐近稳定性 在这一节里，我们研究具有广义输入输出函数的离散神经网络的渐近 稳定性。 2 1 具有广义输入输出函数的离散神经网络模型的平衡点的存 在性 在这一部分里，我们要证明具有广义输入输出函数的离散神经网络模 型至少存在一个平衡点，如果把此模型看成一个映射的话，也就是至少存在 一个不动点。为了证明平衡点的存在性，首先给s c h a u d e r 不动点原理。 s c h a u d e r ，石动，点原置野2 1 1 ：设q 是b a n a c h 空问的一个凸闭集，0c n 且q 为致密集，映射p ：q q 是连续的，那么，p 在q 里存在一个不动点， 即存在一个点y 属于q ，使得y = 卢( y ) 。 利用s c h a u d e r 不动点原理，得到下面的定理。 定理2l 具有广义输入输出函数的离散神经网络模型至少具有一个平 衡点。 更严格的说应该是离散系统( 1 3 ) 的所有解x ( ) ，当一。时，趋向于一个平衡点集。 1 2 证明即是b a n a c h 空间，取舻上的无穷范数：。，即若x = z h 一，z 。) 则i 【x = m a x 旧j ，| z 。i ) 。定义集合q 为： q = ( y er “if j y | 。s ? 7 a x i n o i ，l 岛) 那么，q 是r “的闭有界凸子集。下面，我们说明映射户：q q 的。 因为孔( ) = f ( 叭( t ) ) ( z = 12 ， ，礼) ，而a o 茎f ( v ：) s 岛，从而，口。茎 z 。( t ) s 卢。所以， 户_ 【o 。曼，n o z q o 【，l 风i ) 。则户：q q 上的映射。利 席j s c h a u d e r 不动点原理，存在一个点x 印使得户+ ) = 爿”。证毕。 2 2 渐近稳定性 为证明系统( 1 3 ) 渐近稳定性，我们给出离散动力系统渐近稳定性的不变 性原理。 引理2 1 f 1 8 考虑离散动力系统 其中，n ，是自然数集合，z ( k ) er ”，f 胛一舻。假设存 在一个径向无界函数 ec n “，捌，使得u ( ，( z ) ) u ( z ) 对所有的zej r ”。 + m o 是集合z = z 舻i ”( ，( z ) ) = ”( z ) ) 的最大不变集，那么，此动力系 统( 1 4 ) 的每一个有界解西( k ) ，当k 0 0 时，趋向于集合n 如。 定理22 假设系统0 3 ) 满足： f 1 1k 0 、 ( 2 ) 存在正定对角矩阵d = d i a g d 1 d 2 ，d 。) 使得d w 是对称矩 阵， ( 3 ) 矩阵d 1 4 - l1 ；d 正定，其中肘= s u p f ( ) fye 兄) 是有限数， 那么，系统( 1 3 ) 的所有解x ( t ) ，当t 一。时，趋向于一个平衡点集。 1 3 证明 定义l y a p u n o v 函数为 v f x 1 d i ( n 。一a o i ) ；t i 一( k ，塾o “。 f 。1 ( x ) d x ( 1 5 1 其中d 1 4 ，= b 十b 7 ，b = ( b , j ) 。注意到，对所有的q o z 。茎卢。，v ( x ) 酽一r 是有界映射且是径向无界函数。 考虑v 的前向差分： v = v ( x ( t + 1 ) ) 一v ( x ( ) ) v = 一；z ( b 。+ b j ：) a x i a x 3 一( 6 q + b 3 。) z t ) i z 。 一耋a 。c a i - - w 2 , i a o ，z t c m 一，薹；a ：( ：! ；+ ”，一1 ( x ) d z 一d 。() 甄一( k 一1 ) d ：，、4 厂1 t 2 、7 = 一；( b 。+ 屯：) a z i a x ， “仁lj 2 l 一乩i k d 。厂一1 ( 甄( ) ) + d i w i j z j ( t ) + d i a l d ：吣。n0 】 - 一耋d ；z 。，一1 ( z 。( t ) ) 一( 一- ) 耋d t z ：+ ”，一1 ( z ) d z +、o = 一；( b ：，+ b j ，) z ：q f 。1 ( z ) d z j 1 ( 孔( t ) ) 将学厂- 1 ( x ) d x 在z o 点展升得： j ( 。，一1 ( z ) d z = z 2 。，一1 ( 。) d z + ( z z 。) ，一1 ( 。) 十! 三二f 一1 ( z ) j 。：e ，( 1 6 ) 其中f 位于z 和z o 之间，由于输入输出函数z 。( ) = 厂( 玑( t ) ) 满足：0 0 ，因此有 - 1 ( f ) 】7 击 0 。 令3 2 = z ：( t + 1 ) ，z 。= 墨( t ) 得到下面不等式 z ：+ “，1 ( z ) d z 一z 。，一1 ( z 。( ) ) = ；i f - 1 ( ) z 。22 o 。 ( 1 7 ) 令z = 2 8 ，( t ) ，x o = 置( t + 1 ) 得到下面不等式 孔，_ 1 ( z ，( + 1 ) ) 一z i i ! f l + ”，一1 ( z ) d z = ；i f - ( ) j 7 而2 o 。 ( 1 8 ) 利用( 1 7 ) ( 1 8 ) 式和定理条件女 0 ，得到： a v = 一；( 6 。，+ 岛。) z ，勺一；( 女+ 】) f 1 ) 吐丑2 ， ：# 1 。1 。 2 2 1 = 一；x 7 b + b 7 + ( + 1 ) ，一1 ( 0 1 d a x = 一i l a x 7 i d w + ( 女+ 】) f ，一1 7 d v x 其中a x ( t ) = x ( t + 1 ) 一x ( t ) 。 由定理条件( 2 ) ，( 3 ) 知：* e p s d w + 兰d 对称正定又因为f ，一1 ( ) 】 丽1 0 且 0 d 是正定对角矩阵，所以矩阵d w4 - ( k + 1 ) i f 一1 ( ) 17 d y , j - 称诈 定。因此，vs0 且当且仅当x ( t ) = 0 时不等式取等号。这就说明v ( x 1 是系统( 1 3 ) 的l y a p u n o v 函数。 因为f ( 义( ) ) = x ( t + 1 ) ，所以由y = v ( x ( t + 1 ) ) y ( x ( ) ) so 可 以得到：v ( f ( x ) ) sv ( x ) ，当且仅当a x ( t ) = 0 时不等式取等号。 又由l i x ( t i i j 。 m 。z o l ，j 岛m 说明系统( 1 3 ) 的所有解都有界。 根据以上证明利用 i 理21 ，系统( 1 3 ) 的所有解x ( t ) ，当t o o , 1 ， 趋向于平衡点集 ，m o 是集合 义r ”| v ( 卢( x ) ) = v ( x ) 的最大不变集。 证毕。 利用定理22 ，可以得到f 面的推论： 推论2l 如果输入输出函数，( ( f ) ) = 七丽且系- 纾f ( i 3 ) 满足定 理22 的条件( 1 ) ，( 2 ) ，那么当矩阵d w 一4 e ( c + 1 ) d 正定时，系统f 1 3 ) 的所 有解x ( t ) ，当t 一叫，趋向于个平衡点集。 1 5 证明凼为 八沪番斋= ( ，叫纠 又o z f ) 1 ，所以得到： ，( ) 去 即m = 去利用定理22 ，易于证明此结论。 推论22如果输入输出函数 ( ( ) ) = t a n h o t y ( t ) ) 且系统( 1 3 ) 满足 定理22 的条件( 1 ) ，( 2 ) ，那么当矩阵d ，t + 掣d 正定时t 系统( 1 3 ) 的所有 解x ，当一。时，趋向于一个平衡点集。 证明因为 训7 = i a n f t ( 川卜面尝研曼扯 所以，m = “。由定理22 ，结论成立。 推论23 如果输入输出函数，2 ( g ( ) ) = ； c 缸n ( ；肛( ) ) 且系统( 1 3 ) 满 足定理22 的条件( 1 ) ，( 2 ) ，那么当矩阵d w + 生筹业d 正定时，系统( 1 3 ) 的 所有解x ( t ) 当f 一。州，趋向于一个平衡点集。 证明匮l 为 删7 = 孑2 高s ( 所以，m = ( ! ) 2 肛。由定理22 ，结论成立。 2 3 例子 例2 1 考虑一维模型： 化、 面。 白lo z 一， u 一 6罢m ， = 其中= o9 ，f = 葡1 ，o = 0 2 0 = o6 5 。在文献f 5 中有如下结果：当一u o ( ) 2 8 8 时，系统将渐近趋向于不动点集。运用推论1 ， 因此，当一u o0 3 0 4 时，系统的所有解x ( t ) ，当一o o n , 目，趋向于一个平衡 点集。 1 一一一- - 一一一一一 ；一丽 高；i 丽一_ 1 2 0 图1 神经元z ( t ) 的输出，当初值v ( o ) = 9 ，u = 一o0 3 时，系统的解z ( ) 当t 一。时趋向于平衡点t + = 09 8 5 1 。 例22 考虑两维模型： n 。( t + i ) = 七玑( f ) + 岫j 茁j ( ) + n ：一u a o ，i = 1 、2 j = 1 。( ) ：七，z ：l2 1 + e 一半 其中，= o9 f = 葡1 ，u 1 1 = 2 ，j 1 2 = 一l9 5 ，c 0 2 1 = 一o9 7 5 、c 0 2 2 = l a 1 = ( 1 2 = o2 。0 1 = a 0 2 = o2 ，这里，w j w “。令d = d i a g 1 、2 ) ， 则d w = j 1 9 5 f 对称正定，矩阵d w + 4 ( k + 1 ) e d 也是对称f 9 1 7 定，因此，由推论1 知，系统的所有鳃x ( t ) = ( z l ( ) ，z 2 ( t ) ) 7 ，当一日d ，趋 向于个平衡点集。f 图是神经网络的输出。 35 j ! ：一一一一一一 o5 f 。匕 o f i 图2 神经网络的输出。当初值玑( 0 ) 一3 1 ，y 2 ( o ) = 一1 时，系统的 解x ( t ) = ( z 1 ( t ) ，：e 2 ( t ) ) 7 ，当t 一时，趋向于平衡点( 30 9 1 】e 。0 9 7 、30 9 1l e + 0 9 7 ) 。 例23 考虑两维模型： n 叭( + 1 ) = 七玑( ) 十“；r e ( t ) + n ；一u i i a o i ，i = i - 2 j = 】 其中，k = 0 9 ，肚= o1 ，u 1 1 = 33t - 0 1 2 ：一3 ，u 2 】= 3 c d 2 2 = 33 ，1 = 。2 = 02 ，a o l ：a 0 2 = o5 ，“= ol ，这里，w 7 对称正定。由推论2 知，系统的所有 解x ( f ) ：( z ，( ) z 2 ( t ) ) 7 ，当t 一时，趋向于一个平衡点集。下图是神经网 络的输出。 1 8 0 4 0 2 口 _ 0 2 2 。 i o 。 - o6 + 08 一 畜一 百赢一面一一1 百一一面 图3 神经网络的输出。当初值y l ( 0 ) = 1 y 2 ( o ) = 1u , j ，系统的解x ( z ) = ( 趴( ) 、x 2 ( f ) ) 7 ，当t 一。时，趋向于平衡点( 一09 3 9 2 ，一0 9 3 9 2 ) 。 3 时变瞬时混沌神经网络的渐近稳定性 若系统f 9 ) ( 1 0 ) ，( 1 1 ) 中的。( f + 1 ) j = ( 1 卢) k ，( ) i 是依赖于时间的 变量，则称系统( 9 ) ，( 1 0 ) 、( 1 1 ) 为时变瞬州混沌神经网络模型。在时变瞬日， 混沌神经网络模型中，咄。( t ) 随着啪增大，必将趋于0 ，使自连接权系数 为0 。为了使研究更具有一般性，可以令u 。( ) = u 。+ 砑。( f ) ，现，( + 1 ) 满 , g - i r a 。( 4 - 1 ) i = ( 1 一a ) l m 。( t ) | 。当。= 0 i = 1 ，2 ， ，n 时，此模型就是原 来的叫变瞬n , l 混沌神经网络模型。在这一节里，我们将对时变瞬时混沌神经 网络模型的稳定性给出讨论。 3 1 时变瞬时混沌神经网络的模型 时变瞬时混沌神经网络可以用下面的纯量差分方程来描述： 圳= f ( y 5 斧1 ( 1 9 ) 1 9 n 可：( + 1 ) = 七玑( t ) +u v ( f ) + o 。一。( t ) ( 。m z 。( z ) ) 、( 2 0 ) j = l ，t j u 。( t ) = u 。4 - 面。( ) ，f 口。( + 1 ) i = ( 】一卢) 苗。( t ) ，( 2 1 ) 各变量，参量的意义见第一部分。文献f 4 9 ，1 6 j 讨论瞬时混沌神经网络 的稳定性时，都将口，( z ) 取为常g o ，在这一节裂，我们要讨论西，( ) - 与m ? l b j 有关，即o p 1 刚，瞬时混沌神经网络的稳定性。 我们可以将瞬时混沌神经网络改写成向量形式： y ( t4 - 1 ) = f g q t ) ) q - g ( t ，y ( t ) ) ，( 2 2 ) 其中， f 0 7 ( ) ) = l 俅) 4 - w x ( r ( t ) ) 4 - ，一d i a g c 0 1 l ，c 0 2 2 一，u 。 ，o 且 y ( t ) = ，= 蜘( t ) 4 - 1w 4 f ( ! l j ( t ) ) 4 - a n u n n n o n 1 ( t ) 蜘( t ) i o o 。( t ) ( ，( 蜘( z ) ) 一。o 。) x ( y ( t ) ) f ( y l ( ) ) ，( 蜘( t ) ) o n u l 2 u 2 10 2 2 1 + e = 删 u l n u 2 “ o n l “2u n t l 我们首先研究p 面的自治系统 】7 ( f + 1 ) = f ( y ( ) ) = k y ( t ) 4 - 1 4 7 x ( y ( t ) ) + ，一d i a g w n ，0 ) 2 2 ，“。) ，0 。 f 2 3 1 方程( 2 a ) 中的f 是e 1 类函数，而且可以看成是迭代映射或是差分方程或是 具有离散时间和连续状态的神经网络。 为了分析x ( t ) 的渐近稳定性，可以将方程改写为： f ( 义( ) ) = x ( t + 1 ) = 1 1 + e x p 一 k e l n i ；高+ 。u ，z ，( f ) + n ，c d l l a o ) 1 1 + e x p 一 k e i n i 笔等i + ；：1 u 。i x 3 ( t ) + 。 其中0sz 。( t ) s1 ，t = 1 ，n 。 3 2 时变瞬时混沌神经网络的渐近稳定性 “。n 咖 ) f 2 4 1 系统( 2 4 ) 满足推论21 的条件时，系统( 2 4 ) 的解是渐近稳定的。为了证 明时变瞬时混沌神经网络的渐近稳定性，需要下面4 个引理： 引理31 1 1 7 设函数币( k ，肛) 在n ( a ) 酽上有定义，且偏导数第存 在。而且令初值问题 p ( 七+ 1 ) = 巾( 七，“( 七) ) 、p ( n ) = 肛。 的解“( k ) = u ( k ，n 、扩) 在a t ( o ) 上存在，并且令j ( k ，n ，“。) = 塑盥错：旦出。那 么，矩阵v ( d ，o ) = 塑瓮社存在且是初值问题 的解。 1 7 ( 女- - 1 o ，肛o ) = j ( k ，n 肛o ) v ( k ，肛o ) ，v ( a n ，p o ) = e( 2 6 ) 2 1 ；1 t 2 32 1 7 设函数中( k ，p ) 和( 女，肛) e n ( a ) 酽上有定义，磬存在 且连续。如果对每一个矿e 舻，( 2 5 ) 的解p ( o ，肛o ) 在n ( a ) 上存在，那么， 方程 ( k + 1 ) = 中( k ，( k ) ) + ( ，k k ) ) ，ke n ( a )( 2 7 ) 的任解( ) = ( ，a ，“o ) 满足 其中 p ( ，n ，“o + w ，1 w ( k ，o ，w ( k ) ，( + 1 ) ) = v ( k ，。，s w ( 1 + 1 ) ，( 1 一s ) w ( f ) ) d s ； ( 2 9 ) 吣，n ) = 鹆笋， 在引理3l 中定义，且( ) 满足下面隐函数方程 k l ( 七) = 肛o + w 一1 ( f + l ，o ，叫( f ) ，叫( f + 1 ) ) 皿( f ，p ( f ，a ，叫( f ) ) ) 。 ( 3 0 ) f 2 0 引理33 1 1 7 1 假设i 理2 2 的条件都满足，那么 v ( 七，o ，肛o ) = p ( 七，吐，肛o ) + ( 七，n ，叫( 七) ，芦o ) w 一1 ( f + 1 ，口，山( f ) ，( “一1 ) ) ( f ，v ( f ) ) 。 l = o ( 3 1 ) 我们记：a = ( 。) 是实方阵， t a l l o 。= t f z a x ； ，f i ) 。 那么， o f ( y ) a y 一业 半惹1 每 ( + c 一2 峙二二) 2 m ! 二竺 ( 1 十。一“兽) 2 一业 挚蔫 由o 。范数的定义，有 一生生 警孟l + e j 写 f一7 一、2 一! 缸生 警蔫 一蛳j 旦 n ! 二一 。f l “一2 孕1 2 半孟遗吓 一业 ! n ! ! 一6 f 1 + e 一2 平2 、2 一n d 业 2 + 警蔫 “o f 。，( y i 4 - 川l1 w 。i j l 熹舞，。 ， 引理34如果0 1 ，那么存在正常数m ，m 使得： 0 s m i o f 口，( y ) 。m 。 证明因为 悬钏) ( 1 圳胚；，五再”删卜三i 1 所以由( 3 2 ) 式和0 1 ，存在正常数m ，m ，使得： 。 s 叫i 掣k m n + ；耋掣。 证毕。 我们已经知道，在一定的条件下，系统( 2 4 ) 的所有解x ( t ) ，当t 一 。时，趋向于一个平衡点集。现在的问题是：在定的条件下，系统f 2 2 ) 的 所有解是否也趋向于平衡点集。下面的定理就回答了这1 问题。 定理3 1 对于系统 x ( t ) = x ( y ( t ) ) ，( 3 3 ) y ( t + 1 ) = f 0 m ) ) 4 - g ( t ，y ( ) ) 、( 3 4 ) 假设 f 1 ) 0 1 ， ( 2 ) 存在正定对角阵d = d i a g d 1 ，d 2，如) 使得d w 是对称矩阵， ( 3 ) 矩阵d + 4 e ( + 1 ) d 正定， ( 4 ) 半 1 且o 惫sm m 1 其中口是衰减因子( 0 1 ) ，m m 是引理34 中所指的， 那么，系统( 3 3 ) ( 3 4 ) 的所有解，当t 一。时，也趋向于系统( 2 4 ) 平衡 点集。 证明由推论21 知，当系统( 2 4 ) 满足条件( 1 ) ( 2 ) ，( 3 ) 时，系统( 2 4 ) 的所 有解，当t 一。叫，趋向于一个平衡点集。 假设p t o ，y o ) 是初值问题： z ( t + 1 ) = f ( y ( t ) ) y ( t o ) = y 。， 的解，由引理33 得，系统( 3 3 ) ，( 3 4 ) 的满足初值问题y ( o ) = y o 的解为 y ( t ，t o ，y o ) = p ( t o ，y o ) + 7 ( t ，t o ，叫q ) y o ) u 卜1 q + 1 、t o ，叫“) ，叫( f + 1 ) ) g ( f ，y ( f ) ) k t 0 ( 3 5 ) 其中 且 f 1 7 ( 2 ，t o , w ( 2 ) ，川( 2 + 1 ) ) = n v ( 。、如s “j ( f + 1 ) ，( 1 8 ) 叫( 。) ) d 8 ，( 3 6 ) a y ( t ，t o ，y o ) a y o 8 f 日y ( y ) v ( 、t , t o , y o ) ，v ( 。，t 。，y 。) = e ， ( 3 7 ) 解上述万程，得： = ( 掣) f - 。 利用引理34 、可以得到： m 。 i i v ( t t o ，y 。) l l 。： 一、对所有的k 1 。( 3 8 ) 利用f 3 8 ) ，有： 0 m 一。 i | 俅，t o ，w ( o t u ( h1 ) ) 1 1 。c 一，对所有的k ，l 。( 3 9 ) 2 4 ( 击) 1 - t 0 m 妒- 1 ( t , t o , w ( 2 ) w ( ! + 1 ) ) 怯 ( 去) 。t u ，对所有的。( 4 0 7 因为： 且 函。0 十1 ) i = ( 1 一口) l 函。( ) 1 0 日 1 0 f ( y i ( t ) 1 1 ， a a 。是常数、对所有的i = 1 ，2 ，n 因此，存在k ( o ) ，使得 l i g ( t ，y ( t ) ) l l 。茎k ( t o ) ( 1 o ) “一妃) ，( 4 1 ) 其中k ( t o ) = ( 】+ r n 。l t ! 。( a 0 。 ) w i i ( t o ) 。 利用( g g ) ，( 4 0 ) ，( 4 1 ) ，可以得到： f 一1 j j l 4 7 ( t ，t 。，“( ) ，y 。) 1 矿一1 ( f + 1 ，t o ( f ) ，训( f + 1 ) ) g ( fy ( z ) ) i i 2 0 s m - t o k ( 幻色t - i ( h 。( 1 一岛) 。 ：唑k 旷“一( 堡坐二旦) 一。 一，i 、， m ( 1 一等j 1 m 所以当一。日- j ，由定理条件( 4 ) ：坐；半 1n o m 1 得到 t 一1 协7 ( ，t o 、( t ) y o ) w 一1 ( e + 1 t o ，州( f ) w ( 1 + 1 ) ) g ( f 、y ( f ) ) ij 。+ 0 ( 4 2 ) l = t o 由( 3 5 ) 式得： | | y ( t o y o ) 一y ( t ，o ，y 。) fj 。 t 一1 w ( t ，n 训( f ) ，0 ) w7 _ 1 ( f + 1 ，t o 训( f ) ，w ( 1 上1 ) ) g ( f ，y ( z ) ) l l 。 = t o 假设当一。时，p f t ，t o ，y o ) 一p 利用( 4 2 ) 和上式，可以得到： 又 y ( t o 1 7 0 ) 一p 4 ，当t o o 日, 1 - 。 x ( 】7 ( ) ) = 厂l ( f ) t ( t ) 。= u 型 1 + e 1 掣 这就说明了系统( 3 3 ) 、( 3 4 ) 的所有解，当t 一。喇，也趋向于系统( 2 4 ) 平衡点 集。 证毕。 3 3 例子 倒31 考虑一维模型 州归去， 其中足= o8 ，u ( ) = u + 百( t ) ，u = 0 0 0 2 函( t + 1 ) = ( 1 一卢) i ( f ) ，e = 击， = 一00 0 0 5 n = o6 5 、声= o4 。 利用引理34 可以求出：0 8 0 ，满足定理3 1 的条件，所以系统的所有解，当t 一。日1 ，趋向 于个平衡点集。 f 图是取上述给定参数值时，在一定初值条件下，神经元z ( f ) 输出数 值模拟的结果。 2 6 蚓 l i l ；_ _ j l 。i 0 3 1 引i4 i 、 ”。l 、 ”f _ 图4 神经元2 ( c ) 的输出，当初值y ( 0 ) = 1 5 巧( o ) = 一l o o o 时，系统的 解z ( f ) ，当f o o 日j - ，趋向于一个平衡点z = 01 2 6 3 。 例32 考虑二维模型： 可：( + 1 ) = 矗。( t ) 十u ”( ) 。j ( z ) + n ，一。( t ) a o ：，i = 1 ，2 zz ( ) = 二丽，2 = 1 、2 其中，詹= 07 ( = j 丽1 u 。( ) = “。+ 刁。： ) ，。( f + 1 ) = ( 1 一) u 。，( t ) ? ：l2 ，： “i i ”f ：f n 0 0 2 n 0 0 1 f 口：o9 ，。1 ：o6 、。2 ：o4 ， i 砌咖l 0 0 0 1 0 0 0 3 矩阵1 7 + 4 e ( k 1 ) e 对称正定，e 是单位阵，而且在取上述参数 值叫，学 i 且o 七m m 1 ，由定理31 知，神经网络 的输出y ( 小当一o o n , l ，趋向于一- f 、平衡点集。神经网络的内部状 态y 7 ( t ) = ( 玑( t ) ，目2 ( ) ) 7 ，当t o o 口, 1 ，也趋向于一个平衡点集。 卜图是取上述给定参数值时，在一定初值条件下，神经网络的输出和 内部状态。 2 7 图5 ( a ) 神经网络的输出；( b ) 神经网络的内部状态。当初值- ，( o ) = 1 0 0 0w 2 2 ( o ) = 一2 0 0 0 口】( 0 ) = 一1 ，2 ( o ) = 一3 ，时，神经网络的输出x ( ) 一 2 8 鲫 蚰 o 即 一薯 当t 一时，趋向于一个平衡点( 1 ，1 ) ；神经网络的内部状态】，( t ) ，当t 一 。叫，趋向于一个平衡点f 20 0 8 013 4 1 7 ) 。 4 总结及工作展望 在这篇文章中，我们利用s c h a u d e r 不动点原理证明了具有广义输入输 出函数的离散神经网络模型存在不动点，其次利用l y a p u n o v 函数方法给出 了具有广义输入输出函数的离散神经网络模型渐近稳定的充分条件。最后， 本文又研究了时变瞬时混沌瞬时神经网络的渐近稳定的性质，并给出了充分 条件。这些结论对于在组合优化和联想记忆等实际问题中设计t c n n 具有一 定的指导作用。但是由于在这篇文毒中，我们仅仅考虑了稳定性，而众所周 知，混沌现象可以解释脑中某些不规则的活动，因此混沌动力学为人们研究 神经网络提供了新的契机。正如本文前言所说，混沌理论在神经网络中的应 用才刚剐起步。用神经网络研究或产生混沌以及构造混沌神经网络成为摆在 人们面前的又一新课题。这正是我们今后要