（电子科学与技术专业论文）基于小波和有限脊波变换的图像去噪.pdf

中南大学硕士学位论文 摘要 摘要 图像去噪是指在保存图像重要信息地同时尽可能多地清除图像 噪声的处理过程。它是进行图像分析的一个必要步骤，去噪的效果直 接关系到后续图像分析的效果，因此图像去噪是图像处理领域里一个 非常重要的部分。小波变换去噪方法是一类效果很好的图像去噪方 法。但小波变换不能有效地处理图像的奇异线或奇异面，因此研究者 们在小波变换的基础上提出了有限脊波变换。 本文从小波系数关系和小波变换不能有效地处理图像奇异线这 两个方面分别对小波去噪进行研究。 针对仅考虑邻域小波系数关系的去噪方法和仅考虑尺度间小波 系数关系的去噪方法的缺点，提出了一种利用尺度内小波系数关系和 尺度间小波系数关系的去噪方法。该方法使用邻域小波系数的平均幅 值来描述尺度内小波系数关系，用小波系数的相关系数描述尺度间小 波系数关系。根据这两种小波系数关系，提出了一种阈值函数，并研 究了阈值和图像噪声的关系。通过仿真实验，该去噪方法与仅考虑邻 域小波系数关系的去噪方法和仅考虑尺度间小波系数关系的去噪方 法相比，信噪比峰值o s n r ) 得n t 有效提高。 为了克服在处理纹理丰富的图像时小波变换去噪不能有效处理 奇异线的缺点，本文提出了一种小波和有限脊波联合去噪方法。该方 法首先对图像分块，然后提取同质块，对同质块使用小波变换去噪， 而对非同质块使用有限脊波变换去噪。对于同质快的提取，本文通过 研究图像块的方差的直方图，提出了一种同质块的选取原则。通过与 贝叶斯小波去噪方法和贝叶斯有限脊波去噪方法相比，该方法的去噪 效果有了一定的提高，特别是噪声标准方差在2 0 以上时，信噪e l ( s n r ) 提高了至少l d b 。1 关键词：小波变换，有限脊波变换，图像去噪，信噪比峰值 本研究得到中南大学研究生教育创新工程项目基金资助( 项目编号：2 0 1 0 s s x t l 2 9 ) i a b s t r a c t i m a g ed e n o i s i n gi s ap r o c e s sw h i c hp r e s e r v e s i m p o r t a n ti m a g e i n f o r m a t i o na n dr e m o v e si m a g en o i s ea sm u c ha s p o s s i b l e i m a g e d e - n o i s i n gi san e c e s s a r ys t e po fi m a g ea n a l y s i s ，w h o s ep e r f o r m a n c ei s d i r e c t l yd e p e n d e n to nt h ep e r f o r m a n c eo fi m a g ed e - n o i s i n g ，s oi m a g e d e 。n o i s i n gi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta s p e c t si nt h ei m a g ep r o c e s s i n g f i e l d t h ew a v e l e td e n o i s i n gm e t h o di sak i n do fi m a g e d e n o i s i n g m e t h o d s ，w h i c hc a na c h i e v eg o o dd e n o i s i n gp e r f o r m a n c e b u tt h e w a v e l e tt r a n s f o r mi sn o tg o o da tp r o c e s s i n gl i n es i n g u l a r i t i e so rs u r f a c e s i n g u l a r i t i e s ，s or e s e a r c h e r sh a v ep r o p o s e dt h ef m i t er i d g e l e tt r a n s f o r mt o i m p r o v et h ed e f a u l to ft h ew a v e l e tt r a n s f o r m t h ep a p e rw i l li m p r o v et h ed e n o i s i n gp e r f o r m a n c eo ft h ew a v e l e t d e - n o i s i n gm e t h o d sf r o mt w oa s p e c t s o n ei st h er e l a t i o no fw a v e l e t c o e 伍c i e n t s ，a n dt h eo t h e ri st h a tt h ew a v e l e tc a n t p r o c e s s l i n e s i n g u l a r i t i e sw e l l t h ep a p e rf o c u s e so nt h ef a u l t so ft h em e t h o dc o n s i d e r i n gt h e n e i g h b o r h o o dd e p e n d e n c i e so ft h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t sa n dt h em e t h o d c o n s i d e r i n gt h ei n t e r - s c a l ed e p e n d e n c i e so ft h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t s ，a n d t h e np r o p o s e sad e - n o i s i n gm e t h o d ，w h i c ht a k e st h ei n t e r - s c a l ea n d n e i g h b o r h o o dd e p e n d e n c i e so fw a v e l e tc o e f f i c i e n t si n t oa c c o u n t t h e p r o p o s e dm e t h o du s e st h ec o r r e l a t i o no fw a v e l e tc o e f f i c i e n t sa n dt h e a v e r a g em a g n i t u d e so ft h es u r r o u n d i n gw a v e l e tc o e f f i c i e n t sw i t h i nal o c a l w i n d o wt od e s c r i b et h ei n t r a - s c a l ea n dn e i g h b o r h o o dd e p e n d e n c i e so f w a v e l e tc o e f f i c i e n t sr e s p e c t i v e l y b a s e do nt h et w od e p e n d e n c i e s ，t h e p a p e rp r o p o s e san e wt h r e s h o l df u n c t i o na n dr e s e a r c h e st h er e l a t i o n b e t w e e nt h et h r e s h o l da n di m a g en o i s es t a n d a r dd e v i a t i o n e x p e r i m e n t s s h o wt h a t c o m p a r e dw i t ht h em e t h o dc o n s i d e r i n gt h en e i g h b o r h o o d d e p e n d e n c i e so ft h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t sa n dt h em e t h o dc o n s i d e r i n gt h e 中南大学硕士学位论文摘要 i n t e r - s c a l ed e p e n d e n c i e so f t h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t s ，t h ep r o p o s e dm e t h o d c a l la c h i e v eh i g h e rp s n r s i no r d e rt oi m p r o v et h ef a u l tt h a tt h ew a v e l e tt r a n s f o r mc a nn o t p r o c e s sl i n es i n g u l a r i t i e sw e l l ，t h ep a p e rp r o p o s e sa ni m a g ed e - n o i s i n g m e t h o dc o m b i n i n gt h ew a v e l e ta n dt h ef i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m s f i r s t ， t h ep r o p o s e dm e t h o dd i v i d e st h ew h o l ei m a g ei n t oi m a g eb l o c k s ，a n dt h e n t h eh o m o g e n o u sb l o c k sa n dn o n - h o m o g e n o u sb l o c k sa r es e l e c t e da n d p r o c e s s e db yt h e w a v e l e td e - n o i s i n gm e t h o da n dt h ef i n i t e r i d g e l e t d e - n o i s i n gm e t h o d ，r e s p e c t i v e l y b a s e do nt h eh i s t o g r a mo ft h es t a n d a r d d e v i a t i o no fi m a g eb l o c k s ，t h ep a p e rp r o p o s e sas e l e c t i o nr u l eo ft h e h o m o g e n o u sb l o c k s c o m p a r e dw i t ht h ew a v e l e td e - n o i s i n gm e t h o dl l s i n g b a y e sr u l ea n dt h ef i n i t er i d g e l e td e n o i s i n gm e t h o dw i t hb a y e sr u l e ，t h e d e - n o i s i n gp e r f o r m a n c eo f t h ep r o p o s e dm e t h o di sb e t t e r w h e nt h ea d d e d n o i s es t a n d a r dd e v i a t i o ni sa b o v e2 0 ，t h es n r so ft h ep r o p o s e dm e t h o d c a ni n h e r eb yl d b k e yw o r d s ：t h ew a v e l e tt r a n s f o r m ，t h e r i d g et r a n s f o r m ，i m a g e d e - n o i s i n g , p s n r ( p e a ks i g n a lt on o i s er a t i o ) i i i 中南大学硕士学位论文 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论。1 1 1 图像去噪的研究意义及选题背景一1 1 2 图像去噪的研究现状2 1 2 1 传统图像去噪方法2 1 2 2 现代图像去噪方法3 1 3 基于小波变换的去噪方法一4 1 4 图像去噪的发展趋势7 1 5 本文研究内容8 第二章小波变换和有限脊波变换理论。9 2 1 小波变换理论一9 2 1 1 多分辨率理论9 2 1 2 图像的小波分解与重构一13 2 1 3 图像的小波系数性质。15 2 2 有限脊波变换理论1 6 2 2 1 有限脊波变换1 6 2 2 2 逆有限脊波变换1 8 2 3 本章小结1 8 第三章基于小波系数关系的去噪方法2 0 3 1 基于小波系数性质的图像去噪方法概述2 0 3 1 1 使用小波系数分布的去噪方法一2 0 3 1 2 使用小波系数尺度问和尺度内关系的去噪方法一2 3 3 2 所提去噪方法原理2 5 3 3 仿真实验及结果讨论2 8 3 4 本章小结3 2 第四章一种小波和有限脊波联合去噪方法3 3 4 1 有限脊波变换去噪方法应用3 3 4 2 所提去噪算法3 4 4 2 1 同质块的选择3 5 4 2 2 去噪算法流程3 7 i v 中南大学硕士学位论文目录 4 2 3 实验仿真及分析3 8 4 3 本文两种去噪方法的比较4 1 4 4 本章小结4 4 第五章总结和展望 参考文献 致谢 攻读学位期间主要的研究成果 v 4 5 4 7 5 3 5 4 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 图像去噪的研究意义及选题背景 随着数字图像技术的发展，数字图像在日常生活和科研中的作用越来越大， 例如卫星电视、数码照相机、互联网、医学仪器等都用到数字图像。图像是人类 获取外界信息的主要来源，人类获取的8 0 的信息都与图像有关。图像在获取、 传输、转换等过程中都不可避免地受到外部噪声和内部噪声的影响，总要造成图 像的降质，典型地表现为图像模糊、失真、有噪声等。被噪声污染的图像不仅影 响了图像的视觉效果，而且还影响了对图像进一步地处理。在许多应用领域中， 例如图书馆中文档图像的去噪处理、图像识别的预处理等，又需要清晰的、高质 量的图像，所以在对图像进一步处理之前有必要先对图像去噪。图像去噪是图像 处理、模式识别、机器视觉的基础，已在天文学、遥感成像、医疗图像等领域获 得广泛地应用，所以对图像去噪的研究具有一定的实际意义。 图像去噪的发展伴随着信号处理一直到现在，很多研究者认为图像去噪已经 非常完善，没有可以提高的空间了；还有一些研究者认为，只需要一个简单的平 均滤波器就可以达到图像去噪的目的，从而不需要对图像去噪技术进行研究。对 于第一个问题，2 0 1 0 年i e e e 上发表了一篇文章【l 】，该文章主要从理论上研究图 像去噪技术是不是达到了一个极限，最后得出的结论是图像去噪还有很大的研究 空间，也能获得更好地去噪效果。对于第二个问题，因为图像去噪不仅仅是为了 让图像变得更加清晰便于人眼观看，而且更重要的是通过去噪来减少噪声对图像 信息提取的影响，以便使计算机获得更多有效信息来增加后续图像处理的效果， 这就需要更高效的图像去噪方法。所以对图像去噪的研究具有一定的研究意义。 随着图像技术的发展，研究者们提出了很多有效的去噪方法，在这些去噪方 法中，小波去噪方法是一类去噪效果较好且研究非常热门的去噪方法。小波变换 应用于图像去噪的一个缺点是在去噪的同时不能较好地保存图像的一些弱纹理 信息，即不能有效地处理图像中的奇异线，为此研究者们在小波变换的基础上提 出了脊波变换。 本文以研究小波变换去噪作为出发点，在小波去噪的基础上研究了脊波变换 去噪。在研究小波去噪时，着重研究了图像小波变换的小波系数之间的关系。为 了改善仅利用尺度间小波系数关系和仅利用尺度内小波系数关系这两类去噪方 法的去噪效果，本文提出了一种利用小波系数尺度间和尺度内关系的去噪方法， 并分析了所提去噪方法的去噪效果和图像噪声方差估计效果之间的关系。除此之 外，在小波去噪的基础上，本文对脊波变换去噪也进行了相关研究。通过研究图 中南大学硕士学位论文第一章绪论 像块的方差直方图，本文给出了一种同质块的提取方法，并在此基础上得出了一 种图像分块的小波和有限脊波联合去噪方法，最后比较了本文所提两种去噪方法 和一些小波去噪以及曲波去噪方法的去噪效果。 1 2 图像去噪的研究现状 1 2 1 1 传统图像去噪方法 图像去噪方法的研究已经经历了大约4 0 年嘲，在此期间，研究者们提出了 多种图像去噪方法。根据所使用的数学方法和研究的侧重点不同，图像去噪方法 可以分为传统去噪方法和现代去噪方法圆，各种去噪方法的分类如图1 1 所示。 一经典逆滤波法 i ，逆滤波法 是的标准正交基，则称 巧) ，e z 为正交多分辨率分析；如果 g ( t - k ) ，k z ) 不是v o 的正交基，则称 巧) ，e z 为广义多分辨率分析。 可以通过将g ( t ) 规范正交化来获得正交多分辨率分析，将g ( t ) 规范正交化 的公式为【6 1 1 。 14 l 伊( x ) = 去 ( i g ( w + 2 k t r ) 1 2 ) 一2g ( w ) 】( 2 - 1 ) 则子空间v o 的标准正交基为 缈 一七) ，七z ，尺度空间以的标准正交基为 ， 伊庙( f ) = 2 2 p ( 2 j t 一七) ，k z 。所以尺度空间一由尺度函数伊( f ) 通过二进伸缩与 j f 整数平移生成，即= s p a n 2 2 9 ( 2 j t - 功，七z ) ，z 。 设伊( f ) 是r 的一个正交多分辨率分析的尺度函数，则存在序列玩k ， 使得如下等式成立【6 1 】 嘶) = z h 以2 t - k ) ( 2 2 ) 序列魄k 称为尺度函数伊( f ) 的尺度系数。上式称为双尺度方程，对双尺度 9 中南大学硕士学位论文 第二章小波变换和有限脊波变换理论 方程求傅里叶变换得 ；( w ) = 1 ；z 。h k e - 警- ；( 詈) = 日i w ) 烈 i w w w ) ( 2 - 3 ) 伊( w ) = ，妒( 詈) = 日( i ) 烈了) ( 2 - 3 ) 二t e z 其中日( w ) = 去吃e 一“，则日( w ) 是2 万周期函数且 1 日( 谚 2 + f 日。( w + 石) 1 2 = l ( 2 - 4 ) 令= 卜1 ) 瓦，k e z ，且g ( w ) = 妻既e 一“，则有以下3 个式子成立 g ( w ) = 一e 一”h ( w + ，r ) i g ( w ) 1 2 + i g ( w + 石) 1 2 = 1 娥叻g ( w ) + h ( w + 刀) g ( w + 力= 0 ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 其中尺度系数玩) 磁和 & ) 拓：分别称为低通滤波器系数和高通滤波器系 数，日( w ) 和g ( w ) 分别是对应的低通滤波器和高通滤波器。信号通过满足条件 ( 2 4 ) 、( 2 6 ) 和( 2 7 ) 的滤波器处理后能够精确重构，所以这些条件也称为精确重构 条件。 对于固定的- ， o ) ，k z 是子空间巧的一个标准正交基，但是 巧) 脚不 是p ( 固的正交分解，也就是说 巧) 胆之间不是正交的，所以却m ( f ) ，女z ) 也不 r ：l 2 ( r ) 的标准正交基。为了对r ( 固进行正交分解，引入和y 。之间的互补空 间，即上巧，且o 巧= 巧所以e 圆可以分解成 巧) 脚和 形l “子 空间。如图2 1 所示。 r 僻) = k ：s s s 图2 - 1h i l b e r t 空间的分解示意图 对 ) 脚子空间序列，有以下几个性质： ( 1 ) w ，j z ，嘭和形，互相正交，即髟上一 ( 2 ) l 2 ( r ) 2 旦嘭 ( 3 ) 即) 甄铮f ( 2 。d 设函数y ( f ) 的整数平移 一幼k 构成子空间的标准正交基，令 j y 球( f ) = 2 2 妒( 2 t 一七) ，k z ，则缈m ( f ) ，七z 构成子空间彬的标准正交基。由 1 0 中南大学硕士学位论文 第二章小波变换和有限脊波变换理论 上面3 个性质得到 ( f ) ，_ ，七z 构成e 的标准正交基。该函数y o ) 称为小 波函数，称为小波子空间或细节空间，而巧称为逼近空间或尺度空间。 缈0 ) 可以由尺度函数伊( f ) 计算得出，计算公式为删： 帅) = ( - 旷瓦私2 f p ( 2 8 ) k e z 公式( 2 - 8 ) 中的( 一1 ) 七一h l - k 是公式( 2 5 ) 、公式( 2 6 ) 和公式( 2 7 ) 中的高通滤波器系 数。将一个e 内的函数或信号厂o ) 分解到小波空间形和尺度空间巧，设函数 厂( f ) 映射到巧和的正交投影算子分别为弓和g ，则1 1 p j f ( t ) = ) = 啄( f ) 七e z七z q j f ( t ) = ) = 呶( f ) k e z k e z ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 其中和砖( f ) = 2 j 伊( 2 7 f 一七) ，k z 是尺度空间或逼近空间k 的标准正交基，而 j 缈肚( r ) = 2 2 缈( 2 t - k ) ，k z ) 是小波空间或细节空间形的标准正交基，c 庸和呔是 逼近系数和细节系数。实际上d 肺= 就是厂( f ) 的小波变换，小波变换的 具体内容可查阅文献 6 1 。 实际上，公式( 2 9 ) 和公式( 2 1 0 ) 只是信号的一次分解过程，该过程表示将尺 度空间巧一。中的信号厂( f ) 分解到空间巧、形上，还可以分解多次，下一次的分解 过程是将信号c 厂( f ) 按照公式( 2 - 9 ) 和公式( 2 1o ) 分解到空间巧+ l 和+ 。上。 从上面介绍中可以得出，尺度函数劬珐( f ) ，k z ) 和小波函数 缈陆( f ) ，j ，k z ) 共同构成了对信号的分解，即将z 空间中的信息映射到尺度 空间 巧( f ) ，j z ) 和小波空间 眵( f ) ，j z ) 上。由于尺度函数通过低通滤波器系数 构成，小波函数通过高通滤波器系数构造而成，所以尺度函数对应了信号的低频 特征，而小波函数对应了信号的高频特征。 信号的分解过程是利用 c ，+ l ，七 ， 魂) ， 计算逼近系数 c 肚) 和细节系数 p 肿) 的过程。假设在尺度空间巧和小波空间形中的信号分别表示为乃和w ， 由于k ，= 形。形且巧上形，所以得出 巳，t = = = = 勺+ l ，p ( 2 1 1 ) 又由于 = 去红啦，代入公式( 2 1 1 ) 得到 v 二 2 击涉妇一h p - 2 k p 中南大学硕士学位论文 第二章小波变换和有限脊波变换理论 同理得到 2 击荟五 佗- 1 3 ) 公式( 2 1 2 ) 和公式( 2 1 3 ) 就是信号的分解过程。该分解过程如图2 - 2 所示，面 表示低通滤波器，该滤波器的系数为 h p - ：k ，。：；g 表示高通滤波器，滤波器的 系数为 ；：j 脚a 信号的分解过程如图2 - 2 所示。 万万万 万 饨) = 。o l 。1 1 勺，t 。0 1 ，t _ 嘭，分 图2 - 2 信号分解过程 信号的重构是分解的逆过程，是利用) ， 吐。) ， 喀 ， ) 来计算逼近 系数 勺“乒 。假设在空间巧和空间中的信号分别表示为乃和m ，则 c ，m2 ，而乃+ i = 乃+ 一，所以得出下式： f ，+ 啦= = + ( 2 1 4 ) 根据公式( 2 - 8 ) 和公式( 2 9 ) ，得到 = = _ 口e z * z = = 非z口e z 根据公式( 2 - 2 ) 可得出 根据公式( 2 - 8 ) 可得出 ( 2 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) = i 1 k 却。 ( 2 - 1 7 ) v 二m e z = 击丕g m - 2 ， ( 2 1 8 ) 将公式( 2 1 5 ) ，公式( 2 1 6 ) ，公式( 2 1 7 ) 和公式( 2 1 3 ) 代入公式( 2 - 1 4 ) 中得到e “。) 的 重构公式： t 2 击奎儿，+ 了1 2 d 肛：， ( 2 - 1 9 ) 重构公式的重构过程如图2 3 所示，日表示低通滤波器，该滤波器的系数为 中南大学硕士学位论文 第二章小波变换和有限脊波变换理论 g 卿。 p 。z ，g 表示滤波器系数为 反- 2 p ) p z 的高通滤波器。 z 一吖。) 从分解过程公式( 2 - 1 2 ) 和公式( 2 1 3 ) ，以及重构过程公式( 2 1 9 ) n - 以得出，信 号的小波分解实际上是分解滤波器万、石实现，信号的重构是由重构滤波器日、 g 实现。 2 1 2 图像的小波分解与重构 数字图像是一种二维数字信号，一幅m x n 的数字图像可以看作是一个 m x n 矩阵，该矩阵元素的值代表图像的像素值。 图像的小波分解使用的尺度函数是二维尺度函数矿( x ，y ) ，该尺度函数由一维 尺度函数相乘得到，即q o ( x ，力= 伊( 功缈( 力。若y 是小波函数，则存在3 个小波 函数“力，旷能力和矿伍力，分别表示为： ，力= 烈功以 旷伍力= 则 矿化力= 畎拟力 ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) 尺度函数缈( x ，力和3 个小波函数阮力，旷 力和矿伍力共同完成图像 的小波分解。从2 1 1 节的多分辨率分析可以看到将图像进行小波分解，是将图 像信息分解到尺度空间 巧) ，z 和小波空间 ) ，e z 上，通过公式( 2 1 2 ) 和公式( 2 1 3 ) 可得，该分解过程是一个递推的过程，并用逼近系数和细节系数来表示图像经小 波变换后的信息。图像经小波分解后成4 幅图像或4 类小波系数。经尺度函数 9 ( x ，y ) 处理后得到的是图像的低频信息，对应的小波系数称为逼近系数或粗略系 数；经小波函数缈1 ( x ，y ) 、杪2 ( x ，y ) 和y 3 ( x ，y ) 处理后得到的是图像的高频信息， 也就是2 1 1 节中的细节系数。经沙1 ( x ，) ，) 处理后对应的小波系数是垂直方向的 高频系数，经少2 ( 工，y ) 处理后对应的小波系数是水平方向的高频系数，经沙3 ( x ，y ) 处理后对应的小波系数是对角方向的高频系数。 通过2 1 1 节中的信号分解过程可得，图像的小波变换可用滤波器来实现。 在每个尺度上，图像都被分为4 个1 4 大小的图像，且每个图像都是上一层的低 频图像与相应的函数内积后在z 方向和y 方向进行2 倍间隔抽取，假设用h 表示 尺度函数c , o 对应的低通滤波器，用g 表示小波函数缈对应的高通滤波器，则图像 中南大学硕士学位论文第二章小波变换和有限脊波变换理论 的分解过程用卷积形式表示为 辱慨哟= 名力撇一刎地一刎 ，y 。，功= 力 一2 m ) g ( y 一2 功 x , y 碜( 鸺功= 名廊 一2 m ) h f y 一刎 j - y 碜帆功= 名心力如一2 m ) g ( y 一刎 x , y r 2 2 3 ) r 2 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) f 2 - 2 6 ) 以表示在尺度，上的近似系数或逼近系数，叫，d 弓，瑶分别表示在尺 度，上的垂直、水平和对角方向上的高频系数或细节系数。图像具体分解示例图 如图2 - 4 和图2 5 。图2 - 4 中，上厶表示在分解尺度，上的低频信息，- f ；表示在 分解尺度，上的对角方向的信息，h l ，表示在分解尺度，上的垂直方向的信息， l h ，表示在分解尺度，上的水平方向的信息。在图2 - 5 中，县( z ) ，凰( 力分别表 示高通滤波器和低通滤波器：符号j ，2 表示隔2 抽取，而符号个2 表示隔2 补零。 l l j l bf 凰 小一+ 矾 毕l 鼍 + 、 h l i t 2朋z u 毛 皿i 图2 - 4 分解层数为3 时图像的小波分解流程图 h o r i z o n t a l f i l t e r i n g v e r t i e a l f i l t e r i n g 图2 - 5 从第j 层到第，+ 1 层小波分解流程图 1 4 中南大学硕士学位论文第二章小波变换和有限脊波变换理论 图像的重建是根据最后分解尺度上的l l 刚、h h 、h l 和三日的信息 来重新恢复原图像的信息。图像重构的步骤为：首先对矩阵l l 、h h 、h l 和三日州的每- n 的左边插入一列零，使矩阵达到上一个尺度信息儿，、h h ，、 h l ，和三日，的大小；然后对补零后的矩阵用相应的重构滤波器处理，对处理后的 结果相加；再次对每一行的上面插入一行零，并对插零后的矩阵再次用重构滤波 器处理；最后将处理后的结果相加，完成一次重构，得到上一尺度的重构图像， 然后依次重构得到原图像。图2 6 是从第，+ 1 层到第，层的重构过程。 图2 - 6 从第歹+ l 层到第j 层的小波重构流程图 2 1 3 图像的小波系数性质 图像经小波变换后得到的小波系数主要包括两部分：逼近系数和细节系数。 逼近系数是图像经低通滤波器滤波后得到，细节系数是图像经高通滤波器滤波得 到，所以逼近系数描述的是图像的粗略信息，包含了图像的主要信息；而细节系 数表示的是图像的高频信息，描述了图像的一些纹理等细节信息。 图像的噪声主要分布在图像的高频部分，所以图像经过小波分解后，图像噪 声的小波系数位于细节系数部分，该部分包括水平方向小波系数、垂直方向小波 系数和对角方向小波系数。基于小波变换的图像去噪方法主要是处理细节系数部 分，由于逼近系数描述的是图像的整体信息，所以一般不对该部分的小波系数进 行处理。 图像信息和噪声的小波系数具有不同的性质，通过这些不同的性质，可以区 分图像信息和噪声的小波系数，从而达到去噪的目的。这些性质【4 3 j 归纳起来有2 个。一个是尺度间的小波系数关系；另一个是尺度内的小波系数关系。 尺度问小波系数关系是指噪声的小波系数的幅值随着分解层数增加而迅速 衰减，即高分解尺度上的噪声小波系数幅值比低分解尺度上的噪声小波系数的幅 值要小，而图像信息的小波系数不会出现这种情况。 尺度内小波系数关系是指图像信息对应的小波系数的幅值大，并且幅值大的 中南大学硕士学位论文第二章小波变换和有限脊波变换理论 小波系数其周围的小波系数的幅值也大。 由于噪声主要分布在图像的高频部分，所以尺度间和尺度内关系的使用也主 要针对图像的高频小波系数。研究者们根据这2 个性质提出了一些去噪方法 6 2 - 6 s ，3 1 节将对这些方法的基本原理进行简单介绍。 图像小波系数的另一种关系是指小波系数的分布，这种关系描述的是在同一 个分解层内小波系数之间的相关性。通过大量实验观察发现，在各个分解层和各 个分解方向( 水平、垂直和对角方向) ，小波系数的分布近似高斯分布【1 4 j 。以图 像l e n a 为例，分解层数为2 时，各个分解层上水平方向和垂直方向上的小波系 数分布如图2 7 所示，横坐标代表小波系数幅值，纵坐标代表小波系数幅值的概 率，l h 表示水平方向的小波系数，h l 表示垂直方向的小波系数。从图中可以 看到，小波系数的分布近似高斯分布，实际上是带有长尾的高斯分布。一些研究 者根据该性质也提出了一些很好的去噪方法 1 4 - 1 5 】，这些方法的简单原理在3 1 节 中将会作简单介绍。 h hw 赢l a 。 图2 - 7 图像l e n a 在l h 和h l 方向上的2 个分解层上的小波系数的分布 2 2 有限脊波变换理论 2 2 1 有限脊波变换 小波变换能够有效地处理图像中的奇异点，但是对图像中奇异线的处理效果 不是很好；换句话说，小波变换能有效地处理奇异线垂直方向的不连续性但是不 能处理沿奇异线方向的光滑性【5 ”。为了改进小波变换的这种不足，在2 0 0 3 年 m i n h n d o 和m a r t i n v e t t c r l i 提出了有限脊波变换( t h e f i n i t er i d g e l e t t r a n s f o r m ，简 中南大学硕士学位论文第二章小波变换和有限脊波变换理论 写为f r i t ) t 5 1 1 。有限脊波变换的主要思想是首先用有限r a d o n 变换将图像中的奇 异线转化为r a d o n 域中的奇异点，然后在r a d o n 域中使用一维离散小波变换处理 奇异点。这种有限脊波变换是一种可逆的、正交的、重构性很好的变换。 假设y 表示一维小波，则二维脊波表示为【5 1 1 虬- 6 日( 工) = a - 1 ( ( x , c o s o + x 2s i n 0 - b ) a ) ( 2 - 2 7 ) 其中吗6 冠口o ，x = “，x 2 ) ，0 表示该向量工的方向，则二维函数的脊波变 换为： c r 弓( 口，b ，秒) 2j r 2 虬6 ，口( x ) f ( x ) d x ( 2 _ 2 8 ) 又二维函数厂( x ) 的连续r a d o n 变换定义为【5 1 】： 髟何砂2 上：厂o ) 8 ( x l c o s 0 + x xs i n 0 - f 迅 ( 2 - 2 9 ) 将二维脊波虬，6 口( 工) 如公式( 2 2 7 ) ，写成如下形式： 虬6 口( x ) 2 上弘，口，6 0 ) 万( 五c o s 秒+ 恐s i l l 口一f ) 田( 2 - 3 0 ) 其中虬6 ( f ) = q - i 2 ( ( t - b ) a ) ，将公式( 2 - 3 0 ) 代入公式( 2 - 2 8 ) 中得 c r t f ( a ，b ，9 ) 2j r 2j r 9 z 。# ( t ) f ( x ) 8 ( x lc o s o + x 2s i n o t ) d t d x ( 2 - 3 1 ) 然后将公式( 2 - 2 9 ) 代入上式得到最终的脊波变换式子： c r t f ( a ，b ，d = 2j r ，6 ( t ) r f ( o ，f ) 出 ( 2 - 3 2 ) 从公式( 2 - 3 2 ) 可以得出，二维函数的脊波变换是对该函数的r a d o n 变换的一 维小波变换。所以脊波变换的关键部分是r a d o n 变换。由于图像是二维数字信号， 所以将二维离散r a d o n 变换定义为不同方向直线上的像素值之和，该二维离散 r a d o n 变换称为有限r a d o n 变换【5 l 】。 假设一个p x p 的图像，( f ，) ，p 是素数，且z p = o ，1 ，2 ，p - l ， z 二= o ，1 ，2 ，p ，则有限r a d o n 变换定义为： r k 1 = j ( f ，) ( 2 3 3 ) 其中l k ，表示由斜率后，截距z 确定的直线，k z ；，j z p 。直线厶，的具 体表达式为： 净2 卜产肠：岫帅) ，涎乙 ，艇乙( 2 - 3 4 ) 【，= 沁，) ：j e 乙) 从公式( 2 3 3 ) 和公式( 2 3 4 ) 可以得出，( ，) 是一个p x ( p + 1 ) 矩阵，该矩阵的 中南大学硕士学位论文 第二章小波变换和有限脊波变换理论 每一列气( ：) 表示方向kl - _ 的p 个r a d o n 系数，其中当k = 0 时表示水平方向上的 系数，k = p 时表示垂直方向上的系数。由于女z ；，乙，所以u ) 包含p + 1 个方向，每个方向上有p 个像素，从而气( f ) 覆盖了整幅图的像素艺。g e y r k ( 1 ) 的 每一列进行小波变换，得到的小波系数就是有限脊波系数，与小波变换去噪方法 类似，基于有限脊波变换的去噪方法都是对有限脊波系数进行处理。 2 2 2 逆有限脊波变换 逆有限脊波变换指通过有限脊波系数来重构原信号。逆有限脊波变换首先通 过逆小波变换将有限脊波系数还原成r a d o n 域中的气( d ，然后通过有限r a d o n 变 换的逆变换将还原成原信号。所以有限脊波变换对信号的重组最关键的部分 就是有限r a d o n 变换的逆变换，即把t ( ，) 还原为图像。有限背投影算子( f m i t e b a c k - p r o j e c t i o no p e r a t o r ，简写f b p ) 6 3 】就是这样一种逆有限r a d o n 变换，它表示 经过某一像素点的所有方向上的有限r a d o n 系数r a t ) 总和，定义为 5 1 1 ： ，( f ，_ ，) = 咯( )o ，j ) 艺 4 p ( i 鹇j ( 2 - 3 5 ) 置，= 肚d ：l = j - k i ( m o d p ) | j 乙 u 协啦 j ( f ，) 是指图像在位置( f ，) 处的像素值，通过有限背投影算子可以将图像的有 限r a d o n 系数咯p ) 还原成原图像。有限脊波变换是一种重构性很好的变换，这种 逆有限脊波变换的重构精度较高，通过仿真实验表明其重组信号和原信号之间的 最大误差的数量级是1 0 _ 1 3 。通过实验，我们还发现有限r a d o n 变换有很好的能 量聚集特性。以一幅尺度为2 5 7 x 2 5 7 的l e n a 图像为例，其最大的3 0 个方向上 的r a d o n 系数的能量约占图像能量的7 0 。所以r a d o n 系数具有稀疏性，非常适 合用于图像处理。 从公式( 2 3 4 ) 可得出，由于有限r a d o n 变换使用了模p 运算，使得在处理噪 声图像时，有限脊波变换将图像当作周期图像处理从而产生卷绕( w r a pa r o u n d ) 现 象【5 1 1 。这种卷绕现象使处理后的图像存在一些昏暗的痕迹，在第四章的实验部分 的仿真图中可以看到这种卷绕现象。由于卷绕现象不利于图像去噪效果和图像的 视觉，近年很多研究人员致力于减少有限脊波变换的卷绕现象 5 4 - 5 6 1 。 2 3 本章小结 本章主要介绍了小波变换原理、有限脊波变换原理、图像的小波分解和重构 过程以及图像小波系数的关系。在介绍小波变换理论内容时，主要介绍小波变换 中的多分辨率理论，该理论是小波变换用于图像处理的理论基础。信号的多分辨 1 8 中南大学硕士学位论文第二章小波变换和有限脊波变换理论 率分析是将信号分解至各个分解尺度上的小波空间和尺度空间，而具体每次分解 是将上一个分解尺度上的尺度空间内的信号分解至下一个尺度上的尺度空间和 小波空间上。尺度空间内的信号是原信号的近似信号，近似信号实际上是原信号 的低频部分，包含了原信息的大部分重要的信息，如图像的整体轮廓等等；而小 波空间内的信号是原信号的高频信息，表示了原信号在各个分解尺度上的高频信 息，描述了原信号的细节信息，如图像中的纹理等等。 有限脊波变换是在小波变换的基础上