（理论物理专业论文）量子中继器和电路腔量子电动力学系统中的量子消相干.pdf

摘要 当系统与环境相互作用时，量子系统的一部分信息就会流向环境 从而导致量子系统信息的退化，这个过程我们称之为量子消相干。量 子消相干是量子计算和量子通信物理实现的瓶颈和主要障碍，所以 量子消相干在量子信息和量子计算领域受到了大量的关注和研究。 本文主要研究了基于c n o t 门量子中继器和由一个电荷比特和两个 传输共振腔构成的电路腔量子电动力学系统中的量子消相干。 我们利用量子消相干超算符理论，研究单量子比特单用户的基 于c n o t 门量子中继器的量子消相干。我们研究了量子消相干对量 子中继器的信息一扰动平衡性的影响。发现量子消相干导致三种子 空间，即正常子空间，反常子空间和无消相干子空间。在正常子空 间，量子消相干使传递和猜测保真度减小；在反常子空间，量子消 相干反而使传递和猜测保真度增大；在无消相干子空间，这两个保 真度不变。我们还发现通过调节探测量子比特的初始态，可有效的 控制品质因子研究表明即使量子中继器发生量子消相干，在一定 的条件下量子中继器也可以达到最优 我们提出了通过控制另一个传输线共振腔，实现由电荷比特和一 个传输线共振腔构成的两体系统的无消相干量子动力学理论方案 在这个方案里，电荷比特和一个传输线共振腔为受控的目标系统， 而另一个传输线共振腔作为辅助系统来控制目标系统。这样，它们 就形成了三体电路腔量子电动力学系统。我们发现在电路腔量子电 动力学的色散区域，若将传输线共振腔辅助子系统初始制备在适当 的数态上，我们可以实现两体目标系统的无消相干量子动力学。这 就意味着通过控制和操纵辅助子系统，我们可以使量子系统不受量 子消相干的影响这为如何在电路腔电动力学系统中控制量子消相 干这一问题提供了一些根本性的见解 关键词：量子相干性；量子消相干；量子中继器；电路腔量子电 动力学。 a bs t r a c t i i i i nq u a n t u mm e c h a n i c 8 ，q u a n t u md e c o h e r 朗c ei st h em e c h a n i s mb yw h i c h q u a n t u ms y s t e m si n t e r a c tw i t ht h e i re n v i r o n m e n t st oe x h i b i tp r o b a b i l i s t i c a u y a d d i t i v eb e h a v i o r r e c e n t l y ，q u a n t u md e o h e r e n c eh a sr e c e i v e di n t e n s ec o n s i d - e r a t i o i l si nq u a m u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t 啪c o m p u t a t i o n ，w h e r ed e c o h e r - e n c ei sr e g a r d e da sam a j o ro b s t a c l ea n dab o t t l e n e c kt oe x p e r i m e n t a lr e a l - i z a t i o 璐o fq u a n t u mc o m p u t a t i o na n dc o m m u n i c a t i o n i nt h i st h e s i s ，、e 缸e c o n c e r n e dw i t hd e c o h e r e n c ei i lq u a n t u mr e p e a t e r sb a s e do nc n o tg a t ea n d ac i r c u i tq e ds y s t e mc o n s i s t i n go fac h a r g eq u b i ta n dt w os u p e r c o n d u c t i n g t r a i l s m i s s i o nl i n er e s o n a t o r s ( t l r 嚣) w bs t u d ys i n g l e - q u b i ta n ds i n g l 争u s e r q u a i l t u mr e p e a t e r sb a s e do nc n o t g a t e su n d e rd e c o h e r e n c eu s i n gt h ek r a u s - o p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o n so fd e c 0 - h e r e n c e w ei n v e s t i g a t et h ei n f l u e n e eo fd e c o h e r e n c eo nt h ei n f b r m a t i o n - d i s t u r b a n c et r a d e o 任o fq u a n t u mr 印e a t e r s i ti sf o u n dt h a td e c o h e r e n c em a y l e a dt ot h ea p p e a r a n c eo ft h r e es u b s p a c e s ，c a u e da u st h en o r m a ls u b s p a u c e ，t h e a n o m a l o u ss u b s p a c e ，a n dt h ed e c o h e r e n c e - f r e es u b s p a c e ( d f s ) ，r e s p e c t i v e l y i ti si n d i c a t e dt h a ti nt h en o r m a ls u b s p a e ed e c o h e r e n c ed e c r e a s e st h et r a 肛s m i s s i o na n de s t i m a t i o nf i d e l i t i e s ，i nt h ea n o m a l o u ss u b s p a c ed e c o h e r e n c ee n h a n c e s t h e s ef l d e l i t i e s ，a n di nt h ed f st h e s ef i d e l i t i e sd on o tc h a n g e i ti si n d i c a t e d t h a tt h eq u a l i t yf a c t o rc a nb ee 伍c i e n t l yc o n t r o l l e da n dm a n i p u l a t e db yc h a n 分 i n gt h ei n i t i a ls t a t eo ft h ep r o b eq u b i t i ti sf b u n d t h a tu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n 8 t h eq u a n t u mr e p e a t e re a nb e 叩t i m a le v e ni nt h ep r e s e n c eo fd e c o h e r e n c e w 色p r o p o sas c h e m et or e a l i z ed e c o h e r e n c e - f r e eq u a n t u md y n a m i c so ft h e b i p a r t i t ec o 璐i s t i n go ft h ec h a r g eq u b i ta n d o n es u p e r c o n d u c t i n gt l rb yu s i n g a n o t h e rs u p e r c o n d u c t i n gt l r a u sa u x i l i a r ys u b s y s t e m i nt h i ss c h e m eo n et l r a n dt h ec h a r g eq u b i tc o n s t i t u t et h ec o n t r o l l e dt a r g e t8 y s t e mw h i l et h eo t h e r t l ri st h ea u ) ( i l i a r ys u b s y s t e mw h i c ha u c t sa u sat o o lt oc o n t r o l 七h et a r g e t s y s t e m t h ew h o l eo ft h e mf o r m sat r i p l e - p a r t i t ec i r c u i t q e ds y s t e m i ti s f o u n dt h a ti nt h ed i s p e r s i v er e g i m eo ft h ec i r c u i tq e ds y s t e m ，d e c o h e r e n e e _ f r e eq u a n t u md y n a m i c so ft h eb i p a r t i t et a r g e 乞s y s t e mc a nb er e a l i z e dw h e nt h e i v a u x i l i a r yt l rs u b s y s t e mi si n i t i a l l yp r e p a r e di np r o p e rn u m b e rs t a t e s t h i s i m p h e st h a tb yc o n t r o l l i n ga n dm a n i p u l a t i n gt h ea u 妇l i a r ys u b s y s t e m ，o n e c a np r o t e c tq u a n t u ms y s t e ma g a i n s td e c o h e r e n c e t h i sp r o v i d e sf u n d a m e n t a l i n 8 i 曲ti n t ot h ec o n t r o lo fd e c o h e r e n c ei nc i r c u i tq e ds y s t e m s k e yw o r d s ：q u a n t u mc o h e r e n c e ；q u a n t u md e c o h e r e n c e ；( 1 u a n t u mr 争 p e a t e r s l ；c i r c u i tq e d 硕士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：廖屏 皿d 7 年6 月多日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密砂 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：瘳屏 日期：二。0 7 年6 月弓日 导师签名：跚嗽中月歹日 量子中继器和电路腔量子电动力学系统中的量子消相干 第一章绪论 二十世纪初，理论物理现在称之为经典物理遭遇到了前所未有 的困惑，比如紫外灾难、原子结构等，给物理学带来了一系列的理 论危机，正是这场危机导致了一门现代理论量子力学的诞生 量子力学被认为是最成功的物理学理论之一，它成功解释了许多经 典物理学无法解释的物理现象，如黑体辐射、原子辐射光谱等，同 时量子力学也导致了许多新的物理器件的发明，如激光、晶体管等 一些在人类发展史上起到重要作用的物体 随着科学技术的迅猛发展，经典计算机成为了人们生活的一部 分，经典计算机是一种利用电子元件进行计算的机器。它实现信息 存储以及计算的基本单元是集成电路芯片上的逻辑电路元件这些 元件本质上都是宏观的物体，它们的性质和工作原理服从经典物理 的规律。经典的计算理论实际上是建立在这些规律基础上的逻辑抽 象。然而，根据摩尔( m o o r e ) 定律【1 】，每十八个月计算机微处理器的 速度就增长一倍，其中单位面积( 或体积) 上集成的元件数目会相应 地增加。可以预见，在不久的将来，芯片元件就会达到它能以经典 方式工作的极限尺度。经典计算机面临了一系列的问题和挑战。因 此，必须考虑量子效应，重构计算机的基本原理于是科学家将量 子力学与现有电子信息科学技术相结合，产生了一门崭新的交叉学 科量子信息学。 量子信息学诞生于2 0 世纪8 0 年代，它是用微观粒子的量子力学 原理来解决经典信息学和经典计算机所不能解决的问题的学科，因 此在9 0 年代中期引起了国际学术界的巨大兴趣。其研究就是充分利 用量子物理基本原理的研究成果，发挥量子特性( 量子相干性，非局 域性，纠缠性，不可克隆性等) ，探索以全新的方式进行计算、编码 和信息传输的可能性例如，利用量子态的相干叠加性，人们提出 了量子并行算法来解决诸如大数因式分解【2 ，3 】等经典计算无法解决 的问题；利用量子不可克隆性来建立绝对安全的量子密码系统以及 利用量子态的纠缠特性建立连接不同空间的量子通道，从而实现量 子隐形传态【4 】等等。因此量子信息科学的诞生，将为未来的信息科 学和技术注入了新的活力。 量子信息学中，孤立系统的演化一般为幺正和可逆的，但是量 子系统绝不可能是完全孤立的封闭系统，它不可避免的会与周围环 硕士学位论文 境发生相互作用而成为开放系统，如果我们将该量子系统和周围的 环境一起考虑，这个复合系统就是一个封闭系统，其演化就是幺正 和可逆的，但是如果系统与环境隔离开孤立地看，系统的动力学则 是非幺正且不可逆的。当系统与环境以热力学不可逆的方式相互作 用时，量子系统的一部分信息就会流向环境从而导致量子系统信息 的退化，这个过程我们称之为量子消相干。通常，环境用热库来描 述。量子消相干表现为波包塌缩，它引起了量子世界向经典世界的 过渡，决定了经典世界和量子世界的边界量子消相干是量子计算 和量子通信物理实现的瓶颈和主要障碍，所以量子消相干在量子信 息和量子计算领域受到了大量的关注和研究，成为被受关注的热门 研究方向 在量子通信中，人们将信息编码在量子态上后，用量子通道传 输，在传输途中，用户要建立一个量子中继器提取信息，即要进行 测量，测量获得信息后将测量后的量子态传给下一个用户。然而对 一个量子系统进行测量就不可避免的干扰该量子系统，获得的信息 越多，对传送信息的扰动就越大，所以，对量子态的信息一扰动平 衡性的研究成为量子力学中的一个基本问题p 1 5 】但是在信息传输 途中不可避免的要发生消相干，因此考虑量子消相干对量子中继器 的影响并如何避免量子消相干是具有一定研究意义的 腔量子电动力学【1 6 】作为一个具有很好相干性的实验系统，但 是腔量子电动力学在集成性能上不具备优势。与腔量子电动力学相 比，电路腔量子电动力学( 1 7 _ 2 0 】具有内在的集成优势，引起了大家 的兴趣目前，关于关于电路腔量子电动力学的研究取得了很大的 进展。然而，由于超导电路与外部线路相互作用，系统很容易损失相 干性，造成消相干，从而限制了量子比特的有效可操作时间。所以 研究电路腔量子电动力学系统的量子消相干特性是十分有必要的 本文主要研究了基于c n o t 门量子中继器和由一个电荷比特和 两个传输共振腔构成的电路腔量子电动力学系统中的量子消相干 主要结构如下： 第二章介绍了量子消相干的基本理论。首先介绍两种常用描述 开放子系统演化的理论超算符理论和主方程描述。对于不同的 系统与环境作用形式以及演化过程，我们可以采用不同的理论工具 以方便求解。最后还将介绍现在常用的消相干的解决方法。 量子中继器和电路腔量子电动力学系统中的量子消相干 第三章研究了量子消相干对基于受控非门的量子中继器的影响。 首先介绍单量子比特单用户的基于c n o t 门量子中继器模型，然后 分析在退极化通道下，量子消相干对量子中继器的信息一扰动平衡 性和品质因子的影响。研究表明我们可以找到无消相干子空间。 第四章研究了量子消相干对电路腔量子电动力学系统的影响。 我们所研究的系统是包含了一个超导电荷比特和两个传输共振腔的 三体电路腔量子电动力学系统。首先我们介绍了其物理模型，然后 讨论相位消相干对这个三体系统的影响研究发现在特定条件下， 我们也可以找到无消相干子空间 第五章对本论文工作进行了简要的总结和展望 量子中继器和电路腔量子电动力学系统中的量子消相干 第二章量子消相干的基本理论 在量子通信中，量子信息首先被编码在一量子系统上，然后在信 息的传送中对量子系统进行一系列的量子门操作和测量操作。但是 由于量子系统绝不可能是完全孤立的封闭系统，它不可避免的会与 周围环境发生相互作用而成为开放系统，这样势必导致系统的一部 分信息流向环境而使量子系统的信息逐渐退化为经典信息这个过 程我们称之为量子消相干【2 1 ，2 2 】量子消相干引起了量子世界向经 典世界的过渡，决定了经典和量子世界的边界。它是量子计算和量 子通信物理实现的瓶颈和主要障碍，所以在量子信息和量子计算领 域受到了大量的关注和研究 本章中我们将给出在量子信息中常用的描述开放系统演化的两 种理论超算符理论和主方程描述。对于不同的系统与环境作用 形式以及演化过程，我们可以采用不同的理论工具以方便求解最 后还将介绍解决量子消相干的方法无消干子空间方法。 2 1 开放量子系统的超算符理论 由于量子系统总不可避免的要和周围的环境发生相互作用，因 此它是一个开放系统，它的演化不是幺正的。但是如果我们将该量 子系统和周围的环境一起考虑，这个复合系统就是一个封闭系统， 它的演化遵循s c h r 硼i n g e r 方程： p s + e = 一i 日，p s + e 】， ( 2 1 ) 其中日= 日s o 如+ 厶。日f + 珧e ，h 表示复合系统的总哈密顿量， 凰表示系统s 的哈密顿量，如表示环境e 的哈密顿量，日s e 表示 系统与环境的相互作用。如果h 不含时，系统和环境的演化就是： u ( ) = e 印( 一徂t ) ，当系统与环境没有相互作用时，即风e = o ，该系 统与环境的演化就是分离的，u ( t ) = e 印( 一i 日) = ( ) o ( ) ，( ) = e z p ( 一i 凰) ，( ) = e 印( 一讲f t ) 这时，系统的演化是独立的： 船( t ) = t 7 e ( u ( t ) p ( o ) u ( t ) ) = ( ) p ( ) 嵋( ) ( 2 2 ) 当矾e o 时，系统与环境的演化就变得复杂了。假设初始时，复合 系统的态是可分离的p ( o ) = 船( o ) o 船( o ) 那么在任意时刻t ，系统 硕士学位论文 的约化密度矩阵演化为： j d s ( ) = t r e ( u ( ) p s ( o ) op e ( o ) u 晌) ( 2 3 ) 如果进一步假设i e “) 为环境的一组正交完备基，且船( o ) = i e 0 ) ( e o i ，则 上式可重新写为： 船( t ) = ( e p i u ( ) ( 船( o ) 。l e 0 ) ( 印i ) u + ( t ) i e p ) ， 肛 则上式可重新写为： p s ( ) 三伽s ( o ) _ 埤( ) p s ( o ) 磁( ) ， p ( 2 4 ) ( 2 5 ) 这里，埤= ( l u ( t ) ) 称为作用在量子系统s 上的k r a u s 算符， 而c 称为超算符，它的作用是将算符变为算符方程( 2 5 ) 称为超算 符的算符和表示( o p e r a t o 卜s u mr e p r e s e n t a t i o n ) 2 3 】，或称作超算符c 的 k r a u s 表示算符 ) 为超算符c 的操作元。很显然这些操作元满 足完备性关系： 嘭埤= 1 p 综上所述，当量子系统和环境的复合系统经历幺正演化后，量子 开放子系统的状态变化为： 船( o ) _ 船( t ) = c p s ( o ) 】_ m u ( t ) j 9 s ( o ) 心( t ) p 超算符具有以下一些性质： 1 ) p s ( ) = c ( o ) ，它将密度矩阵映射为密度矩阵； 2 ) 映射c 是线性的； 3 ) 映射c 是完全正定的。即，如果a o ，则c o 完全正定 的把正定算符映射为正定算符。 同一个超算符的k r a u s 表示并不是唯一的。选择不同的基矢，得 到了不同的两组k r a u s 算符，但是系统遵循一样的演化过程。 量子中继器和电路腔量子电动力学系统中的蹙子消相干 2 1 1 量子通道的超算符表示 在量子信息理论中，人们常常称超算符为量子通道下面我们将 简单介绍三种常见的量子通道：退极化通道，相位阻尼通道和振幅 阻尼通道，并给出它们的超算符表示。 a 、退极化通道：退极化通道【2 3 是描述量子比特受到消相干 作用的一个模型，它表示量子比特以1 一p 的几率保持不变，而发生 错误的几率为p 它发生错误的类型有三种，且每种错误出现的几率 相等。它出现的错误可表示为： 1 比特翻转错误：l 妒) 一i 妒) ， 2 相位反转错误： i 妒) 一吒i 妒) ， 3 比特翻转+ 相位反转错误：i 砂) 一l 妒) 如果量子比特发生错误，那么i 妒) 演化为盯l 妒) ，勺l 妒) 和盯一妒) 中的 任意一个，且每一个出现的几率相等 退极化通道也可以用作用在量子比特和环境上的幺正演化算符 e 表示，其中环境所在空间的维数为4 。假设复合系统的初态为： i 砂) s l o ) e ，于是，量子比特与环境的复合系统的幺正演化过程是： 己珞e ：j 妒) sol o ) e 一而m s 即) e + 店k 矧抛 + i 砂) s 1 2 ) e + 盯。i 妒) s 圆1 3 ) e 】， ( 2 8 ) 上式中 i o ) e ，1 1 ) e ，1 2 ) e ，1 3 ) e ) 是环境的四个正交归一的基矢 由帆= e ( p i 魄e l o ) e ( 肛= o ，l ，2 ，3 ) ，可以得到退极化通道的k r a u s 算 符： = 而( ：) ，尬= 店( ：) ， 尬= 店( ：) ，= 店( 三二) ( 2 9 ) 显然，这四个k r a u s 算符满足归一化条件： ：。嘭晦= 1 硕士学位论文 于是一个一般的密度矩阵船将演化为： 以= c ( 船) = 埤船嘭 一( 1 一；p ) 舢+ ；p 肌 ( 1 一p ) ，) 0 1 、 、( 卜；p ) 舢( 1 一；p ) 舶+ ；咖 为了更清楚理解退极化通道这个词的物理由来，我们看一看退极化 通道作用在b l o c h 球上会产生怎样的效果在b 1 0 c h 球上，一个量子 比特的密度矩阵可表示为： 上式中，p = ( 只，岛，只) 是量子比特的自旋极化矢量。 经过退极化通道作用，在b l o c h 球上的密度矩阵p 将演化为： = 丢( 1 + p ，子) ， e = ( 1 一卸3 ) b ，巧= ( 1 一和3 ) b ， = ( 1 一卸3 ) b ， 上式中，p = ( 只，e ，彰) 是经过退极化通道后的量子比特的自旋极化 矢量，其中： p ，= ( 一兰p ) p ， 于是在退极化通道中，量子比特的自旋极化矢量要收缩一个因子( 1 一 p ) ，就是说，若原来的态为纯态，俐= 1 ，则ip ，i = 1 一；p o 的，这是环境状态有跃迁的一种 中介过程将式( 2 4 3 ) 代入( 2 4 1 ) ，得 p s ( 出) = ( p s ( o ) 嘲( d t ) + 帆( d t ) p s ( o ) 啦( d t ) 工 0 2 j d s ( o ) + ( 一云珧+ 凤) p s ( o ) 出+ p s ( o ) ( 云珧+ ) 出 + c p s ( o ) c ：出 ( 2 4 4 ) j l 上 0 将上式对时间求导，并将时间原点改变为t ，得 p s ( ) = 一云【h s ，p s ( t ) 1 + k s p s ( ) + p s ( ) 硌+ c p p s ( ) c ： ( 2 4 5 ) 且 u 为了求出始和厶的关系，我们可利用k r a u s 算符的归一化条件 j = 嘶( d ) 埤( 出) “= o = 1 + 出( 2 珞+ c l o ) ， ( 2 4 6 ) “ 0 量子中继器和电路腔量子电动力学系统中的量子消相干 于是有 珞= 一去c ：o ， - “ o 这里，算符 以) 称为l i n d b l a d 算符或量子跳变算符。它们体现前 面所说的，系统s 和环境e 相互作用导致的对s 状态的耗散部分。 将式( 2 4 7 ) 代入式( 2 4 5 ) ，略去下标s ，即得l i i l d b l a d 方程 绯) _ _ 扣以) 】+ ( 锹) o 一缸“旷扣c 胁 ( 2 4 8 ) 此即为在m a r 近似下系统s 的非幺正演化密度矩阵满足的主 方程，称为l i n d l a d 方程。其中第一项是通常的s c h r 硼i n g e r 方程有关 项，描述幺阵演化，后面方括号中第一项描述系统与热库相互作用 可能发生的跃迁。最后两项是在没有量子跃迁下正确地归一化所需 要的。 几个具体的例子： ( 1 ) 二能级自发跃迁：c 。= 加一，7 是自发跃迁率因此 西( ) = 一i 【凰，p s ( t ) 】+ ( 一y 盯一p s ( ) 口+ 一古p s ( t ) 盯+ 盯一一古盯+ 盯一p s ( t ) ) ( 2 4 9 ) 一v ( 2 ) 对自旋的粒子测量物理可观测量吒，c ，= 加：，c 是物理 变量既与”指针”变量的耦合强度因此 p s ( ) = 一i 【j 如，p s ( ) 】+ ( c 盯。p _ s ( ) 盯：一c p s ( t ) ) ( 3 ) 谐振子与辐射场相互作用，c ，= 行n ，a 是谐振子的玻色湮 灭算符，r 是谐振子从第一激发态衰变到基态的速率因此 酬叫陬烈卅( 脚鲋) n t 一丢种) n t 。州啪 1 8 硕士学位论文 2 3 无消相干子空间 由于量子系统总是不可避免的受到环境的影响，因此如何控制消 相干也就成了现代物理和工程技术的一个关键性任务和目标。现今 解决量子消相干的策略可以分为两大类第一类就是消极的量子稳 定策略和方法。它包括量子热库控制方法，无消相干子空间方法，无 噪声子系统编码方法；第二类就是积极的稳定策略和方法。它包括量 子纠错方法、量子动力学控制( 解耦) 方法、量子反馈控制方法 2 4 】 下面我们首简要的介绍一下无消相干子空间的方法的核心思想 无消相干子空间方法则是利用系统与环境耦合的特殊对称性， 在系统的希尔伯特空间中寻求一个不会经历量子消相干过程的子空 间，信息以纠缠态的形式编码到这个子空间中，从而实现量子计算 与量子信息存储无消相干子空间常被形象的称为“寂静的角落”， 在这里没有量子消相干过程发生 我们这里主要讨论一下主方程形式下和超算符表示中的无消相 干子空间条件首先，我们回想一下描述量子开放系统的对角化的 主方程 绯) = 一缸俐+ ( 钿c ：一扫幺绯) 一扣c “ u 其中厶是l i n b l a d 算符 l i d a r ，c h u a n g ，w h a l e y 以及z a n a r d i 通过研究发现希尔伯特空间里 的一个子空间5 的演化如果遵从主方程，那么该子空间是无消相干 子空间的充要条件 3 0 ，3 1 】是：对所有的c 。以及子空间s 中的每一个 态矢量i j ) ，都有 c 。i j ) = c m i j ) ，v i j ) s( 2 5 3 ) 从这个结论我们可以看到，如果系统的初态就在这个子空间里， 那么这个态的演化行为就与环境行为没有关系。因而寻找这样的子 空间对现实的量子计算来说具有非常重要的意义。我们看到要满足 这个条件对许多的子系统并不是一件易事。为进一步研究，定义一 个主方程代数是方便的主方程代数定义为：给定主方程，主方程 量子中继器和电路腔量子电动力学系统中的量子消相干 1 9 的代数就由它含有的所有l i a n b l a d 算符c 。及其共扼c ：| n 还有单位算 符生成 那么，如果一个子系统的演化遵循主方程，则该子系统是无消相 干子系统的充分条件是该主方程代数作用在该子系统与单位算符作 用等同【3 2 】。 现在我们考虑超算符表示下的无消相干子空间的条件一般来 说，系统和环境的相互作用都可以表示为 凰e = & o 玩 ( 2 5 4 ) 口 这里& 是系统算符，玩是环境算符如果初始时刻系统与环境的 状态是可分离的，即刀( o ) = 船( o ) o 船( o ) ，那么 船( t ) = 铀s ( o ) 】= ( ) j d s ( o ) 趔( t ) ( 2 5 5 ) t k n i l l 等证明了k r a u s 算符尬( t ) 是由生成算子 & ，) ，( 口a ) 生成 的代数里的一个元素，并讨论了具体的表达关系系统在超算符的 作用下，有 船( t ) = 纠p s ( o ) 】：舰( t ) p s ( o ) 耐( t ) = p s ( o ) ( 2 5 6 ) i 即系统的密度矩阵是不变的。我们看到，即使系统和环境之间存在 非平庸的耦合作用，系统将不演化这时候，系统就可作为具有良 好品质的量子寄存器。显然，从上面我们可以看到，如果对于系统 的一个子空间s ，若对于任意的态i j ) s 和任意的环境初态船( o ) ， 都有 必( ) 酬j i 趔( ) = f 小i t ( 2 5 7 ) 那么该子空间就是一个无消相干子空间由于k r a u s 算符鸠( t ) 是生 成算子 ，n ( 口a ) 的代数中的元素，人们研究发现子空间s 是无 消相干子空间的充要条件【3 3 】是 & b ) = c 口l j ) ，v i j ) 5 ( 2 5 8 ) 2 0 硕士学位论文 尽管消相干过程的主方程表示和超算符表示形式上有很大的差 异，但由于其内在的联系和一致性，因而我们得到的两种表示下的 无消相干子空间条件式也具有内在的联系。 量子中继器和电路腔量子电动力学系统中的量子消相干 2 1 第三章基于c n o t 量子中继器系统中的量子消相干 3 1引言 在一根多用户的传输线中，每个用户都需要从信息载体即量子 态提取信息，然后将量子态传输给另一个用户然而，对一个量子 系统进行测量将不可避免的干扰该量子系统，且从量子信息载体上 获得的信息越多，对传送信息的扰动越大。那么，如何在尽可能不 干扰量子态的情况下从量子态上提取更多的信息量就成为了量子力 学中的一个基本问题，在量子通讯中也有实际的运用 珏3 7 】 量子信息提取是通过一系列的量子测量来完成的 6 】，不失一般 性，其测量过程可通过一系列的正定测量算符( p o v m ) 氐) 描述，其 中。a l a = ，。假设有一量子系统处在纯态p = i 妒) ( 妒i ，在中继器 的输出端获得的测量结果为七，其出现的概率为竹= n a l a t 】那 么它猜测的信号态为愀) ( 猜测规律为：七一) ) ，测量后的条件态 l 仇) = 击a i 妒) 留给下一个用户态扰动量用条件态i 饥) 与初态i 妒) 的内积来量度，而测量所提取的信息量用猜测态恢) 与初态的内积 量度。 r = 莩r 唑掣= 驴炉， g v = 最俐饥) 1 2 ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 上式已对所有可能的测量结果作了平均评价中继器优劣就用如下 的平均保真度来衡量： f = 上却而，g = 上却g 妒， ( 3 3 ) 上式表示对所有可能的输入态，即对所有需要传递字母表a 所获得 的r 和g 咖作平均其中，f 为传递保真度，它描述了测量后留给 下一用户的态与初态的相似程度；g 为猜测保真度，它描述猜测的 平均质量。很显然，f 和g 分别满足o f 1 ，o g 1 f = 1 对 应零扰动，即中继器没做任何测量g = 1 表示猜测获得完整信息 保真度f 和g 彼此不是完全独立的，而是互相关联的。在文献【6 】 中，b a n a s z e k 已经导出了它们之间的平衡性关系。对于b l o c h 球上所 2 2 硕士学位论文 有的q u b i t 态，信息一扰动平衡性必须满足下面的不等式 6 】： ( f 一；) 2 + 4 ( g 一去) 2 丢 c 3 4 ， 从上式可以看出，对于一给定的猜测保真度，我们可计算出所能获 得的最大传递保真度的大小换句话说，即为：如果我们想获得一 定的信息量，所要加入到传递信息中的最小噪声量 为了评价量子中继器的品质好坏，我们引入品质因子，其定义为 q = 9 ( f 一善) 2 + 3 6 ( g 一去) 2 c 3 5 ， 根据信息一扰动平衡性不等式( 3 4 ) ，我们可清楚的看出品质因子q 总 是小于等于1 ，最理想的中继器的品质因子q = 1 最近，g e n o n i 和p 缸i s ( g p ) 提出了一类基于c n o t 门的量子中继 器实现方案【3 8 ，3 9 】。该g p 中继器满足不等式( 3 4 ) 的极限( 取等号) ， 所以该方案是最佳的。但该方案并未考虑环境对量子态的影响，因 此，分析消相干对它的影响是十分必要的 本章首先简要介绍g p 量子中继器方案，并研究其品质因子随探 测场参数的变化规律。然后研究在退极化噪声通道的影响下的量子 中继器，计算其传递保真度和猜测保真度，分析量子消相干对其信 息一扰动平衡性和品质因子的影响。 3 2基于c n o t 量子中继器模型 g e n o n i 和p a r i s ( g p ) 提出的基于c n o t 门的量子中继器实现方案。 他们将单用户单量子比特的量子中继器简化为一个四端口装置，如 图3 1 所示。它由携带信号的信号量子比特，探测信号的探测量子 比特，c n o t 门和探测量子比特的探测器组成。量子信息被编码在 信号量子比特的量子态上，其态可表示为 i 皿) = c o s p l i o ) + e 2 妒1s i n p l l l ) 假设探测量子比特初态处于 j q ) p = c o s p 2 l o ) p + e 加s i n 日2 1 1 ) p ( 3 6 ) ( 3 7 ) 量子中继器和电路腔量子电动力学系统中的量子消相干 2 3 l - f 、 c n o t 图3 1 ：理想的单量子比特单用户的最佳量子中继器方案图 信号量子比特和探测量子比特的相互作用通过c n o t 门来实现，其 中信号量子比特作为控制比特，探测量子比特作为耙比特。相互作 用完后，在探测器仇端，对探测量子比特的z 分量自旋作以测量。 测量后，探测量子比特可能以概率岛处于态i o ) ，也可能以概率p 1 处于态1 1 ) 所以，对信号量子比特i 皿) 而言，其对应的猜测保真度 为 g 皿= 岛i ( 皿i o ) 1 2 + p l i ( 皿1 1 ) 1 2 留给下一个用户的条件态为 ( 3 8 ) = 去制叭m ) = 去刮叭 ( 3 9 ) 这里，山和a 是作用在信号量子比特上的有效测量算符，它们可 表示为 if c o s 9 2 o 山2 l oe 吣n 口2 ，e 洳s i n 如 o a2 l oc 刚2 从上式，我们可看出这两个有效测量算符的参数只与探测量子比特 的初态有关。因此，我们可通过选择合适的探测量子比特的初态， 来设计有效测量算符。 对信号量子比特i ) 而言，其对应的传递保真度为 凡= 昂i ( 皿l 皿o ) 1 2 + p l i ( m i 皿1 ) 1 2 硕士学位论文 通过对所有可能的输入态，即整个b 1 0 c h 球作平均，我们得到中 继器的平均传递保真度昂和猜测保真度为g o 为 去序妒。厂- 风 j z 2 ”d 移zz ”7 2 d 口ts t n c 2 p ，g 母 对于方程( 3 7 ) 所描述的探测量子比特的初态，通过简单计算， 我们得到平均传递保真度昂和猜测保真度为g o 为 昂= ；( ，+ 知2 蚴嘞，) ， g 。= 丢( 3 + c o s ( 2 蚴) ， ( 3 1 3 ) 上式意味着该g p 中继器传递保真度昂和猜测保真度为g o 仅仅依 赖于探测量子比特的初态，我们可通过调节其初态来获得任意比例 的这两个保真度。 将方程( 3 1 3 ) 代入方程( 3 5 ) ，我们得到该g p 量子中继器的品质因 子为 q o = 1 一s i n 2 ( 2 日2 ) s i n 2 也， 这意味着该g p 量子中继器的品质依赖于探测量子比特初态的参数 日2 和锄特别地，当加= 惫，r 或口2 = 七万2 ( 七为整数) 时，我们得到 = 1 ，这意味着此时该中继器为最佳的中继器。当如= ( 2 r + 1 ) 丌4 和西2 = ( 2 s + 1 ) 丌2 ( r 和3 都为整数) 时，我们得到q o = o ，这意味着此 时该中继器质量最差 3 3 量子中继器系统中的量子消相干 这一节，我们研究量子消相干对g p 量子中继器的影响。不失一 般性，我们仅考虑量子消相干发生在信息传送的途中，如图3 2 所 示。换句话说，即信号和探测系统的量子态在进入量子中继器前就 已经由于与环境的相互作用退化为混态下面，我们仅讨论退极化 衰减通道。 量子中继器和电路腔鼍于电动力学系统中的量子消相干 _ 点l 1i 一、 ；vi y 。 i l 一一j r 蔓- 1，、 1，i 一t ；、j ； k， l 。、。 l 一一j i 一j c n o t d k 图3 2 ：在量子消相干情况( 信号量子比特的衰减参数为p l ，探测量子比特的 衰减参数为p 2 ) 下，单量子比特单用户的基于c n o t 门的量子中继器方案示 意图 对退极化衰减通道，其四个k r a u s 算符由方程( 2 9 ) 给出。假设信 号系统和探测系统的初态分别为纯态( 3 6 ) 和( 3 7 ) 。那么，总系统的 初态用密度算符可表示为冈= i 皿) 。( 皿lol u ) p ( u i ，其中s 表示信号模， p 表示探测模在经历量子消相干后( 两模的消相干参数分别用参数 p 和沈表示) ，初态演化为 33 p 1 = ( 埤。j 皿) 。( 驯嘭。) p ( i u ) p ( u i 吆) ， ( 3 1 5 ) 加= 0p p = o 这就是进入到量子中继器的实际初态。在经历了由幺正算符q 。表 示的c n o t 操作后，态p ，演化为 p 2 = a 2 p l c j 2 ， 很显然，它是信号和探测系统的混合态 对用户而言，他为了获得要传送的信息，就要对探测系统作盯： 测量。假设探测系统以概率r ( p 1 ) 处在态l o ) ( 1 1 ) ) 时，信号系统的态 以概率局( 只) 处于态店( 舶) 根据方程( 3 1 ) 和( 3 3 ) ，得到保真度凡 和g 皿为 凡 = 岛( 皿l 册i 皿) + p 1 ( 霍l p 4 i 皿) ， g 雪= 局l ( 皿i o ) 1 2 + p ll ( 皿1 1 ) 1 2 ， 2 6 硕士学位论文 这里，信号系统的归一化态船和m 可表示如下 船= 勺n 们) ( 。i + 。0 1 1 0 ) ( 1 l + n 1 0 1 1 ) ( 叶n l l l l ) ( 1 ， m = 击酬0 ) ( 。l + 驯0 ) ( 1 i + 6 1 0 | 1 ) ( 。i 伯1 1 1 ) ( 1 i 】， 其中，两概率函数r 和p l 可写为 昂= n 0 0 + 0 1 l ，尸1 = 6 0 0 + 6 1 1 ， ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 3 ( 1 一p 1 ) c o s 2p l + p 1 s i n 2p l + p 1 3 ( 1 一仡) c o s 2 6 1 2 + 沈s i n 2 口2 + p 2 ， 3 ( 1 一p 1 ) s i n 2 口l + p lc o s 2 p l + p 1 3 ( 1 一仡) s i n 2 如+ 仡c o s 2 如+ 耽 ， 。= 去 ( 3 4 p t ) e 一机s i n ( 2 ( 3