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摘要 拱坝三维有限元等效应力计算研究 学科：水利工程 导师：撩义 教授 高工 摘要 作者：杰纬 答辩日期：弘矽? j 拱坝是空间弹性壳体结构，其几何形状和边界条件都很复杂，应力状态也比较复杂。因 此，难以用严格的理论计算求解拱坝应力。2 0 世纪7 0 年代以前，我国拱坝应力分析主要采 用拱冠梁法。2 0 世纪7 0 年代以后，逐渐采用多拱梁法和有限元法，而且，有限元法在我国 拱坝应力计算中得到越来越广泛地应用。然而，有限元法计算结果由于应力集中导致坝体与 基岩交接处数值偏大，与实际情况不符。本文基于等效应力概念，将坝与基岩交接面上有限 元法求得的应力合成截面内力，然后求出对应的线性化应力，期望达到消除网格效应和应力 集中现象。 本文结合实际工程项目，进行了拱坝三维有限元等效应力计算分析。本文主要工作为：在 查阅大量国内外资料的基础上，对拱坝的发展状况、应力分析方法及有限元分析方法的现状 进行了总结和评述；推导了有限元法的基本公式，阐述了拱坝有限元计算分析中的常用单元 及其适用条件：详细推导了拱坝有限元等效应力计算公式，研究了拱坝有限元等效应力计算 及应用：结合某工程实际，建立了三圆心双曲拱坝三维有限元计算模型，进行了多工况的计 算分析。 计算结果表明：在基本荷载组合下，坝体最大等效拉应力为1 3 1 m p a ，小于1 5 0 m p a ；在 特殊荷载组合下，坝体最大等效拉应力为1 8 5 m p a ，小于2 o o m p a ，满足混凝土拱坝设计规范 ( s l 2 8 2 2 0 0 3 ) 关于有限元等效应力控制指标的规定；坝体最大等效压应力在基本荷载组合 和特殊荷载组合下，均小于5 o o m p a ，满足设计应力控制标准要求。 有限元法计算结果与拱梁分载法( 四向调整) 计算结果相比较，应力分布规律基本一致： 在基本荷载组合情况下和基本组合加地震荷载组合情况下，坝体上游面拱冠部位压应力最大， 向两岸逐渐减小，拱端出现拉应力最大：坝体下游面拱端部位压应力最大，向拱冠逐渐减小， 并在拱冠及附近部位出现拉应力。 关键词：拱坝有限元法等效应力 爪形1i a b s t r a c t t h ec a l c u l a o na n dr e s e a r c hw i t h3 df i n l t ee l e m e n t m e t h o do n a r c hd a me q u l 、a l e n ts t r e s s m a j o r ：h y d r a u l i ce t u t o r s ：p r o f e s s o r s e n i o re n g a u t h o r ：z “一一“ d a t e ：堋以 a r c hd a mi st h r e ed i m e n s i o n a le l a s t i c i t ys h e l ls t r u c t u r e t h es c a l es h a p e ，b o u n d a r yc o n d i t i o na n ds t r e s s s t a t eo fa r c hd a mi sv e r yc o m p l e x t h e r e f o r ei ti sv e r yd i f f i c u l tt oc o m p u t et h es t r e s ss t a t eo fa r c hd a mw i t h s t r i c tt h e o r y b e f o r e1 9 7 0 s ，c r o w nc a n t i l e v e rm e t h o di su s u a l l yu s e di nc h i n a a f t e r1 9 7 0 s ，m u l t i p l ea r c h e s a n dc a n t i l e v e r sm e t h o da n df i n i t ee l e m e n tm e t h o di sp o p u l a r a n df i n i t ee l e m e n tm e t h o di si n o r ea n dm o r e u s e di ns t r e s sa n a l y s i si nc h i n a b u tt h er e s u l tc o m p u t e db yf i n i t ee l e m e n tm e t h o da l w a y sg r e a t e ro nt h ep l a c e b e t w e e nd a mb o d ya n db e & o c kd u et os t r e s sc o n c e n t r a t i o n ，t h i si su n c o n f o r m i t yp r a c t i c a lc o n s i d e r a t i o n s t h i sp a p e rb a s e do nt h ec o n c e p to fe q u i v a l e n ts t r e s s ，s y n t h e s i sc r o s ss e c t i o ni n t e r n a lf o r c ew i t hr e s u l to nt h e p l a c eb e t w e e nd a mb o d ya n db e d r o c kc o m p u t e db yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h e ns o l v e dt h ec o r r e s p o n d i n g l i n e a rs t r e s s ，e x p e c t e dt oe l i m i n a t et h e 鲥de f f e c ta n ds t r e s sc o n c e n t r a t i o n t h i sp a p e rc o m b i n e dw i t ht h ep r a c t i c a lp r o j e c t ，c a l c u l a t i o na n da n a l y z e st h et h r e ed i m e n s i o n a lf i n i t e e l e m e n te q u i v a l e n ts t r e s s t h ec a p i t a w o r ko ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ：b a s e do i lt h ed a t a , t h ep a p e r s u m m a r i z e sd e v e l o p m e n ts i t u a t i o no fa r c hd a m ，t h ea c t u a l i t yo fs t r e s sa n a l y s i sm e t h o d sa n df i n i t ee l e m e n t a n a l y s i sm e t h o d ；t h ep a p e ri n t r o d u c e st h eb a s i ct h e o r y , d e d u c e st h eb a s i cf o r m u l a e ，a n ds t a t e st h eu n i t sa n d s u i t a b l ec o n d i t i o no f f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；b a s e do na n s y s ，t h ep a p e rs t u d i e st h ef i n i t ee l e m e n t e q u i v a l e n t s t r e s so fa r c hd a m t h r e ed i m e n s i o n a lf i n i t ee l e m e n tr o o d e l sa r ee s t a b l i s h e d a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n t c o n d i t i o no fp r o j e c t t h er e s u l t sw h i c hi sa d v a n t a g e dt ot h ep r o j e c ti sg a i n e d ； t h er e s u l ti n d i c a t e ：u s d e rb a s i ci n a dc o m b i n a i o n ，t h em a xi s1 3 1 m p a ，l e s s t h a n1 5 0m p a ；u n d e r p a r t i c u l a rl o a dc o m b i n a t i o n , t h em a xe q u i v a l e n tt e n s i l es t r e s si s1 8 5 m p a 1 e s s t h a n2 0 0 m p a ；t h i sr e s u l t m e e tt h ed e s i g ns p e c i f i c a t i o no fc o n c r e t ea r c hd a ma b o u tt h ep r e s c r i p t i o no fe q u i v a l e n ts t r e s s u n d e r b a s i cl o a dc o m b i n a t i o na n dp a r t i c u l a rl o a dc o m b i n a t i o n ，t h em a x e q u i v a l e n tc o m p r e s s i n gs t r e s sa l ll e s s t h a n 5 0m p a ，m e e tt h ec o n t r o ls t a n d a r do fd e s i g ns t r e s s c o m p a r e dw i t ht h er e s u l tc o m p u t e db yf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dm u l t i p l ea r c h e sa n dc a n t i l e v e r s m e t h o d ( f o u rd i r e c t i o na d j u s t ) ，t h er e g u l a r i t i e sd i s t r i b u t i o no fs t r e s si ss u b s t a n t i a la g r e e m e n t ：u n d e rb a s i cl o a d c o m b i n a t i o na n dp a r t i c u l a rl o a dc o m b i n a t i o n ，t h em a xc o m p r e s s i n gs t r e s sa p p e a r e da ta r c hc r o w no f u p s t r e a mf a c e ，d w i n d l ea w a yt os i d eb a n k s ，t h et e n s i l es t r e s si sb i g g e ra ta r c ha b u t m e n t ；t h em a xc o m p r e s s i n g s t r e s sa p p e a r e da ta r c ha b u t m e n to fd o w n s t r e a mf a c e ，d w i n d l ea w a yt oa r c hc r o w n ，t h et e n s h es t r e s sa p p e a r e d a ta r c hc r o w na n da d j a c e n ta r e a s k e y w o r d s ： a r c hd a m ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；e q u i v a l e n ts t r e s s 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我个 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，昧特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 论文作者签名：卑驴产；月训日 学位论文使用授权声明 本人 立型轻 在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩，并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) 为教学和 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、测览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。 ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者掘血扛导师躲纽口净月列日 1 绪论 1 绪论 1 1 拱坝的特点n 瑚 拱坝是一种重要坝型，在水利水电工程建设中占有突出的地位，以结构合理和体型优 美而著称。作为一种经济性和安全性均较优越的坝型，在国内外都被广泛采用。拱坝是固 接于基岩的空间壳体结构，在平面上呈凸向上游的拱形，拱冠垂直剖面里竖直的或向上游 凸出的曲线形。从力的传递来看，拱坝结构即有水平方向拱的传力作用又有垂直方向梁的 传力作用：其所承受的水平荷载部分通过拱的作用传向两岸、另一部分通过竖直梁的作 用传到坝底基岩。坝体的稳定主要依靠两岸拱端的反力作用，并不全靠坝体自重来维持。 由于拱是一种主要承受轴向压力的推力结构，拱内弯矩较小，应力分布较为均匀，有利于 材料的抗压强度的发挥。拱的作用利用得越充分，材料抗压强度高的特点就越能充分发挥， 从而坝体厚度较小，节省工程量。拱坝的坝体方量与同一高度的重力坝相比大约可节省 1 3 z 3 ，从经济意义上讲，拱坝是一种很优越的坝型。 拱坝属于高次超静定结构，当外荷增大或坝的某一部位发生局部开裂时，坝体的应力 将会自行调整，使坝体应力重新分布。根据国内外拱坝结构模型试验成果表明，拱坝的超 载能力可以达到设计荷载的5 1 1 倍。拱坝坝体轻韧，弹性较好，工程实践表明，其抗震 能力也是非常强的。 综上所述，拱坝是一种工作条件好，超载能力强的坝体结构形式，有可靠的抵御意外 洪水和涌浪翻坝的能力，抗震性能好，而且垮坝事故率低、耐久性好，综合安全性很高， 同时具有较好的经济指标。 1 2 国内外拱坝的发展概况”嘲 人类修建拱坝有着悠久的历史。现在发现的最古老的拱坝遗址是罗马时代建于法国 圣- 里米省南部的鲍姆( v a l l o nd eb a u m e ) 拱坝，坝高1 2 m ，坝顶弧长1 8 m ，半径约为1 4 m ， 坝顶中心角7 3 。 到2 0 世纪2 0 - 4 0 年代，美国开始修建较高的拱坝，并于1 9 3 6 年建成了高2 2 1 m 的胡 佛重力拱坝。在这一时期，拱坝设计理论和施工技术有了较大的进展，如应力分析的拱梁 试荷载法、坝体温度计算和温度控制措施、坝体分缝和接缝灌浆、地基处理技术等。 第二次世界大战后，高拱坝建设在意大利、西班牙、瑞士、法国、美国等取得了更快 的发展。2 0 世纪5 0 年代以后，西欧各国和日本修建了许多双曲拱坝，在拱坝体型、复杂 坝基处理、坝顶溢流和坝内开孔泄洪等重大技术上有了新的突破，从而使拱坝厚度减小， 坝高加大，即使在比较宽阔的河谷上修建拱坝也能体现其经济性。 进入2 0 世纪7 0 年代，随着计算机技术的发展，有限单元法和优化设计技术的逐步采 用，使拱坝设计和计算周期大为缩短，设计方案更加经济合理。水工及结构模型试验技术、 混凝土施工技术、大坝安全监控技术的不断发展，也为拱坝的工程技术发展和改进创造了 西安理工大学工程硕士学位论文 条件。目前世界上最高的拱坝是格鲁吉亚的英古里双曲拱坝，最大坝高2 7 2 m ，厚高比为 o 1 9 。根据国际大坝委员会1 9 8 8 年出版的大坝注册簿统计，截止1 9 8 6 底，世界范围内己 建拱坝坝高超过1 5 m 的有1 6 0 8 座，其中坝高超过2 0 0 m 的拱坝见表1 - l 。 我国修建拱坝有悠久的历史，第一座拱坝可追溯到1 9 2 8 年在厦门市建成的坝高2 7 3 m 的一座浆砌石拱坝。2 0 世纪3 0 年代，四川省修建了一批小型浆砌石拱坝。新中国成立后， 我国水利水电事业迅速发展。在混凝土拱坝建设方面，1 9 5 8 年在安徽省建成第一座坝高 8 8 m 重力拱坝一响洪甸拱坝，1 9 5 9 年在广东省建成流溪河双曲拱坝( 坝高7 8 m ) ，1 9 6 0 年 在山西省建成恒山双曲拱坝( 坝高6 8 7 m ) ；在砌石拱坝方面，1 9 6 0 年在河北省建成峡沟 重力拱坝，1 9 7 0 年在河南省建成柿园砌石重力拱坝( 坝高7 8 8 m ) 从1 9 7 1 起，我国的拱 坝建设进入一个新的阶段。根据中国大坝委员会的统计，截至1 9 9 8 年底，中国已建成高 度3 0 m 以上的拱坝5 2 1 座，其中包括高2 4 0 m 的二滩拱坝，高1 7 8 m 的龙羊峡拱坝。建坝 的数量到2 0 世纪9 0 年代末已占世界总数的一半，居世界首位。 表1 - 1世界上坝高超过2 0 0 m 拱坝 坝名国家坝高( m )竣工年份 英古里前苏联 2 7 21 9 8 0 瓦依昂意大利 2 6 21 9 6 0 萨扬舒申斯克 前苏联 2 4 51 9 8 0 二滩中国 2 加1 9 9 9 莫瓦赞 瑞士2 3 7 1 9 5 7 埃尔凯莱洪都拉斯 2 3 41 9 8 5 契尔克前苏联 2 3 31 9 7 4 胡佛美国 2 2 11 9 3 6 康特拉瑞士 2 2 01 9 6 5 姆拉丁其前南斯拉夫 2 2 0 1 9 7 6 格兰峡美国 2 1 61 9 6 4 丹尼尔约翰逊加拿大 2 1 4 1 9 6 8 巴列维伊朗 2 1 3 1 9 6 2 卢左那瑞士2 0 81 9 6 3 卡隆伊朗 2 0 61 9 7 5 阿尔门狄拉 西班牙2 0 2 1 9 7 0 胡顿前苏联 2 0 0 51 9 8 2 科尔布莱恩奥地利 2 0 01 9 7 7 卡比尔伊朗 2 0 01 9 7 7 西马潘墨西哥 2 0 01 9 9 4 1 3 拱坝的应力分析方法“”州 拱坝是一个空间弹性壳体结构，其几何形状和边界条件都很复杂，应力状态也比较复 杂，难以用严格的理论计算求解拱坝坝体应力状态。在工程设计中，常作一些必要的假定 2 1 绪论 和简化，使计算成果能满足工程需要。拱坝应力分析的常用方法有圆筒法、纯拱法、拱梁 分载法、壳体理论计算方法、有限单元法和结构模型试验法等我国在2 0 世纪7 0 年代以 前，主要采用拱冠梁法，7 0 年代以后，逐渐采用多拱梁法和有限元法。7 0 年代中期以后， 有限元方法在我国拱坝应力分析中得到广泛应用。 ( 1 ) 圆筒法 圆筒法是把拱坝当作一个放在水中的铅直圆筒，采用薄壁圆筒公式进行计算。它只适 用于等截面的圆形拱圈，只能求出拱圈上的切向应力( 即截面正应力) ，不能用来计算温度 应力、地震应力和地基影响，因此不能反映拱坝真实工作条件，一般只用于小型拱坝的计 算。 ( 2 ) 纯拱法 纯拱法假定拱坝由一系列各自独立互不影响的水平拱圈所组成，每层拱圈简化为两端 固接的平面拱，用结构力学方法求解拱的应力。此法虽然可以计入每层拱圈的基础变位、 温度、水压力等的作用，但忽略了拱坝的整体作用，算得的拱应力偏大，尤其对于重力拱 坝，误差更大。它一般适用予狭窄河谷中的拱坝。 ( 3 ) 网格法 网格法是应用有限差分解壳体方程的一种计算方法，该方法假定壳体为弹性的等截面 圆柱体，它的变形远小于厚度与曲率半径，忽略边界切向荷载所产生的变形、泊松比及垂 直位移方面的影响，它只适用于半径与厚度的比值大于5 的薄拱坝的应力分析。网格法是 将圆柱形拱坝的中心曲面划分为许多正交网格，根据各网格结点的平衡条件，计算坝体变 位和应力。网格法可用手算或电算，并且计算设有周边缝的拱坝比较方便。基础边界条件 也是按伏格特方法处理。 ( 4 ) 格栅法 这种方法是由我国黄文熙教授于1 9 6 2 年提出，它是将拱坝看作由许多水平拱段和垂 直梁段所组成的格栅，然后将格栅中每一段作为杆件来研究，可写出每个结点的五个变位 与内力的关系方程，最后由平衡条件来求解每个结点的五个变位，根据变位再来求应力。 这一求解过程与以后发展起来的有限元法有些相似，不过格栅法在实际工程应用不多。 ( 5 ) 内力平衡分载法 内力平衡分载法是我国陈正作先生提出的一种拱坝应力分析方法，其基本力学假定是 建立在正交拱梁体系分载原理基础上，并通过变位协调和平衡条件来求解。该方法是先将 结点( 即拱与梁的交点) 变位用梁所分担的荷载来表示，然后取出一根单元拱段考虑，它的 两端内力( 轴向力、剪力和弯矩) 可以用拱端结点变位( 已由梁方向计算得出) 和单元拱上的 荷载来表示，经过转换，也可以用荷载未知量( 分担给梁或拱上的荷载) 来表示；然后列出 结点左右两侧内力平衡条件，即可建立以荷载为未知量的方程组。由于此法系采用拱单元 体系计算，使拱的计算工作规格化了，且形成的方程组系数矩阵具有很多的零元素区，从 而减少内存数，提高计算速度。此法在我国得到广泛应用，取得很大的成绩。 3 西安理工大学工程硕士学位论文 ( 6 ) 反力参数法 反力参数法是陈正作先生提出的，是在内力平衡分载法的基础上发展起来的一个新方 法。此法的特点是以两岸的水平拱反力作为基本未知量，通过在结点上逐点建立拱梁变位 一致方程以消去荷载未知量，从两岸角点逐步推进到拱冠梁，最终建立在拱冠梁上的变位 一致、荷载一致和内力平衡方程，从而解出反力参数。此法的优点是占用内存比内力平衡 分载法更少，计算速度也可进一步提高，但缺点是计算中对数的精度要求比其它方法高， 为了保证成果的准确性，常需采用双精度数进行运算。此法也已在国内一些拱坝设计中应 用。 ( 7 ) 杆元分载法 我国孙扬镰先生提出的杆元分载法是将拱梁系统离散成一系列水平和垂直的杆件单 元，用矩阵位移法来求解由这一系列杆件单元所组成的框架结构。求解时，同时取结点荷 载( 结点上分配到水平杆件或垂直杆件上的荷载) 和结点变位作为基本未知量，在水平杆件 和垂直杆件上各自建立结点的平衡方程。本法的方程组阶数将比拱梁分载法增加一倍，但 由于系数矩阵具有对称、正定、带状等特点，所占内存和所需机时均比拱梁分载法少。 ( 8 ) 拱梁分载法 拱梁分载法又称试载法，最初是美国垦务局在2 0 世纪3 0 年代以前提出，经过后人的 不断发展和改进并随着计算机的飞速发展和广泛应用，已成为各国目前用于拱坝应力分析 的一种规范化方法。它的基本概念是：把拱坝看作由一系列的水平拱圈和铅直梁所组成， 荷载由拱和梁共同承担，根据拱、梁各交点( 称为共轭点) 处变位一致的条件求解拱、梁系 统的荷载分配。然后梁按静定结构计算应力，拱按纯拱法计算应力。这种方法可以改善纯 拱法单独计算拱圈的缺点，在一定程度上反映了拱坝的整体作用。我国混凝土拱坝设计规 范规定拱坝应力分析采用拱梁分载法。但拱梁分载法也存在如下一些缺点： 计算方法和假定具有一定的近似性，如拱和梁计算中均采用结构力学的假定，拱坝 坝基的变位多年来一直沿用比较粗略的伏格特方法来确定； 计算中某些问题的处理具有一定的任意性，如基础点上荷载分配的假定，梁的切取 方法，大体积空间结构简化为杆系格栅结构的近似性等； 拱梁分载法不便于进行动力分析、温度场分析和非线性分析； 对于坝体内设有孔口，以及基础条件复杂的情况，用拱梁分载法计算难以得出合理 的结果。 ( 9 ) 有限单元法 我国混凝土拱坝设计规范( s l 2 8 2 - 2 0 0 3 ) 第6 2 1 条规定，“拱坝应力分析应以拱 梁分载法或有限元法计算成果，作为衡量强度安全的主要标准。i 、2 级拱坝和高拱坝或 情况比较复杂的拱坝( 如拱坝内设有大的孔洞、地基条件复杂等) ，除用拱梁分载法计算 外，还应采用有限元法计算。必要时，应进行结构模型试验加以验证。”2 0 世纪7 0 年代 中期以后，有限元方法在我国拱坝结构应力计算分析中得到广泛应用，拱坝结构应力有限 4 1 绪论 元计算分析方法包括一维有限元法、壳体有限元法和三维有限元法。 一维有限元法是朱伯芳院士提出的，相当于拱梁分载法中的拱冠粱法，将拱圈对粱的 作用视为分布在梁的全长上的连续弹性支座，用有限元法解算这个体系。此法计算十分简 便，计算速度很快，但其精度较差，适用于进行多方案比较或拱坝优化选型。 壳体有限元法适用于较薄拱坝的应力分析，它所采用的单元模型有折板单元、薄壳单 元及厚壳单元等。 随着计算机硬件和软件技术的飞速发展，计算机存储容量和计算时间的限制已较小， 三维有限元法也得到越来越广泛的应用，它有着其它方法无可比拟的优点。三维有限元法 适用于任何形状的拱坝，可以考虑复杂的地形、地质条件。地基可以是非均质或各向异性 的，可以考虑任何性质的荷载，如基岩和坝体内部的渗流体积力、自重、温度荷载、灌浆 和预应力、地震力等，并可以考虑塑性和开裂等非线性影响，也可以用于动力分析、温度 场分析等。 有限元法理论上比拱梁分载法完善和先进，是相对精确的一种方法，它可以处理拱粱 分载法许多难以处理的问题，如模拟复杂的坝体结构、施工过程、基础状况，合理考虑拱 坝整体刚度、坝与地基的相互作用等。有限元分析坝体稳定、强度等在国内外工程中有已 有大量的实践，对混凝土拱坝的应力分析和应用也已积累了丰富的经验，随着拱坝建设的 发展，有限元法的应用也将越来越广泛和深入。 1 4 有限元法分析拱坝的现状胁侧 我国在2 0 世纪7 0 年代中期以后，有限元方法在我国拱坝应力分析中得到广泛应用， 目前应用较多的是8 结点和2 0 结点等参单元和节理单元。河海大学、南京水利科学研究 院、清华大学、武汉大学水利水电学院等单位还研制了用于温度徐变应力、非线性、仿真 分析、动应力等问题的专用程序，在实际工程中得到了广泛的应用。然而，有限元法计算 结果由于应力集中在坝体与基岩交接处数值偏大，应用于实际工程存在一定困难。为了解 决这个矛盾，1 9 9 1 年河海大学傅作新教授等提出基于有限元法分析结果的有限元等效应 力法，其基本思想是：首先将由常规有限元法所求得的应力合成为截面内力，然后求出对 应的线性化应力，为将有限元分析结果规范化提出了一种新思路：还有些专家提出了有限 元多拱梁藕合算法，用有限元法计算基础，用多拱梁法计算坝体。目前我国在拱坝静 力和动力应力分析方法和设计上已居于世界前列。拱坝设计计算主要采用多拱梁法和有限 元法，这些方法和程序功能较强，能够适应拱坝应力分析的需要。 到目前为止，在国际上面向工程的有限元的通用程序己经达到了几百种，其中著名的 有：a n s y s 、n a s t r a n 、a s k a 、a d i n a 、s a p 和m a r c 等，它们大多采用f o r t r a n 语言编写，规模达几万条甚至几十万条语句，其功能越来越完善。 1 ，5 本文的主要内容 本文结合实际工程项目，以a n s y s 为平台，进行了拱坝有限元应力计算。本文主要 5 西安理工大学工程硕士学位论文 工作内容为： ( 1 ) 在查阅大量的国内外资料的基础上，对拱坝的发展概况，应力分析方法及有限 元分析方法的现状进行了总结和综述； ( 2 ) 介绍了有限单元法的基本原理，阐述了拱坝有限元仿真分析中的常用单元及其 适用条件； ( 3 ) 详细推导了拱坝有限元等效应力计算的基本公式，基于大型有限元软件a n s y s 研究了拱坝有限元等效应力计算及应用； ( 4 ) 利用大型有限元软件a n s y s 建立了拱坝三维有限元实体模型，进行了多工况 的计算分析，并将其计算结果与拱梁分载法( 四向调整) 计算结果进行比较。最后得出一 些对工程实际有指导意义的结论。 6 2 混凝土结构有限元法分析理论 2 混凝土结构有限元法分析理论 关于混凝结构和构件的计算理论，在早期是采用以弹性理论为基础的容许应力方 法。当时的一些试验表明，只要合理地选择容许应力，采用弹性理论也能使结构在使用荷 载下表现出令人满意的性能，而且对破坏具有足够的安全储备。经过半个多世纪实践经验 的积累以及不断的试验以后，人们对结构混凝土性能的了解大大加深了。容许应力设计方 法的缺点也就变得更加明显了。这就导致对容许应力设计方法进行调整，而设计方法应以 混凝土和钢材实际非弹性性质为基础的观点也就变得更加明确了。2 0 世纪4 0 年代末，按 破坏阶段的极限强度设计出现了。1 9 5 6 年美国混凝土协会( a c d 的钢筋混凝土设计规范和 1 9 5 7 年英国的钢筋混凝土设计规范都认为极限强度设计是一种可以使用的设计方法。随 着理论研究的深入和实践的开展，该理论不断发展和完善。 2 1 混凝土的本构关系 在混凝土结构的数值分析中，必须考虑混凝土结构组成材料的力学性能。所谓混凝土 的本构关系主要是表达混凝土在多轴应力作用力下的应力应变关系。在连续介质力学中， 有关形体的本构关系有很多模型或理论。在建立混凝土的本构关系是往往基于已有的理论 框架，再针对混凝土的力学特性，确定甚至适当调整本构关系中各种所需材料参数。已有 的理论模型主要有：弹性理论、非线性弹性理论、弹塑性理论、粘弹性、粘塑性理论、断 裂力学理论、损伤力学理论和内时理论等。由于混凝土材料的复杂性，还没有哪一种理论 已被公认可以完全模拟混凝土材料的本构关系。 2 1 i 混凝土的本构模型概述 混凝土的拉应力拉应变之间的关系，不是直线关系；而是以拉应变为横坐标以拉应 力为纵坐标且凹向下方的曲线关系捌； ( i ) 线弹性本构关系 应力应变在加荷和卸载时都星线性关系，即服从胡克定律，可以用表达式- e 8 表 示。弹性关系中应力状态与应变状态呈一一对应关系，并且成线性关系，成为线弹性。在 实际结构设计中，线弹性仍然是应用很广泛的本构关系。 ( 2 ) 非线性弹性关系 应力和应变不成正比，但有一一对应关系。卸荷后没有残余变形，应力状态由应变状 态决定，而与加载历史无关，用公式表述为：盯一e ( 盯k ，d 盯一e p 虹一e 。 ( 3 ) 弹塑性关系 为了描述变形体材料加荷后卸载时产生不可恢复的变形这一现象，建立了塑性理论。 变形的全过程大致可以分为：弹性阶段、流动阶段、硬化阶段。 ( 4 ) 流变学模型 塑性变形不仅与应力状态有关，而且与加载历史和加载路径有关，但这两种变形都与 7 西安理工大学工程硕士学位论文 时间无关。对混凝土材料来讲，其变形是与时间有关的，它存在着徐变和应力松弛现象。 徐变是在应力不变的情况下，其变形随时间而增加。与徐变现象相对应的效应是松弛，即 当变形体的变形固定时，其应力会随时间而逐渐衰减。对应模型有粘弹性或者粘塑性模型。 ( 5 ) 断裂力学理论 混凝土的抗拉强度很低，在一般条件下很容易产生裂缝。断裂力学的研究对象是含有 裂缝缺陷的固体材料，对其进行应力分析，研究裂缝的扩展规律和断裂条件。 ( 6 ) 损伤力学理论 混凝土的应力应变曲线由上升段和下降段组成，特别是对下降段，它具有裂缝逐渐扩 展，卸载时弹性弱化等特点。以上所述的特性是非线性弹性、弹塑性等模式很难描述的， 损伤力学则既可以考虑混凝土材料在未受力状态下的初始裂缝的存在，也可以反映在受力 过程中由于损伤累积产生的裂缝扩展，从而导致的应力软化。 损伤力学与断裂力学一样，承认一般工程材料存在内部微观缺陷这一事实；但与断裂 力学不同，它引进一个损伤变量作为表征材料内部缺陷的物理量( 也属于内变量) ，所谓 损伤是指材料内部结合部位发生不可恢复的减少，这种减少可以是原始具有的，也可以是 受力过程中产生的。 基于损伤因子，有效应力s 。等参数可以建立混凝土材料的本构关系，对于三维问题， 则损伤与有损伤的体积有关，问题要复杂一点。 2 1 2 混凝土弹塑性本构关系啪矧 弹塑性本构关系有两种：形变理论：弹塑性小变形理论，适用于比例加载，计算简 单。它试图直接建立用全量形式表示的、与加载路径无关的本构关系，这在一般情况下不 适用。增量理论：塑性条件下应力和应变之间的增量关系，需要按加载过程积分，适用 于计算机分析。由于计算机的发展和计算方法的进步，这一理论几乎完全替代了形变理论 而得到愈来愈广泛的应用。 增量理论的三个基本假定：屈服准则，应力满足什么条件时进入屈服状态，流动 法则，材料屈服后塑性变形增量的方向，硬化法则，到达屈服面后，屈服极限的后续变 化。 ( 1 ) 屈服面和破坏面 通过材料各种不同应力组合的材料强度实验可以求得材料的屈服条件和破坏条件。在 单向拉伸时，用一个应力仃表示，即屈服准则盯一o r ，- 0 和破坏准则盯一吼- 0 ，在复杂 应力状态下，屈服准则可用f h ，j o 表示。在应力空间f - o 表示一个曲面，成为屈服 曲面。当应力点在曲面内( f b ；， t 0 ) ，材料处于弹性状态；应力点在屈服面上时 ( f b 。，) - 0 ) 材料开始进入塑性状态。材料达到屈服状态，出现塑性变形。材料屈服后 屈服极限随塑性应变增大而增大，称为硬化：随塑性应变增大而减小称为软化。屈服极限 保持不变，理想弹塑性。 一般屈服面不等于破坏面，但在工程上有时也将屈服面称为破坏面。其原因是：工 窖 2 混凝土结构有限元法分析理论 程结构不准许有很大的塑性变形；有些材料如岩土、混凝土等没有明显的屈服点，但破 坏点却很明显。 ( 2 ) 常用屈服准则和破坏准则： 最大拉应力：0 1 - f ( i l ，j 2 ，o ) - 钌2c o s o + - 3 l - 0 ( 参v o m i s c s ： f ( 1 2 ) - ，2 一k 2 - o r r c 瞄：去h 0 3 ) - k ： f ( 1 ：，一) 一厉s i n p + 石3 ) 一k - 0 ： f ( p ，口) - p s i n ( o + x 3 ) 一及0 莫尔一库仑： ，( 1 1 , j 2 , 0 ) - l l x s i n 0 + 厉s n ( 0 + ；) + 俘叫一+ 铲刚一。 d m c k p r a g e r ：f 0 1 ，j 2 ) - a 1 + 万一k - 0 俞茂宏双剪应力屈服准则： f a l 南喊+ 吒) - q叩等导 n 击b + b o ：) 一口0 3 。q 咛箐 嬗) z i e n u e w i c z - p a n d e 屈服条件： d m d 【_ p m g c r 的屈服面为圆锥面，克服了莫尔- 库仑不光滑的缺点，但在p 平面上的投 影是一个圆，不符合岩石、混凝土材料的特性，而莫尔库仑准则是比较合理的。基于此 z i e n k i e w i c z - p a n d e 提出准则，即保留了英尔- 库仑中拉压子午线不同的特征，而又使棱角光 滑化。 2 1 3 水工结构应用中的混凝土本构关系。3 、踟 对不同性质问题的分析中，混凝土的应力应变关系可采用线弹性应力应变关系、多线 性弹性应力应变关系、非线性弹性应力应变关系和弹塑性应力应变关系。对于水工结构分 析中，由于建筑物的安全级别比较高，一般水工混凝土结构设计均要求在正常使用极限状 态下，允许出现的最大拉应力应不大于混凝土抗拉强度标准值的1 ，2 ，所以一般结构均被 认为基本符合线弹性本构关系，可以使用理想线弹性模型进行计算。根据水工混凝土试 验规程中规定；抗压弹性模量取应力从0 0 4 f c 的割线弹性模量( f c 是最大轴心抗压破 坏强度) ；抗拉弹性模量取应力从0 0 5 f 1 的割线弹性模量( f 1 是最大轴心抗拉破坏强度) ， 抗拉弹性模量的计算式定义为：e t - - o 0 3 。水工混凝土试验规程中规定的抗拉弹性 9 西安理工大学工程硕士学位论文 模量e t 取应力从0 0 5 f l 的割线弹性模量，现将0 0 5 f l 的割线绘于图2 - 1 的混凝土的应 力应变曲线图上，如图2 1 所示。 拉 应 力 a ) 吼 0 0 5 o 5 岛拉应变 如图2 - 1 混凝土的应力应变关系曲线 在图2 1 中，曲线代表混凝土的应办一应变关系曲线：q 与f 。分别代表混凝土的极限抗 拉强度与极限拉伸值；0 0 3 代表混凝土的极限抗拉强度q 的5 0 ；，代表0 0 3 所对应的应 变值。由图2 - 1 可以看出，并不等于f 。的一半，而是小于g ，2 。因为e i = 口以f ”= 培9 。 则图2 - i 中0 0 5 h 割线，就是过点( o 缸，。) 以增9 为斜率的直线，该直线的方程式为 o t = 占t 互，用它近似代替理想弹性体的应力与应交关系曲线( 见图2 - 1 ) 。由图2 - 1 可以看出， 当计算出的拉应变小于f 。，时，利用式q = 5 ，巨计算所得的拉应力小于应力应变关系曲 线上表示的拉应力；当计算出的拉应变等于。时，利用式吼= s ，e 计算所得的拉应力等 于应力垃变关系曲线上表示的拉应力；当计算出的拉应变大于；时，利用式珥= f 。e 计 算所得的拉应力大于应力一应变关系曲线上表示的拉应力；特别是到决定混凝土是否会产 生裂缝的关键点，即当计算出的拉应变等于混凝土的极限拉伸值时，利用式仉= g 。e 计算 所得的极限拉应力比应力一应变关系曲线上表示的极限拉应力偏大最多。 2 2 有限单元法的基本概念 有限单元法的基本思想是将问题的求解域划分为一系列单元，单元之间仅靠节点 连接。单元内部点的待求物理量可由单元节点物理量通过选定的函数关系插值求得。 由于单元形状简单，易于由平衡关系或能量关系建立节点之间的方程式，然后将各个 单元方程“装配”在一起形成总体代数方程组，加入边界条件后即可对方程组求解。 2 混凝土结构有限元法分析理论 2 2 1 有限元法基本理论嘲 线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类 似之处，而且后者常常要直接引用前者的某些结果。 先对三维空间中弹性力学基本方程的矩阵形式作些介绍( 参见1 蛩2 - 2 ) 。任一点应力向量 s = 【s 。s y s ：t 珂t y z t 嗣，任一点的位移向量u = 【uv w 7 ，任一点的应变向量c = k e y e ：e 可 嘲7 。 图2 - 2 三维单元应力分布图 f i g 2 - 2s t x e s sd i s t r i b u t i o no f t h r e e - d i m e n s i o n a le l e m e n t ( 1 ) 平衡方程 弹性体v 域内任一点沿坐标x 、y 、z 方向的平衡方程为 誓+ 等+ 监a z + 7 ，；o缸 a y 。 鲁+ 鲁+ 誓+ 7 ，- o缸a v钯 ， 丝a x + 鲁+ 警+ 7 ；- 。却玉 其中五、五、五为单位体积的体积力在x 、y 、z 向的分量。平衡方程的矩阵形式为 a a + f 0( 2 1 ) 1 1 西安理工大学工程硕士擎位论文 4 - 旦00 缸 0 旦0 砂 00 旦 钯 ，7 - 1 7 ，7 ，7 ：j ( 2 ) 几何方程 在微小位移和变形的情况下，略去位移导数的高次项，则应变向量和位移向量间的几 何关系有 气。i 芦，。面芦z 。i 融却01,aw 岛石+ 磊。k ，强。西+ 石。岛，y a 几何方程的矩阵形式为 一l u 其中l 为微分算子 工- 0 0 a _ - 越 0 a _ 一 毋 a _ 一 缸 专旦oz竺，。， 拉l ( 2 2 ) ( 3 ) 物理方程 对于各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式用矩阵形式表示为 盯- d e( 2 3 ) 式中d 是与单元材料有关的弹性矩阵，它完全取决于材料的弹性模量e 和泊松比弘。 o一拓o o 一缸 o a一赴。一秒 。一移a一缸o o a一砂o a一缸a一砬o al毽o o a一秒o a 一娩 2 混凝土结构有限元法分析理论 。一万顶e 习 一pp 弘1 一_ l 棒弘 o0 oo 00 卢0 p 0 1-0 0 1 - 2 a 2 oo o0 o 0 o 0 1 - 弘 2 o o o 0 o 0 1 2 “ 2 ( 2 4 ) 2 2 2 有限元法分析的基本过程 有限单元法分析计算基本思路可以归纳如下： ( 1 ) 物体离散化 首先将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，然后利用单元的节点将 离散后的单元与单元相互连接起来。单元节点的设置、性质、数目等应根据问题的性 质、描述变形形态的需要和计算精度而定。一般情况下，单元划分越细则描述变形情 况越精确，越接近实际交形，但是这样计算量也越大。所以，有限单元法中分析的结 构已经不是原有的连续物体或者结构，而是同样材料的众多单元以一定方式联接成的 离散体。因此，有限元分析计算所获得的结果只是近似解。如果划分的单元数目足够 多且又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。 ( 2 ) 单元特性分析 从选择基本未知量的角度来看，有限元法可以分为三类：位移法、力法和混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以在有限元法中应用范围最广。 采用位移法时，