（水利水电工程专业论文）基于有限元法的水工结构可靠度分析.pdf

中文摘要 水工结构工程设计中存在着大量的不确定性，对于大型复杂结构的可靠度分 析，极限状态函数一般都是随机变量的高度非线性的隐式函数，而且结构分析本 身就是一个非常复杂的过程。目前我们可以借助功能十分强大的通用结构有限元 分析软件实现结构分析，但这些分析软件在结构可靠度分析方面或多或少的有些 缺陷，因此在现有软件的基础上增加可靠度计算的功能，是非常有必要的。基于 此目的以通用有限元计算软件a n s y s 为基础结合结构可靠度计算分析理论编制了 结构可靠度分析程序。 本文介绍了可靠度分折常用的可靠度计算理论一次二阶矩法、响应面法和两 点近似拟合失效曲面法；并对a n s y s 二次开发途径作了介绍；提出在处理复杂结 构体系的可靠度时，可综合考虑结构的体系效应，以结构在随机变量作用下的响 应，如最大应力、弯矩、剪力、位移等，其中的一个或几个或全部超过允许的响 应( 应力、弯矩、剪力、位移) 作为极限状态函数，从而模糊结构内部的失效模 式，起到简化结构可靠度计算的作用。 应用上述理论和方法，采用f o r t r a n9 5 程序语言在c o m p a qv i s u a lf o r t r a n6 5 平台下成功实现了基于a n s y s 有限元计算软件的概率有限元计算程序，并进行算 例考题证明了程序的可行性和正确性。 关键词：水工结构工程可靠度a n s y s 二次开发概率有限元 天津大学学位论文 a b s t r a c t i nh y d r a u l i ce n g i n e e r i n gt h e r ea r em a n yu n c e r t a i n t h i n g s t h el i m i ts t a t ef u n c t i o n i st h eh i 曲l yn o n l i n e a ri m p l i c i tf u n c t i o no ft h eb a s i cd e s i g nv a r i a b l e ，e s p e c i a l l yf o rt h e c o m p l e xl a r g e - s c a l es t r u c t u r e si ns t r u c t u r a lr e l i a b i l i t ya n a l y s i sa n ds t r u c t u r ea n a l y s i si s a l s oa ni n t r i c a c y a tp r e s e n tw ec a i lr e a l i z es t r u c t u r ea n a l y s i si nv i r t u eo fp o w e r f u l g e n e r a ls t r u c t u r a lf e ma n a l y s i ss o f t w a r e b u tt h e s es o f t w a r eh a v em o r eo rl e s s s h o r t c o m i n g si n s t r u c t u r a lr e l i a b i l i 印a n a l y s i s s oi ti s n e c e s s a r y 幻e n h a n c et h e c a p a b i l i t yo fs t r u c t u r a lr e l i a b i l i t ya n a l y s i sb a s e do nt h ee x i s t i n gs o f t w a r e o na c c o n n to f t h i sm o t i v a t i o nu s i n gt h et h e o r yo fr e l i a b i l i t yd e s i g nap r o g r a mo fs t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y a n a l y s i s ，w h i c hi so nt h eb a s i so f g e n e r a lf e ms o f t w a r ea n s y s i nt h ep r e s e n ta r t i c l et h et h e o r yo fs t r u c t u r er e l i a b i l i t ya n a l y s i si ss i m p l yi n t r o d u c e d s u c ha sf i r s t - 0 r d e rr e l i a b i l i t ym e t h o d ( f o r m ) ，r e s p o n s es u r f a c ea p p r o a c ha n dt w o p o i n ta p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，a n dt h es e c o n dd e v e l o p m e n t a p p r o a c ho fa n s y s i sa l s o i n t r o d u c e d a na p p r o a c hf o rc o m p l e xs t r u c t u r a ls y s t e mr e l i a b i l i t yi sp r o p o s e d ，n a m e l y c o n s i d e rt h es y s t e me f f e c ta n dm a k et h el i m i ts t a t ef u n c t i o na so n eo rs o m eo ra l lo ft h e r e s p o n s et ot h ea c t i o no nt h es t r u c t u r eb yr a n d o mv a r i a b l e se x c e e da l l o w e ds u c ha s s t r e s s ，b e n d i n gm o m e n t ，s h e a r i n gf o r c ea n dd i s p l a c e m e n ts oo n ，t h i sa p p r o a c hc a no m i t t h ef a i l u r em o d eo fi n n e ro ft h es t r u c t u r ea n dh a v et h ev i r t u eo fs i m p l i f y i n gt h e r e l i a b i l i t ya n a l y s i so fs t r u c t u r e f i n do u tt h er e l i a b i l i t yi n d e x e so fa l ll i m i ts t a t e f u n c t i o n sa n dt h e ng e tt h es y s t e mr e l i a b i l i t yi n d e xu s i n gr e l i a b i l i t yb o u n d se s t i m a t i o n m e t h o d a p p l y i n g t h ea b o v et h e o r i e sa n dm e t h o d sa n d u s i n gp r o g r a ml a n g u a g eo f f o r t r a n9 5u n d e rt h ec o m p i l e ro fc o m p a qv i s u a lf o r t r a n6 5 s u c c e s s t i f f l yr e a l i z e t h ep r o b a b i l i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o dp r o g r a mb a s e d0 i ia n s y sa n dt h en u m e r i c a l r e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o g r a mi sf e a s i b l ea n d a c c u r a c y k e yw o r d s ：h y d r a u l i ce n g i n e e r i n g ，r e l i a b i l i t ya n a l y s i sm e t h o d s ，t h es e c o n d d e v e l o p m e n to f a n s y s ，p r o b a b i l i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得盘盎态鲎或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：秀j 泡舒 签字日期：五缸年肛月知同 学位论文版权使用授权书 本学位沦文作者完全了解鑫注盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘壅盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：蓐肫分1 签字日期：州0 年坯月刃日 导师签名： 弛 签字日期：d 4 年f2 一月功闩 第一章绪论 第一章绪论 本章对结构可靠度的研究意义、发展状况及本文的工作进行了概述。 1 1 结构可靠度研究的意义 结构可靠度“1 是指结构在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概 率。由此结构可靠度是一和时间、特定条件及结构功能相关的量。 在可靠度理论未引进结构设计以前，人们一直习惯以安全系数作为结构工程 的评价指标，但安全系数仅仅是一个由确定的信息得到的一个定值，它未能考虑 设计变量中任何客观存在的变异性，某一特定的安全系数值，对于不同的工程未 必具有同样的意义。安全系数法是一种处理工程问题的方法，并且在长期的应用 中已积累了相当丰富的经验。可是，采用这种设计法，实质上是用定数模型处理 不确定性问题，这在理论上存在不完备的地方，这就使得安全系数的大小并不能 完全确切地表征工程的安全程度。因此导致产生定量评定工程安全度的要求，并 形成和发展成基于风险概念的可靠性分析方法。 钢、木、砖石、混凝士及钢筋混凝土等建造的工业与民用建筑的承重结构， 公路和铁路的桥梁、涵洞，港口工程的码头，水利工程的堤坝、渡槽、水闸，给 水排水构筑物的水池、水管等，统称为工程结构。1 。工程结构有着与其它人造产物 不同的特点，即：建造费用高，小的要耗资千万元，大的要上千亿元；使用周期 长，短的要几十年，长的要上百年。作为基础设旌，工程结构不仅关系到国计民 生，还会影响到一个国家的现代化进程，因此，保证结构在援定的使用期内能够 承受设计的各种作用，满足设计要求的各项使用功能，及具有不需过多维护而能 保持其自身工作性能的能力是至关重要的，即要保证结构的安全性、适用性和耐 久性，这三个方面构成了工程结构可靠性的基本内容。 由于不确定性的存在，结构的安全设计实际上是一个受国家经济条件约束的 风险决策过程，决策是要在结构初始建造费用和未来可能的倒塌损失之间进行权 衡。这通常是由一个国家的结构设计规范来控制和实现的。然而，受科学技术发 展水平的限制，结构设计规范的发展是一个漫长的过程，除了实验技术的发展， 使得人们逐步加深了对结构材料力学性能和结构破坏机理的认识，从而不断对结 构设计方法作出改进外( 如钢筋混凝土结构f h 容许应力设计法、破坏阶段设计法发 展为极限状态设计法) ，对控制结构安全性的安全系数却一直是凭经验确定的，这 第一章绪论 种经验性的安全系数设计方法尽管可行，但没有明确的概率含义，缺乏理论上的 解释。这就要求根据科学技术的不断发展，逐步改进，以求结构设计理论的进一一 步完善。 1 2 结构可靠度的发展及其研究概况 在材料力学及弹性力学方法发展以后，早期的结构设计是许用应力法”1 。它假 设材料为均匀弹性体，分析结构上所受到的荷载作用，用结构力学或材料力学的 方法算出构件中的应力分布，确定危险点上的工作应力值；再根据经验及统计资 料确定许用应力；设计时保证最大应力不超过材料的许用应力，这称为强度判据， 满足结构的强度要求，因而认为结构在工作中不会破坏。考虑到工作中的各种不 确定性，由许用应力乘以安全系数后，确定结构的规格尺寸。这种方法称为传统 设计法或静强度决定论法。以往的结构设计采用此法。 在传统的设计方法中，所用载荷及材料性能等数据均取它们的平均值，或者 取所谓的最大或最小值，没有考虑到数据的分散性，这种安全系数在很大程度上 由设计者根据经验确定，带有一定的不确定性或盲目性。 可靠性设计( r e t i a b i l i t yd e s i g n ) 又称为概率设计( p r o b a b i t yd e s i g n ) 。 这种设计方法认为，作用于结构的真实外载荷及结构的真实承载能力，都是概率 意义上的量，设计时不能予以精确地确定，称为随机变量或随机过程，服从一定 的分布。以此为出发点进行结构设计，能够与客观实际情况更好地符合。 1 9 4 6 年a m f r e u d e n t h a l “在国际上发表了“t h es a f e t yo fs t r u c t u r e s ” 文，初步确立了应用概率理论来分析结构可靠性的基础。自此使人们充分意识到 实际工程的随机因素，将概率分析和概率设计的思想弓l 入实际工程。1 9 6 9 年 c o r n e l l 提出在可靠度分析中应用直接与结构失效概率相联系的可靠指标口来衡 量结构可靠度，并建立了结构可靠度的一次二阶矩理论。1 。1 9 7 1 年l i n d 提出将可 靠指标化为易于为工程界接受的分项系数的形式，推动了结构可靠度理论在设计 规范中的应用”】。1 9 7 4 年h a s o f e r 和l i n d 提出由失效面到原点的最小可靠度指标 ( h - - l 可靠指标) ，使得采用对应于同一失效面的失效方程的不同表达式，得到 的可靠指标p 是唯一的”1 。1 9 7 7 年r a c k w i t z 和f i e s s l e r 提出当量正态化的r f 法”，后来被j c s s ( 国际安全度联合委员会) 所采纳，也称为j c 法，解决了随机 变量非正态分布情况下的结构可靠度计算问题。近年来工程可靠性理论和方法又 有了长足的发展，如随机有限元法( s t o c h a s t i cf i n i t ee 1 e m e n tm e t h o d ) 。1 9 9 7 年在日本京都市召开了结构安全性和可靠性国际会议( i c o s s a r 9 7 ) ，奥地利 2 第一章绪论 i n n s b r u c k 大学的s c h u e l l e r 作了题为“结构可靠度的研究进展”特邀报告。1 。1 9 9 7 年年底，“结构安全性”( s t r u c t s a f e t y ) 国际期刊的编委们联合撰写了题为“计 算随机力学的研究动态”一文“，从多个角度综述了计算随机力学的撮新进展。 我国结构可靠度理论的研究起步相对较晚，2 0 世纪6 0 年代曾广泛开展结构安 全度的研究与讨论，7 0 年代开始把半经验半概率的方法用到六种结构设计的规范， 至8 0 年代，在我国已掀起结构可靠度研究和应用的热潮，涌现出一批结构可靠度 理论的专著，研究成果被应用于许多大型工程。此外，建筑、铁路、公路、水运 和水利五大部门还联合编制“工程结构可靠度设计统一标准”。1 9 9 2 年在河海大学 召开的“工程结构可靠性全国第三届学术讨论会”再一次将结构可靠度在国内的 研究推向高潮。1 9 9 4 年国家技术监督局和建设部联合发布了g b 5 0 1 9 9 9 4 水利水 电工程结构可靠度设计统一标准。1 9 9 5 年在西安又成功召开了“工程结构可靠性 全国第四届学术讨论会”，标志着可靠度研究仍在保持持续发展的良好势头l 。 1 3 问题的提出及本文的主要工作 结构设计中存在着大量的不确定性，对于大型的复杂结构的可靠度分析，极 限状态函数一般都是随机变量的高度非线性的隐式函数，而且结构分析本身就是 一个非常复杂的过程。目前我们可以借助功能十分强大的通用结构有限元分析软 件实现结构分析，但这些分析软件在结构可靠度分析方面或多或少的有些缺陷， 因此在现有软件的基础上增加和增强可靠度计算的功能，是非常有必要的，并可 以为工程界的同仁避免重复劳动、节约宝贵的时间，基于此目的在通用软件a n s y s 的基础上采用相关结构可靠度计算分析理论开发出结构可靠度分析程序，在应用 大型通用有限元软件上进行概率有限元分析作一些有益的探索。 第二章结构可靠度的计算方法 第二章结构可靠度的计算方法 比较成熟的可靠度的计算方法有一次二阶矩法”3 、二次二阶矩法、响应面法 “”。“：、两点近似拟合失散益面法“”、蒙特卡罗模拟法”、离散化降维解往“、 随机有限元法o “等。其中响应面法和两点近似拟台失效曲面法很适合与常规有限 元相结合对结构进行可靠度分析，一次二阶矩法宜于在极限状态函数已知的情况 下进行可靠指标计算。本章的主要内容是介绍程序编制及验证的理论基础结 构可靠度计算方法：一次= 阶矩法、响应面法和两点近似拟合失效曲面法；并对 随机变量服从非正态分布及变量相荚的情况下，结构可靠度的计算分析方法作了- 简介。 2 1 结构可靠度的基本概念 影响结构可靠度的因素很多，从工程背景来分类，不确定因素体现在以一f 几 方面”。： ( 1 ) 荷载的不确定性 ( 2 ) 材料参数的不确定性：( 3 ) 几何尺寸的不确定性： ( 4 ) 初始条件和边界条件的不确定性；( 5 ) 计算模型的不确定性。 实际工程中不确定因素在各个方面都不可避免的存在着，所以一般将荷载、 材料参数、边界条件和初始条件等不确定方面研究结构的可靠度。 引起结构可靠度变化的因素称为随机变量。”，几乎所有的设计参数均可作为 随机变量或当量为随机变量。例如厚度、长度、倒角半径、孔的个数、位蠢等。 能够得到和使用的是这些随机设计参数的统计规律。它们的统计规律，构成了结 构可靠性分析和设计的基本条件和内容。通常将结构中的随机变量表示为x 。，也， x 。，其中x 。为第i 个随机变量。一般情况下，x ，的概率分布函数和概率密度函数通 过概率分布的拟台优度检验后，认为是己知的，如正态分布、对数分布、极值l 型分布等。 在结构的施工和使用过程甲，结构是以a ，靠和失效两种状态存在的，而在结 构可靠度分析和设计中，为了正确描述结构的工作状态，就必须明确确定结构安 全和失效的界限，即结构的极限状态。我国工程结构可靠度设计统一标准 ( g b 5 0 1 5 3 - - 9 2 ) 2 ”对结构极限状态的定义为：整个结构或结构韵一部分超过某一 特定状态就不能满足设计规定的某功能要求，此特定状态为该功能的极限状态。 结构的极限状态实质上是结构工作状态的一个阀值，若超过这一阍值，则结构处 结构的极限状态实质上是结构工作状态的一个阀值，若超过这一阉值，则结构处 4 第二章结构可靠度的计算方法 第二章结构可靠度的计算方法 比较成熟的可靠度的计算方法有一次= 阶矩法“1 、二次二阶矩法3 、响应面法 “2 “、两点近似拟合失敏曲面法“”。”3 、蒙特卡罗模拟法“、离散化降维解法“! 、 随机有限元法”“等。其中响应谣法和两点近似拟合失效曲蕊法很适合与常规有限 元相结合对结构进行可靠度分析，一次二阶矩法宜于在极限状态函数已知的情况 下进行可靠指标计算。本章的主要内容是介绍程序编制及验证的理论基础结 构可靠度计算方法：一次二阶矩法、响应面法和两点近似拟合失效曲面法：并对 随机变量服从非正态分布及变量相关的情况下，结构可靠度的计算分析方法作r 简介。 2 1 结构可靠度的基本概念 影响结构可靠度的因素很多，从工程背景来分类，不确定因素体现在以下几 方面嘲： ( 1 ) 荷载的不确定性；( 2 ) 材料参数的不确定性：( 3 ) 几何尺寸的不确定性； ( 4 ) 初始条件和边界条件的不确定性；( 5 ) 计算模型的不确定性。 实际工程中不确定因素在各个方面都不可避免的存在着，所以般将荷载、 材料参数、边界条件和初始条件等不确定方面研究结构的可靠度。 引起结构可靠度变化的因素称为随机变量。“，几乎所有的设计参数均可作为 随机变量或当量为随机变量。例如厚度、长度、倒角半径、孔的个数、位置等。 能够得到和使用的是这些隧机设计参数的统计规律。它们的统计规律，构成了结 构可靠性分析和设计的基本条件和内容。通常将结构中的随机变量表示为x 。x 一 x 。，其中x 。为第i 个随机变量。一般情况下，x ，的概率分布函数和概率密度函数通 过概率分布的拟合优度检验后，认为是己知的，如正态分布、对数分布、极值l 型分布等。 在结构的施工和使用过程中，结构是以可靠和失效两种状态存在的，丽在结 构可靠度分析和设计中，为了芷确描述结构的工作状态，就必须明确确定结构安 全和失效的界限，即结构的极限状态。我国工程结构可靠度设计统一标准 ( g b 5 0 1 5 3 - - 9 2 ) “”对结构极限状态的定义为：整个结构或结构韵一部分超过某 特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态为该功能的极限状态。 结构的极限状态实质上是结构工作状态的个阀值，若超过这阀值，则结构处 4 第二章结构可靠度的计算方法 于不安全、不耐久或不实用的状态：若没有超过这一阀值，则结构处于安全、耐 久、实用的状态。如对于混凝土受弯构件，当荷载产生的弯矩超过构件的抵抗弯 矩时，构件就会断裂；当弯矩小于构件的抵抗弯矩，构件就不会断裂；当弯矩等 于构件的抵抗弯矩时，构件即达到了承载能力极限状态。如果用x 。x 。，x 。表示 结构的基本随机变量，用z = g ( 五，五，x o ) 表示描述结构工作状态的函数，称为 结构功能函数，则结构的工作状态可以用下式表示： f 0 可靠状态 结构可靠性是用可靠度来衡量的“。，结构可靠度定义为在规定的时问内和规定 的条件下结构完成预定功能的概率，表示为p 。相反，如果结构不能完成预定的 功能，则称为相应的概率为结构失效的概率，表示为p ，。结构的可靠概率p 。和失 效概率p 是互补的，即 只+ 弓= 1 ( 2 2 ) 按照结构可靠度的定义和概率论的基本原理，若结构中的基本随机变量为x 。， x 一x 。，相应的概率密度函数为、f x ( x l ，x 2 ，_ ) ，由这些随机变量表示的结构功能 函数为z = g ( 五，五，以) ，则结构的失效概率表示为 只= p ( z 0 ) = _ t i f x ( x l ，x 2 ，矗) 幽出2 d x 。 ( 2 - - 3 ) i 毛 即使对于最简单的结构功能函数，由数值积分法赢接计算结构的失效概率也 是非常麻烦的，况且实际的结构可靠度分析中随机变爨的数目很多，功能函数也 可能是非线性的，比较复杂。因此直接通过数值积分计算结构的失效概率在实际 工程中是难以实现的。 考虑到直接应用数值积分法计算结构失效概率的困难性，工程中多采用近似 方法，为此引入了结构可靠指标的概念。假定结构的抗力随机变量为r ，荷载效应 随机变量为s ，相应的概率密度函数为厶( r ) 和兀( s ) ，概率分布函数为瓦( r ) 和 只( 5 ) ，且r 与s 相互独立均服从正态分布，其平均值和标准差分别为“，从和盯 盯。，结构功能函数为 z ：= g ( r ，s ) = r s ( 2 - - 4 ) 结构功能函数也服从正态分布，其平均值和标准差分别为：= 所麒及 = 仃；+ 一。 此时结构的失效概率为 5 第二章结构可靠度的计算方法 。= 尊去e x p 一簪 d z 叫柏 ( 2 式中，中 为标准正态分布函数值。卢与p ，之间存在对应的关系，因此与 p ，样，可以作为衡量结构可靠性的一个指标。一般称口为可靠指标。 对于( 2 - 4 ) 式表达的功能函数，可靠指标的表达式为 口：丝( 2 6 ) 吒 对予结构功能函数随机变量服从正态分布的情形，在概率密度曲线坐标中， 功能函数的平均值为曲线的峰值点到结构功能函数等于0 ( 极限状态方程) 点的距 离，可用标准差的倍数表示，这个倍数就是二阶矩模式中的可靠指标。而如果将 结构功能函数随机变量线性变换为一个标准正态随机变量，则在新的概率密度曲 线坐标中，可靠指标为坐标原点到极限状态曲面的距离。将这一几何概念进行推 广，1 9 7 4 年h a s o f e r 和l i n d 提出了结构可靠指标的新定义，将可靠指标定义为标 准正态空间内( 随机变量的平均值为o ，标准差为1 ) ，坐标原点到极限状态瞳面的 最短距离，原点向曲线垂线的垂足为验算点”1 。极限状态曲面为结构功能函数等于 o 的曲面，显然不管数学表达式如何，只要具有相同的力学含义，所表示的都是一 个曲面，这样坐标原点到极限状态曲面的最短距离也只有一个，据此定义的结构 可靠指标是唯一的。因此在可靠度的计算中，往往将问题归结为优化问题进行求 解。 2 2 一次二阶矩法 影响结构可靠性的因素既多又复杂，很难用统一方法准确确定随机变量的概 率分布，一般情况下，只有一阶矩( 均值) 和二阶矩( 标准差) 较容易得到。 次二阶矩法。”就是在随机变量的分布尚不清楚时，采用只有均值和标准差的数学 模型去求解可靠度的方法。其基本思想为：假定状态函数为线性的，状态函数中随 机变量均服从正态分布或等效正态分布，利用泰勒级数将状态函数在某点展开取 一次项，对状态函数进行线性化处理。 设影响结构可靠度的1 3 个随机变量为置( f = 1 ，2 ， 和盯，对应的功能函数为 z = g ( x i ，x 2 ，矗) 极限状态方程为 z = g ( ，x 2 ，矗) = 0 e ，2 ) ，均值和方差分别为m 。 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 第二章结构可靠度的计算方法 把功能函数在某点x o ( f - l ，2 ，n ) 用泰勒级数展开，为了获得线性方程，近 似地只取到一次项得 撕c 址， ，+ 私讽，乱 cz 删 若z ( f _ 1 ，2 ，- ， ) 为相互独立且服从正态分布的随机变量，由概率论可得z 的 均值和方差为 妒躺 ，氐) + 喜( m 置讽) 乱 铲 喜( 就) 2 】” j = ll 仉，i ， 2 孰 c 喜c 孙2 则可靠指标由式( 2 6 ) 得 g ( x o l ，五：，x o 。) + ( 册。 口：鼓： 仃一 x o i ) - 宴i k 亡。融i i = l 晖乳 。聃i l ， ( 2 一1 0 ) ( 2 一1 1 ) ( 2 一1 2 ) ( 2 一1 3 ) ( 2 1 4 ) 根据极限状态方程在不同的x 点上展开，一次二阶矩法又分为均值一次二阶 矩法和改进的一次二阶矩法。 均值点一次二阶矩法是将泰勒展开式在均值点上展开，但其弱点是对于非线 性功能函数误差较大且同一个问题采用不同的极限方程可能得出不同的可靠指 标。改进的一次二阶矩法将线性化点选在失效边界上，而且选在与结构最大可能 失效概率对应的设计验算点上以克服均值次二阶矩法存在的问题。 将极限状态方程在设计验算点为p ( ，x ：，) 出展开。由于设计验算点在设 计边界上，有s c ，x ；，毫) = 0 ，并由式( 2 9 1 4 ) 得 f = 一届 ( 2 1 5 ) 式( 2 - - 1 5 ) 代表n 个方程，未知数有，葛，x ：和卢，共n + 1 个，因此采用迭代 h 塑觑 吒 得。 纯 f l 性 b n 线式根 一2 式将 中式 第二章结构可靠度的计算方法 法求解即可得出可靠指标及验算点值。 2 3 响应面法 在复杂结构的可靠度计算中，最困难的莫过于求解可靠度的极限状态方程， 要得到原问题的精确解及其困难甚至于是不可能的，但我们可以构造原问题的近 似，然后通过求解这一系列的近似来求得原问题的解。一次二阶矩法是以极限状 态方程具有明确的解析表达式为基础的，但对于某些复杂结构系统，由于结构本 身的复杂性，基本随机变量的输入与输出量之间的关系可能是高度非线性的，有 时不存在明确的表达式，在计算这类复杂结构的可靠度时，可靠度分析模型预先 不能确定，采用一次二阶矩法就有困难，可能无法进行下去。响应面法为解决此 类复杂结构系统的可靠性提出了一种可靠建模及计算方法。 响应面法“2 h “1 是一项统计学的综合试验技术，用于处理复杂系统的输入( 随 机变量) 和输出( 系统响应) 的转换关系问题。该方法采用有限的试验，通过拟 合解析表达式z = g ( 工) 代替真实曲面z = g ( x ) 从而将其应用到可靠性分析中。 对n 个随机变量z o = l ，2 ，n ) 的情况，通常采用不含交叉项的二次多项式形 式 z = g ( x ) = d + 岛墨+ q 霹 ( 2 1 6 ) t t ii = l 式中：d ，矗，c 为表达式的待定系数。 从响应面的表达式看，如果考虑n 个随机变量，则有m = - 2 f l + 1 个待定系数。 对于系统的确定及整个表达式的修正可按如下步骤进行： a 、假定迭代点x o k ( 研”，墨”，曩”) ，初次计算般取均值点： b 、利用试验( 复杂结构的可靠度分析一般采用数值模拟试验，如有限元计算) 计算功能函数z = g ( 曩”，墨”，霸”) 以及z = g ( 斟”，掣”、厂吼，斟”) 得到2 n + 1 个点估计值，其中系数f 在第一轮估计中取2 或3 ，在以后的迭 代计算中取l ，q 为墨的均方差。 c 、由于表达式( 2 1 6 ) 只有2 n + 1 个待定系数，利用b 步求得的2 n + 1 个函 数值解出待定系数口、6 、c ，从而确定结构的极限状态方程； d 、利用一次二阶矩法求解验算点坐标五+ ( i ，毫，) 及可靠度指标展，其中 k 表示第k 步迭代； e 、检验可靠度指标是否满足精度要求，否则用插值法得到新的验算点鼻：。 8 第二章结构可靠度的计算方法 其中瓦= ”十( z x 壮。夏瑞，此插值可使瓦较接近极限 状态曲面，然后返回步骤b ，以瓦迭代点进行下次迭代，直至满足收 敛条件。 响应面法一方面使得可靠度计算得到简化，另一方面以非线性功能函数的二 次近似来代替一次二阶矩法的一次近似，使计算精度有所提高。同时在进行基于 有限元分析的可靠度计算时，如果采用响应面法，可以利用确定性有限元分析程 序进行结构的可靠度计算，如a n s y s 。但由于响应面法仍需通过多次抽样结果，对 于大型问题及随机变量较多的情况，效率较低。 2 4 两点近似拟合失效曲面法 和响应面法一样，两点近似拟合失效曲面法亦是根据有效的简化原始问题， 从而高度近似地获得原问题的解的一种有效的方法，与前者不同的是，它不需要 假设极限状态方程是否二次多项式，根据问题的不同极限状态方程的次数是可以 近似的求出，所以可以较好的解决非线性更高的工程问题，精度亦有所提高。 两点近似拟合失效曲面法思想“”1 是：对已知各设计变量x ( x = ( x i ，x 2 ，吒) 7 ) 的概率分布、均值贾( j = ( i ，- 2 ，磊) 7j 和方差盯 ( 盯= ( q ，盯 一，仃。) ) 的结构可靠度问题，经过当量正态化后转变成标准正态空间 下的问题即设计变量u ( u = ( 毡，毪，) 7 ) 服从标准正态分布的结构可靠度问题， 设其极限状态曲面方程为g = g ( u ) 。引入一个中间变量向量y ( y = ( y i , m ，以) ) ， 把它表示成为标准正态随机变量的幂函数形式，指数为r ，为了避免底数出现负数 从而导致运算不能进行的情况，用一整数s 表示坐标轴的平移量，即令： y 。：( “，+ ! 王s ) 7 ( 2 1 7 ) 疗 在k ( k 表示当前迭代步) 处把极限状态曲砸作一阶泰勒展开： g = 繇+ v 彰( y t ) ( 2 1 8 ) 其中譬= 土警( m + 王s ) “ 0 v ，础 盯 非线性实型指数r 根据原极限状态函数g 与其一阶近似展开式g 在前一迭代 点( k 一1 迭代步) 的函数值相等的关系求出，即g i 。也一= 既解下面的方程即可 得出r 、s ： 第二章结构可靠度的计算方法 s 靠一一+ ! eo g 。聃+ 吾s ，。 c “，。一，十詈s ，一c 峨，；+ 言s ，7 = 。( 2 - - 1 9 ) 细b e 鼬一卜；毒心；+ 恤一国耻+ i m i nf s t- 2 0 ，2 0( 2 一一2 1 ) i1 5 1 5 这样，利用中间变量把极限状态曲面用标准正态变量显式近似表示出来： 如 詈毒 一7 卜m 啦+ j ( 2 - - 2 2 ) 最后，对该近似曲面用一次二阶矩法求可靠指标。重复以上过程直至得到 个稳定的可靠指标。 2 5 非正态分布及变量相关下结构可靠指标的计算 2 5 1 非正态分布的随机变量的处理方法 在工程结构的可靠度分析中，永久荷载一般服从正态分布，截面抗力一般服 从对数正态分布，但是，诸如风压、雪载、楼面活荷载等一般服从其它类型( 如 极值i 型等) 的分布。因此在极限状态方程中常包括非正态分布的基本变量。对 于这种极限状态方程的可靠度分析，一般要把非正态变量当量化或变换为正态随 机变量。将非正态变量当量化或变换为正态随机变量可采用三种方法，即当量e 态化法、映射变换法和实用分析法。 当量正态化法“3 是国际结构安全度联合委员会( j c s s ) 推荐的方法，先将非正 态的随机变量先行“当量正态化”，然后用一次二阶矩法求可靠度指标。当量正态 化的条件为： a 、在设计验算点处x ? ，当量正态随机变量掣( 其均值为。，标准差为盯。) 的分布函数僮以( # ) 与原随机变量x ，( 其均值为段，标准差为t 3 。) 的分 布函数值目( ) 相等； 1 0 第二章结构可靠度的计算方法 b 、在设计验算点处z _ 当量正态随机变量概率密度函数值厶( x b 与原随机变 量概率密度函数值 。( 0 ) 相等。 由条件a 、b 得到当量正态分布的均值和标准差为 从= i 一中。 b ( x ；) 】吒； ( 2 - - 2 3 ) - ：堂掣 ( 2 刊) - 。百南一 心叫 式中，中为标准正态分布函数，m 。为标准正态分布函数的反函数，妒固为标 准正态分布的概率密度函数。 在极限状态方程中，在求得非正态随机变量的当量正态的以、以，后，即可由 ( 2 - - 9 ) ( 2 - - 1 4 ) 式求解。但是，以：、吒，是按验算点# 计算的，而验算点# 值是待求值，所以仍然要采用迭代法求解。 映射变换法亦可以将非正态随机变量交换为正态随机变量。设结构中的n 个相互独立的随机变量置( f = l ，2 ，n ) ，其概率分布函数为f ( 一) ( f _ l ，2 ，一，n ) 。概 率密度函数为，( 置) ( f _ l ，2 ，肝) ，由这n 个随机变量的表示的结构功能函数为 乙= g ( 五，x 2 ，邑) ( 2 2 5 ) 作映射变换 e ( 工。) = 中( 1 )( f = l ，2 ，咒) ( 2 2 6 1 则 墨= f 。【m ( 誓) ( 2 - - 2 7 ) z = m 。i f ( z ) 】 ( 2 - - 2 8 ) 其中，f 。( 9 和o “分别为只( 9 和m ( 9 的反函数，f ( f = l ，2 ，2 ) 为标准正态随 机变量。 将( 2 - - 2 7 ) 、( 2 - - 2 8 ) 代入功能函数式( 2 2 5 ) ，可得由标准正态随机变量 l ( f _ 1 ，2 ，v ) 表示的功能函数乙，即 z = g ( 8 。 中( 巧) 】，巧1 【辔( k ) 】，f - 1 m ( ) ) ) = g ( e ，艺，) ( 2 - - 2 9 ) 对式( 2 2 9 ) 两端微分可得 z ( t ) d x , = 妒( m ) 匆， ( i = 1 ，2 ，h ) ( 2 3 0 ) 这样结构的失效概率可以表示为 巧= 尸( 乙 o ) = h 豇( 五m ( 屯) 工( 屯) 幽如呶 z x 0 ( 2 3 1 ) = p ( z r o ) 2j j j 仍( m ) 仍( 儿) 纯( 儿) 幽 在将非正态随机变量工。映射为正态随机变量f 后，可以按一次二阶矩法计算 第二章结构可靠度的计算方法 结构可靠指标。 在结构可靠度计算时常用到功能函数的偏导数，可由下式计算 箜：堕堕 o y , a fa y , 对于结构可靠度分析中常用的几种概率分布，下面给出自r 表示的五和爹 的具体公式，这些公式在下面的程序编制中用到： ( 1 ) 置服从正态分布 置= i x , + r 仃r ( 2 - - 3 3 ) 塑：仃。( 2 一b 4 )o = 仃。l z a y , 。 ( 2 ) z 服从对数正态分布 置= e x p ( 声k z + z c 飞置) ( 2 一a 5 ) 盖= 纸置 c 。e ， 式中 q 。置= l n ( 1 + ) ( 2 3 7 ) “曲c 赢，( 2 - - 3 8 ) 占为变异系数。 ( 3 ) 爿服从极值i 型分布 置：一坠螋 ( 2 3 9 ) 丝： 二丛兰! ( 2 4 0 ) a e 甜中( i ) l i l 【西( i ) 】 式中 2 段，一o 4 5 c r x , ，口2 而7 i 1 ( 4 ) x ，服从指数分布 置= - n l n p ( 一r ) ( 2 - - 4 】) 坚：丝! 塑型( 2 4 2 ) a z中( 一) 2 5 2 相关随机变量的处理方法 在工程实际中还有一个问题就是基本随机变量常常是相关的，变量阊的相关 第二章结构可靠度的计算方法 性影响可靠指标的值。由于非正态分布随机变量的当量正态化并不改变随机变量 间的线性相关性，所以先当量正态化再进行相关性处理。早期的一些研究采用正 交变换的方法“，首先将相关随机变量变换为不相关的隧机变量，然后用次二 阶矩法进行计算；近年的一些研究则直接在广义空间( 坐标轴间的夹角不再是正 交的) 内建立求解可靠指标的迭代公式”1 。这两种方法从原理上都是可行的，不 同的是前者需要事先求解矩阵的特征值，后者在后期求解可靠指标时计算比较繁 琐。在处理变量相关的可靠度计算问题时本文采取正交变换的方法。 设有n 个随机变量为x t ( f _ l ，2 ，1 ) ，用向量表示为 z ) = ( x 。，x ：，x 。) 7 ， 其协方差矩阵【c ，】则为 f c x 】= o ： c o v x 2 ，x i c o v x l ，五】 昕 c o y x 1 ，也】 c o y x 2 ，瓦 c d v 【以，置】c o v x ，x ：】 式中 q 为置的标准差，c o y x , ，一】为x 。，x j 的协方差 c 眦x t ，x j = x i o x o x | 由概率论知 p x , 为x j ，一的相关系数a 显然当任意两个随机变量均不相关时 矩阵。 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 巴】为一对角 设 y ) 为将 工 采用适当变换后的一组不相关的随机变量，作变换 y ) = 幽九工) ( 2 - - 4 5 ) 其中【a 】是正交矩阵，其列向量为 c x 】的标准化特征向量，并且有【c r 为对角 矩阵 【q 】= 爿n c 。】【彳 求解【g 】的具体步骤如下： a 、求解 g 】的特征值 ； b 、将 代入关于 v ) 的方程( c x 卜置 位化后即为正交矩阵【棚； ( 2 4 6 ) ，) ”= 0 中，得出相应的特征向量。单 c 、根据( 2 - - 4 6 ) 式求出 c y 】。 根据这一组不相关的随机变量，当量正态化后再用一次二阶矩法即可求出可 靠度指标口。 2 6 结构体系可靠度 一个复杂的结构往往是有多个构件组成的，在通过力学方法，将结构上荷载 第二章结构可靠度的计算方法 的统计特性转化为构件荷载效应( 内力、位移等) 的统计特性后，如结构构件的抗 力统计特性也是已知的，则可由前面介绍的一次二阶矩方法分析每一个构件的可 靠度，但每一个构件的可靠度，并不能反映整个结构体系的可靠度。事实上，整 个结构体系可靠度的计算是非常复杂的。如果只有当结构中的每一个构件( 或主要 的部分) 都失效时结构才失效( 如群桩，悬索桥中的拉索等) ，则称结构体系为并联 结构体系。并联结构体系一般都是超静定体系，构件破坏后会发生内力重分稚， 结构体系的可靠度要大于每一个构件的可靠度。对于静定结构体系，结构每一个 构件的失效都会导致整个结构体系的失效，称为串联结构体系。串联结构体系属 最薄弱链系统，其可靠度要小于每一个构件的可靠度。并联体系和串联体系是结 构体系中最基本的两种体系类型，实际工程中的大部分超静定体系，大多数都是 以并联一串联体系形式而存在的，按照并联方式，结构失效要形成相应的失效路 径( 模式) ，而失效路径可隧会有多个，所有失效路径又构成一最薄弱链系统，在 这种情况下，结构体系可靠度与单个构件可靠度的大小不易简单判定。为分析方 便，实际中多将并联一串联结构体系简化为有多个失效模式构成的串联结构体系， 特别是对于理想的弹塑性结构。这