（概率论与数理统计专业论文）几类非线性常微分方程非局部问题解的存在性.pdf

摘要 本论文研究几类非线性常微分方程非局部问题解或正解的存在 性，由七章组成 在第一章，对常微分方程非局部问题的研究背景及现状进行了 综述 在第二章，研究一类非齐次二阶三点边值问题，应用s c h a u d e r 不动点定理和一个不动点指数定理建立了该边值问题存在正解的充 分条件 在第三章，研究一类具r - l a p l a ci a n 算子型非齐次m 点边值，在 适当条件下，应用不动点指数定理得出该边值问题存在正解的结论 在第四章，研究一类具p - l a p l a c i a n 算子型奇异非齐次m 点边值 问题，应用不动点指数定理，在适当条件下建立了该边值问题存在正 解的结论 在第五章，研究一类具p - l a p l a ci a n 算子型附有两组边值条件 的m 点边值问题，在适当条件下，以l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理作 为工具，给出了两组边值问题各至少存在三个正解的充分条件 在第六章，研究一类具f - l a p l a c i a n 算子型附有两组边值条件 的m 点边值问题，在适当条件下，应用l e r a y s c h a u d e r 延拓定理， 给出了两组边值问题各至少存在一个解的充分条件 在第七章，研究一类附有两组边值条件的二阶非线性m 点边值 问题，同样，在适当条件下，应用l e r a y s c h a u d e r 延拓定理，得出 了两组边值问题各至少存在一个解的充分条件 关键词非局部问题，正解，p - l a p l a ci a n 算子，l e r a y s c h a u d e r 不 动点定理，c a r a t h o d o r y 条件，l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理，不 动点指数定理 a bs t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt oe x i s t e n c eo fs o l u t i o n so rp o s i t i v es o l u t i o n s o fn o n l i n e a ra n dn o n l o c a lp r o b l e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i t c o n s i s t so fs e v e nc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n ts i t u a t i o na r ei n t r o d u c e d a n ds u m m a r i z e df o rt h es t u d yo fn o n l o c a lp r o b l e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nc h a p t e rt w o ，ak i n do fn o n h o m o g e n e o u st w o - o r d e rt h r e e p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi ss t u d i e d ，u s i n gs c h a u d e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m a n do n ef i x e d - p o i n ti n d e xt h e o r e m ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o r e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h i sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i nc h a p t e rt h r e e ，ak i n do fn o n h o m o g e n e o u sm - p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mw i t hp - l a p l a c i a ni ss t u d i e d ，u n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s ，u s i n g f i x e dp o i n tt h e o r e m ，w eo b t a i nc o n c l u t i o nt h a tt h e r ee x i s tp o s i t i v e s o l u t i o n sf o rt h i sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i nc h a p t e rf o u r , w ea r ed e v o t e dt oak i n do fn o n h o m o g e n e o u s m p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hp - l a p l a c i a no fs i n g u l a r i t y , u n d e r s u i t a b l ec o n d i t i o n s ，u s i n gf i x e d p o i n tt h e o r e m ，w e o b t a i ns o m e c o n c l u t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h i sb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m i nc h a p t e rf i v e ，ak i n do fn o n l i n e a rm p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m w i t hp - l a p l a c i a nw i t ht w os e t so fb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n si ss t u d i e d ， u s i n gl e g g e t t - w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r e x i s t e n c eo ft r i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sa r ee s t a b l i s h e df o ra n y o n eo ft h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e rs i x ，ak i n do fm p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h p l a p l a c i a nw i t ht w os e t so fb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n si ss t u d i e d ，u n d e r s u i t a b l ec o n d i t i o n s ，u s i n gl e r a y s c h a u d e rc o n t i n u m i o nt h e o r e m ，w es h o w t h e e x i s t e n c eo fa s o l u t i o n sf o ra n y o n eo ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s 。 站 i nc h a p t e rs e v e n ，ak i n do fm p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h t w os e t so fb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n si ss t u d i e d ，u s i n gl e r a y s c h a u d e r c o n t i n u m i o nt h e o r e m ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e df o re x i s t e n c e o fas o l u t i o nf o ra n y o n eo ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s k e yw o r d sn o n l o c a lp r o b l e m ，p o s i t i v es o l u t i o n ，p - l a p l a c i a n o p e r a t o r l e r a y - s c h a u d e rf i x e d 。p o i n tt h e o r e m ，c a r a t h d o d o r yc o n d i t i o n s ， l e g g e t t - w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，己在论文的致谢语中作了说明。 作者签名：盘亟日期：塑 年月上e t 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名：超导师签繇丝年上月日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 常微分方程非局部问题的研究背景 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分 方程学科的重要组成部分之一，并且在科学技术、生产实际中也提出了大量的常 微分方程边值问题，并吸引了很多数学工作者从事这方面的研究 常微分方程两点边值问题已被深入而广泛的研究，并取得了系统而深刻的 结果，例如d i r i c h l e t 边值问题、n e u m a n n 边值问题、r o b i n 边值问题、 s t u r m - l i o u v il l e 边值问题及周期边值问题等事实上，自1 8 9 3 年p i c a r d 运用 迭代法讨论非线性二阶常微分方程两点边值问题的解的存在性和唯一性之后， 常微分方程两点边值的研究获得了蓬勃发展这些两点边值问题的定解条件只 是在区间的两个端点上给出的，因而其定解条件是局部的 马如云在著作 1 中指出，非局部问题是指常微分方程定解问题的定解条件 不仅依赖于解在区间端点的取值，而且依赖于解在区间内部的某些点上的取值 微分方程的非局部问题由于其广泛的实际背景，愈来愈受到人们的重视 下面介绍常微分方程非局部问题的理论和实际应用背景 1 常微分方程非局部问题可以更精确的描述许多重要物理现象 在描述许多重要的力学和电学现象的过程中，一般要给方程 “( f ) = 厂( f ，甜( f ) ，”( ，) ) ， ，( o ，1 ) ， 并附加下列定解条件： d i r i c h l e t 边值条件 材( o ) = 0 ，“( 1 ) = o ： n e u m a n n 边值条件 ”7 ( o ) = o ，甜( 1 ) = o ： r o b i n 边值条件 。 u ( o ) = o ，“( 1 ) = o ： 周期边值条件 ，“( o ) = “( 1 ) ，“( o ) = ”( 1 ) ； s t u r m - l i o u v i l l e 边值条件 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 硕士学位论文第一章绪论 伽( 0 ) - p u ( o ) = o ，8 u ( 1 ) + y u ( 1 ) = 0 ( 1 6 ) 如果考虑实际测量的误差及相关因素的干扰，定解条件( 1 2 ) 可以修正为 材( o ) = q ( 甜( f ) ) ，“( 1 ) = s ：( “( f ) ) ， 其中( ) ，( 扛1 ，2 ) 为定义在上r 的函数； 根据r o l l e 定理，定解条件( 1 3 ) 可以修正为 u ( o ) - - u ( c ) ，u ( 1 ) = 甜( d ) ， 其中0 c d l ； 定解条件( 1 4 ) 可修正为 u ( o ) = 0 ，u 0 ) = “( 刁) ， 其中为某个充分靠近1 的常数； 定解条件( 1 5 ) 可修正为四点边值条件： u ( o ) = “( 1 ) ，“( o ) 一材( c ) = u ( 1 一o - u o ) ， 其中0 c l ： 定解条件( 1 6 ) 可以加上扰动项变为广义m 点边值条件， 即 s t u r m - l i o u v i l l e 边值条件： m - 2 口“( o ) 一甜( o ) = a t u ( 毒) ， i = l m - 2 8 “o ) + r u ( 1 ) = 6 “( 缶) ， i = 1 其中a i ，6 r ，点( o ，1 ) ，( 江l ，肌一2 ) 满足卣 磊 厶 显然，微分方程( 1 1 ) 在修正的边值条件下的解将给出对实际现象更加精确 的描述 此外，许多微分方程多点边值间题来源于诸如弹性理论方面，如解决由n 部 分不同密度组成的一条拉线在一致交叉区域内振动的物理模型，采用的是多点边 值问题， 2 在实际应用中提出的非局部问题 在控制理论中，会建立如下模型： 甜。( ，) = p ( f ) ，t ( o ，1 ) ， ( 1 j7 ) “( 毒) = ，( f 1 ，疗) ， ( 1 8 ) 其中r ，磊( o ，1 ) ，( 扛l ，拧) 均为常数，并且满足石 磊 0 ，r ( o ，1 ) ，a r 1 f c ( 【o ，佃) ，( 0 ，佃”，口：【0 ，l 】一【0 ，佃) 并假 定l i i i l 趔：f o ，l i m 巡：无 o u 搿 o 伸 “ 作者运用s c h a u d e r 不动点定理，在适当条件下得出了如下结论： 定理2 1 1 假设如下条件成立 ( a 1 ) ，7 ( o ，1 ) 且0 o ，并且q ( 缶) l ， j = l ( r ) 为线性边值问题 。+ 口( f ) “+ 6 ( f ) ”= 0 ，f ( o ，1 ) ， ”( o ) = 0 ，甜( 1 ) = 1 ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) 的唯一解作者仍然用s c h a u d e r 不动点定理得出了类似定理2 1 1 的结论： 定理2 1 2 假设下面条件成立 ( a 1 ) ，7 ( o ，1 ) ，0 0 ，7 ( o ，1 ) ，a r 0 ，定 义集合q ，= 工k x l l ， 假设彳：q ，专k 是全连续算子，并且对任意的 x 规，满足a x x ，那么有 ( i ) 如果对“孢，有l a u l - l u l ，那么i ( a ，q ，k ) = 1 6 硕士学位论文 第二章一类二阶三点边值问题正解的存在性 ( i i ) 如果对甜讹，有怕“0 i ，那么f ( 么，q ，k ) = o 引理2 2 1 5 5 设a r 1 ，y c o ，1 】，则边值问题 “。+ y o ) = 0 ，f ( o ，1 )( 2 9 ) 材( 0 ) = 0 ， 口材( 7 ) = 砧( 1 ) ( 2 1 0 ) 有唯一解 如) - j ：( f - 帅胁南r ( m 西+ 上1 - a r l 肛咖m 引理2 2 2 5 6 设0 6 满足 厂( 6 l + 6 ll h o ) i p l 。6 1 定义c 【o ，l 】中的一个闭凸子集d = w c 【o ，1 】lo w ( t ) b 1 ，f 【o ，1 】) 对每一个w d ，假设v ：a w 是方程 v 。+ a ( t ) f ( w + b h ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 1 ，( 0 ) = 0 ， v o ) - a v ( u ) = 0 ， 的解显然a ：d j c o ，1 】是全连续的 因为 o ，= 彳w = 一f ( f s ) 口( s ) 厂( w + 蚰) 凼一r a 。t ，f ：( 即一s ( s ) 厂( w + 拍) 凼 + 南：( 1 - 加触+ b h ) d s 0 满足厂( w + 6 办) m l b ， 那么存在一个正数b ，当b ( b ，+ ) 时，边值问题( 2 7 ) ，( 2 8 ) 至少存在两个正 解 证定义e - - u iu c 0 ，l 】) ，则e 是b a n a c h 空间 8 硕士学位论文第二章一类二阶三点边值问题正解的存在性 定义k2 we c o ，1 】1w 0 j ，则k 是ea e 的- - 个锥 定义算子彳： 彳w 一肛帕小w + b h 肛焉r ( 忡伽+ b h ) d s + 南：( 1 叫邢) 厂( w + b h ) d s 易验证彳是全连续算子 首先，假设6 充分大因为兀= 豫华= 佃，对任意的m ( 人：，佃) ， h u ，j 存在0 b o b ，当6 0 ， “ o u 当b 时，有f ( b h ( r 1 ) ) m b 定义集合q 6 = w k l l l w l l b ，对任意w 铀矿可得 i i a l l 州护一r ( m 彬( w + b h ) d s 一品r ( 忡m 啊( w + b h ) d s + 上1 - a r l ：( 1 一s ) 口( j ) ( w + b h ) 出 南肛加伽+ b h ) d s 南肛咖m 出 南肛咖肿取枷出 打岛肛咖凼 6 = 1 1 w i l ， 同样，由定理2 2 2 可得f ( 彳，q 6 ，k ) = o 再定义集合q b = w 乓k l l l w l l b ，由算子彳的特点可知 彳川) 面t j o ( 1 1 一j ) 口( s ) 伽+ 砌) 凼， 1 0 硕士学位论文第二章一类二阶三点边值问题正解的存在性 所以对任意w 触b 有 i i a w l l 上1 - a q ：( 1 一s ) 口( s ) 他+ 拍) 凼而m i b j ：( 1 一j ) 口( 5 ) 西 b ：l l w l i ， 根据定理2 2 2 ，得到f ( 彳，q b ，k ) 二1 因为现 b 2 ，厂c ( 【o ，佃) ，( o ，佃) ) ，a c ( ( o ，1 ) ，【o ，佃) ) ， 0 1 ，0 o ，厂c ( 【o ，佃) ，( o ，佃) ) ，口c ( ( o ，1 ) ， o ，佃) ) 在 ( o ，1 ) 的任何子区间上不恒为零，层( o ，1 ) ，r , ( o ，1 ) ，f = 1 ，2 ，m - 2 ，并且 m - 2 屈 1 t = l 记 石= l i m + f “川( u _ ) u - - - ，o - ， + “， 兀= 。l i r af 甜川( u ) ， h 卜 t j 1 2 硕士学位论文 第三章一类具p - - l a p l a c i a n 算子型m 点边值问题正解的存在性 并且假设( h 0 ) 0 f 口( s ) d s 栩成立，那么条件( h o ) 意味着 0 o ，对任意“d ，有 m ，则 i i r “ i - + 1 r 。( f 口( j 。) 幽) 出i ，( s u p f ( 甜) ：”d ) ) + 因此t ( d ) 是有界的 x cv u d 及0 r l t 2 1 ，有 ( ，1 ) 一( 酬，2 ) l - i c 叫f 她) 似( s 。) ) d s o d s l b ；广， 1 一屈 j l l 硕士学位论文第三章一类具p - - l a p l a c i a n 算子型m 点边值问题正解的存在性 。( ：口o ) 西) 。( s u p f ( “) ：“d ) l t l f ：i ， 因此t ( d ) 等度连续 由f 的连续性及l e b e s u g e 控制收敛定理知丁在d 上连续，根据a r z e l a a s c o l i 定理易证丁是紧的，所以t ：p p 是全连续的证毕 3 3 主要结论 在下文中，我们定义i = s u p f e f o l l “( f ) ，甜e 记人= 。( c 口( s ) 凼) ， 万= 1 一薯屈， 三2 恚m 副- 2 吣一m 和舭 足理3 3 11 发议条件( h 0 ) 威互开且满足 ( h 1 ) 兀= 0 ， 那么存在一个正数6 ，当b ( 6 ，佃) 时，边值问题( 3 3 ) ，( 3 4 ) 至少存在一 个正解 证首先假设6 充分大，根据兀= 。l i m - - ，+ 0 0 磐r= o ，则对v 占( o ，去) ， 存在 ，j i， j m 满足0 m m 时，有( “) ( 占材) p 一 设，i = 了2 b ，并且q 。= 伽p ：u ，i ) ，对任意0 孢r 有 陬) k 1 阔- 2 ，一1 q ( f 口( & 删钔) 幽肌肫( 胁而删啪汹) 出+ 詈 - _ 2 b ，当o “ ，时，有厂 ) ( s ”) 川 设吃= 了2 b ，让q 屹= “p ：i i ”i i 眨 ， 对v 材讹噍，有 ) k 1m 备- 2 崩脾i ( f 口( 岛小“( 而眦。) 凼+ 聃( f 毗小“( 墨渺。油+ 告 占肛 m - 2 屈 上：l + 1 万 r 。( f 口( 毛) 幽) 凼 b + 万 砷咖+ 鲁 占丝! 人+ 鱼 6 66 = 昙c 占吉2 川， 了2 b = i i 依定理2 2 2 得到f ( r ，q 屹，尸) = 1 ，即r 在q 屹上至少存在一个不动点 设矿= 三2 万s u p ，即当6 ( o ，6 ) 时，边值问题( 3 3 ) ，( 3 4 ) 至少存在一个 正解证毕 定理3 3 3 假设( h 0 ) 以及以下粲件满早 1 5 硕士学位论文第三章一类具p - l a p l a c i a n 算子型m 点边值问题正解的存在性 c h 3 ，石= 口，无= ，口，( ( 圭) p 一，+ ： c h 4 ，存在 ，c 。，z 1 ，当y ( 。，警) 时，厂c “，( m 軎) p 1 ， 那么边值问题( 3 3 ) ，( 3 4 ) 至少存在两个正解。 慨8 了2 b i i 。证因为兀= 姆笋吨取一( 扩，存在晒 鲁，当o 2 b 万，当甜 足时， _ _ ”“l ， d 有势即瑚弛) 时一 设集合q r = “e 1ul r = ， 再设q p = “p 纠，p = 2 了b 对任意甜讹，有 o 九( r ) i l = 吉薯屈。( 口( 啪( “( 书) ：。) 西+ j ：吼( f 口( 厂( 甜( 置) ) 幽) 凼+ 軎 m 否b 【_ f 否1 ”备- 2 髟j 啊1 吖脚丞+ 肫( 挑汹) 凼h ：尬鱼+ 鱼 66 釉”i i ， r oi ( t ，q ，尸) = 1 ，y l r p 以i ( t ，q p - i f ；，尸) = 1 ，i ( t ，q r 巧，p ) = - 1 即丁在q 户虿与q 尺巧上各至少存在一个不动点，所以边值问题( 3 3 ) ， ( 3 4 ) 至少存在两个解，u 2 满足o l k l l p 。，当”【。，】时， 有厂( “) ( 抱) p 1 设q = 似p ：，i ) ，因为6 充分小，对任意“讹1 ，有 ) 嗡1m 备- 2 崩”1( f 口( q ) m ( s ) ) 丞，) 出+ 胁( e 口( 墨) m ( 黾) ) 幽) 豳+ 喜 6 一万 + 1j 凼 、， 豳 、， 口 r 凡 ，l g i e r + 7 出 、，溅0 口 r 凡 ，l 叮 i e i 聃 ，ij 屈 心嘲 一万 l 恤 一 堡主堂垡堡窒第三章一类具p _ l a p l a c i a n 算子型聊点边值问题正解的存在性 = 尬1 + 考 = l ul ， 即妒，q ，尸) = 1 设= 了2 b ，q 局= u e p ：h 甜i i r o ，对任意“讹吩，有 砌( ，) j j - 万1m 备- 2 屈j 珥1 吐( f 口( 丑) ( 甜( 五) ) 凼。) 出+ r 。( f ? ( 墨) ( ”( 置) ) 幽) 西+ 喜 溯否bl 碚l 窖崩j 1 吖胁脚凼+ ：吖：a ( s 。) d s , ) d s k ：她三鱼+ 鱼 l 66 了2 b = i i 即f ( r ，q 响，尸) = 0 设q ，= 缸p 1 l u i ，) ，对任意”硷，有 。死( f ) 1 1 否1m 同- 2 f；lq ( f 口( 而) 厂( ”( 钔) 凼。) 出+ r 。( f 口( 钔，( “( _ ) ) 西。) 出+ 考 m ：1 否1m 备- 2 肛j 啊i 。( f 口( _ 迹。冲+ ：q ( f 口( 幽) 出1 + 軎 = 鸠吾 2 a 艿 ，= 删， 即i ( t ，q ，尸) = 1 ， 所以i ( t ，q ，、五_ p ) = 1 ，i ( t ，q 龟、瓦尸) = 一1 ，即t 在 q ，可，q 局可以及q 上各至少存在一个不动点，所以边值问题( 3 3 ) ，( 3 4 ) 至少存在三个i e 角i c u l ，“：，蚝满足0 i i n ，l f 忆l | r o 恢0 ，证毕 1 8 硕士学位论文 第四章一类具p - - l a p l a c i a n 算子型奇异多点边值问题正解的存在性 第四章一类具p - l a p ia cia n 算子型奇异多点边值问题 正解的存在性 4 1 引言 最近文 5 7 研究了如下边值问题 材。( f ) + 6 ( f ) 厂( 甜( r ) ) = 0 ，0 f 1 ， ”( o ) = u o ) = 0 ， 其中6 口【0 ，1 】，p 1 ，6 ( f ) 在( 。专) 上有无穷可数多个奇异点， ( 4 1 ) ，( 4 2 ) 有无穷多个正解的充分条件 在上文的启示下，文 2 1 研究了如下边值问题 ( 。( 材) ) + a ( t ) f ( u ) = 0 ，0 ， l ， 口c ( ( 0 1 ) ，【。，佃) ) ，口( ，) 在( 。专) 上有无穷可数多 个奇异点，o o ，f e c ( o ，佃) ，( o ，佃) ) ，aec ( ( o ，1 ) ， o ，佃) ) 在 ( o ，1 ) 的任何子区间上不恒为零，层( o ，1 ) ，玩( o ，1 ) ，i = l ，2 ，m - 2 ，并且 类似地，我们自然会想到如果上面方程中的口( f ) 在区间( 。丢) 上也存在奇 1 9 屏 盹日 硕士学位论文第四章一类具p - l a p l a c i a n 算子型奇异多点边值问题正解的存在性 异点，情形会如何呢? 本章将讨论下面边值问题 。( 甜) ) 7 + 口( f ) 厂( “) = 0 ，0 f 1 ，0 7 7 1 r 2 ： 一2 l ，o 层 o , a e c ( ( 0 ，1 ) 【。，佃) ) ，口( ，) 在( 。专) 上有 无穷可数多个奇异点与文 2 1 类似，我们也给出了边值问题( 4 7 ) ，( 4 8 ) 存 在正解的充分条件 我们的工具仍旧是第二章中的定理2 2 2 ( 不动点指数定理) 本章总假定下面条件成立 ( h o ) 存在一个序列 f j ) ：。， 其中f f + - t ( f ) ，t i 吉， j 骢，j2 f o ， l i m a ( t ) = - b o o ，并且有0 f ：口( j ) 凼 佃，a ( t ) 在【o ，1 】的任意子区间上不一致为 卜虬 ，u 零 容易验证( h o ) 条件满足意味着下面条件成立 0 0 引理4 2 2 1 2 1 设y p ，且( o ，：1 ) ，那么 y ( t ) py l l ，阻，1 - , u ， 这里川i = s u p r 。l o , 1 y ( r ) 现在定义算子t ：p 专p 如下： ( 2 面1 m 备- 2 屈脚挑懒呐肌胁m 西 b + ；：r 一 1 一层 显然( t u ) ( t ) 0 ，并且( 砌) ( ，) 连续，所t ( p ) cp m - 2 易验证( ，( f l u ) ) ) = 一日( f ) ( 材) ，( 死) ( o ) = o ，( 死) ( 1 ) 一f l , ( t u ) ( r l ，) - - - b 由第三章引理3 2 2 可知，如果( h 0 ) 满足，那么算子t ：p p 是全连续的 4 。3 主要结论 定理4 3 1 假设条件( h o ) 满足，设存在正数列 以) ：。， 墨) ：。， 咯 二，其 2 l 硕士学位论文第四章一类具p - l a p l a c i a n 算子型奇异多点边值问题正解的存在性 中儿( 小气) ，( 七：1 ，2 ，) ，r i 喜，满足 l 一屈 t = l 以r k r k a ：k 墨，( b 1 ，2 ，) ，a l ( 南，棚) ， 并且对每一个k ，f 满足 ( h 1 ) 对任意z ，e 4 r k ，】， ) ( 人l 气) ，- 1 ： ( h 2 ) 对任意“【0 ，2 r 】，厂( “) ( 人2 r ) 川， 其中0 人2 屈( 1 一仇) 垃! m - 2 1 一屈 。( ：郇灿) 那么边值问题( 4 7 ) ，( 4 8 ) 至少存在有限多个正解 证因为对任意k n ，有r + l 段 t k i 1 对每一个k 和“p ，由 引理4 2 2 可知，甜( ，) 以i ，t e 4 ，1 一心】 在尸中定义集序列 q ： 二。， q ： 二。： q ：= y e ：l u l l r k = l l u l l 情况2 r l ( 0 ，f 1 ) ，有 i i t “i i - - ( t u ) ( o ) 朋一2 朋一2 l 一屈”1 + j = l b m - 2 l 一屈 腑一2 上m - 2 厶 1 一屈4 1 l = l 人l r k a ( t 1 ) b 卅一2 1 一屈 i = l 屈吼( f 口( _ 矿( “( 置) ) d s i ) d s + f 。( f 口( 啪厂( “( d ) 幽) 出 f _ i 。( r 吣) m “) ) d s i ) d s 人l r k l ( 6 ) r k = 情况3 如果r ( 1 - 6 ，1 ) ，有 一层 _ l 肫 一卜 硕士学位论文 第四章一类具p - l a p l a c i a n 算子型奇异多点边值问题正解的存在性 i i t i i - - ( t “) ( o ) 胂一2 上m - 2 厶 1 一屈9 1 + i = l 6 m - 2 1 一屈 i = 1 朋一2 m 一2 1 一屈8 1 i = 1 a l r k a ( 1 一f 1 ) 屈。( ：邢朋心1 ) ) 幽d s + f _ i 虫。( f 酬似 ) ) 幽d s 人。r k l ( t , ) = 1 1 1 l ， 根据定理2 2 2 可得f ( 丁，q ：，p ) = o 下面设“硷：，并且疋 0 死0 = ( 砌) ( o ) 朋一2 1 一屈 + i = 1 m 一2 1 一屈 i = i 人2 r i l - a 2 r k ，= l ， 6 m - 2 1 一屈 j = l 有 ：。( f 吣) m ) ) 凼d s 屈。( f 口( 而矿( 甜( 啪) 出。d