（电子科学与技术专业论文）非连续平面的平面形状误差测量技术.pdf

英文摘要 a b s t r a c t a c c u r a t em e a s u r e m e n ti sak e ya r e af o rh i g hl e v e li n d u s t r i a lp r o c e s s ab u i l d b l o c k n e e d st ob em e a s u r e db e f o r ea n da f t e rp r o c e s sf o rg u i d ea n dt ok n o wt h er e s u l to f t h ep r o c e s s i n g t h e r ea r ep r e s s i n gn e e d so fn o n - l i n e a rs u r f a c em e a s u r e m e n ti nh e a v y i n d u s t r i a le q u i p m e n tp r o d u c t i o n m o s to ft h ec u r r e n tm e t h o d so fa c c u r a t es u r f a c ef o r me r r o rm e a s u r e m e n to n l y w o r ko nl i n e a rs u r f a c e ，t h e r en oa v a i l a b l ea c c u r a t em e t h o df o rn o n 1 i n e a rs u r f a c e t h i s p a p e rf u n da no n l i n es u r f a c ef o r me r r o rm e a s u r e m e n ts y s t e mb a s e do nt i m ed o m a i n l e a s t - s q u a r e s e r i a l t w o - p o i n tm e t h o dw h i c hb e e nu p g r a d eb ys e l f - a d a p t a b l e e r r o r s e p a r a t i o nm a t r i xt e c h n i q u ea n do t h e rm e t h o d sf o ru p l i f t i t s a b i l i t yt o m e a s u r e n o n - l i n e a rs u r f a c e t h es e l f - a d a p t a b l ee r r o rs e p a r a t i o nm a t r i xt e c h n i q u ei sa l l o w e d a d j u s t m e n tb e i n gp l a c e da u t o m a t i c a l l yt o t h ee r r o rs e p a r a t i o nm a t r i xf o rn o n l i n e a r s u r f a c ee r r o rs e p a r a t i o nw i t h o u tc o m p r o m i s et h ea c c u r a c yo ft h es y s t e m e x p e r i m e n tp r e f o r m e do nal i n e a rs u r f a c ei nar e a l i s t i ce n v i r o n m e n ts h o w st h a t t h em e a s u r e m e n ts y s t e mi sa c c u r a t e t h ec o m p a r i s o no ft h er e s u l tf r o mt h es i m u l a t i o n w h i c hw a sb e i n gr u no nan o n - l i n e a rs u r f a c eo f1 s i n 木1 3 5 mc l e a r l ys h o w st h a tt h e m e t h o dt h i sp a p e rs h o w sd i d n tc o m p r o m i s ea c c u r a c yo ft h es y s t e mw h i c h m e a n st h a t t h em e t h o dt h i sp a p e rf u n da b l et ow o r ko i ln o n l i n e a rs u r f a c ew i t h o u tc o m p r o m i s e a c c u r a c y k e y w o r d s ：e r r o rs e p a r a t i o n ；s e l f - a d a p t a b l ee r r o rs e p a r a t i o nm a t r i x ；t i m e d o m a i nl e a s t - s q u a r es e r i a lt w o - p o i n tm e t h o d ；d i s c o n t i n u o u sm e a s u r e m e n to f s u r f a c ef o r me r r o r ； 非连续平面的平面形状误差测量技术 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义 精密加工能力是现代制造业的基础，而高精度测量又是进行高精度加工不可或缺的 重要能力。高精度测量能力能够大大提高加工精度、简化流程控制提高生产效率 m 5 8 。1 6 1 。 其中平面形状误差的高精度测量与平面度的评定对于加工存在平面形状误差要求的工 件有着重要的意义 1 - 2 , 5 , 1 0 - 1 6 】，在包括船舶、机床、精密仪器制造等领域，一套简单高效 的平面形状误差测量系统和方法可以显著地提高生产效率、产品性能和可靠性，也能使 加工制造更为精密的工件成为可能。 大型平面形状误差测量在8 0 年代前主要使用连通器法、拉钢丝等方法，这类方法 从根本上讲上属于人工测量，其精确度严重依赖于测量人员的水平，而且这些方法的测 量速度慢、难以实现自动化，不能满足现代加工业的需要。上世纪6 0 年代后期，日本 学者首次提出了基于误差分离技术的在线平面形状误差测量理论，自8 0 年代以来，西 方发达国家令一系列自动化在线高精度平面形状误差测量系统投入使用，大大提高了测 量效率，满足了工业生产的需要 1 2 - 4 】。近些年来，国内也有一部分基于新技术的高精度 平面形状误差测量系统被生产出来，这些系统多数是离线平面形状误差测量系统，如电 子水平仪，这类系统对于提高加工效率远不如在线平面形状误差测量系统。近些年来， 部分基于投影技术的在线测量系统被提出，但这类系统测量精度较低，难以满足高精密 测量的需要。当前国内对于平面形状误差在线测量方法的研究主要包括：时域逐次两点 法、时域逐次三点法、频域三点法等。值得一提的是洪迈生教授提出的频域不对称四点 法，相对于以上方法，该方法有空间复杂度低、谐波抑制极小等优点【1 ，1 5 1 。然而这些方 法的共同缺点是：仅能用于连续的矩形平面，无法对非连续平面的平面形状误差进行测 量。由于实际情况下被加工的平面多数不是连续的矩形平面，以上几种方法均难以满足 复杂多变的实际需要。在线非连续平面的平面形状误差测量领域，在国内尚属空白状态， 故研究和建立一套可行的在线非连续平面的平面形状误差测量系统和方法可以填补这 一领域的空白，也有很大的实用价值。 本文以时域最小二乘逐次两点法为基础，提出了一套平面形状误差在线测量系统， 绪论 通过引入误差分离矩阵自适应技术，将时域最d - - 乘逐次两点法的适用范围扩展到了非 连续平面，并讨论了其它能够用于非连续平面的在线平面形状误差测量方法，进一步扩 展了基于误差分离技术的平面形状测量系统适用的范围。误差分离矩阵自适应技术令本 文所述的测量系统能够用来测量多种不规则、非连续平面，填补了一个技术空白，令系 统更加符合实际需要。 通过对网格数1 0 乘9 的非连续平面的模拟数据进行误差分离实验，得到了本文所 述方法与普通时域最d - - 乘逐次两点法的误差分离结果。通过比较可知，误差分离结果 的平均偏移不大于随机误差，证明了自适应矩阵时域最小二乘逐次两点法不会引入额外 的误差。 1 2 平面度误差分离方法的研究现状 由于计算机技术的发展，平面形状误差的自动化测量和数据处理成为可能，自上世 纪6 0 年代以来，为满足工业生产的需要，经过发达国家学者不懈的努力，在线平面形 状误差分离技术及基于此类技术的在线平面形状误差测量系统已经取得了长足的进步， 发展成为了包含多种不同方法的技术体系，近些年来国内也在这方面取得了一些成果， 提出了部分新方法、新技术。 日本学者a o k i y 和o z o n o s 于1 9 6 6 年提出了首个误差分离技术：三点法实现圆度 在线误差分离。自上世纪7 0 年代开始，平面形状误差测量系统开始出现并逐渐取代 了手工测量。上世纪8 0 年代中期以来，自动化的在线平面形状误差测量系统被开发出 来，这类系统的出现令在生产过程中实时检测平面形状误差成为可能圳。 近年来，多种不同的新型平面形状误差分离方法被提出，笼统地说这些方法主要可 以被分为利用最小二乘法求近似解的时域法和利用傅里叶变换、频谱分析、傅里叶反变 换求近似解的频域法，这两种方法主要研究目标集中在消除谐波抑制和减少随机误差的 影响【2 1 2 3 1 。 清华大学的郝群，刘巽尔，王信义等人设计了一套基于最小二乘逐次两点法的三传 感器直线形状误差测量系统【2 4 】，其中三个传感器部署在等腰三角形的三个顶点上，通过 对测得数据的处理并进行误差分离可以获得被测面的直线形状误差，实现对被测直线的 非连续平面的平面形状误差测量技术 直线形状误差的自动在线测量。 蔚文平等人在中国航空精密机械研究所提出了一种基于改进型的最小二乘逐次两 点法的测量系统和误差分离方法【2 5 】，该方法使用四个呈正方形分部的距离传感器组成的 传感器阵列，采用最小二乘逐次两点法分离被测面的平面形状误差、测量系统轨道误差 和传感器安装高差，并设计了一套补偿用的微量位移装置，该系统采用电致伸缩陶瓷元 件，能够根据分离出的导轨误差进行在线补偿，这种方法分离平面度测量的重复精度要 好于4 ，微量位移装置分辨率可达0 0 1g m 。 刘兴占教授等人在清华大学提出了一种基于最小二乘逐次三点法的新型平面形状 误差分离方法【2 6 1 ，该方法适用于大平面的平面形状误差的高精度测量。该方法通过布置 五个距离传感器，可以有效地分离出测量系统轨道误差。系统中距离传感器将数据直接 发到上位机，上位机对数据进行处理，分离出被测面的平面形状误差。 日本学者i t o i g a w a r 等提出了一种用于平面形状误差分离的二维经典频域三点法f 2 7 1 ， 这种方法将三个传感器安装在一条直线上，该直线与x 轴、y 轴均保持一定的夹角。进 行测量时，传感器阵列沿着平行于x 轴、y 轴的方向移动，并且传感器阵列与x 轴、y 轴的夹角保持不变。之后利用二维傅里叶变换、频谱分析和傅里叶反变换可以分离出被 测面的平面形状误差。 亲 日本学者k i y o n o 等提出另一种基于傅里叶变换的二维频域误差分离方法1 2 引，该方 法将四个传感器探头分别布置在矩形的四个顶点上，测量方向为以矩形的一对直角边为 x 轴，y 轴。测量时，传感器阵列沿x 轴运动，到一行尽头时延y 轴运动一格，依次扫 面被测面上的所有采样点，最后利用二维傅里叶变换、频谱分析、傅里叶反变换进行误 差分离。 上海交通大学的洪迈生、祝斌等人提出一种同样基于二维傅里叶变换的不对称四点 法 2 9 】：该方法将四个距离传感器组成一个传感器阵列来扫描被测表面上的采样点采集数 据。这四个距离传感器分布在不规则四边形的四个端点上，为方便起见，一个距离传感 器布置在x o y 坐标平面的原点，两个传感器分别布置在x 轴和y 轴上，且各传感器在 x o y 平面上的坐标距离各自互质，并分别与x 轴和y 轴上的总采样点数互质，这样就 可以减少谐波抑制，实现平面形状误差的准确分离。 绪论 北京科技大学机械工程系的孙剑、张杰等人提出了基于投影条纹法的平面形状测量 系统【3 0 1 ，该系统的测量的平面形状测量应用了投影条纹法，同时在平面形状误差检测领 域引入了数字投影技术。国外的学者也提出了基于类似原理的系统。 综上所述，现有的平面形状误差在线测量主要基于误差分离技术，此类技术仅适用 于完整连续的矩形平面。之前这一领域研究主要着眼于提高精度，关于拓展误差分离技 术适用范围，令其可适用与更复杂非连续平面，目前尚无先例。由于实际应用领域的要 求复杂多变，在机械加工领域被加工的平面多数不是完整连续的矩形平面，针对非连续 平面的在线形状误差测量上不存在，故需要根据实际情况进行测量。 1 3 本文研究的主要内容 本文目的是研究制造一种方便可用的平面形状误差测量系统，该系统可用于非连续 平面的平面形状误差的测量，具有实时性高、适应性强等优点，本文主要内容为： 1 、调查现有的平面形状误差测量技术，根据需要，设计系统要求，规划系统组成。 2 、分析比较常用的误差分离算法及其可扩展性，在其基础上设计和实现能够适用 于非连续平面的误差分离算法，并设计相应的系统。 3 、基于德州仪器公司生产的数字信号处理器( d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s o r ，简称d s p ) t m 3 2 0 v c 5 4 1 6 设计数据采集系统，该系统负责数据采集和模数转换。其中数字信号处 理器利用定时中断方式控制采样位置，数据采集完毕后发送到工业平板计算机进行数据 处理、误差分离和平面度评定，得到被测表面的实际形状。 4 、编写采集系统控制软件和数据处理系统软件，开发非连续平面误差分离算法。 5 、对系统进行测试和实验，使用不同数据验证算法的可行性。 非连续平面的平面形状误差测量技术 第2 章直线、平面形状误差测量与评定的系统方法 2 1 常见的直线、平面形状误差测量方法 2 1 1 经典频域三点法 如上文所述，经典频域三点法这种方法首先由日本学者所提出，这种方法主要用于 直线、平面形状测量，经典频域三点法的测量原理图如图2 图2 1 所示： 三个距离传感器呈直线排列，组成一个传感器阵列，包含传感器的该直线通过z 轴， 且平行于x o y 平面上，该直线与x 轴、y 轴各存在一定的夹角。如果将1 号传感器的 坐标记作，y ，则可以将2 号传感器的坐标记作( 粕+ p x z l l ，y o + p y a l ) 、同理可得3 号传感器的坐标为：( x o + ( 改+ q x ) a l ，y o - 4 - v + q y ) d 1 ) 。其中a i 为采样间隔， 段、q z ，p y 、q y 是与距离传感器的安装位置有关如图2 1 所示。传感器阵列在测量时沿 坐标轴方向平行移动，移动时不改变距离传感器所在直线于x 轴，y 轴的夹角。 0 p x d dq i l 图2 1 经典频域三点法 f i g 2 1c l a s s i ct h r e e - p o i n tm e t h o di nf r e q u e n c yd o m a i n 由系统硬件构成模式可知： z 。( 聍，z ) = 办( 刀，优) + 万( 门，朋) z ：( 行，聊) = j l z ( 甩+ p ，m + p ，) + 万( 力，聊) + p ，( 刀，聊) + p ，口( 玎，朋) z 3 ( n ，m ) = 办( ，l + p ，+ g ，m + p ，+ 鼋y ) + j ( n ，m ) + ( p ，+ g x ) a l f l ( , ，m ) + ( p ，+ g y ) ，口( ，z ，聊) ( 2 1 ) 在上式2 1 中，z 1 ，m ) ，z 2 ( 巩m ) 、z 3 ，m ) 分别是1 号、2 号、3 号距离传感器的 直线、平面形状误差测量与评定的系统方法 测量值，h ( n ，州为被测面的平面形状误差，8 ( n ，r n ) 为测量系统轨道误差，a ( n ，m ) 是距 离传感器沿x 轴的偏转误差分量，p ( n ，m ) 是距离传感器沿y 轴的偏转误差分量。n 、m 分别是被测面上沿x 轴、y 轴方向上的采样点数，其中n = 0 ，1 ，2 ，n - 1 ，m = 0 ， l ，2 ，m 1 。 对式( 2 1 ) 进行加权组合，可得输出信号为： z ( ，1 ) = c l z l ( 甩，r a ) + c 2 2 2 ( ，朋) + c 3 2 3 ( ”，肌) = g h ( n , m ) + c 2 h ( ，z + p ，m + p y ) + c 3 j l z ( 力+ p ，+ 9 ，m + p ，+ g ，) + ( c l + c 2 + c 3 ) 万( 刀，m ) + ( c 2 p ，+ c 3 p x + c 3 以) ，( 订，m ) + ( c 2 p y + c 3 p ，+ c 3 以) a l 口( 力，z ) ( 2 2 ) 为了能够得到被测面的平面形状误差，必须使在式子z 伽，州中仅仅包含有被测面 的平面形状误差的项j i z 伽，圳，也就是说，接下来必须要消除式子z 伽，州中包含6 ( n ，m ) 、 a ( n ，m ) 、卢( n ，m ) - 个元素的项，这个工作可通过在式( 2 3 ) 中选取适当的参数来完成。 f c l + c j + c 3 = o c 2 p x + c 3 p ，+ q q ，= 0 【c 2 p y + c 3 p j + c 3 q 广o ( 2 ；) 由三角形原理可知：p x q x = p y q v ，故有式子( 2 3 ) 可以有无穷多组解。此时令c 1 = 1 ， 可得c 2 = 一1 一p x q v ，c 3 = p x q 1 ，。将c 1 ，c 2 、c 3 的值代入式( 2 2 ) ，可得下式： z ( 以，z ) = j l l ( ，z ，聊) 一( 1 + p ，q ，) j i z ( ，z + 以，m + p ，) + ( 以q ，) 厅( 刀+ p ，+ 吼，m + p ，+ q ，) ( 2 4 ) 对式子( 2 4 ) 进行二维离散傅里叶变换，根据相位偏移特性得到下式( 2 5 ) ： z ( k ，) - 日( g ( 叫 ( 2 5 ) 其中，z 伍，0 、撇，砂分别是z 伽，州、愚伽，州的二维离散傅里叶变换结果，式( 2 3 ) 中的权函数为： 吣力小( + ) 唧m 常p x 甜( 哪2 万( 七警+ ，警) ( 2 6 ， 由式子( 2 5 ) 有h ( k , 1 ) = z o c , o g ( k , 1 ) ，进行二维离散傅里叶反变换就能够得到平面形状 6 非连续平面的平面形状误差测量技术 误差的表达式h ( n ，州，这样就能求出被测面的平面形状误差。 由于这种方法的权函数g 纯砂在k = l = 0 之外存在零点，故该方法存在较为严重的谐 波抑制，误差分离并不完全。 2 1 2 频域矩形四点法 频域矩形四点法的误差分离基本原理类似于上述的频域三点法，都是采用二维离散 傅里叶变换得到频域谱，然后通过加权，再进行二维离散傅里叶反变换得到被测面的平 面形状误差。 频域矩形四点法使用的传感器阵列上的四个传感器呈矩形分布，其分布方式可见图 2 2 。 这里记l 号传感器在x o y 平面上的坐标为( x o ，y o ) ，由图2 2 可以直观的得到：2 、 3 、4 号传感器的坐标分别为( z o ，y o + p y a l ) 、 o + p x a l ，y o + p y a ) , ( x o + p x a l ，y o ) ， 这四个传感器占据边长分别为m ，巩的矩形的顶点。测量过程中，传感器阵列分别沿x 轴方向扫描整行，之后回到这一行的起始位置，沿y 轴移动巩的长度，再次沿x 轴方向 扫描整行，传感器阵列以这种方式依次扫描所有采样点【3 l 】。 图2 2 频域矩形四点法 f i g 2 。22 df o u r - p o i n tm e t h o di nt h ef r e q u e n c yd o m a i n 由于频域矩形四点法的误差分离基本原理类似于上述的频域三点法，其权函数可以 表示为： g c ，= q + 乞e x p 2 硝台) + 乞e x p 2 万( 七台+ ，鲁) + 臼e x p ( 2 砝鲁) 。2 通过观察二维频矩形四点法的权函数可以得知：无论参数c 】到c 4 的取值如何，总是 直线、平面形状误差测量与评定的系统方法 有g ( o ，缈= g 伍，缈= g 徊，0 = 0 。当权函数恒为0 时意味着存在谐波抑制，该方法的权 函数存在包括( 0 ，0 ) 内的大量零点，这说明，该方法会同时产生而二维零阶谐波抑制以 及一维零阶谐波抑制，这些谐波抑制影响误差分离结果，令测得的平面形状误差产生失 真【3 1 1 。 2 1 3 二维时域最小二乘逐次两点法 图2 3 所示是基于逐次两点法使用三个距离传感器的平面形状测量方法【2 1 。三个距 离传感器分别安置在等腰直角三角形的三个顶点处，单个距离传感器通过依，矽表示， 其中k = l ，2 ；l = 1 ，2 ，故有传感器( 1 ，1 ) ( 1 ，2 ) ( 2 ，1 ) 。距离传感器的初始位置存在安 装高差，设初始安装高差以距离传感器( 1 ，1 ) 为基准，既距离传感器( 1 ，1 ) 的安装高差 为0 ，于是有距离传感器( 1 ，2 ) 、( 2 ，1 ) 的安装高差分别记为4 1 2 、4 2 1 。记安装距离传感 器的等腰直角三角形的直角边的边长为彳，在被测平面上做出一组网格，该网格的边长 为彳，网格的顶点即为平面形状误差测量的采样点，采样点通过细，砂来表示【3 1 。传感 器的采样路径为蛇形，测量的当前点用，表示，其中i = l ，2 ，m ；j = l ，2 ， no 奄： s o = z ( m 1 川- i ) 一吒+ 磊a 村4 - s 洲 ( 2 8 ) 在上式中，s , j k l 为被测面的平面形状误差，d f j 为测量系统导轨误差。4 七f 为传感器 安装高差，f 蒯是随机误差，这些量的关系可参见图2 3 所示。 非连续平面的平面形状误差测量技术 z 图2 3 三传感器最d , - 乘逐次两点法中各变量的关系 f i g 2 3r e l a t i o n s h i po f d i f f e r e n tv a r i a b l ei nt h r e es e n s o rt w o - p o i n tl e a s ts q u a r em e t h o d 式( 2 8 ) 用矩阵表示为： s = - - b u + e i 净k 掣k - x 沁? (29)v - - + m ，妣- y 竹) ” 【z - z o 恤。( x 。x i d ) 利用矩阵的最小二乘法解出式( 2 9 ) 便可一次性得到s 腋l 是被测面平面形状误差， d i f 为测量系统导轨误差。4 “为传感器初始位置偏差【3 2 】。 该方法不能用于非连续平面，且和使用四个传感器的最4 , - 乘逐次两点法相比精 度较低。 2 1 4 基于条纹投影技术的平面度测量系统 近些年来，随着技术的进步，一些基于光学技术的平面形状误差测量系统被陆续开 发出来，以下是一种具有代表性的系统。 该系统的平面形状误差测量方法应用了投影条纹法，同时在平面形状误差测量域引 入了数字投影技术，测量系统硬件主要组成成分包括：数字光线处理投影仪，面板电荷 直线、平面形状误差测量与评定的系统方法 耦合元件、图像采集设备、主控计算机等。其系统如下图所示： 图2 4 测量原理， f i g 2 4m e a s u r i n gp r i n c i p l e 条纹生成器负责生成条纹图像；该条纹图像会被电荷耦合元件摄像机拍摄，经由图 像采集设备将条纹图像传入计算机，并在计算机内通过数字图像处理技术进行分析。被 测表面的形状相对参考平面发生偏移和扭曲时，条纹会发生偏移；反之则条纹则会呈直 线。通过对条纹图像的变形程度进行分析，即可获得被测表面的平面形状误差【3 0 】。 该方法有精度较低的缺点，不适合高精度平面形状误差测量。 2 2 平面度误差的评定方法 上一节着重讲解了获得被测面的平面形状误差的方法，通过平面形状误差可以确定 被测面的真实形状，可以用于指导加工。但是该值并不直观，还需要取得一个能够用于 判断被测面是否符合要求的值，该值叫做平面度误差值。根据一定的评价标准将平面形 状误差值联系起来，求取一个基准平面，进而获得平面度误差值，这个过程叫做平面度 误差的评定。平面度误差的评定的常见方法包括对角线法、最d - - 乘法、三远点法等、 最小条件法等，本节将介绍这几种方法【3 3 】。 2 2 1 对角线法 对角线法是指平面度误差评定使用的基准平面包含被测面上的一条对角线并与另 一条对角线相平行的一种方法。这种方法可以通过对角线上4 个点的坐标值求出平面度 误差【3 3 】。 1 0 非连续平面的平面形状误差测量技术 首先在被测面s 上取一条对角线a 1 、a 2 ，两个端点的坐标值分别为a l q l y l z l ) 、 以2 0 2 y z z 2 ) ，另一条对角线a 3 、a 4 的两端点的坐标分别为a 3 ( x 3 的z 3 ) 、a 4 ( x 4 y 4 2 4 ) ，有 基准面方程为： i x 。五 y 。乃 z 。刁1 1 x 2 五y 2 mz 2 z l i = 0 ( 2 1 0 ) ji i 以屯儿。弘z 4 乞i 设基准面的方程为a x - 卜b y + c z + d - - 0 ，根据上面的矩阵可知系数a ，b ，c ，d 为： fa = ( y 2 一y 1 ) ( 毛z 3 ) - ( 儿一儿) ( z 2 z 1 ) j b = ( _ 。而) ( 乞。毛) - ( 恐。五) ( 乙z 3 ) ( 2 1 1 ) c = ( 而- 而) ( 儿- 乃) - ( x 4 - x 3 ) ( y 2 y 1 ) 、 【d = - ( 如+ 觇+ q ) 被测面上的采样点z 到基准平面的距离为4 z ，则点偏离评定基准平面的最大值 4 乙缸与最小值4 m 之差为平面度误差： f = 止略一。 ( 2 1 2 ) 2 2 2 三远点法 将在被测面上选取距离较远的三个不在同一直线上的点构成的平面作为基准面，以 这个基准面评定平面度误差的方法称为三远点法，分别取将基准面上下方与基准面距离 的最大的采样点，这两点与被测面的距离值的绝对值之和作为平面度误差 3 3 】。 设定4 1 ( x 1 y 1 2 1 ) 、a 2 ( x 2 y 2 2 2 ) 、4 3 ( x 3 y 3 2 3 ) 为被测面s 上相距较远的三个不在一条 直线上的任意点，设基准面p 的方程为a x + b y + c z + d = 0 可得： xy 葺乃 x 2y 2 x 3y j zi z l 1 2 2 i z 3 1 = 0 ( 2 1 3 ) 直线、平面形状误差测量与评定的系统方法 a = ( 咒- 朔) ( 乃- 毛) ( y 3 - 乃) ( z ：毛) b = ( x 3 - 五) ( 乞一2 1 ) 一( 屯。五) ( z 3 - z i ) c = ( x 2 - x i ) ( y 3 一y 1 ) 一( 屯- x 1 ) ( y 2 乃) d = - ( 如+ 坝+ 岛) ( 2 1 4 ) 被测面上的采样点z 到基准平面的距离为4 z ，则点偏离评定基准平面的最大值 4 磊似与最小值4 f n 之差为平面度误差： 厂= l 止懈l + | z 岫l ( 2 1 5 ) 2 2 3 最小二乘法 最小二乘法是指取被测面各个采样点的最d , - - 乘平面，在最d , - 乘平面两侧各取一 个到最d , - 乘平面距离最大的采样点，这两个采样点到最d , - - 乘平面的距离之和为被测 面的平面度误差。如果被测面上的各个采样点到一个平面的距离的平方之和最小，则该 平面被称为最d , - 乘平面，故最小二乘法的关键在于求取最小二乘平面。此方法编程和 运算都比较简单，故十分常用。 在被测面上取一点，坐标值为p f ( 旄，y f ，z i ) ，设平面方程为z = a x + b y + c ，此时， 根据最d , - 乘平面的定义有： 乏( 刁- ：) 2 ( 乙- 如- 地c ) 2 扭1i = l ( 2 1 6 ) 为令s 取极小值，有： 化简得三元线性方程组： 筹：芝毛 一= 一7 r 副鲁、 要= 芝毛 一= - z 7r 扭智。 五百- b y - c 事 4 - b y - c 劫， 争善妒引 亿 ( # ) 彳+ ( 只) b + ( 薯) c = 薯z i ( t 乃) 彳+ ( 疗) b + ( 乃) c = 乃刁 ( 薯) 彳+ ( m ) b + 万c = z r ( 2 1 8 ) 1 2 非连续平面的平面形状误差测量技术 求解出基准面的最小二乘平面系数a ，b ，c 。 通过式z i 一( a x i + b y i + c ) 分别求出每个采样点处于基准平面上方或下方。 再根据点到直线距离公式 s ：缝兰些至g 4 1 + a 2 + b 2 f 2 1 9 ) 分别求出各点到基准平面的距离，就可以求解该平面的平面形状误差 3 3 1 。 2 2 4 最小条件判别法 最小条件，是指在被测面两侧存在、与被测面相交的许多对两两平行的平面中，存 在两个间距最小的相互平行的平面，取这个间距值作为被测面的平面度误差，这两个平 面则称为包容面【3 3 】。 最小条件判别的准则主要包括三角形法准则、交叉线准则、直线准则这三种，如图 2 5 所示： 】， 图2 5 最小条件准法示意图 f i g 2 5p r i n c i p l eo f m i n i m u mc o n d i t i o nm e t h o d 两个包容面中，其中一个由三个最高点确定，另一个包容面包含一个最低点，且最 低点的投影落在三个最高点所构成的三角形之内，这时可以使用三角形准则，如图2 5 a 所示； 两个包容面中，其中一个包含两个最高点，另一个包容面包含两个最低点，且两个 高点连线的投影不与两低点连线平行，这时可以使用交叉线准则，如图2 5 b 所示； 两个包容面中，其中一个包含一最高点，另一个包容面包含两个最低点，且最高点 直线、平面形状误差测量与评定的系统方法 的投影落在两最低点的连线上，这时可以使用直线准则，如图2 5 c 所示。 依次利用上述三条常用的准则通常都能够求出包容面，进而求出被测面的平面度误 差。 2 2 5 不同评定方法的总结 上文介绍了常见的平面度误差评定方法中的几种，它们各自存在不同的特点： 三远点法最为简单、使用方便且计算量很小，然而该方法的评定结果受基准点的选 取的影响极大，且基准点是任意选取，没有一般规律，故评定结果很不稳定，精度和重 复性都很差。 对角线法在简单易用的基础上有评定结果唯一的有的优点，但同样存在精度差的问 题，难以反映被测面的实际情况； 最4 - 乘法的理论成熟，其评定结果唯一且不受采样点的分布模式及数量多寡的影 响。同时该方法可以使用计算机进行求解，软件开发难度低，故该方法十分常用。但最 小二乘法的评定结果难以保证评定结果的最小性，只能得到近似解，最小二乘法的评定 结果通常为最小条件法的评定结果的1 o 1 1 6 倍【3 3 , 5 4 , 5 5 】； 最小条件法不存在其它方法中的基准面带来的误差，其结果稳定、准确且唯一。该 方法在评定平面度误差时的误差最小，由该方法产生的平面度误差值最能够准确描述被 测面的平面形状误差的实际情况，且该方法还是国家标准规定的平面度误差评定方法， 故评定时应选用该方法【3 3 】。 1 4 非连续平面的平面形状误差测量技术 第3 章非连续平面形状误差的测量方法 3 1 时域非连续平面测量方法 为了实现对非连续平面的平面形状误差的测量，本文提出了几种备选方案，以下是 基于时域最d - - 乘两点法的一种方案，该方案在时域最d - - 乘两点法的基础上引入了自 适应误差分离矩阵技术，配合对输入的被测数据的预处理，可以在不影响测量精度的前 提下，实现对非连续平面的平面形状误差的测量。在时域最4 - 乘两点法的基础上引入 了自适应误差分离矩阵技术的误差分离方法称为自适应矩阵时域最小二乘逐次两点法。 以下是本方法的数据采集方式和误差分离过程。 l 、扫描被测表面 记电涡流距离传感器所构成的正方形边长为a ，这样以a 长度为网格边长构造分成 ( m 1 ) 行( n 1 ) n 的矩形网格，该网格应覆盖被测面，该网格的顶点为采样点。记网格左 上角的顶点的采样点为z 1 1 ，处于网格其它顶点上的点是采样点记为k 。 四个距离传感器呈正方形配置，距离传感器位于正方形的顶点。测量时，传感器阵 列的位置处于网格的一个正方形格上，四个距离传感器分别位于这一格的四个顶点既采 样点上，这个位置称为采样位置。 传感器阵列在单个子平面运动方式为如图3 1 所示，距离传感器始终位于每行采样 点的连线上，传感器阵列自左向右依次扫描当前子平面上的网格的整行，然后回到最左 端，向下移动长度a 然后开始扫描下一行，以此类推依次扫描被测面上的网格的每一行， 由于导轨是匀速运动，故传感器阵列的位置可有时间函数推测处理，每经过特定时间长 度，传感器阵列就会到达采样位置，每当传感器阵列到达采样位置时由距离传感器进行 采样。 非连续平面形状误差的测量方法 图3 1 测量路线 f i 9 3 1m e a s u r e m e n tr o u t e 距离传感器测量值由测量系统导轨误差、被测面的形状误差、距离传感器的初始位 置偏差、随机误差等因素构成； ，若电涡流距离传感器分别标为传，矽，传，l = 1 ，矽，对应第i 行j 列网格上的采样点 标记为( i ，j ) ，以距离传感器( 1 ，1 ) 的作为基准点，距离传感器( 1 ，2 ) 、( 2 ，1 ) 、( 2 ，2 ) 的 初始位置安装高差分别记为1 2 、2 1 、2 2 ，记电涡流距离传感器传，砂在一个被测面的 矩形网格上的第i 行j 列时的采样值为& 删，则可知： 蕞洌= z ( “女一1 ) ( j + f 1 ) 一d u + 毛a 射+ 知 ( 3 1 ) 这里： 。 l0 ( 七= z = 1 ) 2 i l ( 七1 ，z 1 ) 江1 ，2 ( m - 1 ) j = 1 ，2 ( 一1 ) 1 6 非连续平面的平面形状误差测量技术 z ( i + j c 一1 ) ( ，+ l 一1 ) 表示被测面形状误差，是每个采样点岛经过误差分离的结果，如为 测量系统导轨误差，“为传感器初始位置偏差，q 臌是随机噪声，翰是用于令距离传 感器( 1 ，1 ) 作为基准点的参数； 由于距离传感器扫描到被测面上的镂空区域时会得到超出量程，故当一个采样点的 测量值高于一定门限值时，该点会被赋予一个代表采样点不存在的值。 2 、对非连续平面分别进行误差分离 式( 3 1 ) 可用矩阵的形式表示，则： s = b u + p ( 3 2 ) 上式中：s 为四个传感器采样数据构成的4 ( m 1 ) ( n 1 ) y 0 向量，s 的形式为： s = ( s 1 l l ，s l l 2 ，墨1 2 l ，墨1 2 2 & 肘一l x - 1 ) l l ，& - 1 x ，- 1 ) 1 2 ，& m - l - 1 ) 2 1 ，& m _ 1 ) ( - 1 ) 2 2 ) 7 u 中包含以下三个部分：被测平形状误差、测量系统轨道误差和传感器安装高差； 以上三个部分构成了m n + ( m 1 ) ( n 1 ) + 3 元的列向量，其形式为： u = ( z 1 1 ，互2 z l r ，z 2 1 z 拼，d l l ，吐2 哝吖- 1 ) ( ，- 1 ) ，a 1 2 ，a 2 1 ，2 2 ) 7 填充矩阵b 是一个矩阵，其行数为4 ( m 1 ) ( n 1 ) ，列数为m n + ( m 1 ) ( n 1 ) + 3 7 根据 式( 3 2 ) ，填充矩阵占的由s 、u 的形式决定；e 为随机误差。 由于填充矩阵b 列满秩是矩阵最小二乘解存在的条件，故必须保证填充矩阵曰列满 秩，但实际上填充矩阵召的秩数比列数少三，为保证矩阵最小二乘解存在，并确定基准 平面，指定任意不在一条直线上的三远点坐标值所在的平面作为分离的基准平面，由此 确定这3 个自由度； 令z 1 1 = 五= 知l = 0 ，u 变换为以下形式： u = ( z l ：互( m z 2 z ( 妒乙：d i 1 ) ，“哝州x 1 ) ，l ：，2 j ，如) 7 ( 3 3 ) 其中口为m n + ( m - 1 ) f n 1 ) 元的列向量，作为基准点磊1 、z 1 、知1 三点中必须存在 于被测平面上被测面上，故选择网格时应注意这一点； 建立的各采样值与被测面形状误差、导轨误差及传感器安装初始位置误差的关系填 充矩阵b 。 非连续平面形状误差的测量方法 填充矩阵b 前( m + 1 ) 木( n + 1 ) 3 0 ，这些列对应于被测面测量点的实际形状误差；填充 矩阵b 中间m * n 列对应于导轨误差；填充矩阵b 最后3 列对应于传感器安装初始位置 误差a i 2 、2 1 、2 2 。 当有一个被测面是非连续平面时，在其镂空处的部分采样点乙v 不存在于被测面上， 这些采样点的测量值s ( y 一1 ) 2 1 、1 1 、s ( x 一1 ) ) ，1 2 、s ( x 一1 ) ( ) r 一1 ) 2 2 会接近传感器的最大测量 值，这些采样点会在数据采集和数模转换模块中被识别，并被赋予一个代表采样点不存 在的值，误差分离算法将识别这些采样点，并找出d 中对应位于镂空区域的乙v ，在口， s 中去掉对应的元素，得到口7 ，s 。 一个采样点乙v 位于被测面上的镂空处，则需要删去填充矩阵b 中的以下四 行：4 ( x - 2 ) n + ( y - 2 ) + 4 、4 ( x 1 ) n + ( y - 2 ) 】+ 3 、4 ( x - 2 ) n + ( y - 1 ) 】+ 2 、4 ( x 一1 ) n + ( y - 1 ) “，当上 述行数大于m n + ( m 1 ) ( n 1 ) + 3 或小于0 时该行原本就不存在，故不予考虑，同时去掉 如下- - y u - x n + y ；当镂空处的采样点中有四点相邻且组成一个正方形时，这个正方 形所在的轨道误差对应的列应该从b 中去掉。由于前文令z 1 l = z 1 = 知1 = 0 ，故去掉 填充矩阵b 中对应的三行，这样就将填充矩阵b 变化为填充矩阵百7 ，该矩阵去掉了位于 一镂空区域的采样点，并且列满秩可以使用最小二乘法求近似解，这时式( 3 2 ) 变化为 s = b u + e f 3 4 1 利用矩阵的最小二乘法求解上式， 口的表达式为： - 一 r 一_ 一1 一i - 一 u = lb 。bf 召。s lj ( 3 5 ) 解出o 即可一次性得到非连续子平面的平面形状误差、测量系统的轨道误差及传感 器安装初始位置误差； 分别求出各点到基准平面的距离，就可以求解该平面的平面形状误差【18 1 。 3 2 频域非连续误差分离方法 二维频域不规则四点法基于洪迈生教授提出的频域不规则四点法，在该方法中，四 个距离传感器布置在一个不规则四边形的四个顶点，传感器分布如图3 2 所示。记1 号 1 8 非连续平面的平面形状误差测量技术 传感器的坐标为 o ，y o ) ，故有2 、3 、4 号传感器的坐标为：0 0 + p x m ，) i o + p y a t ) 、 ( x o + z + q x ) a l ，y o + 魄+ q y ) o 、( x o + 纸+ q x ) , t l ，y o ) 。 y d b 图3 2 二维频域不规则四点法 f i g 3 22 df o u r - p o i n tm e t h o di nf r e q u e n c yd o m a i n 由于频域误差分离方法的基本原理相同，由第二章的经典频域三点法的推导过程， 同理可以得到二维不规则频域四点法的权函数如式( 3 6 ) ： 权值系数为： g ( ) = c 1 + c 2 e x p j 2 z ( k p ，n + l p ，m ) + q e x p j 2 厅( 露( 以+ q ，) n + + q y ) m ) + c 4e x p e j 2 z k ( p ，+ q ，) n q = 1 c 2 = - ( p x + 吼) q ， c j = ( p ，+ g ，) p j ， ( p ，+ g ，) g ， 3 7 c 4 = ( p 4 一p 川 ( 岛