1005010333-王艳丽-论复变函数中支点的地位与作用.doc

毕业论文（设计）毕业论文（设计） 题 目： 论复变函数中支点的地位和作用 学生姓名：王艳丽 学 号： 1005010333 所在院系：数学与计算科学系 专业名称：数学与应用数学专业 届 次：2014 届 指导教师：霍玉洪 淮南淮南师师范学院本科范学院本科毕业论毕业论文（文（设计设计） ） 诚诚信承信承诺书诺书 1.本人郑重承诺：所呈交的毕业论文（设计），题目 是本人在指导教师指导 下独立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽窃别人的内容； 2.毕业论文（设计）所使用的相关资料、数据、观点等均真实 可靠，文中所有引用的他人观点、材料、数据、图表均已注释说明 来源； 3. 毕业论文（设计）中无抄袭、剽窃或不正当引用他人学术 观点、思想和学术成果，伪造、篡改数据的情况； 4.本人已被告知并清楚：学院对毕业论文（设计）中的抄袭、 剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为将严肃处理，并可能导致 毕业论文（设计）成绩不合格，无法正常毕业、取消学士学位资格 或注销并追回已发放的毕业证书、学士学位证书等严重后果； 5.若在省教育厅、学院组织的毕业论文（设计）检查、评比中， 被发现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为，本人愿 意接受学院按有关规定给予的处理，并承担相应责任。 学生（签名）： 日期： 年 月 日 目 录 引言.1 1 预备知识 .2 1.1 支点的定义 .2 1.2 无穷远点（ 的引入） .2 2 支点在多值函数中的作用 .4 2.1 在多值函数中的作用 .4 2.1.1 支点在作可单值分支中的作用.4 2.1.2 支点在单值解析分支中的作用 .6 2.2 有限支点在复变函数中的地位及作用 .9 2.3 无穷远点在复变函数中的地位与作用 .12 2.3.1 有关无穷远点的规定 .12 2.3.2 无穷远点在解析函数奇点中的作用及地位 .14 2.4 支点在留数中的作用与地位 .15 2.4.1 无穷远点留数的计算方法.16 2.4.2 支点在多值函数的积分中的应用 .19 结论.23 参考文献 .23 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 1 论复变函数中支点的地位与作用 学生：王艳丽（指导老师：霍玉洪） （淮南师范学院数学与计算科学系） 摘要：本文先对支点的定义进行介绍，再介绍无穷远点的引入及其相关知识点 并结合例题加以说明支点在复变函数中的地位与作用。紧接着介绍支点 在多值函数中的应用和有限支点在复变函数中的作用，最后再通过相关 定理及例题说明支点在留数中的应用。 关键词:支点；有限点；无穷远点；留数 The position and role of the functions of a complex variable fulcrum Student: Yanli Wang (Faculty Adviser: Yuhong Huo) (Department of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University) Abstract: The paper introduce defines of fulcrum firstly, and then introduce the infinite point and related knowledge. Soon afterwards it combines with examples to illustrate the fulcrum in complex status and function. And then introduce the fulcrum in the application of multi value function and limited fulcrum in the complex variable function. In the end, it adopts the relevant theorems and examples to illustrate the application of the fulcrum in the residue. Keywords: fulcrum; the finite point; infinite point; residue 引言 如果把实数域中的初等函数推广到复数域中，那么这些初等函数的性质也 会跟着其发生相应的一些变化，譬如根式函数 w=和对数函数 w=都变成 n zzln 了多值函数。在多值的复平面上，如果用简曲线把该多值函的全部函数单数 支点依次连接起来并着它割破 z 平面，那么割破了的平面就构成了一个以沿z 论复变函数中支点的地位与作用 2 这条线为边界的区域，记作 G，因此在内就以分出该多函数的单值解割G可值 分支。然而我们在内任意选取一点 z0，并指z0的一个辐角值，那么在析G定 G 内任意的点 z,均可由 z0的辐角，连续变化而唯一确定 z 的辐角。 当把数学分析中的初等函数的解析推广到复数域时,然而就会有些单值函数 (譬如)随之派生出多值函数，而那些原本应该属于实数域中的多值函数就xln 会随之变为复数域中的多值函数，由此可以看出，当且仅当在复数域内讨论这 些多值函数才可以真正的体现出它们的真实本质。 因此在复变函数论中，多值函数的讨论占有重要位置，可见支点在复数函 数中的重要性和地位。 1 预备知识 1.1 支点的定义 定义：若存在一点 a（可以是） ，设多值函数 f(z)在该点的某一充分小的 去心邻域 G-a内有定义,如果对于 G-a中的任意一条不包含 a 的简单封闭曲 线 L，当变点从上一点出发，绕简闭曲线 L 连续变动一周而到其出发zL单回 点时，此时 f(z)的函数没有发生变化，反之，若存在一条包围点的简单值总a 闭曲线，使得当点 z 绕 a 点旋转一时，使多函数 f(z)从其一变为L变圈值支 一支,也就是说，当点 z 回到其出发点的位时，函数与原来值异，另变置值相 那么我们就称点 a 为 f(z)的一个支点。 1 1.2 无穷远点（的引入） 我们都道，复有一种何表示法, 即何一个数都以用复平面知数几任复可 上的一个来示，如果借用地图图学中将图投影到坐标平面上的地点表制地测 投法,可以建立复平面与球面上的的应。故，我们就用种对应关影点对 2 这 来说明复函数中引入的合性。关变理 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 3 图 1 引入的示意图 如上图1示，取个与z平面相并且过原点的球面,现过点O作一条所 一 切O 直于z平的直线且与面相交于一点N，任取z平面上的一点z与点N相连而垂面球 成一条直线段,那么，此线段必交球面于一点，记为P(z)。因此,复平上的点面 与球面的点(点除外)建起一个一对应关。上N立 一 系 z平上一个以点O为中心的周C对应面上一个圆周。当圆C的半面原圆球周 径越来越时,圆周C就会越来靠近于点N，故我们把点N看是一个与z平面大越作 上的为无穷大的假想点相应,所以我们就把这个想点叫做无穷远点，因模对假 此，在平面加上无穷远点后，复平就变成了扩充复平面,然而与其应的复面对 就是整个球面,故我们这个球面为复球面。换句话说,个扩充复平面的几何称这 模型就是球面，所以扩充复平面的这个假想的无穷点就会随之对一复上远应 个假想的复数。我们称个假想的复数为无穷。在复变函数中，由于点和数不这 可区分,所以无穷和无穷远点就不可以区分,故都记作。 3 定义1 设解析区内有一使复变函f(z)在此的为零，在域D点a数点处值 则称点为析函f(z)的点。解数零 4 定义2 若函数f(z)在点z0不解析，但在z0的任一领域内总有f(z)的解析点， 则称z0为函数f(z)的奇点。 5 定义3 设复变数f(z)在点的去心邻： 内解析函a域R 论复变函数中支点的地位与作用 4 点为点，则称点为函数f(z)的孤奇点。奇a立 6 定义4 设有限a为复函f(z)的奇点，即复变函f(z)在点点变数孤立数 的去心邻域： 内解,则称积aR析分 （:=，0R） 1 2 i ( )f z dz 为变函数f(z)在点的留（residue）记为f(z). 复a数Re z as 7 2 支点在多值函数中的作用 2.1 在多值函数中的作用 为了说明支点在多值函数中的作用，下将分别以支点在可单值分支中的作 用和支点在单值解析分支中的作用加以说明。 2.1.1 支点在作可单值分支中的作用 连所有点的Jor曲线为割线，将复平面沿割线割开所得的接支dan支支 域为可单分支区域。在实际问题，们总是使可值分支区域更大区值中我想单 一点，从而使得得割线更短一些。例：取 8 如 （1）log F（z）的可单值分支区域 如果函数F(z)可以分解为F(z) =F (z)F (z)（其中函数F (z)为一有理式， 121 F (z)的分分母次数相且F (z)本身不能再类似的分解），此时我们只 1 子同 1 作 需将F (z)的所有关的支点（点除外）连接起来，就可以分log F (z)的 1 相出 1 值分支。又为log F（z） = log F (z) +log F (z)，所以我们只需要考单因 12 虑log F (z)的多值性。利用以上的方法，再分解F (z)，如此进行下去，就可 22 以得到 log F（z）的最大可单值分支区域。 (2) 的可单值分支区域( ) n R z 已知R （z）为一有理式，且其分子次数与分母次数之差为n的整数倍，而 1 且R （z）本身不能分解, 若存在R (z)使R(z)分解为R(z) = R （z）R (z)， 1212 那么将的各支点连接起来作割线，就可以分出的单支分支。利用 1( ) n R z 1( ) n R z 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 5 这个原则，再对R (z)类似分解，如此继续下去，就可以得到的最大可单 2 ( ) n R z 值分支区域。 例1 求 F（z）=的可单值分支区域(1)(3)(z 4)(5)zzz 解: 由（z-1)(z-3)(z-4)(z-5)=0得 z = 1，3，4，5，即z = 1，3，4，5都是F（z）的支点，可见，在复平面 内沿实轴从z =1到z = 5做割线，那么所得到的域D即是可值分支区。区单域 为了使割尽量小，此时只考虑仅含两个支的Jordan 曲线。 线需要点 设是一条不过z=1，3，4， 且仅内含=1， 的Jordan 曲，则C通5z3线 =+ + c (1)(3)(z 4)(5)zzz c arg(1)z c arg(3z ） c arg(4z ） = = c arg(5z ）224 故=0可得=(这里k为任意整数，n为自然数)。由 c ( ) n R z c arg z2nk 从而有F(z)=0，同理，若取C是仅含有z=3,z=4的Jordan曲线，亦有F(z)=0.故 c c 连接z=3,z=4的直线段及连接z=1，z=5的直线段为割线所得的区域D即为所求。 例2：讨论多值函数 F(z)=的可单值分支区域。 z zz)( ln 解：易知，多值函数F(z)=的支点为、.又F(z) z zz)( ln = + z zz)( ln z zz)( ln （kz）2)arg()arg()arg(kzzzi 由于在以连接、以及连接与的两条简单曲线为割线且互不相交的 区域内取一条内部包含连接、的割线为简单闭曲线C，当点z沿着C正方向旋 转一周时，、各增加2，而的值没有发生变化，)arg(z)arg(z)arg(z 论复变函数中支点的地位与作用 6 所以多值函数的值发生了变化，所以以连接、以及连接与的两条简单 曲线为割线的区域不是可分单值分支区域。而以连接、的一条简 单曲线的区域和以连接、（或、）以及连接（或）、的两条简 单曲线为割线的区域内取一条内部包含连接、的割线为简单闭曲线C, 当点z沿着C正方向旋转一周时多值函数的值没有发生改变，故该函数可单值分 支区域有： （1）以连接、u(或、)以及连接a(或）、的两条简 单曲线为割线的区域； （2）以连接、的一条简单曲线的区域。 2.1.2 支点在单值解析分支中的作用 为了分解出一个多值函数的单值解析分支，我们必须割开其平面，此时就 需要找去函数的支点，因为找到支点我们才能把割开所求平面。 例如，函数F(z)=,它是一个n值函数，显然它的支点为0和，则沿负实 n z 轴割开平面，那么我们就称这样的区域为G,如下图2所示. i -i y x O G Z 图 2 定理 若区域内的任一曲线 ,当点 z曲线 C 绕行一周后多函数D闭C沿值 F(z)的值不变，则其是多函F(z)在区域内可分单值析分支的充要值数D解 件.条 9 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 7 证：(1) 充分性: 在D内任取一点z1,在点z1任意取多值函数F(z)的一个值f(z1)=设D内任意 异于点z1的一点z2,F(z)在点z2处按如下规定取值:用一条完全在D内的连续曲线 C1连接点z1与点z2, 当点z1沿连续曲线C1绕行到点z1时,若F(z)的值从连续变到 , 则f()=。设曲线是连接点与点的另一条连续曲线,则连续曲线 2 z 2 C 1 z 2 z 与连续曲线C2组成D内的一条连续闭曲线。当点z1沿连续曲线C2到点z2处时， 1 C 此时F(z)的值从连续变到，那么当点z从点沿连续曲线到点，再沿 1 2 z 2 C 1 z 连续曲线变到点z2，也就是说，变点z从点z2沿连续曲线C1和连续曲线C2组成 1 C 的闭曲线绕行一整周时，F(z)从连续变到后，又连续变到，换句话说， 1 f()=仅与点z1和f(z1)=有关而与连接点z1与点z2的曲线无关（如图3所示） 2 z 。所以，由条件易知，-+（-）=0，即= 1 1 综上所述，充分性得证。 x x2 (f(z1)=) (f(z2)=、f(z2)=2) 、 y x1 C1 C2 O 割线 图 3 （2）必要性是显然的。证毕。 例3： 已知函数F(z)=，求 2 ln(1z ) 足条件:F(0)=的一个解析分在z = 处的值及函数的支满2k i支2点 解：由与有相同的支点可知F（z）=与 ( ) ln ) P z Q z（ ( ) arg ) P z Q z（ 2 ln(1z ) 论复变函数中支点的地位与作用 8 有相同的支点，又的支点为 ,-i,所以F(z)=的 2 arg(1z ) 2 arg(1z )i 2 ln(1z ) 支点是,ii 割线可以取从到 的射线，也可以取从 到的射线，且z = 0，z = 2 iiii 不能在割线上，所以取 到1，从 到1，并且取线为着轴的负方ii割沿实 的直，此时所割破的面得单值解析分区域。由所给条件及初定向线平支D值 义有 F( 0) =+ =,即= 2 ln 1z 2 0 arg(1) z iz 2 i 2 arg(1 0 )2 故所求的单值解析分支为: F（z）=+=+ 2 ln(1z ) 2 ln 1z 2 arg 1+) c iz（ 2 arg 1+0 )i（ 2 ln 1zarg(z+i) c i +arg(z i) c i2 i 作连接 = 0， = 2 的Jordan 曲(C在x轴上),有=zz线C侧则arg(z i) c ，=arctan2arg() c ziarctan2 y O C1C2 C3 C x 图4 F（z）=+=+. 2 ln(1z ) 2 ln 1z)arctan(arctanzzi2 i5ln2 i 综所述，点在解决多值函多值性及解析性中占有很重的地位及上支数要 意义。 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 9 2.2 有限支点在复变函数中的地位及作用 对数函数F(z)=的支点是无穷支点z=和一个有限支点z=0.其支割线取 n z 到的一条线，所以，在以此割为边界的复平面上的区域内，对0射线zG 函F(z)=能分多个单值解析分支。但是对于具有多个有限支点的多数数 n z出 值函数，就不可以使用这种方法去判断它能否可以解析单支分支。此时，我们 可以先求出该多值函数的一切支点，再适当的连接其支点去割破z平面。 下面我们将利用此方法去解决一些问题。 首先，我们来看： 例4：已知多值函数F（z）= (00知，k=1. )1)(1 ( 222 zkz 2) 1 arg() 1 arg()1arg()1arg( 2 k z k zzz i e 下求z= 的值：取简单曲线，连接0和 （如图5所示）i 1 Ci 1 k 1 -1 - k 1 x y C2 i O C1 图5 论复变函数中支点的地位与作用 10 由知，当点z从z=0沿简单曲线连续到z= 时，有 1 Ci k k ik k iiiarctan) 1 arg(arctan) 1 arg( 4 1 ) 1arg( 4 3 ) 1arg( 故有可得，多值函数F（z）在z= 的值为i F( )=2 i)1)(1 ( 222 zkz 2) 1 arg() 1 arg()1arg()1arg( 2 k z k zzz i e 值得注意的是，在上面的解法中在z=0时的幅角初始值可以随意 k zz 1 1 取，但是当它们在z= 处的幅角值必须依据它在z=0的值来确定。i 例5：试(z)=在将z平面适开后能出三单值解分证F 3 )1 (zz当割分支析 支，并求出在点=时取负值的那个支在= 的。z2分zi值 解：易知F(z)的支点为0、 、.1 将平面先正实轴从到1割,然后在负虚轴割（如图）z沿0开沿开6 x 12O y G Z 图 6 在这样的割开平面 G 上，可分出三支单值解析分支。 当变点 z 从 z=2 指向 z=0 与 z 从 z= 指向 z=0 的夹角为，说明此时i 2 的变化为，即zarg 2 z carg 2 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 11 当变点 z 从 z=2 指向 z=1 与 z 从 z= 指向 z=1 的夹角为(由题意知取逆i 4 3 时针方向)，此时说明的变化为，即，于是)1arg(z 4 3 )1arg(z c 4 3 F（z）的幅角连续改变量为 +(+)=)(argzF c 3 1 z carg )1arg(z c 3 1 2 4 3 12 5 设 z=, 1-z=,则 ，k=0、1、2 且 1 1 i er 2 2 i er)(zFk 3 2 3 21 21 )()( k i ezrzr zG 当 z=2 时，=0，=，=2，=1)( 1 z)( 2 z)( 1 zr)( 2 zr 又因为当 z=2 时该多值函数取负值，代入可得)(zFk 3 2 3 21 21 )()( k i ezrzr 只有当 k=1 时 0使无数m存 zRzczcc z c z c zf m m n n n n ,)( 10 2 两端求导m+1次，则有 , )!1() 1()() 1() 1( )( 2 1 1 2 1 1 )1( m m n mn n m m z cm z cmnnn zf 或 1 2 1 22 )!1( )() 1( )!1( )() 1( c zm cmnnn m zfz n n n mmm 所以由可得0 )!1( )() 1( lim 2 1 n n n z zm cmnnn 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 17 )!1( )( lim) 1()(Re )1()2( 1 m zfz czfs mm z m z 定理2 （广留数定理) 设是扩充复面上向(复)围, 其所围 15 义C平的有线 区域按照左手规确定: 沿前时总在左，则当D内有限个孤奇DC行D方除立 点，(可以是无穷大点)外函数f(z)都解析, 且在上除， 1 z n zz, 2 CDD 1 z 外都连续时，有 n zz, 2 )(Re2)( 1 zfsidzzf m k zzC k 这里的无穷大点可以被恒看作为函数的奇点，且这里的有限可去孤立点可 以被看作解析点。 证明 设是复围，则当复围线的外取逆时针方向而里圈取时针方C线圈顺 向为正向时, 此时该理就会变为一般的留定理, 当C的外取顺针方向定数圈时 而里取逆时方向为时, 则此时复线C所的区域就是无集,设圈针正向周围D界 此时的函f(z)在的中有且只有有限多个奇点，故可得数D集孤立 2 1 , n zzz )(Re2)(Re2)( 11 zfsizfsidzzf m k zzc n k zz kk 学定理的目的是为了用，那么我们接下来将上述定理解决一些题。习运用问 例11：计算函数f(z)=，其中曲线C为且方向取逆时针方向。 c z z dz 1 sin 3 2 z 解：因为函数g(z)=在广义复平面上的孤立奇点为无穷远点和 z z 1 sin 1 ，（k=1,2,），其中z=0是函数g(z)的非孤立奇点。又因为曲线 k zk 1 C内包含函数的一个非孤立奇点z=0和无穷多个孤立奇点，所以函数f(z)不可以 利用通常的留数定理计算该积分。但是在曲线L=所围成的区域内或者在曲 1 C 论复变函数中支点的地位与作用 18 线C的外侧有且仅含有三个奇点，即和。故有广义留数定理可知 1 f(z)=- =- c z z dz 1 sin l z z dz 1 sin )(ReRe)(Re2 11 zfsszfsi z zz 故由 2 2 11 1 1 cos 1 lim 1 1 sin lim zz z z zz 可得 1 1 sin 1 lim 1 sin 1 ) 1 (lim)() 1 (lim 111 z z z z zzgz zzz 所以由以上可知，是函数f(z)的一级极点且。又由 1 1 )(Re 1 zfs z =1可知点时函数的可去奇点。所以，有 z z zg zz1 sin 1 lim)(lim 0 cos2 lim sin cossin lim 1 sin 1 cos 11 sin lim)(lim)(Re 0 2 0 2 )1(2 z z z zzz z zzz zgzzfs zzzzz 故有 =-=- c z z dz 1 sin l z z dz 1 sin 0)(Re)(Re)(Re(2 11 zfszfszfsi z zz 例12：计算 dz e z z 1 1 1 1 解：设，易知函数f(z)的非孤立奇点z=0以及无穷多个有限奇 1 1 )( 1 z e zf 点都含在闭曲线内。又因为无穷远点是函数f(z), 2, 1( 2 k k i z 1z 的孤立奇点，故函数f(z)在无穷远点的邻域内可展开为 = 1 1 )( 1 z e zf z z 1 12 1 2 1 ) 2 1 ( z 故有 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 19 =dz e z z 1 1 1 1 6 2 12 1 2)(Re2 1 i iiCzfsi z 2.4.2 支点在多值函数的积分中的应用 辅助函数或者被积函数均是多值解析函数的情形，只有将复平面适当的割 开，使其可分出单值解析分支，此时才可以应柯西分定理或柯西定理用积留数 去求所给的积分函数的。定值 例13：计算的值dx x x 0 22) 1 ( ln 解：以原点O为圆心，以R及r为半径，在复平面上画圆，并取Ox轴上方的两 个半圆周，且R充分大，r充分小。Ox轴上的线段AB和与两个半圆周构成以 A B 圆周线C 如 M x i N BAO A y 图8 辅助函数为 22) 1 ( ln )( z z zf 在周线C的内部有且仅有一个极点，且它的支点为z=和z=0均不包含iz 在周线C的内部，所以辅助函数f(z)在周线C的所有的有界闭区域上，且是单支 论复变函数中支点的地位与作用 20 解析的（除极点外）。iz 令 ， 222 2 )( ln )()( ln )()( iz z iziz z izz 则 ，z izizz zln )( 2 )( 11 )( 32 所以 8 2 28 2 4 1 )( Re ii ii is iz 故由留数定理得 =dz z z CABNAAABBBM 22) 1 ( ln i i i 428 2 2 2 现分别计算上式左边各个积分： （1） 因为，所以有0 )1 ( ln lim 22 0 z z z z 0 )1 ( ln 22 dz z z NAA （2） 因，故由定理2可得0 )1 ( ln lim 22 z z z z 0 )1 ( ln 22 dz z z BBM (3) 令上的则BA),0( xxez i dxdxedzixz i ,lnln 于是 dx x ix dx x ix dz z z ABr R 0 22 0 2222 0 )1 ( ln )( )1 ( ln )1 ( ln lim 故 当时，有Rr, 0 idx x ix dx x x 42)1 ( ln )1 ( ln 2 0 22 0 22 比较等式两端的实部，得 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 21 2)1 ( ln 2 0 22 dx x x 所以有 4)1 ( ln 0 22 dx x x （4）上的于是有),0( 0 xxez i dx x x dz z z ABr R 0 2222 0 )1 ( ln )1 ( ln lim 例14：计算积分 1 132 )1)(1 (xx dx 解：辅助函数 3 2 )1)(1 ()(zzzf 它在z平面上是型的多值函数，显然函数f(z)的支点为+1及-1. n zPw)( 当动点z沿图9示的闭曲线（+1以及-1在其内部）按逆时针方向旋转一周， 同时增加，然而)1arg( 1 z2 3 2 )(arg 21 zf 也增加。这表示函数f(z)的值没有发生变化，所以不是函数f(z)的支点。2 取从-1到+1为支割线,则函f(z)在其可以出三个单析分。数外部分值解支 论复变函数中支点的地位与作用 22 y x -11 图9 现取在上图中所表示的那条复周线,且取在-1,+1的ABABCC rR 上岸AB上取正值的那个分支，则当动点z在-1,1上岸AB上，即0)(argzf 0 3 2 )1)(1 ()(zzzf 当动点z从点B沿着到点,函数f(z)的幅角增加，那么在-1,1 r C B 3 2 下岸上，即AB)(argzf 3 2 3 2 3 2 )1)(1 ()(zzezf i 故有 = rzC zz dz dz zf R 1 3 1 2 )11( )( 1 dz r rz 1 3 1 1 3 2 3 1 2 1 2r r r 3 1 1 3 1 2 2 )11( )( 1 r zz dz dz zf rzCr 故当时，上面两个积分均趋于零。0r 淮南师范学院 2014 届本科毕业论文 23 当动点z从上岸AB变化到（1，+）上时，即动点z从上岸的点B沿着绕 r C 1旋转到点 时，1-z的幅角值发生了变化，即1-z的幅角值减少了，但是1+ze 的幅角值却为发生任何变化。所以，函数f(z)的幅角值减少了。那么在线 3 2 段（1，+）上有 i ezzzf 33 2 11)( 即 i ezzzf 33 2 )1)(1 ()( 故有 ) 1)(1( 1 Re 1 ) 1 1)( 1 1 ( 1 Re )1)(1 ( 1 Re )( 1 Re 3 20 2 3 2 0 3 2 ttt s t tt s zz s zf s ttzz = i i t e e tt 3 3 3 0