（水利水电工程专业论文）斜流式水轮机的研究与开发——转轮水力设计方法研究.pdf

斜流式水轮机的研究与开发 转轮水力设计方法研究 水利水电工程专业 研究生陈冬冬指导教师张礼迭 本文根据四川省科技厅攻关计划课题“斜流式水轮机的研究与开发” l 科高 2 0 0 3 4 2 号文，项目号( 0 3 g g 0 2 1 0 0 1 1 ) 提出的研究内容，研 究设计斜流式水轮机转轮叶片的方法。其研究思想是：推导出对斜流式水 轮机转轮更为适用的s 、和s ：流面的方程，用有限元法对两个流面方程建 立有限元模型，并在s 。相对流面首次引入了“等价速度三角形”理沦，该 理论在斜流风机中得到非常广泛的应用。周轴向速度变化率亭和流面倾斜 参数”来修正困流面倾斜和轴向速度变化而引起叶栅性能变化的影响，在 两个相对流面闯进行迭代求解的准三元设计方法，利用该方法设计计算出 斜流式水轮机转轮满足要求。陔设计方法电可推广应用于其他流体机械转 轮的设计。 关键词：斜流式水轮机转轮设计等价速度三角形 t h e s t u d ya n dd e v e l o p m e n to f t h ed i a g o n a lt u r b i n e t h em e t h o d s t u d y i n g o ft h er u n n e r h y d r a u l i cd e s i g n w a t e r c o n s e r v a n c y a n d h y d r o p o w e re n g i n e e r i n g m d c a n d i d a t e ：c h e n d o n g d o n gt u t o r s ：z h a n g l i d a t h i sp a p e rw a sb a s e do nt h et a c k l ek e yp r o b l e mo ft h eo f f i c eo fs c i e n c e a n dt e c h n o l o g y , s i c h u a np r o v i n c e w h i c hi s “t h es t u d ya n dd e v e l o p m e n t o f t h e 唰t u g o i n e i n 】e 仨| s k s i t e m n u m b e r h ( 0 3 g g 0 2 1 一0 0 1 1 ) a c c o r d i n gt ot h e s t u d y i n gc o n t e n t ，w eh a v ed e s i g n e dad i a g o n a lt u r b i n ei r l n n e lw h i c hd e s i g n i d e ai s ：d e d u c e dt h ef o r m u l a ( t h es 1a n ds 2 mr e l a t i v ef l o ws u r f a c ef o r m u l 幻， w h i c hi sm o r ea p p l i c a b l ef o rt h ed i a g o n a lt u r b i n er u n n e r , a n de s t a b l i s h e dt h e f i n i t em o d e l b yt h ef i n i t em e t h o d a tt h es a m et i m ew ei n t r o d u c e dt h et h e o r v o f “t h ee q u i p o l l e n tv e l o c i t yt r i a n g l e ”，w h i c hi st h ef i r s tt i m eu s i n gi nt u r b i n e r u n n e r d e s i g n w e u s e dt h e r a t i o 亭o f a x i sd i r e c t i o n c h a n g i n g a n dt h e p a r a m e t e r r o ff l o ws u r f a c es l a n t e dt oc o r r e c tt h ee f f e c tt h a tc a u s e db yf l o w s u r f a c et h a tw a ss l a n ta n dt h ec h a n g eo fa x i sv e l o c i t y t h ee f f e c tc a nm a k et h e c a p a b i l i t y o fl e a rb a r d e c l i n e a c c o r d i n g t om e t h o do ft h e q u a s i t h r e e d i m e n s i o n a lf l o wt h e o r i e so fh y d r a u l i cm a c h i n e r y ，a n da l t e r n a t e dc o m p u t i n g b e t w e e nt h es 1a n ds 2 n lr e l a t i v ef l o w s u r f a c e ，f i n a l l y , w eg a i n e dt h er e s u l t a n d t h er e s u l tw a ss a t i s f i e df o ft h ed i a g o n a lt u r b i n er u n n e rd e s i g nr e q u e s t e d t h i s d e s i g nm e t h o d c a na l s oa p p l yf o ro t h e rh y d r o m a c h i n er u n n e r d e s i g n k e y w o r d ：t h ed i a g o n a lt u r b i n e ，r u n n e r , d e s i g n ，t h ee q u i p o l l e n tv e l o c i t y t r i a n g l e 两华大学硕士学位论文 1 前言 1 1 课题来源及技术背景 我国水能资源较为丰富，理论蕴藏容量为6 7 6 亿k w ，可开发量为3 7 8 亿k w ，占世界第一位，但人均占有量很小，且地区分布很不平衡【1 1 。 近年来我国水电事业发展很快，已建水电站星罗棋布，如= 滩、李家 峡、万家寨、天生桥、小浪底等大型工程已竣工投入运行，在建的大工程 更多如三峡、小湾、溪洛渡、向家坝、瀑布沟、拉西瓦、龙滩等等，它们 的装机都在百万k w 以上，最大的为世界之冠达1 8 2 0 万k w 。它们的建成，将 使我国水电事业跃上一个新的台阶。但这些水电站的分布在我国西南、西 北及中部。我国的华北、东北及沿海地区则较少，故从目前看来，上述这 些地区或由于水资源比较匮乏，或因较好的水资源点水电站已开发殆尽， 留下来未开发的，小而分散。 我国有巨大的小水电开发潜力和小水电建设市场，据国际能源署统计 的数字可开发小水电资源达0 7 5 亿k w ，至1 9 9 9 年底水电装机规模只占可开 发资源的2 9 。小水电由于具有分散开发、就地成网、就地供电、供电成 本低的特点，也得到了迅速发展。到2 0 0 3 年底，已建成小水电站4 2 万座， 总装机容量3 0 8 3 万k w ，年发电量9 7 9 亿k w h “。当前小水电建设市场颤临 十分宝贵的历史机遇。前不久，中国水利部对本世纪中国头2 0 年小水电的 发展作出了新的战略规划。到2 0 2 0 年，中国将建成3 0 0 个装机1 0 万千瓦以 上的小水电大县，1 0 0 个装机2 0 万千瓦以上的大型小水电基地，4 0 个装机 1 0 0 万千瓦以上的特大型小水电基地，1 0 个装机5 0 0 万千瓦以上的小水电强 省。1 。规划还确定，发展农村水电，实施小水电代燃料生态保护工程。水 利部还将实施无电人口光明工程，在有水无电的边境地区、边远少数民族 地区和贫困山区开发小水电，解决无电人口的用电问题。 “斜流式水轮机的研究与开发”正是基于这样的历史机遇，顺应时 代发展和经济建设需要，获得四川省科技厅批准立项攻关计划课题。 西华大学硕士学位论文 1 2 课题研究的目的和意义 在我国西南地区农村，到处溪涧纵横，河网密布，最适于兴建各种类 型的小水电站。据统计，小水电资源蕴藏量约有1 8 亿k w ，可开发装机资 源约7 5 4 8 8 万k w 。在全国2 0 0 0 多个县中，约有1 1 0 0 多个县可以兴建l 万k w 以上的小水电站“1 。 针对小水电的发展，开展新型水轮机的研究，特别是斜流式水轮机的 开发研究，具有深远的意义。 斜流式水轮机是近几十年来才发展起来的水轮机。斜流式水轮机 与混流式和轴流转桨式水轮机相比具有如下优点： 1 、有广阔的高效率区，特别是在变水头工况下，效率曲线变化 平缓，见图1 - 1 ”3 。除最优工况外，斜流式较混流式效率高8 1 2 ， 它的平均效率较转桨式高2 3 。运行范围广，对水头、流量变化幅 度大时适应性较强，能在( 0 3 1 3 ) 倍额定出力范围内工作； 夕尹 u ，一一 孓、卜h，。+ ： ：= 2 7 、 ， i h 雩 ? ，童 ? 电 n n 。i 1 ：转浆式水轮机2 ：斜流式水轮机3 ：混流式水轮机4 ：定桨式水轮机 图卜1各型水轮机效率特性 f i g u r el 一1e f f i c i e n c yc h a r a c t e r i s t i co fe v e r yt y p eh y d r a u l i ct u r b i n e 2 、适用水头较高。由于斜流式转轮的叶片分布在一个直径较大 的球面上，叶片数目比轴流式要多，又不至于过于拥挤，因而能适 应较高的水头，叶片数一般为3 1 2 片，适用水头为2 0 8 0 米： 3 、空蚀性能好。斜流式水轮机比转桨式水轮机空蚀性能好，在 西华大学硕士学位论文 同一比速下空蚀系数低5 1 0 。另外，斜流式可采用较短的尾水管， 有利于空蚀性能的改善。 小水电的发展，有力地促进了地方工业和乡镇企业的发展，提高了农 田抗旱排涝能力，促进农业增产，增进了农副产品加工机械化，减轻了农 民的繁重劳动和节约了劳动力，为集体积累了资金，活跃了农村文化生活， 促进了两个文明建设，为实现农村电气化展现了广阔的前景。大力开发中 高水头小水电站或抽水蓄能电站，发展小水电，缓解我国目前能源紧缺、 促进社会经济健康发展具有重大的意义。 1 3 国内外研究现状及发展趋势 在该课题的研究过程中，我们先后调研过国内该行业最大的科研机构 和制造厂，如：天律电气传动研究院、天津水利电力勘测设计院、清华大 学热能动力学院、中国水利水电科学研究院以及东方电机厂等单位，其基 本情况是( 具体见附录一：调研报告) ： ( 1 ) 他们目前所做工作以轴流式水轮机和混流式水轮机的设计工作为 主，作为科研单位自己并不生产加工。 ( 2 ) 在转轮设计过程中，大多采用的二元理论。目前主要是对既有优 秀转轮进行改型和优化设计。水轮机型谱从9 2 年制定完成后至今都未变 动。 ( 3 ) 斜流式水轮机国内的研究情况，6 0 年代天津某设备厂曾研制过2 台抽水蓄能斜流机组用于密云水库，但在运行过程中，发现叶轮根部全部 断裂，导致该结果的原因可能与材料有关，也可能与设计有关，但没有最 终的说法。从那以后，从未有人再作过斜流式水轮机的研究和设计工作。 西华大学图书馆信息检索中心查新结果，当前国内外对斜流式水轮机 及其部件的研究，公开发表的成果较少，在专利文献数据库中，如专利号 为：z l 9 7 1 9 5 3 8 8 o 的弗朗谣斯水轮机的叶轮只提出了结构形状，而未 提出水轮机转叶轮的设计计算数学方程表达式和设计理论。 在公开发表的斜流式水轮机设计理论及方法中如：( b a n k h e n d 水电站 转轮更换方案的设计研究( 加拿大) h u n g d ；尹继红国外大电机 2 0 0 1 ( 4 ) 一7 7 _ 8 1 ) ，只讲述了斜流式水轮机转轮更换方案以及对既 1 磋华大学硕士学位论文 有转轮进行改型设计的三维计算程序，和本文所涉及的利用两个相对流面 理论，根据斜流式水轮机转轮具体的流道参数，建立流动方程，通过两个 流面迭代计算的准三元计算不同。 文章( 高水头大容量变转速斜流式水泵水轮机的研制宫川数吉国 外大电机一1 9 9 9 ( 2 ) 一4 7 5 1 ) ，该文采用几种数字流动分析方法设 计了斜流式水泵水轮机，其工作水头和输入输出功率为常规机组的两倍， 并进行了相应的模型试验。介绍了该种水泵水轮机的模型试验结果，从水 动力学和结构强度的观点出发，确定固定导叶和活动导叶分别为2 4 ，转轮 叶片数为1 0 ，本本文的主要内容是斜流式水轮机转轮叶片，设计水头段在 3 0 - 7 0 米之间，叶片数为5 或6 片，从结构型式以及实用范围的角度都不同。 文章( 斜流式水泵水轮机工况零流量制动力矩的计算于治明沈 阳航空工业学院学报一2 0 0 0 ，1 7 ( 3 ) 一8 1 8 3 ) ，该文利用肋一型式 斜流式水泵水轮机的模型静态全特性曲线，分析了影响泵工况零流量制动 力矩的主要因素，推导出了斜流式水泵工况零流量制动力矩的计算公式。 适用于斜流式水泵水轮机机组的主阎关闭，导叶，轮叶以一定规律开启时， 泵工况起动过渡的计算，也不涉及水轮机转轮叶片的范畴。 文章( 全电动中小容量斜流式水轮机的系列化彭泽元水电站机 电技术一1 9 9 4 ，7 ( 3 ) 一6 5 6 7 ) ，介绍了日本三菱重工与中部电力 公司共同研究开发的中小容量斜流转桨式水轮机叶片操作电动接力器，通 过制作样机进行验证试验，完成了全电动中小容量斜流式水轮机的系列 化，其主要内容在于叶片操作控制机构，和本文的斜流式水轮机转轮及叶 片设计相比，属于不同的技术领域。 可觅，目前该领域的研究和公开报道文献很少，该领域中需要研究的 关键技术较多，其中转轮叶片的设计研究方法尤其重要，深入进行这方面 的研究，对于丰富和发展水轮机的理论和设计方法具有积极的意义。 1 4 课题的主要研究内容、途径和技术路线 由于目前公开发表的斜流式水轮机转轮的设计研究方面的文献很少， 鉴于国内目前水力资源开发和能源合理利用的需要，笔者在已有的研究成 果的基础上提出了斜流式水轮机转轮设计的方法。 4 酯华大学硕士学位论文 本课题采用的是基于吴仲华教授在5 0 年代提出的两类相对流面( s ， s 2 ) 理论，通过建立两类相对流面( s l ，s 2 ) 方程的有限元模型，并在 s 。相对流面首次引入了华中科技大学吴克启教授提出的“等价速度三角 形”理论 ，该理论在斜流风机中得到非常广泛的应用。用轴向速度变 化率亭和流面倾斜参数叼来修正因流面倾斜和轴向速度变化而引起时栅 性能变化的影响，通过在两个流面流场间进行迭代计算求解计算斜流式转 轮叶片。这种方法目前在斜流式水轮机转轮设计中属首次应用。 按上述方法给定s 。流面计算的初始叶片后，进行s 。流面的叶片迭代设 计计算，而后以s 。流面设计叶片为基础，进行s 蕊面正问题计算。重新给 定s 。回转流面。在新的s ，回转流面上，再次迭代设计新的叶片并修正因流 面倾斜和轴向速度变化而引起叶栅性能变化的影响直至满足叶片收敛条 件。如此循环迭代，使s 文s 。流面正反问题迭代计算满足给定收敛精度。即 可得到满足课题要求的计算结果。 西华大学硕士学位论文 2 转轮设计理论及方法 在计算机不发达的6 0 年代，流体机械转轮的设计主要是半经验的二维 计算方法。对混流式水轮机，基于罗伦兹通流理论，根据z 轴面流动规律 的不同假设有一元理论和二元理论设计方法。对轴流式水轮机，基于圆柱 层无关性假设( r 一0 ) ，在圆柱展开面上应用升力法、奇点分布法、保 角变换法等平面叶栅设计方法进行叶型设计。7 0 年代以后，随计算机的发 展，基于两类相对流面的准三维方法在流体机械转轮设计中逐步得到了应 用。目前，绝大多数新的流体机械转轮设计方法是以两类相对流面理论为 基础发展起来的，准三维数值计算方法也是转轮优化设计的有效方法。 2 1 主要数值方法 2 1 1 基于s l 相对流面的准三维设计方法 给定一组初始s 。旋成流面，在该流面上进行反问题计算，得出所设计 叶片。然后进行s 。流面的正问题计算，以修正初始的s 旋成流面，如此反 复迭代，直至收敛。这样的设计方法就是基于s ，流面的准三维设计方法。 就转轮内真实流动而言。s 相对流面为一空间翘益面。根据流场测量 结果和全三维流动计算结果，s 。相对流面的翘曲很小( 约为1 0 左右) 。在 工程实际中为使计算简化，一般假定s 。流面为旋成面，来流为轴对称。这 样s 。流面上流体绝对运动无旋。转轮反问题计算可归结为任意旋成面上变 流层厚度叶栅的设计问题。其求解方法主要有奇点分布法、当量源法、流 线迭代法、势( 流) 函数解法以及变域变分有限元法。 一、奇点分布法”1 奇点分布法是求解各种绕流问题并较早获得广泛应用的一种数学解 析法。奇点分布法就是用集中或连续分布的涡、源、汇等一系列的奇点模 拟叶片对流动的作用，这些奇点所产生的诱导流场与未扰动的来流流场叠 加后所形成的复合流场应满足给定的边界条件。反问题计算一般根据初始 西华大学硕士学位论文 翼型，采用流动叠加的方法计算流速场，由叶片表面速度与叶片相切条件 构成代数方程，通过逐次迭代修正初始叶型，以获褥给定的叶片表面速度 分布和叶片厚度分布，从而实现旋成面上的准三维设计。 奇点分布法发展较早，数学基础严密，易于收敛对于无厚度叶片设 计，计算精度较高。对于变流层厚度s 流面上的有厚度、大挠度叶片设计， 根据奇点列出诱导速度的基本积分关系式，给出了s 。回转流面上叶栅绕流 的反问题计算模型。 二、当量源法 。 1 9 8 5 年，r d c e d a r 和p s t o w 结合s 。流面流动计算提出了s ，流面反 问题计算的当量源法”1 。其基本思想是与边界层计算的当量源法一样，在 设科中不修正叶片计算几何边界，而是用置于叶片表面的面源来模拟叫。片 表面的计算修正( s u r f a c et r a n s p i r a t i o nm o d e l ) ，使叶型设计过程中计 算网络保持不变。从而与正问题计算相结合构成了给定叶型表面速度分布 的反问题计算模型。i k j e n i o n s 应用当量源法建立了一套完整的基于 s 。流面的反问题计算的准三维设计系统。 当量源法将流动分析、反问题设计和边界层计算结合起来，设计过程 中不须变动计算网格，使得计算十分便利。不足之处就是当初始叶型和最 终设计叶型相差较大时，计算精度降低且易使设计叶型不光滑。m h a r t 在c e d a r 等方法基础上，引入光顺的方法修正计算数据，根据等环量条件 保证叶型的封闭性，从而允许初始叶型与最终设计叶型问有较大偏差。 三、变域变分有限元法 刘高联教授建立了旋成面叶栅各类杂交命题统一的变域变分原理。利 用泛函的变域变分公式来构造叶片上的边界条件，建立以流函效和叶型几 何坐标为未知量的泛函。通过求泛函极值得到流函数及叶型坐标的非线 性代数方程组，迭代求解实现叶栅的反问题计算。该方法的叶栅边界条件 提法灵活多样，能考虑流层厚度的变化，公式简单，易于推广至三维设计， 是一种实用的新方法。其不足之处是所求解的代数方程组为高次方程组， 迭代不易收敛。 四、势( 流) 函数方法 根据连续方程引入势函数或流函数，s 。流面叶栅反问题计算归结为关 7 西华大学硕士学位论文 于势函数或流函数的偏微分方程求解问题、关于势( 流) 函数的二阶偏微分 方程，则可应用有限差分、有限体方法以及有限元法等数值方法求解。采 用势( 流) 函数的反问题计算是一迭代过程。1 。这种方法得到了广泛应用。 2 1 2 基于平均s ：。流面的准三维设计方法 在平均s ：。流面上进行反问题计算，得出初始叶片，然后进行s 。流面的 正问题计算，通过s 。s 。流面正、反问题的迭代修正，得出满足设计条件 的叶片几何形状。这样的过程称为基于平均s 。流面的准三维设计、平均s ：。 流面反问题计算方法有流线曲率法、流函效法和特征线法等。 一、流线曲率法 流线曲率法的重要特点是网格线与流线一致、在流线曲率法计算中， 根据流体运动方程和流线方程，导出了沿准正交线方向含有流线曲率的速 度梯度方程、速度梯度方程则以积分型连续方程为条件，采用 r a n g e - - k u t t a 法近似按常微分方程进行迭代求解。 w j a n s e n f a m k ir s c h e r 针对离心叶轮设计，提出了应用流线曲率 法进行s 。流面反问题计算的给定荷载设计方法“。该方法的求解是一包含 经验修正的迭代计算过程，流线曲率法公式简单，物理意义明确。特别对 于上、下游边界条件难于准确给定的复杂的不规则计算域，流线曲率法具 有明显的优越性在流体机械转轮的正、反命题计算中，流线曲率法得到 了广泛应用。但对于有旋流动，则计算稳定性较差。 二、流( 势) 函数方法 从e u l e r 方程出发，根据连续方程引入流函数，则s 。流面上的流动控 制方程可转化为关于流函数的二阶椭圆型偏微分方程p o i s s o n 方程。 该方程可以用有限差分法、有限体积法和有限元法等方法求解。这种基于 s 。流面的关于流函数的反问题计算方法一般是给定心分布及叶片厚度 分布。 吴仲华等根据s 。流面流函数方程，在非正交曲线坐标系下进行了轴流 式叶轮的设计，并对所设计叶轮进行了全三维流动分析，计算结果表明所 设计叶轮满足要求。郭齐胜等采用有限元法求解流函数方程，对轴流式水 轮机转轮进行设计，得到了基于s ，流面的反问题解。与流线曲率法相比， 8 西华大学硕士学位论文 有限元法和有限差分法计算稳定，但计算域上、下游边界条件不易准确给 定。 三、特征线法 与前述给定分布的设计方法不同，特征线方法在给定轴面流速w 。 分布的条件下，应用特征线法求解s 。流面上的二阶准线性双曲型偏微分方 程，从而得出所设计叶片的形状“。林汝长等建立了基于s 。流面的准三维 反问题特征线法计算模型，并运用该方法进行了混流式水轮机转轮的设计 【 2 2 全三维反问题数值方法 8 0 年代中期以来，随着计算流体动力学的迅速发展，为了进一步提高 转轮效率、改善其空化性能，流体机械转轮全三维反问题研究也愈来愈受 到重视。 一、空间奇点方法 早在1 9 7 4 年，0 o k u r o u n m u 并h j e m c c u n e 对轮缘和轮毅为圆柱面的轴 流叶栅全三维反问题进行了研究0 1 。8 0 年代初，c s t a n 等在h a w t h r o n e 等 提出的不可压无粘无旋流动无厚度平面叶栅设计方法基础上，提出了一种 给定环量分布的全三维有势流动设计方法嘲。该方法假设叶片无厚度，转 轮内流动为理想、不可压、有势流动用叶片附着涡代替无厚度叶片的作 用，并将转轮内流动分解为周向平均流动和周向脉动流动，根据c l e b s h 公式确定叶片附着涡的强度，从而得出关于平均流动的流函数方程和周向 周期性脉动流动的势函数方程。根据叶片边界条件导出叶片骨线方程，通 过求解叶片骨线得出所设计叶片形状。 c s t a n 应用谱方法求解上述流动控制方程，设计了一轴流叶轮“3 。 该方法给定叶轮轮缘及轮毅半径为常数，且要求满足够枷t0 及 a 加h ；0 的条件。j b o r g e s 将此方法用于低比速离心叶轮设计。采用贴 体坐标变换及多重网络求解技术，解决了区域不规则性及收敛性问题，指 出由于叶片与轮盘、轮盖非正交，在边界上存在奇异性。试验表明：全三 维方法所设计叶轮具有较高的效率和较宽的高效区。近期m z a n g e n e h 又引 入了边界层迭代方法，提出了一种考虑粘性作用的全三维设计方法。 9 西华大学硕士学位论文 二、中心s ：流面展开方法 根据吴仲华教授所提出的三维流动通用理论，叶轮机械内部流动的三 维反问题，可以通过已知的流动参数关于叶片通道中一6 , s 。流面的变化，采 用t a y l o r 级数展开法近似求解。x l z h a o j l j 用这一思想，选择位于中心s ： 流面上的三维非正交曲线坐标系( s ：，f 2 ，妒：) ，通过坐标变换，实现了基于 中心s ：流面的全三维反问题设计。1 。在无旋等熵的条件下，进行了轴流压 缩机转子和轴流式风机叶轮的全三维近似设计，得到了合理的计算结果。 理论分折表明，为了保证轮缘和轮毂s 流面为旋成面，给定的k 分布必须 满足一定的约束条件。由于采用了二阶精度的t a y l o r 展开式，该方法是一 种简捷的近似设计方法。 三、空间拟流函数法 对于三维无粘有旋流动，根据连续方程。引入流函数巾( x 。，x 。，x ，) 和l p ( x 。，x 2 ，x 3 ) 使得： p w v 妒x v ( 2 - 1 ) 将定义于任意曲线坐标系( x 。，x 。，x 1 ) 上的两个流函数中( x ；，x 。，x 。， 和掣( x 。，x 2 ，x 3 ) 反演为x l = x i ( m ，x2 ，x 。) 和k u = ( 中，x “x 3 ) 的形式，根 据运动方程，在反演后的坐标系( 中，x 。x 。) 中导出三维流动控制方程 坐标一流函数方程，建立给定叶片厚度和吸力面上速度分布的半反问题计 算模型“。在给定流道形状和叶片进出口边位置的情况下，采用中心差分 格式离散坐标流函数方程，联立求解x 及v ，从而实现空间叶型的三维 设计。算例表明，这种数值计算方法具有较好的收敛性。该半反问题计算 模型可以设计出满意的三维叶型。 拟流函数法全三维半反问题计算模型需绘定叶片过流通道形状，因此 其求解过程是关于x 。的迭代过程。拟流函数法在流函数反演过程中，需 要满足a 叫缸，* 0 的条件，从而保证反演所需的所有偏导数存在，故在叶 片前缘点和后缘点存在奇异性。 四、欧拉方程方法 w t t h o m p k i n g 和s s t o n g 研究了应用非定常的e u l e r 方程甚至n s 方程进行反问题计算的可能性。提出了采用时间推进的方法进行反问题计 算的理论模型。在给定叶片表面压力分布和几何约束的条件下，应用简单 1 0 西华大学硕士学位论文 的e u l e r 显式差分格式( f i c s ) 求解守恒型e u l e r 方程，成功地设计了二维叶 栅1 。 在二维叶栅f f u l e r 方程时间推进法反问题计算的基础上，z a n n e t t i 在 给定叶片表面压差分布及叶片厚度分布的条件下，建立了三维无粘有旋流 动的e u l e r 方程反问题计算模型。该方法将给定柱坐标系( y l = r ，y 2 = o ， y 2 = z ，y 4 = t ) 变换为贴体坐标系( x 。，x 2 ，x 3 ，x 4 = t ) ，在贴体坐标系中采 用m a c k c o r m a c k 预测校正格式差分离散并求解非定常守恒型e u l e r 方程，计 算给定叶片通道中的三维有旋流动。根据给定压差分布及叶片厚度分布由 能量方程建立圆柱坐标下的叶型修正公式，采用松弛迭代修正，实现了三 维叶型设计。 由于三维e u l e r 方程计算的复杂性及叶型迭代修正松弛因子很小，采 用时间推进的e u l e r 方程反问题计算方法需耗费大量的计算时间。 综上所述，空间奇点分布法将三维流动转化为二维问题求解，计算大 为简化，但在边界上存在奇异性。中心s 。流面方法仅需求解中心s 。流面扛 的流动，但确定周向导数存在困难。这两种方法还都局限于计算无粘无旋 流动。拟流函数法和e u l e r 方程时间推进法均为正反问题迭代逼近的方法， 可以考虑流动的有旋性。空间拟流函数法需克服叶片前缘点和后缘点的奇 异性，保证拟流函数反演。欧拉方程时间推进法计算复杂。这两种方法均 存在如何建立简捷的设计参数与叶片修正量间关系的问题，它将直接影响 计算的收敛性和收敛速度。 2 3两类相对流面理论概述 基于两类相对流面理论基本思路：在转轮的相对运动三维流场 中取多个相对流面，建立相对流面上理想液体运动的基本方程式， 把一个三维流动转化为多个相对流面上的二维流动来求解。即可降 低数学难度，又可降低对计算机的要求。 相对流面分为：s ，流面，即由过叶栅中或叶栅前圆周线上的相 对运动的流线组成( 如图2 一l 中曲面c l d l d 2 c 2 ) ：s 。流面，由过叶栅 前半径线上的相对运动的流线组成( 如图2 1 中曲面a 1 8 1 8 2 a 2 ) 。 对于s ，将接近于回转面，可显示叶型型线对流动的影响；对s ：流 】1 两华大学硕士学位论文 面，将接近于叶片中面，可显示轴面流道型线对流动的影响。 f i g u r e 2 1t o wr e l a t i v e l yf 。l o ws u r f a c ed r a w l n g 图2 一l两类相对流面图 可见，两类相对流面之间以及它们的流动之间是相互关联的。 由s 。流面上的流线可确定s ：流面：反之，由s z 流面上的流线也可确 定s ，流面。因此，两类相对流面上的流动计算需要交替进行。即， 为求得三维流动的解，需在两类相对流面之间进行迭代。判定迭代 终止得准则是：两类流面交线上的解是否一致。 西华大学硕士学位论文 3 斜流式水轮机流动计算中的变分原理 3 。1 泛函和变分问题的概念 泛函的定义：凡变量的值是由一个或多个函数的选取而确定的，则此 变量称为这些函数的泛函。 使泛函取极大值或极小值的函数叫极值函数。所谓变分问题，就是求 泛函极值函数的问题。 若变分问题的端点( 边界) 是给定的，称为不动边界变分问题，反之 则称为可动边界变分问题。 若变分问题是带有约束条件的，称为条件变分问题。 变分法就是求泛函极值函数的方法。 通常在流体机械流动计算中遇到的是不带约束条件的不动边界变分 问题“。 3 1 1 变分及其特性 l 、泛函自变量的变分 函数，( z ) 的自变量x 的微小增量缸就是自变量的微分出。同样，泛 函自变量的微小增量就是泛函自变量的变分。但泛函的自变量为函数，故 自变量的微小增量或变分将依然是函数。 泛函j ( y g ) ) 的自变量在) ，o ) 上的变分旁为 咖一y ( x ) 一y ，0 ) 式中：y ) 与y ，0 ) 两个相近的函数。 接近度的概念：如果函数直至k 阶导数都接近，则称函数具有k 阶导 数都接近度。显然，高阶接近度包含了低阶接近度，而零阶接近度将只是 函数值相接近。 对于具有k 阶接近度的函数，其变分自母到印。将是同阶小量。 若函数y ( x ) 、y l ( x ) 具有k 阶导数，则可写出： 积华大学硕士学位论文 ( 咖) ；y 0 ) 一y r 0 ) 一咖) 可知：自变量变分的导数等于自变量导数的变分。 对于定积分，可以写出： # 2 2 j 2 # 2 6 l f 出。l 旺+ 殛一f f d x l 晒d x 可知：自变量定积分的变分等于自变量变分的定积分。 若略去高阶小量，则可写出： 印2 - ( y + 印) 2 y 2 - 2 y o y 利用以上性质，可以写出： 畦，2 a x a y 嬷警蚴 2 、线性泛函 凡满足以下条件的酬线性函数： ，( 舛) 一a f o ) ，a 为任意常数； ，( h + x 2 ) t 厂 i ) + ，( x 2 ) 。 与此相似，凡满足以下条件的叫线性函数： z ( a y o ) ) ta l ( y ( x ) ) ，a 为任意常数： z ( y 。o ) + y 2 0 ) ) - l ( y 。0 ) ) + ( y ：0 ) ) 。 3 、泛函的增量和变分 函数的增量为v 一，0 + t a x ) 一厂0 ) ，若v 可表示为： 一f ( x + 缸) 一f ( x ) a ) 缸+ 卢0 ，缸) 缸 此处a ( x ) 与缸无关，而当缸一0 时卢( x ，a x ) 一0 ，则对于缸是线性 a ( x ) a x 便是函数f ( x ) 的微分够，即 彤t a 0 ) 出 另外， 】4 西华大学硕士学位论文 4 ( x ) 一。l i m 血t ，( z ) 故够；f x ) 出 这表明函数的微分是函数增量的线性主部。 与上述相似，泛函，y 0 ) ) 的增量，为： b i l ( y ) + 咖) 一，( y o ) ) 若，可表示为： a i 一工( y 0 ) ，母) + 卢( y ( x ) i6 y ) m a x l 6 y i 式中：l ( _ ) t o ) ，咖) 对于旁的线性泛函； p ( y 扛) ，印) 非线性泛函且与印同阶或更高阶，e p ； 舰f l ( y ( x ) ，聊l 0 则a i 的线性主部工o ) ，锣) 称为泛函，的变分( 阶变分) ，记为甜，即： 甜一工( y ( 工) ，印) 4 、泛函达极值的必要条件 如同函数f ( x ) 在x 。时达极值的必要条件为函数的微分彤i x o 一0 一 样，若泛函，( y o ) ) 在_ ) ，。o ) 时达极值，其必要条件为泛函的变分 6 h 】一0 ，即： k ；) 一l ( y 。o ) ，6 y ) 一0 3 1 2 变分法的基本预备定理 设f ( x ，y ) 是d 域内的连续函数，若对在d 域内有一阶或更高阶导数 在d 域的边界r 上等于0 的任意函数印0 ，y ) ，有： s s f 缸、期q ，y ) d x d y 。0 d 则函数f 0 ，y ) 在d 域内恒等于0 。 3 1 3 欧拉方程和变分原理 所谓欧拉方程就是泛函的极值函数应满足的微分方程，即： 丽华大学硕士学位论文 堡一旦f o f l ：0 一a y 一忑l 可j 2 又： 丢( 等) 去( 等) + 旦a yf k 坚a y ) 1 立d x + 专( 等) 警 一f 二f ，y + f 3 ，y 。 所以欧拉方程又可写为： f i f j 一f ：? y 一f ：甲y ”= 0 变分原理就是与欧拉方程对应的泛函。 需要指出，不是任何微分方程都有相应的变分原理。 3 2 斜流式水轮机流动计算中的变分原理 若能由变分问题得出欧拉方程，又能由欧拉方程得出所需的微分方程 定解问题，那么即可找到与该微分方程对应的变分原理。按此思路，建立 一般椭圆型二阶偏微分方程问题的变分原理，这样就解决了水力机械流动 计算中求解流函数方程和势函数方程的交分原理。 一z ( 撵x 弦p 脚 浯t ， ，y ) | r 聋妒( s )l ，。衅) 2 + 惭啡 蛐 2 0 ，y ) ，一o c s ) ( 3 2 ) 2 、若口b1 , c0 ，则式( 3 1 ) 变为泊松方程第一边值问题 西华大学硕士学位论文 一鲁一争，kv 脚l 池2 却2 7 。”“。【 z o ，y ) l ，t 妒( s )l ，4 桐2 谢啡 蚴 2 0 ，) ，) i ，；妒0 ) 3 、式( 3 3 ) 中，一0 ，即为l a p l a c e 方程第一边值问题： 坚+ 氅，0 a r 2a v 2 z 0 ，y ) i ，。妒( s ) 与其等价的变分原理为： ，娴2 饼 螂 z ( x ，) ，) i ，一妒0 ) 3 2 2 椭圆型偏微分方程第二、三边值问题的变分原理 1 、泊松方程的第二边值问题： ，) ，) ，) ，) d ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 变分问题为： ，诽( 黔盼2 俐z 蚴+ p c s 凇 s ， 二者是等价的。 2 、泊松方程的第三边值问题： 、lfj d )y x ( ， ) - p z 一2 p 矿一妙，一： 王2 卫孤魏 西竺查堂堡主堂焦笙塞一一一 一一 一氅一粤m ，y ) 栅2毋 a _ 。i z + q o ) z ；一丢砸) d _ 唾 变分问题为： 卜，瞧2 鼎、, a y j 二：三誊l 篓r 姜兰弘 3 、l a p l a c e 方程第二、三边值i 口j 趣放具，义万芥珏川； 熬朋印1割，一扣，! ( 3 - 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ，一盯【( 罢) 2 + 晦) 2 d x d y + 善p 。) “妇 ( 3 1 2 o ，) ) ) d l( 3 - o ，y ) e r l j ，- 聪) 2 + 蚴+ 妒m 弘讪 。 辐妻主呶茹喜蓄鬈芝裂荔嚣纂 篓：黧蒜嚣裟茹鬻翕 对于第一边界条件，它不包含在变分原理中 稀妥半础。j 。1 ”“ 3 一南r 甚i 蕊t z 宙 濒耩t 隶1 梗g a 值l e 的r 巍蠹黻真接法有多种，这里介绍两平帕 。慧黧纂蕊警娄菡r ? i t z 淼篡意孑 水力机械流动计算关系密切的方法，这就是里 垅1 ”“ 、，j d r )、， y y 0 0 辫 西华大学硕士学位论文 3 。3 1r i t z 法 下面以泊松方程第一边值( 齐次) 问题为例，说明r i t z 法的过程。 由式( 3 - 3 ) 、式( 3 - 4 ) ，洎松方程第一边值( 齐次) 问题及其变分原理为： 地一( + 辨删b ) d “l ，- 0 ( 3 - 1 5 ) 2 懈一z ，幻，“ 姗 “i r ；0 设其解为： “仁，y ) - 羔n 。仍b ，y ) f 3 一1 6 ) ( 3 1 7 ) 口i 一一待定系数： “”x ，y ) 一一坐标函数，满足下列条件： 1 ) 满足边值条件，且在上有连续导数； 2 ) 是线性无关的： 3 ) 是完备的，即对于任何具有连续导数且满足边值条件的函数“0 ，y ) 及任意给定的，0 总有一个正整数n 利一组常数口。0 - 1 一n ) ，使得： i g ，y ) 一妻n 。识缸，y 1 cs i l - i i a xi 多- , i - i q 剖t s ld xl 争静剖“ 把式( 3 - 1 7 ) 代入式( 3 - 1 6 ) ，得： - 一黑扣。巩誓誓+ 等等卜一z r 兰- i a r 驴，蚴 令： 铲砜( 誓誓+ 等等) 蚴) ( 3 - - 1 8 ) 西华大学硕士学位论文 o ，4 l l 地蛐 ( 3 1 9 ) 则： n i - 芝口。口，口；一2 三卢，口， ( 3 2 0 ) r - l 5 - i，o l 对于已知的函数f 和纯，。、卢，的值可由式( 3 1 8 ) 、式( 3 1 9 ) 积分求得，因而1 只是待定系数口。的函数；而且由式( 3 - - 1 8 ) 可知 口。一4 一可见这个函数还是一个二次函数。因此，求泛函数极值函数的 问题现在已转化为求二次函数达极值的4 。( f 一1 n ) 的问题了。 因为式( 3 2 0 ) 是二次函数，由函数达极值的必要条件： 旦。0，；1 h 妇 得： 口。，一芦，t 0 r t l 一n( 3 - - 2 1 ) i i 这是一个n 维的线性代数方程组，可以证明它有唯一解。 可以证明，当n 增大时，里茨法的解将收敛至精确解。 里茨法提出于1 9 0 8 年，曾有力地推动了弹性力学在工程中的应用。 但他以有变分原理为前提，对于那些找不到或者根本没有变分原理的微分 方程定解问题，里茨法就无能为力，这使里茨法的应用受到限制。下面介 绍伽辽金法，其特点是直接从微分方程定解问题着手，无需建立相应的变 分原理，克服了里茨法应用中出现的困难。 3 3 2g a l e r k i n 法 g a l e r k i n 法是加权余量法中的一种，所以先简要的介绍加权余量法。 对微分方程定解问题： “+ f - 0 “l ，- 妒b ) o ，_ ) ) d l ( 3 - - 2 2 ) 代入近似解： 月 ， “- 口j 识b ，y ) ( 3 - - 2 3 ) f l 2 0 西华大学硕士学位论文 式中：口，一待定系数 x ，y ) 一一坐标函数，为满足边界条件且线性无关的完备函数族。 因为是近似解，所以血+ f 一0 ，而是有某个余量s 一a u + f 引入权函数咄( x ，y ) 。1n ) ，令加权的余量在求解域上的积分等于零， 即： 驴q 蛐- o ( i _ l - n ) 3 叫 由此得关于待定系数口；的线性方程组，把解得的a i ( f - 1 n ) 代回式( 3 - - 2 4 ) ，便得近似解。 因此加权余量法是直接从微分方程出发，要求微分方程代入近似解后 的余量在某种加权的意义上等于零，以保证解有定的精度。加权余量法 实际上与变分法无关。 采用不同的权函数，便得不同的加权余量法。例如取： a q 。i 代入式( 3 2 4 ) 得 去疆一d x d y 枷 可见此时余量的平方在求解域上的积分取极小值，所以称为最小二乘法。 如果取近似函数为权函数，即取qt 记，代入式( 3 2 4 ) 得： 州血+ ，k i 蚴。0 f t l ，l ( 3 - 2 5 ) d 这就是g a l e r k i n 法。 下面仍以式( 3 1 5 ) 的泊松方程第一边值问题为例，说明使用 g a l e r k i n 法的过程。 设近似解为： 2 1 西华大学硕士学位论文 则 “b ，) ，) 。兰a ，吼0 ，y ) 代入式( 5 - - 4 2 ) 得 或 虮缸1 誓+ 耋挚，一吐x 。j 】d v 。 斫舡0 2 j _ _ _ _ l