（电工理论与新技术专业论文）含传输线网络的优化设计.pdf

声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文含传输线网络的优化设计，是本人 在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 学位论文作者签名：盔置e l期：丛! 呈：兰望 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：型导师签名：翌墨曼： 华北电力大学硕士学位论文 1 1 课题研究背景 第一章绪论弟一早三百下匕 随着电气电子设备的发展，各种电力与通信线路越来越密集，印刷线路板越做 越小，信号时钟的频率越来越高，作为相互连接装置的传输线正在扮演着越来越重 要的角色。传输线的应用非常广泛：一方面，电气、电子设备工作时会产生畸变、 串扰、耦合等现象造成电气电子设备本身的故障或者影响信号的传输。例如：电气、 电子设备可能对电视等无线电接受装置形成噪声等干扰。电力系统中的电网输送容 量逐步增大，电压等级不断提高，电网的结构日趋复杂，变电站内一、二次设备的 结构和布局正向小型紧凑化、集成组合化的方向发展。尤其是变电站内投切、切合 高压空载母线等操作，会在母线和输电线路上引起电压和电流频率的迅速上升，并形 成较强的稳态电磁场，对变电站内下放的二次设备造成电磁干扰，所以这些线路应 作为传输线模型来分析。另一方面，在大规模集成电路和多芯片组件中，多导体传 输线常被用作信号连接线，随着现在集成电路技术的发展，系统中工作信号脉冲的 上升时间和宽度已达n s 数量级，甚至p s 数量级，信号连接线就不只是简单的电连 通，也应作为具有分布参数的传输线进行处理。 在微波电路、高速电路以及电力系统中的母线、输电线路等，其平行的线状结 构由于几何长度，和信号的波长五不能满足， 力的条件，因此集中参数模型不再能 使用。一般情况下，可将其视为均匀传输线模型来分析计算。均匀线理论要求导线 互相平衡，与参考地线或地平面平行；导线附近的介质材料，沿导线应是均匀的等 等。但是，随着不断升高的信号频率和不断减小的电路尺寸，大量的非均匀传输线 在微波和高速电路中逐渐被采用。而在电力系统中，电力输电线一般可作为均匀传 输线处理，但为了更加准确、精细地分析，在表征一些特殊的电磁现象时，需要采 用非均匀传输线模型来分析，否则得不到准确的结果，例如，雷击杆塔模型、g i s 中投切开关过程中接缝处的模型、由于地形原因造成的具有弧度或坡度的输电线模 型等。所以，研究非均匀线模型，将其作为更加准确的计算分析模型，这是发展的 必然趋势。 电路的优化设计就是指在一定的容差范围之内，对电路进行整体性能优化设计 从而达到设计的要求。由于工艺条件的限制和环境温度湿度等因素的变化，元器件 实际值和标称值一般总存在一定的误差，使得实际电路的性能与模拟值之间存在一 定的偏差，这是最初的电路优化主要解决的问题。但是随着集成电路密度和速度的 不断提高，不适当的互连线设计会带来较大的系统时延、耦合、误触发等互连效应。 因此，在互连电路优化中，要均衡系统各方面的影响，需要采用合理的优化方法。 1 华北电力大学硕士学位论文 设计分析中的优化变量可以包含互连线的导体宽度、长度、线间距离以及器件参数 等各种电路物理结构参数和电气参数。通过对互连线电路进行优化，可以得到最佳 的设计结构以提高系统整体性能。而灵敏度是表现元件参数变化引起系统响应变化 的一个参量，对于实际的多变量优化问题，通过灵敏度分析可以决定变量的选择， 减少计算工作量，提高优化效率。传输线的灵敏度信息，在分析设计一个高性能的 电网络，特别是对网络性能的优化设计及关键参数、关键元件的确定上显得十分重 要，所以本文主要进行非均匀传输线的分析及其灵敏度的研究，并以此为基础对电 路进行优化设计。 1 2 国内外的研究现状 作为微波电路的理论基础，传输线理论是一个一直都很活跃的研究领域。对于 均匀传输线，如均匀同轴线、平行双线、平行板波导等，所做的研究较多，且已有 较为完善的理论。而对于非均匀传输线，如指数线、b e s s e l 线、线性渐变线、抛物 线、幂线等，现在的分析方法还不是很多，且研究方法还不是很成熟。通常对非均 匀传输线分析方法主要包括等效电路模型法【卜2 1 、微分求积法【3 1 、时域有限差分法【4 1 、 精细积分法 5 1 、级联法【6 1 、特征线法【5 _ 7 1 等。 本文主要以二次项型传输线为研究对象，对其中的单导体抛物线型非均匀传输 线以及多导体二次项型非均匀传输线进行研究，得到比较简便准确的分析方法。 微分灵敏度分析已广泛应用于优化电路，已成为对不同的电路进行评价的必备 信息。求解灵敏度的主要方法有直接法( 扰动法) 【8 1 、符号网络函数法【8 1 、增量网 络法( 导数网络法) 【引、伴随网络法【8 】等。除这些方法外，还有一些其它的方法， 例如采样数值仿真法【9 】和特征线法 1 0 】等。现在灵敏度计算中主要采用的是增量网络 法和伴随网络法。增量网络法是- 9 0 0 多输出单参数的求解灵敏度方法，主要广泛应 用于大型网络灵敏度计算：而伴随网络法的最大优点是根据对原网络和伴随网络的 求解，可以求得以任意端口为输出，对任意网络元件的灵敏度。 对于有损或无损的均匀传输线灵敏度分析，自七十年代末到现在时有文章出 现，但是涉及到非均匀传输线的灵敏度分析还不多见。目前已有的文献对非均匀线 进行灵敏度分析的方法还很少，主要包括应用特征线法【lo 】求解和a w e t ( a s y m p t o t i cw a v e f o r me v a l u a t i o n ) 的方法求解。时域特征法求解灵敏度效率较高， 但不能对耦合传输线进行完全求解，过程也比较复杂。而a w e 法对于大规模电路 的计算效率较低。在文献，含抛物线型非均匀传输线网络的灵敏度分析研究【1 2 】 中先采用科罗达等效对抛物线型非均匀传输线进行分析，然后采用伴随网络法获得 了抛物线型传输线灵敏度的分析公式。 对于优化设计的方法目前大致可以分为两类：一类是利用目标函数及其灵敏度 夕 华北电力大学硕士学位论文 信息，通过一定的数学推导分析进行优化的数值迭代算法【1 3 】。另一类是基于数理统 计的优化算法 13 1 。本文采用灵敏度分析结果对传输线网络进行优化设计。 综上所述，本文系统地对二次项型非均匀传输线进行分析，研究其灵敏度，并 在此基础上对含传输线的网络进行优化设计，是具有一定的学术价值和实际应用意 义的。 1 3 本文所作工作 经过调查研究，在前人研究的基础上，本论文主要解决非均匀传输线的灵敏度 以及含传输线网络的优化设计问题。本文的主要工作分为下列四大部分。 1 ) 研究二次项型耦合非均匀线传输线的分析方法； 2 ) 基于端口电量，研究并建立抛物线型非均匀传输线的灵敏度分析模型及推 导其网络灵敏度公式； 3 ) 研究并建立二次项型耦合非均匀传输线的灵敏度分析模型及推导其网络灵 敏度公式； 4 ) 基于灵敏度分析对含传输线网络进行优化设计。 本论文具体安排如下：第二章介绍已有的非均匀传输线的主要分析方法、灵敏 度分析方法和几种主要的优化设计方法。第三章为单导体抛物线型非均匀传输线的 灵敏度分析，首先利用双端口网络法得到抛物线型非均匀传输线的频域灵敏度分析 方法，之后计算其时域灵敏度。第四章为二次项型多导体无损传输线的灵敏度分析。 首先采用直接解耦的方式，将多导体非均匀传输线等效为多口变压器以及单导体非 均匀传输线的连接，分析得到该多导体的灵敏度计算公式。其次，应用广义科罗达 等效分析二次项型非均匀传输线，得到其灵敏度公式。最后，验证两种方法的正确 性。第五章为二次项型多导体有损传输线的分析及其灵敏度分析，并最后举例验证。 第六章为优化设计部分。主要是提出了应用第四章分析的无损多导体传输线灵敏度 结果，采用序列二次规划法( s e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ，简称s q p 法) 对非 均匀传输线进行优化设计的方案，最后用两个例子证明了方法的可行性。 3 华北电力大学硕士学位论文 2 1 非均匀传输线方程 第二章预备知识 弟一早 耿亩刘以 非均匀传输线是一种单位长度的参数随着空i 司的变化而变化的传输线。1 段定单 位长度的线路参数与频率无关。多导体非均匀传输线的时域电报方程可写成如下矩 阵形式： 昙“( 叫= 一l ( x ) 云水，) 一r ( x ) 水，) 昙如，r ) = 一c ( x ) 昙材( 列) 一g ( x ) “( 列) 其中，x 为传输线中电磁能量的传输方向，i ( x ，f ) ，u ( x ，f ) 分别为x 点处的电流 和电压；r 、g 、c 、l 分别为单位长度的电阻、电导、电容、电感矩阵，且都是 长度x 的函数。 典型的非均匀传输线有指数型、垂直型和二次项型等几种。这几种非均匀传输 线的单位长度参数具有下列形式 r ( x ) = r o f ( x ) ，e ( x ) = q f _ ( x ) ，l ( x ) = l o f ( x ) ，c ( x ) = c o y 一( x ) 相应的特性阻抗为 z c ( x ) = z o f ( x ) 舯z o = 筹鲁。 例如，指数型非均匀传输线 1 4 1 适合于描述水平形式的非均匀传输线，其特征可 用下式描述 r ( x ) = r 。p 撤，g ( x ) = g o e 弛，l ( x ) = l o p 搬，c ( x ) = c o p 孙，z c ( x ) = z o g 出 式中r ，g o ，c o ，g o 和z o 都是x = 0 时的值，k 为常数。常用于电力系统中的电力 传输线等。 垂直型非均匀传输线( 贝赛尔线) 【1 4 】适合于描述垂直形式的非均匀传输线。其 单位长度的电阻、电导、电容、电感表达式为 尺( x ) ：e o ( x + ) 七g ( x ) = g o ( x + ) 七三( x ) = 厶( x + ) 姒c ( x ) = c 0 ( x + ) “ 相应的特性阻抗为 z o ( x ) - - - z o ( x + ) 蝣 式中r ，g o ，c o ，厶和z o 都是x - o 时的值，尼为常数。这种线可用来表征电力系 统中的架空线杆塔等。 华北电力大学硕士学位论文 以上所介绍的非均匀传输线都有两种表达形式，z c ( x ) 表达式中取“+ ”时称为发 散型或单增型非均匀线，取“一”时为收敛型或单减型非均匀线。 2 2 二次项型非均匀传输线 二次项型非均匀传输线【l5 】常用于各种微波电路中，也是本文研究的重点。二次 项型非均匀传输线单位长度的电阻、电导、电容、电感分别为 r ( x ) = r ( 1 + ) 控”o ( x ) = g o ( 1 + ) 砣“ c ( x ) = c o ( 1 + 腰) 铂( x ) = l o ( 1 + ) 控“ 相应的特性阻抗为 z c ( x ) = z o ( 1 + 彤) 幽 式中尺。，g 0 ，c 0 ，g o 和z 0 都是x = 0 时的值，p 为渐变率，门为常数。当玎= 1 时， 称该线为抛物线型非均匀传输线。 2 3 非均匀传输线分析方法简介 传输线理论研究中对于均匀传输线所做的研究很多，且已有了比较完善的理 论。而对于非均匀传输线，现在正处于发展阶段。众所周知，传输线分析存在频域 和时域两种分析方法。但是对实际中存在的信号只能表示为时间函数的波形，因此 系统中的时域分析是本质的。所谓的频域是信号对时间珀勺一种积分变换，通过变 换将时间函数变为频率函数。根据傅立叶变换和拉普拉斯变换理论，时间变量r 可 转化为虚频率变量徊或复频率变量j ，在肋域或j 域中可使电路分析的过程大为简 化，微分和积分将被代数运算所代替，复杂的卷积积分变为简单的乘法。因此，频 域分析也有其特有的优越性。现在关于非均匀传输线频域及时域的分析方法很多， 下面简介一下非均匀传输线常用的几种分析方法。 1 、级联法【1 7 】。这种方法将多导体分段，将每一段作为均匀线来处理，将各分 段的广义矩阵a b c d 级联后得到整个非均匀传输线的广义a b c d 矩阵，这种方法是 最为简单的非均匀线分析方法，但是误差较大。 2 、等效电路模型法( 科罗达等效) 1 1 - 2 1 。依据等效变换定理对电路进行等效变 换，将复杂的分布参数电路化为较简单的由集中参数元件和均匀传输线组成的电路 进行求解。这种方法现仅常见在二次项型电路中。 3 、时域有限差分法( f d t d 法) 【4 】。实际上是将某点处的微分用该点附近的函 数值进行逼近。它与精细积分法相近，而精细积分法是把传输线的偏微分利用差分 法对空间坐标进行等分，得到微分方程组，从而进行计算。它是一种在电磁场数值 计算中应用非常广泛的方法，其所需内存少，易处理复杂物体且算法简单，特别适 合于电磁场的时域分析。 5 华北电力大学硕士学位论文 。4 、微分求积法( d q 法) ( 3 】，是将某点对坐标的微分算子以该坐标全部定义域 中一系列离散点的函数值加权逼近，将偏微分方程化为常微分方程或代数方程求 解，是一种计算较为简便的时域计算方法。 5 、分段线性化法【l6 1 ，首先分析单位长度上r l g c 呈线性变化的非均匀无损传 输线，求得其精确的二端口传输矩阵，然后用级联的方法来逼近具有任意阻抗的非 均匀传输线。但这种方法计算代价较高。 6 、特征线法【l0 1 ，将具有时间f 和空间坐标x 的偏微分方程转换到两组特征线族 上以常微分方程的形式求解，该方法在传输线的性质变得较复杂时计算困难，比较 难以处理。 7 、波形松弛迭代法【3 】，特点是在一定的定义域内，对整体函数进行迭代，主要 应用于互连线时域响应求解中，需要在频域和时域之间多次往复变换的一种迭代算 法，变换方式采用f f t ，迭代过程直至收敛为止。 8 、快速傅氏变换法【5 】以及数值反拉氏变换法( 18 1 。是在频域推导出频域网络函数 或频域的电路方程后，借助于此种方法得出时域响应函数。傅氏变换的应用相当广 泛，当傅氏变换的取样间隔足够小时，离散的数据可以足够精确的表示时域响应函 数，但取样点数量相当大，否则不但不能保证精度，还会引起频谱混迭而使结果不 可靠。数值反拉氏变换法是将拉氏变换和反拉氏变换积分公式中的指数变换因子以 p a d e 逼近表示为近似的有理函数，即可实现变换，且克服了傅氏变换的缺点。 2 4 灵敏度分析介绍 在实际电路中的元件值都不可避免地存在着误差。元件值的误差可能是在元件 生产制造中所造成的，或者是由于温度变化、老化等环境条件变化引起的。元件参 数值的误差必然会引起电路输出特性的误差，这些误差一般不能忽略，因此在设计 电子电路时，研究电路中各元件参数的变化对电路特性的影响是很重要的问题。所 以引入“灵敏度 的概念来表示这类变化关系的一种度量。 设丁表示描述电路的特性参数，它可以是节点电位、支路电流等。x 表示电路 中的一个参数。当参数x 从它的坐标值产生一个微小改变量血时，使得丁也从它 的正常值t o 产生一个相应的改变量丁，称 d r ：l i m a t ：坚 4 缸一o 工d x 为参数工对电路特性函数r 的微分灵敏度，有时又称为小改变灵敏度，而称 r s x t i m 互t o i x - , , o2 专皿7 做丁。 6 华北电力大学硕士学位论文 为参数x 对电路特性函数丁的归化微分灵敏度，又称为相对微分灵敏度。相应的 d ，7 也称为绝对灵敏度。 灵敏度分析是计算灵敏度的方法。通过灵敏度分析不仅能直接得知网络参数变 化对网络特性的影响，最重要的是，灵敏度分析是电路优化设计的基础。灵敏度分 析的主要方法有直接法( 扰动法) 1 2 】、符号网络函数法【12 1 、增量网络法( 导数网络 法) 1 1 2 1 、伴随网络法【1 2 1 等。 灵敏度皿7 的直接法就是稍稍改变参数z ( 缸专0 ) 并计算输出r 的变化。这些方 法有一些严重的缺点。首先，因为它要在两个几乎相等的数之间取差值，所以精度 低；其次，需要在每个频点就每个参数五对网络进行一次分析，计算效率较低。 符号网络函数法，即在求得网络函数后，其中一些或所有网络元件值由变量 ( x t 。x 。) 表示。然后以丁的表达式对每个葺求导。符号网络函数法是应用较为广泛 的一种灵敏度求解方法，但是仅限于小网络电路中，在大网络中实现比较困难。 增量网络法也是导数网络法，即是利用各种线性支路的增量电流和增量电压的 特性方程，结合基尔霍夫方程，唯一地求解支路的增量电流f 和增量电压“，由 这些增量了可获得一微扰网络，从而计算出感兴趣的输出增量丁。增量网络法是 多输出单参数的求解灵敏度方法。 伴随网络法是通过求解伴随网络方程，可得到网络的一个输出量对全部网络参 数分别变化的灵敏度值。 由于符号网络法的局限性，目前大量使用的是增量网络法和伴随网络法。除了 这些方法以外，还有一些其它的方法，例如采样数值仿真法和特征线法等。这些方 法都是根据具体问题使用的特殊方法，这里不再细述。 2 4 常用的优化设计方法 随着集成电路的密度和速度的提高，互连线结构对系统整体性能的影响日益重 要。不适当的互连线设计会带来较大的系统时延、耦合、误触发等互联效应。通过 对互连线电路进行优化，可以得到最佳的设计结构以提高系统整体性能。一般我们 可以通过减小互连线的长度来解决时延和反射的问题，但是由于它同时带来电路密 度的提高，其耦合串扰等效应就比较突出。因此，在互连电路优化中，需要均衡系 统各个方面的影响，达到最佳的电路整体性能。优化变量可以包括互连线的导体宽 度、长度及元器件参数等各种电路参数。 对于优化设计的方法目前大致可以分为两类：一类是利用目标函数及其灵敏度 信息，通过一定的数学推导分析进行优化的数值迭代算法，有直接法、梯度法、拟 牛顿法、p o w e l l 法等【1 9 l 。这类算法一般只对目标函数为凸的情况有效，不易整体收 7 华北电力大学硕士学位论文 敛至全局最优，但是效率较高，其具体可分为以下几类： ( 1 ) 解析法。解析法也称为间接法。一般采用求导数的方法计算函数的极值。 它只适合于简单函数和具有明确数学表达式的函数。 ( 2 ) 直接法。当目标函数较复杂或不能用显函数表示时。我们用直接搜索的 方法经过若干次迭代搜索到最优点，它分为一维搜索和多维搜索问题。 1 ) 一维搜索：主要有斐波那西法、黄金分割法和多项式插值法等等。 2 ) 多维搜索：主要有坐标轮换法、步长加速法、方向加速法和单纯型法等等。 ( 3 ) 梯度法。利用目标函数的梯度来判断优化方法，也是一种直接方法。 1 ) 无约束梯度法：主要有最速下降法、拟牛顿法、共轭梯度法和变尺度法。 2 ) 有约束梯度法：主要有可行方向法和梯度投影法等等。 3 ) 化有约束问题为无约束问题：主要有罚函数和直接法。 另一类是基于数理统计的优化算法，包括m o n t e c a r l o 方法【20 1 、模拟退火( s a ) 法洲及近来提出的人工神经网络和遗传算( g a ) 2 2 1 法。这类算法都是针对全局优 化值进行优化，算法的可靠性较高，但是时间上，特别是对大型电路优化问题，不 符合实时电路设计的要求。当然，一些改进的模拟退火法的优化效率有一定的提高。 实际应用中，常常是几种优化方法配合使用。在本文中着重介绍了基于b f g s 拟牛顿法和有效集方法( a c t i v es e t ) 的序列二次规划法s q p ( 亦被称为h a n p o w e l l 法) 1 9 1 。s q p 法是一种基于二次规划问题的有约束变尺度优化方法，它是一种梯度 优化方法，由于编程中加入了罚函数及一维搜索部分，保证了算法的整体收敛性及 局部超一次收敛性。用s q p 对两个互连线路进行优化，得到的优化电路的电特性有 明显的改进。 8 华北电力大学硕士学位论文 第三章基于双端口电量的抛物线型传输线灵敏度分析 3 1 引言 灵敏度是优化电路、对不同的电路进行评价的必备信息。在现有的灵敏度分析 方法中，主要是以频域的方法为主，之后采用频域转时域的方法，推导出时域的灵 敏度计算公式。 文献 1 2 中采用了科罗达等效分析电路然后求解灵敏度的方法，但是在科罗达 等效过程中出现负电容，会引起计算过程的不稳定。为此，本章提出了一种新的求 解抛物线型非均匀线灵敏度的方法。应用贝塞尔方程精确求解抛物线型传输线的电 报方程，并结合伴随网络灵敏度公式即可求出网络中的任一输出电压或电流对任一 参数的灵敏度。 本章研究抛物线型非均匀传输线的伴随网络灵敏度公式，第二节根据双端口网 络法推导抛物线型无损传输线的频域灵敏度公式；第三节推导抛物线型无损非均匀 线的时域灵敏度公式；最后一节提出了抛物线型有损非均匀传输线灵敏度的计算方 法。 3 2 抛物线型无损非均匀传输线的频域灵敏度公式 3 2 1 抛物线型无损非均匀传输线的传输参数分析 对于单增抛物线型无损非均匀传输线，- 单位长度的电容和电感参数分别为 c ( z ) = c o ( 1 + 弘) ，( z ) = l o ( 1 + p z ) 2 式中厶= l ( o ) ，c o = c ( o ) ，p 为渐变率，且p 0 。 假定无损传输线单位长度参数与频率无关，单导体非均匀传输线的频域电报方 程如下： 掣：一弘厶( 1 + 弘) z m ，国) ( 3 2 1 歹 a i _ ( z - , e o ) ：一国c ：( 1 + p z ) 一2u ( z ，缈) ( 3 2 2 ) 相应的特性阻抗为z ( z ) = ( 1 + 弘) 2 厶c o ，z o = , - c o 为z = o 处的特性阻抗。 由电报方程( 3 - 2 1 ) 和( 3 - 2 2 ) 可得到下面方程 虿d 2 比国) 一而2 p 西d 缈) + 2 缈) - - ( 3 2 3 ) 万d 2 心，国) + 而2 p 瓦d 讹! 国) + 瑚z ，缈) = o ( 3 2 4 ) 9 华北电力大学硕士学位论文 式中p = 缈以磊。 方程( 3 t 2 3 ) 和( 3 - 2 - 4 ) 的解分别为【2 】 【，( y ) = k 。y 3 圯上3 ，2 ( f l y ) 一k 2 y 3 坨以，：( f l y ) ，( y ) = k 3 y 1 坨，l ，2 ( f l y ) + 1 【4 y 州2 ，：( f l y ) ( 3 - 2 5 ) ( 3 - 2 - 6 ) 其中，y = ；以( f l y ) ，以m ( f l y ) 为贝塞尔方程的分数阶，k ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为 口+ z 常数。 将传输线作为一个二端口网络如图3 1 所示，由式( 3 - 2 - 5 ) 和( 3 - 2 - 6 ) 可 得其传输参数方程为 上i2 p 抛物线 一 厂l 无损传输线 ( ； 阡 纠嘲( 3 - 2 - 7 ) 其中 a = t m 以，：( p p ) ，l ，2 ( f i ( 1 p + f ) ) + 上，：( i l p ) j , ，2 ( 3 ( 1 p + ，) ) = p ( 1 + p ) ( f i p c o s ( f i l ) + s i n ( f i t ) ) b = 一j z o t m 以，2 ( f i l p ) j _ 3 2 ( i t ( 1 i p + ，) ) 一上3 ，2 ( 1 3 1 p ) j 3 ，2 ( f i ( 1 p + ，) ) = j z o p 2 2 ( ( 1 + p 2 ( 1 + p 1 ) ip 2 ) s i n ( i 1 1 ) 一f i l c o s ( f i l ) ) c = j z o t m 以，2 ( p i p ) j _ l ，2 ( f i ( 1 p + z ) ) 一，l ，2 ( f i i p ) j l ，2 ( i t ( 1 i p + ，) ) = j z 。( 1 + p t ) s i n ( i 1 1 ) d = t m ，：( f i l p ) & 3 ，2 ( f i ( 1 l p + 1 ) ) 一上l 2 ( f i i p ) 以，：( i l ( 1 l p + 1 ) ) = p i l ( p ( 1 l p + 1 ) c o s ( i 1 1 ) 一s i n ( f i t ) ) 舯肚帅一等。 3 2 2 抛物线型无损非均匀传输线的频域灵敏度分析 本文采用伴随网络法求输出对非均匀传输线参数c 0 ，厶，和p 的灵敏度。 由于抛物线型无损非均匀传输线作为二端1 2 1 网络是互易的，故抛物线型非均匀 线的伴随网络就是它本身。则对应原网络方程( 3 - 2 - 7 ) 的伴随网络方程为 州枷纠j 输出对传输参数a 、b 、c 和d 的灵敏度表达式分别为【2 3 1 华北电力大学硕士学位论文 警= 一五，嚣= 一厶，历o t = 玩，历o t = 厶五 下面推导网络的任意输出丁( 电压或电流) 对非均匀线的参数厶c o ，z 和p 的 灵敏度公式。 网络输出t 可以表示为 t = t ( a ，b ，c ，d ) = 丁( l o ，c o ，p ) 则输出7 1 对非均匀线参数x ( 其中x 分别代表厶c 0 ，和p ) 的灵敏度计算公 式为 o to t 拟o ta b o to co t0 1 9 瓦2 丽瓦+ 面瓦+ 瓦瓦+ 面瓦 由此得出输出丁( 电压) 对参数厶c 0 ，和p 的灵敏度计算公式为 d c 0 7 = 一五旦o c o & i id a i b + u 瓦o c + 1 2 西l id o i l 9 吃r = 一五瓦o , 4 一厶五罢+ 玩瓦o c + 厶u 。瓦o d d ，r = 一五筹一1 ：i a 刮b _ + u 。百o c + 厶u 。百o d q 7 = 一五瓦o , 4 一厶五豢+ 反瓦o c + 厶玩等 传输参数a ，b ，c 和d 对各参数的偏导数结果见表3 1 。表中，= 国i i 3 2 3 实侈l j 验证 为了验证以上有关抛物线型非均匀传输线的频域灵敏度公式的正确性，取一单 增抛物线型无损非均匀传输线：p = 5 ，z = 1 ，z o = 5 0 f 2 ，线长z = o 1 m ，则 z ( z ) = 5 0 ( 1 + 5 z ) 2 ，在传输线始端加一内阻为5 0 9 1 、频率为i o o m h z 的单位正弦电压 源，末端接5 0 9 1 的负载电阻。图3 2 为非均匀线灵敏度的计算电路模型。 图3 - 2 计算用电路 对图3 2 所示电路及其伴随网络进行正弦稳态分析，可得下列感兴趣点的电 压相量和电流相量： u 2 2 0 4 8 4 0 6 4 4 - j 0 11 5 8 6 5 2 ，厶= 0 0 0 9 6 8 1 5 - j 0 0 0 2 3 1 7 4 ， u 2 2 4 2 0 3 3 - j 5 7 9 3 3 ，一0 4 8 4 0 6 4 4 + j 0 11 5 8 6 5 2 1 1 华北电力大学硕士学位论文 结合本文中给出的灵敏度公式，利用m a t l a b 可计算出输出吐对单增抛物线 型有损非均匀传输线各参数的灵敏度，见表3 2 。 表3 1 a ，b ，c 和d 关于l 。、c o 、，和p 的偏导数公式 彳b c d 吉z o ! m ( v t c 。s ( ，) _ ，去( 讹扮删( i l ) c 0 一j 丽 ( j t s i n ( i 1 1 ) + j 吾 击( v s i n ( i 1 1 ) 一圭( 等c o s ( f i f ) + 国 一( ，+ 矿p ) s 郴，) ) + l e oc o s ( i 1 1 ) ) z o ( m 一矿p ) s 郴，) ) ( 丢+ 国慨2 ) c o s ( ) j 2 ( m + p 2 2 2 ) s i n ( i 1 1 ) 一缈一一(l型(，)2 z om ( 肋 ，面c o ( - v s i i l ( f i ，) 一1 ( 、p 1 c o s ( ，) + 国 厶 、jj 一，害s i n ( i l f ) + 磅 2 厶 ” 州+ 旁s n ( 肋) ( 譬+ 嗍c o s ( f i f ) ) + l e oc o s ( p ) ) ( m l 一歹p ) s 郴，) ) 赤( 卅l + m ) j z o 坳s i n ( f i t )_ ，古徊c o c 。s ( i l ，) ， c o s ( p ) 一( p 2 + 2 m ) + j c o l o mc o s ( i 1 1 ) ) 一旦土s i n ( f ) ) 一i l ms i n ( i 1 1 ) s i n ( i 1 1 ) ) m z o 、。 矿1 ( 一，c 。s ( 肋忍( 一等c o s ( f i ，) 一，瓦矿8 l s i n ( i 1 1 ) f c o s ( 肋一古s i n ( p + 万5 m ( 俐 f ) ) + ( 等删( f i ) 表3 - 2 计算所得灵敏度 参数绝对灵敏度 相对灵敏度 c 0( 一0 7 5 2 4 3 - j 5 2 5 4 0 ) 1 0 8( 0 6 6 j 7 0 8 ) 1 0 之 l 0( 1 5 8 41 - j 4 6 2 8 3 ) - 1 0 5 ( 一1 5 5 j 1 6 3 1 ) 1 0 之 ，一o 4 0 9 0 一j 1 3 3 0 6 ( 一1 7 7 一j 2 7 9 1 ) 1 0 2 p一0 0 0 1 9 - j o 0 0 4 2( - o 8 7 j 4 5 5 ) 1 0 。2 由本例灵敏度计算结果可以看出，厶，对非均匀传输线的稳态输出电压影响 较大，而c o 的影响较小。为了验证本文所提方法的正确性，分别改变c o 、厶、，和 pl ，运用扰动法分析计算可得下列结果： ( c o ) = 0 0 0 0 0 7 2 3 ，a u 2 ( a n o ) u 2 = 0 0 0 0 1 4 6 5 厶以( a o u 2 = 0 0 0 0 18 4 ，( 卸) = 0 0 0 0 0 8 8 1 2 华北电力大学硕士学位论文 这表明上述灵敏度公式和分析结果是正确的。因此，利用以上推导出的灵敏度 公式可以求得无损抛物线型非均匀传输线网络的频域灵敏度。 3 3 抛物线型无损非均匀线的时域灵敏度分析 时域中的灵敏度公式司由频域公式便用拉氏逆焚抉得剑。例姐电容对于某一输 出r 的频域灵敏度伴随公式为 磊o t = d j = 一s u 0 c 对上式两边拉氏变换 硭纠( 以眈) 封小时一( 眈) = 一睢掣i 以 上式“+ ”表示卷积。比较拉氏逆变换推导出来的公式和直接时域推导的灵敏 度公式，两者是完全一样的。因此在单增抛物线型无损传输线频域灵敏度公式的基 础上，利用上述方法通过拉氏逆变换即可导出其时域内的灵敏度公式。 丁( s ) 对非均匀线参数x ( 其中x 分别代表厶c 0 ，或p ) 的灵敏度计算公式为 8 ta t8 aa t a b8 t8 c8 t8 d 一= 一- - 一1 - 一 o x触苏0 1 1 舐a c 舐0 1 9 缸 对上式取拉氏逆变换，得 型：f 吖望1 ：1 2 1jo _ _ ro a + 一o t 一0 1 t + 一o t o c + 一o t 一0 1 9 o x 苏jl0 4 舐o b 苏o c 叙0 1 9 舐 由于拉氏变换是一种线性变换，所以上式的逆变换结果可写成各式的逆变换结 果之和，即 丝盟_ e tf ，望丝 + i p o t o b + f - f ，塑丝 + l - if 塑望 敏 l 刎叙 、o ba x lo c 叙l 0 1 9a x ， 由此可得输出对c o 的时域灵敏度公式： 在频域中， 丽o t 嚣= 五。j 1 缈z 0 万1 。万p lc 。s 甲d 一( ，+ 参) s i n ( f l ，) ) ，经拉氏变换可得， 见“) _ f p l y ( u 2 嘲) 砌) 吲) ) + 7 f 掣吲) 一掣木i ；( t - z ) 一p v zi t ou 2 ( f ) 衍木e l ( f + 7 ) 一f 甜：( f p 木i ( r y ) ) ) 在频妣嚣嚣越- ( 忘( 一m + l p z ) s i n ( m 蒜s i n ( f l 旷 + ，从( 国3 c o p 2 ：+ o m z 0 2 晶s ( ，) ，经拉氏变换可得 眈c - o ( ，) 2 砑3 v p 2 ( f f 2 ( r p 木f ( ，+ y 砂一f f 2 ( r 沙木f i ( r y p ) 一筹( f f 2 ( r p 木i ( ，+ y ) + 胁p 讯叫+ 去( 川2 p 2 ) ( 舯h ( 忡) ) 一半( 掣m 夕) + 掣嘲) 在频域中，瓦o t ，瓦o c = u 2 0 。( ，击( v s i n ( ，) + l e o c o s ( ，) ) ) ，经拉氏变换可得 d c c 0 = 赤( 姒小姒) 吨峨( ) ) + 击f 掣啊( ) 一掣峨卜7 ) 在频妣面o t 瓦o c = 聃争( 纠讽卜外n ( 川 ，经拉氏变换可 二一是l i 2 ( 小姒h 即训) + 竽( 掣垴”y ) 一掣啊卜y ) 姆 掣哦吨+ d c c o + 铜出凋l o 明h 习城灭母又发： 类似上面公式的推导可得 哪) 2 硒p l v ( 圳似小圳* y ) ) + 硒l 了d u z ( t ) m y ) 一掣木礼y ) 一p v 。2 ( r 出木i q ( ) 一心r ) 出宰渺y ) ) 胁署( m + f 2 p 2 ) ( 冲) 木i ( ) 郇) 木；：( ) ) + 等f 掣+ i ( ) + 掣吲h ) ( f ) = 一赤心( f ) 嘁o 卅心( f ) 吨( h ) ) + 击( 丁d u 2 ( t ) q ( m ) + 咖* i ( h ) 1 4 华北电力大学硕士学位论文 州f ) _ 一瓦p l ( f 2 峨”小“小姒) ) + 等( 掣电”引 一掣峨( h ) + 老删心叫一脚) 删心叫) 故得 百o t ( t ) = ( ，) + ( r ) + 屯( 吵( f ) 输出对z 的时域灵敏度为： 见( f ) = 互p m 2 l ：( 、甜：( r ) 宰i ( m ) + “：( r ) 木i ( h ) ) _ p vt 、f o “：( ，) 班木i ( m ) 一m 岫吲h ) ) 一赤愀- - y i - 。吲) 一掣吲) 圳= 竽f 丁d i 2 ( t ) 吲m ) + 掣诳r ) + 半( f 2 ( h ”巾她h ( f - r ) ) 哪) = 嘉愕- - j - 。咄”) + 型d t 峨卜r ) 卜甄p “啊”r ) 一材：( r ) 宰玩( t - r ) ) 叭) ：筹f 掣”巾掣啊卜r ) 故得 百o t ( t ) = 巩小) + 仇心) + d c f ( f ) + d d 小) 输出对p 的时域灵敏度为： ( r ) = 一赤( “：( ，) 木；( m ) 鹄( r ) 木弛f ) ) 一赤( f o 甜：( r ) a t 木弧f ) 一f “：( ，) 衍，c i ( r r ) ) ( r ) = 孚( 木；：( h 丁) 一j 2 ( ，) 宰沁f ) ) + p f z o v ( f d f 2 ( r ) 班木f 0 弧f ) 魂+ 蹦r ) 西 母f o i ( h ) 出) ( r ) = 一壶( 圳嘁( m ) 飞( 嗍( ) ) ( r ) 习1i ：( r ) ：一c 五，( ) + f 2 ( ，) 木五。( ) ) 一号( f o f 2 ( r ) a t 木五t ( m ) 一i o f 2 ( ，) 衍木五。( ) ) 故蒋 掣= ( r ) + ( r ) + ( r ) + ( f ) 华北电力大学硕士学位论文 下面通过对抛物线型无损非均匀线进行时域仿真，来验证所推导的时域灵敏度 公式的正确性。在抛物线型非均匀传输线的两端接入电源和负载，如图3 3 所示。 取p = 5 ，n = 1 ，线长，= o 1 m ，电路中的电压源为梯形脉冲，上升沿和下降沿均为 0 1 5 n s ，宽为o 3 n s ，电源内阻为5 0 f 2 ，负载为5 0 q 纯电阻。在m a t l a b 中利用公 式计算的时域灵敏度结果如图3 4 ( a ) 一( d ) 所示。 图3 - 3 计算电路 ( b ) ( c ) ( d ) 图3 4 输出t 对参数的灵敏度( a ) 对参数c o ：( b ) 对参数厶： ( c ) 对参数z ；( d ) 对参数p 3 4 抛物线型有损非均匀传输线灵敏度分析 3 4 1 损耗的处理 对有损抛物线型非均匀传输线的分析，本文提出将分布损耗集中处理的方法。 1 6 华北电力大学硕士学位论文 这一方法与文献 1 2 中处理均匀线损耗的方法相似。这样，可以使有损线变成无损 线，从而借用无损线的分析方法对有损非均匀传输线进行分析，并可对前面已有的 结果进行扩展，进行有损非均匀传输线的灵敏度分析。 假设抛物线型有损非均匀传输线，给出其各个参数如下： r = 7 5 ( 1 + 1 1 x ) 2 ( 单位：q ) l = 1 0 0 ( 1 + 1 i x ) 2 ( 单位：m h ) c = 1 5 0 ( 1 + 1 1 x ) 2( 单位：矿) g = 0 ，= 0 11 ( 单位：m ) ( 3 - 4 - 1 ) 本文采用将损耗平均加在两端的方法，对于这种方法取 冠：二，：望塑堑篁：二：! ! ! ：! ：! 三! ：空：o 4 6 4 4 q 22 则此时采用的损耗处理图形为3 5 所示 图3 5 损耗处理图示 3 4 2 抛物线型有损非均匀传输线灵敏度的求解 解决完损耗i 司趑后，在已有的无损线的步贝域和时域公式中加八损耗r ( x ) 阴影 响，即可计算含有有损线网络的灵敏度。下面推导灵敏度公式。 由于尺( z ) = r o ( 1 + p x ) 2 ，所以取损耗值为 豆= fr ( 1 + 彤) 2 出- 鼾( 1 叫3 - 1 由上式可看出，从非均匀线中抽出的电阻蜀= 尺：= 拿是单位长度电阻r 、长度 ，和渐变系数p 的函数，只要计算出其对z 和p 的偏导数 象= 象= 扣叫3 - 1 鲁= 鲁= 圭r ( - 州 万o r l = 百o r 2 = 五1 舻p f ) 1 7 华北电力大学硕士学位论文 加人剑已有的频域灵敏度公式中，即得到了有损非均匀线的频域灵敏度公式， a 丁a 丁o aa ta 8a 丁a ca 丁a _ d a 丁a r a r 浓， - - - 一= - 一一一- i 一一一- 二- i - 一二 o xo ao xo bo xo ca x0 1 9o x o r l o x o r 2 o x 同理对于时域灵敏度公式，只要将 环删= 爿( 1 + p ，) 3 - 1 峨( r ) r ( ，) = 爿( 1 + p ，) 3 - 1 h ( 木l r 2 ( ，) d r , ，( f ) = 去r ( 1 + p ，) 2 k ( f ) 木名( f ) d r 2 疋) 一1 ，( 1 + p 矿k ( f ) 木戈( f ) d r i p ( r ) = 三1r ，2 ( 1 + ；p ，) 屯( r ) 木戈( r ) d r 2 p ( r ) = 互1r ，2 ( 1 + 詈p 寸k ( r ) 木戈( ，) 分别加入到公式掣、掣与掣中，其它公式保持柳口可o 3 4 3 实例验证 下面验证所得有损非均匀传输线灵敏度公式。采用公式( 3 4 1 ) 给出的有损 非均匀传输线及其参数，以及图3 - 5 给出的计算用图，电源采用单位阶跃电压，上 升沿为o 1 5 n s ，利用集中损耗的方法在m a t l a b 中运用公式计算非均匀传输线的灵 敏度，计算结果与扰动法做比较，如图3 - 6 ( a ) 一( d ) 可知得到的非均匀线的灵敏度是 f 确的。 ( a ) 1 8 ( b ) 华北电力大学硕士学位论文 ( c )( d ) 图3 - 6 输出丁对参数的灵敏度( a ) 对参数c o ；( b ) 对参数厶； ( c ) 对参数r ：( d ) 对参数， 1 9 华北电力大学硕士学位论文 4 1 引言 第四章多导体无损传输线的灵敏度分析 由于对多导体传输线灵敏度研究的越来越重要性，本章对二次项型无损多导体 非均匀传输线的网络进行灵敏度求解。在本章中主要采用两种方法对传输线进行分 析：一种是直接解耦的方法，即将多导体非均匀传输线等效成多导体非均匀传输线 与