（电力系统及其自动化专业论文）基于混沌理论和小波变换的电力系统短期负荷预测.pdf

a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fp o w e rm a r k e t ，t h ep o w e rl o a df o r e c a s t i n gp l a y sam o r e i m p o r t a n tr o l et h a ne v e ri np o w e rs y s t e m i np r a c t i c e ，t h ep l a n n i n g 、d e s i g n i n ga n d t h e d i s p a t c h i n ga u t o m a t i o no f p o w e rs y s t e mr e q u i r el o a df o r e c a s t i n gg r e a t l y t h er e s e a r c h o fl o a df o r e c a s t i n ga t t r a c t sm o r ep e o p l e sa t t e n t i o na n dh a sb e e na ni m p o r t a n tf i e l do f m o r d e np o w e rs y s t e m p o w e rs y s t e mi sav e r ys 仃o n gn o n l i n e a rs y s t e m , a n da p p e a r sa sc h a o sb e h a v i o r t h i sp a p e rr e v i e w sa n dc o m m e n t st h et h e o r i e sa n dm e t h o d so f t h ep r e s e n t l ye l e c t r i c a l l o a d sp r e d i c t i o n , a n di n l r o d u c et h ea p p l i c a t i o na n dd e v e l o p m e n to fc h a o st h e o r y c o m b i n e dw i t ht h ep r o c e s s i n gm e t h o do fc h a o t i ct i m e ss e r i e s ，t h i sd i s s e r t a t i o n p r e s e n t sh i g h e rf o r e c a s t i n gp r e c i s i o nm e t h o dt h r o u g hw a v e l e ts i n g u l a r i t yd e t e c t i o n a n dw a v e l e te l i m i n a t i n gn o i s e r o b u s t n e s so ft h el o c a ll i n e a rr e g r e s s i o nm e t h o di s p o o rb e c a u s et h ei l l n e s s - s t a t em a t r i xi ss e n s i t i v et on o i s ew h e n t h em o d e li sl i n e a r i z e d a na d a p t i v e s e l fp r e d i c t i o nf i l t e rw a sp r o p o s e dt os o l v et h ei n f l u e n c eo fi l l n e s s s t a t e m a t r i x n l ed i s s e r t a t i o nm a i nf o c u so nf o l l o w si t e m ： h i s t o r i c a ll o a dd a t ei st h eb a s i so fl o a df o r e c a s t i n ga n dl o a df e a t u r ea n a l y s i s f a l s ed a t aa n dn o i s e sa m o n gl o a dd a t aw i l ld i s t u r bl o a df o r e c a s t i n ga n dl o a df e a t u r e a n a l y s i s t h i sp a p e ri l l u s t r a t e dt h ei n f l u e n c eo fd i f f e r e n tl e v e ln o i s eo np r e d i c t a c c u r a c yt h r o u g ht h ec h a o t i cs y s t e mo fl o g i s t i cm a p s ot h el o a d d a t em u s tb e c o r r e c t e da n ds m o o t h e db e f o r eu s i n ge s p e c i a l l yf o rc h a o t i cm e t h o d p r o c e s s e db yt h e m e t h o dt h r o u g ha d j u s t i n ga m p l i t u d eo f t h e i rw a v e l e tm o d u l u sm a x i m aa n dp r o c e s s i n g t h ew a v e l e td e c o m p o s e dd e t a i ls i g n a lb ys o f tr i g o r o u ss u r et h r e s h o l db a s e do n w a v e l e ta n a l y s i sa n ds i n g u l a r i t yt h e o r y , f a u l td a t eb ee l i m i n a t e d t h er e a lh i s t o r i c a l i n f o r m a t i o na n dr e g u l a t i o nd a t ac a nb eg a i n e df o rl o a df o r e c a s t i n g a tt h es a m et i m e n o i s e sa r er e m o v e d t h ev a l i d i t yo ft h em e t h o di sp r o v e db yt h ea p p l i c a t i o ni nt h e o n e - r a n kl o c a l - r e g i o nm e t h o d l o c a ll i n e a rr e g r e s s i o nm e t h o dw a sw i d e l yu s e di nc h a o t i cp o w e rs y s t e ms h o r t t e r ml o a df o r e c a s t i n g b u tt h e r ea r et w os h o r t a g e si nt h em e t h o d f i r s t , t h ep r e d i c t i o n a c c u r a c yi ss e n s i t i v et ot h ee m b e d d i n gd i m e n s i o n s t h ep r e d i c t i o ne r r o rb e c o m e l a r g e ra n dt h ea l g o r i t h mb e c o m eu n s t a b l ei ft h ee m b e d d i n gd i m e n s i o ni sn o tc o r r e c t s e c o n d , r o b u s t n e s so f t h em e t h o di sp o o rb e c a u s et h ei l l n e s s s t a t em a t r i xi ss e n s i t i v e t on o i s ew h e nt h em o d e li sl i n e a r i z 缸a na d a p t i v e s e l f p r e d i c t i o nf i l t e rw a sp r o p o s e d 一3 - t oa v o i dt h ei n f l u e n c eo fi l l n e s s s t a t e m a t r i x , w h i c h u s e st h em i n i m u m s q u a r e - r o o t - e r r o rc r i t e r i o na n dt h es t e e p e s td e s c e n tp r i n c i p l e t h er e s u l t so ft h e s h o r t - t e r ml o a df o r e c a s t i n gf o ra l la c t u a lp o w e rn e t w o r ks h o w st h a tt h ep r e s e n t e d m e t h o di ss t a b l ea n dr e l i a b l e k e yw o r d s ：w a v e l e t 扛a n s f o r m , s i n g u l a r i t yd e t e c t i o n ，c h a o s ，p h a s es p a c e r e c n n s u u c t i o n , s h o r tt c r r nl o a df o r e c a s t i n g t h em i n i m u ms q u a r er o o te r r o rc r i t e r i o n , n o n l i n e a ra d a p t i v ep r e d i c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤壅盘生或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：辛矽矗乙签字日期： 伊6 年 月玎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘鲞盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：卜蔷6 乙 签字日期：伊6 年，月彳日 导师签名：徽灰逛 签字日期：伽口年z 月讶日 天律大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 电力系统短期负荷预测研究的意义及现状1 】 负荷预测是根据历史负荷值，在满足一定精度的情况下决定未来某特定时刻 的负荷值。根据不同的预测目的，负荷预测分为超短期、短期和中长期的预测。 一般说来，一小时以内的负荷预测为超短期负荷预测，用于安全监视、预防性控 制和紧急状态处理g 日负荷预测和周负荷预测为短期负荷预测，分别用来安排日 调度计划和周调度计划，包括确定机组的起停、水火电的协调、联络线交换功率、 负荷经济分配、水库调度和设备检修等。电源规划和发展时，需要数年至数十年 的长期负荷预测。电力系统负荷预测是实现电力系统安全、经济运行的基础，对 一个电力系统而言，提高电网运行的安全性和经济性，改善电能质量，都依赖于 准确的负荷预测。 随着改革的不断深化，电力系统也需要适应市场需求，降低发电成本，提高 竞争能力。为此，1 9 9 8 年政府决定在电力工业引入竞争机制，计划从2 0 0 1 年至 2 0 1 0 年在厂网分开的基础上建立起规范、竞争、有序的发电市场。2 0 1 0 年后再 在营销环节逐步引入竞争机制。各发电厂需要按各自的上网电价竞价发电以达到 节省能源、降低总发电量、逐步引入竞争机制，各发电厂需要按各自的上网电价 竟价发电以达到节省能源降低发电成本的目的。随着电力企业内部电力市场的建 立和发展，企业的效益问题成为企业管理者首要关注的问题。企业的各项工作均 服务于提高企业经济效益，促进企业发展。在电力企业中，负荷预测的结果直接 影响着企业的经济效益。负荷预测是电力市场中的重要的基本数据，在满足用户 用电的同时可以减少电能成本和电价，负荷侧对经济效益的影响更加直接，从而 显得益发重要。负荷预测是实现电力市场的必要条件，具有重要的理论意义和实 用价值。本文基于电力系统负荷特性的分析主要研究了基于混沌理论的短期负荷 预测系统算法的改进和实现。 为了更好地为电力市场运营服务，一般省电网公司要求各地区供电公司每天 上报第二日的负荷预测数据，而且要对其提供的负荷预测数据进行考核排名，若 预测的准确性太差，则要进行相应的惩罚，所以在现场中，各供电公司对负荷预 测的工作都十分重视。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 在长期的实践中，人们开发了许多负荷预测的方法，主要有以下几种： ( 1 ) 时间序列法 时间序列法是对给定的一定时间的历史负荷记录，提取出基本负荷分量、 天气敏感负荷分量和特别事件负荷分量后，剩余的残差即为各时刻随机负荷分 量，可以看成是随机时间序列。目前最有效的方法是b o x j e n k i n s 的时间序列法， 可分为五种不同的模型： 1 ) 自回归( a r ) 过程 2 ) 动平均( m a ) 过程 3 ) 自回归动平均( a r m a ) 过程 4 ) 积分型自回归动平均过程 5 ) 用传递函数建模的序列 其中a r 、m a 、a r m a 过程的时间序列被称为平稳过程( 其均值和协方差不随 时间变化) ，如果实际负荷序列是非平稳的过程，可对这个序列进行差分，变成 平稳随机过程。在实际应用中，一般采用a r 模型，它的建模速度高。 ( 2 ) 回归分析法 回归预测是根据负荷过去的历史资料，建立可以进行数学分析的数学模型， 对未来的负荷进行预测。其特点是将预测目标的因素作为自变量，将预测目标作 为因变量。回归分析法中，自变量是随机变量，因变量是非随机变量，根据给定 的多组自变量和因变量资料，研究各种变量之间的相互关系。利用得到的经验回 归方程式来表示变量之间的定量关系，预测系统将来的负荷值。 ( 3 ) 模糊预测法 应用模糊逻辑和预报人员的专业知识将数据和语言形成模糊规则库，然后 选用一个线性模型逼近非线性动态的系统负荷。从实际应用来看，单纯的模糊方 法对于负荷预测，精度往往不尽如人意，这主要是因为模糊预测没有学习能力， 这一点对于不断变化的电力系统来说，是极为不利的。 ( 4 ) 人工神经网络法 利用人工神经网络( a n n ) ，选取过去一段时间的负荷作为训练样本，然后 构造适宜的网络结构，用某种训练算法对网络进行训练，使其满足精度要求之后， 用a n n 作负荷预测。一般而言，a n n 应用于短期负荷预测要比应用于中长期负 荷预测更为适宜，因为短期负荷变化可以认为是一个平稳随机过程，而长期负荷 预测与国家或地区的政治、经济政策等因素密切相关，通常会有些大的波动，而 并非是一个平稳随机过程。 ( 5 ) 灰色模型法 灰色系统理论将一切随机变化量看作是在一定范围内变化的灰色量，常用累 天律大学硕士学位论文 第一章绪论 加生成和累减生成的方法，将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的生成数据 列。用灰色模型( g m ) 的微分方程作为电力系统单一指标( 如负荷) 的预测时， 求解微分方程的时间响应函数表达式即为所求的灰色预测模型，对模型的精度和 可信度进行校验并修正后，即可据此模型预测未来的负荷。此法适用于短、中、 长三个时期的负荷预测。在建模时不需要计算统计特征量，从理论上讲，可以使 用于任何非线性交化的负荷指标预测。但其不足之处是其微分方程指数解比较适 合于具有指数增长趋势的负荷指标，对于具有其它趋势的指标则有时拟合灰度较 大，精度难以提高。 ( 6 ) 专家系统法 所谓专家系统法，是对数据库里存放的过去几年的，每小时的负荷和天气数 据进行细致的分析，从而汇集有经验的负荷预报人员的知识，提取有关规则，按 照一定的规则推理进行负荷预测。专家系统是对人类的不可量化的经验进行转化 的一种较好的方法。若能将它与其他方法有机地结合起来，构成预测系统，将可 得到满意地结果。但专家系统分析本身就是一个耗时的过程，并且某些复杂的因 素( 如天气因素) 即使知道其对负荷的影响，但要准确、定量地确定他们对负荷的 影响也常常是很困难的事。 ( 7 ) 小波分析法 小波分析是一种时域一频域分析法，它在时域和频域上同时具有良好的局部 化性质，并且能根据信号频率高低自动调节采样的疏密，它容易捕捉和分析微弱 信号以及信号、图像的任意细小部分。其优点是：能对不同的频率成分采用逐渐 精细的采样步长，从而可以聚集到信号的任意细节，尤其是对奇异信号很敏感， 能很好的处理微弱或突变的信号，其目标是将一个信号的信息转化成小波系数， 从而能够方便地加以处理、储存、传递、分析或被用于重建原始信号。这些优点 决定了小波分析可以有效地应用于负荷预测问题的研究。 ( 8 ) 组合预测法 组合有两层含义：一是从几种预测方法得到的结果中选取适当的权重加权 平均；二是指在几种预测方法中进行比较，选择拟合度最佳或标准偏差最小的预 测模型进行预测。对于组合预测方法也必须注意到，组合预测是在单个预测模型 不能完全正确地描述预测量的变化规律时发挥作用。一个能够完全反映实际发展 规律的模型进行预测完全可能比用组合预测方法预测效果好。该方法的优点是： 优选组合了多种单一预测模型的信息，考虑的影响信息也比较全面，因而能够有 效地改善预测效果。缺点是：权重的确定比较困难；不可能将所有在未来起作用 的因素全包含在模型中，在一定程度上限制了预测精度的提高。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 混沌理论简介 混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中不需附加任何随机 因素就可出现的类似随机的行为。混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤 其是在计算机技术出现和普遍应用的基础上发展起来的- - i _ 】新兴学科【2 】。混沌学 被认为是继相对论和量子力学问世以来，上世纪物理学的第三次革命；是非线性 现象的核心问题【3 】。混沌之所以受到学术界如此广泛的重视，主要是因为在现代 的物质世界中，混沌现象无处不在，大至宇宙，小至基本粒子。无不受混沌理论 的支配。如气候变化会出现混沌，数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社 会学、音乐、体育中也存在混沌现象。因此科学家们认为，在现代科学中普遍存 在的混沌现象，打破了不同科学间的界限，混沌科学是涉及系统总体本质的一门 新兴科学【4 1 。 混沌研究提出了一些新问题，他向传统的科学提出了挑战。如，“决定论非 周期i i ；【习”，即确定性系统中有时会表现出随机行为，这一论点打破了拉普拉斯 决定论的经典理论，以至于连根深蒂固的牛顿力学也受到了它的冲击。美国数学 家彭加莱( p o i n c a r e ) 及洛伦兹( l o r e n z ) 的发现表明，在复杂性面前，牛顿力 学也是无能为力，从而拉开了混沌研究的序幕，使混沌的研究成果给自然科学的 一些最基本概念，如确定性、随机性、统计规律等注入了新的含义，进而也给一 些更普遍的哲学范畴如因果、机遇等赋予了新的含义。同时数学中的动态系统理 论、分叉理论、遍历性理论和分形几何学等都在混沌研究中起着不可替代的作用。 实际上，混沌科学的研究也表明了，现实世界是一个有序与无序相伴、确定性与 随机性统一、简单与复杂一致的世界，而那种只追求有序、精确、简单的观点是 不全面的。 从本质上讲，混沌是直接研究我们看得见摸得着的宇宙，以及在人类本身的 尺度大小差不多的对象中发生的过程，所有日常生活经验与这个世界的真实图像 都是我们研究混沌时所探索的目标。因此混沌是一种关于过程的科学而不是关于 状态的科学，是关于演化的科学而不是关于存在的科学【6 】。混沌中蕴含着有序， 有序的过程也可能出现混沌。大自然就是如此纵横交错，如此复杂，包含着无穷 的奥妙。因此对混沌科学的进一步研究将使我们增加对自然界更深刻的理解，对 一切复杂现象都遵循着的新规律有一个更深刻的认识。 传统上，“混沌”常常用它来描述混乱、乱七八糟、杂乱无章等状态，从这 个意义上讲，它与无序的概念相同。但在中国古代，混沌有时又指宇宙之初物质 天津大学硕士学位论文第一章绪论 隹警y 仆- ， 天津大学硕士学位论文第一章绪论 动力学系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌态的。从此，对混沌理论的研 究便进入了新的时期。吸引子3 维图形如图1 - 1 所示，其中6 = ， 仃= 1 0 ，= 2 8 。 圈i - 1l o r e n z 吸引子 1 9 6 4 年，法国天文学家伊侬饵e i l o n ) 从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得 到启发，给出了下面的h e i l o n 映射 j “2 1 + 砂”一( 1 - 2 ) 【只“2 工一 在上述方程中，当参数b = 0 3 ，改变参数a 时，发现其系统运动轨道在相空间中 分布似乎越来越随机。伊侬得到了一个最简单的吸引子，并用它建立了“热引力 崩坍”理论，解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。h e i l o n 吸引 子相图如图1 2 所示，其中a = 1 4 ，b = 0 3 。 图l - 2 i 吸引子 1 9 7 1 年法国物理学家芦厄勒( r u e l ld ) 和荷兰数学家塔肯斯( ，i 钛c n sf ) 为 耗散系统引入了“奇异吸引子”这一概念，发现了混沌现象，提出了一个新的湍 天津大学硕士学位论文第一章绪论 流发生机制，以揭示湍流的本质。 1 9 7 5 年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克( y o r k ej ) 在美国 d 。实际工作中需要具体确定嵌入维数m 。加不宣过大或 过小，m 过大，减少可使用数据长度，增加计算工作量，使重构空问中的相点过 于稀疏，甚至可能由于多余维数而引入噪声干扰，相应增大预测误差。所过小， 嵌入空间无法容纳动力系统的吸引子，因而无法全面展现系统的动力特性。 2 3 1 饱和关联维数法 简称g p r z 3 】算法，是常用的确定嵌入维数m 的方法。 关联维数是对相空间中吸引子复杂程度的度量，同时也是混沌识别的一种方 法。对于随机序列，随着嵌入维数的升高，关联维数沿对角线不断增大；而对于 混沌序列，随着嵌入维数的升高，关联维数会出现饱和现象。因而可以根据关联 维数是否具有饱和现象来区分混沌与随机序列。此方法即为饱和关联维数法。 天津大学硕士学位论文第二章混沌时间序列特征分析及预测概论 考察m 维相空间中的一对相点： 地) = ) ，也，h x 以帕) r ) ) ( 2 - 1 1 ) 也) = b 也j 如，+ ，l ，工b 如一) r ) ) ( 2 1 2 ) 设它们之间的距离，即欧氏模为吩) ，显然勺) 是相窑间维数册的函数， 即 吩b ) = ) 一地l ( 2 - 1 3 ) 给定一临界距离，距离小于，的点对数在所有点对中所占比例记为c ( ，聊) c 。嗣1 ，游0 一i i 薯刮 ( 2 - 1 4 ) 式中，n 为总相点数，日( ) 为h e a v i s i d e 函数，定义如下： h f x ) = 1 o “【0 , x ，砟是平均轨道周期。 c c 法研联合考虑了延迟时间f 和嵌入维数，l ，可同时计算出f 和嵌入窗 宽o 。该法通过序列的关联积分来构成统计量，统计量代表了非线性时间序列 的相关性a 通过统计量和延迟时间的关系图来确定f 和嵌入窗宽f 。，从而确定出 嵌入维数。定义统计量： s ，n , r ，f ) = c 向， f ) 一c ”( 1 ，n , r , t )( 2 1 8 ) 把时间序列洮l 扛1 ，2 ，) 分成f 个不相交的时间序列，f ：l 为单个时间序列 銮苎：。：黧丝l 警卜，以一一) 和龇l 地卜，工“) ，长度为，对r 个不相交的时间序列，则 s 如，吖) = ；骞b ，) 一。( 1 ，明 ( 2 ，) 如果序列是独立同分布的，对固定的聊和r ，当寸o o ，对所有的r ，均有s 似，f ) 恒等于零但实际序列是有限的，因此一般s b ，f ) 不等于零。定义关于r 的最 大偏差： s ，) = m a x 括b ，o ，f ) j m i n 毋b ，o ，f ) j ( 2 2 0 ) 一般地，m ，的选择有一定范围。当2 m 5 ，o 2 s ，2 盯，n - 5 0 0 时( 仃指时间序列的均方差或标准差) ，渐近分布可以通过有限序列很好的近似。 具体计算时，取册= 2 , 3 ，4 ，5 ，= i o 2 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 。计算统计下列三个统计量： i ( r ) ；去丕善4 s 白，r ) i ( f ) = 耋鲥，r ) ( ，) = 研) + 艮1 ( 2 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) ( 2 2 3 ) 最佳延迟时间对应西) 的第一个零点，或- ( f ) 的第一极小值，o ) 最小值 天津大学硕士学位论文第二章混沌时间序列特征分析及预测概论 对应的时问为最佳嵌入窗宽o 。 2 4 混沌时间序列的特征量 混沌吸引子的特征量是刻画吸引子某些方面特征的定量指标，包括表征系统 复杂程度的估计量吸引子维数；表征系统混沌水平的k o l m o g o r o v 熵；以及 系统的特征指数i y a p l m o v 指数。 2 4 1 吸引子维数 维数是空间和客体的重要几何参数，状态空间的维数反映了描述该空间中 运动所需的合适的变量个数，吸引子维数说明刻画该吸引子所必需的信息量。简 单吸引子如固定点、有限环等所测得的维数通常为整数，但对于混沌吸引子来说， 由于是分形结构，不存在特征尺度，混沌吸引子通常是分数维。分数维定义为【2 5 】 删= 姆铡( 2 - 2 4 ) 其中j 是以维空间的子集，m 0 ) 是覆盖j 所需的边长为f 的盯维立方体的最小数 目。 2 4 2 l y a p u n o v 指数 它是描述动力系统状态演变的一个量化指标，用来度量该系统相空间中近邻 轨线之间发散速率，或者刻画解析解对初始条件的敏感依赖程度，是混沌解性质 的定量标志。只要有一个l y a p u n o v 指数大于零，这条相空间轨道就可能是混沌 的。 2 5 混沌时间序列的预测方法 混沌运动具有确定性，即服从一定的规律。由于混沌系统的“蝴蝶效应”， 混沌时间序列的长期行为是不可预测的，但它具有有限的预测能力。短期以内， 系统运动轨道发散较小，从而利用观测资料进行短期预测是可行的。延迟相空间 重构方法为混沌时间序列的预测提供了有效途径。 对于混沌时间序列k ，嵌入维数m ，延迟时间f ，相空间相点为： 嘶) = g n m + f 】，撕+ b 一1 ) ) ) r ”( f = 1 , 2 ，n ) ( 2 2 5 ) 天津大学硕士学位论文第二章混沌时间序列特征分析及预测概论 其中为相点总数。相轨道的演化可映射为 y ( f + 1 ) = ，( r ( f ) ) ( 2 - 2 6 ) 从拟合相空间轨道的方式大体上可分为全域法和局域法。全域法指将轨道中 的全部相点作为拟合对象，找出其中的映射规律，即( 2 2 6 ) 式中的厂，此预测 相轨道的未来走向。这种方法在理论上是可行的，但由于实际数据有限，而且相 空间轨道很复杂，不可能求出真正的拟合关系，。全法的计算比较复杂，特别是 嵌入维数很高或很复杂时。由于混沌行为的非线性，厂常取多项式、有理式等， 对较高嵌入维的系统，用高阶多项式很不实际。局域法是把相空间轨迹的最后一 点作为预报点，把离预报点邻近的若干相点的关系作出拟合，再对预测相点的未 来演化规律进行预测。局域预测法在大多数情况下适用。 2 5 1 一阶局域回归预测法 电力系统负荷数据是以一定时间采样而得到的离散时间序列，并且已经证明 该序列是混沌性质的。故可以采用混沌时间序列的方法来处理电力负荷时间序 列。本文采用文献口6 1 提出的一阶局域预测法，对负荷序列 x o l i = 1 ，2 ，n ，由 相空间重构理论可以得到在m 维重构相空间中的相点为： z ( f ) = g ( f l z ( f r ) ，工o 一一1 ) f ) ) ( 2 - 2 7 ) t = m 一1 ) r + l ，m 一1 ) r + 2 ，n 式中f 为时滞；m 为嵌入维数。 在相空间的短期演化过程中，假设预测点石( f + 1 ) 和其k 个最邻近点 x ( f ) ，f _ 1 , 2 ，k 的演化过程遵循相似的规律，则由此假设，可以从k 个邻近状态 x ( o ，i = 1 , 2 ，七的演化中寻找出统计规律。由于冲击负荷和随机干扰的存在， 往往导致所找到的邻近点并不是真正的最近点，即出现伪临近点。自然所找到的 吸引子的演化规律不是最相似的了。严重情况就会出现前文所说的混沌吸引子崩 溃。本文通过消除冲击负荷和随机干扰正是为了找到真实的最贴近的演化规律。 假设石o + 1 ) 和z ( f ) 服从下面的线性关系x ( i + 1 ) = a + b x x ( i ) ( 2 - 2 8 ) 由x ( f + 1 ) 和x o ) 的值，运用最小二乘法估计出向量爿和雅克比阵b 的数值，再 把彳、占和z ( r ) 代入式( 2 2 8 ) ，即可求出x ( f + 1 ) ，然后从相空间展成时间序列的 形式，最后得到要预测的值础+ 1 ) 。 2 5 2 l y a p u n o v 指数预测法 我们知道l y a p u n o v 刻画相体积收缩与膨胀过程中的几何特性。故l a p u n o v 指数是个很好的预报参数。预测模型为： 天津大学硕士学位论文第二章混沌时间序列特征分析及预测概论 2 护：嗡爿 ( 2 - 2 9 ) 其中 是最大一维l y a p i l l l o v 指数的估计值，r 为预测步长，e 是状态k 的最 邻近状态。 2 6 混沌时间序列的可预测时间长度 由于混沌行为奇怪吸引子的存在，其短期行为是可预测的；但由于对初始条件 的极端敏感性，其长期行为是不可预测的【2 ”。混沌时间序列的可预测时间究竟有 多长? 对于混沌系统，当系统从时刻t 。演化到时刻“+ l 五时，二轨道初始距离 为以的相邻相点的轨道距离以，会增加到初始距离的p 倍，即以= e d 。很多 文献把混沌序列的最大预测时间长度定义为最大l y a p u n o v 指数的倒数，即 t = x = l 。或者根据与l y a p u n o v 指数密切相关的k o l m o g o r o v 熵来定义平均可 预测时间( 瓦，= l k ) 。有研究表明，单纯以最大l y a p u n o v 指数的倒数定义最 大预测时间长度，而不考虑具体对象、序列长度以及噪声水平等因素对预报时间 的影响，则是不可取的。对于不含噪声的纯净序列，序列越长，预测精度越高， 预测精度随步长下降越慢，当序列足够长时，即使对于较长预见期的多步预测， 仍可以取得相当高的预测精度。对于含噪声的序列，预测精度随步长的增加迅速 呈指数衰减，并且序列的长度基本对预报时间不产生影响，而噪声水平越高，可 预测的时间长度越短。文【2 8 】采用改进的最大预测时间长度： ? 眦= ( 1 ) o n b ( f j 占) ) ( 2 - 3 0 ) 式中s 扛) 为允许的预测误差，占为初始测量误差。 天津大学硕士学位论文第三章小波变换基本理论 3 1 引言 第三章小波变换基本理论 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是8 0 年代后期发展起来的一门新兴学科，它是 傅里叶( f o u r i e r ) 变换的发展结果。由于小波变换在时域和频域同时具有良好的局 部化性质，人们可以对对象的任何细节加以分析，所以称之为“数学显微镜”。 傅里叶交换只是一种纯频域的分析方法，它所反映的是整个信号全部时间下 的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息。为了研究信号在局 部时间范围的频域特征，1 9 4 6 年g a b o r 提出了著名的g a b o r 变换，之后又进一 步发展为短时傅里叶变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ，简记为s t f t ，又称为加 窗傅里叶变换) 。但由于s 呵的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和 频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号是不利的。此外，在进行数值计 算时g a b o r 基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，因而给数值计算带来了不 便，这些是g a b o r 变换的不足之处，但恰恰是小波变换的特长所在 2 9 1 。 小波变换的思想来源于伸缩和平移方法，它不仅继承和发展了s n 呵的局部 化思想，而且克服了窗口大小不随频率变化，缺乏离散正交基的缺点，是一种比 较理想的进行信号处理的数学工具【2 明。目前小波分析方法在许多领域得到了广泛 的应用。 3 2 短时傅立叶变换口”1 】 对频域特性随时间变化的非平稳信号用傅里叶变换进行分析是不适合的。因 为傅里叶变换只在频域有局部分析能力，而在时域不存在这种能力，我们虽然可 以知道信号含有的频率信息，但不能知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段 上。为了克服它的局限性，即而出现了短时傅里叶变换或g a b o r 变换。 为了研究信号在局部范围的频域特征，1 9 4 6 年d e n n i sg a b o r 提出了加窗傅 里叶变换，其基本思想是，取时间函数g q ) = 石- 1 “p 一“作为窗口函数( 如图3 1 ( a ) 所示) ，用g ( t - f ) 同待分析函数( 称信号为函数) ，( ，) 相乘，然后再进行傅里叶变 换 天津大学硕士学位论文 第三章小波变换基本理论 g ，f ) = i f ( t ) g ( t f ) e - m d t = ( f ( t ) 爵，( r ) ) 其中 g o ，( f ) = g ( f r ) e 一7 科= g o r 弦7 一 称上式为窗口函数g ( ，) 的窗口傅里叶变换或g a b o r 变换。 j g ( 功 i2。 ( a ) 时域波形( b ) 频域波形 图3 1g a b o r 变换窗口函数的时、频波形 ( 3 一1 ) ( 3 2 ) t 南g a b o r 变换得知，g ，( 哆，f ) 表示的是厂( f ) 的以f 为中心，左右为f 局部时 间内的频谱特性( 如图3 - 1 ( a ) 所示) ，窗口宽度f 的大小决定了时间域的分辨率。 式( 3 一1 ) 中g ，( 万，f ) 实际上是，) g ( ，一f ) 的傅氏变换，设g ( 珂) 为窗口函数g o ) 的傅氏变换，其形状如图3 1 ( b ) 所示。则 g ，( 巧，r ) = - - 去f ( w ) g ( 巧) e 一一f ( 3 - 3 ) 可知在f = f 0 时，g ，何，) 实际上描述的是信号频谱f p ) 经频域窗 g ，碡一w r o 卷积平滑后的结果。其平滑对原函数频谱f ( 口) 的影响由g 细) 的窗 1 2 12 a w 决定，因此窗1 ：3 函数g ( r ) 的频域窗口2 a w 的大小又决定了g a b o r 变换的 频域分辨率。 g a b o r 变换同时提供了信号的时域和频域信息，它是一种时频分析的方法， 但是，它的局限性在于当窗函数g ( ，) 选定之后，它的时频分辨率就固定了，由窗 口函数的时频域窗口大小直接决定。一个较窄的窗函数对信号的高频成分有很好 的分辨力，对信号的低频成分分辨力较弱；而一个较宽的窗函数对信号的低频成 分分辨力较强，对高频成分分辨力较弱。那么是不是能找到一个窗函数其时间分 辨率和频率分辨率都很高? 海森堡的“测不准原理”表明，窗函数的时间分辨 率与频率分辨率是相互制约的。时间分辨率越高，频率分辨率就越低，反之亦然。 对于我们要分析的非稳态信号来说，也许某一小时间段上是以高频信息为主，我 们希望用小时间窗进行分析，而在紧跟着的一个长时间段上是一些低频信息，我 天津大学硕士学位论文第三章小波变换基本理论 们希望用一个大时间窗进行分析，因此对于一个时变的非稳态信号，很难找到一 个“好的”时间窗口来适合于不同的时间段。 此外，还可以证明，无论如何离散化，都找不到r 俾) 上的离散正交基，为 了不丢失信息，在信号分析中必须采用非正交的冗余基，增加不必要的计算量和 存储量，这些缺点限制了s t f t 变换的应用。如何选取一个灵活的时频窗使信号 在高频区具有较高的时间分辨率，在低频区具有较高的频率分辨率? 这一问题促 成了小波分析的发展。它继承和发展了s t f t 的局部化思想，同时又克服了窗口 大小不随频率变化，缺乏离散正交基等缺点，是进行信号时频域分析的理想数学 工具。 3 3 小波变换及其基本性质 3 3 1 连续小波变换 v i ( or c r ) ，( ，) 的连续小波变换( 有时也称为积分小波变换) 定义为： w r i ( n ，6 ) 坩i i ”，g 畋等，删 4 j 或用内积形式：聊，( 口，b ) - - w ，。j ) ( 3 5 ) 式中儿朋= l 口i “2 y ( 等) 要使逆变换存在，妒o ) 要满足允许性条件： q = 铮 o 。 ( 3 - 6 ) 式中矿j 起矿( f ) 的傅里叶变换。 这时，逆变换为 ，o ) 2 掣儿一。蚂o ，啪亭 ( 3 - 7 ) 巳这个常数限制了能作为“基小波( 或母小波) ”的属于r 伍) 的函数y 的类， 尤其是若还要求j f ，是一个窗函数，那么 f ，还必须属于f ( r ) ，即 枷 o 。 。 性质4 ( 冗余性) ：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续 小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数虬。o ) 存在许多 可能的选择。尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析 和解释小波变换的结果的困难。 3 3 2 连续小波的禹散化 由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对 变换域的变量a ，b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取 6 = 多，口- 古。j i z ，这时 虬，( ，) = 。( f ) = 2 m g ( 2 1 t 一七) 常简写为：g s 。( ，) 。 变换形式为：伟t ，( 参，多 = ( ，y m ) 为了能重构信号，( f ) ，要求j l 。| z 是r 陋) 的戳e s z 基。 定义3 1 一个函数矿p 伍) 称为一个r 函数，如果讥。l ，。在下述意义上是一 r i s e z 基：i t s 。，kez 的线性张成在r ( r ) 中是稠密的，并且存在正常数a 与 b ，0 a b i 。 o ( 3 - 3 5 ) 口口 7 贝l j g 。o ) 表示函数g o ) 在尺度因子口下的伸缩，由于小波变换就是通过将原信号 天津大学硕士学位论文第三章小波变换基本理论 f ( t ) 同伸缩小波卷积得到的，以y 1 为小波函数，函数( r j 在尺度因子a ，位置 为坎b 的卷积型小波变换定义为： 砑朋= 幸一( ，) = i l l s ( af 矿( 等卜 ( 3 - 3 6 ) 口 ， 对应于2 0 ) 的小波变换为： 叼2 厂( ，) = 厂+ 以习= 三a j 二厂( ：i 渺2 ( 等p f ( 3 3 7 ) 一 、alv j | 叼1 ( ，) = ，事( 口d 西o o ) c 、，) = 疗丢u 奉见) ) ( 3 - 3 8 ) 畔侧妒( 口2 争) ( ，) = 口2 嘉u 由于口o ) 可以看成是由低通平滑函数口( f ) 在尺度因子口下对函数，o ) 进行平 滑的结果，由式( 3 3 8 ) 和( 3 3 9 ) 得知，小波变换嘭s q ) ，砑厂o ) 可分别理 解为函数厂( f ) 在在尺度因子口下经平滑后的一阶、二阶导数。若取口o ) 为三次样 条，口0 ) 、妒1 ( f ) 和妒2 ( f ) 的波形分别如图3 - - 4 0 ) ，( b ) ( c ) 所示，函数o ) 及其在小波 基y 1 0 ) 和2 0 ) 下的二次卷积型小波变换如图3 - 4 所示。 图3 - 4 口o ) 、y 1 0 ) 和y 2 ( f ) 的波形 天津大学硕士学位论文第三章小波变换基本理论 嘤s q ) = 嘭2 厂( ，) = 图3 - 5 函数厂( f ) 及其在小波基y 1 0 ) 、y 2 0 ) 下的小波变换 由图3 5 可知，i 叨厂o 】的