（电工理论与新技术专业论文）平行轴永磁齿轮的特性研究.pdf

c h a r a c t e r i s t i c a n a l y s i s o fn o n - c o n t a c tp a r a l l e l a x e s a b s t r a c t p e r m a n e n t m a g n e t i c g e a r c h e n k u a n g - f e i d i r e c t e db yd uy u - m e i a san e w t y p em a g n e t i ct r a n s m i s s i o nm e c h a n i s m ，n o n - c o n t a c tp e r m a n e n t m a g n e t i c g e a rh a s s p e c i a lf i m c t i o nt h a tc a l lt r a n s m i tt o r q u ea n dp o w e rt oc l o s e da r e ab y m a g n e t i cf i e l dc o u p l i n g t h e r ei sn op h y s i c a lc o n t a c tb e t w e e nd r i v e rg e a ra n d p a s s i v e g e a ro f t h i st r a n s m i s s i o nm e c h a n i s m o n eo f t h ei m p o r t a n t p e r f o r m a n c e v a l u e so f n o n - c o n t a c tp e r m a n e n t m a g n e t i cg e a r i s t h ev a l u eo f t o r q u ea n dc h a n g ew h e n i tw o r k s t h em a x i m u mt r a n s m i t t a b l et o r q u ei s t h em o s t i m p o r t a n tp a r a m e t e rt h a ti l l u m i n a t e sa b i l i t y o fn o n c o n t a c tp e r m a n e n t m a g n e t i cg e a rt r a n s m i s s i o nm e c h a n i s m t h e r ea r em a n yp a r a m e t e r st h a t t h e y i n f l u e n c et h em a x i m u mt r a n s m i t t a b l et o r q u e ，s u c ha st h en u m b e ro f p o l e s ，t h er a t eo f l e n g t h a n d d i a m e t e r ，g a pa n dm a g n e t i c m a t e r i a le t c t h e s o t b c c a r e ，f o r e l e c t r o m a g n e t i c f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s ，i s u s e df o rt h e c h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i s t op e r f o r map a r a m e t r i cs t u d y , t h ei m p o r t a n td e s i g nv a r i a b l e s r e l a t e dt ot h ep e r m a n e n tm a g n e ta r es e l e c t e d a n dt h e nt h ei n f l u e n c eo ft h ed e s i g n p a r a m e t e r s0 i it h em a g n e t i ct o r q u ep e r f o r m a n c e si si n v e s t i g a t e d a tl a s t ，an e ws k e w p e r m a n e n tm a g n e t i cg e a ri s d e s i g n e d b a s e do nt h e s er e s u l t s ，t h em a g n e tg e a ri s d e s i g n e da n dv e r i f i e db yc o m p a r i n g t h ea n a l y s i sr e s u l tw i t ht h ee x p e r i m e n t a ld a t a k e y w o r d s ：n o n - c o n t a c tp e r m a n e n tm a g n e t i cg e a r , t h ec h a r a c t e r i s t i c c u r v eo f t o r q u e - a n g l e ，t h em a x i m u m t r a n s m i t t a b l et o r q u e 2 第一章绪论 1 1永磁材料的特性及其应用 第一章绪论 磁性材料的使用最早可以追溯到公元前3 0 0 年的中国 5 】。磁性材料包括硬 磁材料、软磁材料、半硬磁材料、磁致伸缩材料、磁性薄膜、磁性微粉、磁性液 体、磁致冷材料以及磁蓄冷材料等。其中硬磁材料由于矫顽力高，经外部磁场磁 化到饱和并去掉外磁场后，仍能长期保持很强的磁性，因此硬磁材料又称为永磁 材料或恒磁材料。 永磁材料的磁性能较为复杂，可用多种曲线及特性参数表示其磁性能。其基 本特性曲线有磁滞回线、退磁曲线、磁能积曲线等。 与其它磁性材料一样，首先用磁滞回线来反映和描绘其磁化过程的特点和磁 特性，磁滞回线b = ，( 日) 表示磁钢中磁感应强度b 随磁场强度h 改变的特性。 在磁滞回线中，第二象限内的部分称为磁钢的退磁曲线，它表示的是永磁材料被 完全磁化后无外励磁时的b h 之间的关系。直线型退磁曲线如图1 - 1 所示。 表示永磁材料的主要特性参数有：剩余磁感应强度巨、磁能积( b h ) 及最大 磁能积( 跗) 一、磁感应矫顽力n o , 、内禀矫顽力也、剩磁感应强度温度系数、 矫顽力温度系数口。等。 剩余磁感应强度且是指永磁材料经外部磁场磁化到饱和并去掉外部磁化场 后，永磁材料本身具有的磁感应强度。从永磁材料应用的角度看，剩余磁感应强 度越大越好。 磁感应矫顽力皿是指永磁材料在饱和磁化后，使其剩余磁感应强度降到零 时所需要的反向磁场强度，也就是退磁曲线与横坐标轴的交点。永磁材料的矫顽 力代表着它抗外磁场干扰的能力，矫顽力越高，抗外磁场干扰的能力就越强。 永磁材料在饱和磁化的条件下，当剩余磁化强度m ，降低到零时的磁场强度 值称为内禀矫顽力。内禀矫顽力的大小与稀土永磁体的温度稳定性有着密切的关 系。内禀矫顽力越高，永磁体的工作温度也可以越高。 平行轴永磁齿轮的特性研究 永磁材料的功能是在磁极间气隙中建立磁场，气隙中储存的单位体积能量可 用既= 1 b h 表示。因此退磁曲线上任一点处的b 和h 的乘积就为该点处的磁 能积。它表明了单位体积永磁体向外磁路所能提供的磁场能量。将退磁曲线上各 点对应的磁能积连成线，即可得到永磁体的磁能积与磁感应强度之间的关系，即 磁能积曲线。如图1 - 1 所示。 b 【) 酬曲y：线 h ci d0 ( b h ) 。 图1 - 1永磁材料的退磁曲线、磁能积曲线和最大磁能积 从磁能积曲线上可以看出，对应于耳点或见点，磁能积都等于零。而在曲 线上m 点，磁能积有最大值( 丑日) 。对于具有直线退磁特性的稀土永磁材料， 其最大磁能积可表示成： 1 ( 船阿) 。= 耳口疋 t 永磁材料磁化后，其内部就存贮了磁能。利用永磁体磁极间的相互作用和气 隙里的磁场可以实现机械能等和电磁能的相互转换，可做成多种多样的功能器 件。人们对永磁材料的利用大体上分两个方面：利用永磁材料产生的磁场： 利用永磁磁场的力学行为。例如： 利用磁场与运动导线的相互作用，将机械能或声能转变为电能或电信 号。如制造发电机、话筒、传感器等； 利用磁场与载流导线的相互作用制造各种永磁电机，将电能或电信息转 变为机械能、声能或非电信息。诸如音圈电机( v c m ) 、步进电机以及 扬声器、耳机等； 利用磁极间的相互作用可实现磁传动、磁悬浮、磁起重、磁分离等 第一章绪论 利用磁场与带电粒子的相互作用做成各种微波功率器件，如微波通讯中 的行波管、返波管、环行器等； 利用磁场对物质作用产生的各种物理效应，如磁共振效应、磁化学效应、 磁生物效应、磁光效应、磁霍耳效应等，制造核磁共振成像仪以及使宏 观物质( 包括固态、液态和气态) 磁化以改变物质内部结构或它们键合 力的性质与状态。如制造磁水器、磁防蜡器、磁疗器等等。 永磁材料的生产和开发应用程度是当代国家经济发展程度的标志之，永磁 材料的家庭平均使用量又常被用来作为衡量现代国民生活的标准。2 0 世纪8 0 年 代，以钕铁硼( n d f e b ) 为代表的永磁材料的发明，使得永磁材料的性能飞速提 高，永磁材料在石油、化工、仪器仪表、食品加工、医疗器械、海洋、航天航空、 核物理、激光、计算机、网络信息、通讯、交通、办公自动化等领域的应用越来 越广泛。 1 2 课题的背景及意义 永磁材料在充磁之后，即具有了磁性，并形成了n 、s 两极和建立外磁场的 能力。利用磁钢磁极间同性相斥、异性相吸的相互作用，人们研制了各种无接触 式磁力传动机械，如磁性连轴器、磁悬浮列车、永磁齿轮等。其中永磁齿轮是 2 0 世纪8 0 年代初发明的一种新型磁力传动机械。 2 0 世纪8 0 年代末期，国际上兴起了研制微型机械( 1 0 a m i m m ) 的热潮， 美国、日本、德国等发达国家相继投入了大量财力组织大学、研究所和企业进行 研究。由于用于微型机械的微型传动机构所采用的齿轮系统缺乏高精度加工，齿 轮间摩擦引起的能量损失带来了严重的传动问题。针对此问题，促使人们考虑采 用新的传动机构，以减小因摩擦引起的能量损失。由于永磁材料所产生的磁场可 实现动力的无接触传递，由此发明了微型无接触磁性齿轮。这种传动机构外形简 单，取消了传统齿轮的轮齿，主动磁轮与从动磁轮之间没有接触，而是通过磁场 间相互耦合作用产生的磁力来实现力矩和功率的传递。 由于这种非接触永磁传动具有向非导磁材料组成的封闭空间传递动力的特 种功能，所以医学研究人员提出用它作为人工心脏的驱动装置。2 0 0 1 年中国科 学院电工研究所和中国医学科学院提出了“体外永磁传动可植入式动力瓣人工心 平行轴永磁齿轮的特性研究 脏”的研究，目标是将永磁齿轮作为人工心脏的驱动装置。 人工心脏主要由血泵( 离心泵、轴流泵等) 及其驱动装置等组成。目前，人 i 心脏的驱动方式主要有五种，即机械、液动、气动、电动和磁力驱动。前三种 方式由于具有各种缺点，已被证明不适合作为植入式人工心脏的驱动装置。电动 和磁力驱动是近年来人工心脏驱动装置研究的焦点。 采用电动方式驱动，目前电能的输入主要采用以下两种方式： 通过经皮导线传导电力，它是通过一个植入在患者耳后的微型插 孔为人工心脏提供电力； 采用经皮电磁感应，将体外电力耦合入体内。 但以上电能输入中带来的如下一些关键问题，仍然未能解决： 存在经皮通道，容易感染； 采用电磁耦合，次级线圈在体内会引起发热，会使病人衰竭而死； 体内电池需定期更换。 因此，电动驱动方式并不是最好的选择。 如果采用非接触式动力传动方式，如永磁齿轮作为人工心脏的动力来源，则 可以避免一系列能量传递的中间环节，有利于简化装置的结构和提高稳定性，其 优点是： 永磁传动没有输入电能的经皮导线或输入空气的穿皮导管，因此不 存在皮肤穿口感染； 永磁传动是依靠磁场耦合将机械能输入体内，植入体内的部件不会 发热，即磁传动不会给人体增温； 有可能采用磁浮轴承，可减少机械轴承引起的血栓。 综上所述，如果能采用永磁齿轮作为人工心脏的驱动装置，其所具有的优点 是其它形式的驱动方式无法与其相比的。然而，虽然永磁齿轮从发明到现在已有 二十多年，由于技术与应用的脱节，尚缺乏对此系统深入、系统的研究，更未能 形成一套较成熟的设计理论。但对这种非接触式传动机构来说，由于它具有非接 触的特点，存在一定的应用潜力，作为人工心脏的驱动装置即是一例。但作为人 工心脏的驱动装置，其安全性、稳定可靠运行应是第一位的，一旦出了问题就是 人命关天的大事。永磁齿轮是否适用于人工心脏的驱动、是否能够满足其要求? 4 第一章绪论 这需要对永磁齿轮传动机构进行更深入、系统的研究和分析。 随着对永磁非接触齿轮传动的研究不断深入，永磁齿轮的应用领域将会拓 展，如可应用在工作环境中有易燃、易爆、易腐蚀或有毒污染等场合。特别对于 我国这样的稀土资源大国，研制出稀土永磁齿轮，会大大丰富稀土永磁的应用。 1 3 永磁齿轮的特点及其应用 机械齿轮传动的应用极为广泛，但长期以来其力矩传递的基本形式没有变 化，即始终是依靠两轮轮齿的啮合进行传动。这就给齿轮传动带来了一些不可消 除的问题，如磨损、噪音等，尤其是它无法进行非啮合式的空间上有间隔的传动。 人们试图寻找新的途径以解决这些问题，但收效甚微。1 9 9 1 年日本学者i k u t a 提 出了非接触式永磁齿轮，在一定程度上有助于解决以上问题。 永磁齿轮是利用耦合磁场进行磁力传动，具有很多优点： 1 永磁传动能实现无接触传动。永磁齿轮传动和其他磁力机械一样，是依 靠磁力传递动力，实现主动轴与从动轴的同步回转。 2 因为磁场能够穿过非导磁材料进行力矩和功率传递，所以，永磁传动适 宜用于向密封空间进行力矩和功率传递。 3 主动轮与从动轮是简单的圆柱体，不需要加工轮齿。 4 它是非接触传动且无需润滑，因而传动平稳、清洁、无摩擦能耗、无油 污、防尘防水等。 5 永磁齿轮的启动力矩较低并具有过载保护作用。 当然永磁齿轮也有缺点，比如传动力矩较小、易锈蚀等。 永磁齿轮的这些优点使它在石油、化工、仪器仪表、食品加工、医疗器械、 海洋、航天航空、核物理、激光等领域有较大应用潜能。特别是当工作环境中有 易燃、易爆、易腐蚀或有毒介质时，永磁无接触传动机构更显示出它的独到之处。 1 4 永磁齿轮的结构及其传动类型 永磁齿轮是利用磁场的相互作用设计的一种新型的传动机构，是磁力机械的 一个重要研究领域。永磁齿轮传动与普通机械齿轮传动类似，都是由电机作为原 动机带动主动轮旋转，并为从动轮提供转矩以带动负载，如图l - 2 所示。 平行轴永磁齿轮的特性研究 匝瑚7 膨轮 黼皿习 图1 - 2 永磁齿轮传动装置示意图 永磁齿轮的形状与普通机械齿轮的形状不同，它没有轮齿，而是由多个磁极 对组成的简单的圆柱体。永磁齿轮常见的基本结构形态为两种； 1 采用粘结型n d f o b 磁钢的环形齿轮，如图1 - 3 所示； 2 采用烧结型n d f e b 磁钢的凸极型齿轮，如图1 - 4 所示。 回凰 回固 图1 - 3 粘结型n d f e b 环形齿轮图卜4 烧结型n d f e b 凸极齿轮 当一对永磁齿轮工作时，它们各自的磁场相互耦合而产生磁作用力，从它们 的磁力线分布图1 - 6 上看，就像是一对普通机械齿轮相互啮合( 如图1 5 所示) ， 永磁齿轮也因此得名。 图卜5 普通机械齿轮传动圈卜6 磁粉模拟的磁力线分布 6 第一章绪论 同机械齿轮传动一样，永磁齿轮传动分外啮合传动、内啮合传动和齿轮齿条 传动。 外啮合传动是由一对圆柱磁体或圆环磁体构成，如图1 7 所示，其中每个柱 体均沿径向多极充磁。两柱体因异性相吸、同性相斥的缘故在静止时使两相异磁 极靠在一起，而当主动轮运动时，又因同样的原因带动从动轮运动。 图卜7 外啮台永磁齿轮 内啮合传动，如图1 8 所示，大齿轮必须是圆环体，其它则与外啮合传动相 同。图1 9 所示为齿轮齿条传动。其齿轮与外啮合传动中的齿轮相同，而齿条则 是一带状磁体，磁极沿长度方向均布。永磁齿轮的结构基本有两种，当齿轮尺寸 较大时，可用单极体拼装起来，而当尺寸较小时，则是用一整块磁体进行多极充 磁。 图i - 8 内啮合永磁齿轮 7 平行轴永磁齿轮的特性研究 图1 9 永磁齿轮齿条 另外，如图1 1 0 所示，永磁齿轮也能很容易地实现交错轴传动，其两轴夹 角一般小于4 5 。如果齿轮采用双曲线体，则可获得小的磁隙，并可达到线接 触，使传动性能更好。 1 8 国内外发展状况 图1 - 1 0 交错轴永磁齿轮传动 国外在2 0 世纪6 0 年代初期就研制出了小型磁力驱动实验装置，1 9 7 4 年德 国已有永磁联轴节问世 1 1 。到了2 0 世纪8 0 年代末期，随着微型机械的研制热 潮，入们开始研究用于微型机械的永磁传动机构1 2 。e t 本学者s o s h i m a 在1 9 8 1 年首先发明了永磁齿轮，并在日本申请了专利。但是没有得到实际应用【3 】。日 本学者k t s u r u n o t o 和s k i k u c h i 在2 0 世纪八十年代提出了一种使用永磁铁制作 的渐开线磁性齿轮，它是由永磁材料s m c 0 5 制成，在丙烯酸制成的圆盘上按渐 开线排列，如图1 1 1 所示。他们研究了齿轮齿数、模数、压力角、传动比、中 心距、气隙等参数对永磁齿轮传递力矩的影响，并对永磁齿轮的轮齿做了优化。 8 第一鬻绪论 在此基础上，这两位疆本学者子丸卡年代初又掇斑了具有不阉结构形态救永 磁齿轮【4 】，翔图1 一1 2 掰涿。 图卜1 1 渐开线永磁齿轮 器 + 2 承磁娲轮螭群 直到9 0 年代，日零学者i k u t a 提出了无接触磁能齿轮，学者们才发现无接触 磁性齿轮在非工业领域【3 】，如医疗器械和微型传动蹲领域有着广泛的应用前景， 程关静磺究瞧越来越多。嚣蔫蓬嚣期列上铃对隶磁纛轮骚究敬论文还专缀多，锻 是都是针澍某种特殊结构的永磁齿轮的研究。 我国承磁传动技术的研究与应用怒步较晚，而对无接触磁性1 鼢轮的研究就更 少了。虽然永磁糗稳熬耪类摄多，毽凌予没鸯形戒瘩磁捉魏学零； ，掰骧踺逮鏊瓤 构的描述和应用情况的报道很少、很分散，更谈不上对它们进行分类，对它们的 构成理论、分析技术和设计方法也缺少系统的研究。2 0 世纪9 0 年代末，合肥工 筵大学撬壤毒汽车工疆攀院貔长憝韩教授镁导豹夺缀嚣始了辩耩主永磁塞竣豹 研究，他们针对永磁齿轮传动机构的磁场以及转缀计算提出了几种算法。对于其 它类型的磁性传动机构，如磁力耦合器等，目前虽然已研制出部分产品并投入使 薅，毽骜歉窝箍广茨缀誉移。 9 平行轴永磁齿轮的特性研究 t 6 本文的目的 永磁齿轮的一些缺点，比如传动力矩小、易锈蚀，在大气隙的情况下，起动 或重载时极易造成失步等，给它的应用带来了诸多限制。特别是在医疗器械的应 用中，安全、稳定、可靠运行是首先需要考虑的问题。而目前，对整个永磁齿轮 的构成原则、特性分析和设计方法等都研究的不够深入，对其优点和缺点的讨论 都只能是定性的，这就大大阻碍了永磁齿轮的实际应用，更不用说用于人工心脏 的驱动了。有鉴于此，结合课题组的现有条件，本论文将对永磁齿轮的静态特性 进行较为深入的研究，如对各种不同极对数、不同尺寸形状的外啮合磁性齿轮进 行研究。具体来说就是借助现有的电磁场有限元分析软件a n s o f t 对各种不同极 对数、不同尺寸形状的永磁齿轮在不同的转角下进行磁场和转矩的仿真，然后根 据所得数据分析永磁齿轮的各种参数对传递转矩的影响，最终在外啮合磁性齿轮 的构成原则、特性分析和设计方法三个层面取得成果，并设计制作出样机进行验 证实验。 l o 第二章永磁齿轮磁场与转矩计算的理论分析 第二章永磁齿轮磁场与转矩计算的理论分析 2 1 永磁齿轮磁场的计算 用于磁场分析计算的方法有很多，可以分为四大类：第一类是解析法，如积 分法、保角变换法、分离变量法等；第二类是数值计算法，如差分法、有限元法、 边界元法、积分方程法等；第三类是模拟法，分为数学模拟和物理模拟两类；第 四类是图解法。它们大多只能用于处理简单的问题，目前在工程中实用的主要有 有限元法和积分方程法两种。 2 1 1 有限元法 1 永磁齿轮的简化物理模型 表征铁磁性物质特性的两个基本参数是磁感应强度b 和磁场强度h ，二者 的关系曲线称为磁化曲线。而对于永磁材料而言，其特征关系演变为退磁曲线。 基于退磁曲线，用等效电流法可建立永磁体等效物理模型，如图2 1 所示。此模 型意味着以下所涉及的永磁体都视为有附面电流的物体，该物体的磁导率由永磁 材料的去磁曲线决定。 图2 - 1永磁体简化物理模型 两维情况下附面电流的密度由下式决定： j 。= m x n ( 2 - 1 ) 其中：m 一磁化强度； n 所论表面的外法线方向单位向量： 平行轴永磁齿轮的特性研究 j 。磁化电流的面密度； 由于m 等于矫顽力h 。，则稀土永磁材料的退磁曲线可简化成下式： h - h c 一詈b ( 2 _ 2 ) 于是，等效物体的磁导率为里b r 。 2 永磁齿轮的磁场计算 稀土永磁齿轮产生的磁场可以看作恒稳场。其基本方程为： v v x h = j， 【b = u h 其中：j 一宏观电流密度； 口磁导率； 在x ，y 坐标系下，采用向量磁位的z 向分量a z 作为求解变量，对于均匀磁 介质，有拉氏方程为： v24=0(2-4) 由永磁作磁源的磁场的求解问题可表示成如下的边值问题： q ：昙( 。刳+ 讣等 = 。 墨：4l=4(2-5) 跏乱一。铽咄 其中：q 求解区域；s 卜一一类边界； s 2 永磁材料和其它介质的交界线； u 磁阻率； 由变分原理，上式的边值问题要转化成等效的条件变分问题： 矽( a ) 2f j ( r u b 曲) 姗一j m a 凼寸i i l i n( 2 - 6 ) 0 i 二u ， 1 4 k = 以 第二章永磁齿轮磁场与转矩计算的理论分析 w ( a ) 为能量泛函。在进行离散后，上式可转化成线性方程组： k 】 a ) 。 p )( 2 - 7 ) 其中： k 】总体系数矩阵； ( p ) 右端向量。 上述方程可以利用多种方法求解。 2 , 1 2 积分方程法 由于永磁齿轮产生的磁场为开域无界场，用有限元法计算须人为规定一个边 界，若计算域选取得不够大，会带来计算误差。而积分方程法从宏观角度描述场， 理论上只存在计算误差，没有微分方程法中有边界条件带来的误差，因此对于开 域、具有复杂边界条件的场问题求解更加合适，且在积分方程离散时，只需对“源 区”剖分，从而减少了单元数。同时，该方法直接求解空间任意点场值，解决了 场的连续计算问题，并不受网格剖分的限制。任何一点的场值都是产生场的“源” ( 电流与磁化源) 迭加而成，场点与源点的联系通过毕奥萨伐尔定律实现，因 此无需再考虑边界条件。 这里对积分方程法作一简要介绍。在磁场计算前必须建立求解磁场的数学模 型，如图2 2 所示，空间一场点p ，其矢径r ，整个区域中存在着磁性介质及电 流区。 o x 图2 _ 2 空间源区分布 p 点的磁场强度h 可以认为是两种“源”引起的。一部分是空间电流在p 点产生的磁场强度h l ，另一部分是由于磁性介质磁化后在p 点产生的磁场强度 h 。这样： 平行轴永磁齿轮的特性研究 h = h l + h 。( 2 - 8 ) h i 与材料的性质无关，该矢量可以用自由空间的分布电流来确定 n - - 击l 背刑 p 其中：带“”的参量源区的量( 电流所在区域) ： 不带“”的参量场区的量； j 电流区的电流体密度； q 电流所在的区域； r 待求场点的矢径； r 源区的各点矢径； 因h 。是无旋的，所以存在着一个标量位函数妒使 h 。= 一v 9( 2 - 1 0 ) 其中：v 馓分算子 h ：旦一m f 2 1 1 ) 其中：h 一磁场强度。 b 磁感应强度； 胁真空磁导率； m 一磁化强度； 两边取散度并考虑拉氏方程，得； 妒= 一去l l 罱m + 去l 尚积= 去l m 回南 = 抽胃掬 佟l 唧= 剖掣一南卜p 柳 其中：v ，v 对源区和场点进行的微分运算； q ，磁介质所在区域； 第二章永磁齿轮磁场与转矩计算的理论分析 磁介质所在区域的表面； 妒标量磁位； 式( 2 1 3 ) 中被积函数中含积分结果i - i ( h 。) 的函数m ，属f r e d h o l m 第二 类积分方程，很难用数学方法直接获得积分结果。 考虑该机构的磁场可以看成是二维平面场，则可以对上面的积分方式进行简 化，得到求解二维场问题的数学模型。 在直角坐标系下，可设磁场分布在o x y 平面上，在z 方向上无限延伸，则z 方向的场值不发生变化，磁场x 、y 方向的分量m 。= 0 。令z = o ，式( 2 - 1 3 ) 积 分后得： 伊= 去雌等蚴 岱均 h 。一v 垆去 南一【z 啡n ，簖卜p 旧 式( 2 8 ) 、( 2 。9 ) 和( 2 1 5 ) 就是求解二维平面场的数学模型。 考虑到对以上积分求解有困难，这里对磁性介质区域剖分，把对整个区域的 积分化为对各个剖分单元区域积分的迭加，剖分单元足够小时，在每个单元中的 场量都可以当作常数，这样被积函数中的待求量的函数m 可以提取到积分量外。 经过这些处理后就可阻列出待求量( 各剖分单元的磁场强度矢量的数值解) 的代 数方程组。根据式( 2 - 8 ) ，若将磁介质区域剖分1 3 个连续单元，各单元磁化强度 的x ，y 分量为： h “。h “+ h 删- - i - i “+ e z a 。矗h 口+ e z a h w 1 蔓f s i - i ，= h 叫+ h 删= h 剐+ z j f i - i 口+ 局h ( 2 - 1 6 ) 其中：t t ，i - i 。1 单元磁化后对i 单元磁场强度在x ，y 方向分量的贡 献； i t 。，i t 删电流在待求场点处产生的磁场强度矢量在x ，y 方向 的分量； 平行轴永磁齿轮的特性研究 k 且，k 。咖i 单兀l 司的耦合因数； ，。_ i 单元间的耦合因数； 这样就得到了求解各剖分单元磁场强度的代数方程组： a h = b ( 2 - 1 7 ) 其中：b = 一h 。一h 酬一h 。一h ， 7 h = h 。h h 。h ， 7 爿= 岛，石一1矗；j y 而岛啦，恐 k l x 2 y z , 2 。 毛，。航毛，w z 。 墨，而毛y j y 而一1 畸y 皿x 2 与y ，2 y 筋岛y 。磊k l y 以 k 而k 2 ，筋k 舢筋k ，。磊一1，而 舢而，z ；兕却筋。以。磊一1 对方程组( 2 1 7 ) 求解，可得场问题的数值解。这里而，筋，厄代 表了各剖分单元的磁化率。通常磁化率的选取决定了计算时的迭代次数和计算时 间。 图2 - 3 永磁齿轮磁极剖分图 对齿轮部分磁极的剖分如图2 3 所示。当剖分单元很小时，可以近似地将其 看成一个平面四边形单元。为保证计算精度，要保证齿轮径向方向有足够的剖分 数，且在圆周方向的一个极的范围内有足够的剖分数。 为了获得剖分单元的磁场强度的数值解，关键是要求出系数矩阵a 及右端 列矢量b 。对a 阵的建立关键又在于耦合系数的求解。假定磁性介质被剖分成 一系列的四边形单元( 其他的平面多边形也一样) ，m 单元为源区，4 个顶点的 1 6 第二章永磁齿轮磁场与转矩计算的理论分析 坐标按逆时针依次为( 一，m ) 、( ，儿) 、( x 3 ，y 3 ) 、( x 4 ，y 。) ，中心点 ( 一，y ) ，n 单元的中心点为场点，坐标为( x ，y ) ，4 个顶点按逆时针依次为 ( _ ，m ) 、( x 2 ，y 2 ) 、( 玛，乃) 、( 知，儿) ，则耦合系数： k ，。= 磊i 庐竺掣饥= 一去西亡吾帆 = 瓦i 缶4 卜c o s 仍c i n r m - i n r 。小心文一竞号一a n 竞鸯 ( 2 - 1 8 ) 其中：r i + ，r i - 源区单元的两个顶点到场点的距离。 ( ，蚱，) ，( f + 。，y h ) 源区剖分单元相邻顶点经坐标旋 转后的坐标； ( 工，托) 场点经坐标旋转后的坐标； 坐标旋转方法是使新坐标系的x 轴与剖分单元的某一边平行。同理可得 k 。，且有，。2 k ，。，2 k ， 方程组右端列矢量的形成可根据齿轮机构的物理模型中的等效面电流及剖 分情况，按照式( 2 9 ) 推出等效电流在各剖分单元中心处产生的磁场强度，形 成代数方程组的右端列矢量。 压乱俯一 u i 图2 - 4 面积在场点处产生的磁场 考察图2 - 4 所示的一个电流密度为j 的面电流在场点p ( x ，y ) 处产生的磁 1 7 平行轴永磁齿轮的特性研究 场强度： h = 一互 ? r 21 r y 一- r ，y i 打 ( ：。，) 卟一去e 簖打 其中：( ，y ) ，r 电流所在区域各点的坐标及矢径； ( x ，y ) ，r 一场点坐标及矢径； 通过以上公式就可以求解面电流位于任何位置时，在空间的某一点处产生的 磁场强度矢量在x 、y 方向的分量，从而得到代数方程组的右端列矢量。 经过以上处理建, - r t 求解永磁齿轮磁场问题的代数方程组，解此方程组就可 得到介质各剖分单元的磁场强度，从而能确定永磁齿轮传动机构的磁场分布状 态。 2 2 永磁齿轮机构传动转矩的计算 传动转矩是永磁齿轮传动机构最重要的性能指标之一，准确计算永磁齿轮传 动转矩是设计、分析永磁齿轮的关键。 2 2 1 甩有限元法计算永磁齿轮传递的转矩 在2 1 1 计算磁场的基础上求永磁齿轮传动中所受到的转矩，可以看作是由 等效电流在磁场中受到洛仑兹力产生的。齿轮传递的转矩是由面电流元产生的转 矩叠加得到的。面电流元q 。凼受到的洛仑兹力为： d f = 三j 。凼b ( 2 _ 2 0 ) 则产生的转矩为： d 。= r x ( q m 出x b ) = ( 皿) 巧m d s 一( 。口l j m 凼) b ( 2 - 2 1 ) = 工【( r b ) j 。一( r l ：i 。) b ) 】出 其中：i ，永磁齿轮的长度； j 。面电流密度； d ，面电流宽度； 第二章永磁齿轮磁场与转矩计算的理论分析 r 永磁齿轮中心至面电流元的向径； 各面电流产生的转矩通式为： t - - l f ( r m ) i 。一( 岣。) b l d s 总转矩为： t = z t 2 2 2 用积分方程法计算永磁齿轮传递的转矩 r 2 - 2 2 ) r 2 2 3 ) 在2 1 2 用积分方程法计算磁场的基础上，可进一步得到求解不同相对位置 下的永磁齿轮机构所传递的转矩。 由电磁场理论，永磁齿轮传动机构中齿轮之间的磁场相互作用可分成以下3 类： 1 等效电流层之间的作用 图2 5 两平行电流f s q 的作用 如图2 5 所示，当考虑二维情况时，等效的电流为无限长，分析两根无限长 平行电流i l 、1 2 之间的作用力。1 2 在1 1 处产生的磁感应强度b 和1 1 所受的力f 分 别为： b ：些e 。 2 删9 f = i a o i l l 2l (2-24) 其中：h l 、1 2 之间的距离5 胁真空磁导率； 1 9 平行轴永磁齿轮的特性研究 e e 以r 为半径的圆周切向单位向量，与电流方向满足右手螺旋 法则 图2 - 6 永磁齿轮的等效电流 在图2 - 6 所示的传动机构的模型中，在处理时把面电流沿着齿轮的径向分割 成若干份，每一份相当于一个线电流的作用。把一个齿轮的所有线电流对另一个 齿轮的所有线电流的作用相加，就得到了总的转矩。 2 等效电流与介质磁化场的作用 永磁齿轮介质被磁化后在空间产生磁化场，处于场中的电流就会受到力的作 用。根据积分方程法推导出的磁场计算公式，可得到齿轮每个剖分单元的磁化强 度，把每个单元磁化强度对磁场空间中的某一场点的磁场贡献迭加起来就得到了 场点的磁化场。该方法的关键在于耦合系数的求解。设某个永磁齿轮有n 个剖分 单元和m 个场点，则第i 个单元的磁化强度和第j 个场点的场值分别为m 。、m 。 和b f 、b 。耦合系数矩阵c 为2 m x 2 n 阶，其元素g _ l 刀- i 、c 2 f - l 甜、c 2 啦h 、 c 2 。分别为第j 个剖分单元磁化强度的x 、y 分量对场点i 的场值x 、y 分量贡献 的权重，有： b = a o c m ( 2 - 2 5 ) b = b 。，b l y , b ：，b ：，b 。，b 。 2 m m 。m l y , m ：；，m ：一一，m 。，m ， 7 根据上述方法可得，在待求受力齿轮的每个等效电流处由另一齿轮介质磁化 第二章永磁齿轮磁场与转矩计算的理论分析 场产生的力： e = ：f i l l 2 b ， f 。= i l l 2 b ， ( 2 - 2 6 ) 其中：号代表了不同方向的电流； 利用坐标旋转方法，将该力分解成为沿齿轮的切向力及法向力，根据切向力 可求得每个线电流所受的转矩及齿轮上所有线电流所受总转矩。同样的方法求另 一个齿轮中所有线电流所受的转矩，由作用力与反作用力原理，把这两部分转矩 迭加就是电流与介质磁化场相互作用的总转矩。 3 齿轮介质的磁化场之间的作用 两个齿轮被磁化后均可等效为一系列的磁矩，这些磁矩间存在着相互作用， 会产生一个齿轮对另一个齿轮的转矩。如果知道磁矩在磁场中的势能函数，就可 能求出磁矩的受力。由电磁场理论，距离为r 的两个磁矩m l 与m 2 的势函数为； u ：鲁降一掣 m 2 受到m 1 的作用力为： ，= 老悟 ( m 1 ) m 2 + ( 印) m 。+ ( m 衄：) r 一等 ( m 1 暗) ( 咄) r ) ( 2 2 8 ) 根据齿轮之间的作用力求解其切向分量，即可获得传动转矩。 把前面3 类转矩迭加起来，就得到了齿轮所受的全部转矩，当齿轮旋转到不 同位置时对应的转矩也不同。 2 2 2 永磁齿轮传动转矩的三维分析 前面介绍的计算永磁齿轮传动转矩的方法是在二维情况下推导出来的，而精 确的转矩计算需要进行三维分析。 根据永磁体的等效电流模型，永磁体可以模拟为等效体电流密度j 。或面电 流密度j 。的分布体，有： j j - 。v “m( 2 1 2 9 ) = m x n 、。 平行轴永磁齿轮的特性研究 其中；m 一永磁体的磁化强度； 永磁体表面单位法向矢量； 永磁齿轮传动转矩可以看作是由等效电流在磁感应强度为b 中永磁体受到 的转矩，为： t = r ( j 。b ) d v + r ( j 。b ) d s ( 2 - 3 0 ) 其中：r 电流元至齿轮中心的矢径； v ，s 永磁体的体积与表面积； 因此，永磁齿轮传动转矩计算式的推导可以分成以下两个步骤：首先，将一 永磁齿轮( 以下称为主动轮，角标为d ) 所产生的磁场作为外磁场b d ( 忽略另一 永磁齿轮的存在) ，推导出其磁场表达式。然后，将另一永磁齿轮( 以下称为从 动轮，角标为f ) 的永磁体简化为等效电流的分布体，则由式( 2 3 0 ) 可计算出 永磁齿轮的传动转矩。 1 场量分析 建立3 个圆柱坐标系，如图2 7 所示。其中两圆柱坐标系o r o z 和o r o z7 的 原点重合，并设在主动轮的几何中心；圆柱坐标系o # r o 矿的原点设在从动轮的 几何中心；两齿轮中心距为d 。 l 龄腧 心夕心 d i 图2 - 7 圆柱坐标系 分析式( 2 3 0 ) 可知，对于从动轮来说，仅仅是其径向场分量b 吖对传动转 矩有贡献，因此我们只需要推导主动轮产生的外磁场b d 在圆柱坐标系o ”0 ”z ”下 的径向场分量b ，j 表达式 对于多极径向磁化主动轮的磁场计算，采用的方法是将永磁体模拟为等效电 第二章永磁齿轮磁场与转矩计算的理论分析 流的分布体，根据等效电流来计算其场量。如图2 - 8 所示，首先推导出每一个扇 形磁体的等效电流在空间产生的场量表达式，然后将主动轮的各个扇形磁体所产 生的场量进行迭加，即可得到整个永磁主动轮磁场分布的场量表达式。 r n 极 幽2 8 阚i i 多砥俘阳并双黾流 主动轮在空间所产生的磁场，在圆柱坐标系西以下的径向场分量b 。为： b 叫( r n z ) = i 1 0 m 音n 惫2 荟2 ( 一1 ) 岍砷 er ，s i n ( 8 一只( ，) 净，扒群( = _ ( 蹦c 。s ( 口卅皿：拶 ( 2 - 3 1 ) 其切向场分量岛- 为： b 叫( ，只：) ：等兰壹壹( 一) c f + p 砷 t h l - l ，一lk - i e ( 一，c o s ( 口一日( 种p 。批搿( 桦( 硝s i n ( 伽) z 叫( 2 _ 3 2 ) 其中：n r 一主动轮磁极数； 日( 1 ) 2 竞( 2 f _ 3 ) ，6 l ( 1 ) 2 意( 2 ) ；i = 1 1 2 ，圳 r u ，r 2 。d 主动轮内、外半径； i r 一齿轮轴向长度； z ，( t ) = 一考，( z ) = 考； 平行轴永磁荫轮的特性研究 五( r ，秽，z ；r ，谚( 歹) ，墨( 囊) ) = ( ，2 + r 。- 2 r r c o s ( o 目7 ) 葶o ) r = r ，c o s ( 8 - 8 ) = l ，z 乏露) ) ( 2 - 3 3 ) 乏 挣，。；磅，矛，歹) ) = 三：；iiin三2d(ozl-!：o群xg(p，=；t(后)，护，曩(，) l r 2s ) + ( 。一毛( 彬i 一”一”“ r 2 s i n 2 ( 孝一毋) + ( z 一弓( 歹) ) 2 o ) ( ，# ( 女) ，c o s ( 8 - 8 ) = l ，：= 弓( ，) ) ( ，( 】； ) ，p = l ；r t 2 ) ，p = 2 ) ( ，i ( 七) c o s ( o - o ) = 一1 ，z = 毛( 瑚 p = 玟z = 弓( 瑚 ( 2 * 3 4 ) 其中；e 一貉拣添数； 哪爿一伊咖丙i 面1 丽 2 。5 lr 2 + ，“一2 ”c o s f 拶一护 + f z z y1 2 由式( 2 3 3 ) 和式( 2 3 4 ) ，可以看到i l 和1 2 的函数形式取决于场点( 不带 撇号) 和源点( 带撇号) 的坐标关系，同时应注意剡这种分析方法不适用于场点 与源纛耋会瓣壤凌。黠予衷磁藩轮特凌转瘫懿诗雾，瑟要诗箕的场杰与源患分羽 在从动轮和主动轮上，所以不影响其计算精度。 因两圆柱坐标系伪如与o r 。口2 。之间的关系为： 盟 湍南 第二章永磁齿轮磁场与转矩计算的理论分析 r = 扩啊丽丽两再 口= 一( 篇络 。弼， ：= z 。 由此可以得到在圆柱坐标系d 。口。z 。下的径向场分量耳，为 耳，( r 。，曰。，z ”) = 岛一( p ，z ) s i n ( 口。一目) + 耳d ( r ，p ，z ) c o s ( 8 。- 0 ) ( 2 3 7 ) 2 传动转矩计算 由前面的分析可知，在外磁场b d 被确定后，从动轮的传动转矩可以由式 ( 2 3 0 ) 进行计算。式中的j 。和j 。分别为从动轮的体电流密度和面电流密度。 假设永磁体为均匀磁化体，由式( 2 2 9 ) 可知，其体电流密度为零，则式( 2 3 0 ) 的第一项为零。进一步分析可知，对于从动轮的每一个扇形体来说，有两个面的 面电流对传动转矩有作用。有作用的两个面及其面电流密度为： j m = 一眦 m r l ，r ”马， 熙伽) r l , f 蔓，。r 2 ， 岛”( p ) 一毒( 1 伽) 毛，2 2 ， ( 2 3 8 ) 其中：p = 0 ，1 ，2 ，n t - - 1 ： n f 一从动轮极数； 墨。，马，从动轮内、外半径； i r 一齿轮轴向长度； 口两齿轮相对转角： 上工 毛，。一- - ，z 2 ，2 i 5 当口= 0 时，两齿轮的位置如图2 - 9 所示，此时的传动转矩为零，两齿轮处 于稳定平衡状态。由此可知永磁齿轮的传动转矩是两齿轮相对转角口的函数。 平行轴永磁齿轮的特性研究 图2 - 9 永磁齿轮传动示意图 把式( 2 - 3 8 ) 带入式( 2 3 0 ) ，并考虑到体电流密度为零，得到传动转矩的 轴向分量表达式为： t ( 口) = z m 茗e e r r ，卜口+ 考( + z 础矿 咖忱” ( z 硼) t ( 口) _ 2 m 萎e e r r ，【，。，口+ 寿( 1 + 2 p ) p 忱” ( 2 - 3 9 ) 其中的b ，( r w , 0 ”，) 由式( 2 - 3 7 ) 计算得到注意到式( 2 - 3 9 ) 中系数2 反 映的是每一个扇形体有两个面电流，且对于转矩的贡献相等。采用辛普森方法对 式( 2 3 9 ) 进行积分计算。 2 3 有限元分析软件仿真 随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规 模的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这 一切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对 结构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。 例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影