（检测技术与自动化装置专业论文）基于信号量化和delta算子模型的系统分析与优化.pdf

摘要 摘要 随着网络和信息传输的的发展，信息流量越来越大，为了减小信息传输量，信号量 化器的使用越来越普遍。信号量化后，会引入量化误差，从而给系统的稳定性和系统性 能带来不利的影响。所以对量化的研究有着非常重要的实用价值。同时由于网络技术的 飞速发展和自动控制等领域的实际需要，离散采样控制系统得到了充分的发展，但是当 采样频率很高时，传统的信号处理和控制方法存在着不可避免的缺陷。d e l t a 变换是一 种新的离散化方法，在处理高速采样系统时，由它描述的离散模型随着采样频率的提高 趋近于原连续系统模型，所得结论也与连续系统的结论相似，较好的解决了传统移位算 子描述的离散模型容易产生数值不稳定等问题。d e l t a 算子描述下的离散系统的反馈控 制理论，己成为当前控制界的一个前沿研究课题，对实际控制系统，尤其是对高速采样 系统来说具有十分重要的理论和实际意义。 本文主要从以下几个方面对d e l t a 算子和量化系统做了探讨。 由d e l t a 变换的定义，推出d e l t a 域、s 域、z 域之间的映射关系，并分析了d e l t a 变换下离散系统的可控性，得出d e l t a 算子描述的线性定常系统的能控性无论在定义上 还是在判别法则上均与传统的描述方法一致。并且以网络控制系统为例，针对系统中存 在的诱导延时，采用d e l t a 算子对连续系统进行离散化，在d e l t a 域内应用动态规划方法， 研究d e l t a 算子描述下的离散系统存在最优控制器的条件，设计了基于d e l t a 算子描述下 的网络系统的最优反馈控制器。并且验证和比较了在高速采样系统下，基于d e l t a 算子 的n c s 的离散模型更逼近于连续系统模型。 采用线性矩阵不等式( l m i ) 处理方法研究了d e l t a 算子描述的不确定离散系统的输 出反馈保成本控制问题，设计了输出反馈控制器，使得闭环不确定系统不仅是鲁棒稳定 的，而且对所有允许的不确定性，给定二次型性能指标的闭环性能值不超过某个确定的 上界。 对量化的研究中，设计了由量化控制器和线性控制器联合组成的一个稳定控制器。 对于不稳定系统，首先通过量化控制器将不稳定系统约束在线性区域，然后由线性控制 器将系统稳定在平衡点，从而使不稳定系统达到稳定。并分析了系统的性能指标，通过 仿真实例给出系统稳定过程。另外，本文对量化系统的保性能问题进行了分析研究，揭 示了系统二次保性能矩阵存在性与二次稳定性之间的内在关系。 关键词：d e l t a 变换、信号量化、网络控制、保性能控制 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o po fn c sa n di n f o r m a t i o nt r a n s m i s s i o n ，i n f o r m a t i o nf l o wb e c o m ev e r y l a r g e i no r d e rt od e c r e a s ei n f o r m a t i o nf l o w ，t h et h es i g n a lq u a n t i z a t i o ni nt h ea r e ao fs i g n a l p r o c e s s i n ga n dc o n t r o li sm o r ea n dm o r ep o p u l a r t h e r ew i l lb eq u a n t i z a t i o ne r r o ri n t r o d u c e d b yt h es i g n a lu n d e rt h eq u a n t i z e d ，t h e r e f o r e ，t h es t u d yo fq u a n t i f i c a t i o ni sv e r yu s e f u l n e d i s c r e t es a m p l i n gs y s t e mh a sb e e nd e v e l o p i n gr a p i d l yf o rt h ep r o g r e s so ft h ec o m p u t e r t e c h n i q u e ，b u tm o s tt r a d i t i o n a ld i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g a n dc o n t r o la l g o r i t h m sa r e i n e v i t a b l e l yi l l c o n d i t i o n e dw h e na p p l i e di ns i t u a t i o n si nw h i c hd a t aa r es a m p l e da th i g hr a t e d e l t at r a n s f o r m a t i o ni san e wd i s c r e t em e t h o d 。i nah i g hs p e e ds a m p l i n gs y s t e m ，t h ed i s c r e t e m o d e ld e s c r i b e db yu s i n gd e l t ao p e r a t o rw i l ld r i v et ot h ec o n t i n u o u sm o d e lw i t ht h es a m p l i n g f r e q u e n c yi n c r e a s i n g ，a n di t sc o n c l u s i o ni ss i m i l a rt ot h a to ft h ec o n t i n u o u sm o d e l s oi ts o l v e s t h ep r o b l e mt h a tt h et h en u m e r i c a li n s t a b i l i t yo fs h i f to p e r a t o rd i s c r e t em o d e l t h ef e e d b a c k c o n t r o lt h e o r yo fd e l t ao p e r a t o rh a sb e c o m eaf r o n t i e rs u b j e c ti nc u r r e n tc o n t r o lf i e l d i ti so f g r e a tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ef o rp r a c t i c a lc o n t r o ls y s t e m s ，e s p e c i a l l yf o rh i g h s p e e ds a m p l i n gs y s t e m s w es t u d yt h ed i s c r e t et i m es y s t e md e s c r i b e db yd e l t ao p e r a t o ra n dq u a n t i z a t i o ni n f o l l o w i n ga s p e c t s f r o mt h ed e f i n i t i o no fd e l t ao p e r a t o r , r e v e a l e dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ed e l t ad o m a i n ，s d o m a i na n dzd o m a i n 。t h e na n a l y z e dt h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h ed i s c r e t es y s t e m su n d e rt h e d e l t ao p e r a t o r , c o n c l u d e dt h a ti t sc o n t r o l l a b i l i 移i st h es a m ea st r a d i t i o n a ld e s c r i p t i o n 。i nv i e w o ft h en e t w o r kc o n t r o ls y s t e me x i s t sr a n d o mt i m ed e l a y s ，u s i n gd e l t ao p e r a t o rf o rd i s c r e t e ，t h e e x i s t e n c ec o n d i t i o no ft h e o p t i m a lc o n t r o ll a w sf o rt h en e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e mi nd e l t a o p e r a t o rd o m a i nc a no b t a i n e db yu s i n gad y n a m i cp r o g r a m m i n ga p p r o a c h 。t h e n ，d e s i g n e dt h e o p t i m u mf e e d b a c kc o n t r o l l e r so ft h ed i s c r e t es y s t e mb a s e do nd e l t ao p e r a t o r w ea l s o c o m p a r e da n dv e r i f i c a t e dt h ed i s c r e t en c sm o d e lw h i c h d e s c r i b e du s i n gd e l t ao p e r a t o rw i l l d r i v et ot h ec o n t i n u o u sm o d e li nh i g hs p e e ds a m p l i n gs y s t e m t h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i z a t i o na n dr o b u s tp e r f o r m a n c ef o r u n c e r t a i ns y s t e m sw h i c hi sd e s c r i b e db yd e l t ao p e r a t o ri sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r 强e c o n d i t i o no fe x i s t i n gg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ri sa n a l y z e da n dp r o v e di nw h i c ht h em e t h o d o fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i su s e d a no u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e ro ft h eu n c e r t a i n d i s c r e t et i m es y s t e md e s c r i b e db yo p e r a t o ri sd e s i g n e d ，w h i c hg u a r a n t e e st h es y s t e mi s q u a d r a t i cs t a b i l i z a t i o n a nu p p e rb o u n do ft h ec l o s e dl o o pp e r f o r m a n c es t a t i s t i cg i v e nb yt h e i n d e xo f q u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei sf o u n df o ra l la d m i s s i b l ep a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s i nt h eq u a n t i z a t i o nc o n t r o ls y s t e m ，aj o i n tc o n t r o l l e ri sd e s i g n e ds ot h a tt h eu n s t a b l e s y s t e mc a nb es t a b i l i z e db yu s i n gal i n e a rc o n t r o li n s i d et h el i n e a rr e g i o na n daq u a n t i z e d c o n t r o lo u t s i d et h er e g i o n w ea n a l y z e dt h ep e r f o r m a n c ei n d e xo fas t a b l es y s t e m ，g o ts t a b l e p r o c e s so fs y s t e mt h r o u g hs i m u l a t i o n i na d d i t i o n ，t h r o u g ha n a l y z i n gt h ep e r f o r m a n c eo f q u a n t i z a t i o ns y s t e m ，w er e v e a l e dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ee x i s t e n c eo fq u a d r a t i cg u a r a n t e e d c o s tm a t r i xa n dq u a d r a t i cs t a b i l i t yo ft h es y s t e m k e y w o r d s ：d e l t ao p e r a t o r ；s i g n a lq u a n t i z a t i o n ；n e t w o r kc o n t r o l ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签名： 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：困叠导师签名： e l 期： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题研究背景及意义 网络控制系统n c s ( n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m ) ，是指将传感器、执行器和控制单元 作为网络节点连接起来，通过计算机网络和总线形成闭环控制回路，共同完成控制任务 的反馈控制系统。其主要优点是在于低成本、高可靠性、节约连接线、安装简单、维护 方便。正因为n c s 的这些优点，使其在工业控制领域得到了广泛的应用，对工业自动 化系统产生了深刻的影响。另外使用无线网络技术还可以实现使用大量广泛散布的廉价 传感器与远距离的控制器、执行器构成某些特殊用途n c s ，这是传统的点对点结构的网 络控制系统所无法实现的。n c s 发展趋势之强劲，应用范围之广泛，影响层面之深远， 已经引起并得到极大的关注以及技术与研发资金上的援助，正成为国际学术界研究的热 点和焦点。网络控制系统在通过网络资源给控制系统带来许多优点的同时，也给系统和 控制理论的研究带来了新的机遇和挑战。 由于网络技术的飞速发展和工业自动化等领域的实际需要，离散采样控制理论得到 了长足的发展，而且，由于对信息传输与处理的数字化、高速化要求越来越高，随之而 来的高速采样系统和过程也越来越多。但是，有关离散化模型的控制理论与应用的研究 结果表明，当离散系统的采样频率增高时，传统的移位算子或称为g 算子描述方法存在 以下难以避免的缺点： 1 随着采样频率的增高，离散化系统模型的参数并不趋于连续系统的相应参数，当 连续系统的相对阶数大于1 时，将有零点趋于单位圆或位于单位圆外。 2 随着采样频率的增高，将导致离散系统的极点趋于单位圆附近，在有限字长较小 的计算机中实现时产生较大的量化误差和极限环振荡等数值问题。而且容易引入最小相 位零点，使离散化后系统的稳定性和调节精度变差l l ，2 】。 3 基于传统移位算子模型描述的自适应信号处理算法在处理病态条件问题时遇到 不少困难，自适应算法的性能受到很大影响。 为此，澳大利亚的控制理论专家g o o d w i n 教授等建议采用d e l t a 算子( 增量差分算子) _ 米离散化连续系统，在高速采样情形下使其离散模型趋近于原来的连续模型，很好地解 决了上述问题i j 4 j 。 d e l t a 算子，还可以称为增量差分算子，它的定义如下【1 2 j ： 6 ( 7 ) = 掣，( 丁：o ) 衍 ( 1 1 ) x ( t + = t ) 一- x ( t ) ，( 丁0 ) 、。 这罩，丁代表离散系统的采样周期，当t - - 0 时为连续系统；当t 0 时为离散系统， d e l t a 算子的引入把连续系统和离散系统统一起来了。 在控制系统研究中，d e l t a 算子定义为： 6 = ( q 一1 ) 丁( 1 2 ) 式中，q 为前向移位算子，即q x ( k ) = x ( k + 1 ) ，丁为采样周期。 下面通过两个例子来说明d e l t a 算子的优点。 首先考虑线性时不变连续系统 5 c ( m t ) = a x ( t ) + 踟) (13)c y ( f ) = x ( t ) ”一7 式中，x ，u ，y 分别为门维，m 维，p 维状态、控制和输出向量；a ，b ，c 分别为相 应维数的常值矩阵。 其z 域离散化模型为 q x ( k ) = a q x ( 尼) + b 口“( 七) y ( 后) ：c 口x ( 尼) ( 1 4 ) 其中 a q = e a t , 色= fp 胛b d t ，q = c ( 1 5 ) 其d e l t a 域离散化模型为 5 x ( k ) = 以x ( k ) + 展u ( k ) y ( 尼) ：g ( 尼) ( 1 6 ) 其中 以= ( a q i ) t ，岛= s q r ，g = q ( 1 7 ) 当丁一0 时，由式( 1 5 ) 和式( 1 5 ) 可分别得到 4j ，或一0 ，以ja ，岛专b ( 1 8 ) 利用这种新的算子来描述离散采样系统，具有如下优点：第一，当采样周期趋卡零 时，d e l t a 算子系统的模型趋于相应的连续时间模型，所得结果也趋于连续情形相j 澎的 结果。第二，d e l t a 算子模型中采样周期作为显式参数便于观察和分析不同采样周期卜 控制系统的性能。 下面我们再来比较传统移位算子和d e l t a 算子的数字特性。 考虑一阶连续系统 g i ( s ) 一，g 2 ( s ) ：坐 ( 1 9 ) 采用零阶保持器对其进行离散化，取t - - 0 0 1s ，移位算子的表达式为 g l ( 加竺，g 2 ( q ) ：尝 ( 1 1 0 ) 口一l口一l 用十进制表示时，必须精确到小数点后第三位才能将上述两式区别开，d e l t a 算了 表达式为 g i ( 胪苔1 ，g 2 ( 5 ) = 警 ( 1 d e l t a 算子模型与连续模型表示相同，可以在小数点后第一位就将两式区别开。用 2 第一章绪论 计算机设计和实现时，如果t 很小，用q 移位算子需要更多的位数，而d e l t a 算子需要 的位数较少。由此可见，d e l t a 算子的另一个优点，实现时具有好的数字特性。其中包 括有限字长特性，系数灵敏度等方面均优于g 移位算子。而且d e l t a 算子和q 移位算子 可以通过简单的线性关系对应，可以与q 移位算子一样灵活使用，所以一般q 移位算子 适用于低速采样系统，而d e l t a 算子适用于高速采样系统。 在传统的信号处理和控制理论中，连续系统和离散系统是分别讨论的，但人们希望 用一种统一的方法把连续系统和离散系统统一起来，所以d e l t a 算子就成为统一连续时 1 1 l j 模型和离散时间模型的一种重要方法。d e l t a 算子除了可以接纳q 移位算子的全部优点 外，还具有自己的特点，补充了z 变换的不足，是z 变换的延伸和扩充；它既避免了z 变换引起的数值不稳定问题，又使连续域的各类设计方法可直接用于离散域设计。对其 进行深入研究，可以使之成为连接连续域与离散域之间的桥梁，成为研究计算机控制系 统的有力工具，在高速信号处理、宽带通信与数字采样控制方面具有广阔的应用前景。 此外，研究d e l t a 算子的意义还在于：它的研究结果介于z 变换和s 变换之间，可以架 起二者之间的桥梁，提示二者之间的理论联系本质，使连续系统理论与离散系统理论成 为统一的理论体系，因此，它有着重要的理论意义。 在经典反馈控制理论中，通常假设系统的输出能够直接传送到控制器，控制信号能 够直接传送到驱动器。而实际中，传感器信号的传输或控制信号在驱动端的执行通常需 要进行数据格式的转换，如计算机控制中的a d 和d a 转换。在网络控制系统中，考 虑到网络传输能力的限制，数据的量化处理是必要的，也是通常采用的处理方法之一， 凶此，在传感器到控制器网络和控制器到驱动器网络中，需要设置量化器。量化器是一 种装置，它能将实际的信号转换成一个在有限集中取值的分段常数信号。量化器可以看 作是一个编码器，此时，我们需要研究的主要问题之一是为了达到我们的控制目的，量 化器需要传输的信息量的大小。早在1 9 5 6 年，卡尔曼就研究了数据量化对采样系统的 影响，指出如果一个镇定控制器用一个有限列表量化器量化以后，反馈系统有可能会产 q i 极限环和混沌现象。随后，量化对系统的影响的研究一直受到人们的重视，并产生了 许多有意义的研究成果1 5 嗡j 。 1 2d e l t a 算子理论发展概况 1 2 1d e l t a 算子研究方法的提出 建立在差分算子基础上的微积分是1 8 世纪由j s t i r l i n g 和a l c a u c h y 在作数字分析 时共同发现的，导出了z 变换的计算方法，这一时期，柯西发现了有限差分的运算。早 期的差分方程对2 0 世纪的n y q u i s t 和w i e n e r 等人的工作有很大的贡献，对现代离散信 号处理和离散系统理论作用重大。有限差分的方法在数字分析方面占有很重要的地位【9 】， 虽然这两个模拟模型的联系已经有研究( j u r y 等人的关于稳定性方面的工作【1 0 ，1 ) ，但并 没有引起人们的足够重视，后来又被重新提出来，而且数据准确性的要求越来越高，这 在很大程度上促进了对此差分算子的研究。d e l t a 算子最早是以e u l e r 逼近方式或是z 变 换的改进形式提出来的，而且被应用于数字滤波领域。 江雨人学颂i j 学位论文 直到2 0 世纪8 0 年代，m i d d l e t o n 和g o o d w i n 发表关于d e l t a 算子方法的开创性研 究论文【1 1 ，从不同角度阐述了d e l t a 算子方法的优点。特别是两位合著的( ( d i g i t a lc o n t r o l a n de s t i m a t i o n au n i f i e da p p r o a c h ) ) 1 2 j 一书出版以后，d e l t a 算子( 或d e l t a 变换) 作为一 种新的离散化方法引起从事控制理论和信号处理方面学者的普遍关注和研究兴趣，并得 到了较为系统深入的研究，取得了许多研究成果。近几年的i e e e 自动控制会t u r n 信号 处理会刊、国际控制杂志、美国控制会议以及i e e e 控制与决策会议等均有多篇关于d e l t a 算子方法的研究论文发表【1 3 - 1 6 】。d e l t a 算子在高速信号处理、宽带通信与数字采样控制 方面具有更广阔的发展前景。 1 2 2d e l t a 算子研究的发展 近些年来，d e l t a 算子理论在最优滤波、系统辩识、自适应控制、信号处理、预测 控制、鲁棒控制、容错控制、故障检测、分散控制、滑模控制等控制与估计的许多领域 获得了成功。 n e u m a n 研究了基于d e l t a 算子和传统移位算子算子的传递函数模型的转换问题， 并且较为全面地分析了d e l t a 算子模型的特性【i 7 1 。h e r s h 根据复变函数理论，讨论s 域 和d e l t a 域模型之间的直接转换算法，并研究了闭环零极点对系统性能的影响i l 剐。i i o r i 等探讨各种离散化模型之间的等价关系【i9 1 。文献 2 0 1 进一步研究了多维系统的d e l t a 域 离散模型、z 域离散模型和s 域连续模型的转换方法。文献 2 1 对于d e l t a 域和z 域移化 算子的特性进行了研究。 此外，信号处理与控制研究的一个重要课题就是系统稳定性分析的有效检验或者更 为一般地指系统的零点位置判定算法。基于d e l t a 算子的系统稳定性判据建立了连续模 型和离散模型稳定性判据的联系，而且又可获得较好的数字特性，现已取得较人进展。 p r e m a r a t n e 和j u l y 进一步研究了d e l t a 域多项式根的稳定性问题及其多项式列阵判别方 法【2 2 】。文献 2 3 】的研究表明，在高速采样情形下基于d e l t a 算子模型的线性系统能控度 和能稳度均优于传统的移位算子。文献 2 4 1 基于d e l t a 算子提出一种新的零极点匹配模 型，在对连续模型离散化时不需要进行增益调整和无穷远零点处理，当采样周期趋于零 时，零极点匹配模型也趋于原来的连续模型。 基于r i c c a t i 方程和l y a p u n o v 方程在控制与估计问题的研究中的重要作用，文献 2 5 】 给出了离散r i c c a t i 代数方程解的迹的两个新结果，减少了估计的保守性。k w o n l 2 6 j 对 r i c c a t i 方程和l y a p u n o v 方程解的上下界研究进行了系统的总结，并给出了d e l t a 算了 r i c c a t i 方程解的一些结果。目前，d e l t a 算子r i c c a t i 方程和l y a p u n o v 方程的研究l l + f i + 取得了一些进展。m r a b t i 和h m a m e d 2 7 j 探讨了d e l t a 算子稳定l y a p u n o v 方程的上下界确 定方法，且进一步研究了非稳定情形下l y a p u n o v 方程解的特征值的定界估计问题1 2 8 1 。 文献 2 9 】对有关d e l t a 域和z 域l y a p u n o v 方程的关系进行了研究。 d e l t a 算子虽然在最优控制、鲁棒控制方面应用较少，但也出现了一些文章，s o h 分析了d e l t a 算子系统的鲁棒稳定性，给出了保证系统稳定的特征方程系数的最大掇动 区间1 3 0 1 。文献 3 1 】基于d e l t a 算子离散系统的仉控制器的设计方法，用一个例子证明了 4 第一章绪论 当采样周期丁- 9 0 时，离散控制器趋于连续控制器。有关l q r l t r 设计和l q r 的研究 也有一些成果，文献【3 2 】就研究了跟踪器的设计，文献 3 3 贝j j 研究了h ：最优控制。 1 3 量化的发展概况 早在1 9 5 6 年，k a l m a n 就研究了数据量化对采样系统的影响，指出如果一个镇定控 制器用一个有限列表量化器量化后，反馈系统就有可能会产生极限环和混沌现象。随后， 量化刈1 系统的影响的研究一直受到人们的重视，并产生了许多有意义的研究成果。文献 3 4 研究了时不变量化系统的设计，包括对数量化器的构造和性质、离散时间系统的对 数量化稳定控制、对数量化以控制等。另外，还有一些关于时变量化控制器的设计， 如基于时间的时变量化控制和基于事件的时变量化控制3 6 1 等。文献【3 7 针对基于状态 观测和信号量化的线性系统，分别对状态观测误差系统在量化作用下的稳定性和对象系 统小身在量化效应下的渐进稳定性进行了分析与研究，得到了相应的稳定条件，同时针 对对数型量化器，给出了两个系统稳定性之间的关联，并做出仿真实例。文献 3 8 】研究 了随机黾化控制系统的稳定性，其中的系统稳定控制器由一个在线性区域内的线性控制 器和一个在线性区域外的量化控制器组成，量化控制器作用使得不稳定系统通过类滑模 达到原点后，线性控制器会将系统约束在原点附近。文章最后对系统性能进行分析并做 出仿真。 1 4 论文的主要研究内容 本文第一章为绪论，介绍了课题研究的背景及意义，并简单介绍了d e l t a 算子理论 和量化理论的发展概况和现状。 第二章介绍了本论文所用到的基础理论知识，如d e l t a 变换的定义、性质、量化的 定义等，并对系统性能进行了分析。分析了d e l t a 变换下离散系统的能控性，得出d e l t a 算子描述的线性定常系统的能控性无论在定义上还是在判别法则上均与传统的描述方 法一致；给出了量化系统的二次稳定性定义和定理。 第三章进行了网络控制系统的最优控制研究，设计了存在时延网络控制系统的最优 控制律，并进行仿真说明。另外分别给出了d e l t a 算子模型下系统的最优控制和量化系 统的最优控制。对量化控制系统的稳定性进行研究，得出系统稳定性的控制率和稳定性 指标。 第四章研究了保性能控制问题。分别分析了d e l t a 域内不确定系统的保性能控制和 量化系统的保性能控制。 第五章对本文的研究工作进行了总结，并对d e l t a 算子模型和量化系统的发展方向 进行了展望。 第二章d e l t a 算予变换与信号量化及系统分析 第二章d e l t a 算子变换与信号量化及系统分析 2 1 概述 在控制理论的研究中，连续系统和离散系统是两大研究领域，表面看来，两个领域 的结论有很大的不同，一般很难找到其中的联系。而d e l t a 算子在2 0 世纪8 0 年代由 g o o d w i n 等提出来后，其作为联系连续系统和离散系统的桥梁，被广泛的研究。 一般来讲，线性连续系统可以用线性微分方程来描述，为便于对连续系统的暂态过 程进行分析采用了拉氏变换的方法，与此相似，线性离散系统用线性差分方程进行描述， 为了方便对离散系统的暂态特性进行分析，而采了z 变换的方法，在采样系统中，为了 分析高频采样时的采样特性，又进一步提出了d e l t a 变换的离散化描述方法，d e l t a 变换 是山z 变换引出的，是z 变换的变形。 而状态空间是现代控制和估计理论的中心，对于采样系统，状态空间传统方法都是 采用移位算子来描述。但是高速采样时，移位算子存在着不可避免的缺陷，当采样周期 丁一0 时，离散系统的模型并不是趋于相应的连续模型；离散系统的极点位于1 附近， 容易产生不稳定状况；为了避免这些缺陷，我们采用d e l t a 算子来描述离散模型，而且 当丁- - - - 0 时d e l t a 算子描述的模型会趋于连续模型，更使得连续域的各类设计方法可直 接用于离散域设计。 在网络控制系统中，考虑到网络传输能力的限制，数据的量化处理是必要的，也是 通常采样的处理方法之一。因此，在传感器到控制器网络和控制器到驱动器网络中，需 要设置量化器。量化器是一种装置，他能将实际的信号转换成一个在有限集中取值的分 段常数信号。量化以后，会对系统的性能产生一定的影响。需要对此进行分析研究，以 使系统能稳定工作。 本章介绍了d e l t a 变换和量化的一些基础知识，并研究了了d e l t a 变换下离散系统 的i l j 控性分析和量化控制系统的稳定性。 2 2d e l t a 算子基础理论和知识 2 2 1d e l t a 变换的定义 定义2 i t 3 川设厂( ，) 是定义在 0 ，o o ) 上的分段连续函数信号，丁是采样n 喜t ) j ，为固定 的正数，则称 - 三2 丁( r ) ( 1 + 丁6 ) 一” t = n t ( i1 + r 6i r ) ，= o 为函数f ( t ) 的d e l t a 变换，记为 - 三l f ( 6 ) = 厂( ，) 】= 丁厂( f ) ( 1 + 丁6 ) 一” t = n t ( 11 + 丁6 | r )( 2 1 ) , = 0 这罩，r r 是复数级数公式的绝对收敛半径，用 来表示变换，用6 表示变量，称f + ( ，) 足f ( f i ) 的逆变换，记为f ( ，) = a _ f ( 6 ) 。 江南人学硕l ：学位论文 如果仅仅考虑函数f ( t ) 在t = n t 处的值f ( n t ) 或者仅对离散时间信号 f ( n t ) f 叮 言，那么，式( 2 1 ) 实际上仅对序列 f ( n t ) 进行定义。 定义2 2 设有序列 f ( n t ) ( 刀= o ，1 ，2 ，) ，则称 7 1 f ( n t ) ( 1 + t s ) ” n = 0 为序列 f ( n t ) ) 的d e l t a 变换，记为 f ( 6 ) = 厂( 刀丁) 】= 丁f ( n t ) ( 1 + 丁6 ) 一，( il + t 5 | 尺) ( 2 2 ) h = 0 这里，r t 是复级数公式的绝对收敛半径，称f ( 5 ) 是f ( n t ) 的象函数，f ( n t ) 是f ( 6 ) 的 原象，且称f ( n t ) 是f ( 5 ) 的逆变换，记为f ( n t ) = a 一【f ( 6 ) 。 式( 2 1 ) 是对连续性函数f ( t ) 进行变换，而式( 2 2 ) 中的a f ( n t ) 】是对序列 f ( n t ) 或 厂( 玎) ) 进行变换。因而，式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) 是不同的事物，前都是连续域中连续信号的采 样值，它对应电压、电流等模拟值，后者对应计算机内部的数序列，是数字信号，但_ 者在数学意义上是统一的，因此，都将它们看作d e l t a 变换。 由于d e l t a 变换与z 变换之间存在密切的联系，下面推导二者之i 、只j 的关系。对于信 号f ( n t ) 的z 变换定义为 f ( g ) = z 厂( 聆丁) 】_ f ( n t ) q ” ( 2 3 ) n = o 对比式( 2 2 ) 与式( 2 3 ) ，如果令 q = 1 + t 5 ( 2 4 ) 则可有下式成立 f ( f i ) = t f ( q ) i ，= l + 邢 ( 2 5 ) 式( 2 4 ) 和式( 2 5 ) 成为联系d e l t a 变换和z 变换的重要工具。 2 2 2d e l t a 域、s 域、z 域之间的映射关系 由q = e s ts = ( 1 n q ) t ，6 = ( g o t = ( p “一1 ) t ，j = i n ( 1 + t s ) t ，故5 = ( p 盯一1 ) i t 可 以建立起f ( t ) 的拉普拉斯变换与d e l t a 变换之问的关系。6 = ( g 一1 ) t = ( p 盯一1 ) i t 将s 平面上的左半平面区域映射到z 平面的单位圆和d e l t a 平面上的左半平面内的圆形区域 内。 设s = 仃+ i w ，那么艿= ( g 一1 ) t = ( p e ”一1 ) i t ，g = p e ”，这里p = e 引1 ，妒= w t 。 当仃= 0 时，s 平面的虚轴映射( 变换) 到z 平面上以原点为圆心的单位圆上，映射剑 d e l t a 平面以( 一1 t ，0 ) 为中心，以1 t 为半径的圆周上( iz l l + t 5l _ 1 ，i6 + 1 tl _ 1 t ) 。 2 3 量化的基础知识 量化是有损数据压缩中常用的技术，它基本上可分为三种，即标量量化、分组量化 8 第二章d e l t a 算了变换与信号量化及系统分析 和序列量化。最基本的标量量化每次只量化一个取样，并对所有取样都采用特性相同的 量化器进行量化，而且每个取样的量化都和其他取样无关。分组量化和序列量化则利用 相邻取样之间的相关性。分组量化也称矢量量化( v e c t o rq u a n t i z a t i o n ，v q ) ，在量化时用 输出组集合中最匹配的一组输出值来代替一组输入取样值。序列量化是在分组或非分组 的基础上，用一些临近取样的信息对取样序列进行量化。 信号的量化在信号处理和自动控制领域中使用非常普遍，如网络控制系统、远程控 制系统等。本文所用的均为标量量化。在量化作用下，信号中会引入量化误差，从而对 控制系统的稳定性和性能指标带来不利的影响。从本质上来看，信号的量化过程是一个 非线性过程，但是人们通常将量化误差归纳为理想的白噪声信号，得到了广泛的应用f 4 0 1 。 我们称加入了量化器的控制系统为量化系统。对系统中的信号进行量化，无论是连续系 统还足离散系统，主要目的是减少信道信息量的大小，节约系统资源，便于系统扩展和 监控。 控制系统中的信号量化主要是针对系统的输入输出信号，按控制策略的不同也有所 区别，主要有f 3 7 】： 1 针对状态信号的量化； 2 输入信号的量化； 3 基于输出反馈信号的量化。 标量量化器按所采用的方法分主要有： 1 均匀量化器( u i n f o r mq u a n t i z e r s ) ； 2 非均匀量化器( u n i f o r mq u a n t i z e r s ) 。 2 3 1 均匀量化的描述 把输入信号的取值域按等距离分割的量化称为均匀量化。在均匀量化中，每个量化 区间的量化电平均取在各区间的中点。 如图2 1 所示。其量化间隔( 量化台阶) a o 取决于输入信号的变化范围和量化电平数。 当信号的变化范围和量化电平数确定后，量化间隔也被确定。例如假如输入信号的最 小值和最大值分别用a 和b 表示，量化电平数为m ，那么，均匀量化时的量化间隔为： 厅一口 a t ) = _ ( 2 6 ) m 、。 量化器输出所，为： 、l ， m “2q ， j m l i m 鸭 式中：聊，为第f 个过比区间的量化电平，可表示为： 吼：华，f - 1 ，2 ，m( 2 7 ) 9 江南人学硕一l ：学位论文 信号实际锄( r ) ，了倩鬻缎 ￥ - j ! v 一 0t2 t3 f4 r5 r6 r7 歹 f ，h ，王r 7 、l量化器b 肃 网2 一l 莺化过程 f i g 。2 一iq u a n t i z a t i o np r o c e s s 2 。3 2 非均匀量化的描述 非均匀量化是根据信号的不同区间来确定量化间隔的。对输入信号进行量化时，火 的输入信号采用大的量纯闯隔，小的输入信号采用小的量化间隔，这样就可以在满足精 度要求的情况下使用较少的位数来表示。它与均匀壁化相比，有两个主要的优点 1 当输入量化器的信号具有非均匀分布的概率密度( 实际中常常是这样) 时，非均匀 量化器的输出端可以得到较高的平均信号量化噪声功率比。 2 非均匀壁化时，量化噪声功率的均方根值基本上与信号取样值成比例。凶此量化 嗓声对大、小信号的影响大致相同，即改善了小信号时的量化信嗓比。 为了克服均匀量化的缺点，往往采用非均匀量化。实际应用中，主要采用非均匀量 化器中的对数量化器( 1 0 9 a r i t h m i cq u a n t i z e r s ) 。 考虑个量化器，) ，其满足对应关系d ) = - f ( - o ) ，该量化器为静态且时 i 变 的。量化级集合定义为 扰= “，：u i j c i i ，f = 1 ，：l 2 u o ( 2 8 ) , 将空间瓞分成系歹l 片段，量化器函数厂( ) 将每个片段映射成集合群的一个元素。 r 磺菇g 【s 】表示在区间ls ，j 1l 中壁化级昀数量，量纯嚣，( ) 的密度定义为： l oj 町，：l i m s u p 掣 ( 2 9 ) s 一i n e 定义2 3 一个量化器被称为对数量化器，若它的量他级集合为： 弘= ：材，一p