（机械电子工程专业论文）组合柔性臂的建模及运动控制.pdf

硕士论文 组合柔性置 摘要 柔性机械臂具有操作灵活、质量轻、耗能低和运动范围广的优点，因此其应用获得 越来越广泛的关注。但是由于柔性臂系统同时兼有非线性、强耦合和时变的特点，这使 得柔性臂的振动问题尤为突出，给柔性臂的精确定位带来了不便。 为了抑制柔性臂的振动，本文采用组合式结构的柔性臂( 简称组合柔性臂) ，然后 再采用二次型原理设计组合柔性臂的运动调节器，通过这两种方式来抑制柔性臂的振 动。 本文首先运用a n s y s 建立组合柔性臂的有限元模型，对模型进行静、动态仿真， 同时基于组合柔性臂试验台对组合柔性臂进行静、动态实验。通过仿真结果与实测结果 的比较验证了组合柔性臂有限元模型的精确性，进而利用仿真的结果与实测结果研究了 组合柔性臂的力一变形特性以及它的抑振性能。然后建立了组合柔性臂的等效动力学模 型，利用该模型建立了组合柔性臂的集中参数振动微分方程，并通过二乘法进行参数识 别确定了该方程的系数，同时确定了组合柔性臂的形函数以及摩擦耗散函数。 考虑到组合柔性臂的摩擦耗散作用，利用带耗散函数的拉格朗日方程建立了组合柔 性臂的运动微分方程组，将该方程组线性化转变为状态方程的形式，并基于此状态方程 采用二次型最优控制原理设计了组合柔性臂的运动调节器。最后利用 m a t l a b s i m u l i n k 分别对组合柔性臂和整体柔性臂在无调节器和有调节器控制的两 种情况下的运动进行仿真。仿真结果显示采用组合式结构柔性臂，并利用二次型输出调 节器对它的运动进行控制可以取得良好的抑振效果。 关键词：柔性机械臂，有限元，二次型调节器，仿真 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t f l e x i b l el i n km a n i p u l a t o r sa r ef l e x i b l eo p e r a t e da n de n e r g ye f f i c i e n t 谢也l i g h tq u a l i t y ， a n di t sa p p l i c a t i o na c q u i r e sm o r ea n dm o r ee x t e n s i v ec o n c e r n h o w e v e r , f l e x i b l el i n k m a n i p u l a t o r sa r eah i g h l yn o n l i n e a ra n ds t r o n g c o u p l e dd y n a m i cs y s t e m , w h i c hm a k e si t v i b r a t eh e a v i l ya n dr e s u l t si nb a dc o n t r o lp e r f o r m a n c ei ne x p e c t e dp o s i t i o n i no r d e rt or e s t r a i nt h ev i b r a t i o no ff l e x i b l el i n km a n i p u l a t o r s ，f r i c t i o nd a m p i n go f a s s e m b l e df l e x i b l el i n ki su s e da n dt h e nt h el i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o ri sd e s i g n e dt oc o n t r o l t h er o t a t i o no ft h ea s s e m b l e df l e x i b l el i n k t os t u d yt h ec h a r a c t e r i s t i co fa s s e m b l e df l e x i b l e l i n k ，f i n i t ee l e m e n tm o d a lo fi t i s c r e a t e df i r s t l y a n dt h e nt h es i m u l a t i o nt e s t i n ga b o u tt h es t a t i ca n dd y n a m i cb e h a v i o ro f a s s e m b l e df l e x i b l e l i n ki si m p l e m e n t e db yu s i n gf i n i t ee l e m e n tm o d a l m e a n w h i l ea c t u a l t e s t i n ga b o u tt h es t a t i ca n dd y n a m i cb e h a v i o ro f a s s e m b l e df l e x i b l el i n ki si m p l e m e n t e db a s e d o nt h eb e n c hr u no fa s s e m b l e df l e x i b l el i n k t h o u g ht h ec o m p a r i s o no fs i m u l a t i o nt e s t i n g r e s u l t sa n da c t u a lt e s t i n gr e s u l t s ，i ti sr e s e a r c h e dt h a tt h ef i n i t ee l e m e n tm o d a li sa c c u r a t e t h e nt h ec h a r a c t e r i s t i ca b o u ts t r e n g t h d i s t o r t i o na n dh y s t e r e t i co fa s s e m b l e df l e x i b l el i n ki s s t u d i e db yt h es i m u l a t i o nt e s t i n gr e s u l t sa n da c t u a lt e s t i n gr e s u l t s e q u i v a l e n td y n a m i cm o d e l a b o u ta s s e m b l e df l e x i b l el i n ki sc r e a t e d , b a s e do nw h i c hc o n c e n t r a t e dp a r a m e t e re q u a t i o no f a s s e m b l e df l e x i b l el i n ki se s t a b l i s h e d t h r o u g hl e a s t - s q u a r em e t h o d , t h ec o e f f i c i e n to ft h e c o n c e n t r a t e dp a r a m e t e re q u a t i o ni sd e t e r m i n e d ，a tt h es a m et i m e ，s h a p ef u n c t i o no fa s s e m b l e d f l e x i b l el i n ka n df r i c t i o n - c o n s u m i n gf u n c t i o ni sd e t e r m i n e d c o n s i d e r i n gf r i c t i o n - c o n s u m i n gf u n c t i o n , t h er o t a t i n ge q u a t i o no fa s s e m b l e df l e x i b l el i n k i sc r e a t e du s i n gl a g r a n g ee q u a t i o nw i t hf r i c t i o n - c o n s u m i n gf u n c t i o n t h e nt h er o t a t i n g e q u a t i o ni sl i n e a r l yp a r a m e t e r i z e da n dt u r n e di n t os t a t u se q u a t i o n b a s e do ns t a t u se q u a t i o n , t h el i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o ra b o u tr o t a t i n go fa s s e m b l e df l e x i b l el i n kw a sd e s i g n e d a tl a s t , t h er o t a t i n gs i m u l a t i o na b o u ta s s e m b l e df l e x i b l el i n ka n dc o m m o nf l e x i b l el i n km a n i p u l a t o r s i sr e s p e c t i v e l yi m p l e m e n t e d 、析t l la n dw i t h o u tr e g u l a t o r t h er e s u l t ss h o wa s s e m b l e df l e x i b l e l i n kh a sg o o dc h a r a c t e r i s t i co fv i b r a t i o ns u p p r e s s i o nw h e ni tr o t a t e su n d e rt h ec o n t r o lo ft h e l i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r k e y w o r d s ：f l e x i b l el i n km a n i p u l a t o r s ，f i n i t ee l e m e n t , l i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r , s i m u l a t i o n 硕士论文 组合柔性臂的建模及运动控制 1 绪论 1 1 引言 随着工业化的发展，柔性机械臂正在获得越来越广泛的应用。柔性机械臂跟传统的 刚性臂相比具有操作灵活、质量轻、耗能低和运动范围广的优点，但是由于柔性机械臂 构件的刚度小容易产生变形，导致其振动突出，因此如何保证柔性机械臂的运动定位精 度便成为一个亟待解决的问题。 图1 1 与图1 2 分别是一工业焊接机器人和一喷漆机器人，它们已被广泛的应用于工 业领域。此类机器人的特点是：机械臂粗且短，按照刚性臂设计，其中最长臂的臂长一 般不超过2 米，因此其工作范围有限，而且由于质量大的原因势必要求使用功率大的电 机来驱动，从而造成了其整体结构的笨重，无法适用于某些特殊场合，因此为了扩展工 业机器人的适用领域，需要采用柔性机械臂代替传统上的刚性臂。 j 蕊 l ：i 盈 “一o _ 曩i 图1 1 工业焊接机器人图1 2 工业喷漆机器人 目前柔性机械臂已广泛应用于民用工业领域和航天领域。如图1 3 所示，这是一个 柔性关节臂测量机，它采用柔性臂机构，结构轻巧，为操作者提供了更大的灵活性和舒 适性，可以完成工业设计、三坐标测量、3 d 造型、产品测绘、逆向工程、扫描、现场 测量、模具设计与制造等涉及到设计、制造、过程检测、在线检测以及产品最终检验等 各种测量与检测任务。图1 4 是一个国际空间站上的机械臂，在空间站中为了确保宇航 员的生命安全以及减小他们的工作强度，有许多工作都是通过此类机械臂来完成的，比 如卫星的检修和维护、供给飞船给养的搬运、宇宙飞船抓取卫星以及宇宙空间站的扩建 丝 可o i l 绪论 硕士论文 图1 3 柔性关节臂测量机 图1 4 国际空间站机械臂 此外，柔性机械臂还广泛应用于印刷业、i c 后封装装备等领域。柔性臂在作大范围 运动的同时，也将产生自身的横向小变形弹性振动，会给机械臂系统的定位精度造成很 大的影响。因此如何抑制柔性臂的振动是上述工程领域需要得到解决的主要问题之一， 也是柔性机械臂研究的热点之一。 1 2 柔性机械臂的建模概况 对柔性机械臂进行动力学建模主要是利用l a i l g r a u 1 9 e 方程和n e 嘶o n - e u l e r 方程心1 ， 此外还经常用到虚位移原理、变分原理和k a n e 方程d 们的方法。因为对柔性机械臂变形 的描述是柔性机械臂建模的基础，所以首先要选择一定的方式描述柔性臂的变形，其变 形描述主要有以下几种方法： ( 1 ) 有限元法：该方法是把机械臂分成若干个单元，这些单元仅在节点处相互连结， 而单元的位移可以用节点位移的插值函数来描述，由于插值函数不是针对于整个系统或 各个子系统，所以可以取非常简单的插值函数；为了保证有限元方法的计算精度，可以 把单元划分的更加细小，并且用该方法可以取得较好的收敛性；目前有限元方法已经广 泛的应用在柔性机械臂的动力学建模中，其有效性在工程应用中得到了很好的检验，但 是由于用有限元方法建立的系统动力学方程的维数较为庞大，因此不便于后续控制系统 的设计，所以这种离散化方法一般常用来研究分析柔性机械臂的动力学特性问题口副。 ( 2 ) 假设模态法：假设模态法是在r a y l e i g h 法的基础上发展而来的，把柔性臂各点的 变形量用一模态函数和一时间函数来表示。假设柔性臂各点的变形量为y ( x ，r ) ，则令 y ( x ，t ) = y ( x ) q ( t ) 其中r ( x ) 为振型函数，它是在全域内选则的既满足几何条件又满足力学边界条件假 设的模态函数集，所以问题的关键转化为求振型函数，由柔性臂的振动微分方程 2 硕士论文 组合柔性臂的建模及运动控制 肼万a 2 y + 导( 日窘) = f 可求得各阶振型函数为 z ( 工) = s m ( 6 ，x ) - s i n h ( & ，x ) 一言耋妻霎 专害鬻( c o s ( 4 功一c o s h ( 6 ，x ) 故此得到柔性臂的形函数为 y ( x ，t ) = t ( x ) q ( t ) 一般在实际应用中，取前阶模态便可满足精度的要求，采用假设模态法可以用较 少的自由度和方程来实现系统的离散，因此这种方法非常适合用来设计柔性机械臂的主 动控制器嘲。 ( 3 ) 有限段法：该方法是将柔性臂分为有限个刚度段，每个刚度段之间通过节点连 接，在各个节点上引入柔性，即把整个柔性臂分为多个刚体。采用有限段方法，对于整 个柔性臂而言，它描述的系统是时变的，而且有限段法只能适用于小应变假设，即允许柔 性臂产生几何非线性变形，而有限元法是建立在小变形假设基础之上的。国内的张大钧 等采用有限段方法对柔性机械臂进行了建模和实验分析研究阳1 。 在以上的方法中，有限元法与假设模态法的应用比较广泛，有限元法常用于动力学 特性的研究，而假设模态法常用于主动控制器的设计。 1 3 柔性机械臂的振动抑制方法 当前国内外对于柔性机械臂的振动抑制方法主要有两种，一种是被动控制，另一种 是主动控制。 1 3 1 被动控制 被动控制常被称作无源控制，即利用储能或者耗能材料设计柔性机械臂的结构，以 求达到抑制振动的效果。2 0 世纪8 0 年代d i c k e r s o n 首先考虑把粘弹性大阻尼材料用在柔 性结构上来抑制振动问题，比如在柔性机械臂上安装阻尼减振器、阻尼材料或用粘弹性 大阻尼材料形成附加阻尼对自身的振动进行抑制，这些方法都属于被动控制的范畴。增 加柔性机械臂的阻尼，这种方法易于实现，而且其机构简单，可靠性也比较高，但是其 控制效果较差，这主要是因为靠此方法所增加的阻尼是有限的。 除了依靠增加柔性机械臂自身的阻尼来抑制振动外，还可以在柔性机械臂上增加一 个附属结构，依靠附属结构的特殊性能来抑制柔性臂的振动。比如在柔性机械臂上安装 一个质量- 弹簧- 阻尼单元减振器，利用减振器可以在极短的时间内耗散掉柔性机械臂的 3 1 绪论 硕士论文 振动能量，如此便可提高柔性臂的抗干扰能力。此外，还可以在柔性机械臂上安装一个 可以调节的滑块，通过调节滑块在柔性臂上的位置来改变整个系统结构的质量分布，以 便减少柔性机械臂的振动一1 。 1 3 2 主动控制 主动控制常被称作有源控制，即以柔性机械臂的数学模型和控制算法为基础，利用 外部能量的输入对自身的振动进行调节，从而达到抑振的效果。自1 9 7 4 年由b o o k 陋1 首次 提出对柔性机械臂的主动控制以来，出现了多种关于控制柔性机械臂运动的主动控制算 法，目前主要的控制算法有以下几种。 ( 】) p i d 控制 p i d 控制器在当前的工业领域取的了广泛的应用，它具有控制简单和实用有效的优 点，因此经常被用于对柔性机械臂的运动控制。使用p i d 控制器的前提是构造被控系统 对象的线性方程组，确定系统的输入与输出，然后利用给出的理想输出值y ( t ) 与实际输 出值y 。( f ) 形成控制器的控制偏差p ( f ) p o ) = 如) - y 。o ) 把系统偏差的比例( p ) 、积分( ，) 和微分( d ) 通过线性组合形成对系统的控制量， 然后对柔性机械臂进行控制，其控制规律为 m ，卜毒上e ( t ) d t + - 孕l 其中，k 。为比例系数，即时成比例的反映柔性臂系统的偏差信号p ( f ) ，一旦产生控 制偏差，控制器立即会产生一控制作用，以控制减少偏差；矸为积分时间常数，主要用 于消除静差，提高系统的无差度，它反映积分作用的强弱，正越大，积分作用越弱，反 之则越强；靠为微分时间常数，能反映偏差信号的变化趋势，并能在偏差信号值变太大 之前，在系统中引入一个有效地早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时 间钉。 ( 2 ) 模态控制 将柔性臂系统的振动放在空间模态中考察，用低阶自由度系统在模态空间中的振动 来描述无限自由度系统在时间域内的振动，如此就可以把对无限自由度系统的振动控制 转化为对在模态空间内少数的几个模态的振动控制，这种控制方法称为模态控制法n 们。 孙东昌等人n ”在此基础上提出了智能板振动控制的分布压电单元法，该方法是将压电 传感层和致动层彼此分割成一个个相互独立的小单元，从各个传感单元的输出电荷及 电流中提取出模态坐标和模态速度的观测值，通过调制施加于其上的电压来设计压电 模态控制器，但是这些方法是解析法，具有一定的局限性。 ( 3 ) 极点配置法控制 4 硕士论文 组合柔性臂的建模及运动控制 极点配置问题是以描述柔性机械臂系统的状态方程为基础的，通过反馈增益矩阵的 设计使闭环系统的极点处于根平面所期望的位置上，以求到达改善柔性臂振动主动控制 的动态性能。极点配置大体上可以分为基于状态反馈的极点配置法和基于输出反馈的极 点配置法。极点配置法最早是应用在单输入系统中，对该系统设计一单独作动器，它的 缺点是设计的控制力矩偏大n 幻。后来出现了采用多输入极点配置的方法来设计多作动器 以控制对象，这种方法解决了上面控制力矩偏大的问题。如今在应用领域出现了兼顾主 动控制系统稳定性和鲁棒性的极点配置法以及基于人工神经网略的鲁棒极点配置法。 ( 4 ) 模糊控制 模糊控制是以模糊理论为基础的，它的本质是非线性控制。当前国内外的一些专家 先后提出了间接自适应模糊控制和直接自适应模糊控制，其原理是利用模糊逻辑系统对 被控对象中的未知函数进行逼近，即对非线性不确定系统进行模糊建模。国内的王立新 于1 9 9 3 年提出了非线性自适应模糊控制方法，该方法是模糊逻辑系统配备某种训练算法 并按照输入、输出数据进行参数的调节。 模糊控制的特点是不需要被控对象的数学模型，但是需要设计者的经验知识和操作 数据。 1 4 论文主要研究内容 由上文的介绍可知：传统上为了抑制柔性臂的振动，往往只采用一种方法，或者用 被动方法或者用主动方法。本文为了获得对柔性臂更好的抑振效果采用主动与被动控制 相结合的方式。所谓被动方式是指利用柔性臂自身的结构来获得抑振效果，实现方法是 将柔性臂做成组合结构的形式，利用组合接触面之间的摩擦作用来耗散振动能量以求达 到抑振，这种组合结构形式的柔性臂称为组合柔性臂；主动方式是指设计合理的控制器 控制组合柔性臂的运动以求达到抑振的目的。 本文主要解决两个方面的问题，一是对组合柔性臂建模并研究其抑振性能，二是设 计控制器控制组合柔性臂的运动。论文的主要内容安排如下： 第l 章绪论 介绍了课题研究的背景和意义，概述了柔性臂的特性及其建模理论的发展历程，同 时介绍了柔性臂的振动抑制方法，并引出了组合柔性臂的概念。 第2 章组合柔性臂的力学特性分析 介绍了组合柔性臂的结构特点及特性，运用a n s y s 建立组合柔性臂的有限元模型， 利用该模型对组合柔性臂进行静态和动态的有限元仿真，同时基于组合柔性臂试验台分 别对组合柔性臂进行静态和动态试验。仿真结果与试验结果的比较验证了组合柔性臂有 限元模型的精确性，这为下文利用有限元模型进行仿真采取数据提供了理论依据。本章 还对整体柔性臂进行了动态仿真，比较组合柔性臂和整体柔性臂的动态仿真结果可以明 5 l 绪论硕士论文 显看出：跟整体柔性臂相比组合柔性臂具有良好的抑振效果。 第3 章组合柔性臂的等效动力学建模及其参数识别 建立了组合柔性臂的等效动力学模型，在此基础上利用汉密顿原理建立组合柔性臂 的振动微分方程，对于摩擦耗散函数e ( y ) 采用了双线性摩擦模型的形式。在对组合柔 性臂静态有限元仿真的基础上，采用四项式逼近确立了组合柔性臂的形函数p ( x ) ，并且 利用最小二乘原理对组合柔性臂的动力学参数进行识别。最后利用 m a 见b s 劢犯纪胁对组合柔性臂的振动微分方程求解，并用实验验证了求解结果， 同时间接的验证了e ( y ) 与p ( x ) 的准确性，为下一章建立组合柔性臂的运动方程并设计 组合柔性臂的运动调节器提供了理论依据。 第4 章组合柔性臂的运动建模及控制器设计 利用带耗散函数的拉格朗日方程建立了组合柔性臂的运动微分方程，并将该方程线 性化建立了描述组合柔性臂运动的状态方程，基于此状态方程利用二次型最优原理设计 了控制组合柔性臂运动的输出调节器。最后通过m 皿4 b s 2 ： 役亿删k 仿真验证了在输 出调节器的控制下，组合柔性臂具有良好的抑振效果。 第5 章总结与展望 概括了论文的主要研究工作，并对论文的某些不足之处提出了展望。 6 硕士论文组合柔性臂的建模及运动控制 2 组合柔性臂的力学特性分析 2 1 引言 本文对柔性机械臂振动抑制的被动方法是采用组合结构形式的柔性臂，即组合柔性 臂。所谓组合柔性臂是指由一根主梁与若干长条状零件按照一定的方式组合而形成的， 对于组合柔性臂有多种不同的组合方式，图2 1 列举了四种组合柔性臂的截面结构形式。 图2 1 中，a 是把三根圆管套在一根圆管之内，它们之间是属于过盈配合；b 是三角形 叠层结构；c 是利用波纹板做成的叠层结构；d 是用矩形薄板做成的叠层机构。考虑到d 所示的叠层结构比较容易加工，故本文便采用矩形薄板叠层的组合柔性臂作为研究对 象，利用这种叠层结构形式的柔性臂来研究组合柔性臂的特性不失一般性，它的结构示 意图如图2 2 所示。组合柔性臂是利用叠层产生的摩擦作用力来耗散振动能量的，由于组 合柔性臂的叠层与主梁的变形不相同，所以它们相互接触的表面之间会发生摩擦、滑移 和挤压等现象，这种相互之问的作用将会导致能量的耗散，即产生阻尼，这种阻尼被称 为接触面阻尼。 一一一 a c - 图2 1 组合柔性机械臂截面结构型式 与整体柔性臂( 图2 3 所示) 相比，组合柔性臂是由三部分组成，分别是主梁、上叠 层和下叠层，其中上下两个叠层在夹紧力的作用下与主梁紧贴在一起。对于整体柔性臂 而言，其刚度较小，在其运动过程中会发生横向弹性变形，柔性臂会发生振动，从而会 影响其定位精度或者影响对其定位的时间要求；与整体柔性臂不同的是，组合柔性臂在 振动时，由于上、下两个叠层与主梁在夹紧力的作用下相互接触，振动时叠层与主梁之 间的接触面会产生滑移从而产生摩擦，而摩擦作用会耗散掉振动能量，从而对柔性臂的 7 2 组合柔性臂的力学特性分析硕士论文 振动起到有效的抑制作用。 图2 2 组合柔性臂的组成 x 图2 3 整体柔性臂 为了研究组合柔性臂的抑振性能，本章运用a n s y s 建立了组合柔性臂的有限元模 型，分别对有限元模型进行静态和动态动力学仿真，同时对整体柔性臂的有限元模型进 行动态动力学仿真，通过比较组合柔性臂和整体柔性臂的动态仿真结果，验证了跟整体 柔性臂相比组合柔性臂具有良好的抑振效果。 本章还基于组合柔性臂试验台对组合柔性臂进行静态和动态试验，组合柔性臂静、 动态实验结果与仿真结果的比较验证了组合柔性臂模型的精确性。本章还对组合柔性臂 的静态仿真结果进行了分析研究，这些研究结果为确定组合柔性臂的形函数和摩擦耗散 函数提供了理论依据。 2 2 组合柔性臂的有限元模型 本文所使用的组合柔性臂系统的示意图如图2 4 所示，它的一端被固定在一平台上， 另一端悬空。组合柔性臂由三部分组成，分别是主梁、上叠层和下叠层，而且上下两个 叠层在5 个夹头螺钉的加紧力作用下与主梁紧贴在一起，另外在组合柔性臂的末端有一 8 硕士论文 组合柔性臂的建模及运动控制 质量块。 图2 4 组合柔性臂的示意图 其中夹头螺钉的结构示意图如图2 5 所示，它是一个框式结构，分别由调节螺钉、压 板、橡胶垫和加力框组成。通过螺钉的调节可以调节施加在上下叠层上的夹紧力，从而 使叠层与主梁之间产生不同程度的摩擦作用力。 图2 5 螺钉加紧示惹图 组合柔性臂主梁的结构尺寸为5 0 0 r a m 2 4 m m x5 m m ，其材料为4 0 c r ，经过锻打、 调质处理和校直后切削加工而成，故此主梁具有比较好的柔韧性。主梁的宽度约为高度 的5 倍，这样使主梁具有比较大的扭转刚度，因此可以避免试验时由于系统的分布质量 及载荷偏离主梁的纵向对称面而引起的扭转振动，从而干扰横向振动信号而造成采集的 数据不准确。组合柔性臂的弹性模量e = 2 0 7x1 0 1 1n m 2 ，泊松比= 0 3 ；组合柔性臂 上下两个叠层的尺寸相同，为5 0 0 m i n x2 4 m m x1 r a m ，其材料与主梁材料相同。 建立组合柔性臂的有限元模型还需要考虑以下两个问题： ( 1 ) 组合柔性臂受到较大载荷时将会产生较大的变形，故小变形假设不再适用，而 且系统的刚度矩阵将随着变形量的改变而改变，这是一个几何非线性问题。 ( 2 ) 组合柔性臂在振动时，叠层与主梁之间的摩擦作用力的大小会随着变形量的变 化而变化，也就是接触状态随变形量而改变，这是一个状态非线性问题 考虑到组合柔性臂的尺寸、材料条件以及上述的两个问题建立如图2 6 所示的组合柔 性臂的有限元模型。 o 王判 由b 质甜看粼 黼 2 组合柔性臂的力学特性分析硕士论文 图2 6 组合柔性臂的有限兀模型 在用a n s y s 对组合柔性臂进行有限元建模时，考虑到组合柔性臂在弯曲变形时为平 面应力状态，故采用p l a n 4 2 四节点平面单元对主梁和上下两个叠层进行离散建模， p l a n 4 2 单元具有大变形、应力刚化和大应变等特性，满足组合柔性臂的变形特性：模 型上下叠层与主梁之间的接触面作用由接触单元c o n t a l 7 1 和目标单元t a r g e l 6 9 的相 互作用来模拟；采用手动控制网格的划分以便得到合理均匀的离散单元，网格划分时， 主梁与叠层在长度方向上分为1 0 0 个单元，在柔性臂有限元模型的长度方向上被均匀的 分成了5 个部分，共形成5 个单元节点，每个单元节点上施加一个夹头质量单元，且在有 限元模型末端再施加一质量块单元。其中夹头质量单元和质量块质量单元皆用质量单元 m a s s 2 l 来模拟。 2 3 组合柔性臂的静力学仿真 2 3 i 组合柔性臂的有限元仿真计算原理 利用a n s y s 对组合柔性臂的有限元模型进行静力学仿真，要考虑它的几何非线性 问题以及状态非线性问题。由弹性力学可知：材料在小变形时，其应变与位移是线性的 关系；但是当发生大变形时，应变与位移不再成线性关系，此时的应变与位移关系可以 用g r e e n 应变张量表示n 朝。 对于组合柔性臂，它的有限元平衡方程可以表示为 y 0 ) = p ( 口) - q = 0 ( 2 1 ) 上式可化为 e ( a ) = q ( 2 2 ) 其中：口是组合柔性臂有限元模型节点上的位移向量； p q ) 是一个非线性函数向量： q 是组合柔性臂有限元模型节点上的载荷向量。 对于式子( 2 2 ) 所表示的非线性方程组用一般的方法很难求解，本文采用直接迭代 的方法对其求解，首先将式子( 2 2 ) 写成如下形式 k ( a ) a = q ( 2 3 ) 上式中 1 0 硕士论文组合柔性臂的建模及运动控制 k ( a ) a = p ) ( 2 4 ) 采用直接迭代法对其求解的步骤如下： 先假设一个初始的试探解为 a = 口o( 2 5 ) 将上式代入到式子( 2 3 ) 则可以得到改进了得第一次近似解 口( 1 ) = ( k o ) 一1 q ( 2 6 ) 其中 五( o ) = k ( a c o ) ( 2 7 ) 重复上述的步骤”次可以得到第以次的近似解为 口( ”) = ( 置( 川) 。q ( 2 8 ) 当误差的某种范数小于规定的最小容许以时，即 1 1 4 - 1 1 a 月 一口川i i o s g n o , ) = 0 ， 1 ，= 0 【l ， 1 ， o ( 3 4 9 ) 虼一2 只y 0 ) 虼，j c ，( f ) 0 一y o ) 一2 y , ，夕o ) 0 参考式子( 3 3 9 ) ，将组合柔性臂有限元模型在正弦激励f ( t ) t 获得的位移响应、速 度响应和加速度响应数据以，九，或以甄( 七= 1 2 ，聊代入式子( 3 4 5 ) 可得 3 3 只 虬 一 + 胛 肿 + 、，、， p y y o e一儿。e一儿。 3 组合柔性臂的等效动力学建模及参数识别 硕士论文 ( 3 5 0 ) 上式可以简化为劢= 】，其中b = a 0 口la 2a 3 c e 】7 ，nb 的最小二乘估计 为b = ( x 1 聊1 ( x 。n ( 3 5 1 ) 估计残差为2 = ( 劢一即1 ( x b d ( 3 5 2 ) 最后利用m at l a b 编制算法程序求解。 3 4 3 组合柔性臂模型参数识别算例 将形函数的式子( 3 3 3 ) 分别代入式子( 3 4 3 ) 和( 3 4 4 ) 可得到聊= 1 7 8 5 2 k g m o = 1 2 1 2 8 k g 。 由3 4 1 可知，按照最小二乘原理对组合柔性臂进行参数识别需要采集数据组 ( 葺，只) ( f = 1 ，2 , 3 ) ，即对组合柔性臂的激励数据以及与响应数据。 为了获得比较准确的组合柔性臂系统的参数，应要求组合柔性臂在每个振动周期内 都具有稳定的振幅，并且应保证组合柔性臂的叠层与主梁之间发生明显的滑移。由2 4 4 节组合柔性臂自由振动仿真的响应曲线可以看出，在自由振动的情况下其振动幅值是逐 渐衰减的，不符合上面的要求，而采用正弦激励下的响应具有比较稳定的振幅。故参数 识别时，采用正弦激励下的数据组作为样本，该激励采用8 h z 的正弦激励 f = 2 2 5 s i n ( 1 6 n t ) n 。 仿真时采用2 4 4 节进行自由振动仿真时相同的组合柔性臂模型以及相同的条件( 夹 紧力e = 9 8 o ) 和过程，只不过是将加载在组合柔性臂末端的载荷改为正弦交变载荷。 图3 1 4 是正弦激励信号以及组合柔性臂末端位移、速度和加速度响应曲线，由图可以看 出当在第3 s 激振信号开始施加以后，其响应曲线( 包括位移、速度和加速度曲线) 的振 幅在0 5 s 内有一定的波动，6 s 以后响应曲线的振幅趋于稳定不再发生变化，并且响应 频率与激励频率保持一致。有仿真结果可以看出满足对振幅保持不变的要求，故可以采 此正弦激励下的响应数据利用最小二乘原理求解线性方程组。 提取6 j 以后一个周期内的位移、速度和加速度相应数据以及相对应的正弦激励数 据，按照式子( 3 4 4 ) 编制m a t l a b 程序绘制如图3 1 5 所示的q 曲线，同时按照式子 ( 3 4 5 ) 和( 3 4 6 ) 编制程序绘制如图3 1 6 所示的q 曲线，由此可以求得模型参数 y 。= 0 0 0 1 4 me q啦以，c巨 广州ooiiiooioii业 一gqg；一鳊咒耽儿；蜘 3 1 3 2 3 3 订谚一；霸 2 1 2 2 2 3 2 订露菇；霸乃儿儿；蜘 ! 垡型鎏王一一望全鲞堡壁箜壅堡垄垩塾笙型 一一 一 m 口术i 工一口，憋偎仪坦训拄明 z z o r 疆 餐 糟 蠢 图3 1 4 组合柔性臂在正弦激励下的响应曲线 冬 暗 盏 萎 目卜 图3 1 5 动态恢复力曲线 图3 1 6 平均动态恢复力曲线 最后提取6 0 组在一周期内的以，呔，或，f k ( 七= 1 ，2 ，6 0 ) 利用编制的最小二乘法程序 可以求解出组合柔性臂系统的其他参数，见表3 3 所示。 3 5 3 组合柔性臂的等效动力学建模及参数识别 硕士论文 将聊和的值以及表3 3 参数值代入式子( 3 2 1 ) ，得到组合柔性臂集中参数的振 动微分方程 o 7 8 5 2 5 + 2 i m j , + f ( y ) - z ( y ) = ，p ) - 1 2 1 2 8 其中厂 ) = - 0 8 9 9 + 11 7 & l y + 1 7 5 2 2 y 2 + 1 8 9 0 1 y 3 d z ( t ) = 6 6 4 2 1 1 + s g n ( o 9 一) i 】砂( f ) 为了验证式子( 3 5 2 ) 所表示的组合柔性臂振动数学模型的正确性， 过仿真比较验证。 3 5 组合柔性臂自由振动响应的仿真与验证 ( 3 5 3 ) 在下一节将通 本文2 4 3 节通过有限元对组合柔性臂进行了自由振动响应的仿真，本章将利用 刎咒4 召i s ! 肠犯圮删k 对组合柔性臂的振动微分方程进行自由振动的仿真。将式子( 3 2 4 ) 所示的组合柔性臂的振动微分方程写成如下形式 1 夕0 ) = 二( f ( ，) 一所。g 一巧，o ) 一e o ) 一( y ) ) 历 因为是对自由振动响应的仿真，故令f ( ，) = 0 ，上式可化为 夕( f ) = 一! 蔓g c p ( t ) 一三e l j f ) 一i f ( y ) mmmm 上一节已经通过参数识别确定了上式的系数值以及e ( f ) 和f ( y ) 函数，其中f ( y ) 表 示一非线性弹性力，e p ) 表示摩擦耗散函数。由于s i m u l i n k 没有关于e ( r ) 和( 力函 数的仿真模块，故需要用到s 函数编错l j e ( t ) 和f ( y ) 的仿真计算模块。 3 5 1s i m u l i n k 与s 函数简介 s i m u l i n k 是m a t l a b 中提供的一种动态仿真工具，它支持连续、离散或者两者 混合的线性和非线性系统，系统的模型创建以后可以用s i m u l i n k 的菜单命令或者在 m a t l a b 的命令窗口输入命令来对系统进行仿真。利用s i m u l i n k 计算一般微分方程， 只需要在其模块库中找到相应的模块便可求解微分方程，对于找不到的模块则可以利用 s 函数编写程序来实现。比如e ( f ) 和( y ) 在s ! 撇兕胁k 中找不到相应的模块， 这时就 需要利用s 函数编写程序来实现。 s 函数乜妇是指采用非图形化的方式描述一个模块，它使用特殊的调用语法，这种语 法可以与s i m u l i n k 中的方程求解相互作用。使用s 函数的过程如图3 1 9 所示，在仿真 时，首先设置f l a g 为o 来调用s 函数，并请求提供数量( 包括连续状态、离散状态和输 入、输出的个数) 、初始状态和采样时间等信息。仿真开始时设置f l a g 为4 ，计算下一 个采样时间，请求s 函数计算模块的输出，然后设置f l a g 为2 ，更新模块的离散状态； 如果需要计算状态导数，这时需要设置f l a g 为1 ，由求解器计算出状态的值；当求出状 3 6 ： 硕士论文 组合柔性臂的建模及运动控制 态导数并且离散状态更新以后，设置f l a g 为3 来计算模块的输出，这样就结束了一个 时间步的仿真，当到了结束时间时设置用昭为9 结束仿真。 j 计算下_ _ 挎漪删 一豳 黝粼酶i 计觥 j 、脚。 歹m 怅d 酣l u l n n i 。t t i j d 落三e 国c o i z n 嚣d i t i n s 悠纛砌酯 i f m l 国a g o = 哪3 f l a g = 2 妇 f l a g = 3 p 埘 黑咖跳 f l a g = 9 竹细 图3 1 9s 函数调用过程 在使用s 函数仿真时，首先利用s i m u l l n k 中的u s e r d e f i n e f u n c t i o n 模块库 中的s f u n c t i o n 模块在模型中创建s 函数，此模块的对话框中要使用s 函数的名 称，对于本仿真需要创建的s 函数模块为e ) 和厂( y ) 的s 函数，故s 函数的名称 分别为e ( y ) 和厂( j ，) 。此外还需要在模块对话框中添加一些额外的参数，参数的输 入顺序按照s 函数中所确定的先后顺序。s f u n c t i o n 模块是一个但输入、单输出 的模块，故仿真时若有多个输入信号和输出信号，需要用m u x 模块和d e m u x 。 3 5 2 自由振动响应仿真与验证 在2 4 3 节用有限元的方法对组合柔性臂的自由振动进行仿真时，发现施加在5 个单 元节点处的夹紧力不同，自由振动响应的曲线也不相同，通过采取不同的夹紧力进行仿 真实验，最终确立了当夹紧力r 为9 8 o n 时其抑振效果比较好，故本节的仿真亦采取 f o = 9 8 o n ，并且其他的条件也与2 4 3 节的仿真条件相同，在柔性臂末端施加的载荷集 中力为9 8 8 ，柔性臂的末端位移为一2 6 6 7 r a m 。 本节以上述条件作基准，按照表3 3 中的动力学参数用m a t l a b s i m u l i n k 建立下 图3 2 0 所示的仿真模型。 3 7 ! 望全墨丝壁塑竺鏊垫垄兰壅堡垦茎墼塑型咝 图3 2 0 自由振动仿真模型 上述仿真模型中4 = i m og ，a - - 鸣= 去，呜= 昙，仿真结果如图3 2 1 所赢将2 a 3 节中用彳册瑙仿真与本节用s z 搬圮趴仿真以及实际测得的组合柔性臂的自由振动响 应曲线绘制在同一幅图上，如图3 2 2 所示。 3 8 e e 、 馋 通 图3 2 1 自由振动响应曲线 图3 2 2 自由振动响应曲线 硕士论文组合柔性臂的建模及运动控制 通过图3 2 2 中三条曲线比较可以看出，三条自由振动响应的曲线并不重合，但是曲 线的变化趋势是一致的。由此可见，本章建立的组合柔性臂的集中参数等效动力学模型 是准确的，能够比较准确的反映组合柔性臂的实际振动情况。 3 6 小结 本章对组合柔性臂模型进行简化，建立了组合柔性臂集中参数动力学模型，并在该 模型的基础上推导出了组合柔性臂的振动微分方程，通过参数识别确定了方程的各项系 数以及柔性臂的形函数p ( x ) 和耗散函数e ( y ) ，最后利用幽死4 b s 搬圮巩k 对振动微 分方程仿真求解，并通过实验验证了求解结果的准确性。基于以上内容可以得到以下结 论t ( 1 ) 组合柔性臂的集中参数等效动力学模型能够比较准确的反映组合柔性臂的实际 振动情况，从而间接的验证了e ( y ) 和厂o ) 函数数学模型的正确性。 ( 2 ) 利用s 函数编写e ) 和( 少) 的s d d u l i n k 模块是可行的，这为下一章对组合柔 性臂的运动方程的仿真提供了依据。 3 9 硕士论文 组合柔性臂的建模及运动控制 4 组合柔性臂的运动建模及控制器设计 4 1 引言 组合柔性臂的运动建模不同于传统的整体柔性臂的建模，其主要区别在于以下两个 方面： ( 1 ) 柔性臂的变形描述 对于整体柔性臂，传统的变形描述主要有运动学静态方法、有限元法和模态综合法。 对于运动学静态方法，它只考虑柔性臂小的静态弹性变形；有限元法是把含有无限自由 度的连续体理想化为含有有限个自由度的单元集合体，将变形问题转变为适合于数值解 法的结构型问题；模态综合法是以柔性机械臂的振型函数为基础，利用模态截断技术将 系统中的各个子结构的模态综合，然后得到系统的整个模态，模态综合法计算量相对较 小，具有系统性和效率高的特点，因此对于整体柔性臂经常采用这一方法。 而对于组合柔性臂，由于组合柔性臂系统由主梁和上下两个叠层组成，而主梁与叠 层的变形特性各不相同，故采用以上几种方法都难以较准确的描述组合柔性臂的变性问 题，故本章在建立组合柔性臂的运动学方程时采用论文