（电工理论与新技术专业论文）高精度快速边界元法及其在绝缘子电场计算中应用研究.pdf

a b s t 旧c t a b s t r a c t a l o n gw i t ht h ep o w e rs y s t 锄t r a n s m i s s i o nv o l t a g e 笋a d ei n c r e a s i n gt l l e1 1 i g h 盯r e q u 懿t t ot h e 鼢f b t yo fi i l s u l a t o ri sb r o u g h tf b n v 棚，m e r c f 0 t 0s t i l d yt l l ed i s 啊b u t i o no ft l l ee l 硎c p o t 蛀a l 锄dc l e c t r i cf i d di n t e i l s i t i 鼹- o ft 1 1 ei n s l l l a c o rh 嬲t h ei m p 0 咖ta c t i l a lm e a l l i n 黟 a i m 。da ti n c r c 勰i n gt 1 1 e c u r a c y 觚ds p e e do f b e m ，m e 锄w h i l ed e c r c 嬲i n gt a l 【u pm e m o t l l i sd i 蟠c r t a t i o nh a s 咖d i e ds i n g u d a fi i l t e g r a l sa l l dn e 砌y 咖g i d 缸i n t e g r a l so fb e m ，鲫墒c e b e mc h a r a c t 盯锄dm u l t i p o l eb e m d e l a m i n a t i n ga i l ds t o r i n gt e c l l i l o l o g y a n dp u tf o 刑a r d h i g l lp 厕s i o n 触髓m a n d 印p l i n gt l l i sm e m o dm cd e c 仃i cp o t e n t i a l 柚de l e c 仃i c 丘e l d i n t e i l s i t i 髂d i s m b u t i o fm eu h vi 唧l a c o r sa r ec a l c u l a t c dp r e l i l i l i n a r i l y t h em 洳 a c h i e v 锄e n t sa r e 勰1 o l l o 、v s ： 1 t h ec q u a t i o i l so f d b e m 锄di b e mh a v es y s t 黜a t i c a l l yb e d c d u c e d 晡恤c hc a i la p p l yi n e l e c 胁d 铭，m u l t i d i c l e c 砸c sa n dm l l l t i - f l o a t i n 争c o n d u c t o 塔e s p e c i a l l yi nm e mt l l e 日o a t i n 乎c o n d u c t o ri se q u i v a l e n tt od i e l e c t r i cw i mi i l f i i l i t ep 锄i 仕i v i 够a n dd o n tn e c d a d d i t i o n a lc o n s 喇n te q u a t i o l l s 2 as c to fa n a l y c i c a l i n t c j 旷a lm c t h o do ft r i 柚g u l 盯e l c n l e n tl i i l e 盯i n t e r p o l a t i o nb e mh 勰 s y s t a n a t i c a l l yb e e nd e d u c e d 觚dp u tf o r w a r d b yt l l i sm e t h o dt h ee r r 0 体c a u s o db yn e a r l y s i n 刚盯觚ds i n g i l l a ri n t e 伊a l s “m i n a t e d 1 k sm e 吐1 0 di sp a r t i c u l 盯l ya p p l i c a b l et o s h e 盼m e t a la i l dn a n d ws e a lw l l i c hh a v ep r o m i n e n ts i n g i l l a r i 6 鼯 3 a i m e da ts p h e r i c a l ，c y l i n d r i c a l ，c o n i c a l 锄dt o r o i d a le i e c t r o d 器i ne l e c 缸c a l 饥g i n e e i i n 岛 b 笛e do nm ec o r r 铝p o n d i n gc o o r d i n a t e 咖f o 锄a t i 伽t h er 锄d o m l ym 部1 1 i n gs u r f 如e b e mi sp u tf o r w a r d h lm i sm e 【h o d ，m ep r c c i s i o ni si 1 i l p r o v c d 丘d mt h r e ca s p e c t so f 幽o w ni m e f p o l a t i o i l i m e g r a lr e 百o n 趾dn o 咖a ld i r e c b o i l s t h ec a l c i l l a t i n gr e s u l t s s h o wt l l a tc o m p a r o dw i t l lo n e o r d c r 锄d 铆o o r d e rb e mi i lr e c t a n 西es y s t e m ，o nm e c o n d i t i o no f m es 锄em e s l l i n gn o d e s l ep d e c i s i o no f t h es u m c eb e mi so b v i o u s l yh i 曲e r ； 锄d t l i ec o n d i t i o no ft h es 锄ep r e c i s i o nt h es u r f 妇b e m 懈i u i 瑚l 销sn o d 部， c o n s o q u e n t l yr e q u i r c dm e l l l o r y 柚dc a l c l l l a t e dt i l i l ec 锄b ed c a e 鹤e d 辨a t l y 4 h l l ec o u r s eo fd e l a m i n a t i o fm l f m ab e mt l l es a v i n gm 哪o r yt e c i l i l i q u e 锄d 凰t d d 锄i n a t i n gm c t h o da r ep r c s e n t e d h ld e l 锄i n a t i n gc o u r t l l r e co n e - d i m c f 峪i o na r r a y s s u b s t i t i l t ef b raf o u 卜d i m c f i s i o na 竭a y ，t l l u st l l em 锄o r i e sa r es a v e dg r e a t l y t h et o t a l e l c i n 朋t sa r e 嬲s i 舶e di n t ob o x 骼o fac e n a i nl a y e ro fs o m et o p s h ld o w f l w a r d d d 锄i n a d n gc o u r s eb e c a u o i i l ye l c i i l e n t si i lc o r r e l a t i n gb o xa r ej u d g e dm es p e e di sf 如t t h ec a l c l l l a t i n gr c s u l t ss h o wt h a ti np co fl gm e l i l o r yt h eu n l ( i l o w 璐c a i lr e a c ht h l e e h 华北电力大学博士学位论文 m i l l i o l l sb ym l f m ab e m 5 c o m b i n e ds u 施c eb e mw i mm u l t i p o l et e c h n i q u e t 1 1 es u m c em u l t i p o l eb e mi sp u t f o m r 盯d i i lc a l 训a t i i l gm u l t i p o l ec o e 伍c i t sm e 鲫r f h c ei n t e g r a l s a 咖a lb o 眦d a r y 躺 a d o p t e d h e i l c ct l l ea d v e n 协g 鼯o fh i 曲p m d s i o n 洲f a c cb e m 柚d 缸tm u i t i p o l e t e c l l i l i q u ea r ef i l l l yu t i l i z e d 6 a 妇c da te l e c 砸c a l6 e l dc a l c u l a t i o nm el l i 曲p r e c i s i o nf 如tb e ms o f h a r ep a c k a g ei s d c v e l o p c de l 钮l t 撕1 y m a l 【i 1 1 9l l s eo ft h i s 加a r ep a c k a g el l l ei n 跚i a t o r 嘶n ge l e c t r i c 6 e l dd i s 仃i b u t i o ni sc a l c l l l a t c dp r c l i l n i n a f i l y k e yw o r d s ：b e m ，h i g hp r e c i s i o n ，f a s t ，i n s u l a t o re l e c t r i cf i e l d i 声明 本人郑重声明：此处所提交的博士学位论文高精度快速边界元法及其在绝缘 子电场计算中应用研究，是本人在华北电力大学攻读博士学位期间，在导师指导 下，独立进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外， 本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究 工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件：学校可以采用影印、缩印或 其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校 可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：弛 日飙掣 一名：婵， 导师签名： 堑：y ) 日期：竺z ：乒，名 华北电力大学博士学位论文 1 1 课题的背景及意义 第一章引言 随着我国经济多年来的高速、持续发展，作为能源供应的电力行业已处于优先 发展的地位。为了更好地为国民经济的发展提供能源支持，电力系统正在向超高压 和特高压方向发展“1 ，这就对电力系统的安全性提出了更高的要求。输电线路中， 绝缘子串是非常重要的关键部位，两端分别连接着高压和低压端，易产生电晕，放 电，严重时甚至造成介质的击穿，形成事故。为保证电力系统的正常运行，将故障 造成的损失降到最低，需要研究绝缘子及其附近区域的电场强度和电位分布”“。 由于超高压和特高压输电线路的特殊性，对绝缘子及其附近电场强度和电位进 行实际测量具有一定的困难，因此数值计算方法成为研究其电场强度和电位分布的 重要方法。又由于绝缘予周围的电场是开域场，边界元方法是解决开域场问题的最 理想方法。边界元法是把边值问题等价地转化为边界积分方程问题，然后利用边界 单元离散技术所构造的一种方法呻，其主要特点是：( 1 ) 降低问题求解的空间维数。 边界元方法将给定空问区域的边值问题通过包围区域边界面上的边界积分方程来 表示，从而降低了问题求解的空间维数。也就是说，三维问题可利用边界表面积分 降维为二维问题；而二维问题则利用边界的线积分降维为一维问题。因此，边界元 离散仅对应于二维曲面或一维曲线，使方法的构造大为简化。( 2 ) 求解问题的自由 度降低。边晃元方法的待求量将仅限于边界节点，这不仅简化了问题的前处理过程， 而且降低了待求离散方程组的阶数。( 3 ) 易于处理开域问题。边界元方法只对有限 场域或无限场域的有限边界进行离散化处理并求解，故特别适合求解开域问题。 虽然边界元方法具有以上优点，但边界元方法也又其缺点。第一，边界元 方法在形成系数矩阵时，存在奇异积分和接近奇异积分，如果对其处理不当，将严 重影响最后结果的计算精度。第二，边界元方法中形成的系数矩阵为稠密矩阵，因 为所有的源单元都对每一个场单元产生作用。在存贮系数矩阵时，边界元方法要占 用更多的内存，这是限制边界元求解自由度的主要原因。 超高压和特高压输电线路中的绝缘子具有结构复杂，尺寸较长等特点，几串相 同的绝缘予并列存在，同时还要处理多介质和悬浮导体的问题。绝缘子结构的复杂 性使得在对其表面进行网格剖分时，剖分单元不可能太大，因此网格剖分后，将产 生数目极大的单元和节点数，这是一般边界元方法难以克服的障碍。如果利用边界 元方法求解超高压和特高压输电线路中绝缘子上的电场强度和电位分布问题，必须 第一章引言 解决以下三个方面的问题：( 1 ) 计算的精度问题；( 2 ) 计算的速度问题；( 3 ) 大自由 度的问题。这三个方面的问题是相互关联的，其中第一和第二个问题是相互矛盾的 两个问题。对于同一个计算问题，如果要求计算精度高一些，就要将模型网格剖分 的细一些，剖分单元和节点数就要增加，单元和节点数的增加立刻影响到计算的速 度，反之易然如何解决好这些矛盾是本论文研究的主要问题，本论文主要解决上 面三个方面的问题。 1 2 国内外相关问题研究现状 边界元方法属于积分方程方法。虽然微分方程的主要特性早在十九世纪就已完 全分析清楚，但古典的积分方程直到1 9 0 5 年才由f r e d h 0 1 m 首次作了粗浅的探讨。 白那以后，对积分方程作过较深入的研究，尤其在场论领域。对积分方程形态上的 深入研究主要应归功于近代m i k h l i n 的贡献“”1 ，他研究了含有标量型和矢量型( 多 维) 被积函数的积分方程，特别是积分域内带奇点和间断的情形“”。虽然在积分方 程的性质及其分类方面己取得了巨大的进展，却没有人考虑过可能以此为基础建立 一套通用的数值算法，以用于求解范围极广的各种实际问题。高速计算机的发展对 此起了促进作用，其中的一大成果就是出现了边界元法。 边界元方法又分为直接边界元方法和间接边界元方法，它们既有共同点，又有 不同之处： 1 直接边界元方法( d b e m )在直接边界元表达式中，积分方程内出现的未知 元是真实的物理变量。这种积分方程的解就是要求解的系统边界上的值，而区域内 部的值则可通过边界上的值推算出来。c r u s e ，l a c h a t ，r i z z o ，s h a w ，w a t s o n 等 人都阐述过以这类近似法为基础的算法“，它们被称为边界积分法。 2 间接边界元方法( i b e m )在间接边界元表达式中，积分方程完全用微分方 程的单位奇异解表示，这些奇异解对应边界奇点处的密度函数，比如静电场问题中 对应的是边界上的电荷密度函数。一旦从积分方程数值解求出密度函数，则只要作 一些积分运算就可以得到区域内部任意一点处解的数值。这种算法是由b a n e r j e e ， b u t t e r f i e l d ，h e s s ，m a s s o n n e t 。0 l i v i e r a ，t o m l i n 等人提出“3 的，并广泛应用 到了各种工程问题之中。 对于直接边界元和间接边界元方法，在剖分网格确定的情况下，提高计算精度 的方法一是要处理好奇异积分和间接奇异积分的问题，再者就是用曲面单元替代平 面单元。对于提高计算的速度，减少计算机内存占用的问题，利用多极子方法可以 解决。迭代法和多极子方法结合在一起，在解线性方程组时可以避免矩阵和矢量的 乘积，因而可加快计算的速度。 2 华北电力大学博士学位论文 1 2 1 奇异积分和接近奇异积分 有多种方法处理奇异积分和接近奇异积分的问题。通常的数值计算处理方法是 将场点所在的剖分单元及其场点附近的剖分单元进行细分。 7 5 图l l 剖分单元细分的一种方法 将剖分单元细分的方法也有多种，其中一种就是将剖分单元均匀细分，图l l 就是其中的一种将线性三角形单元细分的方法“。剖分单元a 沙中，1 ，2 ，3 ，4 为单元内部的4 个高斯点，5 ，6 ，7 为单元边的中点，假设场点在1 点处，以剖分 单元的顶点、单元内部的高斯点和单元边的中点为顶点，将剖分单元细分为1 2 个 小的三角形区域。在每个细分后的小三角形内部再取4 个高斯点，分别计算1 2 个 小三角形上的数值积分，将计算结果叠加在一起即为整个剖分单元上的数值积分 值。由于进行数值积分计算时，源点在细分后小三角形内部的高斯点上，从而避免 了源点与场点的重合，消除了边界元的奇异性，但接近奇异性还是存在的。对于场 点所在剖分单元以外的单元，判断其积分是否为接近奇异积分，可设置一长度判据， 当源单元中心与场点间距离小于长度判据时，即可认为是接近奇异积分。”。对接近 奇异积分剖分单元的细分方法与奇异积分单元的相同。线性四边形剖分单元的细分 方法与线性i 三角形剖分单元类似，也是以高斯点为顶点，将四边形单元许多小的四 边形。以4 高斯点为例，线性四边形单元细分后变为9 个小的四边形，具体细分方 法在此不再赘述。 文献 5 9 给出了剖分单元另外的细分方法。均匀细分方法如图l 一2 所示，场 点在剖分单元的直角顶点处，假设单元边被细分为份，则细分的小三角形总数为 2 。图1 3 为非均匀细分的情况，越靠近场点的部分，细分的小三角形越密。图 中a ，b ，c ，d 分别对应单元边细分的份数为2 ，3 ，4 ，5 。文献表明非均匀细分的 计算精度要高于均匀细分的计算精度。 3 第一章引言 佥企 图l 一2 均匀细分 心途睑途 图l 一3 非均匀细分 半解析的p a r t “1 方法也是用来处理边界元中奇异积分和接近奇异积分的。该 方法在曲面单元的切平面上采用极坐标，然后利用单指数或双指数变换得到径向变 量。计算结果显示，与数值方法相比，计算精度有一定的提高，但计算效率下降。 处理边界元中奇异积分和接近奇异积分最理想的方法是解析积分方法呻。文 献 6 4 在非正交坐标系中用解析的方法讨论了三维温度场线性三角形单元的奇异 积分和接近奇异积分问题。该方法完全适用于三维静电场的计算，文中把剖分单元 的形状函数作为一个整体，其中涉及到形状函数在非正交坐标系间的转换，计算公 式非常复杂。考虑到形状函数，= ( 口f + 6 j 工+ q y ) 2 “”，f = l ，2 ，3 ，其中工，y 为单元内部一点的坐标，a 为单元的面积，q ，红，q 为与单元节点坐标有关的常 数。三个形状函数形成的一阶和二阶奇异积分和接近奇异积分中含有下面相同的六 个积分 班，妒，胪，睁n 驴，驴 如果利用解析的方法将上面六个积分求出，通过适当的组合，就可以计算出边界元 中的奇异积分和接近奇异积分，计算过程将大大简化。因此有必要对解析积分方法 作进一步的研究。 1 2 2 曲面积分 4 华北电力大学博士学位论文 为了提高计算的精度，可以采用高阶曲面剖分单元。但大于二阶的单元很少用 到，就是二阶单元0 1 3 “1 也不是常用。在二阶剖分单元与一阶单元节点数相当的 情况下，二阶剖分单元的计算速度比一阶单元要慢的多。二阶剖分单元虽然比一阶 单元更接近实际的边界曲面，但也不能完全拟合实际的曲面。计算边界元积分时， 最理想的方法就是积分在实际的边界曲面上进行。文献 6 9 针对工程中经常遇到的 曲面，计算了曲面上的边界元积分，其曲面单元只能是边为等值坐标线的规则曲面 单元。对于球面的上下极点，文献没有给出处理的方法，但极点对于球面来说是非 常重要的两个点，如果处理不当，对计算结果将产生影响。另外文献对圆锥面采用 球坐标方法处理是不方便的，因为圆锥面与圆柱面相近，采用圆柱坐标变换的方法 处理比较合适。对四种规则曲面任意网格剖分的情况文献 6 9 ，7 0 没有给出计算方 法，因此有必要对曲面积分作进一步的研究。 1 2 3 快速多极子方法 快速多极子方法( f m m ) 是对求和项喜 近似计算的方法7 m 7 l 】，计算的精确度 和展开的项数密切相关。在空间区域内含有雄个电荷吼，每个电荷的位置为玉，求 解每一电荷处的电位时，直接的计算量是d ( ，z 2 ) 阶，当玎增大时计算量将急剧上升。 ( a ) 直接作用( b ) 集中后作用 图1 4 多极子方法与直接方法的比较 快速多极子方法首先将电荷分堆，每堆电荷集中后再相互作用。从图1 4 看 出，多极予方法的作用次数大大小于直接相互作用的次数口对。 将快速多极子方法最早应用于边界积分方程的求解，可以追溯到1 9 8 5 年 r o k h l i n 的论文 7 3 。2 0 世纪8 0 年代后期，g r e e n g a r d 和r o k h l i n 用该方法研究大 s 第一章引言 量电荷的静电场和大量天体的引力场“”1 。9 0 年代初，r o k h l i n 将其推广到声波和 电磁波散射“”“1 问题的求解，引起了计算电磁学领域的广泛关注。美国1 1 1 i n o i s 大 学w c c h e w 的研究小组迅速将其应用于求解电磁波散射积分方程中，并陆续在f 删 的基础上发展了多层快速多极子方法( m l f m a ) ”，射线传播快速多极予方法 ( r p f m a ) 啡删和最陡下降快速多极子方法( s d f m m ) 呻“1 。同样是9 0 年代初，麻省理工 学院的k e i t hn a b o r s 等人将多层快速多极子方法应用到高速电路电容参数的提取 中，并且解决了含有介质边界的问题0 2 “1 。由于多极子方法占用内存少，计算速度 快，求解自由度大，现在已经成为计算电磁场问题的重要方法之一陋”。本论文目 的希望借助快速多极子方法来研究象绝缘予串这样的含有多种介质和多悬浮导体 的电场分布问题，以解决计算速度和计算规模的问题。 1 3 论文的主要工作 本论文围绕边界元的精度、速度、内存占用和绝缘子电场强度与电位的计算问 题，主要进行了以下几方面的工作：论文第二章系统推导了含多种介质和多悬浮导 体时直接边界元和间接边界元方程；第三章提出并推导了一套三角形线性插值边界 元的解析计算方法；第四章基于几种坐标变换，提出了适用于任意网格剖分的曲面 边界元方法：第五章研究了快速多极予边界元方法并与曲面边界元结合；第六章为 论文的结论与展望。主要研究内容如下： 1 全面系统地推导了有多种介质和多悬浮导体存在时的直接和间接边界元方程。 在直接边界元中，利用每一悬浮导体上电荷总量为零的条件推导了悬浮导体应 满足的附加约束方程；根据电位移矢量的法向分量在边界上连续，以电位移矢 量的法向分量除以真空中的介电常数为求解量，给出了含多种介质、多悬浮导 体和电极情况下不同区域边界元方程的耦合方法；该方法可同时求出悬浮导体 和介质边界上节点的电位，但所需内存增加。在间接边界元中，利用电位计算 公式推导了场点在电极边界上满足的边界元方程；利用边界条件推导了场点在 介质边界上满足的边界元方程；将悬浮导体看作介电常数无穷大的介质，导出 了场点在悬浮导体边界上满足的边界元方程；间接边界元不需要附加约束方程， 不求悬浮导体和介质边界上的电位。 2 提出并系统推导了一套三角形线性插值边界元的解析算法。该解析算法不仅适 用于计算非奇异积分，同样适用于计算奇异积分和接近奇异积分，消除了奇异 积分和接近奇异积分对计算结果的影响。该方法特别适合计算薄板、细缝等奇 异积分比较突出的电场问题。利用解析方法分析了一阶和二阶奇异积分和接近 奇异积分数值计算方法对结果的影响，得出数值积分中二阶接近奇异积分是引 6 华北电力大学博士学位论文 起计算结果误差的主要原因。 3 针对电气工程中经常遇到的球形、柱形、锥形和圆环形电极，建立相应坐标系， 提出了基于坐标变换的适用于任意网格剖分的曲面边界元方法。不同于二阶曲 面单元方法，该方法是在实际曲面上进行边界元积分的。对未知函数的插值是 在实际曲面上完成的，单元的外法线方向也严格取为实际曲面的外法线方向。 对于球面，利用球坐标变换将曲面积分区域转换为球坐标妒，口表示的平面积分 区域，函数在球面剖分单元上沿p ，口线性插值；另外还提出了球面三角形边界 元方法，利用球面三角形和其对应的平面三角形的积分关系计算球面三角形单 元上的积分，给出了球面三角形单元上形状函数的计算方法。对于柱面和锥面， 利用柱坐标变换将曲面积分区域转换为柱坐标矿，z 表示的平面积分区域，函数 在柱面或锥面剖分单元上沿伊，孑线性插值。对于圆环面，利用圆环坐标变换将 曲面积分区域转换为圆环坐标矿，口表示的平面积分区域，函数在圆环面剖分单 元上沿矿，口线性插值。对上面曲面的处理方法其基本思路是通过适当的变换， 将曲面积分区域转换为平面积分区域，然后利用熟悉的处理平面单元的方法解 决。计算表明，与一阶和二阶单元边界元相比，在节点数相同时，曲面边界元 计算精度明显提高；在计算精度基本一致时，因曲面边界元节点数明显减少， 计算时间和内存占用大大减少。 4 在多层多极子边界元计算中提出了用于前期分层的内存节省技术和加速分层方 法。在分层过程中应用三个一维数组重复使用替代一个四维数组，大大减少了 内存的占用。将单元分配到上面几层的某一层方格中，往下分层时只需判断相 关方格内的单元即可，分层速度大大加快。计算表明使用该方法在1 g 内存的p c 机上求解规模可达3 0 0 万自由度。 5 将曲面边界元与多极子结合，提出了曲面多极子边界元方法。该方法在计算多 极子系数时采用实际边界曲面积分，充分发挥了曲面边界元单元积分精度高和 多极子方法计算速度快的优势。 一 6 基本完成了针对电场计算的高精度快速边界元程序软件包的研制。初步利用该 软件包对特高压绝缘子的电场分布进行了计算 7 第二章含多种介质和多悬浮导体的边界元原理 第二章含多种介质和多悬浮导体的边界元原理 边界元方法是求解边值问题的积分方法，把对整个问题的求解分成两步进行。 首先根据边界条件计算边界上的未知量，然后利用求出的边界面上的值计算区域内 部未知量。边界元方法可分为直接边界元方法( d b e m ) 和间接边界元方法( i b e m ) “”， 二者既有区别又有联系。场域内含有介质和悬浮导体时，直接边界元和间接边界元 的处理方法是不一样的，分别论述如下。 2 1 含多种介质和多悬浮导体的直接边界元基本原理 2 1 1 直接边界元方程 设空间区域v 的边界由曲面墨和最组成，区域内的电荷体密度为p ( ，。分别 用，和r 表示场点和源点，五= r - j r 。当给出边界条件和区域内电荷分布时，求解 区域内及边界上的电位和电场强度分布可表示为下面的边值问题 v 2 击：一旦 占 痧= 九，妒墨 一娑：，是 口摊 ( 2 1 ) 式中矿为电位，s 为区域内介质的介电常数，为边界的外法线方向，九为边界墨 上的电位，氏为边界最上的法向电场强度利用标量的格林第二恒等式，式( 2 1 ) 表示的微分方程可以转化为积分方程。标量格林第二公式为 班( 妒2 妒一妒2 ) d 矿= 粤( 等一芸 d s c z 锄 其中，缈为任意标量函数。令y = 1 r ，r 为皿的模，当场点在区域的内部时 v 2 妒删( 去 = 一伽( r ) ( 2 3 ) 将式( 2 1 ) 和( 2 3 ) 代入式( 2 2 ) 得 庐( r ) = 去班警d y + 击科去警一妒未( 去) 心 c z 埘 华北电塑盔堂堡主堂垡笙壅一一：i ：二：i ：乏i - j i i ：乙：磊道边界上的电位、电场强度和区域 至：雹嚣鬻篱翟黧；呈薹篡磊篡摆兰凳l 磊詈淼。三茏嚣 皇檗塞誓竺髦：。i 就姜差兰萎耋羹萎嚣竿，三蠹笔翼呈篙毛茬罢三壶嚣三篥：b 羞羞 苎黧要嚣喜然器黜篙淼篡茹 二类边界条件下，已知边界上的电场强度而电位未知凼此利用a u 刨”1 ” 壶卅) ：去班譬d 矿+ 去9 【去箬一妒未喉) j 益 巧 昙( 舟一= 争 q 。6 扣= 去啦筹妒争卜 q 1 圭；军军妙渺去；莓手军驴赡篆拶* 去莩莓季军舻驴警拶岱 2 。8 式中e 表示场单元的编号，e t 表示源单元的编号，芝表示场单元的积分区域，疋表 示源单元的积分区域。令向量纠一兽，一警，一r ，州旃，机】t ，并且令矩阵 以砌肌m 心 2 9 & q = 善j j _ 盯等峦心 f f t 一。 ( 2 一1 0 ) ( 2 一1 1 ) 酊心 墼膏 m 和 ， 儿品 ， 。 i i 第二章含多种介质和多悬浮导体的边界元原理 将式( 2 8 ) 写成矩阵的形式 c e = ( 一+ d ) = 曰 ( 2 1 2 ) 因此在第一类边界条件下，已知边界电位向量即，通过式( 2 一1 2 ) 即可求解边界电场 强度向量e ；反过来已知边界电场强度向量e ，通过式( 2 1 2 ) 即可求解边界电位向 量即。如果边界面的一部分已知电位，其余部分已知电场强度，则可将式( 2 一1 2 ) 重 新组合，使未知量在同一侧而已知量在另一侧，求解方程组即可得到节点未知的电 位和电场强度。边界面上全部节点的电位和电场强度求出后，就可以利用式( 2 4 ) 计算区域内部的电位了。 2 1 2 空间含有悬浮导体时的附加方程 当空问含有悬浮导体时。由于悬浮导体表面的电位和电场强度未知，求解问题 的自由度增加，必须增加方程的个数方程组才能求解。对于每一个悬浮导体，其表 面的自由电荷的代数和应为零。设第，个悬浮导体表面的自由电荷面密度为仃， 肛嚣= o 岛 ( 2 1 3 ) 其中s 为第，个悬浮导体表面。考虑到盯= 毛e ，离散后的式( 2 1 3 ) 应为 j j 弼罨心= o ( 2 - 1 4 ) 唧 其中e ，为第，个悬浮导体上单元的编号，咒为第白个单元的积分区域。令矩阵 ( 勺) 。= j m 心 ( 2 - 1 5 ) 唧毛 式( 2 1 4 ) 写成矩阵的形式 勺量= o( 2 1 p ) 式( 2 1 6 ) 即为有悬浮导体存在时的附加方程。方程的个数等于悬浮导体的个数。 2 1 3 含多种介质、多悬浮导体和电极情况下方程的耦合 当空间不仅含有电极和悬浮导体，而且含有介质时，由于介质表面上节点的电 位和电场强度未知，求解问题的自由度进一步增大。由于边界积分方程只适用于均 匀介质，对于含介质和空气的情况，应对空气边界和介质边界分别写出边界积分方 程，然后将两组方程耦合在一起。 1 0 华北电力大学博士学位论文 o 图2 1 空间含有介质、悬浮导体和电极情况示意图 曼兰耋 差 = 萎差妻 墨 c z 一z ， 第二章含多种介质和多悬浮导体的边界元原理 其中c ，丑为，l 咒的方阵。当节点不在介质边界上时，该节点对应的矩阵的行和 列的元素全部为零。这时矩阵方程中不为零的方程个数为拧2 i + 他2 + 一i o + + 鸭。 写成方程组的形式为 c 1 2c 1 3 c 2 2 c 3 2 岛3 置 e 巨 甄。6 i ：6 i ， 匠吐吐 瓦如e ， ( 2 1 9 ) 式中，e ，e 为电极、悬浮导体和介质边界上介质侧的电场强度。将介质中的电 场强度折算为空气中的电场强度，考虑到在介质与空气边界面墨，瓯两侧，边界的 外法线方向是相反的，e = 一乓，因此 差 = 毒 墨 c z z 。， 有介质存在时，悬浮导体由与空气的边界墨和与介质的边界墨组成，如图2 1 所示。 这时式( 2 1 3 ) 改写为 甄a d s + 忙舢= o 西文 式中盯，以分别为焉和蜀面上的自由电荷面密度， 由电荷面密度公式代入式( 2 2 1 ) 得 甄e 芦+ 甄s ，啦= o 马矗 ( 2 2 1 ) 盯= 岛易，c r c = 毛砭，将自 ( 2 2 2 ) 将砭折算成最后得到的公式和式( 2 一1 6 ) 完全相同。 将式( 2 2 0 ) 代入( 2 一1 9 ) ，去掉珂l o + 个节点在导体、介质和空气三种物质交 界处的方程，然后与式( 2 一1 7 ) 合并，并将式( 2 1 6 ) 一起合并，得 1 2 华北电力大学博士学位论文 一6 l ：一岛， ， 一6 2 ：一6 2 ， ， 一6 3 ：一岛， ， 争争一争一反：一目， s f 8 r s r了 争争一等一如：一屹 s r 8 r s r1 争争一争一e ：一瓦， s r8 r8 r了 o 勺 0oo 以 ( 2 2 3 ) 式( 2 2 3 ) 中把未知的悬浮导体边界上节点电位珐和介质边界上节点电位办都移到了 方程的左边。由于同一悬浮导体上节点的电位都相同，应将对应的矩阵元素累加在 一起。系数矩阵中第四列的求和即表示对第，个悬浮导体上所有节点对应的矩阵元 素求和，这样的列数应等于悬浮导体的个数小。系数矩阵中第五列与介质边界上节 点的电位有关，包含的列数应等于介质边界上节点的个数。系数矩阵最后一行为悬 浮导体约束方程的系数矩阵，包含的行数也等于悬浮导体的个数所。式( 2 2 3 ) 中方 程的个数为 i + 7 1 2 l + 7 1 3 + q o + + 啊2 + ，1 2 2 + 鸭+ ，竹 = 啊+ 也+ 2 玛+ 埘( 2 2 4 ) 2 n + + 肌 而未知量包括，z 个节点处的电场强度，m 个悬浮导体的电位，空气与介质边界上 个节点处的电位，未知量总数正好等于方程的总数。求出边界上各节点的电场强度 后，介质侧节点的电场强度可用相应节点的电场强度除以相对介电常数即可。 2 2 含多种介质和多悬浮导体的间接边界元基本原理 间接边界元是基于点电荷的基本解和叠加原理的边界元方法。它不像直接边界 元那样，边界积分方程只对一种均匀介质的边界面成立，不同介质需要不同的边界 积分方程，间接边界元的积分方程是对区域内所有边界进行积分。 求解区域内含有电极、悬浮导体和介质时，在电极一空气和悬浮导体一空气的 边界面上有自由电荷存在，在介质一空气的边界面上有极化电荷存在，在电极一介 质和悬浮导体一介质的边界面上既有自由电荷又有极化电荷存在。周围空间的电场 1 3 岛玩如既玩岛o 巨易易欢九 铴 吃 q 乞 包 第二章含多种介质和多悬浮导体的边界元原理 是由自由电荷和极化电荷共同产生的。在边界上，设场点为，源点为，胄= ，一， 边界面上的电荷面密度为盯。这里的电荷面密度既包括自由电荷面密度，也包括极 化电荷面密度，是二者的和。 2 2 1 场点在电极边界上 当场点，在电极的表面上时，该场点的电位是已知的。由于区域内任意一点的 电位是由区域内的所有电荷共同产生的，因此场点，处的电位表示为 卅) = 蜡心 ( 2 - 2 5 ) 式( 2 2 5 ) 为场点在电极表面的边界积分方程。以盯毛为求解变量，记为e 将边界 离散，并利用伽辽金加权余量法，则式( 2 2 5 ) 变为 轫；手军舻m 谚心2 莓莓手莩妒赡毒衄曲 心- 2 6 ， t j ist t j l s s o 式中指标符号与直接边界元中相同。令一 以= 4 石j 衄 ( 2 2 7 ) 弓= 莩善j j m 略曲 ( 2 2 8 ) fo e最t 一 则式( 2 2 6 ) 写成矩阵的形式为 船= 彤( 2 2 9 ) 其中p 的行数等于电极上节点的个数，列数等于节点的总数。量为所有节点上的 q 组成的列向量。是维数等于电极上节点数的方阵，为电极上节点电位办组 成的列向量。 2 2 2 场点在介质边界上 在介质界面上，节点的电位是未知的，所以不能根据式( 2 2 5 ) 写出边界积分方 程。但在介质分界面上电位移矢量的法向分量是连续的，根据这一边界条件即可写 出边界积分方程。 设两种介质的介电常数分别为巳，毛，分界面的正方向规定从介质n 到介质6 。 1 4 华北电力大学博士学位论文 图2 2 介质与介质边界的正方向 在场点r 附近两侧介质中分别有场点和吃，满足边界条件 毛掣一乞掣= 。 ( 2 3 0 ) 在场点，附近的微小边界可以看作平面边界，另一方面该平面边界相对于点，又可 看作无限大平面，因而该平面边界上的电荷在，两侧的和吃点产生的电场强度分 别为 盹) = 等 3 1 ) 砘) 一等 3 2 ) 将点乞和屹分别从介质的两侧趋于点，使三者表示同一点，并且将式( 2 2 5 ) 、( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 代入式( 2 3 0 ) 化简后得 f 阵业万盥型：o ( 2 - 3 3 ) 嶝爱 qs b 一8 - s 4 式( 2 3 3 ) 中的积分区域应除去点，附近的平面区域，但在该平面区域内矢量丑与气 的夹角为9 0 度，此区域内的积分为o ，因而将积分区域变为全部边界曲面并不影响 计算的结栗。将边界离散，并进行伽辽金加权余量，积分方程( 2 3 3 ) 变为 令矩阵d 的元素 ；善莓莩舻”争掣酊晒+erj 足 最 一o ：噜鲁。莓莩军妒m 掣曲= 。 s a ， 1 5 第二章含多种介质和多恳浮导体的边界元原理 岛2 ；善驴川争郴铊万繁莩舻m 邙 s s ， f t 墨 儿 0 6 t o dt 蔓 则式( 2 3 4 ) 写成矩阵的形式为 d e = o ( 2 3 6 ) 公式( 2 3 3 ) 一( 2 3 5 ) 中的吒为场单元的单位法向量，而非源单元的单位法向量，虽 然积分是在源单元上进行的。这里的单位法向量和直接边界元中的单位法向量不 同，公式( 2 1 1 ) 中的法向量是源单元的法向量。边界被剖分成常单元或平面线性单 元，当场单元和源单元重合时，由于矢量且与e 。的夹角为9 0 度，含置口。的项为o ， 但当边界单元为二阶单元或其他曲面单元，当场单元和源单元重合时，含詹# 的项 并不为零。矩阵d 的行数为介质边界上节点的个数，列数为总的节点数。 2 2 3 场点在悬浮导体边界上 悬浮导体边界面上节点的电位也是未知的，将悬浮导体看作介电常数为无穷大 的介质，毛专，对式( 2 3 3 ) 取极限得到 睁掣万警= 。 ( 2 3 7 ) 对边界离散，对式( 2 3 7 ) 进行伽辽金加权余量，得 莓莩莩莩舻妒等警曲船伽莩莩军舻川掣心= 。c z 瑚， 令矩阵，的元素 = 盯_ 川气爹螂心+ 2 万m 川心 ( 2 3 9 ) f 足茸 一 墨 则式( 2 3 8 ) 写成矩阵的形式为 朋= o ( 2 4 0 ) 式( 2 3 7 ) 一( 2 3 9 ) 中的巳为场单元的单位法向量。矩阵f 的行数为悬浮导体边界上 节点的个数，列数为总的节点数。 将式( 2 2 9 ) 、( 2 3 6 ) 和( 2 4 0 ) 结合在一起，形成包含边界全部节点的矩阵方程 1 6 华北电力大学博士学位论文 ( 2 4 1 ) 求解式( 2 4 1 ) 即可得到所有节点上的呸，岛，其中q 为节点f 处的电荷面密度，既包 括自由电荷面密度也包括极化电荷面密度。 2 2 4 边界上电场强度的计算 电极一空气、电极一介质，悬浮导体一空气和悬浮导体一介质边界上满足 叶掣：吒( ，) d 竹 ( 2 4 2 ) 式( 2 4 2 ) 中吒为导体表回场点，处的自由电衙血密厦。上式曲端同时加上场点r 处 的极化电荷面密度吒( ，) 一占笔竽+ 咋( r ) ：吒( ，) + 咋( ，) ：盯( ，) ( 2 4 3 ) 册 又介质和导体表面的极化电荷面密度为 c r p ( r ) ：兄一昱。= 一昱。= 一( 占一岛) 易。= ( s 一岛) 掣 ( 2 4 4 ) 熔式( 2 4 4 ) 代入式( 2 4 3 ) 中得到 一旦业：型 a 1 ( 2 4 5 ) 式( 2 4 5 ) 即为电极和悬浮导体边界上电场强度计算公式。 在介质一介质边界上，只有极化电荷，其极化电荷面密度为 盯= 咋= 圪一圪= 警见一警见= 唑见 。e ， 其中见为介质一介质边界上法向电位移矢量。则法向电位移矢量为 见2 篆詈 ( 2 - 4 7 ) 由于介质一介质边界上法向电位移矢量连续，由电位移矢量得两侧介质中的电场强 1，j 彬o o p。，l = e 1j ，d ， l 第二章含多种介质和多悬浮导体的边界元原理 度分别为 讹，2 去罢 珧，2 去。詈 式中，为介质一介质边界上节点f 处分别属于介质乞和介质巳的两点。 2 3 本章小结 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 本章论述了含多种介质和多悬浮导体的直接边界元和间接边