（计算数学专业论文）线性传输方程的满足多个守恒律的差分格式.pdf

摘要 本文考虑单个线性传输方程，对其设计了一类满足多个守恒律的差分格 式。此格式为g o d u n o v 型的，用的是分片多项式重构，重构函数的系数由守恒 量来确定。此格式与传统的守恒型差分格式不同的是，它的数值解同时满足多 个守恒律。这样就可以更好地保持解的物理上的守恒性质，从而格式本身有更 好的稳定性。虽然微分方程是线性的，但所设计的格式是非线性的。数值实验 结果表明此格式是非线性稳定的，并且对长时间的数值模拟有很好的保结构 性质。 关键词线性传输方程，守恒律，网格平均，函数重构 a b s t r a c t i nt h i sl l a p e tw e & r ec o n c e r n e dw i t ht h es c a l a rl i n e a ra d v e c t i o ne q u a t i o n sw e ( i i 、i jj 1 1 il 1 ，fd i f f ：lc i i c cf 、c h c i nc ：s t h a ts a l i s f 3 f i l i l ip t h a no l l e f ) i l s e l 、7 a t i o n l a w s i h e s e h e l t l e ga r eo ft h eg o d u n o vt y p ew i t hp i e c e w i s ep o l y n o m i n a lr e c o n s t r u c t i o n l h e c o c f f l c i e i t ! h il h el e c o l l s l l u c le ds o l u t i o ni ne a c hg t i dt i r ed e t e r m i n e db ye n f o r c i n gt h e ( 5 0 1 1 5 c 1 v a t l o l lp l o p e ll i e 8 o tt h es o h i t i o n sd i f l e l e l l tt r o n tt i l ec b b b i c a lf i n i t e v o l u l i i c s c h e m e st h e s es c h e m e ss a t i s f y1 ) c _ 】( i t ! t h ec o n s e r v a t i o nl a wc o r r e s p o n d i n gl ot h e o r i g i n a la d v e c t ，i o ne q u a t i o nl l l r l l yo t h e rr e l a t e dc o n s e r v a t i o nb w so ft h ee q l l a t i o n d e s i g n e di ns u c haw a y ，t h es c h e h e si xe s e r v eb e t t e r t h ep h y s i c a lc o n s e r v a t i o np r o p - e r t i e so fc 1 1 es o l u t i o n ，a n dt h u st h e yh a v eb e t t e rs t a b i l i 啦a l t h o u g ht h ed i f f e r e n t i m e q u a t i o ni sl i n e a r ：t h ede ! s i g n e ds c h e m e sa r en o n l i n e a rn u m e r i c a le x p mi m e n t ss h o w t h a tt h es d l e l l t e ba t en o n l i n e a r l ys t a b l ea n dh a v eg o o ds t r u c t u r e - p r m e r v i n gp r o p e r t y i nl o n g t i m en u m e r i c a ls i n m l a t i o n s k e y w o r d sl i n e a ra d v c q _ t i o ne q u a t i o n ，c o n s e r v a t i o nl a w s ，c e l l - a v e r a g e ，r e c o i l s i i1 i r 0 n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或者撰写过的研究成 果。参与同一工作的其他同志对于本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有权保 留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全 部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名 导师签名若鳓 日期 第一章引言 单个的线性传输方程 t “+ n ， ：= ( 1 ，( 1 1 ) 其中( 。是常数当初值n ( x ，0 ) = t t o ( z ) 时，( 11 ) 的解为u ( x ，t ) = l 。o ( z a t ) 众所周知，方程( 11 ) 经常被用来作为模型方程以研究传输方程和带有传输项 的微分方程的数值方法对任意关于”可微的函数u ( u ) 不难得 u ( u ) c + “u ( t 1 ) ：= 0( 12 ) 这表明方程( 1 1 ) 的解满足无穷多个守恒关系，即解u 本身守恒，且关于它的 任意光滑函数u ( u ) 也守恒 高精度的燕分格式不一定给出好的数值解，比如用l “一w e n d r o f f 格式模 拟f l1 1 ，甚至更高阶的差分格式，在很多情况下都不能得到令人满意的数值 解所以此时应从物理定律出发构造合理的差分格式，使其尽可能地保持原 问题的物理性质对于方程( 11 ) 其解满足无穷多个守恒律，因此希望构造出 的差分格式满足相应的离散守恒律然而要模拟全部的守恒律是很难的故 只能选择其中的若干个 目前，在求解此类守恒型方程的格式中，g o d u n o v 型格式是最有效的近 几年来已经发展了众多高分辨( , o d u n o v 型守恒格式，如。i v d 的( l o t a lv a r i a t i o n d m m f i s h i n g - 总变差减小) ( 见【l 】) ，7 i v b 的( 7 l k ) t a lv a r i a t i o nb o u n d e d - 总变差 有界) ( 见1 2 ) ，e n o 的( e s s e n t i a l l yn o n o s c i l l a t o r y - 基本无振荡) ( 见【3 】，【4 】， ( 51 ) ，p p m ( p i e c e w i b ep a r a b o l i cm e t h o d 一分片抛物线) 格式( 见 6 】，【7 1 ) ，及 w e n o 的( w e i g h t e de s a e n t i a l l yn o n o s c i l l a m r 3 r ) 格式( 见【8 】，【9 】) 等等但是这 些数值格式一般部只能保证个守恒律，并且这些格式中都含有效值粘性 粘性对解产牛耗散，且随时间的增加耗散越益严重，以至解的结构大撤丢失 山【】u 】知l ，如果数值模拟( 11 ) 的格式能满足较多的守恒关系，其必有较 好的保结构性质近年来，李红霞和茅德康没计丁一种新的守恒型差分格式， 它是g o d u n o v 型的但和传统格式不同的灶，该格式同时模拟了两个相关的 守恒律，关于解的和墒的其做法是格式定义和计算了两个相关的数值量， 1 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 2 数值解和数值熵，并用数值熵来帮助重构数值解。见f 1 1 1 ，f 1 2 1 特别足当此格 式对线性传输方程计剪光滑解时，由于保持了两个守恒律，其有意想不到的 保结构效果即使是w & v e p a c k e t 这样高难度的问题，在比较长的时间内计算 效果非常好此后，崔燕芬和茅德康用这方法对k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方 程构造了二阶丰卉度的满足两个守恒律的差分格式( 见【1 3 】) 该格式同时模拟了 k d v 方程前两个相关的守恒律，这样堕好地保持解的物理上的守恒性质，可 以在更长时间内保持解结构，从而格式本身有更好的稳定性 本文是上述工作的继续首先把满足u 和u ( u ) = 同时都守恒的格式推 广到变系数的线性传输方程 t “+ ( o ( z ) u ) ：= 0( 13 ) 干二维的线性传输方程 i i 十“t ：+ 乩v = 0( 1 1 ) 接着分别对方程( 11 ) 和( 14 ) 设计一个满足关于t ，u i ( t f ) = u 2 和仉( u ) = u 3 等二个守恒律的差分格式此格式是三阶精度g o ( h l l l l ) v 型的，它同时计算了 对t z ，t z 2 和“3 的逼近值，并用它们在每个网格中对解进行二次重构同时我 们将这方法推广至变系数的线性传输方程( 1 3 ) ，对之设计r 模拟兰个传输 i ；f 的差分格式数值实验表明所有设计的格式都有保结构性质，长时问数值模 拟的效县都非常好 走文结构如下：第一章为引言；第二章对线性传输方程设计了满足两个 守恒律的差分格式，第爷描述了格式的构造，第一节分析了格式的精度，第 三节足把格式推广至变系数的情况，第四节把格式推广至二维的线性传输方 程；第= 程是对线性传输方程设计了满足二个守恒律的差分格式，内容安排和 第二章足类似的；第四市足数值筛例，它足用第二章和第二章所设计的格式进 行一些数值试验；最后第五章是结论 第二章线性传输方程的满足两个守恒律的差分格式 本章第一节介绍了 1 2 】中的对方程( 11 ) 对“和u ( u ) = u 2 同时都守恒的 格式，它足g o d m l o 、r 型的，具有二阶梢度；第二节分析了此格式的精度；第三 节把此格式推广至变系数的方程( 13 ) ；第四节把此格式推广至二维的线性传 输方程 2 1 格式的描述 首先埘( x ，t ) _ 甲面进行网格剖分，其对应于( x , t ) 平面内的两组平行线t t = c j j = 0 ，土1 士2 ，和t = t m n = 0 ，1 ，2 ( z j = j f l ，t 。= 7 。7 ) ，其中h 和t 分别为空间步长和时间步长 如引言中所述，我们的格式是g o c i u n o v 型的，其数值解t 0 是对精确解的 刚格下均的近似： = 托e c n ) 出，( 2 1 1 ) 其中r l 。t ) 表示方程在。时的的精确解我们的算法将涉及到第二个守恒量 u ( u ) = u 2 的数值逼近， 叼= ；f i 。( 出k 炉出 ( 212 ) 以f 详细描述如何由，。层上的吖和嵋。来计算n + i 层上的1 0 “和q ”1 如百】般的c o d u n o v 型格式样( 见【1 4 】，【1 5 ：) ，此格式也按重构，发 展和求网格平均三个步骤来进行 重构：在，。屡上对数值解进行重构重构函数只( z ：? ，u ”) 在每网格 【，。+ ，j ) 中是 i = 的一次函数，b 足x , t 该网格中精确解“( z ，。) 的一个线性逼 近， ，f ( t ，i i 7 1 f ，“) 2 “? + 一? ( 。一z ，) z 【z ，一，z ，- ) ( 2l3 ) 2 0 0 6l 二海大学硕士学位论文4 在( 21 3 ) 中s ? 是对( q t , 1 ) 的近似如同( 1 1 】，【1 2 l 和f 1 3 】中的做法一样 我们要求此重构函数满足守恒关系 显然，由儿( z ：u “：u ”) 的表达式( 213 ) 知，( 214 ) 的第一个式于是能自动满足 的由此s ；可由( 214 ) 的第二式解出化简得 埘) 2 = 型塑 ( 2 1 5 ) 此时可以开根号求得s ? ，取符号和( u 。一喈一。) 一致 发展：解初值问题： 矗c + “再z = o 。n 。“+ 1 ( 21 6 ) li ( c t ) = 凡( z ：“，u “) 一0 0 z 0 时，若w 。1 ( ? z ? “) 2 ，此时( 21 5 ) 式有实数解因此重构函数 几( z t 。”，u 一1 ) 存在，由( 21 8 ) 及( 2l9 ) 可推得( 2l7 ) 成立，也即 q = ：f j 6 讹n ) 也 叼= ；f 一3m “) ) c k 所以又可以应用 e n s e n 不等式可得f ，? ( u ? ) 2 成立证毕 由上述知，我们只需求出“( ，十；，) 就可计算( 2 19 ) 式中的各数值流函 数又由于i ( z ，+ ! ) 可以精确求出，j t ：且是一次多项式，因此( 2 19 ) 式中的 各数值流函数都可以精确算得不过，我们也可以用数值积分来计算这些积 分，只需设法保持_ 二阶精度就够了当用数值积分来计算数值流时，定理2 1 1 不能保证成立然而数值实验表明对于凸的( “) 在大多数的嘲格上s ? 都有 解在实际计算中如发生s ? 无解情况。我们就简单地取其为0 2 2 格式的精度分析 由上节的描述知，21 的格式和传统的g o d u n o v 型格式有很大的不同，它 涉及到了守恒量f j ( “( z ，) ) = l z 2 ( z t ) 的数值计算并且利用其来确定重构函数 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 6 一 的斜率s 7 所以传统的g o d u n o v 型格式精度分析的理论框架不再适用于2l 的格式必须建立新的理论框架对21 的格式进行精度分析在以往的有关文 ：嚣中我们一直没有对这类格式作过严格的精度分析，这将足本节的工作 埘格式精度的分析，主要是考察此格式的截断误差对于2 1 的格式，f i - 先给i l j 截断误差的定义 定义22l ：21 的格式的截断误差定义如下t 没数值解在t 。层上是精确 的，也即 ，i ；= ；z ：5 uc z ，c n ) 以c ，u 7 = ；z ：4 c u c z ，t n ) ，2 d 卫c 2 2 - ， 其中m ( zf ，。) 是方程( 11 ) 的精确解那么格式的截断误差由- f 面- - 部分构成， ( ) ? = i ? 一? “，( 勋) ? = q 一叫，( 岛) ；= 地( q ，。) 一s ；“( 222 ) 这儿日? “和e ”1 分别是精确解u ( z t 。) 和( “( z ，i ! r l + 1 ) ) 。的网格平均 f c l ：。；z i 。：5 u c z ，c t t + ) d z ，9 7 + 1 = ：z i ：j ( n ( z ，c n ，- ) ) 2 d z c zzs ) i 而t t ? “和( “足由21 格式计算得f 层上的数值解，s 1 是在t 。层上 重构函数时算得的斜率 定义2 22 t 2 i 的格式称为二阶精度的如果 ( ! “) ；= o ( h 3 ) ( f u ) ? = o ( h 3 ) ，( 岛) ；1 = p ( )( 224 ) 在此理论框架f ，我们能证明2l 格式在非极值点处具有二阶精度，在极 值点处进化，但至少有一阶精度先证明一个引理 引理221 t 对光滑函数t r ( r ) ，如果函敖w 陋) 在网格b 一 ，弓+ ；) 中有 展开式 ( 2 2 5 ) ( 22 6 ) 如 ， z 囝 讲 洲 一 十，丘 j h 一 = 0 冠 h 蛾计 + 州 町 ； | | 一 托 0 | f 一吩 这 2 f 埔上海大学硕士学位沦文 7 那么在( 2l4 ) 下的重构函数r ( x l 而，订) = 奶+ 屯( z q ) ，在u ( z ) 的非极值 点处必有s ，= t t ( q ) + 0 ( f 1 ) ，而在极值点处有s ，= u ( z ，) + 0 ( 狐) ，这儿 毗2 碱圳2 出 证明；首先，在( 22 5 ) 两边取网格平均得 ( 2 27 ) 由21 的格式知，重构函数的系数由守恒量来确定，即s ，满足 ；上j i j 6c 几c 一面，i 彳，2 “r = ；z i i c w c z ，2 如c z zs ， 首先计算( 228 ) 的右端我们屁然有 ( ( z ) ) = ( 豇j ) 7 + 2 矗j ( 训( z ) 一吗) + ( w ( x ) 一豇，) 2 ( 229 ) 对上式网端取i 卅_ f ! i 均o 】碍 ；z ：j 6 ( t u ( z ) ) 2 d t = ( n ，) 2 + 。鸣( t 码一i ，) + ：，：5 ( “，( z ) 一吗) 2 d z ( 2 2 1 。) 对( 228 ) 的左端同样可得 ( ，z ( z 懦咖) 2 = ( 再j ) 2 2 矗j ( r ( f ：，d i 够) 一面j ) + ( 几( z ，面，吃) 一吗) 2( 221 1 ) 对l ：式两端取网格平均可得 ：j ( ：! j c ，f 。t i - j ，2 止c c i ，2 ：i - c 旺。一i ，+ ：上：5 c rc z ，t r - ，玎) 一u ，2 一z ( 22 1 2 ) 将( 22i f ) ) 及( 22l 2 ) 代入( 228 ) 得 ：e5 ( 脚叱) 乜) 2 如= 抬? 扣啦) 一如 2 1 3 ) j 一，j ， 现在来汁并l 式两端的积分注意到任何( z 一) 的奇次幂的积分为零及( 2 27 ) 武，即可得 抬j5 ( 肌w 棚? ) 乜) = 篙 州) 2 1 4 ) ? r m 上海大学硕士学位沦文 西h 2 i ( z ，) + 0 ( 1 7 ) ( 22 1 5 ) 所以在u ( z ) 的非极值点处，即t t ( z ) = 0 ( 1 ) 时s ，= u ( q ) + o ( h ) ；在u ( x ) 的极 值点处，即一( z ) l o ( h ) 时勺= u ( q ) + 0 ( 狐) 证毕 现在我们分析21 的格式的栖度 定理22i ： 21 的格式在解的非擞值点处有二阶精度，而在极值点处退 化成一阶精度 证明t 我们按格式的三个步骤来证明定理首先来证明非极值点处的情 况此时由于t 。层上的数值解是精确的，r jt t ? = n ? 和u i 。= 驴卜因此对u ( z t ) 进行重构时，得到重构函数满足 几( z 1 l “，u “) = u ( x ，t 。) + o ( f 2 )( 2 21 7 ) 事实上若在引理221 中取“( z ) 和 ( z ) 均为精确解u ( x ，t 。) ，此时( 225 ) 式显然 成立我f | j 即可得重构函数的斜率在非极值点处满足s ? = ( z ，、。) + o ( f t ) 因此山( 2l3 ) 知( 221 7 ) 成立 由于( 22 1 7 ) 的关系，发展步骤中的( 216 ) 的解i ( z ：t ) 满足 ( z ，f ) = “( z ，t ) + o ( h 2 )( 2 21 8 ) 这足因为 “( 。，) 21 ( 。：一“，。t t ) ，( 2 2 1 9 ) i ( t ：t ) = 几( z 一“( 一。) ，t ，u o ) 在阿格平均的步骤中，t g “和叼“是由( 218 ) 计算的，其中数值流足按 ( 2 19 ) 计算的由方程( 1 1 ) 的积分形式可知 哆“ e “1 鼍一1 ( o ；j ；l j ) ，( 2 2 = 2 f 】) 哆一1 ( 墨 一一： ) 一q z q 0 z ， p u挺鳓可 就 式 阿面上 较 和 比 2 “上海大学硕士学位论文 其中精确流为 e ：5 = z “州) 出 = ；n ( 出侧，) ) 锄+ 由( 221 8 ) 知按( 2l9 ) 计t 剪的数值流均有二阶精度，即 e ：；= j ；+ d ( q + ) ，。2 + o ( h 3 ) ( 22 2 1 ) ( 2 22 2 ) 和 曩 = e ； + d ( z ，+ + o ( h 3 ) ， ( 2 22 3 ) 其中( f 扛) 和d ( z ) 都是l i p s e h i t z 连续的由( 218 ) 和( 2 2 2 0 ) 可得 由于d 和d ( m ) 是l i p s c h i t z 连续的，因此( 。) ? = o ( h 3 ) ，( u ) ? = o ( 产) 成 立 我们还须证明( 224 ) 的第三式为此取引理22 1 中的u ( x ) 为u ( ：r t + ) 及 w ( z ) 为o ( zt n + 1 ) 显然有w j 二= q “和0 = 叼“1 虽然此时( z ) 是分段连 续的，但由( 221 8 ) 不难验证( 225 ) 的成立因此由引理2 2l 知( 22 2 ) 的第三 式也成立 最后，如果是在解的极值点处，此时重构斜率只有s ? = u ：( q ：，。) + o ( ) ， 格式的精度将退化然而，按i j l ：面的证明过程我f j 仍能得此格式至少有一阶精 度1 正毕 注221 ：在上述定理证明巾更为仔细的分析会发现t 。层上的重构斜率在 非极值点处有一? = u 。( ：c t ) + o ( h 2 ) ，这是因为此时敬值解是精确的然而经 过- 步的计算后，重构斜率只能有一阶精度丁 u f t 2 3 推广至变系数的线性传输方程 本节将考虑把格式推广至变系数传输方程( 1 3 ) 此时尽管t r 守恒，但 t ，并不守恒。而是满足如下的带非线性源项的线性传输方程 ( u 2 ) 。+ ( n ( z ) t ，) ：= 一n ( z ) u 2 ( 2 31 ) 盟 22 护o伙+ + 铲 酽p圳h q d d 一 一，= r q 乜酬 u “k r 吖 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 0 苒先对( x ，t ) 甲面进行阿格剖分 7 r = j ：h 7 = ( ) ，士1 ，4 - 2 、和= t 。，n = 和r 分别为空间步长和时间步长 其对应于( x ，c ) 平面内的两组甲行线， 0 ，l ，2 ( 其中z j - ：j7 t 。= m ) 。其中 如引言中所述，我们的格式是g o d u n o v 型的，其数值解t 胛是对精确解的 网格i ，均的近似： u ? = 板誓州n ) ( f z ， ( 2 。) 其中u ( z t ) 表示方程在t 。时的的精确解我们的算法将涉及到第二个堞 u ( ，r ) = 。t 2 的数值逼近。 嵋也m 枷2 出 ( 2 以下详细描述如何由t 。层上的“? 和6 7 来计算t u + l 层上的u ；“和叼” 如同前述情况一样，此格式也按重构，发展和求网格平均三个步骤来 进行 重构：在t 。层上对数值解进行重构重构函数，( z ，t ，u “) 在每一网格 h 一 ，。 ) 中姓z 的一次函数，它是对该网格中精确解u ( z ，t n ) 的个线性逼 近， 月( “，u ”) = t - ；+ s 弛一巧) z 【z ，一；，q + ；) ( 234 ) 在( 234 ) t s ? 是对i t x ( ，：，f 。) 的近似如同上一节中的做法一佯，我们要求此 照掏函数满足守恒关系 竣 显然阳，( z ，u ”，) 的表达式( 2 ： 4 ) 知，( 235 ) 的第一个式子是能自动满足 的由此s ? 可由( 2 35 ) 的第二式解出化简得 卜型塑 ( 2 36 ) 此a 可以开根号求得s ? ，取符号和( u 。一哼一- ) 致但此处不一定都有实 数根，当没有实数根时，取一? = 0 532 吖 n ， = f = m = 篁 矿 e r r u 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 发展：解初值i x j 题 五c + “。) 矗) z _ = o “t 。+ 1 ( 2 3 7 ) i 矗( z 川t ) = r ( z ；u ”，u ”) 一o o z o o 、 求网格平均：当t = 。l 时 = 黔j m ，“川如 叼“= 瓣叫。2 如 38 对方程( 13 ) 和( 231 ) 作二重积分并应用g r e e n 公式后得实际计算公式 其中网格步长比a = ；及各数值流和数值右端 儡 喂 叼一 ( 239 ) ( 23 1 0 ) 和常系数方程时不同这里多出了一个敬值右端，它是对n ( 。f ) 的二重积 分又由于变系数的传输方程的精确解很难求出，所以此处只能用近似解去代 替它苒先利用数值积分公式对数值流和数值右端的积分进行离散此处用的 是中点积分公式 仁 2o ( 弓：；) i ( ，；，t n + i ) 曩；= c z ( x j 。j ) ( i ( 弓垮n + ( 已3 1 1 ) 凹- = = n ( q ) ( i ( j 一t 。+ j ) ) 2 r 由( 231 1 ) 可知，我们仅儡近似求f * f i ( x ， ，t n + ；) 和i ( 一，n + i ) 即可 它们可以通过【4 】文中的c a u ( ：h 3 ，- k o w a l e w s k i 展开方法近似求出下面仅描述 i h - ：f “f 。；) 的求法，其它的类似可得当n ( ：r ，+ ；) 三0 时，对i ( z j + t n + i ) 在 q 印曩 一 ； 乐哆 叫。 哼蟛 | i = 哼u 小 州n 炉 k i，” 0 争0 弓 f 吣肌 m h 仕 鸠鸠k 巾，巾乞 ltl：，上 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 ( j ，n ) 处l 、a l t l r 展开；当“( t ，+ ；) o 时 展开，此处假没n ( z ，+ ：) 兰0 1 2 对矗( ：q + t + i ) 在( z 川，。) 处t a l o r 矗( ，”；，“+ ；) = 矗( q ：f 。) 矗，( z ，。) ( z z ，) + ：盈( z ，。) r + 。( f z 2 ) ( 2 31 2 ) 其中 和r 姓同阶的由于矗( 。，t 。) = ：n ( z ；? l n u ) 已知所以可以求出矗( z ，一t ) 和i ：( _ j 。) 再通过 能求出也( z ，。u ) 把它们都代入( 23 1 2 ) 就町以近似得到f i ( z j + ，t ，。+ ；) 到此我们就可以求f f 具有二阶精度的豇 ，e ：i 和具有三阶精度g 7 这样可以使设计的格式仍然具有二阶精度 2 4 推广至二维的线性传输方程 本节将考虑把格式推广至二维的线性传输方程( i4 ) 此时另一个守恒量 c ，( ”) - ：z ，满足方程 首先对( x , 3 ：t ) 空问进行网格削分，其对应于( x ，y , t ) 空间内的三组平行面： 一= c ，= 0 士l ，土2 ， ，p = v ，七= 0 l ：土2 和t = 礼= 0 ，l ：2 ，( 其c p 7 2 2 j ，z 弧= k h t = n r ) ，其中h 和r 分别为空问步长和时问步长 和维的情况一样，我们的格式是g o d h a o v 型的。其数值解“? 。足对精确 解的网格平均的近似： l i t2 ；i z i ：。z ：5 t c z ，”，t t t ，“v “z ， c 。z ， 萁中t t ：”，t , l ) 表示方程在t 。时的的精确解我们的算法将涉及到第二个守恒 量f 小z ) = t ，的数值逼近， 嵋t 2 去z ；：5z ：3 c “z m “) j 2 咖出 a 。， 2 棚6 上海大学硕士学位论文 1 3 以下详细描述如何由t 。层上的tr ? ，。和叼t 来计算t n + 层上的，曩：1 和嵋譬1 如i 司i j i ：述一样，此格式也按重构，发展和求网格平均三个步骤来进行 重构：在t 。层上对数值解进行重构重构函数r ( z ，p ：1 1 “u ”) 在每一网格 h 一 ，。：，- ；) i 弧一；，玑+ ) 中是z ，的一次函数，它是对该网格中精确解t t ( z ，) 的一个线性逼近， 在( 244 ) 中( 钆) ? 。= 生坐斋上，( ) 孔= 笠2 衰垒土，它们分别是对u 。( ：q 姒，f ，。) 和“。( z ，姒，) 的近似如同前述的做法一样，我们要求此重构函数满足守恒 关系 h z i p s - _ j 镀i ： l r ( z ，9 ；u “：u n ) d y d z = t 帅。t ，。坷如： ( 245 ) 拈柰辫 协舶， 旷2 疏面葡 叫4 山 j 矗+ 口矗z + 扫矗”= o 。n 0 时，q 1 1 ( t i 1 ) 2 成立，此时( 2 46 ) 有实数解因此重构函数 r ( x ， h “u ”1 ) 存在由( 24 9 ) 和【2 4 1 0 ) 推得( 2 4 8 ) 成立，即 t r j 。一。去z i j 5z ：3 ic z ，v ，c n ，c z v a z ， 一味 嫒一 q 瓤 哆邶 a j 扣 如一 抄 毋哆 h 一 一 咏喈 = = 嗡 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 5 叼= i 1p 5f + 5 ( 面( 硼y 坩舭n 。】一j “y k 一 所以又由j e n s e n 不等式可得u 瓢( ? 。) 2 成立。证毕。 由上述知，我们只需求出面( z ，；，y ，) 和矗( z ，鲰；，t ) 就可计算( 2 , 4 1 0 ) 式 中的各数值流函数。又由于它们们可以精确求出，并且是关于z ，y 的一次多项 式，因此( 2 4 1 0 ) 式中的各数值流函数都可以精确算得。不过，我们也可以用 数值积分来计算这些积分，只需设法保持二阶精度就够了。 第三章线性传输方程的满足三个守恒律的差分格式 卒章的第一节将对格式进行描述；第二节分析了此格式的精度；第三节将 把格式推广到变系数的线性传输方程；第四节灶把格式推广至二维的线性传 输方程 3 1 格式的描述 首先对( x + l ) r 而进行网格剖分，其对应于( ，l ) 下面内的两组甲行线： z = z j ，j = 0 ：士1 2 ， 和t = f 小扎= f ) ，1 2 ( 其中z j = j h ，。= n 7 ) ，其中j 和r 分别为空间步长和时间步长 如引言中所述，我们的格式是g o d u n o v 型的，其数值解“? 足对精确解的 网格甲均的近似t u ；= 担j n m ， ( 3 1 1 ) 其中u ( x ，。) 表示方程在t ，。时的的精确解我们的算法将涉及到第二个守恒最 u - ( u ) = t c 2 和第三个守恒景仉( “) = t 3 的数值逼近， u i ：，：抬0 ( ? i ( 啪1 ) ) 2 d z ( 3 1 2 ) 和 叼，= ：) ) 3 也 ( 3 h ) 以下详细描述如何由f ，。层上的“? ，u 岛和u ，来计算t l 层上的t 口“，己，若1 和哩j 。 如同上述一佯，此格式也按重构，发展和求网格平均三个步骤来进行 重构：在t ，层上对数值解进行重构重构函数r ( z l “j 叼) 在每一网 格h 一，。_ j + ) 中是一的二次甬数，它足对该网格巾精确解u ( x ，f 。) 的个二次 多项式逼近， 州z 1 ，w 删) - = 哼w 扣1 ) + 警【( 一2 一誊z 邙一z j ( 3 + l 4 ) 1 6 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 7 在( 31 4 ) 中s ? ，s ；，分别是对u 。( 巧，、) ，u z r ( q t ) 的近似如同前述做法样 我们要求此重构函敬满足守恒关系 r ( z ：1 z “，u t l u ) ( b u l ( ( z ”，叼叼 巩( 几( z ：1 t ”，w ，昵 = “” ) d z = u 己( 3l5 ) ) ) 出= 嵋：。 i 2 ( b ) l 一毫，一型监笋刿_ ( ) ( n ) 1 孙+ 祭吧叫) ： “ 一1 。叫 都足实的，则由于s i ，逼近：( q ，t 。) ，所以取与兰n ；字坐最接近的根为 、? ，如果其中只有一个实根，那么就取s ，为该实根由于方程足实系数的， 不会发生只有两个实根的情况将解出的s ：，代入( 31 6 ) 的第二式求出s ? ， 式求出s ? ，如果此时一? ，也不存在实数根，再令s ? ，= 0 j 矗i + “矗：= o k “- + 1 ( 317 ) f，f，f， 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 8 求网格平均：当t = t 。1 时 丐n + 1 = 明了1 = 职寸1 = 证( z ，t n + 1 ( z ，t 。+ ( i 忙，t 。 凸七 ) ) 2 d x ( 3 1 8 ) ) ) 3 如 对方程( 1 1 ) 和( 1 2 ) 在( 码一 ，+ ) ( t m t 1 ) 上求二重积分并应用g r e e n 公式 得实际计算公式 矿1 = 畸一a ( 毋；一毋 ) 吲。1 = g l a ( + j f t , 一；) ( 3 1 ：9 ) 叼12 哩j a ( 墨知j 一一 ) 这儿a = ；：是阿格步长比，以及各数值流 由上述知，我们只需求出面( 码j ，t ) 就可计算( 3 11 0 ) 式中的各数值流函 数。又由( 3 1 7 ) 式下面的讨论，面( z ，j ，t ) 可以精确求出，并且是二次多项式， 因此( 3 1 1 0 ) 式中的各数值流函数都可以精确算得。不过，我们也可以用数值 积分来计算这些积分，只需保持三阶精度就够了。 3 2 格式的精度分析 由上节的描述知，31 的格式和传统的g o d u n o v 型格式有很大的不同，它 涉及到了守恒量巩( “( z ，t ) ) 和守恒量巩( “( z ，t ) ) 的数值计算。并且利用守恒量 阢( u ( z ，t ) ) 和守恒量巩( u ( z ，) ) 来确定重构函数的系数s b 和s 勤。所以传统的 g o d u n o v 型格式精度分析的理论框架不再适用于3 1 的格式必须建立新的理 论框架对31 的格式进行精度分析。这将是本节的工作。 畸0“；矗；譬危e l h 1一九l一 m 以一m 埘 坞坞峨峨蚺 船争 ，= = 俚吧 2 f j f m 上海大学硕士学位论壅竺 一 。 对格式精度的分析，主要是考察此格式的截断误差。x 十- t - 3 1 的格式，首 先给出截断误差的定义。 定义3 21 ：31 的格式的截断误差定义如下t 设数值解在“层上是精确 的，也即 u ? 2 ；鬈乏5 c z ，t ，。，d z ，u ? ，2 ；鬈：5 ( “( z ，n ) ) 2 d 。，u ；，2 瓦1 ， z x ，一j + t 5 ( “( z j “：蠹， 其中“( z ，t ) 是方程( 11 ) 的精确解。那么截断误差由下面五部分构成 ( 。) ? ：i r l 一“曩( e 队) ? = 吖一嚼1 ，( s 啦) ? 2 喝- n + 1 一u 2 ”, j 1 ( 3 舢) ( 缸，) ? ：“。( 奶，“) 一s 对1 ， ( e 。) ? = 。( 巧，k ) 一s 茄1 ( 3 2 3 ) 这儿碍“，0 。n + 1 和曜j 1 分别是精确解“( ，t n + 1 ) ，( u ( z ，t - ) ) 2 和( u ( z ，。n + ) ) 3 的网格t 均 i ，n + l = ；j ! = ：等u ( 州一膨， 昭j 12 ；鬈( u ( 州州炉如，3 2 4 田2 , j “= ；f 知( 墙+ 1 ) ) 3 出 ( 32 。5 ) 而。r - ，u 苗1 和昵 1 是由3 1 格式计算得t n + - 层上的数值解，8 苗1 和8 对1 是在“+ 1 层上重构函数( 3 14 ) 的系数， 定义3 2 2 ： 3 ，1 的格式称为三阶精度的。如果 ( 嘲：o ( h 4 ) ，( e 巩) ? = o ( h 4 ) ，( 5 此) ；= o ( a 4 ) ，( 如。) ? 2o ( h 2 ) ，( e s z ) ? 2o ( “) f 3 2 6 ) 在此理论框架下，我们能证明31 的格式在非极值点处具有三阶精度；在 极值点处退化为二阶精度；先证明一个引理。 引理3 21 ：对一光滑函数u ( z ) ，如果函数 ( 。) 在阿格h 一；，弓+ ) 中有 表达式 w = ，+ “7 ( ) ( 。一) 十( ) 【( z z ，) 2 一壶h 2 + o ( 矿) ( 3 卫7 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 这儿 那么在( 3 14 ) 下的重构函数 在非极值点处有 这儿 ( 3 2 8 ) ) + 等 ( z 一) 。一西h 2 】 ( 329 ) s = u ( q ) + o ( h 2 ) ，s 勤= u ”x ，) + o ( ) ( 3 2 1 0 ) 毗= ：舒删2 啦毗2 元1 e ) ) 3 虹 ( 3 2 1 1 ) 证明：首先由( 3 27 ) 两边取阿格平均不难得 由31 的格式知，重构函数的系数由守恒量来确定，即s l ，和8 2 ，满足 吼) ) 2 出 吼) ) 3 d x 先考虑( 3 21 3 ) 第一式。因为对u ( z ) 有 ( 32 1 2 ) ( z ) ) 2 d x 一 ( 321 3 ) ( z ) ) 3 d x ( 3 2 1 4 ) 所以可得到 ；上：3 7 ( w ( z ) ) 2 d z = ( 吗) 2 + 2 吗( 面j 一吗) + ；鬈乏5 ( ”扛) 一面，) 2 如 ( 32 1 5 ) 同理由( 3 2 1 3 ) 第一式的左端得 捡邶眠蚴2 幽 zdz u h 乇 f ， 1 一愚 = 一嘶 七d 扛 训 “一 上l 一 = 奶 哇哇； ， 三1 z ， 卜 上上1一九1一 吼 一吼 一u u z o r r ； z ， 三z ， p 上fl一l一 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 2 l + l 从f x j + ，5 ( 酏西，吼，吼) 一i ，) 2 d z ( 3 2i 6 ) 由( 32 1 3 ) 第一式，( 3 2 1 4 ) 和( 3 2 1 6 ) 可得 ；尉脚，奶喝心z = ；舒吣m 扩妞 ( 3 2 - 1 7 ) 现计算上式两端的积分。注意到所有关于0 一巧) 的奇次幂的积分为零，并 ( 3 2 1 2 ) 式，我们可得 ；f 2 ”5 ( 月( z ；面，吼，吼) - 吗) 2 如= 去 2 ( 钆，) 2 + o ( h 4 ) ( 3 2 1 8 ) ，6j t11 及 l “f x j + 5 ( ( 。) 一吗) 2 d z = 西1 脚( ) ) 2 + o ( h 4 ) ( 3 2 1 9 ) 由此可以推出 ( 8 1 , j ) 2 = ( ( 巧) ) 2 + o ( h 2 ) ( 3 22 0 ) 再考虑( 3 22 ) 的第二式。我们同样可得 ( 叫( z ) ) 3 = ( 面，) 3 + 3 ( 豇j ) 2 ( 叫( z ) 一吗) + 3 面j ( w ( z ) 一面j ) 2 + ( 训扛) 一面j ) 3 ( 3 2 ：2 1 ) 因此有 ；鬈乏5 ( w ( z ) ) 3 如= ( 吗) 3 + 。( 奶) 2 ( 奶一吗) 十。吗；z ；冀5 。) 一吗) 2 如 + m j 3 ( 吣) 一血 ( 3 2 2 2 ) 同理可得 ；z 。j5 ( r ( 。；西，奶，吼) ) 3 如= ( 吗) 3 十3 ( 吗) 2 ( 奶一奶) + 。面，：鬈彳( r ( z 皿奶，吼) 一吗) 2 d z + ；z ：。( r ( z 池厩，吼) 一吗) 3 d z ( s 2 z s ) 由( 3 2