（电工理论与新技术专业论文）遗传算法应用于二维介质逆散射的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 a b s t r a c t e l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s es c a t t e r i n ga i m st or e c o n s t r u c tt h ed i s t r i b u t i o no f t h ed i e l e c t r i cc h a r a c t e r i s t i c so fu n k n o w n i n h o m o g e n e o u sd i e l e c t r i co b j e c tb y s c a t t e r i n g w a v e i nt h en e a rt h i r t yy e a r s ，i th a sb e e ne x t e n s i v e l yu s e di n m i l i t a r y ，m e d i c a li m a g i n ga n dn o n d e s t r u c t i v et e s t i n gf i e l d t h ee l e c t r o m a g n e t i ci n v e r s es c a t t e r i n gi so n eo fm o s td i f f i c u l tp r o b l e m d u ep a r t l yt oi t si l l p o s e d ，n o n l i n e a ra n d i n s t a b l i t yn a t u r e t r a d i t i o n a lm e t h o d c a nb ec l a s s i f i e dt w oc l a s s ：l i n e a r o p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e a n dn o n l i n e a r o p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e 1 i n e a ro p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e b a s eo nb o r n a p p r o x i m a t i o n o r r y t o va p p r o x i m a t i o n i s u s u a l l y u s e dt os o l v ew e a k s c a t t e r i n gp r o b l e m n o n l i n e a ro p t i m i z a t i o nt e c h n i q u ec a ns o l v et h es t r o n g c o n t r a s tp r o b l e m ，w h e a r e si t s p e n ，d；s m u c hm o r et i m ei nm ya r t i c l eg ai s i n t r o d u e dt os o l v ei n v e r s ep r o b l e m i nm y a r t i c e ，p o s i t i v es c a t t e r i n gp r o b l e mi ss o l v e db yf d t d m e t h o da n d i n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e mi ss o v l e db yg e n e t i ca l g o r i t h m ( g a ) g ai sak i n do f s e a r c h i n g m e t h o dw h i c hs i m u l a t e s t h en o r m a l e v o l u t i o n i nt h es o l u t i o no fi n v e r s ep r o b l e mc o n v e r g e n c es p e e di s s i g n i f i c e n t a n dp a r a m e t e rs e t t i n gh a sm u c he f f e c to ni t i np r e s e n t ，n oe x p l i c i tr e g u l a t i o n o fp a r a m e t e rs e t t i n gh a sb e e ne s t a b l i s h e d i na r t i c l e ，b a s i c r e g u l a t i o no f t h ep a r a m e t e rs e t t i n gi sa n a l y z e da n ds o m e e x p e r i e n c eo ni t i so b t a i n e d t w o m e t h o di s p r o p o e s e di n a r t i c l et oa c c e r l e r a t ec o n v e r g e n c es p e e d t h ef i r s t m e t h o di s c a l c u l a t i n g t h ei n d i v i d u a l sf i t n e s s a g a i n a f t e rc r o s s o v e ra n d d e c i d e i n ge a c hi n d i v i d u a l sm u t a t i o nr a n g eb yt h en e w f i t n e s s a f t e rm u t a t i o n ， ic h e c ki ft h ei n d i v i d u a lm u t a t e di sb e t t e r ? i fi ti s b e t t e r ，p e r s e r v e di t a st h e n e x tg e n e r a t i o n si n d i v i d u a l ，o t h e r w i s e ，t h ei n d i v i d u a ln o tm u t a t e di sp e r s e r v e d t h es e c o n dm e t h o di s c a l c u l a t i n gt h e “d i s t a n c e ”b e t w e e nt w oi n d i v i d u a l ，a n d f i n d i n g o u tt h es i m i l a ri n d i v i d u a l t h eb e t t e ri n d i v i d u a li s p e r s e r v e da n d w o r s ti n d i v i d u a li st a k e no u t t h et w om e t h o dm e n t i o n e da b o v ec a n a c c e l e r a t et h ec o n v e r g e n c es p e e da n d k e e pt h ed i v e r s i t yo fc o l o n ya n ds h o r t e n c a l c u l a t i o nt i m e t h ev a l i d t yo ft h ea l g o r i t h mi sv a l i d a t e db yt h ep r o g r a m m i n g t h e 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 r e s u l to ft h er e c o n s t r u c t i o nh a sb e e ns h o w ni nc h a p t e r5 a n di nc o n c l u s i o ni a n a l y z et h ep r o b l e me x i s t e d i n u s i n gg a t o o p t i m i z et h ee l e c t r o m a g n e t i c i n v e r s es c a t t e r i n ga n d p u tf o r w a r dt h en e x tr e s e a r c hd i r e c t i o n k e y w o r d ：e i e c t r o m a g n e t i c i n v e r s es c a t t e r i n g g e n e t i ch i g o r i t h m s f d t d 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 电磁逆散射 第1 章绪论 逆散射是利用目标区域外测量的散射场数据重建目标的物理特 性。而不必接触和破坏散射体本身即可得到人们感兴趣的有关信息， 极富实用价值。目前，电磁逆散射及其相关领域的研究成果已在地 震学、目标识别、次表面雷达和探地雷达、地区物理遥感、医学成 像、航运、军事等领域得到应用、产生了巨大的效益。 散射场中包含有大量散射体的信息，利用关于散射目标的先验知 识，经过适当的数学处理之后可以提取出散射体本身所具有的某些 特性，如散射体的形状、介电参数分布等。电磁逆散射研究如何从 测量得到的散射场信息中提取出我们感兴趣的散射目标的特性。 通常逆散射问题的研究对象可以归结为两大类：第一类是对金属 物体的形状进行反演。第二类是对介质目标的介质参数、形状或两 者之一进行成像。逆散射研究中有三个关键的数学问题，即解的存 在性、唯一性和稳定性。由于测量只能在散射体外部的有限范围内 进行测量，造成所得数据不完备；测量过程中，又不可避免受到随 机噪声的影响，使得散射数据偏离真实散射场分布。此外，由电磁 等效原理知道，不同的散射体( 位置，形状，介电参数分布等) 在 特定的点上可能激励出相同的散射场。这些都给求解带来了很大的 困难，通常逆散射问题都会有一些先验的信息。 近3 0 年来，关于逆散射的研究在国内外都非常活跃，提出了许多 介质和金属目标特性重建的近似和数值方法。求解二维非线性逆散 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 电磁逆散射 第1 章绪论 逆散射是利用目标区域外测量的散射场数据重建目标的物理特 性。而不必接触和破坏散射体本身即可得到人们感兴趣的有关信息， 极富实用价值。目前，电磁逆散射及其相关领域的研究成果已在地 震学、目标识别、次表面雷达和探地雷达、地区物理遥感、医学成 像、航运、军事等领域得到应用、产生了巨大的效益。 散射场中包含有大量散射体的信息，利用关于散射目标的先验知 识，经过适当的数学处理之后可以提取出散射体本身所具有的某些 特性，如散射体的形状、介电参数分布等。电磁逆散射研究如何从 测量得到的散射场信息中提取出我们感兴趣的散射目标的特性。 通常逆散射问题的研究对象可以归结为两大类：第一类是对金属 物体的形状进行反演。第二类是对介质目标的介质参数、形状或两 者之一进行成像。逆散射研究中有三个关键的数学问题，即解的存 在性、唯一性和稳定性。由于测量只能在散射体外部的有限范围内 进行测量，造成所得数据不完备；测量过程中，又不可避免受到随 机噪声的影响，使得散射数据偏离真实散射场分布。此外，由电磁 等效原理知道，不同的散射体( 位置，形状，介电参数分布等) 在 特定的点上可能激励出相同的散射场。这些都给求解带来了很大的 困难，通常逆散射问题都会有一些先验的信息。 近3 0 年来，关于逆散射的研究在国内外都非常活跃，提出了许多 介质和金属目标特性重建的近似和数值方法。求解二维非线性逆散 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 射问题的方法总结起来可以分为两大类，一是采用诸如玻恩近似 ( b o r na p p r o x i m a t i o n ) 并利用正则化技术的线性反演方法f 1 i i 如1 ；另一类 就是将非线性逆散射问题转化成一优化方法，然后利用共轭梯度( c g ) 迭代法或牛顿迭代法( n e w t o n t y p ei t e r a t i v em e t h o d ) 求解 3s , 2 5 。线性反 演方法的收敛速度快并且不需要求解散射场的梯度，因此其计算效 率较高，但由于其没有考虑散射目标的多次散射，故只能反演电小 尺寸或低对比度的目标。其中著名的有：b o r n 和r y t o v ，近似，当介 质的介电常数相对于背景的反差不太大时，采用b o r n 或r y t o v 近似是 合理的，可以使目标特性反演的公式可以大大简化但在高反差的条 件下，b o r n 或r y t o v 近似已不再合理w a n g 和c h e w t l 】【圳运用b o r n 迭 代和变形b o r n 迭代方法使非线性方程线性化，通过多次迭代求解逆 问题，后者的收敛速度比前者快w a n g 和z h a n g t 2 5 】【2 6 i 提出了采用非相 关照射以增加关于目标的信息，并通过简单的矩阵运算得到较好的重 建结果b a r k e s h i 和l a u t z e n h e i s e r 【2 8 】采用精确的梯度搜索法求解非线 性耦合积分方程，迭代反演目标特性而非线性逆散射方法考虑了散 射目标内多次散射，它可以反演较高对比度的散射目标，但由于需 要求解场的梯度，同时迭代次数较多，所以非线性逆散射方法往往 非常费时。目前用的非线性优化方法遗传算法是近年来必起的优化 方法，s a l v a t o r e 用遗传算法和矩量法，对介质目标进行了反演，得 到了较好的效果1 3 1 l 。 1 2 遗传算法 遗传算法是模拟生物和人类进化的方式来求解复杂优化问题， 它早在六十年代初期提出。到了8 0 年代中期，遗传算法的研究蓬勃 发展，吸引了大批的科学研究人员和工程技术人员从事该领域的研 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 搜索法收敛的更快。 1 3 内容安排 本文分为四大部分，第一部分即为第2 章，介绍电磁逆散射的 几种方法，这个部分先简单的介绍了逆散射的原理和数学公式，对 求解逆散射用的几种方法，作了简单的介绍。 论文第二部分即第3 章，对时域有限差分法做了详细的介绍。 逆散射问题中一般都包括着正散射问题的求解，我们采用时域有限 差分法进行正散射的计算。第二部分对时域有限差分的原理、连接 边界、吸收边界，入射场，色散误差等作了较详细的介绍，最后给 出了本论文中时域有限差分法入射波、空间网格、时间网格等的设 置。 第三部分即第4 章介绍实数遗传算法，遗传算法是近年来兴起 的优化方法，与基本遗传算法相比，实数遗传算法具有更有利于搜 索，提高精度等特点。在这一部分中，我们对遗传算法的基本原理、 基本要素、编程及参数的选取方法进行了介绍。最后介绍了论文中， 参数的选择、适应度的设定、及遗传算法中参数选择中存在的问题。 第四部分即第5 章、第6 章，介绍计算结果及结论。在这一部 分中我们计算了几个实例，给出了待反演的目标的介电分布和反演 后的结果进行对比，说明采用实数遗传算法对介质目标进行反演的 可行性，和其中存在的一些问题。 1 4 本论文的主要工作 1 用实数遗传算法对几种不同情况的介质剖面进行了反演。取 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 搜索法收敛的更快。 1 3 内容安排 本文分为四大部分，第一部分即为第2 章，介绍电磁逆散射的 几种方法，这个部分先简单的介绍了逆散射的原理和数学公式，对 求解逆散射用的几种方法，作了简单的介绍。 论文第二部分即第3 章，对时域有限差分法做了详细的介绍。 逆散射问题中一般都包括着正散射问题的求解，我们采用时域有限 差分法进行正散射的计算。第二部分对时域有限差分的原理、连接 边界、吸收边界，入射场，色散误差等作了较详细的介绍，最后给 出了本论文中时域有限差分法入射波、空间网格、时间网格等的设 置。 第三部分即第4 章介绍实数遗传算法，遗传算法是近年来兴起 的优化方法，与基本遗传算法相比，实数遗传算法具有更有利于搜 索，提高精度等特点。在这一部分中，我们对遗传算法的基本原理、 基本要素、编程及参数的选取方法进行了介绍。最后介绍了论文中， 参数的选择、适应度的设定、及遗传算法中参数选择中存在的问题。 第四部分即第5 章、第6 章，介绍计算结果及结论。在这一部 分中我们计算了几个实例，给出了待反演的目标的介电分布和反演 后的结果进行对比，说明采用实数遗传算法对介质目标进行反演的 可行性，和其中存在的一些问题。 1 4 本论文的主要工作 1 用实数遗传算法对几种不同情况的介质剖面进行了反演。取 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 2 通过对不同情况下介质剖面的反演，总结出实数遗传算法中， 交、变异相关参数的选取经验。 3 提出遗传算法中的改进的方法，提高了收敛速度，缩短了成像 时间。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 2 1 引言 第2 章高维逆散射问题 电磁逆散射是电磁场与微波技术的重要分支之一。在地球物理 探测，无损探伤、遥感及医学诊断方面有着广泛的应用。对于非均 匀介质，电磁逆散射的研究大致分为两大类：线性优化方法和非线 性优化方法。线性优化方法如：玻恩迭代法、变形波恩迭代法、衍 射层析技术它们共同的特点是：线性优化方法仅能用于低对比度介 质体的反演，收敛速度快，但对于高对比度问题不能保证收敛；非线 性优化方法是利用优化方法直接求解非线性问题，所以它能保证收 敛，并且能用于高对比度介质体的反演问题，在优化过程中，需要 进行剖面导数的运算，所以比较费时。线性优化方法一般采用玻恩 近似或里托夫近似和正则化来反演目标介质参数。非线性优化方法 一般采用牛顿迭代法或共轭梯度法来求解非线性问题。本章将对这 些方法作简单的介绍。 2 2 基本原理 物理模型如图所示2 1 。其中r 表示接收点，t 表示发送点。s 和 e ( x ，y ) 分别表示背景媒质和未知目标的介电参数。 在均匀背景介质中，非均匀散射体处于v 内，散射公式为： v v 丘。( 芦) 一霹瓦( ，) = o f 仨v ( 2 - 1 ) 瓦，代表总场矢量。簖代表背景介质波数，总场可以写为入射场 与散射场之和，即： 瓦( 尹) = 瓦。f ) + 置。叮) ( 2 2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 2 1 引言 第2 章高维逆散射问题 电磁逆散射是电磁场与微波技术的重要分支之一。在地球物理 探测，无损探伤、遥感及医学诊断方面有着广泛的应用。对于非均 匀介质，电磁逆散射的研究大致分为两大类：线性优化方法和非线 性优化方法。线性优化方法如：玻恩迭代法、变形波恩迭代法、衍 射层析技术它们共同的特点是：线性优化方法仅能用于低对比度介 质体的反演，收敛速度快，但对于高对比度问题不能保证收敛；非线 性优化方法是利用优化方法直接求解非线性问题，所以它能保证收 敛，并且能用于高对比度介质体的反演问题，在优化过程中，需要 进行剖面导数的运算，所以比较费时。线性优化方法一般采用玻恩 近似或里托夫近似和正则化来反演目标介质参数。非线性优化方法 一般采用牛顿迭代法或共轭梯度法来求解非线性问题。本章将对这 些方法作简单的介绍。 2 2 基本原理 物理模型如图所示2 1 。其中r 表示接收点，t 表示发送点。s 和 e ( x ，y ) 分别表示背景媒质和未知目标的介电参数。 在均匀背景介质中，非均匀散射体处于v 内，散射公式为： v v 丘。( 芦) 一霹瓦( ，) = o f 仨v ( 2 - 1 ) 瓦，代表总场矢量。簖代表背景介质波数，总场可以写为入射场 与散射场之和，即： 瓦( 尹) = 瓦。f ) + 置。叮) ( 2 2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 图2 1 逆散射原理 瓦。代表入射波矢量，k 代表散射波矢量。 入射波为已知量，在空间任何一点处入射波公式为： v x v x 瓦。( 尹) 一砖瓦。( i ) = 0( 2 - 3 ) 区域v 总场公式为： v x v x 屈。( i ) 一k 2 ( i ) 丘。( i ) = 0 i v 7 ( 2 4 ) 从( 2 1 ) 一( 2 - 4 ) 式我们得出散射波的公式为： v x v x 瓦( i ) 一砖云。，( i ) = o i 芒v ( 2 - 5 ) v v x 童。伊) 一鬈豆。( i ) = ( 女2 f ) 一k h 瓦( i ) i ( 2 - 6 ) 引入等效源，。( 尹) ， j 。( i ) = - ，( 掣。) 一1 ( 尼2 ( f ) 一群) 瓦( 尹) ( 2 7 ) 代入( 2 - 7 ) 得到： v x v 后。( i ) 一；丞。( i ) = 一，国“。，。( 尹) ( 2 8 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 定义格林函数为： v x v x ( ；( f ，尹，“) 一七；否( 尹，一，岛) = 7 占( f 一尹)( 2 9 ) 由( 2 - 8 ) 、( 2 - 9 ) 得到： 置。p ) = 忙否p ，芦，岛) - 陆2 ( 尸) 砰p ( 尸) ( 2 - l o ) 将( 2 - 1 0 ) 式代入( 2 2 ) 式得到电磁散射f 1 题的积分方程： 云舻) = 瓦。妒) + j d f 弓p ，尹，毛) k 2 ( 尹) 一砰碡( 尹) ( 2 1 1 ) 其中岛是背景的介电参数，其中砰= 2 盹，而k 2 g ) = 2 肛p ) 是 要求解的介质参数，e p ) ，e ( 一) 分别是背：景o r , o r 中的总场和散射体中 的总场。0 扩，尹，岛) 是并矢格林函数。 2 3 玻恩迭代法 由上一节我们得出电磁散射问题可以表示为积分方程： 豆p ) = 雷。g ) + p 弓p ，尹，毛) k 2 ( i ) 一簖( 尹) 忙( i ) ( 2 1 2 ) 的解，我们令2 ( i 。) 一瑶= 碍( t 2 ( 芦) 睇一1 ) = 霹j 扩) ，占( f ) 为对比度函数。 代入( 2 1 2 ) 式，得到： 云g ) = 豆。p ) + 砰p 7 d p ，f ，毛) - 占( f ) e ( 尹)( 2 1 3 ) 散射场可以表示为： 豆。舻) = 砖p 6 g ，芦，毛) a ( f ) 反芦) ( 2 1 4 ) 的解。散射体外的散射场五。p ) 可以测量得到，散射体内部的总场 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 定义格林函数为： v x v x ( ；( f ，尹，“) 一七；否( 尹，一，岛) = 7 占( f 一尹)( 2 9 ) 由( 2 - 8 ) 、( 2 - 9 ) 得到： 置。p ) = 忙否p ，芦，岛) - 陆2 ( 尸) 砰p ( 尸) ( 2 - l o ) 将( 2 - 1 0 ) 式代入( 2 2 ) 式得到电磁散射f 1 题的积分方程： 云舻) = 瓦。妒) + j d f 弓p ，尹，毛) k 2 ( 尹) 一砰碡( 尹) ( 2 1 1 ) 其中岛是背景的介电参数，其中砰= 2 盹，而k 2 g ) = 2 肛p ) 是 要求解的介质参数，e p ) ，e ( 一) 分别是背：景o r , o r 中的总场和散射体中 的总场。0 扩，尹，岛) 是并矢格林函数。 2 3 玻恩迭代法 由上一节我们得出电磁散射问题可以表示为积分方程： 豆p ) = 雷。g ) + p 弓p ，尹，毛) k 2 ( i ) 一簖( 尹) 忙( i ) ( 2 1 2 ) 的解，我们令2 ( i 。) 一瑶= 碍( t 2 ( 芦) 睇一1 ) = 霹j 扩) ，占( f ) 为对比度函数。 代入( 2 1 2 ) 式，得到： 云g ) = 豆。p ) + 砰p 7 d p ，f ，毛) - 占( f ) e ( 尹)( 2 1 3 ) 散射场可以表示为： 豆。舻) = 砖p 6 g ，芦，毛) a ( f ) 反芦) ( 2 1 4 ) 的解。散射体外的散射场五。p ) 可以测量得到，散射体内部的总场 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 e ( f ) ，是无法测到的，而豆( 一) 又是| 2 ( 尹) 的函数，所以( 2 1 2 ) 式是关于 七2 ( i ) 的非线性泛函。由于逆散射问题是的非线性的，逆散射问题通 常都是病态的，同时，逆散射问题还存在非唯一性。这些都给它的 求解带来很大的困难。 在玻恩迭代法中用入射场代替总场，将非线性问题线性化，忽 略了散射体内部的多次散射，在反演低对比度的问题时，玻恩迭代 法是一种很有效的方法。它的具体步骤为： ( 1 ) 第一次迭代时用散射体内部的入射场代替总场，求解线性逆 散射问题得到对比度函数的第一次迭代值。 ( 2 ) 将上一次迭代对比函数值代入到式( 2 - 13 ) ，解正散射问题计算 物体内部的总场。 ( 3 ) 将第( 2 ) 步中得到的物体内部的总场值代入( 2 1 3 ) 式，算出对比 度函数的新的迭代值。计算出新的对比度函数对应的散射场值。 ( 4 ) 判断计算得到的散射场值与测量值之间的误差是否满足精度 要求。如果满足迭代结束。否则重复( 2 ) 、( 3 ) 步，直到的前后两 次迭代结果的差值小于某一给定的小量。 在( 1 ) 步对比度的求解中，由于得到的矩阵是不适定的，因此每 次迭代求解对比度函数的时候要采用正则化方法。 2 4 变形玻恩迭代法 在玻恩迭代法的迭代过程中，( 2 - 1 2 ) 式的格林函数始终为自由空 间的格林函数，只有散射体内部的总场变化，而在变形玻恩迭代法 中，( 2 1 2 ) 中的格林函数也在每次修正中加以改进，而不再是自由空 间的格林函数。所以，在变形玻恩迭代法的迭代过程中，格林函数 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 e ( f ) ，是无法测到的，而豆( 一) 又是| 2 ( 尹) 的函数，所以( 2 1 2 ) 式是关于 七2 ( i ) 的非线性泛函。由于逆散射问题是的非线性的，逆散射问题通 常都是病态的，同时，逆散射问题还存在非唯一性。这些都给它的 求解带来很大的困难。 在玻恩迭代法中用入射场代替总场，将非线性问题线性化，忽 略了散射体内部的多次散射，在反演低对比度的问题时，玻恩迭代 法是一种很有效的方法。它的具体步骤为： ( 1 ) 第一次迭代时用散射体内部的入射场代替总场，求解线性逆 散射问题得到对比度函数的第一次迭代值。 ( 2 ) 将上一次迭代对比函数值代入到式( 2 - 13 ) ，解正散射问题计算 物体内部的总场。 ( 3 ) 将第( 2 ) 步中得到的物体内部的总场值代入( 2 1 3 ) 式，算出对比 度函数的新的迭代值。计算出新的对比度函数对应的散射场值。 ( 4 ) 判断计算得到的散射场值与测量值之间的误差是否满足精度 要求。如果满足迭代结束。否则重复( 2 ) 、( 3 ) 步，直到的前后两 次迭代结果的差值小于某一给定的小量。 在( 1 ) 步对比度的求解中，由于得到的矩阵是不适定的，因此每 次迭代求解对比度函数的时候要采用正则化方法。 2 4 变形玻恩迭代法 在玻恩迭代法的迭代过程中，( 2 - 1 2 ) 式的格林函数始终为自由空 间的格林函数，只有散射体内部的总场变化，而在变形玻恩迭代法 中，( 2 1 2 ) 中的格林函数也在每次修正中加以改进，而不再是自由空 间的格林函数。所以，在变形玻恩迭代法的迭代过程中，格林函数 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 通散射体内部的总场一样是变化的，在变形玻恩迭代法中，方程( 2 13 ) 成为 1 】： 豆。g ) = 睇防o o ：，尹，占”) 万( 尹) 雷( ，)( 2 1 5 ) 庐 变形玻恩迭代法的过程如下： ( 1 ) 第一次迭代时用散射体内部的入射场代替总场，将入射场代 替总场使用自由空间的格林函数求解线性逆问题得到对比函 数的第一次迭代值。 ( 2 ) 将上一次对比度函数的迭代值代入( 2 15 ) ，解正散射问题得到 散射体内部的总场。 ( 3 ) 将( 2 ) 步计算的散射体内部总场代入( 2 15 ) 得到接收点的散射 场。修正格林函数为新的格林函数。 ( 4 ) 比较第( 3 ) 步得到的剖面参数所对应的散射场与测量散射场， 之间的误差是否满足精度要求，如果满足迭代终止，否则重 复( 2 ) 、( 3 ) 直到满足精度为止。 变形玻恩迭代法比玻恩迭代法收敛速度快，这是因为玻恩迭代 法是一阶精度近似方法，而变形玻恩迭代法是二阶精度近似方法， 然而，玻恩迭代法比变形玻恩迭代法具有较强的抗噪声能力 2 5 衍射层析摄影术 衍射层析摄影术也属于线性优化方法的范围。在x 一射线层析法 中，x 一射线可以认为沿直线向前传播，后向散射很少。在物体的背 面测量的x 一射线的相位和衰减量和物体切片投影成线性关系。x 一 射线是在高频时的一种近似，当波长比较长的情况下，这种近似不 再成立，衍射现象变得重要。此时玻恩近似和衍射效应相结合所建 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 通散射体内部的总场一样是变化的，在变形玻恩迭代法中，方程( 2 13 ) 成为 1 】： 豆。g ) = 睇防o o ：，尹，占”) 万( 尹) 雷( ，)( 2 1 5 ) 庐 变形玻恩迭代法的过程如下： ( 1 ) 第一次迭代时用散射体内部的入射场代替总场，将入射场代 替总场使用自由空间的格林函数求解线性逆问题得到对比函 数的第一次迭代值。 ( 2 ) 将上一次对比度函数的迭代值代入( 2 15 ) ，解正散射问题得到 散射体内部的总场。 ( 3 ) 将( 2 ) 步计算的散射体内部总场代入( 2 15 ) 得到接收点的散射 场。修正格林函数为新的格林函数。 ( 4 ) 比较第( 3 ) 步得到的剖面参数所对应的散射场与测量散射场， 之间的误差是否满足精度要求，如果满足迭代终止，否则重 复( 2 ) 、( 3 ) 直到满足精度为止。 变形玻恩迭代法比玻恩迭代法收敛速度快，这是因为玻恩迭代 法是一阶精度近似方法，而变形玻恩迭代法是二阶精度近似方法， 然而，玻恩迭代法比变形玻恩迭代法具有较强的抗噪声能力 2 5 衍射层析摄影术 衍射层析摄影术也属于线性优化方法的范围。在x 一射线层析法 中，x 一射线可以认为沿直线向前传播，后向散射很少。在物体的背 面测量的x 一射线的相位和衰减量和物体切片投影成线性关系。x 一 射线是在高频时的一种近似，当波长比较长的情况下，这种近似不 再成立，衍射现象变得重要。此时玻恩近似和衍射效应相结合所建 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 l 页 立的衍射层析技术是一种很好的反演方法。 标量波的散射场公式为： 瓦伉) = 瑶胁瓴，尹) c ( i ) 置( 尹) ( 2 - 1 6 ) 其中砖= 2 盹，岛是背景的介电参数， c c 秘气半 | 】 2 ( 尹) = 国2 肛( i ) ，占( 一) 是散射体介电参数ae ( 尹) 分别是背景介质中的总 场和散射体中的总场。g 伉，) 是格林函数。在二维问题中 g ( 不，) = 三日5 ”( k o l 不一，i ) ( 2 - 1 7 ) 如果接收机位于散射场远区，则我们有如下近似 觚门= 剖去一州而7 ( 2 _ 1 8 ) 而一个均匀线源产生的入射场是 磊。( 尹) = 三日5 1 ) ( 卜劬 ( 2 - 1 9 ) 如果发射机也处于物体的远场区，则有 引- - 耻- t i i 去毋”岍7 ( 2 圳) 我们定义蟊= 不，露= 一七0 弓，并将式( 2 1 7 ) 一( 2 2 0 ) 代入( 2 1 6 ) ，我们 得到： 屯e ) 2 面赢沙协慵砰垆州扩稍( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 1 ) 式积分是傅立叶变换的积分，所以 豆扩) “i i 靠8 所+ 靠2 ；。( t j i r ) ( 2 - 2 2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 其中0 ( 云) 是c ( 芦) 的傅立叶变换，这就是衍射层析技术的反演方 程。 衍射层析技术是在远区近似的极限情况下导出的，即方程( 2 - 2 2 ) 只有当源和观察点与散射体的距离远大于物体的尺寸时成立。 2 6 最优化理论与方法 最优化理论是数学的重要分支，属于数学计算方法范围，它所研 究的问题是在讨论众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最 优方案。计算机的发展促进了最优化理论和方法的不断丰富与完善， 至今已成为数学的一个重要分支。 最优问题中直接用予最优化计算的函数称为目标函数，最优化 问题需要满足的条件称为约柬条件，满足约束条件的变量点称为可 行点，由所有可行点构成的集合称为可行集或可行域，使目标函数 达到最优( 最大或最小) 的可行点为最优解。 电磁逆散射问题可被认为是一个优化问题，其目标函数为测量 场与每次迭代所求场之间的相对误差，优化的最终目的在于找到待 测电磁目标介电参数真实分布或满足精度要求的近似分布为所要搜 索的最优解。与前面的线性方法相比，优化方法是直接求解散射矩 阵，因此，它可以用于高对比度的求解。在电磁逆散射中，一般采 用牛顿迭代法，共轭梯度法、最速下降法等优化方法来进行优化。 我们下来简单介绍这三种方法。 2 6 1 牛顿迭代法 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的 解，这是牛顿法的基本思想。 设非线性方程组可以描述为：f ( = 0( 2 - 2 3 ) 设方程组( 2 2 3 ) 的第k 次近似解为z n ，以函数f ( x ) 在x 处的一阶 t a y l o r 多项式近似函数，得到线性方程组： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 其中0 ( 云) 是c ( 芦) 的傅立叶变换，这就是衍射层析技术的反演方 程。 衍射层析技术是在远区近似的极限情况下导出的，即方程( 2 - 2 2 ) 只有当源和观察点与散射体的距离远大于物体的尺寸时成立。 2 6 最优化理论与方法 最优化理论是数学的重要分支，属于数学计算方法范围，它所研 究的问题是在讨论众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最 优方案。计算机的发展促进了最优化理论和方法的不断丰富与完善， 至今已成为数学的一个重要分支。 最优问题中直接用予最优化计算的函数称为目标函数，最优化 问题需要满足的条件称为约柬条件，满足约束条件的变量点称为可 行点，由所有可行点构成的集合称为可行集或可行域，使目标函数 达到最优( 最大或最小) 的可行点为最优解。 电磁逆散射问题可被认为是一个优化问题，其目标函数为测量 场与每次迭代所求场之间的相对误差，优化的最终目的在于找到待 测电磁目标介电参数真实分布或满足精度要求的近似分布为所要搜 索的最优解。与前面的线性方法相比，优化方法是直接求解散射矩 阵，因此，它可以用于高对比度的求解。在电磁逆散射中，一般采 用牛顿迭代法，共轭梯度法、最速下降法等优化方法来进行优化。 我们下来简单介绍这三种方法。 2 6 1 牛顿迭代法 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的 解，这是牛顿法的基本思想。 设非线性方程组可以描述为：f ( = 0( 2 - 2 3 ) 设方程组( 2 2 3 ) 的第k 次近似解为z n ，以函数f ( x ) 在x 处的一阶 t a y l o r 多项式近似函数，得到线性方程组： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 其中0 ( 云) 是c ( 芦) 的傅立叶变换，这就是衍射层析技术的反演方 程。 衍射层析技术是在远区近似的极限情况下导出的，即方程( 2 - 2 2 ) 只有当源和观察点与散射体的距离远大于物体的尺寸时成立。 2 6 最优化理论与方法 最优化理论是数学的重要分支，属于数学计算方法范围，它所研 究的问题是在讨论众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最 优方案。计算机的发展促进了最优化理论和方法的不断丰富与完善， 至今已成为数学的一个重要分支。 最优问题中直接用予最优化计算的函数称为目标函数，最优化 问题需要满足的条件称为约柬条件，满足约束条件的变量点称为可 行点，由所有可行点构成的集合称为可行集或可行域，使目标函数 达到最优( 最大或最小) 的可行点为最优解。 电磁逆散射问题可被认为是一个优化问题，其目标函数为测量 场与每次迭代所求场之间的相对误差，优化的最终目的在于找到待 测电磁目标介电参数真实分布或满足精度要求的近似分布为所要搜 索的最优解。与前面的线性方法相比，优化方法是直接求解散射矩 阵，因此，它可以用于高对比度的求解。在电磁逆散射中，一般采 用牛顿迭代法，共轭梯度法、最速下降法等优化方法来进行优化。 我们下来简单介绍这三种方法。 2 6 1 牛顿迭代法 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的 解，这是牛顿法的基本思想。 设非线性方程组可以描述为：f ( = 0( 2 - 2 3 ) 设方程组( 2 2 3 ) 的第k 次近似解为z n ，以函数f ( x ) 在x 处的一阶 t a y l o r 多项式近似函数，得到线性方程组： 西南交通大学硕士研究生学位论文第l3 页 其中 f ( x ) + f ( x ) a x = 0( 2 2 4 ) f ( z ) =誓纠2 ， 既o f 8 、 钆扎” 称为向量函数f ( x ) 的j a c o b i 矩阵， x = x - x = ( x n ，) c 1 ) 7 ， 方程组( 2 - 2 4 ) 有唯一解缸”1 ，则x ( “) = x ( + 缸( ”为方程组( 2 2 3 ) 的第 抖1 次近似解。按上述过程求解方程组( 2 - 2 3 ) ，其具体过程为： ( 1 ) 设定初始值x ( “，和停步准则占。 ( 2 ) 将初始值代入( 2 - 2 3 ) ，利用( 2 - 2 4 ) 求得下一次的迭代值。 ( 3 ) 判断是否满足停步准则，如果满足，迭代停止。如果不满足，本 次迭代值x ( 一工( “。返回第一步。继续执行。 一般计算中的停步准则采用以下两种方法： ( 1 ) 职工耻“虬2 蚓，( x ”，x 。” 占； ( 2 ) l i x 付“一x 忙i i 。= m 。，a 。x l x ：。“一x ? | 占 2 6 2 最速下降法 对于式( 2 - 2 3 ) ，我们把它写为方程组的形式： a ( x i ，工2 ，工。) = 0 ( _ ，x 2 ，- 矗) = o ( 2 - 2 6 ) 六0 i ，工2 ，矗) = 0 m 2 构造一个泛函m ( x ) = ( x ) 】，显然方程组的解为泛函的零点。， i = l 西南交通大学硕士研究生学位论文第l3 页 其中 f ( x ) + f ( x ) a x = 0( 2 2 4 ) f ( z ) =誓纠2 ， 既o f 8 、 钆扎” 称为向量函数f ( x ) 的j a c o b i 矩阵， x = x - x = ( x n ，) c 1 ) 7 ， 方程组( 2 - 2 4 ) 有唯一解缸”1 ，则x ( “) = x ( + 缸( ”为方程组( 2 2 3 ) 的第 抖1 次近似解。按上述过程求解方程组( 2 - 2 3 ) ，其具体过程为： ( 1 ) 设定初始值x ( “，和停步准则占。 ( 2 ) 将初始值代入( 2 - 2 3 ) ，利用( 2 - 2 4 ) 求得下一次的迭代值。 ( 3 ) 判断是否满足停步准则，如果满足，迭代停止。如果不满足，本 次迭代值x ( 一工( “。返回第一步。继续执行。 一般计算中的停步准则采用以下两种方法： ( 1 ) 职工耻“虬2 蚓，( x ”，x 。” 占； ( 2 ) l i x 付“一x 忙i i 。= m 。，a 。x l x ：。“一x ? | 占 2 6 2 最速下降法 对于式( 2 - 2 3 ) ，我们把它写为方程组的形式： a ( x i ，工2 ，工。) = 0 ( _ ，x 2 ，- 矗) = o ( 2 - 2 6 ) 六0 i ，工2 ，矗) = 0 m 2 构造一个泛函m ( x ) = ( x ) 】，显然方程组的解为泛函的零点。， i = l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 因此，求解非线性方程组可以转化为求解下述最优化问题： m i n o ( x ) ( 2 2 7 ) x e r 。 最速下降法的基本思想是从上式的的近似解x ( 出发，沿使函数 ( x ) 下降最快的方向，寻找新的近似解z 仕“这样一步步逼近( 2 - 3 1 ) 的 解。由微分学知，函数下降最快的方向是负梯度方向。因此，最速 下降法的迭代公式为：x “1 = x 2 + 丑以，其中d k = 一v 中( x ) 。 最速下降法的计算步骤为： 1 给定初始点x ( ”，目标允许误差和梯度方向允许误差。 2 计算搜索方向一v 中( x ) 3 若目标函数值中( x ) 曼6 1 或0 以6 岛则停止计算，否则，从出发 沿d 。进行一维搜索t 求以，使 c p ( x + , z k d k ) = m ：i 。n 中( x + 2 k d ) ( 2 - 2 8 ) 4 令x “1 = x + 吐，置k = k + 1 ，转第二步继续搜索。 2 6 3 共轭梯度法 共轭梯度法简称c g ( c o n j u g a t eg r a d i e n t ) ，其基本思想是把共轭性 与最速下降法结合起来，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向， 并