（材料加工工程专业论文）自适应有限元在注塑成型数值模拟中的应用.pdf

郑州大学硕士学位论文 摘要 对于许多塑料模具注塑成型充模流动模拟，在求解过程中，模具的某些区域将会 产生很大的压力变化，引起单元畸变，从而导致求解结果的不精确，因此必须进行网 格的自动重划分。所以自适应网格的生成对塑料模具注塑成型充模流动模拟起着非常 重要的作用。 自适应有限元分析方法是在初始网格的基础上，根据计算结果和后误差分析，通 过适当增加和减少网格中单元的数量，单元的尺寸相应地发生变化，从而产生一个较 佳的网格，经再次计算判断是否还需增加或减少单元数量。这样反复循环直到收敛于 较精确的解或满足计算精度。该方法的一个特点是，在压力梯度大的地方，由于离散 误差较大，网格不断加密，从而提高计算精度而且可以从计算结果输出的网格图直观 地看出压力梯度大的地区。 由于在工程中h 收敛是一种最常见的也是应用最为广泛的方法。本文内容即基于h 收敛下的后验误差估计本文主要工作有： 1 基于后处理的后验误差估计后验误差估计是有限元应用中一个十分重要的方 面，它可以对有限元解的可靠性给出评价，并用于有限元解的自适应改进，好的误差估 计能够以较少的计算代价获得预期的精度要求 2 通过自适应定量分析，确定压力梯度对流通率s 的影响 3 通过对节点的重新排序，优化出最佳的半带宽值 4 对总刚矩阵采用一维变带宽存储 5 用能量范数评估压力场的误差分布 本文对所讨论的后验误差估计技术分别用程序实现了它们在自适应有限元分析系 统中的应用，编程工作是在v i s u a lc 十+ 开发环境下完成的 关键词：压力场自适应有限元误差评估 网格重划分 i i i 英文摘要 a b s t r a c t f o rm o s tn o ws i m u l a t i o n so f 蛔e c t i o nm o l d i n g ，s o m ep a r t so fm em o l dm a yp r o d u c e s i g n i f i c 锄t l yp r e s s l l r ev a r i a t i o nd 1 埘n gs o h l t i o np m c e d u r e ，w h i c hc a u s et h ei n e s hd i s t o m o n 锄dt h ei m c c u r a c yo ft l l er c s u l t ，s ow em u s tr e m e s h 也em o l d a sf 打a s e c t i o nm o l d i n g n o ws i m u l a t i o n sa r ec o n c e m e d ，a 1 1o p t i m a lt h em e s hi sv e r yi m p o r t 趾t a d a p t i v e f i i l i t ee l e m e n tm e t l l o di sb a s e do ni i l i t i a l m e s h ，n l r o u g hc a l c u l a t i o na n d p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t i o nd e c i d e st ow h e t h c rt oi n c r e a s ee l e m e n t so rn o t ，a i l dt l l es i z eo f e l e m e m si sc h l g c da tt l l es 锄et i m e ab e t t e rm e s hm a yb eo b t a i n e d c a l c u l a t eo n c em o r e u 1 1 t i lm ee m re s t i i m t o rc o m ，e 】苫e st ot l l ee x a c te r r o tt h em e t l l o ds h o w s 廿l a tw h e r ep r e s s u r e g r a d i e mi sl a r g e rn l em e s hi se i l r i c h e db e c a u s et l l ed i s c r e t ee r r o ri sb i g g e r a d a p t i v e r e f i n e m e n ti su s e dp o p u l a r l y ，s oap o s t e r i o r ie n 讲e s t i m a t i o nb a s e do n r c 丘n e m e n ti su s e di nt h i sp a p c r t h ea c h i e v e m e n t si n c l u d e d ： 1 a p a n 丘o mf o m i n gm eb 鹪i so f 咖t i v em e s hr e f i n e m e n tp m c e d u r e sd e s i g n e dt o c o n t r o la n d l i 血m i z et l l ee r r o r 趾da c m e v et l l eu s e rp r e s c r i b e da c c u r a c y ，ap o s t e r i o r ie m ) r e s t i m a t o r sc a na i s ob eu s e d 船a 1 1i n d e p e n d e n tm e a 甜o ft 1 1 eq 1 1 a 1 蚵o f l ef m i t ee l e m e n t s o l u t i o n i n d e e di ti sn o ww i d e l ya c c e p t e d 也a t 廿l ea s s e s s m e n to f 也ea c c l l r yo fm en n i t e e l e m e n ts o l u 廿o nb yap o s t e r i o r ie r r o re s t i m 撕o ni sn e c e s s a r yf o ra n yp r a c t i c a lc o m p u t a t i o n s 2 1 1 l r o u g ha d 印t i v ea i l a l y s i s ，m a k es u r et l l er e l a t i o nb e t w e e np r e s s u r eg r a d i e n ta i l d n u i d i q s 3 t 1 1 r o u 曲r e s o r tn o d c ，o b t a i no p t i m a lb a i l d 、v i d m 4 o n ed i m e n s i o nv a r i a b l e b a i l d w i 蛐s t o r cm e 也o di su s e dt os t o r c 也ed a t ao fg l o b a l m a 雠x 5 t h ee n e 蜡yn o 仃ni sc h o s e nt oa s s e s se r r o rd i s m b u t i o no f p r e s s u r e 矗e l d s a p o s t e r i o r ie i t o re s t i m a t o rt e c h n i q u ei su s e di na d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d 锄a l y s i s s y s t e mn u o u 曲p r o g r 撇si n “sp 印e rw h j c ha r ew r i t t e nu s i n g s u a lc + + 6 0h l g u a g e k e y w o r d s ： p r e s s u r cf i e l d ，a d 印t i v ef e m ，e r r o re s t i m a t o r ，r e m e s h i v 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等 违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任 和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ：赵建 抛6 年牛月万日 1 1 郑州大学硕士学位论文 1 1 注塑成型模拟技术概述 第一章绪论 1 1 1 注塑成型的原理及研究意义 塑料工业是国民经济中的一个非常重要的行业。由于塑料的机械性能和加工性能优 良，而且具有质量轻，耐腐蚀、电绝缘性能好、强度高等优点，引起了人们的关注，获 得了迅速的发展，在汽车、家电、仪器仪表、建筑装饰等领域得到了广泛的应用。 注射成型是根据金属压铸成型原理发展而来的塑料制品的主要加工方法，使用注塑 机和注射模具把塑料原材料转变成塑料制品。基本原理是利用塑料的可挤压性与可塑 性，首先将松散的粒状或粉状物料从注射机的料斗送入高温的机筒内加热熔融塑化，使 之成为粘流态熔体，然后在柱塞或螺杆的推动下，以较大的流速通过机筒前端的喷嘴注 射进入温度较低的闭合模具中，经过保压、冷却后，开启模具便可从模腔中脱出具有一 定形状和尺寸的塑料制品。 注塑成型在整个塑料制品生产行业占有非常重要的地位。早期的注塑成型方法主要 用于生产热塑性塑料制品。随着塑料工业的迅速发展以及塑料制品应用范围的不断扩 大，注射成型方法已经推广应用到热固性塑料制品和一些塑料复合材料制品的生产中。 目前，除了少数几种塑料外，几乎所有的塑料都可以采用注塑成型。据统计，注塑制品 约占整个塑料制品总产量的3 0 ，全世界每年生产的注射模数量约占所有塑料成型模具 数量的5 0 模具在注塑成型过程中处于核心地位，作为聚合物成型的重要工艺装备，其设计与 制造水平直接关系到产品的质量、品种及更新速度。摸具工业是国民经济的基础工业， 塑料模具是塑料工业发展的瓶颈之一。在橡塑制品加工中，材料本身的特性以及复杂的 加工条件使材料成型过程经历了相当复杂的变形历史，如固体输送、熔融、熔体输送、 流动、压实、相变、结晶、分子取向、纤维取向、翘曲变形等，复杂的制品形状、边界 条件及材料参数的不确定性使得问题更加复杂化。由于问题的复杂性，长期以来，高聚 物成型加工过程的控制和模具设计与制造主要依赖于工艺人员和设计人员的经验和技 巧，设计的合理性只能通过试模才知道，制造的缺陷主要靠修模来纠正，致使模具及高 第一章绪论 聚物产品的设计与制造周期长、成本高、档次低。随着新材料和新成型方法的不断出现， 问题更加突出，致使我国模具技术水平大大落后于国外。现在模具生产只能满足需要的 6 0 左右，每年进口精密复杂模具高达数亿美元。 随着计算机技术的发展和人们对计算力学、流体力学、聚合物加工流变学、传热学 等学科研究的深入，成型模拟( c a e ) 技术与注塑成型技术相结合，为改变这种状况提供 了新的手段。c a e 技术通过建立高聚物成型过程的物理和数学模型，构造有效的数值计 算方法，借助于计算机仿真模拟确定加工条件的变化规律、预测制品的结构和性能、确 定高聚物制品和模具设计参数及工艺条件的最佳方案，使高聚物成型加工及模具设计建 立在科学分析的基础上，为优化模具设计和控制产品成型过程以获得理想的最终“定构” 提供科学依据和设计分析手段，指导高分子成型，提高高分子材料使用水平。成型模拟 技术使高聚物成型加工过程在流场、力场、热场等作用下所出现的各种物理现象和化学 变化的描述更加数学化和定量化，从而使加工成型从一项实用技术变为一门应用科学。 塑料成型c a e 技术对缩短产品的开发周期、提高塑料制品的质量、降低生产成本具有 很重要的意义【”。 1 1 2 注塑成型c a e 软件的概况及发展趋势酬 从2 0 世纪6 0 年代中期到2 0 世纪7 0 年代中期，k 锄a l 等人建立了熔体维流动数 学模型，为系统开展注塑模c a e 研究打下了坚实基础。此后，随着计算机图形学、数值 技术的迅速发展以及人们对塑料熔体在模具中流动行为理解的深入，注塑模c a e 的研究 也逐渐与生产实践相结合，出现一批有影响的研究机构。其中有加拿大m c g i l l 大学化 学工程系m r k a m a l 教授领导的塑料成型科研组，他们从1 9 7 2 年开始对注塑成型工艺 的计算机模拟、控制、塑料性能实验等进行了研究，在对流动、保压和冷却过程进行系 统研究的基础上，开发了注塑成型过程计算机模拟集成系统m c k a m 。美国c o m e n 大学的 k k w h g 教授领导的注塑模科研组( c i m p ) ，从1 9 7 4 年开始，在美国国家科学基金及 美国、加拿大、日本等国的一些公司的赞助下对注塑模c a e ，c a d c a m 进行了深入的 研究，先后建立了注塑过程的流动、保压、冷却的一维、二维、三维数学模型，开展了 塑料熔体流变性能和热性能的实验研究，创立了流动平衡计算的数学模型。著名的注塑 模c a e 软件c - m 0 1 d 的早期版本基本上就是基于他们的研究成果开发出来的。德国 a a c h e n 大学i k v 塑料工程研究所在g m e n g e s 教授的领导下，从1 9 7 5 年开始，对塑料 郑州大学硕士学位论文 成型过程的计算机模拟进行了系统的研究，开发出一系列对注射模设计进行模拟的计算 机软件。澳大利亚的m 0 1 df l o w 公司在c a u s t i n 的带领下，在注塑模c a e 方面开展了 卓有成效的工作，开发出了世界上第一套商品化的注塑模分析软件m 0 1 df l o w 。 注塑模c a e 软件在2 0 世纪8 0 年代己进入了实用阶段。这些年来，随着人们对注 塑成型过程认识的深入及计算机技术的发展，老软件不断更新，新软件不断涌现，这些 软件计算结果的准确度己有较大的提高，用户界面也相当友好。 我国从2 0 世纪8 0 年代初开始进行高聚物成型过程数值模拟方面的研究，在若干关 键环节上取得了不少成果。对注射成型中粘性熔体的充模、保压及冷却过程的数学模型 和数值求解方法进行了改进，形成了一套包括控制方程、材料模型、物性参数和数值求 解方法在内的较为系统、实用的注塑成型模拟理论，丰富和发展了注塑成型数值模拟方 法。这些理论和方法可预测非牛顿不可压缩高聚物熔体在模腔中熔体前沿面位置和形状 及瞬态非等温充模、压实、冷却固化过程以及翘曲交形，发展了气体辅助注射成型和振 动注射成型的物理模型，通过厚度比因子表征气体充填厚度，对气体在成型过程中分布 状况进行了预测。 郑州大学模具研究中心从二十世纪九十年代初开始研制塑料成型过程模拟及模具 优化设计系统z m o l d ，该系统是目前国内处于领先水平的注塑模c a e 分析系统。z m o l d 系统包括初始设计( z - d e s i g n ) 、建模器( z m 0 1 d e r ) 、流动分析( z f l o w ) ，保压分析 ( z - p a c k ) 、冷却分析( z c 0 0 1 ) 和后处理显示( z s u a l i z e ) 等模块。z m o l d 己经可以较准 确地预测：任意时刻熔体的压力、温度、剪切速率和剪切应力分布：熔接线和气穴的位置： 注塑所需的注射压力和锁模力等【5 】- z m o l d 运用在实际生产中己经取得了一定的经济效 益。 华中理工大学也是国内较早研究注塑模具c a d c a e 系统的单位。华中开发的h s c 软件可有效地完成注塑模具三维图形输入及处理、注塑流动和冷却模拟、模具强度和刚 度校核等功能。该系统还建立了注塑模缺陷诊断专家系统k b d d e s 。采用不精确推理及 确定性理论，按人类专家处理问题的思维方式来协调各专家对问题假设的不确定性，并 运用正反向混合推理的控制策略，对常见的注塑件缺陷及注射过程中的故障进行诊断， 得出结论并给出避免缺陷或故障的方法及建议。【6 1 h s c 系列软件已在国内某些企业得到 应用，而且己商品化出售。 此外，上海交大、大连理工、华南理工、南昌大学、浙江大学、北京化工等多所大 学和科研院所，也都在注塑模c a e 领域进行了广泛的研究，在像注塑制品保压过程m 、 第一章绪论 残余应力【8 ，9 | 1 0 1 、熔接线 1 1 ，1 2 1 、纤维取向1 4 1 、气辅成型、共注成型【1 6 1 、反应注射【17 1 、 挤出吹塑1 1 8 】等多个方面取得了许多卓越成果。随着c a d c a e 技术的不断发展，可以预 计，注塑模c a e 技术必然会为我国的塑料模具工业带来新的生机和客观的经济效益。 当前，国内外注塑成型模拟研究的热点是气体辅助注射成型模拟和真三维的精密注 射成型数值模拟，及联机分析成型过程的控制系统。将实际注射成型与计算机模拟结果 进行实时比较，然后利用专家系统自动调整成型工艺参数，以实现注射机的优化控制。 经过三十多年的发展，注塑模c a e 技术己经从理论研究走到了实际应用。c a e 系 统成功的结构分析极大地完善了c a d c a m 系统，其运用范围己渗透到注塑模设计和制 造的各个环节。但是从目前运用的实际效果来看，注塑模c a e 商品化软件的功能和精 度还有一定的缺陷，今后的研究和发展趋势表现在如下几个方面：f 1 9 ，2 0 ，2 1 1 ( 1 ) 注塑成型全过程模拟的完善及模拟精度的研究。注塑成型模拟的c a e 包括：流 动、保压、应力应变及翘曲等模块。由于各模块在开发、研制的初期均是基于各自独立 的数学模型，而且这些模型在一定程度上进行了简化，没有考虑或忽略了其它过程的影 响因素。数学模型准确性和数值算法精确性的完善，将进一步提高注塑c a e 软件的实 用性。另外，用三维有限元分析模型取代目前二维有限元与有限差分的耦合算法，来分 析流动过程的压力场和温度场，也是目后注塑成型c a e 算法研究的发展趋势。注塑成 型过程是一个连续重复的过程，将各独立的模块进行耦合计算分析，可以提高分析软件 的模拟精度，扩大适用范围。 ( 2 ) 注塑成型新工艺及其模拟研究。随着注塑成型设备和成型工艺的不断发展，出 现了气体辅助注塑成型的新工艺。该工艺将注塑成型与结构发泡成型结合在一起，所需 注射压力小，制品成型后翘曲变形小，表面质量好，成型周期短。由于气道加强筋增强 了制品的刚度和精度，同时又节省了熔料，既保证了制品的质量，又降低了生产成本。 因此，这项工艺在日本、欧美已被广泛用于汽车和家电行业的塑料件生产【2 2 1 。气体辅助 注射成型比普通注射成型多了气体注射阶段，气体推动塑料熔体充满模具型腔，因此成 型过程较复杂，制品设计原则与普通注塑制品又有差异，该新工艺对c a e 技术要求较 高。目前，国外研究得较为成熟的是美国c o m e d 大学的c i m p 研究组，他们的c g 日s m o l d 软件提供模拟气体辅助注射成型工艺的填充过程口3 埘j 。m o l df l o w 公司开发的气体辅助 注塑成型过程模拟系统，对气体在注塑成型中的穿透过程进行了模拟，对气体可能吹穿 的流动前沿位置进行了预测，而且可以分析确定熔体的壁厚和薄壁区域气道的直径。当 气体过压时，对熔体的溢出过程也进行了模拟。 郑州大学硕士学位论文 ( 3 ) 注塑模c a d ，c a e c a m 系统的集成化：c a e 软件可以模拟在不同工艺条件下的 注塑情形，预测出成型制品的质量参数，从而对塑件的各种性能进行全面分析，指导实 际生产。但目前的c a e 商品化软件与c a d c m 软件之间的数据传递主要依靠文件的 转换，这容易造成数据的丢失和错误。因而在设计和制造过程中有必要采取单一的模型， 建立c a d c a e c a m 系统的统一数据库，加强三者间的联系。 ( 4 ) 人工智能的应用研究：利用人工智能技术开发的注塑模设计和制造全过程的专 家系统，实现最优化的设计制造以及模具在最佳状态下工作，为非专家人员提供工作的 最佳环境。 ( 5 ) 并行技术的应用研究：与传统的串行设计过程相比，并行技术将建立一个通用的 数据库，把集成设计技术和制造技术有效地体现出来，从而提高整个c a d c a e c a m 系统的水平。 ( 6 ) 网络技术的应用研究：注塑模c a d c a e c a m 系统的软件升级和使用维护均需 要大量的人力和财力，因此采用网络远程服务将是最经济、最快捷，也是最先进的手段。 1 2 本文研究背景 对注射成型充模过程的数学描述可归结为一组偏微分方程及相应的定解条件。迄今 为止，流动模拟中常用的数值方法可分为两类：一类是区域型数值方法，主要包括有限 差分法和有限元有限差分混合法；另一类是边界型数值算法，主要是边界元法。有限 差分法是流动模拟中最早采用的方法，该方法比较简单，对求解一维问题非常有效，但 对复杂边界的适应性较茬，因而难以应用于三维流动模拟问题。在流体力学领域，边界 元法主要用来求解牛顿流体的等温流动问题，也有研究者成功地尝试了用该方法求解流 动模拟问题。有限元有限差分混合法的基本思想是：在流动平面内各待求量( p ，t 等) 用有限元法近似，而各待求量( t ，u ，v 等) 在型腔厚度方向的分布以及时间变量用有限差分 近似。该方法充分发挥了有限元法和有限差分法各自的优点，对复杂边界的适应性强， 成为流动模拟主要的数值计算方法【2 5 】。 有限单元法作为被普遍采用的数值计算方法它的基本前提是将连续的求解域离散 为一组有限个单元的组合体。这样的组合体能解析地模拟或逼近求解区域。由于单元能 按各种不同的连结方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的几何形状，因此可以模 型化几何形状复杂的求解域。有限单元法作为一种数值分析方法的另一个重要步骤是利 第一章绪论 用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。单元内的近 似函数通常由未知场函数在各个单元节点上的数值以及插值函数来表达。这样一来，一 个问题的有限单元分析中，未知场函数的节点值就成为新的未知量，从而使个连续的 无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以利用插值 函数确定单元组合体上的场函数。 有限元方法广泛地应用于工程的各个领域。有限元分析的一个重要环节是形成有限 元网格，有限元网格对于计算结果的可靠性、计算精度有着很大的影响，在很大程度上 要依靠计算人员对其所面临问题的判断来选择合适的有限元网格。对于边界及受载条件 都很复杂的问题，要形成合适的有限元网格并非易事。其复杂的前处理闳题也使一般的 工程技术人员难以掌握。这些问题在一定程度上阻碍了有限元的应用。 自适应有限元分析方法是解决这一问题的有力工具。它是在初始网格的基础上，根 据计算结果和后误差分析，通过适当增加和减少网格中单元的数量，单元的尺寸相应地 发生变化，从而产生一个较佳的网格，经再次计算后判断是否还需增加或减少单元数量。 这样反复循环直到收敛于较精确的解或满足计算精度。该方法的一个特点是，在压力梯 度大的地方，由于离散误差较大，网格不断加密，从而提高计算精度而且可以从计算结 果输出的网格图直观地看出压力梯度大的地区。 对于许多塑料模具注塑成型充模流动模拟，在求解过程中，模具的某些区域将会产 生很大的压力变化，引起单元畸交，从而导致求解结果的不正确，因此必须进行网格的 自动重划分。所以自适应网格的生成对塑料模具注塑成型充模流动模拟起着非常重要的 作用。 1 3 本文的主要工作 自适应有限元与传统有限元的区别在于自适应有限元包括误差估计和网格优化两 部分。因此要进行自适应有限元分析必须从这两方面入手由于在工程中h 收敛是一种最 常见的也是应用最为广泛的方法，本文内容即基于h 收敛下的后验误差估计本文主要工 作有： 1 基于后处理的后验误差估计后验误差估计是有限元应用中一个十分重要的方面， 它可以对有限元解的可靠性给出评价，井用于有限元鼹的自适应改进，好的误差估计能 够以较少的计算代价获得预期的精度要求 郑州大学硕士学位论文 2 通过自适应定量分析，确定压力梯度对流通率s 的影晌， 3 通过对节点的重新排序，优化出最佳的半带宽值 4 对总刚矩阵采用一维变带宽存储 5 用能量范数评估压力场的误差分布 本文对所讨论的后验误差估计技术分别用程序实现了它们在自适应有限元分析系 统中的应用，编程工作是在v i s l 】a lc + 十开发环境下完成的 第二章自适应有限元法概述 第二章自适应有限元法概述 2 1 自适应有限元的发展 6 0 年代初期，有限元方法随着计算机技术的快速发展而诞生，并逐步发展成为工程 中应用最为广泛的数值方法。有限元和其它任何近似数值方法一样都存在算法的可靠性 和有效性问题。有限元分析结果的可靠性和分析效率的研究一直伴随着有限元法的发 展。有限元分析结果的误差可能来自分析过程的各个环节，其中一个主要的误差来源是 模型的离散化。有限元网格剖分的质量对分析结果的精度有着决定性的影响。在早期常 规有限元分析中，分析者通常根据经验、直觉甚至猜钡4 进行网格剖分，然后凭直观或简 单判断近似结果是否合理，如果不合理，则需要重新进行网格设计。其分析效率和可靠 性都较低。而基于有效误差估计的自适应有限元是由计算机根据得到的误差信息决定解 是否有足够的精度，若误差过大，计算机可进步自动地进行满足精度要求的网格改进， 因此，原则上只需定义一种描述问题几何特性的初始网格及可接受的误差水平，计算机 可自动产生能实现这有效水平的网格，显著提高了分析效率和结果的可靠性1 2 6 1 。 自适应有限元最早始于2 0 世纪7 0 年代初期，是从经典有限元研究中派生出来的新 分支，它是一种能通过误差分析自动调整算法以改进求解过程的数值方法。它的基本思 想是首先根据工程构件的几何形状，边界条件及载荷条件选择基本网格，进行有限元运 算，然后对运算结果作误差分析，若计算精度足够，停止计算，若精度不够，则对网格 进行优化改进，改进后对工程构件再进行有限元运算，循环进行上述过程，直到得到满 意的精度结果。整个过程可以通过图2 1 表示【2 7 1 。 从7 0 年代初期开始，自适应有限元法就碍到不断发展。o l i v 商r a 等于l9 7 1 年通过 极小化能量利用最优结点分布讨论了网格的优化问题，所提出的网格重分布方法成为移 动结点法的基础。之后于7 0 年代中期，0 1 i v e r i r a 进一步创造性地提出在应交能密度交 化最大的区域加密网格或增设插值函数的高阶自由度，开创了最优离散化的研究。7 0 年代后期，p e a n o 提出用叠层细分构造混合阶插值，给出了非常有用的叠层p 型单元族。 8 0 年代，s z a b o 成功地将叠层单元法用于离散网格的设计。z i e n 鼬e w i c z 等在此基础上 利用简单的h 一加密和在整个区域均匀增加p ，通过实例研究了h 一和p 一组合法的精度 和有效性问题。o d e n 等也进一步研究了p 一改进和h 一加密的组合方法，旨在以最少的 郑州大学硕士学位论文 参数达到所需的精度。进入9 0 年代以后，国际上自适应有限元方面的研究成果日益增 多，它已成为有着广阏发展前景的数值计算方法。 2 2 自适应有限元误差分析 2 2 1 引言 圉2 1 f i g u r e2 1 自适应算法是一种根据中间计算结果自动控制计算过程的求解偏微分方程的方法。 它主要利用中间计算结果自动计算所需的网格，选择最佳离散方式，从而逐步对误差自 动地作适应调节以达到所要求的精度。该方法具有较高的识别能力和选择最优参数的能 力，以尽量少的计算量达到所要求的精度。有限元的白适应算法在最近十多年里发展很 快。由于它能够自动判断在结构误差最大处加密网格，提高了计算效率，并且通过误差 估计可以告诉用户计算结果的误差范围，因此它在工程界受到了广泛的欢迎。 有限元法的数学理论研究表明，对于适当构造的单元，当有限元的网格无限加密时， 有限单元法的解收敛到原连续介质的准确解。但对于一个特定的网格，在准确解未知的 情况下，人们无法对这一网格下得到的有限元解的精度做出可靠且实用的估计。这曾是 有限元法应用于力学问题求解时的一个障碍。最近十几年所进行的有限元自适应方法的 研究在这一方面取得了重要的进展。自适应分析过程主要包括两个方面可靠的误差 估计方法和功能强大的网格自动划分技术。自适应的误差估计是在求得给定网格下有限 元位移解和应力解之后，采用应力恢复等方法构造出改进韵应力解。理论研究表明改 进前的有限元应力解和改进应力解之差可用来估计有限元解的误差。由于这种误差估计 第二章自适应有限元法概述 方法是根据上一次网格的计算结果进行误差估计来指示下一步的网格划分，并不同于讨 论稳定性、收敛性的先验误差估计，因此它也被称为后验误差估计方法。对此类方法的 研究在最近十几年中己成为计算力学界的热点之一。 自适应分析的网格划分过程有h 收敛、p 收敛和h p 收敛等几种形式。h 收敛即保 持各单元形函数的阶数不变，通过逐步加密有限元网格使结果向精确解逼近。p 收敛是 保持单元几何尺寸不变的同时逐步增加单元形函数的阶数。一般来说，p 收敛速度要比 h 收敛快。理论上可证明，h 收敛和p 收敛的结合应用即h _ 呻收敛效果最好，在包含奇 异点的情况下能以指数级速度收敛到精确解。p 收敛过程中有一种类型称为升阶谱有限 元法，即在增加形函数的阶数时采用一种方法使得原有的低阶形函数是增加后高阶形函 数的一个子集。这样前面形成的单元刚度矩阵是阶数增加后单刚的一个子块，因此，原 来的计算结果可以加以利用。后验误差估计方法在自适应分析中的应用根据其自适应过 程网格划分的不同也有所区别。由于在工程中h 收敛是一种最常见的也是应用最为广泛 的方法，本文将着重讨论在h 收敛下的后验误差估计方法。有关误差估计方法在p 收敛 和h _ 呻收敛中应用的详细情况可参考b d b u s k a 的综述【2 8 1 和文献】。 h 一型后验误差估计方法可大致分为两类：基于平衡方程残值法和基于有限元解的 后处理法。1 9 7 8 年b a b u s k a 和i n b o l d t 【3 0 ，3 1 该早提出了残值法。这种方法出现时间较 早，数学理论基础也比较完善。但由于其形式较复杂并没有在工程中得到广泛的应用。 o c z i e n h e w i c z 和j z z h u 【3 2 1 于1 9 8 7 年提出了一种于残值法有着根本区别的基于后处理 技术的误差估计方法( 简称z 2 方法) 。由于它具有计算简单、易于理解和现有的有限元 应用软件接口方便等特点，因此受到了工程界的广泛欢迎。随后z i e n k i e w i c z 和z h u 吲 又于1 9 9 0 年开始研究超收敛特性对z 2 方法的改进和发展。后验误差估计是有限元应用 中一个十分重要的方面。它可以对有限元解的可靠性作出评价，并用于有限元解的自适 应改进，好的误差估计能够以较少的计算代价获得预期的精度要求。 2 2 2 基于后处理的后验误差估计 ) z j e n k j e w i c z z h u 方法( 简称z z 方法) 1 9 8 7 年o c z i e n k i e 研c z 和j z z h u 提出了一种与残值法有着根本区别的误差估计方 法3 2 ，由于计算简单、易于理解和现有的有限元应用软件接口方便等特点，一经摊出就 郑州大学硕士学位论文 受到了工程界的广泛欢迎，开创了有限元后验误差估计方法由理论研究走向实际应用的 里程碑。 考虑弹性问题 上“一g = s 7 d 舰一g = o 在q 内 ( 2 1 ) “= 材 g 必f f 在r 。上 ( 2 2 ) 在1 1 ，上，r = r 。u r ， ( 2 3 ) 盯= n 妇 u 唧 有限元解订= 脯。这里玎为节点位移。定义误差p = 一订，= 一号a 定义能量范数 = ( 肛d q ) l ，2 = ( 心) 啊k q ) “2 ，三拶傩 ( z s ) 上2 范数 恻l ：= ( l e r e d q ) 1 ，2 ，l 忙，i i ：= ( 7 d q ) ”2 ( 2 6 ) 忙旷= 新卜相对误差玎= 鼢圳。 ， 由于有限元协调模型只能保证位移订的c 0 连续，因此作为位移导数的疗在单元间会 产生跳跃。然而通过插值法可以构造出一个光滑连续的应力场盯+ 。一维情况见图2 2 。 图2 2 一维问题线性形函数的有限元解与光滑应力解 f i g u r e2 2f 酬s o l u t i o na n ds m 0 0 t h e ds t r e s ss o l u t i o no fo n ed i m e n s i o nl i n e a rs h a p e f u n c t i o n 盯= 矿 ( 2 8 ) 第二章自适应有限元法概述 其中为插值函数，通常与位移形函数相同。f 为改进的节点光滑应力值。 扩的构造方法中较常用的有两种： ( 1 ) 变换法 令l 扩( 口+ 一矛) d q = o 式( 2 罐) 和( 2 9 ) 联立，可得 厅= 4 1 7 d 6 砌q 订，爿= f 7 砌q m如 这种算法精度较高，但计算量太大。 ( 2 ) 节点平均法 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 矿：掣 ， 其中巩是与i 节点相连的单元数。 这种方法简单、直观。虽然略显粗糙，但在实际应用中却能取得良好的效果。 构造出光滑应力盯后，我们可以用它代替精确解盯做误差估计。 勺= 叮+ 一疗 ( 2 1 2 ) 估计的相对误差。卵= f l ，2 ，其中上标。表示估计值。根据数值计算的经验对 于。叩乘上放大系数是很有效的。此系数的大小与单元类型有关，一般来说二次单元所乘 系数要大一些，大致在1 4 1 6 之间。 当求得误差估计之后，就可以进行自适应分析。有限元自适应过程需要达到的目标 是在整个区域内满足刁茎彳。彳是最大允许百分比误差。由于优化网格的标准是误差均 匀分布在每个单元上，因此要求对于每个单元 肛可华 l ，2 = 磊 瓦为每个单元的最大允许误差。 l m一卜 一一” 郑州大学硕士学位论文 定义毒：些，若点 l 则需要将此单元细分。 ) z z 方法的数学基础 考虑盯= 霄矿中的阶数p 可以取做与位移形函数n 的阶数q 不同。而且在用变 换法求节点光滑应力值矿时可以加上权函数d 一，即 l ( 盯一子) 1d 。1 砌q = o ( 2 1 4 ) 这样可以构造一组基于光滑应力的误差估计，通过数值计算表明对于很多情况p = q 即 z z 方法是最有效而且最经济的方法。但在某些情况下z z 方法的数值结果不能渐进精 确，这时可以从上面构造的一组误差估计中找出一种可以渐进精确的。 用残值法进行误差估计的出发点是局部误差控制方程，而z z 方法用光滑应力仃代 替精确解盯进行误差估计仅仅是一种直观的想法。因此它的数学基础与残值法相比还显 得不够。 2 3 有限元网格划分 2 3 1 有限元网格的剖分要求 有限元网格应满足以下要求： ( 1 ) 单元之间不能相互重叠，要与原物体的占有空间相容，即单元既不能落在原区 域之外，也不能使原区域边界内出现空洞。 ( 2 ) 单元应精确逼近原物体。所有原域的顶点都应取成单元的顶点；所有网格的表 面顶点都应落在原域表面上；所有原域的边和面都被单元的边和面所逼近。 ( 3 ) 单元的形状合理。每个单元应尽量趋近于正多边形或正多面体，不能出现面积 很小的二维尖角元或体积很小的三维薄元。 ( 4 ) 网格的密度分布合理。分析值变化梯度大的区域需要细化网格。 ( 5 ) 相邻单元的边界相容，不能从一个元素的边或面的内部产生另一元素的顶点。 有限元网格生成方法研究领域已取得许多重要成果，形成了独特的方法论体系，提 出了许多有效的算法并研制出一些成功的工程化软件产品。近1 0 年来，有限元网格生 第二章自适应有限元法概述 成方法有两个显著特点：( 1 ) 与其它研究领域一样，经历了一个进化过程，一些方法的研 究与应用出现停滞，而另外一些方法在不断地深入、完善和发展，成为适应性强，应用 范围广泛的通用方法；( 2 ) 领域和主题在不断扩展和深入，研究重点由二维平面问题转移 到三维曲面和三维实体问题，从三角形四面体网格自动生成转移到四边形六面体网格 自动生成，在并行网格生成、自适应网格生成、贴体坐标网格生成、各向异性网格生成 等方面亦取得许多重要进展。 2 3 2 有限元网格生成的通用方法 ) 基于栅格法 基于栅格法( 鲥d b a s e d a p p r o a c h ) 的基本流程：首先用一组不相交的尺寸相同或 不同的栅格( c e l l s ) 覆盖在目标区域上面，保留完全或部分落在目标区域之内的栅格，删 除完全落在目标区域之外的栅格；然后对与物体边界相交的栅格进行调整、剪裁、再分 解等操作，使其更准确地逼近目标区域：最后对内部栅格和边界栅格( 特别是边界栅格) 进行栅格级的网格剖分，进而得到整个目标区域的有限元网格。 基于栅格法又可分为正则栅格法( r e g i l l a r 鲥dm e t l l o d ) 和有限四( 八) 叉树法( f i l l i t e q u a d 廿e e ，0 c t r e em e t h o d s ) 两大类。正则栅格法与有限四( 八) 叉树法在算法的总体流程上基 本一致，它们之间的最大区别在于正则栅格法采用尺寸相同的正则栅格覆盖目标区域， 而有限四( 八) 叉树法采用基于四( 八) 叉树数据结构的可递归细分的变尺寸栅格来覆盖目 标区域。与正则栅格法相比，有限四( 八) 叉树法能够更好地协调边界逼近精度与生成单 元数量之间的平衡，因此应用更为广泛。 y e r r y 和s h c p h a r d 【3 4 】首先将用于近似表达几何对象的四( 八) 叉树法空间分解法引入到网 格剖分领域，其后又有许多学者对该方法进行了完善和发展，形成了有限四( 八) 叉树方 法。有限四( 八) 叉树方法适用于复杂二维和三维域网格生成，几何适应性强，网格密度 可控制，且算法效率较高( 时间复杂度为o ( l o g ) ，实际观察接近于o ( ) ，其中为 生成单元总数) 。但该方法也存在如生成网格与所选择的初始栅格及其取向有关、目标 域边界处单元质量较差等严重缺点。 郑州大学硕士学位论文 ) d e i a u n a y 三角剖分方法 d e l a u n a y 三角剖分( 简称d t ) 是目前最流行的通用的全自动网格生成方法之一。d t 有两个重要特性：最大一最小角特性和空外接圆特性。d t 的最大一最小角特性使它在 二维情况下自动地避免了生成小内角的长薄单元，因此特别适用于有限元网格生成。所 谓空外接圆特性，就是d t 中的每个三角形单元或四面体单元的外接圆( 二维) 或外接球 ( 三维) 都不包含其它节点，b o w y e r _ w 如o n 【3 5 4 q 算法正是利用了这一特性。 三维b o 、v y e r w 乱s o n 算法的基本步骤：首先定义一个包含所有节点的初始网格， 最简单的情形是单个四面体；向网格中插入一个节点，找出其外接球包含此节点的所有 四面体单元，删除这些单元形成一个包含插入节点的空腔( c a v i t ”；将该插入节点与空腔 的每个表面相连，形成新的四面体网格；重复进行上述的节点插入过程，直到全部节点 插入完毕。 d e l a u n a y 三角剖分算法的计算效率与具体的实现相关。大体上可将d t 算法分为三 大类：分治算法，逐点插入法和三角网生长法。b 0 w y e r _ a t s o n 算法是一种典型的逐 点插入法，其时间复杂度为o ( “2 ) ，采用四( 八) 又树数据结构的b o 、 呵e r _ 一w a t s o n 算法 可达到o ( l o g ) ，分治算法的时间复杂度为o ( l o g ) ，三角网生长法的时间复杂度 为o ( ”2 ) ，其中为生成单元总数。 经典d t 技术已经相当成熟。近年来的研究重点是约束d t 的边界恢复算法，以及 如何克服b o 、v y e r w n s o n 算法退化现象所产生的薄元( s l i v c re l 咖e n t ) 问题。 约束d t 的边界恢复算法 由于d e l a u n a y 三角剖分算法仅对凸域的剖分有效，对于非凸域则不能保证其边界 的完整性，因此对非凸域应用d e l a u n a y 三角剖分算法时必须引入一个恢复边界的步骤。 恢复了边界完整性的三角剖分并不能严格满足d e l a u n a y 准则，因此称为约束d t 。 二维问题的边界恢复比较简单，并且有明确的理论保证边界恢复结果是收敛的。一 种边界恢复算法是由g e o 唱e 等提出的边交换法口刀，该方法基于一个简单的原理：相邻 两个三角形所构成的四边形的两个对角线可以互换而不影响这两个三角形与相邻三角 形的相容关系。这样，就可以通过一系列的四边形对角线的交换来恢复目标域边界的完 整性。另一种常用的二维边界恢复算法是最近点连线法口引，该方法首先找到与已经丢失 的边界线段相交的所有三角形，这样可以得到一组互相领按的三角形，然后将这些三角 第二章自适应有限元法概述 形所代表的单元删除，仅留下节点；从距离丢失的边界线段最近的节点开始，逐一将节 点与丢失的边界线段或其它新生成的线段重新生成三角形单元；这样循环迭代，直到所 有节点使用完毕。 三维问题的边界恢复过程要比二维问题复杂得多，在二维问题中行之有效的边界恢 复算法不能直接扩展到三维问题中。三维域的边界由一系列三角形面片组成，其边界恢 复基本上可分成两步：( 1 ) 恢复边界的边三角形面片的边；( 2 ) 恢复边界的面三 角形面片本身。由于三角形边的存在有时并不能保证此三角形面在剖分结果中存在，所 以( 2 1 也是必需的。 一种比较常用的三维问题边界恢复算法称为装订法 3 9 】。这种方法首先恢复边界的 边，当边界边与其它单元相交时则在边