（电机与电器专业论文）大型汽轮发电机端部物理场的研究及其进相运行分析.pdf

英文摘要 a b s t r a c t w i t ht h ei n c r e m e n to fl o n gd i s t a n c eh i g h v o l t a g et r a n s m i s s i o nl i n e sa n dp o w e rs u p p l y c a b l e s ，a sw e l la st h ei n c r e m e n to fp e a kt ov a l l e yr a t i oo fe l e c t r i cn e t w o r k ，c h a r g i n gr e a c t i v e p o w e rw e r es u r p l u si nv a l l e yp e r i o d o w i n gt ot h i ss u r p l u s ，t h ev o l t a g eo fs o m el o a d c e n t e r s u b s t a t i o n sw e r et o oh i g h la d d i t o n a ll o s s e sw e r ei n c r e a s e d ，e l e c t r i ce n e r g yw e r ed e b a s e d ， e v e np o w e re q u i p m e n t so p e r a t i n gs e c u r i t yw e r ee n d a n g e r d t h e r ea r es a f e s i m p l ea n d e c o n o m i cm e t h o dt os o l v et h i sp r o b l e mf o rg e n e r a t o r so p e r a t i n ga tl e a d i n gp o w e rf a c t o r t h i sd i s s e r t a t i o ni sa b o u to p e r a t i o na tl e a d i n gp o w e rf a c t o rf o rl a r g et u r b o g e n e r a t o r i tc o n t a i ns e v e nc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h ei m p o r t a n c eo f t h i sr e s e a r c hw a si n t r o d u c e d ， t h ea r to fs t a t eo fr e l a t e dd o r a a i nw e r es u m m e r i z e d a sw e l la st h ec o n t e n t so ft h i sd i s s e r r a t i o n i nc h a p t e r2 fas y s t e m a t i cp r o c e d u r ei sp r o p o s e dt od e r i v et h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e f o rn o n - s e l f - a d j o i n tl o wf r e q u e n c ye d d yc u r r e n tp r o b l e mt h r o u g ha d j o i n to p e r a t o ra n da d - j o i n tf u n c t i o n ( “t h eg e n e r a lr e a c t i o np r i n c i p l e ”) t h eo t h e rt w oa p p r o a c h e sa r ep r o p o s e d t od e r i v et h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l et h r o u g h “t h ep r i n c i p l eo fl e a s ta c t i o n ”a n dl a g r a n g e m u l t i p l i e r s ( “t h eg e n e r a lv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ”) a n dt h e s et h r e ev a r i a t i o n a lm e t h o d sa r e c o m p a r e dw i t hg a l e r k i nm e t h o d i nc h a p t e r3 af e m m o d e lu s i n ga r c h s h a p e de l e m e n t i nc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e st oc a l c u l a t e3 dt h e r m a ld i s t r i b u t i o ni sp r o p o s e d a n dt h er e - s u l to fv a r i a t i o n a lm e t h o di sc o m p a r e dw i t hc a l e r k i nm e t h o d i nc h a p t e r4 ，q u a s i3 d e d d yc u r r e n te l e c t r o m a g n e t i cf i e l dm o d e lo fe n d r e g i o no ft u r b o g e n e r a t o ri se s t a b l i s h e d p e n a l t yf u n c t i o ni si n t r o d u c e dt oe d d yc u r r e n tg o v e r n i n ge q u a t i o nf o rs a t i s 研n gc o u l o m b g a u g ea u t o m a t i c a l l y a n dt h ec o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n a l sv a r i a t i o ni sd e r i v e dt h r o u g h “t h eg e n e r a lr e a c t i o np r i n c i p l e ”t h e ne d d yc u r r e n te l e c t r o m a g n e t i cd i s t r i b u t i o no fe n d r e g i o no fs e v e r a ll a r g et u r b o g e n e r a t o r sa r e c a l c u l a t e d a n dr e l a t i o no fp e n a l t yf u n c t i o n a n dn u m e r i c a ls t a b i l i t y , a sw e l la sf a c t o rw h i c ha f f e c tt h ef i e l d ，a r ea n a l y z e di nc h a p t e r5 r a d i a t i n gc o e m c i e n ta n de q u i v a l e n th e a tc o n d u c t i o nc o e m c i e n ta r es t u d i e dt h e nt h e3 d t e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o no fc l i p p i n gr i n gi ne n d - r e g i o no fq f s s - 3 0 0 - 2t u r b o g e n e r a t o ri s c a l c u l a t e d i nc h a p t e r6 ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f2 dt h e r m a lf i e l da n di t se q u i v a l e n t v a r i a t i o na r ei n t r o d u c e d t h e nt h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o no fe n d r e g i o no fq f q s 一2 0 0 2 t u r b o g e n e r a t o ri sc a l c u l a t e d i nc h a p t e r7 ，av a r i a b l ep a r a m e t e rg e n e r a t o rm o d e la n d u s i n gl e a s t s q u a r er e g r e s s i o na n a l y s i st a k i n gi n t oa c c o u n to fg e n e r a t o rs a t u r a t i o ni no p - e r a t i o na r ep r o p o s e d t h e nr e l a t e de l e c t r i cp a r a m e t e r sa r ec a l c u l a t e db a s e do nt h et e s t r e s u l t s ，a n dr e l a t i o n s h i pa m o n gt h e s ep a r a m e t e r sa r ea n a l y z e d a n de d d yc u r r e n tl o s s e s a n dt e m p e r a t u r er i s eu n d e rv a r i o u so p e r a t i o nm o d e sa r ea n a l y z e d a ti a s t ，b ym e a n s o ft h i sv a r i a b l ep a r a m e t e rm o d e l ，p o w e r - a n g l ec u r v e ，s t a b i l i t yl i m i ta n dp o w e rc h a r ta r e c a l c u l a t e d k e yw o r d s ：t u r b o g e n e r a t o r ，e n d r e g i o n ，e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ，t h e r m a lf i e l d ，o p e r a - t i o n a tl e a d i n gp o w e rf a c t o r ，s t a b i l i t y i i 东南大学博卜学位论文 插图目录 1 1 南京地区电网1 9 9 3 1 9 9 9 年年最大峰谷差 2 1 涡流电磁场问题示意图 2 1 2 电磁场边界条件示意图 3 1 温度场边界条件示意图 3 - 2 热平衡状态下的微元体 3 3 拱形体单元示意图 3 4 ( e ，叩， 0 ，当且仅当d ：o 时等式成立； ( 2 ) ( g r , , p - ) = ( 矿，砂) + ； ( 3 ) ( 疗+ 咖，矿) = ( d ，p - ) + ( w ，6 - ) ( 4 ) ( 。d ，1 = ，) = n ( 疗，矿) 其中w 与d 、矿属于同一线性空间，a 为任意复常数。 定义2 4 若空间l 2 为： 。如吨舸且粮卯2 搬o 。 陋。， 则称儿2 为复矢量的平方可积函数空间，其中式( 2 - 2 1 ) 中的积分为l e b e s g u e 积分 1 6 1 j 。 鹋兹 鸩电。印 + 十一句 0 q | | j j 垤融，l可 后 垢 式入代 第二章发电机涡流电磁场计算的理论基础 定义2 5复矢量函数u d ，则该函数的变分 5 u = s 口l e l + g 日2 e 2 + s 竹3 e 3 表示函数形式的微小变化。其中：e 1 ，为任意给定的小常数；日1 、日2 、日3 为可取复 变函数。 定理2 1 设s 删为有界区域n 的边界，n 为边界上外侧的单位法向矢量，d 、矿 d ，则有： c r ( v 矿) 肌( v d ) 啪门+ 痧d ( n 矿) d s ( 2 - 2 2 ) qn s 【n i 这里认为d 、矿使式( 2 2 2 ) 中的每一项积分都有意义。 c r f v 矿1 = ( u r + j u c ) ( v 十j v y c ) = ( v h ) 一u c ( v 耽) 卜j ( v ) + ( v h ) ( 2 - 2 3 ) v ( u r k ) d 力= 陬( v u r ) 一u r - ( v h ) d 门 = 彭( u r 昧) n d s 则有： u r q 同理可得： u c n v r ( v h ) d n = ( v 魄) - d 力十u r - v r ) d s ns n 1 将上式代入式( 2 - 2 3 ) ，可得 d v 矿) d 力 n d 力十 k d 力+ 瞩d 力十 一( v u c ) k d 门+ 眵 s n 】 f n v c ) d s f n v c ) d s f n v r ) d s h ) 一( n v c ) l d s + - 协v 涮咐m 时呻n + 驴小删吣) 痧唰痧痧洲 乳 魄 巩 v v v 。 | i = = c ： 门 门 d d d h v v v 。 魄 v 。 东南大学博一l 学位论文 + j v xu o ) - ( h + j v o ) d 力+ f f ( e + j v o ) ( nx + j n 托) d s s a l 咖+ 萨c r s a 】 k 矿1d s 定理2 2vu d ，s 即】表示包围有界区域q 的分片光滑曲面，1 , 为s 上的单位 外侧法矢量，则有 d a d = 痧( d s 【删 n ) d s 这里复矢量d 与实矢量n 的点积表示d 的实部、虚部与n 分别作点积。 证明：将疗按实部、虚部展开，并利用实矢量函数的奥氏公式即可得证。上式即为复矢 量函数的奥氏公式。 定理2 3v d - d ，l 为任一光滑闭曲线，为以l 为边界的光滑曲面，则有 歹d d 工= ( v c r ) n d s 这里积分路径l 的方向与e 上单位法矢量n 的方向构成右手螺旋关系。 证明 扣 l d l = 9 6 = 4 j = 9 ( u r + j ) d l ( 审u h ) - n d s + j f f ( v u o ) n d s ( v d ) n d s 定理2 4 设c r 、矿d ，s 【删为区域q 内的分片光滑边界，n 为边界上的单位外 法矢量，则有： ( v n = 痧( n s a i p n = 痧 ( n s a 】 d )( v 矿) 坷( v xv x 矿) 卜 d ) ( v 矿) d s ( v v d ) 一df v 。v 。们l d 仃 l ( 2 2 4 ) d ) ( vx 矿) 一( n 矿) - ( v xd ) a s 。 ( z 一。s ) 叻 一 o。 = l i 可 wn 第二章发电机涡流电磁场计算的理论基础 pv 2 矿+ ( v 疗) ( v 矿) 十( v d ) ( v 矿) 卜 萨 ( n d ) ( v 矿) + ( n - d ) ，( v 矿) 卜( 2 - 2 6 ) ( d v 2 矿。v 2 d ) = 痧 ( n s i n l 6 - ) ( v 矿) 一( n 矿) ( v 疗) + ( n o - ) ( v 矿) 一 ( n 矿) ( v 疗) 卜 证明：由复点积的有关性质可得 ( v d ) ( v 1 ：，) = ( v u r ) - ( v 魄) 一( v 阮) ( v ) + j f ( v 魄) ( vx 砘) + ( v 阮) ( v 嘲1 d ( v v 矿) = u r ( v v 昧) 一u c ( v v ) + j ( vxv v o ) + u c ( v v h ) 1 由实矢量场中的g r e e n 公式【1 6 2 】可得 够 ( v 魄) ( vx 魄) 一- ( v xv x 垤) d 仃= 痧 n s i n 】 ( v 阮) ( v ) 一阮( v v ) d 仃一痧 n s i n 】 ( v 哳) - ( v ) 一u r ( v 号b ) 卜= n ( v u o ) ( v 垤) 一u c ( 甲v 昧) d n = n 由上式和式( 2 - 2 8 ) 、式( 2 - 2 9 ) 以及复点积的有关性质可得 ( 2 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) ( 2 2 9 ) xf i r ) ( v v r ) d s u c ) ( v v c ) d s 彰限彩) ( v 矿) m ( v v x v ) 卜s 拶l a l ( 删) ( v 矿) d s 式( 2 - 2 5 ) 、式( 2 - 2 6 ) 和式( 2 - 2 7 ) 可类似得证a 2 3 三维稳态涡流场复边值问题的等价变分 变分法和加权余量法( g a l e r k i n 法) 是有限元计算中最常用到的两种方法。与加权余 量法捐比，变分法的主要优点之即在于其物理意义比较明确a 有别于微分方程和积分 方程，变分方程提供了对物理问题的另种描述形式。 2 5 东南大学博： 学位论文 对于自伴算子问题，很容易找到其变分原理( 自然变分原理) ，并且其导出的方程与 从g a l e r k i n 法所得到的方程完全相同。但对于非自伴算子问题，往往1 i 能直接利用变分 法。有的文献甚至认为，对于非自伴问题，必须采用加权余量法而不能用变分原理【“o 】。 但实际上，可分别利用伴随场函数和伴随算子、“最小作用原理”以及“拉格朗日乘子 法( 广义变分原理) ”，来建立低频涡流场中非自伴算子问题的变分描述。并且，所有这 些方法导出的方程与从g a e r k i n 法所得到的方程是完全一致的。 为简明起见，本节只考虑齐次边界条件。但如果边界上包含有非齐次边界条件时， 对其中的讨论也不会有什么影响。设算子p = v f p v ( ) 1 + j u 口( ) ，将修正矢量磁 位a 记为a ，则正弦激励下的低频涡流电磁场的边值问题可描述如下： ? a = 以 i nn v = 0i nn 2 n ( v v a ) = o o i lr h n a = 0o nr h n ( v a ) = o o i lf b n a = 0o nf b a = a o o nr o n ( v a ) 一n ( v a z ) = 0 o nr 1 2 n ( 们a t ) n ( u 2 v 也) = o o i lr 1 2 2 3 i 伴随算予和伴随场函数 对于非自伴算子问题，由于算子的非自伴性，不能直接利用变分原理( 自然变分原 理1 。但如果能找到非自伴算子问题对应的伴随算子、伴随场函数以及伴随算子方程，即 可建立低频涡流场中非自伴算子问题的一一般变分描述。 设满足式( 2 - 3 0 ) 中边界条件的所有复矢量函数构成的子空问为衄。现构造算子： z 8 = v i v v ( ) i jc d o ( ) 对于中任意两个元素d 、矿，作如下运算： ( p d ，矿) 一( d ，卫8 矿) = 审( 帆痧) m 叫v * d q - d ， v y vx 矿) 书一矿p = 谚 v ( 胁d ) 一 v ( m 矿+ ) 咔力 则由定理2 1 可知： ( p d ，矿) 一( d ，p 8 矿) 鼍痧p 卜( 小d ) 卜d s n 小 s m ：】 h 。f 。v 矿小d s ljj 第二章发电机涡流电磁场计算的理论基础 由混合积的性质易知，在q 2 的外边界r h 和r b 上，上式中的闭合曲面积分项为0 ；在 交界面r l l 2 上，由于r 1 和p 2 的边界外法线方向相反，故闭合曲面积分项亦为0 。由此 可见： ( p d ，矿) = ( d ，彤8 矿) ( 2 - 3 1 ) 显然p 影a ，因此算子。掣是非白伴的，且p 8 为p 的伴随算子。 对于由未知场函数a ，已知源函数真，非自伴算子乡所构成的确定性方程 只a = j 8 ( 2 - 3 2 ) 记独立于未知场a 的未知伴随场函数a a ，任意指定的辅助源函数矗所构成的辅助伴随 算子方程为 p 8 a 8 = 露( 2 - 3 3 ) 则由式( 2 3 1 ) 和式( 2 3 2 ) 组成的算子方程组等价为含两个函数之泛函 f ( a ，a 8 ) = ( 2 a ，a 8 ) 一( a ，毒) 一( t ，a 8 ) ( 2 3 4 ) 的驻定公式，即变分方程 j ，f a ，a 8 ) = 0( 2 - 3 5 ) d f ( a ，a 4 ) = ( p 6 a ，a 8 ) + ( p a ，6 a 8 ) 一( d a ，毒) 一( j s , 6 a 8 ) = ( 6 a ，p 8 a 8 ) 一( 6 a ，胄) + ( 2 a ，6 a 8 ) 一( 真，6 a 8 ) = ( d a ，2 8 a 8 一毒) + ( 堂a t ，6 a 8 ) 由于6 a 和6 a 8 的任意性，则式( 2 - 3 5 ) 必与由式( 2 - 3 2 ) 、式( 2 - 3 3 ) 组成的算子方程组等 价。这个变分原理的物理意义，即为广义相互作用原理 1 6 3 ，1 6 4 】。文献f 1 6 5 中，通过 构造算子 ， 彤= l 髻三a | 给出了上述等价性的另一种证明方法。 由于a 及其伴随场函数a a 是相互独立的，因此可设 ：n a a a ：酋b 则有 ，= ( p ( n a ) ，衬b ) 一( t ，对b ) ( n a , 毒) 其中n 、衬为向量插值函数。求泛函，关于b 的变分，并令其为0 ，可得： ( z ( n a ) ，雨) = ( 真，雨) 此即为距量法的一般形式。若n = n ，则有： ( z ( n a ) ，n ) = ( 真，n ) 易知，上式与g a i e r k i n 法在数学上是完全一致的。 ( 2 3 6 1 ( 2 3 7 ) f 2 3 8 1 东南大学博士学位论文 2 3 2 最小作用原理 经典物理学中的很多现象都可以用最小作用原理( t h ep r i n c i p l eo fl e a s ta c t i o n ) 来解 释，静电场中的汤姆生定理即为一个典型的例子。 在电磁学中，作用( a c t i o n ) f 可用l a g r a n g e 函数表示如下【1 6 6 】： 0 ，= d t( 2 - 3 9 ) 毒 t ) d p ，t ) h ( r ，t ) b ( r ，t ) + a ( r ，t ) j 扣，t ) p ( r ，t ) 咖( r ，e ) l d 伫( 2 - 4 0 ) 其中： b ( r ，t ) = v a ( r ，t ) e ( r ，t ) = t a a ( r , t ) 一v 咖( r ，t ) 则电磁场中的最小作用原理可描述如下 1 6 7 1 ：给出t o 和t 1 时刻区域n 内a 、咖的准确 值，以及在时间间隔p o ，t i 内q 的边界s 上的a 、的准确值，则可得出使作用，驻定 的a 、西的值，并且这些a 、曲值可给出区域q 内场的真实解。 在低频涡流场中，可认为a d o t = 0 ，并且往往忽略电位移矢量d 与电荷密度p 。 若使用修正矢量磁位，则l a g r a n g e 函数可描述如下： = h 即驯叫) + a 吵帅，t ) 卜 ( 2 _ 4 1 ) 其中： b ( t ，t ) = v a ( r ，t )l 砷一掣( 2 4 2 ) j ( r ，t ) = j s ( r ，t ) + j e ( r ，t ) l 以( r ，t ) = 口e ( r ，t )j 式( 2 - 4 2 ) 中： ( r ，t ) 为传导电流密度，j e ( r ，t ) 为涡电流密度。 将时间间隔，t l j 扩展至( 一o 。，+ 。) ，利用傅里时变换，可将电磁场中的时域闯题 转换为频域问题，则有： ，：佃d ，h 砷，”砷， 圳坩m ，卜 c 渊， 式( 2 - 4 3 ) 中，a ( r ，u ) 为a ( r ，) 的傅里叶变换，u 为角频率。式( 2 - 4 2 ) 在频域中的形式 p 日 1 2 ，0l 肼w。 ： | 中 c 2 式 第二章发电机涡流电磁场计算的理论基础 为： 易知： 则有： f = id f 0 其中 b e j j e露茎筹- j w b 。， ( r ，“) =( r ，u )l ( r ，u ) = 。元( r ，w ) + 以( r ，u ) i ( r ，u ) = 口e ( r ，u )j 粥j ；三繁j 季) a ( r ，w ) = a ( r ，一u ) + ( r ，u ) =( r ，一) j ( 2 4 4 ) 由于角频率u 只能是基波频率的整数倍，因此作用，又可表示为： ，= 巧一池) ( 2 - 4 7 ) t ，、f 1 ，。：。， 6 “一“。31 0 ，“u i 若小考虑谐波因索，即有： ，= 一直( 脏( 卅郇产巾) + 劬) 川盯) d e 2 ( 2 - 4 8 ) n 则，关于a 的一阶变分为： 。 妒= f f f 6 a 4 - ( 一v v v a + 建+ 矗) d 力( 2 - 4 9 ) n 由于d a + 的任意性，若6 ，= 0 ，则有： v 工，v a + j w c r a = 五( 2 - 5 0 ) 此即为用修正矢量磁位表述的低频涡流电磁场的控制方程。实际上，m a x w e l l 方程均可 由最小作用原理导出。 观察式( 2 4 9 ) ，根据内积的定义，易知： 一踏( 一v 棚u a a + j s ) d e 2 。嚣 = f v v a + j 。玎a 一蠢，6 a ) ( 2 - 5 1 ) 这实际上就是以d a 作为权函数。因此，式( 2 4 9 ) 最后得到的结果与从g a l e r k i n 法最后 得出的结果应是完全致的。比较吓文献 1 0 0 】和文献 1 6 8 1 中的系数矩阵t 不难发现 它们是完全相同的。 卜 ur 日一 ，l 。 东南大学博士学位论文 2 3 3 拉格朗日乘子法( 广义变分原理) 拉格朗日乘子法一般是为了迫使原始变分原理满足某些外加约束，作为一种必要的 数学虚构而引入的。拉格朗日乘子法可导致一种对任何方程组“创造”一个变分原理的 方法 1 6 9 。 设某泛函g 对应的欧拉方程为曰( a ) = 0 ，考察在未知函数a 服从某个附加微分关 系 分( a ) = 0 i nn 的条件下，使泛函g 驻定的问题。可通过形成另个泛函来引进这一约束 ，= 9 + ( 9 ( a ) ，支) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) 式( 2 5 3 ) 中a 为n 中具有独立坐标的函数，称为拉格朗日乘子。则有： 占，= 5 9 + ( 占9 ( ) ，文) + ( 9 ( a ) ，d 支) ( 2 5 4 ) 只要9 ( a ) = 0 ( 即d 9 ( a ) = 0 ) ，并且同时d 9 = 0 ，则新泛函的变分为0 。若将式 ( 2 5 2 ) 看成约束条件，在式( 2 5 3 ) 中令9 = 0 ，即可得到这种广义变分泛函： ，= ( 毋( a ) ，支)( 2 5 5 ) 现在需要使泛函f 对一切变分6 a 及娃驻定。若 9 ( a ) = v v v a + j u 矿a 一以 = p a t = 0 ( 2 - 5 6 ) 式( 2 - 5 6 ) 中p = v v v ( ) + j0 2 0 ( ) 。设 a = n a 文= 衬b 其中n 、衬为向量插值函数。则有： a ，= a ( 9c n a ，两b ) ) = ( l 矽n 5 a ，讨b ) + ( 9 ( n a ) ，雨拍) = ( 2 n 6 a ，衬b ) + ( 2 ( n a ) 一真，n 6 b ) = 0 因为上式对切5 a 、5 b 均成立，则有： ( 2 n ，n b ) 2 0 ( p ( n a ) 一文，雨) = 0 式( 2 - 5 9 ) 中 s t b 妊郴 p n衬) ，f = ( 五，雨) 3 0 f 2 5 7 ) ( 2 - 5 8 a ) ( 2 - 5 8 b ) ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) 第二章发电机涡流电磁场计算的理论基础 式( 2 - 5 8 a ) 与式( 2 - 5 8 b ) 中的方程是完全非耦合的。因此，可以不考虑方程( 2 - 5 8 a ) ， 由方程式( 2 - 5 8 b ) 独立地解出所感兴趣的a 。由式( 2 6 0 ) 可知，式( 2 - 5 8 b ) 与加权余量法 是完全一致的。当n = 付时，即为g a l e r k i n 法。 虽然拉格朗曰乘子是作为一种必要的数学虚构引入的，但在很多数学物理问题中， 它往往具有一定的意义。考察式( 2 5 7 ) ，易知： ( 6 9 ( a ) ， ) = ( p ( 6 a ) ， ) = u v v a a + j u a a l 天4 a 门 = 0 则有： ( v xu vx 沁伽a a ) 一d n = ( v 一v 艚+ 如 + ) 埘d 力+ ，b t n = 0 上式中，b t 表示边界积分项。对于齐次边界条件，b t 为0 ，因此： ( v 棚艚m 措) 6 a d n = 。( 2 - 6 1 ) n m 于6 a + 的任意性，则必然有 v v v a + + j w a a + = 0( 2 - 6 2 ) 对式( 2 6 2 ) 取共轭后可得： v v 入一j u 盯a = 0( 2 - 6 3 ) 若在式( 2 - 3 3 ) 中取青；0 ，则有： vxv vx a 8 一j w o - a 8 = 0 ( 2 - 6 4 ) 式( 2 - 6 3 ) 与式( 2 - 6 4 ) 具有一样的形式，因此文实际上就是毒= 0 时伴随算子方程( 2 - 3 3 ) 的解。 综上所述，对于非自伴算子问题，虽然无法直接利用自然变分原理，但如果能找到 其对应的伴随算子方程，即可建立起相应的变分原理。此外，还可应用“最小作用原 理”和拉格朗日乘子法( 广义变分原理) ，分别建立低频涡流场中非自伴算子问题对应的 变分原理。并且，所有这三种方法，均可获得与加权余量法( g a l e r k i n 法) 样的结果。 2 4 小结 本章利用伴随算子和伴随场函数( 广义相互作用原理) ，建立了低频涡流电磁场中非 自伴算子问题的。般变分描述。另外，本章还分别应用最小作用原理和拉格朗日乘子法 ( 广义变分原理) ，建立了低频涡流电磁场中非自伴算子问题的变分描述。并将这二种变 分方法与g a l e r k i n 法进行了对比。结果显示，所有上述三种方法，均可获得与g a l e r k i n 3 1 东南大学博士学位论文 法完全一致的结果。此外，本章还讨论了拉格朗日乘子的意义及其与伴随场函数的关 系。 3 2 第三章发电机三维温度场计算的理论基础 第三章发电机三维温度场计算的理论基础 本章首先介绍了传热学的一些基本理论，然后介绍了圆柱坐标系下基于拱形体单元 的三雏温度场有限元计算模型，并将变分法的结果与g a l e r k i n 法的结果做了一些比较。 3 1 传热学基础 传热学是关于热量在空间自发的不可逆传播过程的理论。热量的传递有三种基本方 式：导热、对流和热辐射【1 7 0 。一般而言，这三种基本传热方式总是并存的。但发电机 中的换热过程实际上是一个固体发热和运动流体散热的定常热交换过程，主要涉及到导 热和对流两种热传递方式，热辐射所产生的效应基本上可以忽略不计。 3 1 _ l 基本定律 1 导热 导热是由物体内部分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动所引起的一种热量传 递方式，其基本定律( 即傅里叶定律) 的数学表达式为： q = 一1 蕞 ( 3 一1 ) 式( 3 1 ) 的物理意义即为：单位时间内通过单位面积的热量q 正比于温度梯度0 t 0 n 。 式中的负号表示热量传递的方向是指向温度降低的方向，a 为导热系数( w m k ) ，是 表征材料导热性能的一个参数。 若假设物体为恒物性各向异性媒质，则稳态导热微分方程为： v ( h v t ) + q = 0( 3 - 2 ) 式( 3 2 ) 中：q 为热源强度( w m 3 ) ；a t 为导热系数张量。 2 对流 对流是指液体或气体微团从具有某一温度的区域迁移到具有另一温度的区域时热量 的传递过程。在对流过程中必然伴随着导热现象。在工程实际中经常遇到流体流过另一 物体表面时所发生的热交换过程，也称为对流换热，是对流与导热联合作用的结果。描 述对流换热的基本定律( 牛顿放热定律) 的数学表达式为： q = q ( 一噩)( 3 - 3 ) 式( 3 - 3 ) 中：t 1 w 、砟分别为固体表面温度和流体平均温度：q 为散热系数( w m 2 k ) ， 即当固体表面与周围介质温差为1 。c 时单位时间内所放出的热量。 3 1 2 边界条件 对于固体内部稳态温度场的求解，其定解器件没有初始条件，只有边界条件，如图 3 - 1 所示。 东南大学博士学位论文 r 2 ：一 丽o t = 图3 - 1 温度场边界条件示意图 1 ) 第一类边界条件：给出固体表面上的温度分布。 t l r = 邓( 3 - 4 ) 其中表面温度t o 为已知常数或函数。 2 ) 第二类边界条件：给出固体表面上的热流密度。 一a 飘= 口0 ( 3 - 5 ) 其中热流密度q 。为已知常数或函数。 3 ) 第三类边界条件：给出周围冷却流体的平均温度以及固体与冷却流体之n 2 _ n 的换 热规律。 一 飘= a ( t - 矾( 3 - 6 ) 3 2 圆柱坐标下各向异性媒质中三维温度场的边值问题 图3 - 2 热平衡状态下的微元体 考虑如图3 2 中所示的处于热平衡状态的微元体，根据傅里叶定律可知，径向传导入 第三章发电机三维温度场计算的理论基础 一，- r d 。d z - k a t 珊扣蝴o r 川础 ：掣州础 睁。， 同理可得圆周方向以及轴向传导入微元体的净热量j b 、屯分别为： 一秭批ka r a z 一峰洲吨 卟a 器 a 日 d 口d r d z 及= 也塞瑚口z咄笔z z r d o d r 一嫂o z 删洲。 ( 3 - 8 ) a 凡罢1 = 半r d 日d r d z ( 3 - 9 )一， 微元体内热源产生的热量日为： 、 日= 0 r 曲d r d z ( 3 - 1 0 ) 式( 3 - 1 0 ) 中q 为热源强度( w m 3 ) 。 微元体内能增量e 为f 1 7 1 ： a e = p c p 茜7 d o d r d 2 ( 3 - i i ) 式( 3 - l i j 中：p 为密度( k g m 3 ) ；c r p 为热容( j k g - k ) 。 根据能量守恒定律以及式( 3 7 ) 一( 3 一1 1 ) ，可得圆柱坐标系中三维非稳态温度场的导 热方程为： ， ；未( 枷筹) + 7 a an v 日阳o o 、+ ( k 笔) + q = 一c o 优t ( s i 2 ) 对于稳态温度场，o t i & = 0 ，此时温度场的控制方程为： ；爵0 ( 枷等) + ；晶( 等等) + 麦( - ：瓦a t ) + q = 。 c a 4 a ) 若。、二、三类边界条件并存，则三维稳态温度场可以由下面完整的边值问题来描述： 东南大学博士学位论文 i nn o l lf 1 一a 丽8 t = o nr 。f 。4 一- 鬻= 印一t f ) 。nf aj 为介质温度；一类边界上温度t o 和二类边界上热流密度为已知常数或已知函数。 3 3 稳态温度场解的唯一性 将式( 3 - 1 4 ) 改写为算子方程的形式： v ( a t v t ) + q = o i nn1 ( 一t 。：= t o 。o 。n r 1 a t v t ) q of 2 ( 5 ) ( 一。= o n l 、。 ( 一a t v t ) 。= o ( t 一毋) o nf 3j 式( 3 - 1 5 ) 中导热系数张量a t 为对角张量。 假设两个升i 同的标量函数乃、t 2 均满足边值问题( 3 - 1 5 ) ，设t = 噩一t 2 ，显然t 满足下面的边值问题： v ( a t v t ) = o i nn1 ( 一篇 。o n n a t v t ) 0n f 2 ( 3 _ 1 6 ) ( 一 。= o n i ( 一, k t v t ) n = a t o nf 3j 易知： 、 v i t ( a t v t ) l = t v ( a t v t ) 十( a t v t ) v t 则有： v t ( a t v t ) d n = r v - ( a t v t ) + ( x t v t ) v t d 力 ( s - ，) 则由式( 3 - 1 6 ) 、式( 3 - 1 7 ) 以及奥氏公式可得： 痧t ( a t v t ) n d s = ( a t v t ) v t m ( 3 - 1 8 ) 式( 3 - 1 8 ) 中s 【删表示包围q 的边界，包括f 1 、f 2 和f 3 。 瓤 s t ( a t v t ) n d s = 一。帅。 且有 ， ( a t v t ) v t d f 2 。 n 0 | | | | q t + 、， 塑如 二r a 荔 十 、 丝硼知了 ， a 丽1 一r + 、 坚浙 一 r a 一跏1 一r 第三章发电机三维温度场计算的理论基础 因此要使式( 3 - 1 8 ) 成立，有且只有以下两式成立： 一t 2 d s = 0 ( 3 - 1 9 a ) 岂 ( 神砂v t d 仃= 。( 3 - 1 9 b ) 由式( 3 - 1 9 b ) 可得v ，= 0 ，则恒有下式成立： t = c o n s ti nn ( 3 - 2 0 ) 稳态情况下，发电机端部漏磁在端部结构件中所产生的损耗，最终均由冷却介质( 冷 却水、空气或者氢气) 带走。因此一般都存在第三类边界条件，即a 0 。由式( 3 - 1 9 a ) 可得： t = 0 o i l f 3( 3 - 2 1 ) 则由式( 3 - 2 0 ) 以及式( 3 - 2 1 ) 易知：求解域q 中t = 0 ，即蜀= 乃，因此解唯一。 3 4 各向异性媒质中稳态温度场边值问题的等价变分 设t 是边值问题( 3 - 1 5 ) 的解，n 满足该问题的边界条件，且t 乃。令u = t n ，记算子学= 一v 【a t v ( ) 】，则边值问题( 3 - 1 5 ) 等价于下述关于u 的边值问题： 够u = q 7 i nn 1 u = o”r 1l ( 3 - 2 2 ) ( 一a t v u ) n = 0 o i l f 2 l ( 一a t v u ) n = a u o i lf 3j 式( 3 - 2 2 ) 中：q7 = q 一够na 边值问题( 3 - 2 2 ) 中，所有满足r 1 、f 2 、r 3 上边界条件的函数可以构成个线性空 间，记为d r 。易知v w 、v d r ，有： - = y = o 。n1 1 11 ( 蛔v ) 。= ( a t v v ) 。= 0 o nf 2 l 盟w ：盟v ：一a 。n r 3j 。， 因此对于上述三类边界条件，下式恒成立： w ( 蛔v y ) 。一v ( a t v w ) 。= 0 o i l s i n 】 ( 3 - 2 3 ) 式( 3 - 2 3 ) 中s q 】表示包围q 的边界。 锣彤y ) 一( 彬留y ) = w v ( 蛔v y ) - v v ( 如v w ) d 门 = 够吣t v v ) 。圳h