（水工结构工程专业论文）基于粘弹性理论软土地基闸站结构的计算分析.pdf

摘 本文修l i ! 了分层地基弹性沉陷公式 要 利用l a p l a c l ，变化、微分算严理论等数 学工具以及线粘弹性弹性相应原理，导出了各种地基的粘弹性公式。利用空间 八节点等参荦j 二离散基础和上部结构。从数值计算的实际出发，修正了广义 m a x w e l l 和厂义k e l v i n 模型的粘弹性方程，用p r o n y 级数逼近应乃松弛方程，提 出了粘弹性；f 限元数值计算的方法。并且用该方法对刘山站闸身二联孔底板做了 计算分析，计算成果与用弹性计算的结果进行比较发现更符合实际情况。证实了 该方法的可行性与合理性。 关键词：粘弹性、软土地基、有限元、数值计算、闸站结构、p r o n y 级数、 应力一应变、沉陷。 a b s t r a c t t h ee l a s t i cs e t t l e m e n tf o r m u l ao fl a m i n a t i o n 里r o u n dm o d e lw e r er e v i s e dh e r c t a k i n ga d v a n t a g eo fl a p l a c et r a i l s f o 丌n a t i o n ，t h et h e o r yo fd e n v a t i v eo p e r a t o ra sw e l l a s e l a s t i c i t y v i s c o e l a t i cc o e s p o n d e n c e1 1 r i n c i p l e ， t h i s p a p e rd e v e l o p e d t h e v 】s c 0 1 a s t i cs e t t l e m e n tf o 衄u i a so fv a n o u sk m d so f 毋d u n d st h e u p p e rs t r u c t u r e sa n d f o u n d a d o nw e r eb e i n gd i s c r e t e dw i t ht h r e e d l m e e n s l o n a le i 譬h t n o di s o p a r a me t c r e 】e m e n t sc o n s i d e r i n gt h er e a l l t yo fn u m er i c a lc o m p u t “o n ，t h eg e n e r a i i z e dm a x w e 】王 a n dt h eg e n e r a l i z e dk e l v i nm o d e lw e r e r e v i s e d t h er e l a x a t i 0 1 1f 证1 c t i o n sf o r m a t e r i a l s 埘maf a d i n gm e m o r yw a sb e i n ge x p r e s s e di nt e m so fp m n ys 嘶e sa n d m a d et h ec o m p u t a t i o nw i t ht h i sm e t h o dt os l u i c e st h e eh 0 1 e s1 e d 窟e rw a l lo ft h e l m s a ns t a t l o n c o m p 撕n gt h ec o m p u t a t i o na c h i e v e m e n tw l t ht h ee l a s t j cc o m p u t a t l o n r e s u l td i s c o v e r dt h ef i r s tl sm o e rn tt h ef a c t s c o n f i m e dt h i sm e m o df e a s i b i l i t va 1 1 d 幽e r a t i o n a l i t y k e y w o r d ：v i s c o e l a s t i c i t y ；f e m ； s o r c l a y 掣o u n d ； n u m e r i c a lc o 瑚【p u t a t i o n s i u i c e p u m p i n gs t a t i o ns t r u c t u r e ；p r o n ys e r i e s ； s t r e s s s t r a i n 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实， 本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：煌丝印护f 年，护月衫日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。 论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ：崆墼 妒f 年加月万日 河海太学硕士学位论文 绪论 1 1 闸站结构发展状况 1 1 1 闸站的历史 水闸作为修建在河道或渠道上利用闸门控制流量和调节水位的低水头水工建筑 物，在水利工程中得到了广泛的应用。中国修建水闸的历史相当悠久，公元前3 4 年， 西汉南阳太守召信臣在今河南省南阳地区邓县西兴建六斗歇，阻挡急流，设立3 个 闸门引水灌溉。钢筋混凝土水闸，是在1 8 2 4 年英国建成后逐渐发展的。中国在2 0 世纪5 0 年代后兴建了大量水闸，遍布全国各地，有些规模很大，黄河上泄放冰凌的 水闸单孔宽达3 0 米，葛洲坝二江泄水闸的最大泄量达8 3 9 0 0 m 3 s 。我国有大型水闸 3 0 0 余座，中型水闸2 0 0 0 余座。目前水闸的主要作用是拦洪、挡潮或抬高上游水位， 以满足灌溉、发电、航运、水产、环保、工业及生活用水等需要。有一定规模的泵 站是在+ 1 8 世纪，蒸汽机的出现后才逐渐发展起来的，如位于什里夫波特 ( s h r e v e p o r t ) 的t h em c n e i l ls t r e e tp u m p i n gs t a t i o n ，这是在1 8 8 7 年修建的。 还有建于1 8 9 4 年3 月的墨尔本的t h es p o t s w o o dp u m p i n gs t a t i o n 。国内的真正的 泵站是在2 0 世纪出现的，现在也已经达到了国际先进水平。目前有不少枢纽既需要 修建水闸又需要修建泵站，所以在条件允许的情况下闸站结合方案是很好的选择。 如1 9 9 9 年竣工的泰州引江河，其江边控制工程泰州高港枢纽，就是采用了闸站结 合的形式；即将动工的南水北调东线一期工程中，骆马湖南四湖段江苏境内的刘 山解台也将采用闸站结合方案。 1 1 2 闸站基础的工作特点 大型闸站结构对地基的影响很大，特别是软土地基上的闸站。建在软土地基的 闸站主要有以下工作特点。 l 、软土地基的压缩性大，承载能力低，抗冲能力差，细砂容易液化，在自重及 外荷作用下地基可能产生较大的沉降或沉降差，造成闸( 站) 室倾斜，止水破坏， 底板断裂甚至发生塑性破坏，引起水闸失事。 2 、水闸在泄流时，尽管流速不高，但水流仍具有一定的剩余能量，而土基的抗 冲能力较低，可能引起水闸下游的冲刷，此外水闸下游常出现的波状水跃和折冲水 流，将会进一步加剧对河床和两岸的淘刷。同时，由于下游水位变幅大，闸下出流可 能形成远驱水跃，临界水跃甚至淹没度较大的水跃。 河海大学硕士学位论文 3 、土基在渗水流作用下，容易产生渗透变形特别是粉、细砂地基，在闸后易出 现翻砂冒水现象，严重时闸基和两岸会被掏空，引起水闸沉降，倾斜，断裂甚至倒塌。 水流对闸下游土基的冲刷和对河床与两岸的淘刷，按照以往经验一般采用消力 池、护坦、护坡等工程措施。本文着重分析主体结构与软土地基问的作用和变形。 在普通的设计中，一般把上部结构、基础和地基分割开来，各自作为隔离体来加以 考虑。通常都是把上部结构作为荷载加到基础上，而把基础当作基础梁或基础板。 1 2 弹性基础研究现状和存在问题 对软基上工程结构的计算一般简化为弹性基础梁或基础板，这方面前人已做了 卓有成效的工作。 1 2 1 文克尔模型 1 8 6 7 年文克尔提出一种最简单的线弹性理想化模型，假设土介质边面每一点的 压力强度与该点的竖向位移成正比，而与土和基础边面其他各点完全无关。 p2 船 ( 1 1 ) 式中p 土体表面某点单位面积上的压力，k n m 2 ； s 相应于某点的竖向位移，m ： 尼基床系数k n m 3 ； 文克尔假设的实质是将地基看成许多互不联系的弹簧，弹簧的刚度即基床系数 厅。后来的研究指出文克尔的假设的缺点，首先文克尔假设忽略了地基中的剪力， 因而无法考虑地基中的应力扩散，从而地基的变形只发生在基础荷载作用范围以内， 这与实际不符。其次，试验研究指出，在同一压力作用下，基床系数七不是常数，它 不仅与土的性质、类别有关、还与基础底面积的大小、形状以及基础的埋置深度等 因素有关。一般认为当地基土的压缩层较薄，与地基最大的水平尺寸相比成为很薄 的“垫层”时，宜采用文克尔地基模型进行计算( 压缩层厚度与基础尺寸半长之比 o 5 的情况) 。 1 2 2 弹性半空间地基模型 弹性半空间地基模型，即将地基看成是均质的、各向同性的弹性半无限体，按 理论分析作用在地基上的压力与变形之间的关系。根据弹性理论，对于平面应力问 题，在半平面边界上受法向集中力p 作用( 图1 1 ) ，如果取m 点为基准点，符拉芒 2 河海大学硕士学位论文 ( f 1 a i 皿e n t ) 得出任意点j 对m 点的相对位移为 v ：丝1 n 里 。 翘， 式中卜集中力； 卜弹性体的弹性模量； 卜集中力作用点离基准点的距离； r 集中力作用点离计算点的距离。 ! - i p f i m x 、 【臼一 f f ( 1 2 ) 图1 1 半平面受法向集中力图1 2 半平面体受分布力 如果单位力均布在半平面体边界的c 长度范围内( 图1 2 ) ，分布力的集度为 以= l ，c ，应用式( 1 2 ) ，并进行积分，可得距分布荷载中心j 距离为x 的f 点的相对 竖向位移，当f 点在荷载外方时： 圹去朦h 争 式中： 1 宓 = 去慨+ g ) ( 1 3 ) 铲z 考斟怕性，) g ：2 1 n 旦+ 2 + 2 l n 2 ( 1 4 ) ( 1 5 ) d c 割，uf0 河海大学硕士学位论文 当弹性半空间体表面作用一集中力p 时 图( 1 3 ) ，由布辛奈斯克( b o u s s i n e s q ) 解， 可得弹性半空间体表面任一点竖向位移( 沉 降) 为： y ：掣 ( 1 6 ) 。，吐 上j x x 逆：， ” 式中r 一集中力到计算点的距离； 图1 3 弹性半空间体受集中力 卜弹性材料的弹性模量； 弹性材料的泊桑比。 当弹性半空间体表面作用任意分布荷载p ( f ，可) 时( 图1 4 a ) ，地基表面任一点 m 力的竖向位可以由式( 1 6 ) 积分而得，表达式为 y 等f f 意满 m ， 如果是矩形荷载作用，则设荷载面积为6 c 上作用均布荷载p ( 图1 4 b ) ，将坐 标原点置于中心点，利用式( 1 6 ) 对整个矩形面积的积分，可以求得在x 轴上f 点 的竖向变位为： 一z p 剧学，嚣2 等鹕 m8 ， ( a ) ，q ) 图1 4 弹性半空间体受任意分布荷载 4 ( b ) 卜。ii 河海大学硕士学位论文 瓦甲广翊砷何载； 6 矩形面积的宽度； 只广一系数，其表达式为 ，2 兰+ 1 删2 詈 z h 尝山昭驴z 詈h 毛 + 稚送巡垒丝! 。( 2 言一詈) + ( z 言一争2 + ，、66 7 v 、6 6 群h ! 尘丝兰 。( z 砉一詈) 2 “ + 吨t + 辱再 1 + 辱再 当i 点位于矩形荷载面积中点j 点时，其竖向变位应为 却搿学。辫 积分的结果同样可以写为如式( 1 8 ) 的形式， y ，= 等p b y 2 1 p 雠日 铲水+ 厨h + 历 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 儿) 弹性半空间地基模型考虑到土连续性的性态，基底各点的沉降不仅与该点的压 力大小有关，而且还与其他各点有关，但是，由于地基土不是理想的、均质的、各 向同性的弹性体，地基压缩层的厚度也是有限的，因而导致这种地基模型的应力扩 散能力往往超过地基的实际情况。 1 2 3 双参数地基模型0 1 f i l o n e l k o b o r o d i c h l ( 1 9 4 0 ) ，h e t e n g ( 1 9 4 6 ) 等人提出一种介于文克尔模型和弹 性半空间地基模型之间的模型，即双参数地基模型，其中一种是在文克尔模型的弹 簧之间引入相互的力学作用，加一具有拉力，的弹性薄膜，使土介质边面的位移不 河海大学硕士学位论文 仅发生在受荷面积之内，也发生在受荷面积之外。当作用均布荷载g 时，对于三维 问题( 例如矩形或圆形基础) ，土体表面的扰度方程可表示为 g ( x ，y ) = j j w ( 石，y ) 一r v2 国( 工，y )( 1 1 2 ) 式中v 2 = 等+ 导为笛卡j l 直角坐标中的拉普拉斯算子，五为基床系数；矿( 五力 为土体表面的竖向位移。实验表明其计算结果相对合理。 1 _ 2 4 分层地基模型 分层地基模型是考虑到地基土是具有天然土层的特点，并考虑到土的压缩特性 以及地基的有限压缩深度，也称为有限压缩地基模型。该地基模型由弹性理论的布 辛奈斯克( b o u s s i n e s q ) 公式求得弹性体内部任意点的附加应力( 图1 5 ) ，而地基 的变形用分层总和法求得。根据土力学的基本理论，用分层总和法计算基础沉降时。 一般的表达式为 s = 喜半 m 式中五第f 土层的平均附加应力； 日，第f 土层的厚度； e 。，第f 土层的压缩模量； 聊压缩层深度范围内的土层数。 附加应力吒= 曩只， 其峨= 去k 舞击+ 专+ 咧赢， 聊2 i 忙i ； 河海大学硕士学位论文 图1 5 弹性体内部任意点的附加应力 研究结果表明其结果更符合实际，一般界于文克尔地基与弹性半空间地基之间， 因而在工程中被广泛应用。现行通用的水闸和泵站规范就是依据分层地基模型所得 的结果编制的。 1 2 5 层向各向同性体模型“1 层向各向同性体是指通过弹性内部各点均有一个就其弹性性质而言各个方向皆 相等的平面，如图1 6 所示，在x o z 平面内各向同性，这是一般正交各向异性弹性 材料的一种特殊| 睛况。这种模型考虑到土在形成过程中所具有的成层特点，对各向 同性的弹性半空间模型进行修正。对于图1 6 所示的情况，其应力一应变关系为 q 2 詈一：詈一肛詈 q 2 量叫：詈叫：詈 q 2 茜叫以茸叫心i 旷詈确詈 3 e l e l 岛2 詈 7 一 河海大学硕士学位论文 式中e 。在各向同性平面内的弹性摸量 。在各向同性平面内的波桑比 e ：垂直于各向同性平面内的弹性摸量 ：波桑比，表示由垂直于各向同性平面的单位应变所引起的各向同性平 弗= 鲁； g 1 各向同性平面的剪切摸量。 卧志 等豢，”。+ h ，。三。一：。：，腥 c ，s ， l 一l 。 o l 占， ( 1 1 5 ) o m ( 1 + h ) ( 1 一l 一2 n 2 2 ) i | ，o 式中m ：生 e 2 该模型曾应用于土与结构的共同作用分析中，结果表明，能得到较满意的结果。 1 2 6 弹性地基基础计算的不足 但是传统的弹性地基基础计算方法存在着两点明显的不足。 1 、没有考虑上部结构与基础之间的位移协调条件，仅考虑了他们之间的力系传 递，而力系的传递和位移的协调是紧密联系在一起的。 2 、不能考虑时间效应的影响，没有考虑地基的粘弹性、上部结构和基础的混凝 土徐变特性。事实上，荷载不变，地基的沉陷、上部结构和基础的位移也会不断的 改变。 因此本文考虑时间效应对地基和主体结构的影响，既粘弹性的特性。 1 3 粘弹性简介 。砧 唧叶。 岬 。l 河海大学硕士学位论文 式中日在各向同性平面内的弹性摸量 一。在各向同性平面内的波桑比 占：垂直于各向同性平面内的弹性摸量 ：波桑比，表示由垂直于各向同性平面的单位庄变所引起的各向同性平 面内的应变； g ：垂直于各向同性平面的剪切摸量 e e 、 g 1 各向同性平面的剪切摸量。 对于平面应变问题， 墨 ( 1 + h ) ( 1 一卢。一2 ，2 ) 。隰轰；等 ： 【 oo m ( 1 + 凸) ( 1 一“ 式巾m ：生 e 2 该模型曾应用于土与结构的共同作用分析中，结果表明，能得到较满意的结果。 1 2 6 弹性地基基础计算的不足 但是传统的弹性地基基础计算方法存在着两点明显的不足。 l 、没有考虑上部结构与基础之间的位移协调条件，仅考虑了他们之间的力系传 递，而力系的传递和位移的协调是紧密联系在一起的。 2 、不能考虑时间效应的影响，没有考虑地基的粘弹性、上部结构和基础的混凝 上徐变特性。事实上，荷载不变，地基的沉陷、上部结构和基础的位移也会不断的 改变。 闽此本文考虑时间效应对地基和主体结构的影响，既粘弹性的特性。 1 3 粘弹性简介 1 3 粘弹性简介 51n 、i 矗毋 ，f，、【 j叫 掣 2 河海大学硕士学位论文 粘弹性理论从提出到现在已经过了一个多世纪了，可以分为线形粘弹性和非线 形粘弹性，前人对不同材料的研究提出了各种各样的粘弹性方程。对于基础工程， 已有不少专家做出了很多的研究成果和应用实例，钱家欢在1 9 6 6 年就提出了粘弹性 理论在土力学方面的应用删，朱伯芳在1 9 8 3 年对混凝土的徐变进行了深层次的研究 和计算，提出了混凝土徐变应力分析的隐式解法”1 。在国外b l a n d dr 1 9 6 0 r 和 w i l h e l mf l u g g e 1 9 7 5 一分别对线性粘弹性和粘弹性理论进行了系统的描述和研究。 目前，粘弹性材料和地基模型出现了不少可应用的成果，如岩体结构的粘弹性力学 模型的识别“”、粘弹性土体中深埋圆形隧道的应力和位移分析“、粘弹性基础梁的 计算“、粘弹性地基参数的反演分析“”以及软土地基上结构仿真计算“”等。但对于 大型水闸和泵站结构方面粘弹性的应用还是个空缺，因此本文考虑闸站结构受力特 点，对闸站结构进行粘弹性的计算分析。 1 4 论文的主要工作 论文介绍了几种常用粘弹性模型。通过弹性与粘弹性的相应关系，用微分算子 尸、口邪p 、口表示的材料特征参数：弹性模量反剪切模量& 泊松比等。同 时考虑实际情况的普遍性，一般材料很有可能是非线性粘弹性，所以又介绍了非线 性粘弹性的一般表示形式，得到有限元方程推导的基础。对已有的几种地基弹性沉 陷公式，根据线粘弹性弹性相应原理进行修正，如对半平面无限大地基、半空 间无限大地基的弹性沉陷公式做i 却l a c e 反变换得到了相应的地基粘弹性沉陷公式。 着重对原有的弹性分层地基模型进行改进，利用线粘弹性本构方程推导出了分层地 基模型的粘弹性沉陷公式。考虑混凝土材料的特殊性，介绍了混凝土徐变度的两种 表示方法以及徐变有限元的计算方法。然后从数值计算的实际出发，修正了广义 m a ) ( w e l i 和广义k e h ，i n 模型的粘弹性方程，用p r o n y 级数逼近应力松弛方程，提出 了粘弹性有限元数值计算的方法。并且用该方法对刘山站闸身三联孔底板做了计算 分析，计算成果与用弹性计算的结果进行比较发现更符合实际情况。证实了该方法 的可行性与合理性。 9 河海大学硕士学位论文 第二章粘弹性基本理论 2 1 粘弹性的模型表述n ”“射。叩 粘弹性材料的性质十分类似于由弹性元件和粘性元件按一定的规则构成的模型 所具有的性质。理想弹性元件的应力应变关系，如果是线弹性材料则有如下关系： 盯= e ( 2 1 1 ) 这也就是著名的虎克定律，其中e 是杨氏摸量。 粘性用粘壶元件阻尼器( 如左图) 来表示。 为要移动活塞需要外力只这个力越大，活塞移动的 越快。这个关系可以用p = 豇固来表示。类似的变 形在一定材料的拉伸杆也可以发现，当荷载加上之 后。杆被拉长，然而此时不是伸长d ，而是伸长的时间变化率! 塑与作用力成正比。 口； 用应力应变表示，则有 盯：f 坐：f ；( 2 1 2 ) 出 ，是粘性系数，有时也用玎来表示。 2 2 五个常用模型及一般模型 常见的可用于描述工程材料受力变形的粘弹性形态的模型有麦克斯韦模型、开 尔文模型、三单元模型、波因廷一汤姆森模型、广义m a x w e l l 和k e l v i n 模型五种。 先对这些模型的组成、特性、相应的本构方程叙述如下，再介绍一般模型。 2 2 1 麦克斯韦( m a x w e l l ) 模型5 m 6 1 麦克斯韦模型由一根弹簧和一个粘壶串联而 成，如图2 1 所示。图中弹簧描述材料变形的弹性 性质，粘壶用于描述粘性性质，经过简单的推演， 即可写出与这一模型相应的本构方程为： 图2 1m “w e u 模型 河海大学硕士学位论文 三：要+ 旦 ( 2 2 1 ) 瓦叩l 设自# 0 时起对模型施加应力o = 一。因有初始条件s ( 岛) = 口o 届，故有 啪邓。( 击+ ( 2 2 z ) 上式即为可用于进行二维粘弹性问题反演计算的应力一应变关系式。根据建立粘 弹性问题反演计算统一格式的需要，上式改写为 = ，占( f ) ( 2 2 3 ) 互= t 与 ( 2 2 4 ) 。 晶编 将式( 2 2 3 ) 与弹性力学的公式相比较，可知最的含义与杨氏模量相同，故以 下将其称为等效弹性模量与式( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 相应的。一t ，一t 曲线示于图2 2 。 图2 2 应力应交与时间关系图 2 2 2 开尔文( k c l v i l l ) 模型m 6 1 开尔文模型由一根弹簧和一个粘壶并联而成，如图2 3 所示模型显示的特点是 材料受力后发生的变形不存在明显的初始弹性变形与开尔文模型相应的本构方程 为： e o 旦占：旦 ( 2 2 5 ) 编碣 设自乒o 时起对模型施加常应力a = 一。因有初 始条件s ( 劫= 0 ，故可得： q - l j 图2 3k e l v i l l 模型 可寸 一 一 一 一 一 一 臣巴毒 河海大学硕士学位论文 粥= 外e 冲卜剽 上式所示的应力应变关系可简化为式( 2 2 3 ) ，但e 的表达改为： 弘，b 一击e 印卜剽 式中反的含义仍为等效弹性模量。相应的一一 s f 曲线示图2 4 。 2 2 3 三单元模型5 m 6 3 图2 4 应力应变与时间关系图 l 一 图2 5 三单元模型 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 三单元模型由一根弹簧和一个开尔文 模型串联而成，如图2 5 所示，由于三单元 模型常能较好地模拟围堰受力变形的粘弹 性性态，且比较简单，因而较常用。其本构 方程为 4 耠等a + 去；慨z s ，卵1丘。理l丘。 在自 句时起对模型施加常应力口= a 。的条件下，因有s ( 劫= 一。磊故有 ，= 怯+ 小时嘉蝴c r o 弦z 。， 上式仍可简化为式( 2 2 3 ) ，厶的表达式为 纠怯+ 小时黝 c z z 与式( 2 2 9 ) 、( 2 2 1 0 ) 相应的口一s ，s f 曲线示于图2 6 。 1 2 河海大学硕士学位论文 1 ( 亡+ 击) 图2 6 应力应变与时间关系图 2 2 4 波因廷一汤姆森模型“。 图2 7 波因廷一汤姆森模型 波因廷汤姆森模型由麦克斯韦模型和 一根弹簧并联而成，如图2 7 所示。对比图 2 5 和图2 7 ，可知这一模型的特性与三单元 有相似之处。模型的本构方程为： ( 1 + 争_ 鲁占= 扣击；也l叮l叩1 d i ( 2 2 1 1 ) 自乒0 时起对模型施加常应力o = a 。的条件下，因有s ( 昀= 一。( 历+ 历) 故有： 喇2 净志唧卜杀r ，卜 z 上式仍可简化为式( 2 2 3 ) ，磊的表达式为 嘲圳 志晰若n 她z 2 2 5 广义m a x w e u 和k e l v i 模型 1 7 】 多个m a x 、张1 l 单元并联后( 见图2 8 ) 就组成广义的m a x w e l l 模型，其性质与 单个m a x w e n 模型相同， 河海大学硕士学位论文 本构关系为 图2 8 广义m a 】【w e n 模型 茹善c 扣嘻c 亿z m ， 式中，肌为串联的m a x w e l l 单元数；e 和轨分别表示为第f 个单元弹簧的弹性模量 和阻尼器的粘性系数。 若干个k e l v i l l 单元串联( 见图2 9 ) ，组成广义的k e m n 模型，其性质也呈现单 一k e l v i n 模型的性能，本构方程为： ，、门麓 l 叫l e jl j 图2 9 广义k e l v 血模型 n4 盯= 占e + 占研 ( 2 2 1 5 ) j = 1f = l 2 2 6 一般模型【1 5 】【1 7 】 前面是几种常用模型的本构方程，对于一般模型的微分型本构方程有如下形式： 盯+ p l 盯+ p 2 盯+ = g o s + g l 占+ 9 2 占+ ( 2 2 1 6 a ) 或者写为： 辜p 。窘= 耖軎 叫鳓 也可缩写为： p 盯= 缈 其中，尸和口是微分算子： 1 4 河海大学硕士学位论文 p = 耖筹 0 q = 耖箬 ( 2 2 朋) 0 2 3 线粘弹性理论“朝。”。2 2 叼 线粘弹性问题的解法，原则上与弹性力学相同，都是在给定的边界条件下，求 解其基本方程组。 设盯。s 。一。分别为位移分量、应变分量和应力分量、粘弹性问题的基本方 程有三类：运动学关系，平衡方程或者运动方程，材料的本构方程， 2 3 1 几何方程 1 ) 位移与应变分量间的关系( 即运动学关系) ： s f = 去( “+ ”) ( 2 3 1 ) 2 ) 连续性方程：在我们所讨论的范围内，物体在变形后仍然保持其整体性和连续 性，机变形的协调性，也就是要求应变分量s 。满足一定的变形协调条件： 白，h + 占麒，# 一，且一占* = o ( 2 3 2 ) 由于应变协调方程可以从应变一位移方程推倒出来，所以它并非独立的方程 2 3 2 力学方程( 平衡方程或运动方程) 平衡方程 ，+ e = 0 ( 2 3 3 a ) 或运动方程 盯f ，+ 曩= p “f ( 2 3 3 b ) 其中，只为体力分量，p 为材料密度，= ：产篓譬。 蓦蓦蔓 = 喜三三 + 盯兰三盯盯兰三盯盯；j 河海大学硕士学位论文 其中， 盯= 三c + + ，= = 三听 e = 喜( 气坞岷) = 三= 三岛 听和q 分别是应力张量和应变张量的第一不变量。 h 引 。找一o o 珏 盯掣 盯 一盯 。珥 o 社 o 一g s w s 一e 岛 占归 s 。一e 用岛表示应力偏量，s f = 一；吒磊，用勺表示应变偏量，勺= 白一；靠岛，则以 上两式可简写为 嚣蔓箸 汜s a ， = 2 g 式中，k 为体积摸量，g 为剪切弹性摸量。 对于各向同性的粘弹性材料，应力张量和应变张量仍如上述分为球张量和偏斜 张量之和即： = s f + 言d f f 磊 占f = e 扩+ i 占d 6 # 应变球张量( 反映体积变化) 只与应力球张量( 静水应力状态) 有关，而应变 偏量( 剪切变形) 只与应力偏量( 剪应力) 有关。但他们之间的关系不是象弹性情 jll叫 斯 归 一 占 占 暂 占 p 可 一 矽 占s p h气 f 。，l + 们j纠 o p o 8 0 o p。，l 1 1 j 幻助妇 和豇 ，。l g 一。乞 占 ridil 2 l l 河海大学硕士学位论文 况下那样的简单比列关系，而是类似( 2 。2 。1 6 ) 尸盯= q s 那样的本构关系。即： p s f = q 勺 p ”盯= q ”毛 式中，p f ，q ，p t ，q ”各为如下的微分算子 肚弘篆 啦氖箬 = 弘参 = 缸篆 对应于象空i 可中的弹性关系形式s f = 2 g 唧，盯= 3 世p ， 可以得到 韵：要掣，硇：昙婴 二p ( j )p ”( s ) 利用弹性力学关系， e = 罴俨篆小k 一詈g止2 i 丽5 互石i j 乏百，丑2 k i g 式中g 为剪切模量， 置为体积弹性模量， 五l 锄e 系数，f 为弹模，爿为泊松比。 及刚才得到的粘弹性关系否o ) ：导；塑，云( 。) ：拿掣 p ( j ) 3 p | o ) 驯矧矗= 丽器 1 7 ( 2 3 5 a ) ( 2 3 5 b ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 河海大学硕士学位论文 五舻舞勰 ( 2 3 1 0 ) 2 4 非线性粘弹性的表示方法们乜朝乜6 儿2 前面是对于线形粘弹性材料分析，但粘性单元上的应变一般是应力的非线形函 数，所以对于一般情况，蠕变( 粘性) 应变率可以拟合为仃、当前蠕变应变占。、温度 ，和时间t 的函数“。 二。：( 盯) g ( 占c ) ( 丁) 皇警 ( 2 4 1 a ) 占= 4 厂( 盯) g ( 占。) ( 丁) 二= = 二 ( 2 4 1 a ) 优 实验数据一般只有单轴结果，为了推广到多轴应力状态，等效应力函数将多轴 应力状态等效为单轴试验中的应力。流动准则确定在多轴应力状态中蠕变应变增量 的法方向。硬化准则确定作为时间，当前蠕变应变和其他参数函数的蠕变速率。与 塑性理论相似的蠕变理论也从单轴应力状态推广到多轴应力状态，通常也采用 v o n m i s e s 等效应力啪3 ，蠕变应变的方向与塑性理论中的关联法则相同 二；：旦掣 ( 2 4 1 b )占口= 上l z 4 1 b j a 式中q 是能量耗散函数，通常与，相同，由徐变与时间曲线的斜率确定， 掣确定方向。 o o n 对于v o nm i s e s 屈服函数式( 2 4 1 b ) 可以写成 ；：二，掣型 ( 2 4 1 。)占口= 占印_ = 二l z 4 1 c j o t ，g 其中 f ( = 圭品s f = 一；磊 ( 2 4 1 d ) 等效徐变应变率占。从方程( 2 4 1 a ) 得到。对于m a x w e l l 模型假设总应变可以分 为弹性应变和时间相关的徐变应变啪1 。 s # = ；+ s ； 由虎克定律可以得到微分形式的应力与应变关系。 o l i = d i h 婶一h ) 河海大学硕士学位论文 ：也一三。c ，啦) 竺盟 ( 2 4 2 a ) = d 口“【占一s ( 玎，8 。，毛是) j 言1 2 4 2 a 上式为有限元方程推导的基础，因为本构方程是以微分形式给出的，因而，求 解过程需要对时间进行积分。 在蠕变过程中的平衡方程为： f b 7 耐矿+ ，= o ( 2 4 2 b ) 式中嚣7 为应变位移距阵，d 为应力张量，为节点矢量。 采用小应变和小位移假设，将上式对时间进行微分有 f 曰r ；d y + 于：o ( 2 4 2 c ) 由本构方程( 2 4 1 d ) 有 盯= d 一占】 ( 2 4 2 d ) 再由方程s = 嚣“可得 平衡方程有 b d 口：d y = 歹+ j 雪7 d 玉矿 ( 2 4 3 ) rr 如果在f 。时刻位移值“0 。) 、应力d ( f 。) 、外力厂o ，) 和蠕变应变率矿( f 。) 已知， 平衡方程可以( f 。) 时间增量内积分得到位移增量o 。) 和应力增量盯( ) 等。 j 口7 脚“d 矿= ，+ j 艿7 d 占。 ( 2 4 4 ) y p 在积分过程中，假设在时间增量内所有的值保持恒定，这样就限制了允许时候 增量的大小 = s ( c k ，f ，七) 出。 ( 2 4 5 ) 在式( 2 4 4 ) 中，左端采用的刚度矩阵与标准的线弹性分析时的一样，蠕变项处 理成伪荷载，因此是一种显式方法，也就是初应变法。 2 5 本章小结 本章描述了粘弹性基本特性、介绍了几种常用的线粘性模型，包括m a x w e l l 模 型、k e l v i n 模型、三单元模型、波因廷一汤姆森模型、广义的m 羽【w 枷模型和广义的 河海大学硕士学位论文 k e l v i n 模型。k e l v j n 模型主要表现了固体粘弹性的特性，m a x w e l l 模型主要表现了 流体粘弹性特性。三单元模型与波因廷一汤姆森模型分别是广义k e l v i n 模型和广义 m a x w e l l 的一种特殊情况。线粘弹性模型一般表示形式是建立在对上述粘弹性模型 分析的基础上得出的，为线粘弹性理论的基本方程提供基础。通过弹性与粘弹性的 相应关系，得到用微分算子尸、口邪尸”、驴，表示的材料特征参数：弹性模量晟剪 切模量& 泊松比等。为下面章节中线粘弹性地基模型沉降公式的推导提供依据。 考虑实际情况的普遍性，一般材料很有可能是非线形粘弹性，所以在本章中介 绍了非线形粘弹性的一般表示形式，得到有限元方程推导的基础，提出了粘弹性有 限元的初应变法，是后面数值计算推导的前提。 2 0 河海大学硕士学位论文 第三章几种常用地基模型的粘弹性公式 在第一章中介绍了各种地基模型，在这里对其中几种弹性地基模型进行l 印l a c e 变化，用弹性粘弹性相应原理，推导出粘弹性的地基模型公式。 3 1 空间半无限大地基粘弹性公式的推导“” 前面介绍了空间半无限大地基模型在受法向集中力时表面上任意一点的弹性沉 陷公式如下： y 。= 警鸩 巧斗扣哆叫母茎 十鱼h 坚型堕丝! 。( z 言一( z 言一争2 + 他 - + 辱再 1 + 辱再 由线粘弹性弹性相应原理可知“”，经l a p l a c e 变化后的粘弹性沉陷公式为： ；。o ) ：掣；o ) 峨 ( 3 1 1 ) 对上式进行l 印l a c e 反变化可得到地基沉陷的粘弹性解。 假设泊松比“不随时间而变化，而外荷载假设为 p = p 。日o ，；日o ，= ；主： 上式可变为： 拍卜羔譬 ( 3 1 - 2 ) 石e “1 o 2 l 甓 + 一 + 1 1 x c 2 河海大学硕士学位论文 应响萨孬焉 则有： 确= 堕孚监盟鼍篙半慨， j 石j i j ) 【，”l s l 假设体积变化是弹性的，流变变形主要表现在剪切变形，服从三种不同的模型 的流变性质，下面分别对三种模型进行推导。 3 1 1 麦克斯韦模型 经过简单的变换得到： 尸o ) = 1 + 要s ，q q ) ：2 班 p ”o ) = 1 ，q ”0 ) = 3 k 确= 学业号器警型 。 j 厅 5 ( ，is l u ”l s l ：! ! 二竺：! ! ! 竺翌! ! ! 翌! g ! ! 墨 3 牙3 j2 ，7 七 做l 印l a c e 逆变换则 3 1 2 开尔文模型 y ( ，) ：坠掣 j 刀。c 去+ 扣寺 ， 尸0 ) = l ，q 0 ) = 2 ( g l + ，7 1 s ) p t ) = 1 ，q ”0 ) = 3 k 确= 学型葛器岩幽 ：! ! 二竺：! ! ! 竺g 兰翌( 堡! 翌! 1 2 ! ：! 丝 3 万 6 s ( g l + 刁l j ) 七 ：坚二盟! ! 竺( 上+ ! 、 3 石、3 盛 j ( g 1 + 蹿i j ) 做l 砷l a c e 逆变换则： 河海大学硕士学位论文 y c 归学c 壶+ 击”e 一 ， 慨， 3 1 3 三单元模型 仍假设体积变化是弹性的，剪切变形是流变变形，而且服从三单元模型的流变 性质，则经过简单的推导有下列等式成立： g ：2 ；川知= 等旷扣 粤 所以有 仃* = 3 k 8 i 5 把第一式作一般变换后得 矿矗丢箍铲器匆5 * + i ；i ；j 万5 92 i ；i j j 赢8 ”+ i ；j ；丢8 9 川垆+ 煮叩= 器+ 器s ( s ) = 1 ，q 。( j ) = 3 置 代入五沪盟等监盟号糍篙必 7 j 石 j vl sj vi jj ：学益纂警基华 j 石 3 缸f 二盟+ 二盟s 1 、g ，+ g ，g ，+ g ，7 ：! ! 二竺：! ! ! 竺。上+ 垡! 堡2 + 翌 1 3 石 、3 恐 s ( g 1 g 2 + 蹿g 1 5 )g l g 2 + 蟹g l s 做l a p l a c e 逆变换则 巾) = 尘学( 壶+ 去+ 击( ，一p 寺”( s ，e )j 万 j 庀 u 。u 1 纠怯+ 爿一珈 所以当是常值时，比较第二章中的日，可以看出：把相应的g 替代e 再只 河海大学硕士学位论文 要直接用( 去+ ，3 代替弹性公式中1 e ，就可以得到各种模型的粘弹性公式。这 种情况也适用于为常值的其他的粘弹性公式。 如果砧也是随时间变化的，则应用 胁舞搿瑞， 代入 五( 。) ：掣丛峨 厅e o ) 5 再做和前面一样的推导即可得到相应的粘弹性公式。 3 2 半平面无限大地基粘弹性公式的推导b 3 在第一章中介绍了半平面无限大地基的弹性公式。如果单位力均布在半平面体 边界的c 长度范围内，分布力的集度为见= 1 ，c ，可得距分布荷载中心，距离为x 的f 点的相对竖向位移，当f 点在荷载外方时 驴去k + 日) b = 一2 兰 。 c 日：2 l i l 旦+ 2 + 2 1 1 1 2 c 咄2 州z 洲 c k h r ： 喝m i 玮t 兰 i 一曲f 一明一l 一 为了求出相应的粘弹性公式，应用弹性一粘弹 性相应原理。可知： ；。( s ) ：士k 十g ) 石e ( s ) 把童( s ) = 虿丽看鼍菩代入上式。 q ( j ) p ( j ) + 2p t ( j ) q i ( s ) ( 3 2 1 ) 确= 盟器铲慨+ g ) ( 3 z z ) 再作l a p l a c e 逆变换即可得到粘弹性公式。 ，。、r生rij圳1l 河海大学硕士学位论文 应用上面得出的结论可知道，对于“不受时间变化影响的，可以直接用 ( 去+ 3 代替弹性公式中的鼠 试用三单元模型来推导公式： 把 州沪- + 彘啦) = 器+ 器s p ”0 ) = 1 ，g ( 5 ) = 3 k 代入式( 3 2 2 ) 后 则 y f ( s ) ! i 皇望! ! 1 2 11 ：! 1 2 ! ! ：f 1 2 里! ! ( ! 1 3 石 。 s q ( j ) q ”( 5 ) ：量望f 上+ 垡l 堡2 + 翌 ) 3 石、3 孟j s ( g l g 2 + 叩g l 占)g l g 2 + 刁g 1 占7 y = c 去+ 击+ 去c 卜p 鲁。， c s z s ， 3 3 考虑粘弹性的分层地基模型 在第一章中介绍了分层地基模型的公式“1 ， s = 喜半 式中矗第f 土层的平均附加应力，盘m 2 ； 日；第f 土层的厚度，川； e “第j 土层的压缩模量，克小2 ； m 压缩层深度范围内的土层数。 e ，是压缩模量，是指在无侧向变形条件下，竖向应力与应变之比值。它的大小 反映了在单向压缩时土体对压缩变形的抵抗能力。根据广义虎克定律，当土体的应 力应变关系假定为线性的，x 、y 、z 坐标方向的应变可表示为： 河海大学硕士学位论文 = 鲁一参( q + 吒) 铲詈一考( 吒+ 吒) 铲詈一等( t + q ) ( 3 3 1 ) 在无侧向变形条件下，其侧向应变q 和q 为零，而d ，2 q 。于是从上式可得到 叽一p ，c r z ) = o jq2 q 2 ：吒 无侧向变形条件下的竖向应变s2 嚣胁可以表示为 s ：d 占一= = 一 3 姐t e 以l 盯，代替( 3 3 1 ) 第三式中的吒，盯，并令其等于上式。即可得到变形模 l 一上f 量与压缩模量的关系为 e ：岛( 1 一竺) ( 3 3 2 ) 所以假设土是理想弹性体，如果用变形模量占表示压缩量，就可以表示为： s ：华崛y ：华。 s = # 崛简写为y = 二生 j 匕e y 0 ) = 盯。( 1 一塑竺) 1 一0 ) 翊0 ) 把缸) = 雨篇 五c s ，