（电机与电器专业论文）磁浮球磁场研究及其控制系统仿真.pdf

上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t m a g n e t i cl e v i t a t i o nt e c h n o l o g yi so fv e r yw i d ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n m a g n e t i c l e v i t a t i o nb a l ls y s t e mi sb a s e do ne l e c t r o m a g n e t i cl e v i t a t i o nt h e o r y , a tp r e s e n t ， t h e r ea r es t i l l m a n yp r o b l e m si nt h ee l e c t r o m a g n e t i cl e v i t a t i o ns y s t e m ，s u c ha s d i f f i c u l t yo fc o n t r o l l i n gt h ef o r c eb a l a n c er e l i a b l y , i n c o n s e q u e n c eo fp a r a m e t e rf o r t h el e v i t a t e d o b j e c ta n dp o o ri n t e r f e r e n c e - f r e ea b i l i t y t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho n m a g n e t i cl e v i t a t i o ns y s t e mi so f p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h ed i s s e r t a t i o n ，t h em a g n e t i cf i e l do f m a g n e t i cl e v i t a t i o nb a l li sa n a l y z e db y f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) d i f i e r e n tp a r a m e t e r sf o rt h el e v i t a t e d o b j e c t a r e c a l c u l a t e da n d c o m p a r e d t h e n ，t h ea n a l y s i s a n d c o m p a r i s o n o fs o m ed e s i g n s c h e m e s l a yt h ef o u n d a t i o no fm a k i n g s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t s f i r s t ，t h eg e n e r a ld e v e l o p m e n t ，c l a s s i f i c a t i o n ，f e a t u r e sa n dt h es i g n i f i c a n c eo f r e s e a r c ho n m a g n e t i cl e v i t a t i o nt e c h n o l o g y a n dt h em a i np r o b l e m so f t h em a g n e t i c l e v i t a t i o nb a l ls y s t e ma r es u m m a r i z e d t h ed i s s e r t a t i o nd e s c r i b e st h ef e m a p p l i e dt o t h e m a g n e t i cf i e l do fm a g n e t i c l e v i t a t i o nb a l ls y s t e ma n de s t a b l i s h e dt h ee q u a t i o n sf o rf e m ，s t a r t i n gw i t ht h e o r y a n a l y s i s ，t h e nt h ec a l c u l a t i o n s ，c o m p a r i s o na n da n a l y s i sa r ec a r r i e do u ta ts o m e a s p e c t ss u c ha st h er e l a t i o n sb e t w e e nw o r k i n g c u r r e n t sa n dd i a m e t e r s ，t h i c k n e s sa n d w e i g h t so f t h el e v i t a t e do b j e c tw h e nt h ew o r k i n g a i r g a pi sd e c i d e d t h ec a r v e so f t h e r e l a t i o n sb e t w e e nw o r k i n gc u r r e n t sa n da i r g a p s ，i n d u c t a n c ea r ep r o v i d e dw h e nt h e w e l g h ti sd e c i d e d o nt h eb a s i so f w o r k i n gt h e o r y , t h em o d e l s o ft h es y s t e ma r ee s t a b l i s h e d t h e nt h e f r e q u e n c y c h a r a c t e r i s t i c so ft h e s y s t e m a r eo b t a i n e d b y b o d e d i a g r a m s t h e i n f l u e n c e so fd i f f e r e n tc o r r e c t o rm e t h o d sa r e g i v e na c c o r d i n gt o t h et h e o r ya n d p r o v e db ym a t l a bs i m u l a t i o n ，w h i c hc o m et ot h ec o n c l u s i o nt h a tp da n dp i d c o n t r o l l e r sc a nm a k et h es y s t e ms t a b l e t h es t a n d a r da n d i m p r o v e dp d c o n t r o l l e ra r e d e s i g n e da n dt h ea n a l y s i sa n dc o m p a r i s o no f t h er e s u l t sa r ec o n d u c t e db a s e do nt h e m a t l a bs i m u l a t i o n t h el a s t p a r t o ft h ed i s s e r t a t i o no u t l i n et h e c o m p o n e n t s a n d d e s i g no ft h e e x p e r i m e n t a ls y s t e mf o rm a g n e t i cl e v i t a t i o nb a l la n de x p e c tt h ef u r t h e rr e s e a r c ha s w e l 】 k e yw o r d s ：e l e c t r o m a g n e t i cl e v i t a t i o n ，m a g n e t i cf i e l d ，f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) ，p d c o n t r o l i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 期丝堡兰：堡 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：盘熟导师签名：盎垒芏盘日期： 2 0 0 42 乒 上海大学硕士论文 第一章绪论 1 1 磁悬浮技术的发展概况 磁悬浮技术是利用磁场产生的磁力来克服重力，支撑物体无接触悬浮于空 中。 磁悬浮的研究起源于1 9 世纪初。早期的研究主要针对无源悬浮，多应用于 仪器、仪表、导航等需要无摩擦的领域，但其响应速度很慢，这使磁悬浮的应用 受到很大限制。1 9 2 2 年德国工程师赫尔曼肯佩尔首先提出了电磁悬浮原理， 并于1 9 3 4 年申请了磁悬浮列车的专利。进入2 0 世纪6 0 年代后，各主要工业国 家相继投入有源磁悬浮的研究，研究成果主要在军事、宇航等领域获得应用，如 用于人造卫星姿态控制的惯性轮。进入7 0 年代后，有源磁悬浮开始向一般工业 应用转化，如高速机床等。近年来，随着电子技术、计算机控制技术和检测技术 的飞速发展，磁悬浮技术又成为各国研究开发的热点，使这项综合多门学科知识 的高新技术的研究和应用不断深入，并拓展出许多分支，向交通、机械加工、空 间技术、工业运输、冶金、展览和医疗等各个领域渗透。 磁悬浮技术应用在工农业生产和科学探索上都有其独到的优势。随着工农业 的飞速发展和人类生活质量的不断提高，对生产中的效率、速度和产品质量等方 面的要求越来越高，而对环境如噪声、空气等等污染指标的要求也越来越严格。 磁悬浮技术的应用提供了有效的手段，恰恰适合了这些方面的要求。因此，磁悬 浮技术经过数十年的发展过程，逐渐得到了世界各主要工业国家的普遍重视，其 应用前景不可限量。 我国在磁悬浮领域起步比较晚，经过数十年的研究开发，取得了许多成果， 但与处于领先地位的一些国家相比，仍有较大差距。所以目前在磁悬浮技术研究 和应用方面仍有大量艰巨的工作和技术难题有待实现和解决。 上海大学硕士论文 1 2 磁悬浮技术的分类和特点 1 2 1 磁悬浮技术的分类 磁悬浮是通过两个物体之间的磁场作用力和重力相平衡来实现的，根据受力 方式不同可分为吸引力悬浮和斥力悬浮，而根据磁体制造材料不同一般分为常导 磁悬浮、超导磁悬浮和永磁体悬浮三种。所谓常导、超导和永磁体悬浮”3 ，分别 是指形成悬浮吸引力需要利用常温导体制造的电磁铁、超导材料制造的电磁铁和 永久磁铁历产生的磁场。表1 1 是从两个物体之间的受力关系的角度对各种悬浮 方式进行了分类。 表1 1 按照互相作用物体之间受力关系的磁悬浮分类 物体1 悬浮方 超导体导磁体金属导体超导常导永久 电磁铁电磁铁磁铁 物永久斥力吸引力斥力斥力f斥力f斥力 体磁铁吸引力吸引力吸引力吸引力吸引力 2 常导斥力吸引力斥力7斥力f斥力斥力f 电磁铁吸引力吸引力吸引力吸引力吸引力 吸 超导斥力吸引力斥丸f斥力f斥力斥力f 引电磁铁吸引力吸引力吸引力吸引力吸引力 方 从表1 1 中可以看出，除了利用普通导磁体作为悬浮一方的几种方法只能实 现吸引力悬浮外，其余方法都是既可以实现吸引力悬浮也可以实现斥力悬浮的。 斥力悬浮系统可以自稳定，而吸引力悬浮则需要加入主动控制。大家熟知的磁悬 浮列车上主要采用超导磁铁和金属导体之间的斥力悬浮，以及常导电磁铁与导磁 体之间的吸引力悬浮这两种方法，所以通常所说的常导吸引力悬浮或超导斥力悬 上海大学硕士论文 浮是指的这两种。 根据悬浮原理来分类，实际应用中最常见的有以下四种：。1 a ) 永久磁铁悬浮 无论采用斥力还是吸引力方式实现悬浮，永磁体在使用中都是不消耗能 源的，因此在节能要求较高的场合下有其特殊的优势。其缺点是产生的 磁场难以控制，因此不能单独应用在吸引力方式下，往往需要与常导电 磁铁组合使用，以求最大程度地节省能源消耗。 b ) 超导电磁铁悬浮 超导悬浮是在空心超导线圈中通以强电流，产生强磁场实现悬浮。利用 斥力悬浮的方法一般称为电动悬浮( e l e c t r i c a ld y n a m i cs u s p e n s i o n ， e d s ) ，超导磁悬浮列车采用的就是这个原理。随着低温技术的发展和高 温超导材料性能的提高，超导磁悬浮是极具发展潜力的方式。 e ) 高频感应电涡流悬浮 高频感应电流产生的高频交变磁场可以在金属中感应出电涡流，涡流产 生的磁场和原来磁场方向相反，可以实现斥力悬浮。由于悬浮力取决于 感应电流的大小，而且一般采用常导线圈，能耗较大，应用面比较狭窄。 d ) 可控直流常导电磁铁悬浮 常导磁悬浮是利用通以直流电流的常导线圈所产生的磁场，对铁磁材料 产生吸引力来实现悬浮的。由于这种方式的系统本质上是不稳定的，因 此需要闭环控制，通过调节线圈电流的大小来控制吸引力的大小，以实 现被悬浮体的稳定悬浮。为提高磁感应强度，通常将线圈绕在铁磁材料 的芯子上作为电磁铁。电磁悬浮( e l e c t r i c a lg a g n e t i cs u s p e n s i o n ，e m s ) 的主要特点是需要引入主动控制系统以维持稳定悬浮。 上海大学硕士论文 1 2 2 磁悬浮技术的特点 磁悬浮技术作为一项跨时代意义的新兴技术，具有以下突出的优点： a ) 没有接触，由此可以带来无摩擦阻力，无机械磨损，无污染，低能量损 耗，低噪声等很有应用价直的优点。 b ) 由于不需要支撑介质，所以可在真空、腐蚀性介质和高温、低温等各种 特殊条件下，甚至生物体中长期使用。 c ) 完全无机械摩擦，功耗小，噪声低，效率高，不需要润滑和密封，维护 费用低。 d ) 可以实现主动控制，也易于实现计算机控制，自动化程度高。 1 3磁悬浮技术的实际应用 磁悬浮技术的实际应用领域极为广泛。磁悬浮列车由于具有速度快，噪音低， 污染小，安全舒适等系列优点，成为具有划时代意义的新型交通运输方式。位 于上海浦东的世界首条磁悬浮列车商业运营线已于2 0 0 3 年元旦投入试运营。磁 浮轴承的出现是支承技术的变革，它能实现无机械摩擦、无接触磨损和无需润滑 地支承转子，因而具有定位精度高，适应的转速范围广，对环境无污染等优良特 性，被广泛应用于航空航天、真空技术、精密加工机床和医疗仪器等领域。而磁 浮球主要应用于展览和工艺品摆设，具有很高的观赏价值。大的悬浮球的直径可 达一、二米长，可作为展览馆和科技馆的展品如磁悬浮地球仪。 磁悬浮技术还应用于磁悬浮搬运、磁悬浮熔炼、磁悬浮防振、磁悬浮天平等 方面，可见磁悬浮技术的应用前景十分广阔。 6 上海大学硕士论文 1 4 磁浮球系统的性能要求和面临的主要难题 电磁悬浮方式由于其本质的不稳定性，需要主动控制。本文主要是研究电磁 悬浮方式的磁浮球系统，对于这样的电磁悬浮系统来说，主要有以下几个方面的 控制性能要求： a ) 稳定性：无论采用什么样的控制方式，首先要保证的是使原来本质不稳定的 电磁悬浮系统变成稳定悬浮系统。 b ) 精确性：理想状态应该没有静差。如果稳态误差过大，则会因为接触或漂离 造成悬浮失败。 c ) 快速性：主要是指响应时间。方面给定量变化时，悬浮位置跟踪变化的响 应时间要短；另方面当受到外力扰动时，悬浮气隙从偏移量恢复到稳态的 时间要短。 上海科技馆的磁悬浮地球仪直径为2 米，是目前国内最大的磁悬浮地球仪， 但是其抗干扰性能并不理想，不能保证长时间稳定的正常运转。可见磁浮球系统 中仍存在许多难度较大的实际问题，需要深入的分析研究和进一步的探索。 磁浮球系统目前面临的主要技术难题归纳如下： a ) 难以可靠地控制悬浮体的受力平衡 悬浮体所处的悬浮气隙是不均匀的，因此电磁铁所产生的磁场分布相当复 杂。若只是简单地进行磁路计算，得到的磁场吸引力的数值也是不精确的，也就 意昧着很难可靠地控制悬浮体的受力平衡，因此有必要全面分析和计算磁场的分 布情况。但到目前为止，针对磁浮球系统磁场分布的详细分析和计算的文献资料 很少。 b ) 悬浮体结构及其参数不合理 目前在磁浮球系统的实现过程中对于悬浮体结构及其参数的选择比较随意。 没有在磁场分析的基础上对结构参数进行科学的设计，对系统的性能造成不利影 响。由于只在垂直方向上控制悬浮体的自由度，悬浮体很容易发生侧翻或漂移偏 7 上海大学硕士论文 离平衡位置。而悬浮体结构的合理设计可以在一定程度上改善系统的不稳定性。 c ) 抗干扰能力差 外界环境变化复杂，对控制系统造成的干扰很大。各种偶然事件也都会对控 制系统造成影响，甚至导致悬浮失败。如何提高控制系统的抗干扰能力是进一步 拓展磁浮球系统应用领域的关键问题。 d ) 控制系统的快速响应性能不够理想 控制系统必须实时跟踪悬浮对象的位置变化，由此来及时调整电流大小即调 节磁场力的大小，而这个过程的处理时间必须很短，延时稍长就会造成悬浮失败。 这对控制系统的设计和元器件的选择提出了很高的要求。 1 5课题研究的意义和本论文主要内容 1 5 1课题研究的意义 上海是中国乃至世界经济发展最快的城市之一，上海申办2 0 1 0 年世博会的 成功使得会展业成为助推上海经济发展的新亮点。而磁浮球的主要应用产品磁悬 浮地球仪作为高科技智能型展品，充分体现了科技性、趣味性与时代感，具有很 高的观赏价值，是会展业中极具潜力的发展项目。目前全国各地有许多展览馆和 科技馆都有意向引进该项目，还有一些大型百货商店也想把其作为橱窗展示来吸 引顾客。 但是目前磁浮球系统在技术上仍然不够成熟，存在着不少问题。比如难以可 靠地控制悬浮体的受力平衡，悬浮体的结构及其参数不够合理，抗干扰能力较差 等等。而这些问题的研究对于其他不稳定系统的控制也很有参考价值和借鉴价 值。由此可见，本课题具有较高的理论研究意义和实用意义，一旦解决了这些技 术难题，还可进一步拓展磁浮球控制系统的其他应用领域，如大型广告演示和舞 台布景等。应用前景是相当广阔的。 上海大学硕士论文 1 5 2 本论文的主要内容 磁浮球系统的研究内容非常广泛，涉及包括电磁学，自动控制，检测技术在 内的诸多学科。本课题研究的工作将主要着重在两个方面：基于磁场有限元分析 的悬浮体结构参数设计以及主动控制器的设计及其基于m a t l a b 的仿真。 本文在结构上分为六章。除本章介绍磁悬浮技术的发展概况、分类、特点、 实际应用和面临的主要难题之外，第二章将从理论分析入手，对磁浮球系统的磁 场进行有限元分析。第三章则在第二章的基础上通过从悬浮体结构参数设计的角 度出发，利用二维磁场有限元软件进行了计算，并给出了比较和分析。第四章在 建立系统模型的基础上分析系统的特性，探讨了几种控制器方案的选择。第五章 给出了p d 控制器两种形式的设计，利用m a t l a b 进行了仿真实验，并对结果进行 了分析和比较。第六章则介绍了实验装置的情况。 最后一章( 第七章) 是对以上各章的总结，概括了研究的主要结果和得到的 结论，并在此基础上提出了对今后工作的展望。 上海大学硕士论文 第二章磁浮球系统磁场的有限元分析 2 1引言 目前磁浮球系统在技术上存在的一个突出问题是难以可靠地控制悬浮体的 受力平衡，悬浮体所受的磁场力计算不够精确是造成这个问题的重要原因之一。 在以往的许多文献资料里，为了简化计算，大多忽略存在的漏磁、铁芯回路的磁 损及铁磁材料b h 曲线的非线性等因素的影响，采用磁路计算，因而得到的磁 场吸引力的数值比较粗略。这就意味着很难可靠地控制悬浮体的受力平衡，因此 有必要进行精确的磁场分析。 有限元法自从在加速器磁极和直流电机磁场等电磁计算中被采用以来，至今 在电气工程中的诸多方面都得到了广泛的应用，同样也适用于磁浮球系统。磁浮 球系统磁场由于具有轴对称性，通过转换化简后情况与二维磁场类似，因此本文 利用二维磁场有限元软件对其进行计算和分析。 2 2 有限元法原理 1 1 基于迦辽金或变分原理的有限元法( f e m ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ) ，最早 产生于力学计算中，自从在加速器磁极和直流电机磁场等电磁计算中被采用开 始，至今在电气工程中的每一个方面都得到了广泛的应用，也是当今电气工程中 研究的一个主要热点。 电磁场的分布规律可以表示成边值问题，即用偏微分方程和定解条件描述电 磁场。电磁分布边值问题的数值计算方法包括有限差分法、有限元法、积分方程 法和边界元法等四种基本类型，以及有限元法和边界元法相结合的所谓混合法。 其中，有限元法占有绝对主要的地位，具有较大的应用范围。 利用有限元计算电磁场问题需将偏微分方程转化成代数方程组，然后结合边 上海大学硕士论文 界条件求解。具体来说，有限元法是将偏微分方程表征的连续函数所在的封闭场 域划分成有限个小区域，这些小区域通常称为“单元”或“有限元”。每一个小 区域用一个选定的近似函数来代替，于是整个场域的函数将被离散化，由此获得 一组近似的代数方程，并联立求解，以获得该场域中函数的近似数值。 通常对于二维问题的处理，这些小区域为三角形。由于三角形具有较大的自 由度进行拼接，所以场域的划分比较方便，特别是对于不规则的边界形状的处理 也很方便。此外，它还能适用于场域内函数变化剧烈程度差别较大的情况，特别 适用于场域内介质种类较多、交界形状复杂的情况，交界条件自动满足。在每个 小区域上所采用的近似函数通常为线性函数。 有限元法最主要的特点是根据该方法编制的软件对于各种各样的电磁计算 问题具有较强的适应性。它能方便地处理非线性介质特性，如铁磁饱和特性等。 它所形成的代数方程具有系数矩阵对称正定、稀疏等特点，所以求解容易、收敛 性好、占用计算机内存量也较少。 有限元法软件通过前处理过程能自动剖分网格，它将磁浮球系统磁场的几何 结构以节点和单元的形式表示，将材料特性用数据表格表示，将对应激励的单元 给予电流，能方便地处理非线性介质特性。 对于磁浮球系统来说，求出解函数之后可以得到其他的物理参数，通过有限 元的后处理计算磁感应强度、磁场力和线圈电感，画出磁力线分布图等。 2 - 3磁浮球系统磁场的有限元分析旧 2 3 1磁场的求解区域 在我们的设计中，磁浮球系统中的电磁铁采用圆柱形。因此任何一个通过圆 柱中心轴的平面上，磁场都是相同的，即磁浮球的磁场具有轴对称性。应用圆柱 坐标系令对称轴和z 轴重合，则磁场平行于z r 平面，b = b ：e ：+ b ，e ，电流密 上海大学硕士论文 度j 和矢量磁位a 垂直于z r 平面，即沿0 轴，j = j o p 日，a = a o e 。因为b 只有 2 个分量，j 和a 只有一个分量，故情况与二维磁场相仿，可以利用二维磁场有 限元软件来进行计算。 由于磁浮球系统的磁场具有轴对称性，因此可以选取通过对称轴的平面的一 半作为求解区域。但是磁浮球系统的磁场是开域，无法直接运用有限元建模和求 解。因此本文提出人为设定一个远离电磁铁的虚拟边界，而该边界上的磁场已经 很小，对内部磁场的影响可以忽略不计。图2 1 所示为电磁铁z r 平面上的场域， 即磁浮球系统磁场的求解区域。 虚 拟 边 界 2 3 2 场域剖分 巾心轴 图2 1 电磁铁场域 前面曾经提到过通常对于二维磁场问题的处理，把场域划分成三角形。因此 把磁浮球系统磁场的场域做三角形单元剖分，三角形形状任意，但要尽量避免钝 角三角形，在预计磁场较强且磁场变化较大的地方应该做密集剖分，三角形从密 到疏要逐步过渡，三角形的边应该与边界线和媒质分界线重合。 在剖分时要记录生成的节点和三角形单元的信息。对节点，按节点编号顺序 记录节点的x ，y 坐标。对三角形单元，按单元编号顺序记录三角形的三个节点 圭塑奎兰堡主造壅 的节点编号i ，j ，m ( i ，j ，m 逆时针绕行三角形) 。 图2 2 磁场求解区域剖分图示例 2 3 3 磁位插值函数 单兀内任一点的磁位都可以用单元三个顶点的磁位和单元的形状函数来表 示，从而整个求解区域内的磁位就可以用每个三角形的顶点磁位所构造的线性插 值函数表达出来。 在三角形单元中，规定磁位a ( 即矢量磁位a ：) 在三个节点的磁位a 。，a j ， a 。之间按x ，y 坐标线性插值，由此得到三角形单元的磁位插值函数 4 = n ，a + n j a + n 。a 。 式中，n t ，n 。，n 。是形状函数，是x ，y 的线性函数，仅与三角形三个顶点的 坐标以及场点( x ，y ) 的位置有关，而与节点的磁位值无关。 ”警 f oj + b j x + c i y 2 工专产 ”垡篆型 上海大学硕士论文 式中，是三角形的面积。 ：堡二生 2 a i2 x y m x m y i ，d i2x m y 。一x | y m ，a 。2x 。y i x i y b ，= y 一y 。，b ，= y 。一y i , b 。= y ，一y j c f = x 一工c j = x j x ，c = x j x l 2 3 4 磁场的基本方程和边界条件 在圆柱坐标系下，由 v 日= v ( 旦) = v x ( v v 爿) = j 导出电磁场微分方程为 昙( 。誓) + 昙拦掣卜山 o zo zo rro r 4 7 a o = r a 口，v = 二，x = z ，y = r ， 微分方程转化成： 昙( v t 掣) + 昙 。掣】= - j 。 d xo x卯卯 此方程与二维磁场的方程具有相同的形式，故有限元导出的计算公式也基本 上相同。 仅有一点不同，就是在矩阵 k 和雅可宾矩阵 j 元素的计算中，由于 v ：兰：兰，与二维磁场相比，分母中多了一个y o r y y 的计算如下： 当三角形单元落在对称轴上的节点数不超过l 时，由数值计算方法导出 圭塑查堂堡主笙塞 _ y 2 丁1 广 一十一+ y i + y m y m y 。y i + y j 当三角形单元落在对称轴上的节点数超过l 时，使用以上公式会发生溢出。 根据经验，取 y ：苎丝丛 1 5 磁浮球磁场的整个边界可看成与磁力线重合，如将该磁力线的矢量磁位取作 参考矢量磁位，可取第一类齐次边界条件a 。= o 。 2 3 5迦辽金法 设场域为2 ，边界线为s 。用a 简记a a ，用j 简记山。s 具有第一类边界 条件a = o 。 轴对称磁场方程为：v ( v v a ) ：一j 取任意函数f ，做内积： f v ( v w ) 坶= 一册 利用矢量运算公式 v 厂( v v 爿) 】= ( y v 彳) + v f ( v v a ) 以及高斯定理 v 厂( v v 一) 】= i 声筹出 由于在s 上a 值为已知，从后述的强加边界条件处理可以知道，阶o f f _ a d s 这 “ o n 项不起作用，可以令它为零。则l v 【( v v 一) = 0 得到一f j d q + v ( v w ) 地= 0 或 v ( v v a ) d n 一m = 0 上式称为微分方程的弱形式。 上海大学硕士论文 2 3 6 离散化处理 场域作三角形单元剖分后，微分方程的弱形式成为 v ( v v a ) d f 2 一l f j d f 2 = 0 式中，e 为某一三角形单元面域。 三角形单元的磁位插值函数为 a = n l a i + n i a i + n m a 单元边( 假设其两节点为j 和m ) 的插值函数为 4 = o + 导厶s 。 j 式中，s 。为插值点到节点j 的距离，s 。为插值点到节点m 的距离，s 为j m 边长。 因为函数f 具有任意性，故设f 为具有同样形状函数的插值函数。 在三角形单元中 厂= ，厂+ ，一+ 。厶 在单元边上 = 麓” 。s 。 s 将以上插值函数代入微分方程的弱形式，就是离散化处理。 离散化处理分成单元分析和总体合成两个步骤。 单元分析： 微分方程弱形式的单元e 的部分为 v v v a ) d a 一 f j d n 日 把a 和f 的插值函数代入上式，整理后得到： k 。k 。k l m k i k 口k | 。 k klk m m制一 其中矩阵 k 。 的元素计算如下： 。i v ( 警警+ 警警m = 盟宏型( 删_ 砌砒m ， 1 6 只乃 上海大学硕士论文 胪驴p 。= i j - n , d n = 譬 川也薯俐姗。 由于_ ， 的独立性， ， 的系数必然为0 ，故有 k l n p 州州二： 这是一个n 阶线性代数方程组，也可写成：；。k 。a j = 只( f = 1 ，n ) 或 k a 一 p 由此便得n t 第一类齐次边界条件下轴对称磁场的有限元方程。 2 3 7强加边界条件处理 在边界s 上，a 为已知值，不需要求解，所以2 3 6 节中的线性方程组 尚需要修改。第一类边界条件也称为强加边界条件。 设边界s 上某节点编号为。，a ，。为已知，将线性代数方程组左端中的已知项 移到右端，得到k 口a j = p - k 。a 。( f - 1 ，h ，i j o ) j = i ，“ 为了保持矩阵和向量结构的完整性，补充一个方程：a ，= d 扣( f = j o ) h 一七 上海大学硕士论文 其对应的矩阵和向量的修改就是： 在 p ) 中，在，。行，p 。改为a ，。；在其他行，p ，改为p 。一k o o a 扣。 在 k 中，对角线元素。改为1 ；j o 行和，。列的其他元素改为0 。 当a j o ：o 时，上述修改简化成： n k p a ，= p 。 ( f _ 1 ，n ，i j o )a ，= 0( f = j o ) j - 1 j a 3 0 其对应的矩阵和向量的修改就是 在 p 中，在 行，p 。改为0 ；在其他行，p 。不改。 在 k 中，对角线元素。改为1 ；九行和j 。列的其他元素改为0 。 在边界s 上有多个节点时，各节点依次处理。 最后解算所得线性代数方程组，得到各节点的a 值。 2 3 8矩阵的非零元素存储法 矩阵 k 具有对称性，可只存储其一个三角阵，设存储下三角阵。矩阵 k 又具有稀疏性，即具有大量零元素，可考虑不存储它们。 全部零元素不存储或者部分零元素不存储，取决于线性代数方程的解法。采 用直接法时，带宽( 某行的首个非零元素到对角线元素之间的元素集合) 外的零 元素可以不存储，称为带宽存储法；采用迭代法时，全部非零元素可以不存储 称为非零元素存储法。采用非零元素存储法时，所有非零元素一维压缩存储。为 了索引非零元素的原始地址，设立两个一维数组i d 和i c 。i d 的序号对应为主对 角线元素的原始地址( 即所在行号) ，i d 的内容为主对角线元素在一维压缩存储 中的地址。i c 的序号为非主对角线在一维压缩存储中的地址，i c 的内容为非主 对角线元素的原始地址( 即所在行号) 。 上海大学硕士论文 2 3 9非线性问题及其求解方法 在磁浮球系统中，由于铁磁材料的磁饱和效应，兵磁导翠! - t 个是常数，而 是磁感应强度b 的函数。因此磁阻率v 也不是常数。这时有限元法得到的是非线 性方程组，它的求解就是非线性问题。 最简单的解法是简单迭代法，它虽然简单，但是收敛性差。 现在公认的收敛性很好的叠代法是牛顿一拉斐森法。 令 f ) = e k a ) = p ) 在初始值( 0 次迭代) 作泰勒级数展开，在一次项后截断，得 ，) 蚺阱刊 c 晰射黼， 将上式作为线性代数方程组，可得1 次迭代解，即 嘲m m 令雅可宾矩阵、解向量差及剩余向量分别为 川= 陶 1 = 扣1 一爿0 = 扫卜扩0 得到p 。】 4 1 ) = p 。) 对于第k 次迭代，有线性方程组：p “ ) = p “ 求解后代入下式可以得到第k 次迭代解：臼。 = 扣“ + 解的精度由p ) 的如下三种范数之一控制，一般采用第一种。 s = 2 ；s = 川；占= m 叫1 1 9 上海大学硕士论文 舸宾矩阵元素善的算法如下： 事先制作v b 曲线或v - b 2 曲线。按磁场值b 或b 2 可由曲线求取老或嘉。然 后利用下式计算。 薏吨+ 丽f , l 面a v 或巧o f , 咄十五丽f , l 面 2 3 1 0 磁场后续计算 1 ) 磁感应强度b 场域中，某一点的磁感应强度b 的计算如下： 吼：! 掣： ，卯 b ，：一一i _ o a ro z 1 c i a i 七c j a 3 七c m a m y 2 x 1 b i a i + b j a j 4 - b m a m 一-一 j ， 2 式中，a i ，a j ，a 为网格三节点的解函数，b i b j ，b m ，c i ，c j ，c m 为网格常数 为网格面积。 2 ) 磁通m 场域中，任意两点( 点1 和点2 ) 之间的磁通的计算。 不失一般性，设两点均处于z 轴的平行线上，点l 的坐标为z ，点2 的坐标 为zz ，穿过曲点之间的磁通 中= f 2 2 n r b ，d r = 一f ：2 相= 2 砌一a 2 ) 3 ) 磁链v 和电感l 设线圈匝数为n ，每匝电流为i ，线圈截面积为s ，线圈区域网格编号e 从 e 到e ：，则线圈的磁链为 y = - 5 舾砌扣一丌警灿勘等萎丝等坐 2 0 上海大学硕士论文 线圈的电感为 三：旦 4 ) 法向电磁吸力f n 悬浮铁板的正面( 面对吸铁的一面) 和背面( 面背吸铁的一面) 均受到电磁 吸力，分别为f 。和f ：，合成吸力f = f 。一f 。 在悬浮铁板某一半径r 处，d r 圆环上的吸力 卵= d e , 一幔= c 筹一甜b n 2 2 ：耐 式中，b 。和b z 分别是正面和反面法向磁感应强度，b i = b ：，b 。：一b ：。 设悬浮铁板的半径为r ，总的吸力为： ，2 云n 2 吨：2 渺 将悬浮铁板沿径向离散成n 等分，则 ，= 善nf = 云熹喜c b n l l 2 氐2 ，一 上海大学硕士论文 第三章悬浮体结构参数设计 作为悬浮球体主体的圆形钢板结构参数( 即直径、厚度和形状等) 的合理设 计，不但可以得到较高的性价比，还可以从悬浮体结构设计的角度出发在一定程 度上改善系统的不稳定性。 众多资料在分析电磁悬浮系统的参数时大多采用线性化模型，并忽略了非线 性因素的影响。而采用基于有限元的悬浮体结构参数优化设计能将非线性因素加 以考虑，从而使问题的分析更全面，更精确。 在前章对磁浮球系统磁场有限元分析的基础上，主要从以下几个方面进行了 计算和分析：悬浮气隙一定时，悬浮体的直径、厚度、重量和吸引电流之间的关 系，以及悬浮体重量一定时，悬浮气隙、电感和吸引电流之间的关系。 3 1针对悬浮体直径的比较计算 本文作者选择2 0 0 r n m ，1 3 7 m m ，6 0 r a m 代表大，中，小直径；自d - r 了三块圆形钢 板，选择6 ，7 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 5 ，1 7 ，1 9 ，2 1 ，2 3 ，2 5 ，2 7 ( m m ) 1 2 个工作气隙来进行实验、计算和 比较分析。 由于上部的电磁铁采用了圆柱型设计，因此选定电磁铁的端面外径( 2 0 0 r a m ) 作为悬浮钢板最大的直径，即此时电磁铁和悬浮体之间的气隙是完全均匀的。三 块钢板的厚度均为5 m m 。比较的实验和计算结果见表3 1 。 上海大学硕士论文 表3 1 不同直径钢板的计算和实验电流及误差在1 2 个工作气隙下的比较 锈板直径( m m ) 气隙( n m a ) 2 0 01 3 76 0 计算电流( a ) 0 6 1 20 7 41 9 2 6 实验电流( a ) 0 5 50 61 2 5 误差( ) 1 0 1 31 8 9 1 93 4 8 9 6 计算电流( a ) 0 6 9 60 8 22 ，0 9 7 实验电流( a ) 0 6 2 5o 6 51 5 误差( ) 1 0 2 0 12 0 7 3 22 8 2 3 计算电流( a ) 0 8 6 60 9 72 2 1 9 实验电流( a ) 0 80 8 51 6 误差( ) 7 6 2 11 2 3 7 12 7 6 0 2 计算电流( a ) 1 0 3 51 1 32 3 8 1 1 实验电流( a ) 111 8 5 误差( ) 3 3 8 21 1 5 0 42 2 2 6 9 计算电流( a ) 1 2 21 2 22 5 9 1 3 实验电流( a ) 1 11 12 误差( ) 9 8 3 69 8 3 62 2 7 8 计算电流( a ) 1 3 81 4 22 9 9 1 5 实验电流( a ) 1 2 51 22 2 5 误差( ) 9 4 21 5 4 9 32 4 7 4 9 计算电流( a ) 1 5 4 51 5 73 1 9 1 7 实验电流( a ) 1 4 51 _ 3 52 7 误差( ) 6 1 4 91 4 0 1 31 5 3 6 1 上海大学硕士论文 计算电流( a ) 1 7 3 51 7 33 4 7 1 9 实验电流( a ) 1 6 51 5 53 误差( ) 4 ，8 9 91 0 。4 0 51 3 5 4 5 计算电流( a ) 1 9 21 8 93 7 9 2 1 实验电流( a ) 1 81 7 53 ，4 5 误差( ) 6 ，2 57 4 0 78 9 7 1 计算电流( a ) 2 1 l2 0 64 0 2 2 3 实验电流( a ) 21 83 8 5 误差( ) 5 2 1 31 2 6 2 14 2 2 9 计算电流( a ) 2 3 12 2 54 3 2 2 5 实验电流( a ) 2 2 52 d 误差( ) 2 5 9 7“1 1 17 4 0 7 计算电流( a ) 2 5 52 4 34 6 6 2 7 实验电流( a ) 2 42 24 1 5 误差( 呦 5 8 8 29 ，4 6 51 0 9 4 4 表3 1 的结果表明： ( 1 ) 直径越小，需要的吸引电流反而越大。 在进行计算和实验之前，根据常识推断直径越大，钢板的重量越重，需要 的吸引电流当然也就越大。但是计算和实验的结果正好和预计的相反。对图3 1 所示磁力线分布图进行的分析，很好地解释了产生这样结果的原因。 上海大学硕士论文 ( a ) 钢板直径2 0 0 r a m ( b ) 钢板直径1 3 7 r a m 上海大学硕士论文 ( c ) 钢板直径6 0 m m 图3 1 悬浮工作气隙( 2 1 m m ) 磁力线分布图 钢板的直径越小，重量越轻，但是磁场中的磁漏也就越大。从图3 1 ( c ) 中可 以十分清楚地看到大部分磁力线都没有通过钢板，而只有- - + 部分磁力线通过钢 板，并产生力的作用，因此需要的吸引电流反而增加了。 ( 2 ) 直径越小，计算电流和实验电流之间的误差越大。 在实验中发现钢板的直径越小，越难以和上方的电磁铁进行准确的对心，通 上电流之后，钢板常常吸附在电磁铁的某一边，严重影响了实验测量数据的准确 性。而计算数据是按照钢板和电磁铁严格对心的前提条件得出的。 从以上对于结果的分析可以得出钢板的直径越小，电磁铁的无用消耗越大， 实验测量的难度越高；而选择钢扳的直径和圆柱型电磁铁的直径相同，可以大大 减少磁场的磁漏，实验测量的准确性也较高，因此是一个比较理想的方案。因此 本文以下的实验和计算都选择了直径为2 0 0 r a m 的钢板。 上海大学硕士论文 3 2 针对悬浮体厚度的比较计算 本文作者分别选择l m m ，2i n t o ，3m r n ，4i i l l n ，5m m ，6m i n ，7m r n ，8m m ，9m l t l ，1 0 m n l 十个厚度直径均为2 0 0 r a m 的钢板利用有限元磁场计算软件计算了吸引电流， 结果如表3 2 所示。 表3 2 不同厚度的直径2 0 0 r a m 钢板在气隙2 3 m m 下磁场计算电流的比较 钢板厚度钢板质量质量增长值磁场计算电流电流增长值 ( i t l l n )( k 蓟( 1 c 曲( a )( a ) 10 2 4 50 9 7 8 2o 4 90 2 4 51 3 2 50 3 4 7 30 7 3 50 2 4 51 6 4 6o 3 2 l 4o 9 80 2 4 51 8 90 2 4 4 51 2 2 50 2 4 52 1 1o 2 2 61 4 70 2 4 52 3 10 2 71 7 1 50 2 4 52 4 8 5o 1 7 5 81 9 60 2 4 52 6 5o 1 6 5 92 2 0 50 2 4 52 8 1o 1 6 l o2 4 50 2 4 52 9 5o 1 4 表3 2 中的计算结果说明在悬浮工作气隙和钢板直径不变的前提条件下，钢 板的厚度等额增加( 即钢板的质量等额增加) ，吸引电流随之增加，但是相邻厚 度之间的吸引电流增长值却是随之逐渐减小的。因