（电机与电器专业论文）稀土永磁往复式直线发电机基础研究.pdf

竺尘堡要：查兰：2 ：竺兰兰 b a s i cr e s e a r c ho nt h el i n e a rr a r e - e a r t hp e r m a n e n t m a g n e to s c i l l a t i n gg e n e r a t o r a b s t r a c t t h el i n e a rp e r m a n e n tm a g n e to s c i l l a t i n gg e n e r a t o rr e s e a r c h e di nt h i sp a p e r i sas p e c i a ll i n e a rm a c h i n e f o rt h el i n e a rg e n e r a t o rh a sc h a r a c t e r so fs i m p l e s t r u c t u r e ，h i g hm e c h a n i c a lr e l i a b i l i t y ，h i g hc o n t r o la c c u r a c ya n da b i l i t yo f g e n e r a t i n gp o w e rd i r e c t l yb yl i n e a rm o v e m e n t ，t h e r e a r ew i d e p o t e n t i a l a p p l i c a t i o n si nm a n yo c c a s i o n s t h el i n e a rg e n e r a t o rw i l le x e r ti t so w nf u n c t i o n a n dr e p l a c er e v o l v i n gg e n e r a t o ri nl i n e a rm o v e m e n ta r e a b a s e do nt h et e s ts a m p l e ，t h er e s e a r c hc o n t e n ti nt h i sp a p e ri n c l u d e s ： 1 a ne l e c t r i cm a c h i n ew i t hn e ws t m c t a r ea n dn e wp r i n c i p l ei si n t r o d u c e d a n do n eb l a n ki nl i n e a rm a c h i n ea r e ao fo u rc o u n t r yi sf i l l e d i ti saf l a te l e c t r i c m a c h i n ew i t ht w os i d e s ；t h em o v e ri sm a d eo fn e o d y m i u mi r o nb o r o nr a r e e a r t h m a t e r i a l ，w h i c hm a k e st h em a c h i n ew i t hl e s sv o l u m ea n dh i g h e rp o w e r ，a n dc a n b e u s e di no c c a s i o nw i t hh i g h e rt e m p e r a t u r e t h es t r u c t u r ea n do p e r a t i n g p r i n c i p l eo ft h ee l e c t r i cm a c h i n ea r ei n t r o d u c e di nd e t a i l 2 t h em a g n e tf i e l do ft h ee l e c t r i cm a c h i n ei sa n a l y z e db yn e wm e t h o d c o m m o ne l e c t r o m a g n e ta n a l y s i ss t a r tw i t hm a g n e tc i r c u i t ，m a n yp r e s u m p t i o n s a r ea d v a n c e da n dal o to fd e t a i l sa r en e g l e c t e dm a k et h ec a l c u l a t i o nw i t hq u i t e b i ge r r o r t h em a g n e tf i e l do fe l e c t r i c m a c h i n ei sa n a l y z e db yf i n i t ee l e m e n t m e t h o di nt h i sp a p e r , t h er e s u l to fw h i c hi sm o r ea c c u r a t ea n dc l o s e rt op r a c t i c e 3 e l e c t r o m a g n e tf i n i t ee l e m e n tp r o g r a mi sc o m p i l e du s i n gl a r g es c a l ef e m s o f t w a r e t h em a g n e tf i e l dd i s t r i b u t i o n sa r ec a l c u l a t e dw h e nt h em o v e ri sa t d i f f e r e n tp o s i t i o n s ：i n c l u d i n gt h em a g n e tf i e l dw h e nt h em o v e ri sa tq u a d r a t u r e a x i sa n dd i r e c ta x i s t h er e s u l t sa r ed i r e c t l ys h o w e da sp i c t u r e s ，w h i c hs e t t l et h e t h e o r ya n dp r a c t i c ef o u n d a t i o nt of i n do u tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nn o 1 0 a de m f , e l e c t r o m a g n e t i cf o r c ea n dc u r r e n t ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc u r r e n ta n dm a g n e t f i e l da n dc o n f i r mt h es t r u c t u r ed e s i g no ft h ee l e c t r i cm a c h i n e t h ep r o g r a mi s n 、l，；j 竺玺堡翼：查耋：竺：竺兰圣 u n i v e r s a la n dc a r lb ea p p l i e di ne l e c t r o m a g n e t i cf i e l da n a l y s i su n d e rr e c t a n g u l a r , p o l a ra n dc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e 4 b a s e do nt h ev e r s a t i l i t yo ft h ep r o g r a ma c c e s s o r i e so ft h ef e ms o f t w a r e ， d i f f e r e n tm o d e l sa r eo b t a i n e db yc h a n g i n gt h ep e r m a n e n tm a g n e td i m e n s i o no f t h es a m p l e sm o v e ln o 1 0 a de m fa n dl o a de l e c t r o m a g n e t i cf o r c ec u r v eu n d e r d i f f e r e n ts i t u a t i o n sa r eo b t a i n e db ya n a l y s i sa n dc a l c u l a t i o no fd i f f e r e n tm o d e l s t h a ts u p p l i e sr e l i a b l et h e o r yb a s i sf o rd e s i g na n di m p r o v e m e n to ft h es a m p l ei n f u t u r e b yt h e a n a l v s i sa n dr e s e a r c ha b o v e 。t h en o l o a dc h a r a c t e ra n dl o a d p e r f o r m a n c eo ft h ee l e c t r i cm a c h i n ea r ew e l lk n o w n ；t h ef e a s i b i l i t ya n dv a l i d i t y o ft h el i n e a rp e r m a n e n tm a g n e to s c i l l a t i n gg e n e r a t o ra r ep r o v e d k e yw o r d sl i n e a rp e r m a n e n tm a g n e to s c i l l a t i n gg e n e r a t o r ；f e m ；n o - l o a de m f ； e l e c t r o m a g n e t i cf o r c e 1 1 1 i 0 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文稀土永磁往复式直线发电机基 础研究，是本人毒导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表 或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 ，作者签名：磊埘乙 日期：口妒辟妙胄陟日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 稀土永磁往复式直线发电机基础研究系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士 学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大 学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理 工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和 电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密日。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者躲知次 导师签名： 饽俨 月 月 够 多 年 年 ， 缈 山 期 期 了 暑 哈尔演理t 大学t 学颂卜学伊论文 1 1 课题的意义 第1 章绪论 交流发电机是汽车的电源装置，保证起动机、车灯、空调及其他车载电气 装置的用电需求“o 随着人们对汽车的使用性能日益注重，特别是对汽车的舒 适性、安全性、燃油经济性以及环境保护等要求越来越高，汽车上的电子控制 装冒和用电设备相应增加，用电量也随着提高。发动机电喷系统和各种电动装 霄被大量采用，特别是后者的使用，便利车上小电机的装备数量大幅度上升， 有的高级豪华轿车上甚至安装了6 0 多个小电机。车上设备的增加，使得汽车发 电机所能拥有的空| 1 日】位置越来越小。体积小而输出功率大已成为汽车交流发电 机的一个重要发展趋势。 汽车发电机一般采用爪极式三相同步交流发电机，其工作时发出的三相交 流电经三相桥式整流电路转换为直流电，并通过电压调节器保持电压基本恒 定。在汽车上与蓄电池并联工作，给汽车上的用电器电源和善电池充电。本课 题改变了以往汽车发电机采用爪极式三相同步交流发电机的形式，设计并制造 了永磁往复式直线发电机。该样机与内燃机直接连接，省去了以往的中日j 传动 过程，提高了发电机的效率，节省了空间。 与活塞直接连接的内燃直线发电机是近年来正在研究的发电机种类，具有 结构简单、效率高和单位质量功率大等特点。本文所研究的永磁往复式直线 发电机就属于这种类型的特种电机。 该课题完成后，将有助于提高我国目前的电机设计水平，增强我国电机产 品的竞争力，为我国汽车行业的发展降低电机的制造成本、节省汽车空b j 等 等。总之，课题的成果将会给国内电机行业以及汽车行业带来非常可观的经济 效益和社会效益。 1 2 直线电机的概述 直线电机是一种利用动子的直线运动直接产生电能或者利用电能直接产生 直线运动的电器装置”1 ，改变了以往利用链条、钢丝绳、传送带、齿条丝杠和 涡轮螺杆等中间转换装置，克服了传统机构传动链条长、效率低、体积大、精 哈尔滨理t 大学t 学谚卜学伊论文 度差的缺陷。 早在1 8 4 0 年惠斯登( w h e a t s t o n e ) 就开始提出和制作了略具锥形但并不成功 的直线电机”1 ，从那时至今，已经有了1 6 0 多年的历史。国外直线电机从诞生到 现在已经经历了从探索试验、开发应用到商品使用的三个阶段。近年来直线电 机发展迅速，一些发达国家在研究开发直线电机产品方面取得了显著的成果， 德图的西门子公司，美国的西屋公司，还有英国同本的一些公司和研究机构就 是其中的代表。这些公司和研究机构投入的研究直线电机的人员之多，研究范 围之广，成果之多生产的直线电机质量品质之高部是世界首屈的。 我国直线电机的研究和应用发展起步较晚，在七十年代初从浙江大学首先 翻译的一本直线感应电动机译文集开始“1 ，到现在才不过三十多年的时 间。虽然如此，我国的直线电机研究仍然取得了很大的发展，一些产品已赶上 国际先进水平，还有的甚至足首创。目前研究直线电机的主要单位有：中科院 研究所、浙江大学、上海大学、西安交通大学、太原工业大学、焦作矿业学 院、山东工业大学、辽宁阜新矿院等许多学校。研究主要成果有：工厂行车、 电磁锤、冲压机、摩擦压力机、磁分选机、玻璃搅拌、拉伸机、送料机、粒子 加速器、邮政分拣机、矿山运输系统、计算机磁盘定位系统、自动绘图仪、直 线电机驱动遥控窗帘机、直线电机驱动门、炒茶机等。我国直线电机研究虽然 也取得了一些成绩，但与国外相比，其推广应用方面尚存很大差距。国内生产 直线电机及其系统产品的厂家很少，其中最大的足哈尔滨泰富科技实业有限责 任公司，该公司依托浙江大学的技术优势，并与中国电工学会直线电机号委会 以及英、美、r 等国紧密合作。从设计、生产制造到检测试验均已初具规模， 已具备了生产多品种规格的直线电机及其系统产品的能力，在国内己有较大影 响。 随着科学技术的飞速发展，在很多领域旋转电机已经无能为力或者勉强应 付。因此，在旋转电机无能为力的地方，直线电机的种类也就越柬越多。在众 多的直线电机中，永磁直线电机由于其自身的优点而备受人们关注。尤其足稀 土永磁材料的出现，使得永磁直线电机成为一种很有发展前途的新型微特电 机。 。 1 - 3 永磁直线电机在国内外的应用 由于稀土永磁具有高剩磁，高矫顽力，高磁能积和线性退磁曲线等优异的 磁性能，因此稀土永磁电机具有高效、质量轻、运行可靠等显著特点，是 哈尔演理下夫学t 学_ 赜卜学位论文 电机学科的重要发展方向。 稀土永磁钕铁硼永磁材料自问世以来，就以其优异的磁性能被越柬越多地 应用于各类电机中。近年来，国内外学者对钕铁硼永磁电机的研究开发做了大 量的工作，初步显示出钕铁硼电机良好的应用前景。我国稀土资源丰富，2 0 0 1 年钕铁硼永磁产量达8 0 0 0 n i 。但是钕铁硼永磁产量的2 3 用于出口，在国内销 售的i 3 中目前用于电机的比例很低，而高性能稀土永磁电机却随着计算机、 飞机、数控机床等产品大量进口。因此研究与开发有自主知识产权的高性能稀 土永磁电机对把我国资源优势转化为技术经济优势具有重要意义。由于直线电 机的应用范围不断扩大，稀土永磁钕铁硼永磁材料在直线电机方面的应用，也 有着广阔的前景。 稀土永磁直线电机不仅具有永磁电机的特点“”，且具有直线电机的性 能。作为永磁电机，它省却了激磁损耗，能提高电机的效率，降低电机的温 升。同时钕铁硼永磁具有强磁力和高矫顽力，有高的磁动势和气隙磁密，在减 小电机体积和重量的同时可增加电机的出力。作为直线电机，它省去中间传动 装置，使运行更加可靠，另外还具有结构简单、加工方便、适用于特殊场合等 特点。 近年来，直线电机作为工厂自动化机器和办公室自动化机器等驱动源在直 接高速传动方面的虚用也只益广泛，其中直线脉冲电机广泛应用于打印机、磁 盘驱动器、x y 绘图仪等。在直线脉冲电机中采用钕铁硼永磁材料代替铁氧体 永磁材料，利用钕铁硼永磁材料的高性能，可使直线电机体积更小，推力更 大，并使整个系统变得十分简单。稀土永磁在直流直线电机中也得到了应用， 稀土永磁无刷直流直线电动机广泛应用于航天飞行器中这种电动机不仅具有 直流电动机的优越性能，而且具有直线电机运行可靠的优点。 总之，稀土材料的开发推动了直线电机的发展，稀土永磁直线电机以其推 力大、效率高、重量轻、体积小，性能好、电机运行可靠、适应于特殊环境等 优点同益受到人们的重视，发展稀上永磁直线电机己成为电机发展的又一重要 方向。 1 4 永磁直线电机的主要特点 永磁直线电机兼有永磁电机和直线电机的双重优点。其主要特点有： i 稀土永磁直线电机更为耐用。直线电机在进行加速及减速时，具有很 大的加速度和减速度，而钕铁硼永磁材料性能稳定，抗压能达1 9 6 m p ，使电机 哈尔泞理t 大学t 学硕+ 1 学p 论文 更适于高速运行。 2 稀土永磁直线电机用永磁体代替电励磁，使直线电机结构更为简单， 电气控制更为简便。 3 钕铁硼永磁材料的去磁曲线为直线，可改善直线同步电机的性能，使 电机有较高的稳定工作点。 4 稀土永磁直线电机体积小、质量轻、损耗少、效率高、结构简单；还 有电机的形状和尺寸可以灵活多样等显著特点。 1 5 本文研究的主要内容 本文研究的是单相永磁往复式直线发电机。作为一种新型的电气装置，在 研究与设计直线发电机时，应将整个系统综合考虑来确定某些设计参数。例 如，永磁直线发电机的电动势与其动子永磁体的运动速度有关，而速度与加速 度和力有关。运动部件的加速度取决于它的质量，它的质量是系统的关键参 数。在常电负荷下，运动部件的加速度很大，因此在设计时需要特别予以关 注，可能会引起高应力、疲劳等问题。除了技术上的限制外，经济上也会对性 能和设计产生约束，例如高效率、高功率质量比和低成本等。所有这些因素都 会对直线发电机的方案选择及设计产生影响。 永磁往复式直线发电机用永磁体提供磁场，不需要直流供电的磁场线圈， 使电机结构更为简单，降低了加工和装配费用，且省去了容易出问题的集电环 和电刷，提高了电机运行的可靠性；又因无需励磁电流，没有励磁损耗，提高 了电机的效率。与锭转的永磁发电机一样，直线发电机的永磁体也是装在运动 件上，线圈在硅钢材料的定子铁心中。采用高能量的钕铁硼制造出来的永磁发 电机，体积小、重量轻、功率大、输出效率高。并且该样机的定子铁心上只需 一套绕组，这样的结构特别简单。 论文在给出样机的结构原理以后，主要研究了永磁往复式直线发电机的空 载磁场和负载磁场两个方面。主要包括： 1 提出了新型式新原理的电机。为我国直线电机领域填补一项空白。该 电机为双边扁平型直线发电机，动子采用了钕铁硼稀土材料，使电机体积小、 功率大。本文详细介绍了该电机的结构及工作原理。 2 采用新方法分析电机磁场。一般电磁分析均从磁路计算入手，由于磁 路中含有非线性媒质，计算中要做许多假设，忽略很多细节，给计算带来很大 的误差。本文采用有限元法来分折电机磁场，使分析结果更准确，更接近实 际。 3 情况下 示结果 4 力。计 的电磁 5 寸，得 势和负 哈尔演理t 大学t 学硕十学位论文 第2 章直线发电机的构造与工作原理 直线发电机和旋转发电机一样，有异步、同步、步进、有刷直流、无刷直 流等各种类型。随着稀土永磁材料的迅速发展、电力电子和微机控制技术的进 步，尤其是纳米复合永磁材料的出现。将稀土永磁电机的研究与发展推向一个 新的阶段。约在二十年前，直线发电机一般只限于直线感应发电机和直线同步 发电机，现在已研究出各种各样的直线发电机。 2 1 直线发电机的结构 由于直线发电机磁路结构容易改变，直线感应发电机和直线同步发电机的 结构型式，比普通感应发电机和同步发电机有更多的式样。直线发电机按其结 构型式的不同，可以分为扁平型、管型和圆盘型等n ，。而扁平型直线发电机是 最有代表性，且应用最广泛的。直线发电机按其结构、电源、次级的分类如表 2 1 所示。 表2 1 直线发电机的分类 t a b l e2 - 1t h ec l a s s i f i c a t i o no f t h el i n e a rg e n e r a t o r 按结构分类按电源分类按次级分类 平板行单边式 单相电源 短初级方式 平扳形双边式 2 相电源 3 相电源短次级方式 圆筒式 多相电源 表中所列出的发电机大部分在国内外已有一些应用，有关杂志专著均有论 述。本文提出了一种新型的动磁式永磁往复直线发电机，该电机与以往电机在 结构和原理上均有很大不同，图2 1 中显示出这种发电机的剖面结构，整体结 构为扁平形。图中，l 为永磁往复式直线发电机的定子，2 为永磁往复式直线发 电机的动子永磁体，3 为动子永磁体的框架，4 为永磁往复式直线发电机的定子 绕组，5 为定子槽楔。钕铁硼永磁体安放在动子上，提供气隙磁场，即为动磁 式发电机。 定子的三维实体图如图2 2 所示，定子铁心由硅钢片叠压而成，并采用双 边形式的单相线圈，双边型是为了增加比力密度，避免使用运动部件的铁心基 哈尔滨理t 大学t 学硕十学位论文 底和消除y 方向的电磁力。动子的三维实物图如图2 3 所示，永磁体选用有线性 退磁特性的钕铁硼永磁体，镶嵌永磁体的框架由非导磁性的铝合金材料制成。 该电机的部分参数如下： 功率1k w ；相数1 ；气隙1m m ；槽宽2 4m i l l ；槽距6 2m m ；槽高2 2 i n l n ；极距6 2 咖；永磁体高1 4m m ；铁芯叠高3 4m l n ；行程6 2 r a m 。 2 1 吖i - 由岳 ；豸孑g 咤彰i 甚喜宰专影是妄n 髟德s 乏彰钥 0 粤币甲岳 图2 1 直线往复式发电机的结构图 l 一定子2 _ 动子永磁体枷子框架仁定子槽孓- 定子槽楔 f i g 2 1s t r u c t u r eo f t h el i n e a rp e r m a n e n tm a g n e to s c i l l a t i n gg e n e r a t o r l - s t a t o r2 - p e r m a n e n tm a g n e tm a t e r i a lo f t h em o v e r3 - f r a m eo f t h em o v u 目r 4 - s l o to f t h es t a t o r5 w e d g eo f t h e $ r r o r 图2 - 2 永磁直线发电机的定子三维实物图 f i g 2 - 23 d s t a t o rs t e r e o g r a mo f t h el i n e a rp e r m a n e n tm a g n e tg e n e r a t o r 哈尔滨理t 大学t 学硕十学位论文 图2 - 3 永磁直线发电机的动子三维实物图 f i g 2 33 dm o v e rs t e r e o g r a mo f t h el i n e a rp e r m a n e n tm a g n e tg e n e r a t o r 2 2 直线发电机的原理 本样机是直线发电机的一种，但是，它的工作原理却与以往的电机有很大 不同。发电机工作时，是将发电机动子的轴通过传动部件与原动机相连而带动 动子做往复运动，动子运动的速度和频率则与原动机的速度和频率相同，成正 弦规律变化。感应电动势e 为： f = b l v ( 2 - 1 ) 式中b 导体所处位置的磁通密度； ，导体的有效长度； v 导体的相对线速度。 由式2 1 可知，要使所发出来的电动势呈正弦规律变化，须使磁感应强度 占和速度v 有一为正弦。普通发电机都是借助于磁感应强度的正弦变化而产生 正弦交流电，本电机则是依靠动子呈正弦规律的往复运动而实现的。在电机空 载运行时，由忽略齿槽效应时空载磁场波形可知，磁通在时间上近似为矩形 波，即b = b ，= 常数。因此有： e = 8 1 v 。c o s t a t = 4 2 e c o s c o t( 2 2 ) 式中 动子运动速度的幅值； e 为电动势的有效值； 角频率。 由式2 - 2 可以得知，只有时间t 为变量。所以，当原动机带动发电机的动 子往复运动时，定子线圈就相对于动子以正弦规律在磁场中运动，从而切割磁 场而发出正弦交流电。 8 晴尔滨理t 大学t 学硕t 学位论文 2 3 样机的特点 由上述结构及工作原理可知，本电机有以下几个特点： 1 采用稀土永磁材料中的磁王钕铁硼，钕铁硼具有较强的娇顽力， 又具有较高的磁动势，因此可以产生较大的气隙磁密，在减小电机体积和重量 的同时，可以增加电机的出力，大大提高了电机的技术经济性能比。 2 样机是稀土永磁直线电机，不仅具有永磁电机的特点，还兼有直线电 机的性能。作为永磁电机，它省去了励磁线圈，大大减小了励磁损耗，降低了 电机的温升。因此，可以节约能量，提高工作效率。 3 结构简单，永磁体的性能得到了充分的利用。在永磁体框架上采用特 殊的工艺结构，消除了电机工作时的环流。由图2 3 可知，当电机工作时，由 于电机的往复运动而产生的环流将由于框架的开断而构不成回路，从而消除了 环流，降低了动子的温升，提高了效率。 4 利用动子永磁体的往复运动产生交流电。动子永磁体工作时，随着活 塞做正弦规律的往复运用，从而发出正弦交流电。 然而，发电机的实际磁场是否合理，发电机工作时能否产生足够的磁势， 这些都是电机的主要性能，而这些性能都取决于电机的磁路结构，合理的磁路 结构和精确预测电机的性能，都要了解电机的实际磁场分布。采用什么样的方 法来分析电机的磁场分布? 永磁电机的结构和传统电机有很大区别，磁场问题 比较复杂。由于介质交界面曲直交错、永磁材料的磁特性为各向异性等，都给 电机磁场分析带来新的问题。 以往设计电机，通常是将磁场简化成磁路进行计算，结果比较裉糙，只能 作为设计新产品的参考依据。计算机以及数值理论的迅速发展，使我们可以采 用数值方法来解决这些难题，有限元法是目前应用最广泛、最行之有效的数值 解法。本章以后的章节主要讨论有限元法，推导有限元非线性方程的求解，编 制相应的计算机程序，然后用这套程序计算电机的磁场。 2 4 本章小结 本章详细介绍了样机的特点和工作原理，给出了样机的结构示意图以及样 机的三维实物图，总结了样机的主要特点。阐述了本样机与以往电机的相同与 不同之处。 哈尔演理t 大学1 - 学够十学位论文 第3 章直线发电机有限元分析基础 考察一台电机的性能，不仅要考察它的材料、制造工艺，更要考虑它的磁 路结构，磁路结构设计的是否合理对提高电机的性能有着很重要的作用。因此 磁场分析计算就成了重要的研究方向。电机中的电磁场是多种多样的，求解方 法也是多种多样的。一般的讲，解电磁场的问题总是一个复杂的工作，其复杂 程度往往取决于两方面的因素。一方面是电磁场本身的复杂程度，如电流分 布、介质的种类及其分布、边界条件、初始条件；另一方面是对精确度的要 求，对解题工作量的考虑，对试验设备的条件等。 3 1 电磁场的特征 近代，随着电子计算机的出现和发展，数学的应用也在迅速的延拓到了各 工程、物理学科领域的同时，进一步扩展到经济、生态、人口和社会等非物理 学科领域。实践表明，许多以工程经验判断、定性分析为依据的工程设计，现 在逐步发展为相关的计算机辅助工程和计算机辅助设计等定量的工程优化设 计。同样，许多以定性方法为基础的学科正在转向定量化发展的道路，众多边 缘学科应运面生。这就使得数学在发展生产、经济管理以及各种自然科学学科 中的重要性日益为人们所理解和接受，促成了近代应用数学及其相关学科相辅 相成的新发展”1 。当应用数学方法解决上述各类物理或非物理问题时，首先必 须建立数学模型，然后在此模型的基础上进行实际问题的理论分析和科学研 究。显然，建立的数学模型必须精确的逼近实际问题，否则在理论分析中即使 采用最巧妙的数学处理，其结果也未必有用。因此，建立一个完善的数学模型 乃是解决各类实际问题的关键。 数学模型是对客观事物的一种抽象的模拟，它遵循事物固有的客观规律， 通过数学语言刻画出客观事物的本质属性及其与周围事物的内在联系”1 。当 然，完全于客观事物相吻合的数学模型是不存在的。因此，实际的数学模型往 往是在对实际问题进行理想化假设后给出的数学描述。此外，数学模型的建 立，还必须要求它的分析计算结果能为试验、测试所证实，或者它能被推广说 明许多事实，乃至可以预测为人们所公认的结果。例如，麦克斯韦在1 8 6 5 年提 出了电磁场基本方程组，并预言了电磁波的存在。至今一百多年来电磁学科技 发展的进程证明了麦克斯韦方程组的正确性，验证了麦克斯韦方程组是宏观电 哈尔涫理t 大学t 学够卜学位论文 磁场普遍适用的数学模型。既然数学模型是客观事物的一种数学描述，因而对 于同一事物，基于不同的出发点，就可以有不同类型的数学模型。根据构造数 学模型的数学方法分类，模型可以分为微分方程型、积分方程型、优化模型和 控制论模型。根据变化情况又可分为连续性模型和离散型模型。此外，还有线 性模型与非线性模型：静态模型与动态模型等分类方法。数学模型的分类并不 具有特殊意义，但是概念的引入将便于理解，有助于综合使用各种数学工具， 从各个不同侧面去揭示某一实际问题的本质属性。 总上所述，宏观电磁理论最高度概括的数学模型就是麦克斯韦方程组。结 合实际问题中千变万化的边界条件和初始条件，在引用相应的数学方法后，常 用的电磁场数学模型可以归结为微分方程模型、积分方程模型和属于优化模型 的变分方程模型三大类。 宏观电磁现象的基本规律可以非常简洁的用一个方程组，即麦克斯韦方程 组柬表示”。m a x w e l l 方程组的微分形如下面4 个方程组所列成： 麦克斯苇一安培定律： r o t h = j + a d ，西 ( 3 一1 ) 法拉第定律： r o t e = 一a b a t ( 3 - 2 ) 电场高斯定律： d i v d = p ( 3 3 ) 磁场商斯定律： d i v b = 0 ( 3 4 ) 式中日磁场强度( ，m ) ； ，电流密度( a m 2 ) ； d 电位移( c m 2 ) ； e 电场强度( v m ) ； 口4 兹感应强度f r ) 。 3 2 电磁场分析的传统方法 自从麦克斯韦1 8 6 2 年提出了“位移电流”的新概念并在1 8 6 4 年建立了麦 克斯韦方程组以来，电磁场一直存在着两大分支高频微波技术和低频电工 技术。在2 0 世纪5 0 年代以前，人们对场的研究只能以麦克斯韦方程为依托， 采用一些简化措施，得出近似的解析解；或者用墨迹试验的方法，如电解槽、 哈尔演理t 大学t 学硕+ 学付论文 导电纸、阻抗网格等来求得满足工程要求的近似结果。除此以外，保角变化 法、镜像法、直接积分法和松弛法等，也都在一定程度内得到应用。把场的问 题转化为路的问题进行处理，在相当长的时间内是设计电工产品的主导方法。 电子计算机出现以后，计算机作为计算工具使电磁场理论的应用取得了巨 大发展，解决了许多以往不能解决的问题，逐渐形成了- f 依靠计算机和计算 技术的新学科电磁场数值分析。从数值分析的角度来看，电磁场数值分 析有三种主要方法：有限差分法、有限元法和矩量法。有限差分法是以差分原 理为基础的一种数值计算方法，即用各离散点上函数的差商来近似代替该点的 偏导数，把要求解的边值问题转化为一组相应的差分方程问题，因此需要把整 个区域全部剖分。有限元法是把求解区域剖分成有限个单元，组成离散化模 型，再求出数值解答，它是一种离散化模型的数值解。因此有限差分法是一种 数学上的近似，而有限元法是一种结构上的近似。两类方法比较，有限元法具 有的优点是，灵活性较大，对于各种复杂的几何形状、边界条件、不均匀的材 料特性、场梯度变化较大的场合，都能灵活加以考虑，通用性也大。 3 3 有限元的概述 7 0 年代初期，s i l v e s t e r 和c h a d 把有限元法引入导电磁计算中，这是电磁 场数值分析中的一个重要转折点。有限元法以变分原理为基础，用剖分插值 的办法建立各自由度问的相互关系，把二次泛函的极值问题转化为一组多元代 数方程组来求解。它能使复杂结构、复杂边界情况的边值问题得到解答。近 2 0 年，由于数值处理技术的提高，例如采用不完全c h o l e s 助分解法、自适应 网珞剖分法等方法，使得有限元法在电磁场数值计算中，越来越占据主导地 位。特别是8 0 年代末以来，国际上对三维涡流场的表述、规范和唯一性等问 题，从理论到实际计算，均己得到较为圆满的解决。目酊，有限元法已涉及到 瞬态涡流场、非线性涡流场以及非线性瞬态涡流场的计算。值得注意的是，由 a b o s s a v i t 和j c n i d e l e c 开创的棱边有限元法，在交界面处理、解的稳定性、 计算代价等方面显示出了巨大的优势，成为有限元发展的引人注目的成就之 一 有限元法要求解大规模的联立代数方程，未知数多达几万甚至几十万个， 没有高速度大容量的计算机是不可能实现的。电子计算机的发展和应用为有限 元法的发展和推广应用创造了良好的物质基础。目前，有限元分析已成为计算 机辅助设计的一个重要组成部分。有限单元的思想最早有c o u r a n t 于1 9 4 3 年 - 哈尔泞理丁大学t 学硕卜学伸论文 提出。五十年代初期，由于工程分析的需要，有限元法在复杂的航空结构分析 中最先得到应用，而有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 这个名称则由c l o u g h 于 1 9 6 0 年在其著作中首先提出。1 9 6 5 年s i l v e s t e r 将有限元法推广应用于时谐电 磁场问题。 随着计算机技术的飞速发展，有限元法的应用也在日益广泛。目j i ，有限 元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计得主导数值计 算方法，并且无一例外地是构成各种先进、实用计算包的基础。传统的有限元 法以变分原理为基础，把所要求解的微分方程型数学模型即边值问题，首先转 化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分插值，离散，化变 分问题为普遍多元函数的极值问题，最终归结为一组多元的代数方程组，解之 即得待求边值问题。可以看出，有限元法的核心在于刮分插值，它是将所研究 得连续场分割为有限个单元，然后用比较简单得插值函数来表示每个单元得 解，但是它并不要求每个单元得试探解都满足边界条件，而是在全部单元总体 合成后再引入边界条件。这样，就有可能对于内部和边界上的单元采用同样的 插值函数，使方法构造极大的简化。此外，由于变分原理的应用，使第二、第 三及不同媒质分界面上得边界条件作为自然边界条件在总体合成时将隐含地得 到满足，也就是说，自然边界条件将包含在泛函达到极值的要求之中，不比单 独列出，而唯一需要考虑的仅是强制边界条件的处理，这就进一步简化了方法 的构造。 3 4 电磁场的有限元法 以变分原理为基础的有限元法在求解磁场问题时，其过程大致如下： 1 建立问题的变分表述。从待解的磁场边值问题出发，利用变分原理把 问题转化为等价的变分问题，既能量泛函的极值问题。 2 单元剖分。将求解区域剖分成一系列子区域，即单元。 3 选择分片插值函数。选取分片光滑的插值函数去逼近整个求解域内光 滑的磁位函数。 4 对变分问题离散化。把磁位的插值函数代入能量泛函，对变分问题进 行离散化，得到以n 个节点磁位为未知数的以阶联立代数方程组。 5 求解代数方程组。用强加边界条件修改方程组，然后求解修改后的方 程组，得到各个节点的磁位近似解，并由此算出各个单元和节点的磁感强度 值。 哈尔演珲tj 、学t 学硕f 。学位论文 6 结果分析。 3 4 1 时变电磁场的变分表述 对于正弦时变电磁场，满足涡流方程，其边值问题为： 口：* 势昙( 豺盯倒川面 毛：五= 以 ( 3 5 ) 舶 3 2 ：心面2 q 式中口求解区域。 焉+ s ，区域q 的外边界； v 。有效磁阻率。 在最上给出了l 的第一类边值，在岛给出了- 的外法向导数，即第二类 边界条件。 在式( 3 5 ) 的一式的两边乘上变分幽，并进行二重积分，得 亿陆( 期+ 导( 心善巾蚴= 见p 鲥州砌两撕p s ， 由格林公式可得 啦( 势孙钟撕 = 一f c 匕怯警+ 雾雩卜+ 玉。警础 p ， 代入式( 3 _ 6 ) 并作移项，得 肌暖警+ 考喾卜+ 儿p 鲥州翻净姗一“屹鲁舭= 。 ( 3 - 8 ) 啥尔滨理t 丈学t 学硕卜学位诒文 考虑到 因此 警= j ( 堕o x ，等= j ( 雾) p 。， 玉 lj 砂l 砂j f 【p 。( 豢譬+ 善雩卜 北 警警 + 雾可刳卜 p 奶 对于式( 3 - 8 ) 中的第三项积分，其中边界为区域的所有边界，包括外部边界 和媒质分界线l 。当区域中的两种媒质分界线不存在面电流密度时，在媒质分 界线，上满足边界条件： b 。= 玩+ 和h 。一= 日。+ 则对于向量磁位五满足 ( 、，鲁) 一：= ( v ，鲁 + c ，一， 这时式( 3 8 ) 中第三项线积分在 ，s ：，厂，+ 四段上进行。考虑到毛上 = 以，有幽= 0 ；在r 上，法线n 指向内部。所以 争。争西 = “等舭+ “筹龇一“等舭 = y ，曼o 鱼n 万三凼+ j l ( 匕鲁 一一( 匕豢 + 卜办 t s - ，z ， = j 2 口如 现将式( 3 l o ) 和式( 3 1 2 ) 代入( 3 8 ) 。便得到 儿睇占( 割+ 雾文雾 妫+ p 鲥州一两螂一口确西= 。 由于泛函形的二次变分恒大于零，所以泛函取极小值。 在条件变分问题中，第二类边界条件体现在能量泛函中具有一项线积分， 哈尔滨理t 大学t 学碗卜学付诊文 它由能量泛函求极值自动满足，区域中的内部媒质的交接面条件也自动满足， 只有第一类边界条件没有满足，作为附加条件列出，故与式( 3 1 8 ) 所示边值问 题等价的条件变分问题如下： 卜，= 他m 翮 螂+ 儿仃倒鹏+ 旺 譬卜一f 2 汹州n 【s l ：a = a o ( 3 1 8 ) 3 4 2 单元剖分插值 有限元法是基于网格剖分的，将求解区域刮分成许多形状和大小不同的三 角形单元。通过求解各单元节点的磁位值，然后插值得到三角形单元内各点的 磁位值。在三角形单元中，任意一点的磁位可以在三个节点的磁位之间随坐 标x ，y 的变化按线性插值得到，亦即满足磁位线性插值函数。 任取一单元，设其编号为e ，其三个节点按逆时针方向的编号为i 、j 、 m 。由于单元磁位a 是坐标x ，y 的线性函数，故有： a = 伍l + a 2 x + a 3 y ( 3 1 9 ) 其中，o r 。、口：、o t ，为待定常数。将三个节点的坐标及其磁位代入上式， 便得到以口、a ：、为未知量的线性代数方程组如下： 解此方程组，便可得到 式中： 铲去( 口l + g t j j + a m _ 。) 口：= 去( 6 ，丑_ l ，+ 吒五。) ( 3 - 2 1 ) = 去弛a + 巳4 乜l 。) 之 0 毗呲啾 + + + 吣吣 + + + m m i j = = 44厶 ，、，【 哈尔演理t 大学t 学硕卜学位论文 a 1 2x i y m x m y i ，a i 2 x m y l x , y _ ，n m 2x t y | 一xj y l 6 = y j y 。， b j = y 。一h ，k = y ，一y ( 3 - 2 2 ) c 1 2x m x j c j 2 x i x m c m 2x i x s = ；| 量兰i = i 1 c 玩c ，一a ，c ， c ，：s ， 将式( 3 8 ) 代入( 3 - 6 ) ，得 j = 去伽托m + ( a j + b j x + c - ，y ) a ，巾川钳江1 ( 3 - 2 4 ) = n , a t + n | a | + h 。a m 式中： j = 去( 叩+ 包y + c f ) n 1 = l ( a j x + bj y + cj 、 m = 去( 地y 心) 上式称为单元的形状函数。并且有： 丝：o n kf 4 。，d x t 氦o x o 秒a k 弋甚；, 。o n k t 匆k 嚣。匆i ( 3 2 5 ) 百o a ：，要：n j ，笋：帆( 3 - 2