2004年全过高考全国2卷数学(理).doc

2004年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.球的表面积公式S=4其中R表示球的半径，球的体积公式V=，其中R表示球的半径第I卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CPk(1P)nk 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合（ ）ABCD 2（ ）AB1CD3设复数=（ ）ABCD4已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（ ）ABCD5已知函数的图象过点，则可以是（ ）ABCD6函数的图象（ ）A与的图象关于y轴对称B与的图象关于坐标原点对称C与的图象关于轴对称D与的图象关于坐标原点对称7已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）ABCD 8在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）A1条B2条C3条D4条9已知平面上直线l的方向向量e=点O（0，0）和A（1，2）在l上的射影分别是O和A，则e，其中=（ ）ABC2D210函数在下面哪个区间内是增函数（ ）ABCD11函数的最小正周期为（ ）ABCD212在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）A56个B57个C58个D60个第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.012P13从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为14设满足约束条件：则的最大值是 .15设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .16下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC中， （）求证：； （）设AB=3，求AB边上的高.18（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求：（）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（）A组中至少有两支弱队的概率.19（本小题满分12分）数列的前n项和记为Sn，已知证明：（）数列是等比数列；（）20（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.（）求证CD平面BDM；（）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.21（本小题满分12分）给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。（）设l的斜率为1，求与的夹角的大小；（）设，若4,9，求l在y轴上截距的变化范围.22（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx.（）求函数f(x)的最大值；（）设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（理）（选修）1.C 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.B 8.B 9.D 10.B 11.B 12.C130.1，0.6，0.3 145 15 16选择题和填空题详解1.已知集合Mx|x24，Nx|x22x30，则集合MNA.x|x2B.x|x3C.x|1x2D.x|2x3解：答案：C2.A.B.1C.D.解：答案：A3.设复数i，则1A.B.2C.D.解： 1i ， 1答案：C4.已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为A.(x1)2y21B.x2y21C.x2(y1)21D.x2(y1)21解：圆(x1)2y21的圆心（1，0）关于直线yx的对称点为（0，1）， 此即为圆C的圆心；又圆C的半径即为圆(x1)2y21的半径1， 圆C的方程为x2(y1)21.答案：C5.已知函数ytan(2x)的图象过点(,0)，则可以是A.B.C.D.解：由已知得，的一个值为答案：A6.函数yex的图象A.与yex的图象关于y轴对称B.与yex的图象关于坐标原点对称C.与yex的图象关于y轴对称D.与yex的图象关于坐标原点对称解：函数yex的图象与yex的图象关于x轴对称，函数yex的图象与yex的图象关于y轴对称在同一平面直角坐标系中画出函数yex与yex的图象，可知这两个函数的图象关于坐标原点对称答案：D7.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为A.B.C.D.解：球心O与A、B、C三点构成正三棱锥O-ABC，如下图所示：已知OA=OB=OC=R球=1，AOB =BOC =AOC =，由此可得AO面BOC，答案：B8.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条解：画出以点A为圆心、半径为1的圆A；再画出以点B为圆心、半径为2的圆B，可知两圆相交与点A距离为1、且与点B距离为2的直线应为圆A与圆B的公切线，圆A与圆B相交，圆A与圆B的公切线有2条答案：B9.已知平面上直线L的方向向量e(,)，点O(0,0)和A(1,2)在L上的射影分别是O1和A1，则e，其中A.B.C.2D.2解：答案：D10.函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数A.(,)B.(,2)C.(,)D.(2,3)解： 答案：B11.函数ysin4xcos2x的最小正周期为A.B.C.D.2解： 答案：B12.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有A.56个B.57个C.58个D.60个解：大于23145且小于43521的数有如下五种情形：（1）万位数字为2，千位数字为4或5的数有：个；（2）万位数字为2，千位数字为3，且大于23145的数有：个；（3）万位数字为3的数有：个；（4）万位数字为4，千位数字为1或2的数有：个；（5）万位数字为4，千位数字为3，且小于43521的数有：个大于23145且小于43521的数有： 12+5+24+12+5=58（个）答案：C二、 填空题(每小题4分，共16分)13.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为012P解：答案：012P0.10.60.314.设x，y满足约束条件：，则z3x2y的最大值是。解：画出可行域（见兰色区域），并画出经过可行域的一组平行线（见红线）， 如下图所示：由图可知，当直线过点A(1,1)时，截距最大，即z最大，zmax=31+21=5答案：515.设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是。解：由双曲线方程，知焦点坐标为（1，0），又椭圆与双曲线有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，椭圆的=1，从而，椭圆方程为答案：16.下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。其中，真命题的编号是(写出所有真命题的编号)证：画出四棱柱的直观图：（1）命题为假命题（若有两个相邻侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱）；（2）命题真命题，简证如下：（3）命题为假命题（再增加条件“A1ABA1AD且D1DAD1DC”，命题才正确）；（4）命题为真命题，简证如下： 答案：17本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分12分.（）证明：所以（）解：， 即 ，将代入上式并整理得 解得，舍去负值得， 设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=由AB=3，得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.18本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.（）解法一：三支弱队在同一组的概率为 故有一组恰有两支弱队的概率为解法二：有一组恰有两支弱队的概率（）解法一：A组中至少有两支弱队的概率 解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为19本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力，满分12分。证明：（） 整理得 所以 故是以2为公比 的等比数列.（）由（）知 于是 又 故 因此对于任意正整数 都有20本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=CB=CA1=，CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，CDA1B. A1C1=1，C1B1=，A1B1= 又BB1=1，A1B=2. A1CB为直角三角形，D为A1B的中点， CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=，DM=C1M. CDMCC1M，CDM=CC1M=90，即CDDM. 因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM.（）设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FG/CD，FG=CD. FG=，FGBD. 由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=B1D=A1B=1， 所以BB1D是边长为1的正三角形. 于是B1GBD，B1G= B1GF是所求二面角的平面角， 又 B1F2=B1B2+BF2=1+（=， 即所求二面角的大小为解法二：如图，以C为原点建立坐标系.（）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），D（，M（，1，0），则 CDA1B，CDDM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM.（）设BD中点为G，连结B1G，则 G（），、），所以所求的二面角等于21本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分12分。解：（）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为将代入方程，并整理得 设则有 所以夹角的大小为（）由题设 得 即由得， 联立、解得，依题意有又F（1，0），得直线l方程为