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金融时间序列分析登录： 徐占东 金融时间序列模型参考教材：金融时间序列的经济计量学模型 经济科学出版社 米尔斯著经济计量学手册章节Introductory Econometrics for Finance Chris Brooks 剑桥大学出版社金融计量学：资产定价实证分析 周国富著 北京大学出版社金融市场的经济计量学 Andrew lo等 上海财经大学出版社动态经济计量学 Hendry著 上海人民出版社商业和经济预测中的时间序列模型 中国人民大学出版社 弗朗西斯著No Linear Econometric Modeling in Time series Analysis 剑桥大学出版社 时间序列分析 汉密尔顿 中国社会科学出版社高等时间序列经济计量学 陆懋祖 上海人民出版社计量经济分析 张晓峒 经济科学出版社经济周期的波动与预测方法 董文泉 高铁梅著 吉林大学出版社宏观计量的若干前言理论与应用 王少平著 南开大学出版社NBER working paper Journal of Finance 杂志的发forthcoming 中国金融学术研究网 教学目的： 能够掌握时间序列分析的基本方法；能够应用时间序列方法解决问题。本学期的教学安排，准备讨论六个专题：1 单变量线性随机模型：ARMA ; ARIMA; 单位根检验。2 趋势模型和结构突变模型。3 单变量非线性随机模型：ARCH,GARCH系列模型。4 谱分析方法。5 混沌模型。6 多变量经济计量分析：VAR模型，协整过程；误差修正模型。前言一金融学简介1金融学：研究人们在不确定环境中如何进行资源的时间配置的学科。因此金融学的三个核心问题：资产的时间价值，资产定价理论（资源配置的系统）和风险管理理论。2金融理论分类:1) 中国传统的金融理论：货币银行和国际金融。2) 西方金融理论：是与资本市场有关的各种理论。包括金融经济学financial economics；公司金融corporate finance；金融市场financial market； 行为金融behavioral finance； 金融学的核心问题就是结果的不确定性，因此金融理论还可以分为理论金融学和实证金融学。理论金融主要以数理金融和金融工程为主；实证金融的重点研究方法就是金融经济计量学；数理金融和金融工程主要研究金融模型，包括资产定价理论，风险管理理论两部分。参考书如Merton的连续时间金融；Duffie的动态资产定价理论；Jorrow的金融决策制定理论；黄奇辅的金融经济学基础；实证金融主要是对经济理论的检验。参考书如：Andrew的金融市场的经济计量学；布鲁克斯的金融经济计量学引论；米尔斯的金融时间序列模型；二金融理论研究的两个问题：收益率和风险收益率就是资产的价格。风险就是结果的不确定性。（一） 收益率1 为什么研究收益率，而不研究价格。（1）投资的规模收益特性：平均而言，金融市场可以认为是完全竞争的，所以投资规模不会影响价格。因此收益是度量投资机会的合适的指标。（2）收益率具有平稳性和遍历性。比价格具有更好的统计特性。尤其是，动态一般均衡模型一般得到的是非平稳的价格，但得到的收益率是平稳的。2收益率的定义：（1）（simple net return）简单净收益：。（2）(simple gross return)简单总收益：等于1加上简单净收益，。（3）复利：如果时期t-k到时期t内可以分为k个时期，则总收益净收益等于总收益减1。这里强调：收益率一定是有时间限制的，即它是一个流量指标。学术文献中的收益率通常为年收益率。对于多年收益率，需要进行年度化（转换成年度收益率形式），公式为：近似解根据的是Taylor分解。使用近似值要依据实际情况来决定。（4）连续复利（或对数收益率）：这里的为价格的对数。3简单收益率和对数收益率的比较（1）简单收益率的缺点：a正态分布假设违背了有限负债原则。b单期收益服从正态分布，多期收益却不服从正态分布。（2） 对数收益率的优点：a多期收益情形，对数多期受益等于单期连续复利的和：b 对数收益率是收益率的统计建模更为简单。c 价格取对数，能够降低数值；d 价格取对数，能够消除某些过程的非平稳性，既当方差为均值的某种函数形式时，取对数可以消除这方面的影响，从而得到常数方差。e 为了估计变量弹性的需要。(3) 对数收益率的缺点：对于投资组合收益，但投资组合的对数收益率不等于资产的对数收益率的和，即。当，则。因此，当我们研究资产之间关系时，一般使用简单收益率；而当研究收益的跨期行为时，使用对数收益率。4股息如果期间存在股息时，则期末的价格称为除息价格，此时的收益率就应该考虑股息，即 5剩余收益（收益率溢价）即考察资产收益和另外一种参考资产（如无风险资产）的收益的比较，表示为， 这种溢价可以认为是一种套利投资组合，此投资组合中资产为多头，参考资产为空头。因此，净投资为零，所以称为套利投资组合。（二） 风险1风险的定义：是指在决策过程中，由于各种不确定因素的作用，决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性以及可能损失的程度。包括损失的概率、可能损失的数量以及损失的易变性。2风险的分类：1）信用风险credit risk：The risk of a trading partner not fulfilling his obligations in full on due date or at any time。Including aggregation, probability of default and expected loss measurements, credit risk management and controls, netting, and credit enhancement - in understandable, technical language.2）市场风险Market Risk：an institutions financial condition resulting from adverse movements in the level or volatility of market prices of interest rate instruments, equities, commodities and currencies. Market risk is usually measured as the potential gain/loss in a position/portfolio that is associated with a price movement of a given probability over a specified time horizon. This is typically known as value-at-risk (VAR).3）清算风险Settlement Risk：Settlement risk is the risk that a settlement in a transfer system does not take place as expected. settlement risk comprises both credit and liquidity risks. The former arises when a counterparty cannot meet an obligation for full value on due date and thereafter because it is insolvent. Liquidity risk refers to the risk that a counterparty will not settle for full value at due date but could do so at some unspecified time thereafter; causing the party which did not receive its expected payment to finance the shortfall at short notice. Sometimes a counterparty may withhold payment even if it is not insolvent (causing the original party to scramble around for funds), so liquidity risk can be present without being accompanied by credit risk. 4）其它风险Other Risks：（1）流动性风险liquidity risk, which comes in two forms. Market liquidity risk arises when a firm is unable to conclude a large transaction in a particular instrument at anything near the current market price. Funding liquidity risk is defined as the inability to obtain funds to meet cashflow obligations. （2）法律风险legal risk, which is the risk that a transaction proves unenforceable in law or because it has been inadequately documented; and （3）操作风险operational risk, i.e. the risk of unexpected losses arising from deficiencies in a firms management information, support and control systems and procedures. 3风险的度量：方差，半方差，var等方法。Garch模型度量的风险。三金融市场的标准：有效市场假设金融市场的一个理论基础是有效市场假设。1有效市场理论的发展：起源于巴舍利耶（1900）年，1933年，Cowles作出了一些贡献。在1965年，萨缪尔森开始了有效市场的现代经济学研究。1970年，法马（Fama）对有效市场理论进行了总结。2有效市场的定义（Malkiel， 1992）：如果资本市场能够完全并且正确地反映了所有决定证券价格的相关信息，则资本市场就是有效的；或者说，如果对所有投资者进行信息披露，不会影响证券价格，则市场是有效的。在有效市场中，根据信息不能够获得经济利润。这里的有效市场假设和经济学的帕雷托有效是不同的。 根据有效市场的定义，可以确定两种检验市场有效性的方法：（1）披露信息，检验股票价格是否有所反映。（2）检验基金经理以及其他信息交易者是否会获得超额利润。（3）根据信息，信息交易者是否会得到超额利润。3根据信息集的划分，可以将有效市场分为三类：（1）弱式有效市场：信息集仅包括价格和收益的历史信息。（2）半强式有效市场：所有市场信息。（3）强式有效市场：任何市场信息。4有效市场的含义：（1）没有专门信息，就没有利润。（2）即便有专门信息，也很难利用专门信息获利。因为价格调整迅速，并且一次调整就达到目标。5市场有效性的检验（1）有效性检验依赖于收益的分布假设。因此检验拒绝有效性要区分：a市场真的无效; b模型不正确；所以应该进行联合检验。（2）完全有效性在实际当中不是现实的基准。现实当中存在收集信息的成本和信息加工的成本，这些成本可以解释不正常的收益问题。但成本很难精确的估计。（3）相对有效性的检验比较有意义。通过类比的手段，可以确定相对的有效性。（4）有效性度量和检验的方法：方差界（variance bounds）检验、欧拉方程检验、CAPM检验和APT检验。这些都是检验市场有效性和市场均衡的联合检验方法。四随机游走模型及其形式：1随机游走和鞅假设的一般形式这里为时刻，的收益率，其中和分别表示的两个任意函数。通过选择和的恰当形式，能够得到各种类型的随机游走和鞅假设。这个条件称为正交条件。（1）如果和都是线性的，则和序列不相关。此时的模型为随机游走3模型。（2）如果为线性函数，则此时的模型为鞅假设。（3）如果和对所有的函数成立，则此时的模型称为随机游走模型1和2。表2.1.1 随机游走模型和鞅假设的分类线性函数任意函数为线性函数增量不相关，随机游走3：则线性投影non任意函数鞅或公平游戏独立增量，随机游走1、22 鞅模型（金融资产定价的最早的模型）（1）起源于赌博和概率理论。（2）鞅（公平游戏）的定义：如果随机过程满足下列条件或如果表示时刻t的价格，则鞅假设表示基于过去的历史信息，下一个时期的预期价格于当前时期的价格。也就是说，在最小均方误差意义上，明天的最佳预测就是今天的价格，这意味着价格上涨或下跌的可能性是相等的。 鞅假设另外一层意义是，没有相互迭代的时间间隔的价格变化是不相关的。也就是说基于历史信息，未来价格变化的线性预测无效。鞅假设是有效资本市场的一个必要条件，过去信息持续不断的、完全并且永久的影响着资产的当前价格。如果市场是有效的，则基于历史信息，未来价格变化的期望必定为零。 市场越有效，价格序列的变化越随机。（3） 鞅假设的一个缺点：没有考虑风险问题。因为风险和预期收益的平衡问题是现代金融经济学的核心问题。因此已经证明，股票价格的鞅特性既不是理性资产定价的充分条件也不是必要条件。（4） 鞅假设的应用：a 如果考虑风险调整的资产收益，则鞅特性成立。而且在一般条件下，边际效用加权价格服从鞅过程。b 风险调整的鞅特性，促进了复杂金融工具，如期权、掉期（swaps）和其他衍生证券的定价。c 鞅特性促进了随机游走假设理论的发展。3随机游走1（RW1）：IID增量（独立同分布增量）（1）IID是随机游走模型中的最简单情形，其形式为 （Ar(1)模型）称为有漂移的随机游走模型。为漂移项，表示服从均值为0 ，方差为的独立同分布的随机变量。独立意味着，不仅变量之间线性不相关，而且对于非线性函数也不相关。（2）随机游走模型的特征：考虑条件均值和条件方差，条件是基于时刻0的价格： 明显随机游走模型非平稳的，条件均值为时间的线性函数。（3）如果，此时模型变为几何布朗运动（arithmetic Brownian motion）。但此时违反了有限责任条款。因此，采用对数正态模型形式： 这里。4 随机随走2（RW2）：独立增量独立同分布增量过程不可理解，因为经济、社会、技术、机构和管制环境都发生了变化，因此断言股票收益的概率仍然同分布，不可理解。此时引入独立增量过程。并且RW2假设扰动项非条件异方差。从而可以描述金融时间序列的时变波动性问题。5随机游走3（RW3）：不相关增量这是最弱的形式，此时，情况下。此时增量过程不相关，但增量的平方确有可能相关。五经济计量学的发展1Econometrics:经济计量学或计量经济学定义：利用经济理论、数学、统计推断等工具对经济现象进行分析的一门社会科学。运用数理统计知识分析经济数据，对构建于数理经济学基础之上的数学模型提供经验支持，并得出数量结果。2经济计量学的发展（1）1933年计量经济学杂志的正式出版发行，标志着经济计量学学科体系的建立。创始人物为耶鲁大学的教授I.Fisher，主要以单方程的计量经济模型为主，而且都是基于经济学理论设定模型，并进行OLS(最小二乘估计）。（2）1955年，经济计量学得到了革命性的突破，首先建立了精确的概率统计框架，其次建立了多方程的联立方程模型，包含设定、识别、估计和检验。代表人物为诺贝尔经济学奖获得者克莱因。（3）1970年，随着Box和Jenkins的时间序列分析：预测与控制的出版，标志着时间序列经济计量学的诞生。之后时间序列分析方法得到快速的发展。代表人物为Box和Jenkins。（4）80年代，Hendry等提出动态经济计量学理论。3经济计量学的分类： （1）经典经济计量学（理论驱动建模）：主要指Fisher建立的经济计量学，它的主要特征是以OLS估计为基础，以经济理论为依据设定模型。 （2）时间序列分析（数据驱动建模）：以经济变量本身数据出发，研究变量的自身变化。（3）动态经济计量模型（理论和数据相结合）：从一般到特殊的经济计量建模方法。（4）非参数非线性的经济计量模型。六金融实证分析手段：1经典经济计量学方法：主要是以回归分析为主的，以经济理论为前提的经济计量分析手段。数据主要是混合数据。例如：CAPM检验，单因素模型方法。2统计分析手段：以统计分析手段，对金融问题进行分析的方法，例如APT多因素模型，利用主成分分析手段对混合数据进行研究。3时间序列方法：分为时域分析和频域分析。1）时域分析主要是对时间序列的数据生成过程的研究，力求找到能够更好数据生成的过程。分为单序列方法，多序列方法。单序列方法有分为线性方法和非线性方法。线性方法主要以Box和Jenkins建立的ARMA模型。非线性方法主要以arch模型为主。根据平稳性，又可分为平稳的时间序列建模和非平稳的时间序列建模。2）谱分析方法：主要利用傅立叶分解手段，将时间序列分解成不同频率的和，从而分析控制时间序列发展的周期和频率。4）其他方法：如利用随机过程中的first-stage time方法进行研究。第2章 单变量线性随机模型2.1 随机过程、实现值和遍历性一、 随机过程、实现值和遍历性 实现值（Realization）：观测到的序列值。 随机过程：随机过程是一族随机变量，即对指标集中的每个，是一个随机变量。如果为时间，则是过程在时刻的状态。可以看作是为概率分布。本书用表示随机过程和实现值。仅当过程是遍历时，利用单组实现值来推断联合概率分布的未知参数才是正确的。时间平均是否等于总体平均，这就是遍历性问题，它是一个矩问题。均值遍历：如果一个协方差平稳过程的自协方差满足，且当时，则是关于均值遍历的；如果对所有的成立，则称该过程是关于二阶矩遍历的。随着实现值序列的长度向无限伸展，有限长度实现值序列的样本矩趋向于其总体矩。注意：平稳并不一定就是遍历的。以后将假设所有的序列都具有遍历性。如果随机过程服从联合正态分布，则用一二阶矩就可以描述整个过程均值（个）： 方差（个）： 协方差（个： 二、 平稳性（绝对；严格）平稳：假设随机过程的性质不受时间地点变化的影响，称为绝对（严）平稳。即联合分布函数只取决于时期的间隔，与时期本身无关。从而它的所有矩都不依赖于时间。弱（协方差，宽）平稳：如果随机过程的均值和协方差都不依赖于时间，即 其中称为自协方差。如果为时滞的函数，则称为自协方差函数。平稳和宽平稳的关系：1） 具有有限二阶矩的（严）平稳过程，一定是宽平稳过程。2） 宽平稳过程只限定了一阶矩和二阶矩，从而宽平稳过程不是（严）平稳过程。自相关以及自相关函数ACF：定义为自相关。如果它是时滞的函数，则称为自相关函数ACF。ACF和均质方差一起共同表现了弱平稳随机过程的特征。通过测量过程的某个值和历史值的相关程度，ACF显示了过程的“记忆”长度和力度。2.2 随机差分方程时间序列分析的一个基本定理就是Wold分解定理。Wold分解定理：任何零均值协方差平稳过程可表示成如下形式 其中，且。是白噪声，也称新生量。对于任意的，的值与无关。这里称为的线性确定性分量，而称为线性非确定性分量。若，该国成为纯线性不确定的。白噪声过程：是一种均值和自相关系数均为零的随机过程。如果满足对任意的，则为（弱）白噪声过程。如果为独立同分布的随机过程，则为（严格）白噪声过程。根据Wold分解定理，所有的弱平稳，完全非确定随机过程都可写作一个非相关随机变量序列的线性组合（或称为线性滤波），这个线性滤波的表达式为 （2.1）具有下列性质，所有的。称为白噪声过程，记为。为权重系数。 模型（2.1）的明显具有自相关性。下面考察的二阶矩 为了保证方差有限，要求权重绝对可加，即，则此线性滤波表达式收敛。这个条件相当于假设为平稳过程。2.3 ARMA过程一、 自回归（AR）过程由（2.1）根据参数选择的不同，形成过程的集合。取（为什么），记（为什么取幂；），则（2.1）被记为或写成 为白噪声（和严格白噪声的区别） 称为一阶自回归过程。利用时滞运算符，记为可得（为什么）级数收敛的充分条件为（为什么），收敛则意味着过程是平稳的。现在考察一阶自回归过程的ACF（自相关函数）两边同时乘以，两边同时取期望，得出（为什么）迭代下来，继而可以得到自相关函数当 此时自相关函数振荡衰减。拖尾当 此时自相关函数指数衰减。拖尾（模拟图见本书16页）二 、 移动平均过程MA由取；得到 或 它称为一阶移动平均过程，是平稳过程（为什么）由此可见自相关函数 截尾一阶移动平均过程是否可以变成自回归过程，这需要强加一个限制性条件称为可逆性条件。由，变为，将按幂级数展开，就得到（模拟图件本书19页）三、 一般的AR和MA过程由AR(p)模型的形式为或用滞后运算符形式记为这个过程平稳的条件是其特征方程，也就是的根位于单位圆外，记。其自相关函数ACF的形式为（见汉密尔顿），解为由于所以自相关函数是指数衰减和震荡衰减混合函数组成。因此AR过程具有拖尾特性。不能用ACF来区分不同的阶数。因此需要偏自相关函数PACF来确定AR过程的阶数。阶偏自相关是过程中的系数。它的经济意义是度量介于和之间的滞后值调整后的额外相关性。利用Yule-Walker方程，利用克莱姆法则求解得到。根据定义，可以得到AR过程的PACF性质1） 模型： 2） 模型： ， 3） 模型： ， 也就说，AR模型的特征为1） ACF拖尾；2）PACF截尾。根据这两个特征可以确定阶数。（二） 一般MA过程形式为 或记为 其ACF为 MA过程有以下两个特征：1） ACF截尾；2）PACF拖尾。从而根据这个特征确定MA过程的阶数。四、 自回归移动平均模型（自回归模型和移动平均模型的结合）1） ARMA(1,1)模型或书中关于ARMA模型平稳性的说法是否正确？（第28-29页）已经证明，ARMA(1,1)模型平稳性完全取决于自回归参数，而与移动平均参数无关。而且已经证明ARMA(1,1)模型的ACF拖尾，但衰减的起始位置不同，它是从开始衰减，而AR(1)模型是从开始衰减，而且。而且已经证明，ARMA(1,1)模型的PACF拖尾，但衰减的起始位置不同，它是从开始衰减，而AR(1)模型是从开始衰减，而且。2） ARMA(p,q)模型形式为或其平稳性完全取决于自回归参数而与移动平均参数无关。ARMA模型的ACF和PACF都具有拖尾特性，但拖尾特征具有以下特点：其在个初始值后，其的拖尾特征和AR(p)的特征相同。在个初始值后，其的拖尾特征和MA(q)的特征相同。总结一下：AR(p)MA(q)ARMA(p,q)ACF拖尾在q截尾拖尾PACF在p截尾拖尾拖尾2.5 ARMA建模一、 样本自相关SACF和偏自相关函数SPACFARMA建模的前提假设就是平稳性和遍历性。有了这两个条件之后，总体矩就可以利用样本矩来估计。均值、方差以及自相关函数的估计量分别为 ； ；SACF: SACF的检验统计量为： 其渐进分布服从自由度为的卡方X分布，即样本偏自相关的估计量为每个模型的最后一个系数。二、 模型的两种建立方法：1 B-J(Box-Jenkins)建模方法（eviews使用的建模思想） 将某个时间序列的SACF和SPACF的行为与各种理论ACF和PACF的行为匹配起来，挑选最佳匹配（或一组匹配的集合），估计模型的未知参数，并检查从模型拟和得到的残差，已发现可能的模型错误。2 在以考虑的最大可能范围的值和值的基础上，选择一组模型，估计可能的模型，并选择某个以拟合度为基础的选择标准最小化的模型。3 经典经济计量模型，时间序列模型，和动态经济计量建模的关系。4 选择模型的标准：（存在多个行为匹配的模型）1） AIC标准：（Akaike信息标准） 2） BIC标准 5 标准如何使用？ 首先设定和的阶数上限，和，并规定和，则选择的阶数和由如下法则确定：或 。三、 在中的实现：（以序列index为例）1 通过自相关分析图判断平稳性：如果序列的自相关系数很快地趋于零，即落入随机区间，则时序是平稳的，否则是非平稳的。2 自相关图的实现：主菜单中选择quick/series Statisttics/correlogram，在对话框中输入分析的序列名称。如index，点击OK弹出相关图定义。选择之后，点击OK，从而得到时间序列的自相关和偏自相关分析图。3 根据相关图和偏自相关图判断自回归和移动平均的阶数。4 模型参数的估计方法： 在主窗口选择Quick/Estimate/Equation，输入index ar(1) ar(2) ar(p) ma(1) ma(2)ma(q) 点击OK进入。5 结果中要求AIC和BIC越小越好。而且最后两行的数值落在单位圆内。注释：1）见数据分析与Eviews应用第五章。 2）阶数一般选择不要超过2。 3）建立模型前，一般要进行单位根检验，从而采取方法消除季节性和趋势性对模型的影响。 6 模型的检验：1） 检验的主要方法就是对模型的残差序列进行白噪声检验。检验残差序列的样本自相关系数是否为零。检验的统计量为卡方检验。残差序列的自相关函数为 m为最大滞后期。一般取。检验统计量为在零假设下，服从卡方分布。给定置信度，如果则不能拒绝残差序列相互独立的原假设，通过检验。否则拒绝原假设。实现方法：直接对残差序列的检验，即分析残差序列的自相关图。2） 检查是否过度拟合。可以用高阶的模型进行拟合，并与原模型的结果进行比较。 2.6 非平稳过程和ARIMA模型本节考察非平稳情况下的ARMA建模：一、 方差的非平稳性假设时间序列可被分解为一个非随机的平均值水平和一个随机的误差：其中为随机误差项，为非随机均值。并且假设的方差和有下列函数关系为某个已知函数。现在求数据转化函数，的方差为常数。可以扩展成一阶泰勒级数：方差如果希望的方差为常数，则必须使。如果的标准差与成正比，即，则稳定方差意味着，也就是。因此，金融时间序列的对数变换，仅仅消除了与均值成正比的序列方差。二、 均值的非平稳性（一）第一种情况如果所以，此时系数恒定不变，所以称均值的这种趋势为确定趋势。现在考虑简单的，误差为白噪声序列的情形：进行一阶差分，得到此时可以看出既不平稳又不可逆。但可见是一个平稳但不可逆的MA过程。 对于一般情况下，如果趋势的多项式为次的，则（二） 第二种情况：ARMA模型的参数不满足平稳性条件。1） 时此时它的解为为在时间时的条件期望。在时间时的条件期望依赖于随机冲击。是时间的函数。方差为时间的增函数。当时，它发散。爆发性过程：均值和方差都含有时间趋势，就称为爆发性过程。2） 时 平稳过程3） 时 变为为随机游走模型。齐次非平稳过程：通过一次或多次差分就变成平稳过程的序列，就称为齐次非平稳过程。差分的次数就是齐次的阶数。我们遇到的大多数非平稳时间序列都具有这种特性。如果加入常数，则变为有漂移的随机游走模型。迭代它的特征为 其自相关函数，当时，所有的自相关系数都近似为1。也就是的序列非常平滑。随机游走模型是整过程（非平稳过程）的特例。3） 对于，可以记为随机游走模型进行一阶差分后，变成平稳过程。这就是ARIMA建模的基本原理。4） 通常一个序列需要经过次差分后，会得到平稳过程，但可能会呈现相关性，这就可以用ARMA进行模拟，而原始序列的模型形式为，称为过程，也被称为阶整过程。 对于所有。ARIMA过程的自相关也会接近于1。5） 可以记作，当时，为记整过程可以通过平稳过程的相加或“积分”次得到。6） 两个概念 对于，当时，模型表现的是随机趋势（一个时间的次多项式）；当时，模型表现的是隐埋在非平稳噪音下的确定趋势。因此既可以拟合随机趋势，也能拟合确定趋势。2.8 ARMA模型的预测最小均方误差：选择预测，使得最小。我们可以证明均方误差最小预测就是的条件期望。（参见时间序列分析预测与控制）对于过程：令则其最小均方误差预测且因此，预测的做法是：用已知值代替历史期望值；用预测值代替未来期望值。起点为的步未来预测的误差为这里为的前个权重。预测误差是时间后进入系统的不可预见未来冲击的线性组合。方差为。而一步预测的误差为方差为例1 AR(2)过程的预测模型为即；当时，其预测值为。当时，其预测值为。当时，其预测值为另外一种表达方式为反复代换得到因为根据惯例，于是当时因此对于AR(2)，大幅超前的预测最佳值为过程的平均值。其预测误差的方差收敛于一个有限值，它是过程在最终的预测值两侧的方差。例2 模型形式为，这里；当时，其预测值为。当时，其预测值为。当时，其预测值为。对于此过程来说，在起点的预测将是一条通过的直线。因为且所以步未来预测值记作也就是所有未来值的预测都是其现实值和历史值的指数加权平均。步未来预测的方差为例3 模型形式为，这里；当时，其预测值为。当时，其预测值为。当时，其预测值为。当时，其预测值为。对于此过程来说，在起点的预测将是一条通过和的直线。第7章 多变量时间序列模型1 Granger 因果检验 判断一个变量的变化是否是另一个变量变化的原因，是经济计量学中的常见问题。Granger提出一个判断因果关系的一个检验，这就是Granger 因果检验。一Granger因果检验的思想如果x影响y，或者x是y的原因，此时x的变化必然先于y的变化，此时就须满足两个条件：1）x可以预测y，即根据y的过去值对y进行回归时，如果加上x的过去值，能显著增强回归的解释能力。2）不能根据y预测x，因为如果根据x预测y，又能根据y预测x，很可能x和y都是由第三个或其他变量决定。二检验步骤1）首先检验零假设“x不影响y”即x不是y的granger原因。首先根据x和y的滞后值对y回归（无限制回归），然后用y的滞后值对y进行回归（有限制回归）。即：无限制回归：有限制回归：用F检验来判断x是否显著了了无限制回归的解释能力。此时统计量是有限制回归的残差平方和，使无限制回归的残差平方和。是样本容量，使无限制回归变量的个数。是限制回归模型中的变量个数。2）检验y不影响x，即x不是y的granger原因。此时调换模型中的变量x和y的位置，利用F统计量来检验。三如果一对时间序列是协整的，则至少在某一方面存在granger原因。2 伪回归一现在考虑非平稳序列回归出现的问题 设是两个无关的随机游走过程，且，任意的。此时既不影响，也不受的影响。建立模型对于这种情况， 。利用蒙特卡罗模拟得出结论：对于相互独立的单整序列，且，进行回归时，t统计量显示了比正常检验临界值水平还高。也就是在相互独立的序列进行的实际回归中，经常伴随着高的，并且系数显著。这种现象就称为为回归现象。二伪回归的产生原因1伪回归现象产生的根本原因就是序列的非平稳性。设是两个无关的随机游走过程，并假设模型为，此时建立统计推断：原假设：此时根据OLS估计，。因为是两个无关的随机游走，则的分子，分母均为一种维纳过程泛函。（参见hendry和秦朵的动态经济计量学第三章）。2和表示定义在上的两个相互独立的维纳过程，则；于是可以证明：于是但在零假设条件下，此时有两个特点：1）发散。2）分布不是常规的分布。从而利用t统计量不能得到正确的检验。直观地看一下：，如果，则也是过程非平稳。从而最小二乘估计不可用。三伪回归检验我们利用残差的平稳性检验来判断是否存在伪回归。如果残差非平稳，则是伪回归。四伪回归的纠正方法：1）在回归模型中包含自变量和因变量的一阶滞后变量，即此时能够消除伪回归。即当和不相关，则和依概率收敛于零。2）对和先做一阶差分，从而使得和变成平稳过程，建立模型此时能够消除伪回归。即当和不相关，则依概率收敛于零。3）Cochrane-Orcutt方法（自相关问题）如果，这里则根据广义差分法，建立模型进行迭代估计，可以证明依概率收敛于零。五总结1）伪回归现象：对于任何两个（或两个以上）不相关的单位根过程，只要样本量足够大，检验他们相关性的统计量一定呈显著性，这就是伪回归现象。2）回归分析将平稳过程当作非平稳过程来处理是十分危险的。因此回归中必须分清平稳过程和非平稳过程。3）伪回归的本质问题是变量的非平稳性。3 协整一定义1零阶整：对于n维线性过程，如果，为系数，则称为零阶整的。21阶整：如果为过程，则n维随机过程称为1阶整的。过程都是非平稳的，但非平稳性可以通过差分消除。这里任何形式为，当时，都是过程，3协整：如果为1阶整的，但对于某些线性组合，只要恰当的选择，变为平稳的，则称为协整，称为协整向量，线性不相关的协整向量数目称为协整的秩。协整向量张成的空间称为协整空间。即表示为。二说明1）协整向量至少有两个非零元素。2）对于常数，都是协整向量。3）对于个线性无关的，满秩，则平稳。三协整的意义1协整可以用来描述某些经济变量水平值间存在稳定的长期关系，也就是某些经济变量之间不能相互分离太远。也就是如果变量不存在协整性，他们可以任意分离。 协整向量可以认为是经济系统中对变量长期行为的限制条件。2协整响亮多好还是少好协整向量多，经济系统就越稳定，即在尽可能多的方向上存在稳定的关系。协整向量少，经济模型存在唯一的稳定状态均衡，这样能够获得协整向量的精确估计。四协整于长期均衡的联系如果，则此时和协整。这里可以测量“系统”的失衡程度，可以称为均衡误差。如果是协整的，均衡误差具有均值回返特性。如果不是协整的，则，则均衡误差将会出现剧烈波动，不具有均值回返特性。五协整和伪回归的关系对于，Philips证明伪回归的长期协方差矩阵非奇异。当时，此时系统残差非平稳，为伪回归。而对于协整方程，长期协方差矩阵奇异。此时，从而。残差矩阵奇异是系统为协整过程的必要条件。六协整检验1对于回归模型我们检查的生成过程：是否是单位根过程。此种方法就是E-G两步法。2Machinnon检验方法：小样本方法是一种从一般到特殊的检验方法：对于k个序列，可以建立三种协整回归方程（1） （2） （3） 为扰动项。协整检验的基本方法就是检验其扰动项的平稳性，利用ADF检验：原假设：，备则假设。具体检验步骤参见单位根检验步骤。3 误差修正模型ECM（E-G两步法）作用：模型取决于解释变量与因变量长期关系得偏离以及对这些因变量的调整。一设两个经济序列和是过程，并且是协整的，协整向量为，则设，于是，则这种模型称为误差修正模型ECM。 这个模型需要对，进行回归。因此误差修正项的系数可作为前期的对之间偏离程度的测定及偏离的短期调整。从而不再是使用变量的水平值或变量的差分变量来建模，而是把两者有机的结合起来。短期看，是由较稳定的长期趋势和短期波动所决定，短期内系统对于均衡状态的偏离程度的大小直接导致波动振幅的大小。长期看，协整关系式起到吸引力的作用，将非均衡状态拉回到均衡状态。ECM能清楚地显示出于长期均衡偏离的程度，所以立刻显示出关于这种偏离的调整信息。二E-G两步法的估计步骤方法1建立静态模型：，进行最小二乘估计并进行协整检验。利用误差修正项，建立模型。利用OLS估计参数，得到误差修正模型。方法2直接估计。4 VAR模型一 多元动态线性回归模型1多元线性回归模型形式为可以写成2动态多元线性回归模型表示为3如果是一组向量，则这个模型就称为动态多变量回归模型或动态结构模型。这里为向量，是系数矩阵，是系数矩阵。为误差向量。满足对于动态结构模型，如果能够写成如下形式模型称为VAR模型（向量自回归模型）。向量自回归模型是用模型中所有当期变量对所有变量的若干滞后变量进行回归。4VAR模型的扩展VARMA模型或者写为。5对于k阶VAR模型，可以写为VAR（k）这里，其中都是阶系数矩阵，为阶随机误差项向量。是阶方差协方差矩阵。6VAR（2）模型为或者写成根据误差项的假设，可以用OLS进行估计。二 滞后阶数k的确定：k过大，自由度降低。k过小，误差项自相关较严重。1LR统计量（似然比统计量）这里表示模型中滞后变量的最大滞后期，和分别为和模型的极大似然估计值。极大似然估计的最大值为其中此时LR统计量渐进服从分布。当时，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值。2AIC赤池信息准则表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞后期。3SC舒瓦茨准则（BIC）三VAR模型的特点：1VAR不宜严格的经济理论为依据，在建模过程中仅需要确定两件事：1）共有那些变量相互之间有关系。2）确定滞后期。2VAR模型没有参数的零约束。3VAR模型中有相当多的参数需要估计。5 VAR模型的协整一 对于VAR模型 （1）这里。如果非平稳，则变换参数 （2）其中为一阶差分算子，表示对向量中全部变量取一阶差分后的阶列向量。，称为影响矩阵或压缩矩阵。从（1）到（2）的变换称为协整变换。因为，所以于是，如果非平稳，则的分量不存在协整关系。如果平稳，则的分量存在协整关系。二的特征两种极端情形：1）所包含的变量不存在任何协整关系，如果平稳，则必然。2）所包含的变量不存在任何协整关系，如果平稳，则必然所包含的变量都是平稳的。第三种情形：如果非平稳，则平稳意味着中的变量一定存在协整关系。此时，则此时可以分解为，其中都是矩阵，称作协整参数矩阵，的每一列都是一个协整向量，共有个协整向量。结论：协整向量的最大可能个数是。此时具有误差修正形式。三协整参数矩阵的估计（JOHANSEN估计）：要正确的估计 其估计是在成立条件下，通过选择不同的值，对极大似然法对VAR模型进行估计。 估计过程如下：1用样本数据确定协整参数矩阵的秩，对于任何，模型的零假设是：，或者说。其中都是矩阵。2 构造LR统计量，得到极大似然函数：其中为了除去变量，而考察，则进行最小二乘回归：1） 对进行最小二乘回归，求得残差。2） 对进行最小二乘回归，求得残差。令，则此时建立如下统计量在零假设下：表示维维纳过程。表示迹。于是LR统计量也称为迹统计量，此时协整检验也称为迹检验。用迹统计量检验，或者说是一个连续