（水工结构工程专业论文）预应力梁式结构的动力特性和地震反应.pdf

摘要 摘要 首先，本文以预应力简支梁为例，分析了预应力在梁的横向振动过程中的 变化，建立了预应力梁横向弯曲振动的微分方程。采用模态摄动法，进一步推 导出预应力梁模态特性的近似分析方法，把复杂的变系数微分方程的求解转化 为线性代数方程组的求解，从而有效地简化了计算过程。通过算例，讨论了预 应力列梁的横向振动特性的影响。计算结果表明：当施加预应力的位置有较大 的偏心矩时，预应力对梁的自振特性有较大的影响。 其次，进一步将这一方法应用于对含有体外预应力弯起钢筋的更为复杂的 预应力梁的动力特性的分析，并且把所得结果和已进行的实验数据进行比较分 析。这部分着重讨论的是由于预应力钢索的倾斜所带来的影响，并与已有的实 验结果相比较，验证本文方法的准确性。 最后，总结前阶段的理论分析，以预应力桥梁和预应力渡槽为例，运用前 面所述方法，求出其模态特性。运用地震反应时程分析的纽马克方法，输入 e l - c e n t r o 波和相关人造地震波，分析了这两类梁式预应力结构的地震反应，把 几种工况的结果进行比较，得出一些有意义的结论。 关键词：预应力梁，预应力桥梁，预应力渡槽，横向振动，模态摄动法， 地震反应 a b s t r a c t a b s t r a c t f i r s t l y , t a k i n gas i m p l y - s u p p o r t e dp r e s t r e s s e db e a m a sa ne x a m p l e ，t h ec h a n g eo f t h ep r e s t r e s sf o r c ed u r i n gt h el a t e r a lv i b r a t i n gp r o c e s so ft h eb e a mi sd i s c u s s e da n d t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no fl a t e r a lv i b r a t i o nf o rt h es i m p l y - s u p p o r t e dp r e s t r e s s e d b e a mi so b t a i n e di nt h i sp a p e r t h em o d ep e r t u r b a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt oe s t a b l i s h t h ea p p r o x i m a t ea n a l y s i st e c h n i q u ef o rt h em o d a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h ep r e s t r e s s e d b e a mi nt h el a t e r a lv i b r a t i o n a st h er e s u l t ，t h es o l u t i o no ft h ec o m p l i c a t e dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t si so b t a i n e da p p r o x i m a t e l yb ys o l v i n g t h ea l g e b r a i c e q u a t i o n sa n dt h ec o m p u t a t i o n a le f f o r ti ss i m p l i f i e de f f e c t i v e l y t h ei n f l u e n c eo ft h e p r e s t r e s sf o r c eo nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e so ft h eb e a mi sa l s od i s c u s s e dt h r o u g ht h e e x a m p l ea n a l y s i s t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ee f f e c to ft h ep r e s t r e s sf o r c eo n t h ef i r s tm o d a lf r e q u e n c yo ft h eb e a mi ss i g n i f i c a n tw h e nt h ee c c e n t r i c i t yo ft h e p r e s t r e s sf o r c ea c t i o nl o c a t i o ni so b v i o u sr e l a t i v e l y s e c o n d l y , t h em e t h o d i su s e dt od e r i v et h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h e p r e s t r e s s e db e a ms t r e n g t h e n e dw i t he x t e r n a lb e n dt e n d o n s t h ee m p h a s i so ft h i sp a r t i st od i s c u s st h ee f f e c to ft h eg r a d i e n to ft h et e n d o n s t h en u m e r i c a lr e s u l t sa l e c o m p a r e dw i t ht h ee x p e r i m e n t a ld a t at ot e s t i f yt h ea c c u r a c yo f t h es u g g e s t e dm e t h o d i nt h i sp a p e r f i n a l l y , b a s e do nt h es u g g e s t e dm e t h o d ，t h ep r e s t r e s s e db r i d g e sa n da q u e d u c t s a r ea n a l y z e dt od e r i v et h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s t h en e w m a r km e t h o di su s e dt o c a l c u l a t et h ee a r t h q u a k er e s p o n s eu n d e rt h e e x c i t a t i o n so fe l c e n t r ow a v ea n d a r t i f i c i a lw a v e s t h er e s p o n s eu n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n si sc o m p a r e da n ds o m e s i g n i f i c a n tc o n c l u s i o n sa r ec o n c l u d e d k e y w o r d s ：p r e s t r e s s e db e a m ，p r e s t r e s s e db r i d g e s ，p r e s t r e s s e d a q u e d u c t s ，l a t e r a l v i b r a t i o n , m o d ep e r t u r b a t i o nm e t h o d ，e a r t h q u a k er e s p o n s e n 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的e i j 届, i 本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：旅哥亏 伽r 年弓月, , e l 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：龙萎哆名本 学位论文作者签名：浓讶孝 知盯年月，口e t 斌年弓月，e 1 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：豫芬巧 厂年乡月1 0 日 第章绪论 第一章绪论 1 1 预应力混凝土的发展历史 预应力混凝土结构是由普通钢筋混凝土结构发展而来。从1 9 世纪2 0 年代 水泥出现以来随着社会的发展、生产的需要，钢筋混凝土的应用得到了巨大的 发展。其发展史u 3 可划分为三个阶段，第一阶段中，在混凝土内加入钢筋而产生 了钢筋混凝土，于是结构混凝上第一次以合格的复合材料的身份登上了建筑材 料的历史舞台，第二阶段中，通过钢筋对混凝土进行力学处理而产生了预应力 混凝土，它使得结构混凝土成为一种具有强大生命力而可与其它任何材料媲美 的新型材料；第三阶段中，突破了全预应力混凝土的概念而发展了兼有全预应 力和普通钢筋混凝土两种结构优越性的部分预应力混凝土，使得结构混凝土的 发展日趋完善，成为当今的一种主要建筑材料而普及于全世界。 回顾预应力混凝土的发展史，许多杰出的工程师、科学家作了很多伟大的 尝试，提出很多杰出的发现、发明，使预应力混凝土从上世纪2 0 年代的婴儿成 长为现在的巨人。将预应力思想“2 3 首先应用于混凝土的则是美国工程师 p h j a c h s o n ，他于1 9 世纪8 0 年代在钢筋混凝土拱内张紧钢拉杆作楼板，并 获得专利，接着德国的c e d o e h r i n g 也获得了在楼板受荷前用已施加预应力 的钢筋来加强混凝土的专利，但这些早期的尝试都由于未认识到混凝土的收缩 徐变变形会产生过大的预应力损失而未能获得成功。1 9 0 8 年美国的斯坦纳 ( c r s t e i n e r ) 建议，在混凝土收缩徐变发生以后再张拉预应力筋，以减少预 应力损失。1 9 2 5 年美国的狄尔( r e d i l l ) 则首次采用带有涂层的预应力筋来 避免混凝土与预应力筋之间的粘结，待混凝土结硬后张拉预应力筋。但是由于 钢筋强度问题，这些方法都没有在工程中大量应用推广。直到1 9 2 8 年法国工程 师弗来西奈( f r e y s s i n e t ) 在总结前人经验的基础上，认识到徐变对预应力损失 的影响，提出了预应力混凝土必须采用高强钢材和高强混凝土之后，预应力混 凝土才进入实用阶段。 1 2 预应力原理的三种概念 第一章绪论 林同炎大师曾对预应力混凝土的原理总结了三种不同的概念口1 。 第一种概念预加应力使混凝土为弹性材料 这一概念把预应力混凝土基本看作混凝土经过预压后从原先抗拉弱抗压强 的脆性材料变为一种既能抗拉又能抗压的弹性材料。由此混凝土可看作承受两 个力系，即内部预应力和外部荷载。外部荷载引起的拉应力被预应力所产生的 预压应力所抵消。在正常使用状念下混凝土没有裂缝出现，甚至没有拉应力出 现。这是全预应力混凝土结构的情形，在这两个力系作用下所产生的混凝土的 应力、应变及挠度均可按弹性材料的计算公式考虑。 第二种概念预加应力使高强钢材与混凝土能共同工作 这种概念是将预应力混凝土看作是高强钢材与混凝土两种材料的一种结合， 它也与钢筋混凝土一样，用钢筋承受拉力、混凝土承受压力以形成一抵抗外力 弯矩的力偶。在预应力混凝土结构中采用的是高强钢筋。如果要使高强钢筋的 强度充分被利用，必须使其有很大的伸长变形，但是，如果高强钢筋也像普通 钢筋混凝土的钢筋那样简单地浇筑在混凝土体内，那么在工作荷载作用下高强 钢筋周围的混凝土势必严重丌裂，构件将出现不能容许的宽裂缝和大挠度。因 此，用在预应力混凝土中的高强钢筋必须在与混凝土结合之前预先张拉，从这 一观点看，预加应力只是一种充分利用高强钢材的有效手段，所以预应力混凝 土又可看成是钢筋混凝土应用的扩展，这一概念清晰地告诉我们：预应力混凝 土也不能超越材料本身的强度极限。 第三种概念预加应力实现荷载平衡 这种概念把预加应力的作用主要看作是试图平衡构件上的部分或全部的工 作荷载。如果外荷载对梁各截面产生的力矩均被预加力所产生的力矩抵消，那 么一个受弯的构件就可以转换成一轴心受压的构件。如果外荷载超过预加力所 产生的反向荷载效应，则可用荷效差值来计算梁截面增加的应力。这种把预加 力看成实现荷载平衡的概念是由林同炎先生提出的，这种方法大大简化了复杂 难解的预应力混凝结构的设计与分析，尤其适用于超静定预应力混凝土梁。 对于同一个预应力混凝土可以有三个不同的概念，它们之间并没有相互的矛 盾，仅仅是从不同的角度来解释预应力混凝土的原理。第一种概念j 下是全预应 力混凝土弹性分析的依据：第二种概念则是强度理论，它指出预应力混凝土也 不能超越其材料自身强度的界限；第三种概念则为复杂的预应力混凝土结构的 设计与分析提供了简捷的方法。 2 第一章绪论 1 3 预应力混凝土的分类 a 根据施加预应力值的大小分类 根据欧洲雹际混凝土委员会和国际预应力混凝土协会( c e p - f i p ) 第六届 会议的混凝土结构设计与施工建议，宜将混凝土划分为以下四个等级n _ “3 第1 级全预应力混凝土 在使用荷载作用下，截顽受拉边缘混凝土为压应力或零应力，不出现拉应力。 它相当于我国规范瞄1 裂缝控制等级中的级抗裂，即严格要求不出现裂缝。 第1 i 级有限预应力混凝土 在使用荷载作用下，允许截面受拉边缘混凝土出现拉应力，但需加以限制， 使其不超过混凝土抗拉强度值，在不同程度上控制混凝土的开裂。它相当于我 国规范哺1 中的二级抗裂，即一般要求不出现裂缝。 第1 ii 级部分预应力混凝土 在全部荷载最不利组合作用下，构件的混凝土允许出现裂缝，但裂缝宽度不 超过规定值，它相当于我国规范1 三级抗裂要求，即允许出现裂缝。 第1 v 级普通钢筋混凝土 由于这种分类法对部分预应力的优越性强调不够，容易造成错觉，会误认为 这是质量的等级，似乎i 级比i i 级好，i i 级比i i i 级好，造成盲目要求采用i 级的后果，于是产生摈弃上述分类法的意见改为根据对结构物功能的要求合理 选用预应力度的方法。认为预应力混凝土结构质量的高低，主要取决于它的使 用性能、强度和耐久性，诸如构件的反拱、挠度、裂缝、延性和抗腐蚀性能的 好坏等，而不取决于预应力度的高低。因此应制定满足结构使用性能的一些准 则，作为选用预应力度和保证结构性能的设计依据。 b 根据施工工艺分类 根据受拉钢筋和浇灌混凝土的先后次序，将施加预应力的方法分为先张法和 后张法两类心一1 。 先张法是先在台座上( 或钢模上) 布置钢筋，然后张拉钢筋并将其临时锚固 在台座或钢模上，安装模板、绑扎非预应力钢筋、浇灌混凝土；待混凝土养护 至一定强度( 一般不低于设计强度等级的7 5 ) 后切断或放松钢筋，当预应力钢 筋回缩时将挤压混凝土，使混凝土获得预压应力。 3 第一章绪论 后张法是指在构件混凝土的强度达到设计值后，利用预设在混凝土构件内的 孔道穿入预应力筋，以混凝土构件本身为支承张拉预应力筋，然后用特制锚具 将预应力筋锚固形成永久预加力，最后在预应力筋孔道内压注水泥浆防锈，并 使预应力筋和混凝土粘结成整体。 c 按预应力筋的位置分类 根据预应力筋在混凝土构件体内与体外位置的不同，预应力混凝可分为2 3 体内预应力混凝土与体外预应力混凝土。预应力筋布置在混凝土构件体内的称 为体内预应力混凝土。预应力筋布置在混凝土构件体外的称为体外预应力混凝 土。一般桥梁加固中都采用体外预应力筋。 1 4 预应力技术的发展 由于预应力筋处于受拉状态1 ，因此，其抗拉强度及弹性极限越高对整个 预应力梁来说性能越好。常采用高强钢丝、高强钢绞线和高强钢筋这三类预应 力筋。其中高强钢绞线是d = 1 5 7 0 ( 7 矽5 ) 和d = 1 2 0 ( 7 4 ) 钢绞线，其抗拉强度标 准值分别为1 4 7 0 n m m 2 和1 5 7 0 n 姗2 。高强预应力钢筋的采用推动了预应力技术 的发展。在此基础上，近年来预应力的施工工艺也不断创新，张拉锚固体系日 益完善。 1 5 地震对梁式结构的破坏 地震给人类带来了巨大的灾害口制，尤其是最近的2 0 余年，全球发生了许多 次大地震，其中多次破坏地震都集中在城市，造成不可估量的生命和财产损失。 如1 9 0 6 年美国旧金山大地震( m 8 。3 ) ，1 9 2 3 年日本关东大地震( m 8 2 ) 、1 9 6 0 年智利南部大地震( m 8 5 ) 、1 9 6 4 年美国阿拉斯加大地震( m 8 4 ) 、1 9 6 8 年日本 十胜冲大地震( m 8 0 ) 、1 9 7 1 年美国s a nf e r n a n d o 地震( m 7 0 ) ，1 9 8 9 年美国 l o m ap r i e t a 地震( m 7 o ) ，1 9 9 4 年美国n o r t h r i d g e 地震( m 6 7 ) 以及1 9 9 5 年 日本阪神大地震( m 7 2 ) 。一些城市在地震中受到严重破坏，经济和人员损失惨 重。而2 0 0 4 年1 2 月2 6 日南亚和东南亚国家地震( m 8 5 ) 而引发的海啸灾难造 成的死亡人数达4 0 万，直接和间接经济损失不可计数。 4 第一章绪论 我国是地震多发地盯8 1 ，有大致六个地震活动区，1 9 9 6 年至1 9 7 6 年，我国大 陆发生的八大地震均具有强度大、频度高、震源浅的特点。从地质构造上看， 都是断裂剧烈活动的地区。1 9 7 6 年唐山大地震( m 7 8 ) ，整个城市毁于一瞬间， 人员死亡近2 4 万，经济损失超过1 0 0 亿人民币。自唐山地震以来，地震防灾工作 受到了重视。随着我国经济实力的增强和交通发展的需要，桥梁和渡槽等梁式 结构的大型基础项目纷纷上马，上海南浦大桥、杨浦大桥、徐浦大桥、广东虎 门大桥、江阴长江大桥、苏通大桥。而世界上最大的水利工程n 引南水北调 工程己正式开工，此工程属国家一等工程，可基本缓解我国华中及华北地区水 资源供需紧张的局面，逐步消除影响北方经济发展的“瓶颈”，对沿线地区经 济可持续发展起到巨大推动作用。这些特大型项目的所在地都是地震高发区， 进行抗震研究和抗震设计是工程建设中的重要环节。 1 6 国内外研究现状和发展动态 预应力梁式结构已经广泛的运用到重大项目中。刳，1 9 5 6 年在北京至周口 店公路芦沟桥前哑吧河上修建一座跨径l = 2 0 m 装配式后张预应力混凝土简支梁 试验桥，为预应力应用于中国公路桥之始。6 0 7 0 年代，预应力混凝土简支梁、 板桥开始取代普通钢筋混凝土桥，修成后张梁桥；8 卜9 0 年代简支梁、板桥有 创记录的发展。简支梁板构造简单、施工方便，采用部分预应力理论的新型群 锚高强度低松弛钢绞线的后张空心板、箱梁的设计图已经出现3 叫引，可进一步减 少结构尺寸，加大跨径，并且能够节约钢材和混凝土的用量，经济效益显著。 预应力的存在，对结构的静力和动力特性均会产生影响n 引。预应力对结构 的静力影响已经有了不少的研究n 心3 ，但由于预加力对梁的横向振动的影响较为 复杂相关研究工作还不够深入啦3 2 引。预应力粱的地震反应研究还是比较少的， 大量的抗震分析中都直接将预应力梁和普通混凝土梁抗震性能等同考虑，这缺 少必要的理论依据和证明。事实上预应力的存在，以及预应力钢筋的较大偏心 矩对结构抗震肯定有一定的影响，需要研究存在哪些影响因素以及这些影响因 素的大小。文献 2 3 、2 4 对这一问题进行了研究，提出了由于偏心预加力的存 在，梁上附加了一个偏心矩，导致梁横向振动方程改变。而偏心矩的推导又由 预应力钢筋的偏心矩以及振动中预应力的改变量决定。文献 2 3 提出振动中预 应力的改变量和梁跨中的最大位移有关，并且成正比关系。 第一章绪论 1 7 本文的研究内容及论文结构 本文的研究内容从建立预应力梁的动力平衡方程开始，研究施加预应力后 梁的动力特性的分析方法并且讨论预应力对梁自振特性的影响。本文认同文献 2 3 的部分观点，认为由于偏心预加力的存在，梁上附加了一个偏心矩，导致 梁横向振动方程改变。而偏心矩的推导又由预应力钢筋的偏心矩以及振动中预 应力的改变量决定。但本文在预应力改变量的推导上提出新的观点，并且在结 论中讨论预应力的相关因素对振动的影响。接着把这一套方法运用到已完成的 模型试验的分析中，用实验的数据来验证本文方法的准确性。最后再把方法运 用到预应力运用较多的桥梁和渡槽的动力分析中，并且输入不同的地震波，具 体考察其地震反应的特点。 本文的论文结构为： 第二章预应力梁横向振动分析的模态摄动方法 在这部分分析中，首先推导出梁的预加力改变量，建立了梁横向振动的微 分方程，采用模态摄动法求解。得出预应力梁的频率特性，并且对影响结果的 几个因素进行讨论。这一部分的工作为下一步的分析奠定了基础，也从理论上 初步验证了本文提出方法的可行性和可信性。 第三章预应力梁横向振动分析方法的实验验证 这一章进一步将上一章的方法应用于含有体外预应力弯起钢筋的更为复杂 的预应力梁，分析其动力特性，并且把所得结果和已进行的模型实验的数据进 行比较分析，分析过程中采用多种方法进行比较分析，对结果的精确性和简便 性进行了讨论。 第四章预应力梁式结构的地震反应分析桥梁 第二、三章的分析已经从理论上和实验数据上验证了本文所采用方法的可 靠性和可行性，这一章进一步将这一方法推广到具体工程实例中，应用工程对 象为两座跨度为2 4 m 、3 2 m 的体内预应力桥梁。在求出其各阶频率特性后，输入 e l c e n t r o 波和广东东深供水改造工程中的基岩波、场地表面波，采用纽马克法 求出这一桥梁的地震反应。并且把考虑预应力和不考虑预应力的地震反应分析 结果进行比较。 第五章预应力梁式结构的地震反应分析渡槽 这一章主要将这套地震反应分析的方法运用到偏心矩较大的渡槽结构中， 6 第一章绪论 讨论预应力对渡槽动力特性和地震反应的影响，同时还讨论渡槽内有无水体对 渡槽竖向地震反应的影响。 第六章结论与展望 总结本文所做的研究工作，提出方法的工程简便方法和实践意义，并且对 今后的工作进行展望。 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 目前，预应力结构已经广泛地应用于工业民用建筑和交通运输建筑中。预应 力的存在，对结构的静力和动力特性均会产生影响。预应力对结构的静力影响已 经有了不少的研究，但由于预加力对梁的横向振动的影响较为复杂，相关研究工 作还不够深入。本文从建立预应力梁的动力平衡方程开始，研究施加预应力后梁 的动力特性的分析方法并且讨论预应力对梁自振特性的影响。 2 1 体内预应力梁横向振动方程 如图2 1 所示，在钢筋混凝土简支梁中，预应力钢筋轴线两端锚固点上作用 有一对预加力，偏心矩为e 。由于是偏心受压，那么在梁的受力分析中，在两端 面上除了一个轴压力届外，还有一个附加力偶，其初始值为m - p 。e 。在梁的振 动过程中，由于梁的动变形，使得梁两端的预加力有一定的变化。因此，可设 p 。p o + 卸 ( 2 1 ) m p e - 0 ，0 + p 弘 p o 上中性轴上p ( e ， 卜、 j上 p o 图2 1 预应力梁的受力图 在自由振动条件下，梁的受力模型如图2 2 所示，图中x 轴为梁的中性轴。 皿圈皿皿血皿皿o m sl y瓦 图2 2 预应力梁的动力分析示意图 据此可得出梁在预应力作用下的弯曲振动微分方程乜泐1 为： 9 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 _ 1 0 2 e i 飞x0 2 y 。卜警一警+ 所害一。 亿2 ， 式中e i ( x ) 为梁的抗弯刚度，m 为梁的单位长度质量，y 为振动位移。 把式( ；1 ) 代入式( 2 2 ) 得 斗8u ，卦oy 等+ 挈一学一学忡，害t 。亿3 ， 若假定所考虑的是均匀梁，梁的截面抗弯刚度e i 和单位梁长的质量m 都为 常数，同时届和e 也为常数，而p 和y 为坐标x 的函数。一般认为y 远小于e ， 因此劬远小于a p e ，可以忽略不计。这样，式( 2 3 ) 为： 日+ 朋等+ 风亭? 一。 c 2 2 2 卸 ) 的计算模型 卸是随振动位移的变化而变化的预加力改变量，它对梁振动的影响表现在式 ( 2 4 ) 中的最后一项，减小了梁截面上的剪力，这一剪力的大小还与偏心矩成 比例。为使方程可解，需建立起卸与y 间的联系。这一关系较为复杂，本文假定 卸与梁的振动位移y 成正比： y ( x ) 一d o ) 卸o ) ( 2 5 a ) a p ( x ) 一器 ( 2 5 ” 式中系数o ( x ) 在不同截面x 处是不同的，可通过结构力学中的图乘法汹1 加以 确定。下文以简支梁为例，说明图乘法的实施过程，对于其它端部条件，图乘法 的实施过程是类同的。 图2 3 所示分别为简支梁在单位力作用下的弯矩图，偏心单位预应力引起的 弯矩图和轴力图。 1 0 第二章体内预麻力梁横向振动的模态摄动法 n - 叮田田皿 一l 图2 3 梁的内力图 如图2 3 所示，在梁上任一点作用横向集中力f 时，由图乘法可得锚固点产 生的水平位移： m ) 一，警d x - s 面1 圳叫e f 。 ( 2 6 ) 而在锚固点作用单位力引起该锚固点的水平位移可由下式计算： 小璧出+ 辟z 等+ 击 由力f 引起锚固力变化为： 印一妄t 警蔫f 热f 居，为黼喷性将 力f 的作用点处梁的位移为 ”警， 由式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 可得： 胪墼裟塑卸j p 同时根据位移互等定律，印在f 作用点处产生的向上位移y 肇为： y 肇一警印 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 由y ，一印一y ，- y 印与式( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，可得梁x 处的实际位移为： ) ，。x ( 1 - x ) ( e 2 + 4 i 2 ) 卸 ) ，。印。萄厂一印 1 l ( 2 1 2 ) 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 所以 荆- 警叫h 百1 卅叫 ( 2 1 3 ) 其中：“焘 将式+ ( 2 5 ) 式和( 2 1 3 ) 代入式( 2 4 ) 可得 日+ 肌軎+ 氓_ 叁) 丽0 2 y + 研2 k e ( 1 - 2 x ) 否o y 一擞并y - 。( 2 4 ， 上式为粱在预加力作用时的无阻尼自由振动方程。可以看出，由于预加力的 作用，使梁的横向振动比b e r n o u l i - e u l e r 梁( 简称b - e 梁) 要复杂得多。即使 是均匀梁，其横向振动方程也成为变系数的复杂微分方程，求解难度增加。 众所周知，均匀等截面的b - e 梁的横向自由振动方程为 日粤+ 肌粤。0 ( 2 1 5 ) 显然，偏心施加预应力的影响在式( 2 1 4 ) 中表现为最后3 项，因此不考虑 预应力对粱振动特性的影响是不尽合理的，但影响程度如何需要深入研究。 2 3 预应力梁动力特性的求解方法 获得式( 2 1 4 ) 式的解析解是十分困难的，文献 2 3 、2 4 中对其求解作了一 些假定，比如假定卸与梁中点振动位移y 成正比( 即在式( 2 1 2 ) 中取x = l 2 ) ， 从而得到振动方程为 日軎棚o g _ l ”高】面o z y 一。 ( 2 1 6 ) 此时可解得梁的振型函数为吮o ) 。s i n 罕，相应的自振频率为 a 鲁咩炮 仫m 其中 ( 2 1 8 ) 本文对式( 2 1 8 ) 作一些讨论。从式( 2 1 8 ) 可以看出，预加压力届使梁的 1 2 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 自振频率减小，而预加力的偏心矩e 使梁的自振频率增大；将式( 2 1 8 ) 写成如 下形式： 磊一 一一丢去) 2 面p o ( 1 柏 ( 2 ，9 ) 鼽肛等南。等桶1 p oi + l li 从上式可以看出，由于n 的平方项出现在分母中，所以随着振型阶序n 的升 高，预应力对梁自振频率影响迅速减小。同时还可以看出，当p l 时，偏心矩e 的影响大于预加压力1 9 0 的影响，预应力的总效应使梁自振频率增大，反之当卢 1 时，预加压力p o 的影响大于偏心矩e 的影响，预应力的总效应使梁自振频率减小。 对比方程( 2 1 4 ) 和( 2 1 6 ) 可以看出，偏心矩的影响还出现在式( 2 1 4 ) 中的4 、5 项中，特别是y 前的系数为负值，表明此项相当于沿梁有一作用系数 为负的分布弹簧，它使梁的自振频率减小。这就说明偏心矩对梁振动特性的影响 是复杂的，为更为全面地了解这种影响，应直接求得方程( 2 1 4 ) 的解。 本文不采用文献 2 3 、2 4 的上述假定，应用模态摄动法汹1 直接建立求解式 模态摄动法的基本思路是：把预应力梁看成b - e 梁经过参数修改后的新系统， 这样就能在b - e 梁分析的基础上，近似地获得问题的解。 模态摄动法求解过程如下： 设b e 梁的各特征值为九( 一一2 ) ，对应的主模态函数为唬 ) 。假定预应 力梁的特征值和主模态函数由b - e 梁相应阶序的特征值和主模态函数经过摄动而 九。九+ 九，纯一九+ 屯 ( 2 2 0 ) 其中无厩2 ，摄动变量九为除纯之外b e 梁的其余主模态函数的线性组合： 谚一嘭日， ( 2 2 1 ) 由于b e 梁有无穷多个主模态，m 应为，但在一般情况下，取有限个低阶 主模态进行近似计算，即m 为j 下整数。 1 3 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 将式( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 代入式( 2 1 4 ) ，并在两端左乘仇( k = 1 ，2 ，3 ，m ) 后沿全梁积分，利用b - e 梁主模态的正交性条件，可得一m 维非线性代数方程组： 式中共有m 个未知数， ( 【彳】+ 凡【b 】) q ) - t 以) 即九，q j ( j = 1 ，2 ，m ，j n ) ，且有 ( 2 2 2 ) 【a 】暑【q l 】+ 【q 2 】+ 【q 3 】+ 日【q 5 卜九加【q 4 】 ( 2 2 3 ) k 】 【q l 卜 【q 2 卜 q 3 卜 一 q l l l q 1 2 l q 2 l l q 2 2 l q 2 。 q 3 l l q 3 2 l 陋卜一小【q 6 】) q l h + q 2 1 一+ q 3 l i l q 1 2 ，i + q 2 2 。+ q 3 2 j i + q 2 。 q l l 2 q 1 2 2 q u ： q 撕2 q 2 1 2 q 2 2 2 q 2 i 2 q 2 ，2 q 3 1 2 q 3 2 2 瓯2 q 3 2 q l h q 1 2 ， q l 拥 纰。 q 2 l _ q 2 2 。 q 2 。 q 3 h q 3 2 _ q = d i a g q 川，q 。托，q 。一，q 4 。】 q 5 - d i a g q sn ，q 5 ：，o ，q 5 】 1 4 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 朋 一 一 一 q 州 0 o o 一 0 j 一 o o o o 0 o 一0 一 o 一一 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 【q 6j 。d i a g q 4 1 1 ，q 4 2 2 ，0 ，q 4 。，】 ( 2 3 1 ) m + 一等】 汜3 2 ， 其中：q 面= l ( 昂一瓦冬) 识。) 西o ) 出 ( 2 3 3 ) 一上( 器署川石蚋出 c z 3 4 ， 一鼍带。地。渺 汜3 5 ， q 嘶- f 呶 ) 咖o ) 出 ( 2 3 6 ) q 5 村- f 欢o ) 西4 o 皿 ( 2 3 7 ) 式( 2 2 2 ) 为一非线性代数方程组，可采用迭代法求解，在求得未知数后， 不难利用式( 2 2 0 ) 获得预应力梁的自振频率历和振型( 即模态特性石) 。 2 4 数值验证 取简支梁截面宽度b = 3 0 0 m m ，高度h = 6 0 0 m m ，梁长l 、预加力届和偏心矩o 在 计算中取不同值，以讨论这些参数的影响。 在此算例中采用3 种不同方法计算预应力简支梁的自振频率。这3 种方法分 别是：( 1 ) 不考虑预应力影响，即按b - e 梁计算；( 2 ) 文献 2 3 、2 4 方法；( 3 ) 本文建议的模态摄动法( 取1 0 个r i t z 向量) ，表2 卜表2 3 给出了相关的计算 结果。 各表中： 误差l = ( 文献 2 3 计算结果一本文计算结果) 本文计算结果 上述计算并不是表示本文方法所得结果为精确解，只是表示两种方法结果间 差别的大小； 误差2 = ( b - e 梁计算结果一本文计算结果) 本文计算结果 误差3 = ( b - e 梁计算结果一文献 2 3 计算结果) 文献 2 3 计算结果。 上述相对误差为b - e 梁分析结果分别与其他两种分析方法结果之间的比较， 1 5 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 能够反映不考虑预应力影响所能产生的误差趋势。 表2 1 中列出了用不同预加力届对梁自振频率的影响，其中e = l o o m m ，l = l o m ， l i = 5 7 7 3 5 。“误差1 一栏中的数据表明，按方法2 和方法3 计算所得的低阶自 振频率间将有较大的差别。从表中“误差2 和“误差3 两组数据可看出：当 偏心矩较小时，按本文方法计算，预加力大小变化对梁的各阶自振频率的影响不 大，按b e 梁计算不会产生较大的误差。但按文献 2 3 方法计算，预加力大小变 化对梁的基频有较大的影响。 表2 1 a 不同预加力届对梁自振频率的影响( , 0 0 = 2 0 0k n ) 表2 1 b 不同预加力届对梁自振频率的影响( 届= 5 0 0k n ) 表2 1 c 不同预加力届对梁自振频率的影响( 届= 8 0 0k n ) 对于矩形截面梁，i 一 2 石，则k 。6 e l e ( e 2 + 甜2 ) 1 5 e b h 2 o e h + h e ) ，可 见e h 是影响梁自振频率的参数之一。表2 2 中给出了不同大小的偏心矩e 对梁 1 6 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 自振频率的影响，其中p o = 5 0 0 k n ，l = 1 0 m ，l i = 5 7 7 3 5 。分别取偏心矩e = 5 0 、1 0 0 和2 0 0 r a m ，其中e = 1 0 0 r n m 时的计算结果已在表2 1 b 中列出，其它两种计算工况的 结果列于表2 2 中。从表2 2 和表2 1 b 中的数据可看出：预加力鼹偏心矩的大 小对梁的各阶自振频率的影响较大，偏心矩越大，按b e 梁计算产生的误差也越 大。 表2 2 a 不同偏心矩e 对梁自振频率的影响( e = 5 0 m ，e h = 0 0 8 3 ) 表2 2 b 不同偏心矩e 对粱自振频率的影响( e = 2 0 0 m m ，e h = 0 3 3 3 3 ) 下面进一步考察不同长细比对预应力梁自振频率的影响，计算中取届 = 5 0 0 k n ，e = 1 0 0 m m 。梁长l = 1 0 、1 8 和2 4 m ，其中l = 1 0 m 时的计算结果已在表 2 1 b 中列出，其它两种计算工况的结果列于表2 3 中。从表2 3 和表2 1 b 中的数 据可看出：随着梁的长细比增大，预加力对梁的基频的影响加大，按b e 梁计算 产生的误差也越大。 表2 3 a 不同长细比对梁自振频率的影响( l = 1 8 m ，l i = 1 0 3 9 2 3 ) 1 7 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 表2 3 b 不同长细比对梁自振频率的影响( l = 2 4 m ，l i = 1 3 8 5 6 ) 为更为直观地比较两种计算方法所得梁自振频率，将表中“误差1 ”栏中数 据制成图2 4 _ 2 6 。很明显，差别主要在第1 阶自振频率上。 慵饥1 0乱l s丑 o 嚣o 舯o 蕙 e h ( p = 5 0 0 i n 。l = i o ll i = 5 7 7 3 5 ) 图2 4 不同预加力大小下两种方法的比较 图2 5 不同预应力偏心矩时两种算法的比较 一 柚l 柏 l l( p = 5 0 0 k n g = 1 0 0 - ) 图2 6 不同细长比下两种算法的比较 差 差 差 为了说明预应力对梁的振动模念影响，下面选取相对误差比较大的两种计算 工况，表2 4 和表2 5 列出式( 2 2 1 ) 中的b e 梁的组合系数，即广义坐标 q ) 1 8 第二章体内预应力粱横向振动的模态摄动法 ( j = 1 ，2 ，m ) ，其中当n = j 时，曰为梁的特征值修正比例九九。工况一： e = 2 0 0 n 咖，p = 5 0 0 k n ，l = l o m ：工况二：e = l o o m m ，p = 5 0 0 k n ，l = 2 4 m 。 表2 4 工况一中b - e 梁主模态组合系数 由表2 4 和2 5 可以看出，随着阶序j 值增大，b e 梁主模态的修正影响减 小。由于梁的对称性，b - e 梁的正对称主模态对预应力梁的正主模态进行修正； b - e 梁的反对称主模态对预应力梁的反主模态进行修正，可按正、反对称主模态 分别计算。 2 5 结论 由以上几组数据可得到一些初步认识，预加力对预应力梁的动力特性有一定 的影响，特别在预加力的偏心矩较大或梁的长细比较大时，对梁的基频影响较大。 因此，在比较重要的大型预应力结构的动力反应分析中应关注预加力的影响。比 较本文和文献 2 3 、2 4 的近似计算方法，文献 2 3 、2 4 方法较为简便，但仅适用 1 9 第二章体内预应力梁横向振动的模态摄动法 于偏心矩很小的情况。对预加力偏心矩或长细比较大的预应力梁，在计算梁的第 一阶自振频率时，该方法有可能会产生较大误差，建议在重要的预应力梁中采用 本文所阐述的方法。应该指出，本文方法是在一些假定下通过理论推导获得的， 有待进一步通过实验或实测结果进行验证。 第三章体外预应力梁横向振动分析方法与实验验证 第三章体外预应力梁横向振动分析方法与实验验证 上一章采用了复杂梁动力分析模态摄动法计算体内预应力梁的动力特性。 近年来，体外预应力钢筋舯铂也越来越多的在工程中采用，既用于预应力混凝土 桥梁、特种结构和建筑工程结构等新建结构，也用于旧有的混凝土结构的重建、 加固及维修，同时还用于临时性预应力混凝土结构或施工临时性钢索。本章将 进一步将这一方法应用于含有体外预应力弯起钢筋的更为复杂的预应力梁动力 特性进行分析，并且把所得结果和已进行的实验数据进行比较分析。这部分着 重讨论的是由于预应力钢筋的弯起导致卸算法的改变。因前人有已完成的实 验，并且实验数据完整，所以可以对照实验数据验证方法的准确性，并尽可能 提出简便、科学的方法。 3 1 体外预应力梁横向振动方程 如图3 1 所示，在简支梁的预应力钢筋两端锚固点作用有一对预加力，偏 心矩为e ，其中0 表示的是钢筋弯起的角度，a 表示的是钢筋弯起的距离。由于 是偏心受压，那么在两端面上除了一个轴压力o ；p 。c o s o 外，还有一个附加力 偶，其初始值为m 。一p o e c o s 。在梁的振动过程中，由于梁的动变形，使得梁 两端的预加力有一定的变化。因此，可设 n p c o s o = ( + p ) c o s o ，。，、 m t p e c o s 0t ( p o + p ) e c o s o po 图3 1 钢筋弯起示意图 在自由振动条件下，梁的受力模型如图3 2 所示。 2 1 第三章体外预应力梁横向振动分析方法与实验验证 nv ” 。卜i 田1 圈t 匝i 卫田甄_ 与 。 0 山7 h 。 图3 2 预应力梁的动力分析示意图 按照第二章的分析，可得出梁在预应力作用下的弯曲振动微分方程为： 导f 日軎卜警一罟+ 所害一。 2 ， 式中e i ( x ) 为杆的抗弯刚度，m 为梁的单位长度质量，y 为振动位移。 把式( 3 1 ) 代入式( 3 2 ) 得 蔷日等卜学+ 学一挈一学+ 肌窘z 。 ( 3 3 ) 若假定所考虑的是均匀梁，梁的截面抗弯刚度e i 和单位梁长的质量m 都为 常