（机械设计及理论专业论文）双圆弧弧齿锥齿轮传动的三维建模及切齿啮合模拟与分析.pdf

天津工业大学硕士学位论文 摘要 作为一种新型齿轮传动方式，双圆弧弧齿锥齿轮传动不论在齿线方向、 还是在齿高方向，均为凸、凹齿廓相啮合，因而它比一般的弧齿锥齿轮传动 的承载能力高，使用寿命长；并且在啮合过程中两齿面间容易形成润滑油膜， 具有良好的跑合性能，所以对它的应用和研究日益受到人们的重视。 本论文首先根据双圆弧齿轮传动的啮合理论，结合其齿形特点和弧齿锥 齿轮的加工原理，进行了双圆弧弧齿锥齿轮的切齿啮合分析，得到了切齿啮 合过程中的啮合方程、产形轮齿面方程以及双圆弧弧齿锥齿轮的通用齿面方 程，为下一步生成双圆弧弧齿锥齿轮的三维模型打下了基础。 在上述工作的基础上，综合应用计算机图形学理论、c 语言、v c + + 语言、 a u t o l i s p 编程以及c a b 技术，编制了一交互式图形系统和双圆弧弧齿锥齿 轮的三维建模软件。其中，c 语言是计算部分，a u t o l i s p 语言是模型建立部 分，v c + + 语言完成程序界面的生成。在参数界面中，不但有各个参数的编辑 框，而且还有锥齿轮的结构图和双圆弧齿轮的基本齿形图，这样可以一边参 照图形边进行设计。从而大大提高了设计效率；另一方面，点击相应按扭 后，可以马上得到这种双圆弧弧齿锥齿轮的三维模型。同时也可直接输入齿 轮参数和齿形参数，来生成相应齿轮的三维模型，从而证明了前面推导的双 圆弧弧齿锥齿轮通用齿面方程式的正确性。 在实体建模程序中，以双圆弧弧齿锥齿轮的加工原理为基础，借助绘图 软件a u t o c a d ，模拟了双圆弧弧齿锥齿轮铣刀盘刀齿形状、轮齿毛坯形状等， 进而根据产形轮与被加工齿坯之间的共轭啮合关系，进行了双圆弧弧齿锥齿 轮的实体建模及加工过程模拟，在屏幕上动态显示刀具及被加工齿轮的相对 位置及其加工时的运动轨迹和规律。 最后，通过比较双圆弧弧齿锥齿轮齿面理论方程与加入刀位及刀位角误 差后的齿面方程，应用上述软件和通过进一步的数值计算，进行了无误差的 理论齿形与加入刀位及刀位角误差后所得到的实际齿形之间的定量分析，比 较直观、方便、准确地对刀位及刀位角误差对双圆弧弧齿锥齿轮的齿形以及 传动的影响进行了初步研究。 关键词 ：双圆弧弧齿锥齿轮传动、齿面方程、啮合分析、误差分析、三 维建模、加工过程模拟 丕堡三些，大堂堡主兰些堡兰! ! ； a b s t r a c t a san e w t y p eg e a rt r a n s m i s s i o n ，d o u b l ec i r c u l a ra r cp r o f i l eb e v e lg e a r i n g c a r r i e so u ti t st r a n s m i s s i o nb ym e a n so f m e s h i n g b e t w e e nc o n v e x c o n c a v et o o t h p r o f i l ei nb o t ho f t h ed i r e c t i o no ft o o t ht r a c ea n dt h ed i r e c t i o no ft o o t hd e p t h ，s o i th a s a d v a n t a g e o f h i g h l o a d c a p a c i t y , l o n g s e r v i c e l i f e ，e a s yf o r m i n g h y d r o d y n a m i co i lf i l mb e t w e e nt e e t ha sw e l la sh i g hq u a l i t yo fr u n n i n g i ne t c t h e r e f o r e ，m o r ea t t e n t i o nh a sb e e np a i dt oi t sa p p l i c a t i o na n dr e s e a r c hi nr e c e n t y e a r s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，f i r s t ，b a s e do nt h et h e o r yo fw - n g e a r i n g ，c h a r a c t e r i s t i c o ft o o t h p r o f i l e a sw e l la st h e p r o c e s s i n gp r i n c i p l e o fh e l i c a lb e v e lg e a r ，a c u t t i n gm e s h i n ga n a l y s i sa b o u td o u b l ec i r c u l a ra r cp r o f i l eb e v e lg e a rw a sc a r r i e d o u t ，t h ee q u a t i o no fm e s h i n gi nt h ep r o c e s so fc u t t i n gt o o t h ，t h es u r f a c ee q u a t i o n o fg e n e r a t i n g g e a r a sw e l la st h e g e n e r a lt o o t hs u r f a c ee q u a t i o no fd o u b l e c i r c u l a ra r cp r o f i l eb e v e lg e a rw e r eo b t a i n e d w h i c he s t a b l i s h e daf o u n d a t i o nf o r b u i l d i n gt h r e e d i m e n s i o n a lm o d e l o fd o u b l ec i r c u l a ra r c p r o f i l eb e v e lg e a r s e c o n d ，b a s e do nw o r k sm e n t i o n e da b o v e ，a ni n t e r a c t i v eg r a p h i cs y s t e m ， i e a l li n t e r a c t i v ep a r a m e t r i ct h r e e d i m e n s i o n a lm o d e l - b u i l d i n gs o f t w a r ea b o u t d o u b l ec i r c u l a ra r cp r o f i l eb e v e lg e a rw e r ee s t a b l i s h e da c c o r d i n gt o c o m p u t e r g r a p h i c s ，cl a n g u a g e ，v c 十+ l a n g u a g e ，a u t o l i s pp r o g r a m m e da n dc a d t e c h n o l o g y ，i nw h i c h ，l a n g u a g e c c o m p l e t e dc o m p l i c a t e d c a l c u l a t i o n ， a u t o l i s pl a n g u a g ef i n i s h e dm o d e l - b u i l d i n g v c + + l a n g u a g ea c c o m p l i s h e d t h eg e n e r a t i o no fp r o g r a mi n t e r f a c e i np a r a m e t r i ci n t e r f a c eo ft h i s s o f t w a r e ， t h e r ei sn o t o n l yt h ee d i t o r f r a m eo fe v e r yp a r a m e t e rb u ta l s ot h es t a n d a r d s c h e m e so fd o u b l ec i r c u l a ra r c p r o f i l e a n dt h es t r u c t u r a ls c h e m eo fb e v e l g e a r ：w ec a nd e s i g nt h eg e a r i n ga c c o r d i n gt ot h es c h e m e se f f i c i e n t l y o nt h e o t h e r h a n d ，a f t e r c l i c k i n gc o r r e s p o n d i n gb u t t o n ，w e c a n g e t t h e t h r e e d i m e n s i o n a lm o d e la t o n c e s i m u l t a n e i t y i tc a r l g e n e r a t e t h e t h r e e d i m e n s i o n a lm o d e lo fc o r r e s p o n d i n gg e a ri nam i n u t ea f t e r b yd i r e c t l y i n p u t t i n gg e a rp a r a m e t e r sa n dt h ep a r a m e t e r so ft o o t hf o r m ，w h i c hc o u l dp r o v e t h a tt h eg e n e r a lt o o t hs u r f a c ee q u a t i o no fd o u b l ec i r c u l a ra r cp r o f i l eb e v e lg e a r o b t a i n e da b o v ew a sc o r r e c t r i 天津工业大学硕士学位论文 i nt h es o l i dm o d e lb u i l d i n gp r o g r a m ，b a s e do nt h ec u r i n gt o o t ht h e o r yo f d o u b l ec i r c u l a ra r cp r o f i l es p i r a lb e v e lg e a ra n da u t o c a ds o f t w a r e ，as e r i e so f c o m p u t e rs i m u l a t i o n sa b o u ts o l i dm o d e lb u i l d i n ga n dc u t t i n gt o o t hp r o c e s so f t h eg e a rw e r ec u r r i e do u t t h ec u t t e r st o o t hs h a p e ，t h ep r o c e s s e dg e a rb l a n k s h a p ea n d i t s c o n j u g a t e d t o o t h p r o f i l es h a p e a sw e l la sv i s u a lm o v e m e n t r e l a t i o n s h i p b e t w e e n g e n e r a t i n gg e a r a n d p r o c e s s e dg e a r b l a n ke t c w e r e o b t a i n e d t h er e l a t i v e p o s i t i o n o fc u t t e ra n dp r o c e s s e d g e a r a sw e l la st h e m o v e m e n tt r a c ea n dr u l ei nt h ec u t t i n gp r o c e s sc a l lb es h o w e dd y n a m i c a l l yo n s c r e e n f i n a l l y ，b ym e a n so fc o m p a r i n gt h et h e o r e t i c a lt o o t hs u r f a c ee q u a t i o nw i t h t h et o o t hs u r f a c ee q u a t i o ni n c l u d e de r r o r so fc u t t e rp o s i t i o na n dc u t t e rp o s i t i o n a n g l e ，t h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i so f t h et h e o r e t i c a lt o o t h s h a p ea n d t h et o o t hs h a p e c o n s i d e r i n gt h ee r r o r so fc u t t e rp o s i t i o na n dc u t t e rp o s i t i o na n g l ew a sc u r r i e d o u tb a s e do nt h es o f t w a r ea b o v e f r o mw h i c h ，t h ee f f e c to fe r r o r so fc u t t e r p o s i t i o n a sw e l la sc u t t e r p o s i t i o na n g l e o nt h e p r o c e s s e dt o o t hs h a p ea n d t r a n s m i t t i n gb e h a v i o r o ft h i sk i n do f g e a r i n gw a ss t u d i e d k e yw o r d s ：d o u b l ec i r c u l a ra r ep r o f i l eb e v e lg e a r ；t o o t hs u r f a c ee q u a t i o n ； m e s h i n ga n a l y s i s ；e r r o ra n a l y s i s ；t h r e e d i m e n s i o n m o d e l b u i l d i n g ；c u t t i n g p r o c e s ss i m u l a t i o n i i i 第一章绪论 第一章绪论 1 1 圆弧齿轮传动发展简介 齿轮是能互相啮合的有齿的机械零件，它在机械传动及整个机械领域中的应 用极其广泛。现代齿轮技术已达到：齿轮模数o 0 0 41 0 0 毫米；齿轮直径由1 毫米1 5 0 米；传递功率可达十万千瓦；转速可达十万转分；最高的圆周速度达 3 0 0 米秒。 齿轮在传动中的应用很早就出现了。公元前三百多年，古希腊哲学家亚里士 多德在机械问题中，就阐述了用青铜或铸铁齿轮传递旋转运动的问题。中国 古代发明的指南车中已应用了整套的轮系。不过，古代的齿轮是用木料制造或用 金属铸成的，齿廓曲线采用最简单的直线，只能传递轴间的回转运动，速度低， 功率小，不能保证传动的平稳性。 随着生产的发展，齿轮传动的功率日益增大，速度越来越高，齿轮传动的平 稳性日益受到重视，轮齿齿廓曲线的选择就显得十分重要。1 6 7 4 年丹麦天文学 家罗默首次提出用外摆线作齿廓曲线，以得到运转平稳的齿轮。由于摆线的制造 和安装较困难，限制了它的发展。 1 8 世纪工业革命时期，齿轮技术得到高速发展，人们对齿轮进行了大量的 研究。1 7 3 3 年法国数学家卡米发表了齿廓啮合基本定律；1 7 6 5 年瑞士数学家 l e o n h a r de u l a r 建议采用渐开线作为齿廓曲线。渐开线齿廓在制造和安装上都显 示出很大的优越性。经过2 0 0 多年的实践，获得了广泛的应用。 近几十年来，现代生产和科学技术的迅速发展，对高速、重载、大功率的齿 轮传动装置提出了更高要求。为了提高齿轮传动的承载能力和传动的平稳性，人 们开始创造新的啮合制，圆弧齿廓齿轮的提出，即属于此。 1 9 2 6 年，美国的e w i l d h a b e r 提出了法面为圆弧齿廓的斜齿轮，该齿轮 为凸凹齿廓啮合，凸齿只有齿顶部分，凹齿只有齿根部分，但是，这种齿轮由于 凹齿齿顶厚度很小，因而弯曲强度较弱，易于折断，因此没有应用到生产上。 1 9 5 6 年，前苏联的诺维柯夫( 娩珏h o bhkob ) 发明了一种端面为圆弧的 圆弧齿轮，但为了制造方便，建议采用法面齿廓为圆弧。w “d h a b e r 齿廓和h o i 第一章绪论 bh kob 齿廓非常接近，所以国际上统称为w - n 齿轮( w i l d h a b e r - n o v i k o v 齿轮) 。 诺维柯夫对该种齿轮作了系统的理论分析和强度计算，因而在工业上得到了广泛 的应用。 圆弧齿轮不同于渐开线齿轮啮合的线接触，理论上，圆弧齿轮齿面在啮合过 程的每一瞬间是通过一个或几个点接触的。因此，圆弧齿轮传动属于点啮合制。 点啮合使齿轮对制造不精确和轮齿变形的敏感性减小。另外，当加载跑合后，凸 齿齿廓在接触点处的曲率半径逐渐增大，凹齿齿廓在接触点处的曲率半径逐渐减 小，两工作齿面曲率半径逐渐趋于相等，因此，圆弧齿轮的接触强度是很高的。 二十世纪6 0 年代，圆弧齿轮的应用主要是单圆弧齿轮传动，虽然其综合承载能 力较高，但抗弯强度较差。1 9 7 0 年，英国的s t u d a r 提出了分阶式双圆弧齿轮， 它除了具有凸凹齿廓啮合的优点外，不存在凹齿廓齿顶过弱问题，而且其重合度 比单圆弧齿轮几乎提高了一倍，因而在接触强度和弯曲强度方面，都比渐开线和 单圆弧齿轮传动有很大幅度的提高。在以后3 0 多年时间里，圆弧齿轮传动这种 新的齿轮传动形式在工业应用中得到了飞速发展，并日益显示出其承载能力高、 使用寿命长和加工简单等优点。 对于齿轮齿线的研究也取得了重大突破，直齿线发展的最早。为了提高齿轮 的综合使用效果，人们试图改变齿线形状。二十世纪初，美国格里森公司( g l e a s o n w o r k s ) 首先创造了以圆弧齿线为特征的格里森锥齿轮。二十世纪4 0 年代，日本 的长谷川吉三郎为了回避加工小型人字齿轮所遇到的障碍，试想用圆弧状代替人 字状，并设计出了圆弧齿线齿轮( t h ec i r c u l a r a r ct o o t ht r a c eg e a r ，简称c a t t 齿轮) 的切齿机床。二十世纪6 0 年代初美国的m l b a t t e r 也对圆弧齿线发生兴 趣，试图把螺旋锥齿轮沿齿宽方向做成圆弧状。在我国，部分厂矿、 皖校和科研 单位曾对双圆弧弧齿锥齿轮先后做了不同程度的实验研究，直到二十世纪8 0 年 代，太原工学院齿轮研究所在双圆弧等高齿弧齿锥齿轮的实验研究中取得成功， 使双圆弧齿轮传动的发展进入了一个新的阶段。 1 2 计算机图形学简介 计算机图形学( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 是研究怎样用数字计算机生成、处理和 显示图形的- - f 学科。图形的具体应用范围很广，但是从基本的处理技术看只有 两类，一类是线条，如工程图、地图、曲线图表等：另一类是明暗图，与照片相 似。为了生成图形，首先要有原始数据或数学模型，如工程人员构思的草图，地 2 蔓二童堕笙 形航测的判读数据，飞机的总体方案模型，企业经营的月统计资料等等a 这些数 字化的输入经过计算机处理后变成图形输出。计算机图形学把传统的图学、几何 学、应用数学同现代的计算机技术相结合，与c a d 结合形成一门新兴的边缘性 学科。 1 2 1 计算机图形学的发展 计算机图形学的研究起源于麻省理工学院。从二十世纪5 0 年代初到二十世 纪6 0 年代中，麻省理工学院积极从事现代计算机辅助设计制造技术的开拓性 研究。1 9 5 2 年在它的伺服构实验室里诞生了世界上第一台数控铣床的原型。1 9 5 7 年美国空军将第一批三坐标数控铣床装备于飞机制造厂。大型精密数控绘图机也 同时诞生。接着麻省理工学院发展了a p t 数控加工自动编程语言，这是目前国 际上最通用的加工编程工具。1 9 6 4 年孔斯( s t e v ec o o n s ) 在这里提出了用小块 曲面片组合表示自由型曲面时使曲面片边界上达到任意高次连续阶的理论方法， 此方法得到工业界和学术界的极大推崇，称之为孔斯曲面。孔斯和法国雷诺汽车 公司的贝齐埃( p i e r r eb d z i e r ) 并列被称为现代计算机辅助几何设计技术的奠基 人。 到了二十世纪7 0 年代，计算机图形技术的应用进入了实用化的阶段，交互 式图形系统在许多国家得到应用；许多新的更加完备的图形系统不断被研制出 来。作为计算机图形学中关键的设备图形显示器，也随着计算机技术的发展不 断完善。正是由于光栅图形显示器的出现，使得计算机图形生成技术和电视技术 相衔接，图形处理和图象处理相渗透，从而使得计算机生成的图形逼真、形象， 也推广了计算机图形技术的使用。同时，作为交互式图形技术中的另一关键设备 一图形输入设备也得到了发展。 1 2 2 计算机图形学的应用 随着计算机图形学不断发展，它的应用范围也目趋广泛。目前其主要应用 领域有：计算机辅助设计、计算机辅助加工、系统模拟与动画、过程监控、绘 制各种图形与图表、计算机辅助教学( c a d 等。其中在现代工业中的应用最为 广泛、最为活跃，主要包括以下几个方面： 1 、计算机辅助绘图( c a g ) ； 2 、计算机辅助设计( c a d ) ： 笪二童堕笙一 3 、计算机辅助制造( c a m ) ： 4 、计算机辅助工程( c a e ) ； 近十几年来，由于硬件水平的不断提高和成本的降低，软件开发研究的飞速 发展，过去仅在大中型计算机上运行的交互式图形软件包逐步向微型机移植。 c a d 与计算机绘图已经开始进入普及化与实用化阶段，并沿着以下几个方向发 展： 1 、由静态绘图向动态绘图方向发展； 2 、 由被动式绘图向交互式绘图方向发展； 3 、 由二维绘图软件囱三维实体造型软件方向发展； 4 、向c a d 忙a g c a m 三者一体化方向发展。 交互式计算机绘图技术的应用日益广泛，其地位也越来越重要。 1 3 课题来源及主要研究内容 1 3 1 课题来源及意义 因双圆弧弧齿锥齿轮传动是凹凸齿廓点接触共轭啮合，在同一轮齿侧面上 存在两条接触线，啮合过程中可以实现多点接触和多对齿啮合，且凹齿齿根厚 度增大，提高了弯曲强度，因而它比一般的弧齿锥齿轮传动的承载能力高，使 用寿命长，并且两齿轮在啮合过程中，接触线的分布和移动的特点有利于在啮 合点处形成润滑油膜，从而减少了传动过程的功率损耗和齿面磨损，因此双圆 弧弧齿锥齿轮传动是一种具有良好发展前途的新型锥齿轮传动方式，其应用和 研究受到许多国家的重视。结合当代科学技术发展的趋势，天津市教委资助了 “双圆弧弧齿锥齿轮传动的啮合原理及切齿啮合分析”这一科技发展基金项目 ( 项目编号为2 0 0 1 0 1 0 3 ) 。我所研究的“双圆弧弧齿锥齿轮传动的三维建模及切 齿啮合模拟与分析”属于其中的一部分基础工作。 1 3 2 本课题主要研究内容 ( 1 ) 根据双圆弧弧齿锥齿轮的齿形特点，结合弧齿锥齿轮的加工原理，进 行双圆弧弧齿锥齿轮的切齿啮合分析，得到了切齿啮合过程中的啮合方程、产形 轮齿面方程以及双圆弧弧齿锥齿轮的通用齿面方程表达式，为下一步生成双圆弧 弧齿锥齿轮的三维模型打下了基础。 ( 2 ) 综合利用c 语言、v c + 十语言和c a d 技术，建立了交互式图形系 4 第一章绪论 统，当输入齿轮参数和齿形参数之后，即可生成相应齿轮的三维模型，包括网格 模型、表面模型和实体模型，进而验证了双圆弧弧齿锥齿轮的通用齿面方程的正 确性，并且通过将不同参数所建立的模型之间进行对比，可以看出某参数变化对 齿轮形态所产生的影响；也可以得出在其他参数确定的情况下，某参数的合理取 值范围，从而动态地进行双圆弧弧齿锥齿轮的快速设计，并对设计结果进行初步 检验，这样可以节省做实验所需的大量时间及人力和物力。 在实体建模程序中，模拟了双圆弧弧齿锥齿轮的加工过程，在屏幕上动态显 示了刀具及被加工齿轮的相对位置及其加工时的运动轨迹和规律。通过这几种三 维模型，还可以在计算机上模拟共轭齿轮的啮合情况，进而对它的某些啮合特性 进行动态分析。 ( 3 ) 在以上工作的基础上，通过双圆弧弧齿锥齿轮齿面理论方程与加入刀 位、刀位角误差后的齿面方程之间的比较，理论刀位、刀位角时的齿形与加入刀 位、刀位角误差后的齿形之间的定量分析，相当直观、方便、准确地分板了刀位、 刀位角误差对双圆弧弧齿锥齿轮的齿形以及传动的影响。 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 2 1 共轭齿面的形成及弧齿锥齿轮的加工原理 2 1 1 共轭齿面的形成 理想的圆锥齿轮副共轭齿面的啮合点应在同一球面上，形成球面啮合。但球 面啮合设计复杂，制造困难。因此，实际采用背锥啮合近似代替。在背锥齿轮副 平面展开图中，可以构成一个无限薄的圆柱齿轮副，即圆锥齿轮的当量圆柱齿轮 副。因此。圆柱齿轮的参数可相应地用于圆锥齿轮。 生产实践中，一对共轭齿面e “和e 。的形成有两种方法：一种是以成形曲 线按一定的规律运动形成曲面的仿形法；另一种是用滚切法加工，齿面是由间接 包络形成法形成，即范成法。双圆弧等高齿弧齿锥齿轮的齿面是借助于两个固连 在起的辅助曲面即假想平面齿轮副a 、8 的齿面，和e 。：来形成锥齿轮副a 、 b 的共轭齿面”和。的，如图2 一l 所示。平面齿轮的齿面。和。：除螺旋方 圈2 1 平面 0 20 2 【 图2 - 2 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 向相反外，其他双圆弧齿形参数完全相同。由于齿廓半径差ap 的存在，当两个 平面齿轮象阴阳模子一样固连在一起时，e 。和e 。：将沿两条接触点迹线c 相 切( 在图2 - 2 中只画出一条切线c ) 。当e 。与构件a 作共轭运动时，形成曲面e “，对应于每一瞬时，e 。e “的接触线为c 。同样，当e 。：与构件b 作共轭 运动时，形成曲面e “，对应于每一瞬时，。e 2 的接触线为c 。由于。 和。：是固连的，所以，对应于每一瞬间，c 。和c 2 。都相交于切线c 上一点k ， 即曲面e “、。在c 上都有一个接触点k 。k 点既是。和。的切点，也是 ”和。的瞬时切点。共轭齿面辅助曲面。和。：去掉后，eo 和e ”将通过接 触点k 实现圆弧点啮合锥齿轮传动。 2 1 2 弧齿锥齿轮的加工原理 双圆弧弧齿锥齿轮齿面是根据平面齿轮原理，按展成法在格里森铣床上加工 的。齿面e 。t 和e 。z 是铣刀盘刀刃绕其轴线旋转形成的产形轮齿面，其成形面是 分阶式双圆弧齿形的弧齿条。弧齿条的法向齿廓就是双圆弧锥齿轮基准齿形的齿 廓。切齿时，使被切锥齿轮节锥面与产形轮节平面相切并作无滑动的纯滚动，按 照范成切削瞬时成形的切削法在齿坯上从一端到另一端逐渐切出齿廓。 2 2 双圆弧齿轮基本齿廓及其坐标表达 图2 - 3基本齿廓 2 2 1 双圆弧齿轮基本齿廓 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 不论是双圆弧圆柱齿轮传动，还是双圆弧弧齿锥齿轮传动，其基本齿廓都是 相同的，均为基本齿条法截面内的齿形。在此，为了以后推导双圆弧弧齿锥齿轮 的齿面方程，以g b l 2 7 5 9 9 1 型双圆弧齿轮基本齿廓( 如图2 3 ) 为基础，对其 进行坐标表达，其它类型的双圆弧齿轮的基本齿廓也可用该方法类似表达。 图2 - 3 中的代号意义如下： a 。一一名义压力角 h 。一一齿顶高 h - - 一全齿高 h 广一一齿根高 r ，_ - 凸齿齿廓圆弧半径 r 2 凹齿齿廓圆弧半径 r 。齿腰连接圆弧半径 r 齿根圆弧半径 e 凸齿齿廓圆心移距量 e 。凹齿齿廓圆心移距量 c 。凸齿齿廓圆心偏移量 c ：凹齿齿廓圆心偏移量 h j a - 一一连接圆弧和凸齿圆弧的切点到节线的距离 h j f _ 一一连接圆弧和凹齿圆弧的交点到节线的距离 s 。一凸齿接触点处弦齿厚 s ，一凹齿接触点处弦齿厚 e 广一凹齿接触点处槽宽 6 一一凸齿工艺角 6 。一一凹齿工艺角 一个完整的6 8 1 2 7 5 9 9 1 型双圆弧齿轮的基本齿廓由八段圆弧组成。这些圆 弧之间的相互位置关系，可以利用各段圆弧圆心的坐标( e ，f ) ，半径p 以及决 定各圆弧起始位置的极角i ；1 。、a ”来表达。为此如图2 - 4 建立直角坐标系，其中 轴位于基准齿廓的对称线上，n 轴位于基准齿廓的节平面上，z 。轴垂直于基准 齿廓所在平面。为了进行坐标计算，我们作以下规定： e 齿廓圆心距x n 轴( 相当于轮齿对称线) 距离，在正方向为正，反方 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 式。 向为负。 卜一一在y n 轴以上( 相当予基本齿癣节线以上) 取正值，反之取负值。 a 一一齿形角，从“轴正方向开始，逆时针方向取为正值，顺时针方向取 为负值，所以左、右侧齿廓名义接触点取值不同。 i 一7 蠢， f i 龟勋 曲耐 融l 图2 - 4坐标系 据此表2 1 给出了计算各段圆弧对应参数e 、f 。、n ，、d ，“、p 的计算 表2 1基本齿廓各段圆弧计算表 区段名称 参数名称参数计算公式 圆弧中心级坐标e 1 = 一巳 圆弧中心横坐标 f 一霉+ c 凸齿圆弧段 圆弧半径a = _ 圆弧起始角口，l = 1 8 0 。+ s i n 一】坐 圆弧终止角a ；= 1 8 0 。+ 6 圆弧圆心的纵坐标e 2 = 一p l + ( + r , ) s i n 8 1 圆弧圆心的横坐标 e = 孕一眠+ ) c 。s 4 一q 过渡圆弧段圆弧半径 , 0 25 ，3 圆弧起始角口；= 嗄 圆弧终止角 a = s i l l q 世等盟 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 圆弧圆心的纵坐标 e 3 。一p 2 圆弧圆心的横坐标 e = 一c 2 圆弧半径p 3 = 屹 凹齿圆弧段 圆弧起始角口；= d 2 圆弧终止角 小叫看引 圆弧圆心的纵坐标 e 4 = ( h 一r ) 圆弧圆心的横坐标咒= 0 圆弧半径 p 4 = ， 齿根圆弧段 圆弧起始角 叫咄。l 南j 圆弧终止角 口：= 9 0 。 注：1 、表中所列是图2 - 3 中基本齿廓右侧四段圆弧的表达式，左侧四段圆弧的表达式可根 据对称性原则确定。 2 、表中其它符号意义见图2 - 3 根据表2 1 对基本齿廓上各段圆弧的描述，在o - - x 。y n z n 坐标系，基准齿廓 第i 段圆弧上任意点的的坐标可表示为 x 。，= ns i n o r ，+ ej y 。，= nc o s g ! + 只( 2 2 1 ) z 。，= 0】 式中：p 一第i 段圆弧的半径 e j 一第i 段圆弧圆心的x 。坐标 r 一第i 段圆弧圆心的y 。坐标 a 一基本齿廓中第i 段圆弧上某点的向径与轴的正向的夹角( 压力 角) ai 。、q ，“ i 一构成基本齿廓的圆弧段数( i = l ，8 ) 2 3 产形轮齿面方程及其切齿啮合方程 2 3 1 坐标系的选取 双圆弧弧齿锥齿轮是根据平面齿轮原理按范成法加工得到的等高齿制锥齿 轮。为了导出其齿面方程，依据格里森铣齿机的加工原理，选取如下坐标系： 1 0 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 o 。= o o - x 。，y 。，z 。 为固定坐标系，坐标系原点o o 位于机床摇台旋转轴线上， 轴y 。，z 。均位于平面齿轮的节面内，且轴z 。和被加工锥齿轮与平面齿轮的相对旋 转瞬时轴心线重合，而轴x 。则垂直于节平面且与机床摇台旋转轴线重合。 o 。= o i - x 。y 。，z 。为与产形轮固连的坐标系，轴x 。与铣刀盘旋转轴线重合， 轴y 。，z 。位于产形轮的节平面内，且轴z 。通过位于机床摇台旋转轴线上的点 0 。( o 。) ，并与轴z 。的夹角为刀位角q ( 当切左旋齿轮时，铣刀盘中心低于被切齿 轮的中心线，为“+ ”号：反之，为“一”号) 。o 。与0 ，的距离为刀位u 。 o 。= e o p - x 。，y 。，z 。 为与产形轮固连的动坐标系，其原点0 。与0 。重合，轴) 【o 与轴重合，加工齿轮时，产形轮绕 轴砩的瞬时转角为v ，即z 。与z 。的 夹角为1 l ，。 坐标系a 。= o - x 。，y 。，z 。 与产形 轮的产形齿廓相固连，其原点“位于 产形轮平面内以0 。为圆心、以刀盘名 义半径r r 为半径的圆周上，轴x 。平 行于轴x l ，轴x n 与刀盘回转轴线重合， 刀齿圆弧齿廓绕k 旋转形成产形轮齿面( 如图2 5 ) 。 平面内，且轴“通过点0 。 l 、 _ 、 、 0 0 0 p 图2 - 5 轴y 。，z 。均位于产形轮节 、冬 图2 - 6 o ，2 o 一x ”y ”z 1 为与被加工锥齿轮固连的坐标系， 轴z ，与被加工锥齿轮的旋转轴线重合。 其原点0 ，与o 。重合 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 o 。= o b - - x 。，y 。，z 。 为锥齿轮的辅助固定坐标系。轴z “与轴z 。重合，在锥齿 轮的加工过程中，坐标系0 ；绕轴z 。相对于坐标系0 。转动。其转角中对应于产形 轮的转角v ，且有粤：s i n 妒( 妒为被加工齿轮的节锥角) 。 a o 各坐标系之间的相互关系如图2 6 所示，它所表示的是利用右旋产形轮加工 左旋锥齿轮的情况。 下面即按图2 - 6 所示的坐标系，推导双圆弧弧齿锥齿轮产形轮的齿面方程。 2 3 2 双圆弧弧齿锥齿轮的产形轮齿面方程及切齿啮合方程 首先为了简化表示，在下面的推导中去掉式中的脚码i ，所得公式可理解为 适用于基本齿廓中所有的圆弧曲线段。因此式( 2 2 1 ) 可重新写成 x 。= p s i n a + e i n z n ? 0 ， s ， =i 7 d k ，口1j 由o 。向o 。的坐标变换矩阵为 蚝忙：辩 m p - ，2 lo0 0 c o s qs i n q 0 一s i n qc o s q 0 00 由o 。向。的坐标变换矩阵为 竹= 0 u 8 1 1 1 q “c o s q ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 100 0 1 0 c o s y s i n oi o s i n c 。s 孑 oj ( 2 3 - 4 ) oo olj 由此得产形轮齿面在坐标系。中的方程为 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 对上式整理得产形轮齿面方程在坐标系。中的具体表达式为 由微分几何理论，产形轮齿面的法线矢量的表达式为 ( 2 3 5 ) 乞j 剖= n o j o 十n o y j o + 艺 ( 23 7 ) a z o f a aj 将式( 2 3 6 ) 中的各项分别对口、目求导，得 o x o 瓦。p 8 1 眦 垫：o a 目 ayo：a。a 2 2 。p s i n a c o s ( q 嚣= ( p c o s a + n a a 2p s i n a s i n ( q 一 竺：( p c o s t z + f + 面2 + 一y 一日) ( 2 3 8 ) r r ) s i n ( q 一妒一目) 一目) r r ) c o s ( q 一妒一臼) 将式( 2 3 8 ) 中偏微分代入( 2 3 7 ) 上式，得到产形轮齿面单位法线矢量 的具体表达式为 r o x 2 s i l l 口 , r w = c o s z c o s ( q 一矿一口) 疗。= 一c o s a s i n ( q y 一秽) 则轮齿表面接触点处的法线方程为 ( 2 3 9 ) 1，j 一隅m h一 叫 mm 叩 村 j j 1j 蜘知 计现尝瓤 础憨铲胪铲 一丘跏一劬一钯钆一阳赫一融 j j 一胛 、，lrj 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 堕：丛：三玉( 2 3 1 0 ) 玎o jn o p阳0 2 在相交轴卤轮传动中，实现定传动比啮合的充要条件是在啮合点处轮齿表面 的公法线与两齿轮相对运动的瞬时回转轴线相交。在图中瞬时回转轴线即为z 。 轴。为此将轴z 。的坐标x = 0 、y = 0 代入式( 2 3 1 0 ) 中得 n o x y o l l o y x o = 0 ( 2 3 1 1 ) 将式( 2 3 6 ) ( 2 3 9 ) 代入式( 2 3 11 ) ，经整理后得到双圆弧弧齿锥齿轮切齿 啮合时的啮合方程为 【( f + r r ) s i n a e c o s a c o s ( q 一吵一0 ) + us i n a s i n ( q p ) = 0 ( 2 3 1 2 ) 2 3 3 瞬时接触线方程 在任一瞬时，两齿面上所有参与啮合的接触点的集合称为瞬时接触线。由此 可知，双圆弧弧齿锥齿轮切齿啮合时的接触线为同时满足产形轮齿面方程式 ( 2 3 6 ) 和啮合方程( 2 3 1 2 ) 的解。即 x 0 = p s i n a + e 1 铲y0=一(pcosa+f+rr)cos(q-妒v-0叭)+u。sin(q(pcosa f r r ) s i n ( qc o s ( q 善) ( 2 3 1 3 ) 三d = 一 + 一矿一目) + “一y )l 一叶 【( f + r r ) s i n a t e c o s a f c o s ( q v - o ) + u s i n a s i n ( q 一) ：0j 将式( 2 3 ，1 3 ) 中的0 消去并进一步整理，也可得到另一种表示方式 x o = p s i n a + e 胪一等等辫 z 。= c p c 。s 盘+ f + 五，- 一 ；! ；i ；i ：竺罢 2 + u c o s ( q - v ) ( 2 3 1 4 ) 在式( 2 3 1 4 ) 中，当口、y 均为变量时，式( 2 3 1 4 ) 表示产形轮的啮合表面， 当保持口不变、而y 变化时，则式( 2 3 1 4 ) 为啮合线方程：当保持为常数，而 口变化时，则式( 2 3 1 4 ) 表示切齿啮合时的轮齿表面瞬时接触线方程；而当d 、 缈均为常数时，式( 2 3 1 4 ) 代表切齿啮合时的一个确定的接触点位置。 1 4 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 2 4 双圆弧弧齿锥齿轮的齿面方程 在切齿啮合过程中，瞬时接触线在与被加工锥齿轮相固连的坐标系中连续运 动便形成了被加工锥齿轮的齿面。所以可将式( 2 3 1 4 ) 经过二次坐标变换，得到 双圆弧弧齿锥齿轮在与其固连的坐标系0 中的齿面方程表达式。 由0 。到o 。的坐标变换矩阵为 由0s 到0 的坐标变换矩阵为 c o s m = is i n l o 由此得o 。到o ，的坐标变换关系为 0 s i n f o 10 l( 2 4 1 ) 0 c o s ol s i n 西0 t c o s 0 i( 2 4 2 ) oll hh ly l = m m hl hk j ( 2 4 3 ) 将式( 2 3 1 4 ) 代入( 2 4 3 ) 中，经整理后得左旋双圆弧弧齿锥齿轮的齿面 方程为 工l = x oc o s c o s 妒+ y os i n e z oc o s 矿s i n 妒 y i = 一x os i n 妒c o s 妒+ y oc o s + z os i n c s i n p z l = x os i n q , + z oc o s 妒 x o = p s i n a + e 胪一等等竺掣 z 。= c p c 。s 口+ f + 月r ，i ：i i i 酒+ u c o s ( q - 妒 ) ( 2 4 4 ) 式( 2 4 4 ) 就是左旋双圆弧弧齿锥齿轮的齿面方程。 实际推导表明，若将式中q 的换成一q ，其它保持不变，则可得右旋双圆弧 孤齿锥齿轮的齿面方程如下： 咖 c - l = 06 m 第二章双圆弧弧齿锥齿轮基本啮合原理及齿面方程 z 2 = 石o c o sc o s g o + y os i n 一z oc o s s i n l 9 0 y 2 = 一x os i n # c o s6 p + y oc o s + z os i n # s i n q ) z 2 = x os i n p + z o c o s r p 。o = p s i n a + e u ( e + p s i n a ) s l n ( q + y ) 。” r f +