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动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究中文摘要 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 中文摘要 动态模糊性问题是学术界普遍关注的问题，迄今为止国内外对这方面研究成果并 不多。李凡长教授在l a z a d e h 提出的模糊集和模糊逻辑理论基础上，提出了动态模 糊集和一阶动态模糊逻辑系统，经过十几年的研究，取得了一系列的基础成果。基于 此，本文进一步扩展，取得的成果包括如下几个方面： 1 提出了动态模糊逻辑的谱分析方法。 2 在一阶动态模糊逻辑的基础上，提出了二阶动态模糊逻辑。 3 建立二阶动态模糊逻辑的谓词演算推理系统，并给出了二阶动态模糊逻辑的 语义描述。 4 提出了二阶动态模糊逻辑真值域的谱理论分析方法。 5 提出了二阶动态模糊逻辑演算推理模型，为人们进行模糊信息推理提供了一 种新的推理模式。 6 通过实例找到了二阶动态模糊逻辑推理系统的应用背景。 通过本文的研究，进一步丰富了动态模糊逻辑的研究内容，为解决现实生活中存 在的动态模糊性问题提供了新的推理方法和理论依据。当然，面对纷繁复杂的现实世 界，相关的研究工作还只是初步的尝试，还有许多工作需要进一步探索。 关键词：动态模糊逻辑、二阶动态模糊逻辑、谱理论。 本文的研究得到国家e 1 然科学基金项目的支持( 6 0 7 7 5 0 4 5 ) i 作者：靳葛 指导老师：李凡长( 教授) a b s t r a c tr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no ns p e c t r a lt h e o r yo fd y n a m i cf u z z yl o g i c ( d f l ) t r u t hv a l u ed o m a i n r e s e a r c ha n d a p p l i c a t i o no ns p e c t r a lt h e o r yo f d y n a m i cf u z z yl o g i c ( d f l ) t r u t hv a l u ed o m a i n a b s t r a c t t h ed y n a m i cf u z z yq u e s t i o nh a sa t t r a c t e dt h ea c a d e m i cc o m m u n i t yu n i v e r s a la t t e n t i o n ， b u ts of a rt h er e s e a r c hr e s u l t si nt h i sf i e l db o t ha td o m e s t i ca n df o r e i g nn o tt ob em a n y p r o f e s s o rf a n z h a n gl ip r o p o s e dt h ed y n a m i cf u z z ys e t sa n dt h ef i r s t - o r d e rd y n a m i cf u z z y l o g i cs y s t e mb a s e do nt h et h e o r yo ff u z z ys e t sa n df u z z yl o g i cw h i c hb ep r o p o s e db y l a z a d e h , a n dt h e r eh a sas e r i e so ff o u n d a t i o na c h i e v e m e n ta b o u tt h ed y n a m i cf u z z ys e t s a n dt h ef i r s t o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i cs y s t e m t h e r e f o r e ，t h i st h e s i sa t t e m p t st of u r t h e r c o n s u m m a t et h ed y n a m i cf u z z yl o g i cs y s t e ma n dp r o m o t ed y n a m i cf u z z yt h e o r ya p p l i e dt o t h ea c t u a l t h em a i nc o n t e n t si n c l u d ea sf o l l o w s ： 1 t h es p e c t r u ma n a l y s i sm e t h o do ft h ed y n a m i cf u z z yp r e d i c a t el o g i ci sg i v e n 2 t h es e c o n d o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i ci sg i v e nb a s e do nt h ef i r s t - o r d e rd y n a m i c f u z z yl o g i c 3 t h ep r o p o s i t i o n al o g i cc a l c u l u sa n dt h ep r e d i c a t ec a l c u l u si n f e r e n c es y s t e mo ft h e s e c o n d o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i ca l eg i v e n ，a n dt h es e m a n t i cd e s c r i p t i o no ft h es e c o n d o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i ci sg i v e n 4 t h es p e c t r a lt h e o r yo ft h es e c o n d o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i ct r u t hv a l u ed o m a i ni s g w e n 5 t h er e a s o n i n gm o d e lo ft h es e c o n d o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i ci sg i v e n ，w h i c h p r o p o s e san e wm o d e lt o d od y n a m i cf u z z yl o g i cr e a s o n i n gb a s e do ni n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n 6 a ne x a m p l es y s t e mi sg i v e n t h u st h ea p p l i c a t i o nf i l e do fs e c o n d - o r d e rd y n a m i c f u z z yl o g i ci sg i v e n t h r o u g ht h ew o r ko ft h i sp a p e r ，i te n r i c h e st h ed y n a m i cf u z z yl o g i cs y s t e ma n dt h e n e wr e a s o n i n gm o d e l ，a n dt h et h e o r yo ft h es e c o n d o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i ch a v eb e e n i i p r o p o s e dw h i c hp r o p o s e sa n e wm e t h o dt od e a lw i t ht h ed y n a m i cf u z z yp r o b l e mi nr e a ll i f e 。 h o w e v e r ，f a c i n gt h eu n k n o w r lw o r l dt h e r ea r em a n y i s s u e sw h i c hn e e df u r t h e re x p l o r a t i o n k e yw o r d s ：d y n a m i cf u z z yl o g i c ；s e c o n d o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i c ；s p e c t r a lt h e o r y w r i t t e nb y ：j i ng e s u p e r v i s e db y ：l if a n z h a n g s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r es c i e n c ef o u n d a t i o no fe l l c h i n a ( 6 0 7 7 5 0 4 5 ) i i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：社日 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 日期：尘她 日 期：竺乏：至 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 第一章引言 第一章引言 1 1 动态模糊逻辑( d f l ) 研究现状综述 在主观和客观世界系统中，经常会遇到“动态模糊性”( c h a r a c t e ro f d y n a m i cf u z z y ) 问题，这也是学术界普遍关注的问题，迄今为止国内外从事这方面研究的机构并不多。 这方面的工作，王光远院士等人从时变方面给出过动态模糊集的基本概念【l 】。苏州大 学的李凡长教授在l a z a d e h 提出的模糊集2 1 和模糊逻辑f 3 1 理论基础上，从逻辑学的 角度对动态模糊性问题进行研究，已经取得了下面的一系列研究成果。 ( 1 ) 动态模糊集( d y n a m i cf u z z ys e t s ，记为d f s ) 部分：提出了动态模糊集的 基本概念和基本性质【4 1 ，逐步构建了动态模糊集合系统。包括：动态模糊关系5 1 、动 态模糊集格结构、动态模糊模运算【6 】、动态模糊集表现定理【7 1 、动态模糊分解定理、 动态模糊积分、动态模糊方程的求解、动态模糊扩展原理、动态模糊测度理论【引、八 与v 公理系统、动态模糊概率空间理论、动态模糊图【9 】等。 ( 2 ) 动态模糊逻辑( d y n a m i cf u z z yl o g i c ，记为d f l ) 部分：提出了d f l 布尔 量、d f l 的命题理论、d f l 谓词逻辑【l o 】、d f l 的推理规则【1 1 1 、d f l 的推理模型【1 2 】、 d f l 的归结原理【1 如、d f l 的真值域刻画【1 4 】、d f l 的提升原理以及d f l 完备定理、一 种算子的动态模糊逻辑【1 5 】等。 ( 3 ) 在动态模糊逻辑应用方面包括： a 提出了d f 学习模型1 6 1 、d f 协调学习方法【1 7 】【l 引、稳定性理论【19 1 、联想类比推 理及联想类比树【2 0 】等内容。 b 提出了d f 专家数据库系统的设计方法【2 1 1 、系统结构、开发了一个d f g c s 演 示系统。 c 提出了d f 问题求解的基本理论、方法【2 2 1 及d f 目标可达性理论【2 3 】并进行了初 步应用。 d 提出了d f 主动数据库系统的设计方法【2 4 1 、d f 数据模型理论、d f 扩展数据 模型、d f 数据的运算、d f 事件代数、d f 关系数据库语言、d f 程序设计语言【2 5 1 等 内容。 第一章引言动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 e 提出了多a g e n t 系统协调工作模型【2 6 】【2 7 】、组合模型、演化算法、遗传理论及 多a g e n t 系统的排队模型【2 8 】【2 9 】等。 1 2 问题提出 综上所述，可以看出一阶d f l 已在人工智能、知识工程、机器学习、数据库、 专家系统等领域，取得了显著成绩。为了进一步丰富和完善动态模糊逻辑理论体系， 更好地实现对现实事物的逻辑表示，本文对现有的动态模糊理论基础知识进行扩充， 提出了动态模糊逻辑的谱分析方法，并对一阶动态模糊逻辑进行扩充，建立二阶动态 模糊逻辑，从而推动动态模糊理论更好地应用于实际。 1 3 主要工作 本文将在原有的一阶动态模糊理论的基础上，建立真值的谱分析方法，并对一阶 动态模糊逻辑进行扩充，引入谓词和函词变量，构造二阶动态模糊逻辑，并对真值域 进行划分，建立真值域的谱分析方法和相应的逻辑系统、推理模式，从而来进一步完 善动态模糊逻辑理论体系的基本内容，推动动态模糊理论更好地应用于实际。 1 4 内容安排 本文的内容主要分为六章： 第一章简要介绍动态模糊逻辑的发展及研究现状。 第二章介绍一阶动态模糊逻辑。 第三章构建二阶动态模糊逻辑系统。 第四章介绍二阶动态模糊逻辑演算推理系统模型。 第五章介绍二阶动态模糊逻辑的应用。 第六章总结本文的内容，并对下一步工作提出展望。 2 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 第二章一阶动态模糊逻辑 第二章一阶动态模糊逻辑 本章内容分为三节，第一节介绍一阶动态模糊逻辑的基本内容；第二节介绍谱分 析方法，其中会对d f 命题逻辑谱分析方法和d f 谓词逻辑的谱分析方法给予介绍； 第三节对本章内容进行小结。 2 1 一阶动态模糊逻辑( f i r s t o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i c ) 简介 本节主要给出一些一阶动态模糊逻辑的基本理论知识，一阶动态模糊逻辑是以动 态模糊集理论为基础的，文中所涉及的详细理论可参见文献 3 0 。 2 1 1 动态模糊集( d f s ) 定义2 1 1 设在论域u 上定义一个映射：( 彳，a ) ：( u ，u ) 专 0 ，1 】【卜，一】 ( 云，云) i - - - ( j ( 云) ，才( 二) ) 记为( 才，j ) = 碱j ，则称( j ，j ) 为( 万，西) 上的动态模糊集 ( d y n a m i cf u z z ys e t s ) ，简称d f s ，称( 彳 ) ，么 ) ) 为隶属函数( m e m b e r s h i pf u n c t i o n ) 对似，彳) 的隶属度( m e m b e r s h i pd e g r e e ) 。 两个d f 子集间的运算，完全可以理解为是对其隶属度函数做相应运算，我们有 下面的定义： 定义2 1 2 设( j ，彳) 和( 召，b ) d f ( u ) ，分别称运算( a ，a ) u ( b ，b ) ，( a ，a ) n ( b ，b ) 为( 才，j ) ，( 否，否) 的并集和交集，( j ，j ) 。为( 才，j ) 的补集。它们的隶属函数为： ( ( 么，么) u ( b ，b ) ) ( “) = ( 么，彳) ( 甜) v ( b ，召) ( 甜) 兰m a x ( ( a ，彳) ( 甜) ，( b ，b ) ( “) ) ( ( 彳，4 ) n ( b ，b ) ) ( 扰) = ( 彳，彳) ( “) ( b ，b ) ( “) 垒i i 【i n ( ( 么，彳) ( “) ，( b ，b ) ( “) ) ( 彳，彳) 。( “) = 1 一( 么，彳) ( “) 全( ( 1 - a ( u ) ，1 一彳( “) ) 定理2 1 1 ( d f ( u ) ，u ，n ，c ) 具有如下性质： ( 1 ) 幂等律( i d e m p o t e n tl a w ) ( 彳，彳) u ( 彳，彳) = ( 彳，彳) ( 彳，彳) r 、( 么，彳) = ( 么，彳) 第二章一阶动态模糊逻辑动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 ( 2 ) 交换律( l a wo f c o m m u t a t i o n ) ( 彳，彳) u ( b ，b ) = ( b ，b ) u ( 么，么) ( 彳，4 ) n ( b ，b ) = ( b ，b ) n ( 4 ，么) ( 3 ) 结合律( l a wo f a s s o c i a t i o n ) ( ( 彳，a ) w ( b ，b ) ) u ( c ，c ) = ( a ，彳) u ( ( b ，b ) w ( c ，c ) ) ( ( 么，a ) r 、( b ，b ) ) n ( c ，c ) = ( a ，么) r 、( ( b ，b ) n ( c ，c ) ) ( 4 ) 吸收律( a b s o r p t i o nl a w ) ( ( 彳，a ) u ( b ，b ) ) n ( a ，a ) = ( a ，彳) ( ( 么，彳) n ( b ，b ) ) u ( 么，彳) = ( 彳，a ) ( 5 ) 分配律( d i s t r i b u t i o nl a w ) ( ( 么，a ) w ( b ，b ) ) n ( c ，c ) = ( ( 彳，a ) n ( c ，c ) ) u ( ( b ，b ) n ( c ，c ) ) ( ( 么，彳) n ( b ，b ) ) u ( c ，c ) = ( ( 么，a ) u ( c ，c ) ) r 、( ( b ，b ) u ( c ，c ) ) ( 6 ) o l 律( z e r o o n el a w ) ( 彳，彳) u ( ，) = ( 么，彳) ( 4 ，么) n ( 矽，矽) = ( 彳，彳) ( a ，a ) u ( u ，u ) = ( u ，u ) ( 么，么) r 、( u ，u ) = ( 么，彳) ( 7 ) 还原律( p u l lb a c kl a w ) ( ( 4 ，么) 。) 。= ( 彳，么) ( 8 ) 对偶律( d u a l i t yp r i n c i p l e ) ( ( 么，么) u ( b ，b ) ) 。= ( 彳，么) 。n ( b ，b ) 。 ( ( 么，a ) n ( b ，b ) ) 。= ( 彳，彳) 。u ( b ，b ) 。 2 1 2 一阶动态模糊逻辑的命题演算 定义2 1 3 一个具有动态模糊性( c h a r a c t e ro fd y n a m i cf u z z y ) 的语句称为d f 命题( d y n a m i cf u z z yp r o p o s i t i o n ) 。用大写字母a ，b ，c 表示，对于一个d f 命题， 一般没有绝对的真假，只能问它的d f 真假度( d y n a m i cf u z z yt r u eo rf a l s ed e g r e e ) 如 何? 例如：( 1 ) 她变的越来越难以琢磨了。 4 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究第二章一阶动态模糊逻辑 ( 2 ) 事情正在向好的方向发展。 在这些句子中，“难以琢磨 “向好的方向发展”都具有动态模糊性。 定义2 1 4 度量一个d f 命题真假度用d f 数( 口，a ) 【0 ，l 】 卜，_ 】来表示，称为该命 题的真假度，常用小写字母( 口，口) ，( 6 ，6 ) ，p ，c ) ，表示。 定义2 1 5 一阶动态模糊逻辑函词：在动态模糊谓词演算中个体与个体之间存在 一定的关系，我们称这种关系为动态模糊函词。用符号z ，五，石表示。 一阶动态模糊函词是具有若干个空位的个体函数，在一个动态模糊函词的不同 空位处填以不同的个体变元所得的填项可成为此动态模糊函词的命名项，在一个动 态模糊函词的所有空位处填以个体所得的项才是一个具体的个体。 例：将“张三的成绩和张三所在班级的同学成绩一样都在慢慢提升 形式化。 解：对于本例我们就要引入函词f ( x ，x ) 表示( x ，工) 的成绩。同时，令( 口，a ) 表示 常个体“张三，a ( x ，x ) 表示“( x ，x ) 是张三所在班级的同学 ，表示隶属度，表 示上升，z 表示降低，于是本例中的命题可以形式化为： v ( x ，x ) ( 彳( x ，x ) ，( 口，a ) i f ( x ，x ) ) 在逻辑系统中，由于命题( p r o p o s i t i o n ) 的运算实际上就是真值运算，为方便记， 以后常将d f 命题与其真值等同看待，并引进如下定义。 定义2 1 6 一个d f 命题可以看成在闭区间 0 ，1 一，一 上取的变量，称为 d f 命题变量。 对于d f 变量( x ，x ) ，( y ，y ) 0 ，1 一，一 规定如下运算： ( 注：( x ，x ) = x 或x ，m a x ( x ，x ) 全x ，m i n ( x ，工) 全x ) ( 1 ) 否定( n e g a t i o n ) “一 ，例如： ( x ，x ) 的否定式为：( 而x ) ，且( 工，x ) 全( ( 1 一x ) ，( 1 一x ) ) ( 2 ) 析取( d i s j u n c t i o n ) “v ”，例如： ( x ，x ) 与( y ，y ) 的析取式为：( z ，x ) v ( y ，y ) 全m a x ( ( x ，x ) ( 乃y ) ) ( 3 ) 合取( c o n j u n c t i o n ) “”，例如： ( x ，x ) 与( y ，y ) 的合取式为：( x ，x ) ( y ，少) 全m i n ( ( x ，x ) ，( y ，y ) ) ( 4 ) 条件( c o n d i t i o n ) “一，例如： 一= _ 7 一一：7 一一 ( x ，x ) 争( 夕，y ) e 今( 工，x ) v ( 夕，y ) 叁m a x ( ( x ，x ) ，( 少，夕) ) ( 5 ) 双条件( b i c o n d i t i o n ) “h ，例如： 第二章一阶动态模糊逻辑动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 ( x ，x ) h ( y ，少) c ，( ( x ，x ) 寸( y ，y ) ) a ( ( y ，y ) 专( x ，x ) ) = 一一：= - _ = ：_ 一 c ( ( x ，x ) v ( y ，y ) ) a ( ( y ，y ) v ( x ，x ) ) = = - 一一：= - 一= ：-一一 亨m i n ( m a x ( ( x ，x ) ，( y ，y ) ) ，m a x ( ( y ，y ) ，( x ，x ) ) ) 定义2 1 7d f 命题运算公式( d y n a m i cf u z z yc a l c u l u sf o r m a t i o n ) 可定义为： ( 1 ) 单个d f 命题变元本身是一个合式公式。 ( 2 ) 如果( x ，x ) p 是一个合式公式，那么o ，x ) p 也是合式公式。 ( 3 ) 如果( ；，x 一) p 和( 歹，一y ) q 是合式公式，那么( ；，x ) p v ( y ，y ) o ，( ；，；) 尸 ( 歹，一y ) q ， ( x ，x ) p 一( y ，y ) q ，( x ，x ) p 付( y ，y ) q 都是合式公式。 ( 4 ) 当且仅当有限次地应用( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 所得到的命题变元联结词和括号的符 号串是合式公式。 d f l 的主要公式有： ( 1 ) 幂等律( i d e m p o t e n tl a w ) ( x ，x ) av ( x ，x ) a = ( x ，x ) a ( x ，x ) a ( x ，x ) a = ( x ，x ) a ( 2 ) 交换律( l a wo f c o m m u t a t i o n ) ( x ，x ) av ( y ，y ) b = ( y ，y ) b v ，x ) a ( x ，x ) a h ( y ，y ) b = ( y ，y ) b ( x ，x ) a ( 3 ) 结合律( l a wo f a s s o c i a t i o n ) ( x ，x ) av ( ( y ，y ) b v ( c ，c ) c ) = ( ( x ，x ) a v ( y ，y ) b ) v ( c ，c ) c ( x ，x ) a ( ( y ，y ) b a ( c ，c ) c ) = ( ( z ，x ) a ( y ，y ) b ) a ( c ，c ) c ( 4 ) 吸收律( a b s o r p t i o nl a w ) ( x ，x ) av ( ( j ，y ) b ( x ，x ) 4 ) = ( x ，x ) a ( x ，x ) a a ( ( y ，y ) b v ( x ，x ) 彳) = ( x ，x ) a ( 5 ) 德摩根定律( d em o r g a nr u l e ) ( x ，x ) a ( y ，y ) b = ( x ，x ) 彳v ( y ，y ) b ( x ，x ) a v ( y ，y ) b = ( z ，x ) a ( y ，y ) b ( 6 ) 常数运算律( o p e r a t i o n a lr u l eo f c o n s t a n t ) a v ( x ，x ) a = a 6 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 第二章一阶动态模糊逻辑 a a ( x ，x ) a = ( x ，x ) a 2 1 3 一阶动态模糊逻辑( d f l ) 的谓词演算 定义2 1 8 一阶d f l i 胃词公式递归定义： ( 1 ) 原子( 一阶谓词符号) 是公式。 ( 2 ) 若g ，h 是公式，r 是d f 真值指派值，( ；，；) 是d f l 中的自由变量，则石， gah ，gv h ，g 专日，g 付日，( ；，x 一) g ，( v ( ；，；) g ) ，( 习( ；，；) g ) 是公 式。 ( 3 ) d f l 中所有公式有限次使用( 1 ) ，( 2 ) 后产生的符号串是公式。 定义2 1 9d f l 中公式g 的一个解释，由非空域和如下规则组成： ( 1 ) 对于g 中每个变量符号指定u 中一个d f 元素。 ( 2 ) 对g 中每个力元函数符号指定映射u 与d 。 ( 3 ) 对g 中每个力元谓词符号指定映射d 与b 。 其中b 是d f 布尔量，根据这些定义，下面列出一些能反映d f 谓词系统( d y n a m i c f u z z yp r e d i c m el o g i cs y s t e m ) 的性质： 性质l ( 丁，r ) v ( x ，x ) g = ( 1 一丁，l - t ) v ( x ，x ) g = ( ( 1 一丁) ，( 1 - t ) ) 3 ( x ，x ) g 性质2 = ：= 一 - ( t ，t ) g = ( 1 - t ，1 一丁) g 性质3 ( ( 丁，t ) v ( x ，x ) ) g = ( 丁，丁) ( v ( x ，x ) g ) = ( t ，丁) h ( v ( x ，x ) g ) ( ( 丁，r ) 3 ( x ，工) g ) = ( 丁，丁) ( 了( x ，x ) g ) = ( t ，丁) 付( j ( x ，x ) g ) 性质4 设月中不含自由变量，则： ( 1 ) v ( x ，x ) g ( x ，x ) v h = v ( x ，x ) ( g ( x ，x ) vh ) ( 2 ) 3 ( x ，x ) g ( x ，x ) vh = 3 ( x ，x ) ( g ( x ，x ) vh ) ( 3 ) v ( x ，x ) g ( x ，x ) h = v ( x ，x ) ( g ( x ，x ) 日) 7 第二章一阶动态模糊逻辑 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 ( 4 ) 3 ( x ，x ) g ( x ，x ) a h = 3 ( x ，x ) ( g ( x ，x ) 日) 性质5 ( 1 ) v ( x ，x ) g ( x ，x ) v ( x ，x ) h ( x ，x ) = v ( x ，x ) ( g ( x ，x ) ah ( x ，x ) ) ( 2 ) v ( x ，x ) g ( x ，x ) vv ( x ，x ) h ( x ，x ) = v ( x ，x ) ( g ( x ，x ) vh ( x ，x ) ) ( 3 ) v ( x ，x ) g ( x ，x ) vv ( y ，y ) h ( y ，y ) = 3 ( x ，x ) v ( y ，y ) ( g ( x ，x ) vh ( y ，y ) ) ( 4 ) v ( x ，x ) g ( x ，x ) 3 ( y ，y ) h ( y ，y ) = v ( x ，x ) 3 ( y ，少) ( g ( x ，x ) ah ( y ，y ) ) 2 2 谱分析方法 谱是研究逻辑真值结构的一种有效方法。在数理逻辑方面，对谱的研究也逐步展 开，在多值逻辑中更加受人关注【3 l 】【3 2 】。 基于谱的现阶段的应用，以下我们试图在动态模糊逻辑中引入谱的概念。 2 2 1d f 命题逻辑谱分析方法 命题公式中，度量一个d f 命题真假度用d f 数( 口，a ) 0 ，l 】 卜，专 来表示。在 逻辑系统中，由于命题的运算实际上就是真值的运算，为方便记，我们将d f 命题与 其真值等同看待。结合泛函分析中谱理论的思想，我们试图在d f 命题中引入谱的概 念。 定义2 2 1 映射：盯j 【( 0 ，0 ) ，( 1 ，1 ) 称为d f 测度，若 ( 1 ) ( o ，g ) = ( o ，0 ) ，a ( x ，x ) = ( 1 ，1 ) ( 2 ) ( a ，a ) c ( b ，召) j ( 彳，a ) ( b ，b ) ( 3 ) ( 石，石) 个( j ，) ( j ，j ) j ( 石，石) 个( 山) ( j ，j ) ( ( x ，x ) ，盯，) 称为d f 测度空间。 对于d f 命题，每个命题的真值，映射n - 维坐标系中，是纵坐标被限制在 【( 0 ，o ) ，( 1 ，1 ) 】范围内的一系列的坐标点，这样d f 命题的语句值和所要表达的涵义将更 丰富。至此，我们考虑对于每个命题公式，我们找到他的一个谱结构，将其映射到坐 标系中，是个纵坐标在【( 6 ，石) ，d _ ) 】范围内的点或者连续的曲线。 定义2 2 2 在d f 测度空间内，只，昱，只为d f 命题，在使用连接词 1 ，a ，v ，_ ， 国z ) ) 3 x v y ( v c o ( c o 彳- - - 缈y ) 七x y ) 】 在二阶逻辑中，有可能写出声称“论域是有限的”或“论域有可数势的 这样的 形式句子。要说论域是有限的，可使用声称从论域到自身的所有单射函数都是满射的 句子。要声称论域有可数势，可以使用声称在所有的论域的两个有限子集之间存在双 第三章二阶动态模糊逻辑系统 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 射的句子。 二阶逻辑的语义建立每个句子的意义。不像只有一个标准语义的一阶逻辑，二阶 逻辑有两个常用的不同语义：标准语义和h e n k i n 语义。在这些语义中，一阶量词和 逻辑连结词的解释是同于一阶逻辑的。只有在二阶量词变量的新量词需要定义语义。 在标准语义中，量词取值于适当种类的“所有”集合或函数上。所以一旦确立了一阶 变量的论域，余下的量词的意义就固定了，这种语义给予了二阶逻辑强大的表达能力。 3 2 二阶动态模糊逻辑( s e c o n d o r d e rd y n a m i cf u z z yl o g i c ) 语法 在介绍了经典逻辑中的二阶逻辑相关概念之后，我们在一阶动态模糊逻辑的基础 上，构建二阶动态模糊逻辑系统。 3 2 1 二阶d f l 命题语言 通常用大写拉丁字母尸，q ，r ，s 等表示二阶动态模糊逻辑原子命题语言，当他们表 示确定的命题时称为命题常元，当他们表示不确定的命题时称为命题变元，取值范围 为【( o ，0 ) ，( 1 ，1 ) 】。 命题语言的符号包括以下几种 ( 1 ) 命题常元：( 0 ，0 ) ，( 1 ，1 ) 。 ( 2 ) 命题符号：p ，q ，r ，s 。 ( 3 ) 动态模糊函词：石，厶，石。 ( 4 ) 动态模糊函词变元：在一阶动态模糊函词的符号表中增设动态模糊函词变 元，用符号最，五，e 表示。 ( 5 ) 联结词：1 ，a ，v ，专， 。 ( 6 ) 括号：( ，) 。 ( 7 ) 增加约束动态模糊函词变元的量词j ，v 。 定义3 2 1 二阶动态模糊逻辑系统中项的定义如下： ( 1 ) 变元和常元为项 ( 2 ) 对任意的正整数刀，对于动态模糊函词厂，如果f 1 ，t 2 ，乙为项，那么 厂( ，2 乙) 也为项。 ( 3 ) 对任意的正整数n ，对于动态模糊函词变量f ，如果f l ，t 2 ，乙为项，那么 1 2 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究第三章二阶动态模糊逻辑系统 f ( t , 6 乙) 也为项。 ( 4 ) 有限次的应用( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 所得的符号串也为项。 定义3 2 2 二阶d f 命题语言运算公式可定义为： ( 1 ) 单个二阶d f 命题语言变元本身是一个合式公式。 ( 2 ) 对于( ；，；) 是二阶d f l 中的自由变量，如果( ；，x 。) p 是一个合式公式，那么 ( x ，x ) p 也是合式公式。 ( 3 ) 如果功尸和( y ，y ) q 是合式公式，那么( j ，x ) p v ( y ，y ) q ，( 石，x ) 尸 ( y ，y ) q ， ( ；，x 一) p 一( 歹，一y ) q ，( ；，x 一) ph ( 多，歹) q 都是合式公式。 ( 4 ) 若为尸为公式，那么对任何函词变元f ，( v 即) ，q 即) 也是公式。 ( 5 ) 当且仅当有限次地应用( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 所得到的命题变元联结词和括号 的符号串是合式公式。 3 2 2 二阶d f l 谓词逻辑 二阶d f l 命题语言表达简洁，但是表达能力不丰富。二阶d f 谓词逻辑根据对 象和对象上的谓词，以及增加相应的谓词变量和限制谓词变量的量词，通过联结词和 量词来表示世界，增强了d f l 语言的表达能力。 在二阶d f l 谓词逻辑中，谓词可以分为谓词名和个体名两个部分，通过谓词和 个体名的组合形式来表示命题。对于动态模糊性的情况，我们引入二阶d f l 中的自 由变量( 占，云) ，来表现出命题的动态模糊性。谓词的一般形式为： ( 口，a ) g ( ( x l ，墨) ，( x 2 ，x 2 ) ，( 为，x d ( 矗，矗) ) g 是谓词名，( i ，i ) ，( i ，乏) ，( i ，i ) 是个体。( 三，三) 表示谓词逻辑成立的一个 真值，换句话说就是成立可能性。 在二阶d f l 中我们用项的概念来表示对象。常量符号、变量符号和函词符号、 函词变量用于构造项，量词和谓词符号用于构造句子。 二阶d f l 的语法元素表示如下： ( 1 ) 谓词常量符号：通常用大写字母k ，三等表示。 ( 2 ) 谓词变量符号：在一阶d f l i 胃词的符号表中增设谓词变元，用大写字母 彤，呢表示。 ( 3 ) 函词常量符号：通常用大写字母石，以，石等表示。 第三章二阶动态模糊逻辑系统动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 ( 4 ) 函词变量符号：通常用大写字母正，互，e 等表示。 ( 5 ) 联结词：1 ，人，v ，寸，h 。 ( 6 ) 量词：v ，了。 定义3 2 3 二阶d f l 谓词公式可递归定义为： ( 1 ) 原子( 二阶谓词常量符号) 是公式。 ( 2 ) 若k ，是公式，丁是d f 真值指派值，( x ，x ) 是二阶d f l 中的自由变量，则g ， g h ，gvh ，g _ h ，g 付h ，( x ，x ) g ，( v ( x ，x ) g ) ，( 3 ( x ，x ) g ) 是公 式。 ( 3 ) ( ；，；) 是为个体变元或常元，那么对于任一个谓词变元矿，w ( x 一，；) 是公式。 ( 4 ) 若g 为公式，那么对任何函词变元f 和谓词变元w ，( v f g ) ， ( v w g ) ，( 3 f g ) ，( 3 w g ) 也是公式。 ( 5 ) 二阶d f l 中所有公式有限次使用( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 后产生的符号串是公式。 在一阶d f l 中，个体可以是常量，也可以是变元和函词常量。在二阶d f l 中， 个体除了可以是个体常量、函词常量之外，还可以出现谓词、函词变量。 例3 2 1 断言，如果两个个体是同一个体。 我们断言这个命题，一般用这样的判断：如果两个个体是同一个体则它们必然都 具有或者都不具有一个性质。 在一阶d f l 逻辑中，我们逻辑表达式为： ( c ，c ) = ( d ，d ) _ ( g ( c ，c ) 付g ( d ，d ) ) 在二阶d f l 逻辑中，我们逻辑表达式为： ( c ，c ) = ( d ，d ) 一v w ( w ( c ，c ) 付w ( d ，d ) ) 通过对比，我们可以明显的看出，一阶d f l 逻辑对于这个命题不能明确的表达出 命题的本意，不能达到判断的目的，只是能够阐述出如果两个个体是同一个体所具有 的性质。而二阶d f l 逻辑中通过引入谓词的变元和限制变元的量词，可以很明确的表 达出题意。 例3 2 2 ：尽管人在不断进步，但是仍旧人无完人。 解：对于本例中的“人无完人 我们直接用逻辑表达式不太好表示，于是我们转 换下表达方式，目标表达语句变为“对于任意的人总会存在一个缺点，这个人会存在 着 。 1 4 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究第三章二阶动态模糊逻辑系统 为此我们引入谓词变元w ，w ( x ，x ) 表示( x ，x ) 存在着缺点。谓词h ( x ，x ) 表示( x ，x ) 是人，d ( x ，；) 代表( x ，x ) 发展，表，示发展的隶属度，表示发展，表示没有发展。 于是本例中的命题可以形式化为： v ( x ，x ) 3w ( ( h ( x ，x ) al d ( x ，x ) ) w ( x ，x ) ) 综上所述，二阶d f l 是在一阶逻辑d f l 基础上添加二阶量词得到的。 在一阶 d f l 中谓词表示个体的性质或个体间的关系，以个体常元( 个体的名字) 或个体变 元作主目。在二阶d f l 中主目中还包括一层谓词( 谓词变元) 的谓词( 谓词变元) 。 3 3 二阶动态模糊逻辑的语义 逻辑语义学是自然语言逻辑的一个重要组成部分，也是当前自然语言逻辑研究中 的一个热门领域。该领域从逻辑的视角去看待和分析语言学关注的问题，是实现自然 语言的计算机信息处理的先期工作。因为计算机处理自然语言首要的条件是对语言作 形式化的描述，制定分析过程的规则，再用计算机的程序予以实现，最终达到识别和 理解自然语言的目标。可以说，这一领域的研究顺应了计算机信息科学的发展，在一 定程度上代表了逻辑学的发展方向。 由于二阶d f l 是一阶d f l 的扩充，因此二阶d f l 谓词演算系统的语义可以通 过一阶d f l 谓词演算系统语义的扩充来实现。下面我们通过以下的两种方式进行讨 论。 3 3 1 二阶d f l 系统语义中的元理论 我们曾经提到，抽象公理系统、形式系统并不针对某一特定的客体范畴、特定的 性质关系，但可以对它作出种种解释赋予它一定的论域，即研究对象的集合，赋 予它一定的结构，即用论域中的客体、客体上的运算、客体间的关系去解释系统中的 抽象符号。我们把上述赋予形式系统的论域及解释称为形式系统的语义结构。结构连 同该结构下公式所取真值的规定，称为系统的一种语义。 一、满结构语义 定义3 3 1 四元矢( u ，) 称为二阶d f 语言的结构，如果u 为一非空动态 模糊集合( 称为个体域) ，u f 为u 上函数的非空集合，u y 为u 上关系的非空集合， ，为一解释。当 动态模糊逻辑( d f l ) 真值域谱理论及应用研究 = p ( u ”) ( p ( s ) 表示s 的幂集) u f = l ：u ”- 9 u ，2 为正整数) 时，该结构称为满结构。 扩充语义的第一种方式